Тудырушы функциялар және комбинаторикалық теңдіктер

Аннотация

Бұл мақалада тудырушы функцияны комбинаторикадағы қолданысы көрсетірген.

В данной статье рассмотрены применение производящих функции в комбинаторике.

Тудырушы функциялар теориясы сандар теориясының, ықтималдық теориясының және комбинаториканың есептерін математикалық анализдің әдістерін қолданып шығаруға мүмкіндік береді. Осы тудырушы функцияларды пайдаланып көптеген комбинаторикалық теңдіктерді табуға болады. Мысалы,

дәрежелік қатары

тізбегінің тудырушы дәрежелік қатары. Математикалық анализден ол тудырушы функцияның -ке тең екендігі белгілі, яғни

(1)

Сол секілді

(2)

Осы екі функцияны пайдаланып бір тепе-теңдікті тағайындаймыз.

екендігі белгілі. (1) теңдік бойынша

Енді өрнегін (1) және (2) теңдіктерді көбейтіп, оған сәйкес дәрежелік қатарды табамыз:

-тегі дәрежесінің коэффициенті . Ал -тегі дәрежесінің коэффициенті

.

Осы екі коэффициентті пайдаланып, төмендегідей теңдікті аламыз:

теңдіктің екі жағын да -ге қысқартамыз:

бұдан

теңдігі орындалатындықтан

тепе-теңдігін аламыз. Дәл осы секілді басқа да теңдіктерді дәлелдеуге болады.

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі:

1. М.Холл. Комбинаторика. Издательство «Мир». Редакция литературы по математическим наукам. М., 1970

2. А.Кофман. Введение в прикладную комбинаторику. Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, М.,1975

3. Д. Пойа. Математика и Правдоподобные рассуждение, изд. иностранной литературы, М.1957.

4. Г.Полиа, Г.Сеге, Задачи и теоремы из анализа, изд., «Наука», главная редакция физико-математической литературы, М.1978

5. Л.Эйлер. Введение в анализ бесконечных. Том І. Издание второе. Государственное издательство физико-математической литературы. М.,1961