Функционалдық теңдеулер және оларды шешудің әдістері

1 слайд
Функционалдық теңдеулер және оларды шешудің әдістері Арызахметов Еркебулан Алтынбекулы Математика пәні мұғалімі АОМФММИ

2 слайд
Кіріспе Функционалдық теңдеулер  - бұл, белгісізі функциялар болатын теңдеулер. Келесі теңдеулер функционалдық теңдеудің мысалы болады                      1 2 ) 1( ) ( x g f x g x f (1) 0 ) 1 ( ) (    x xf x f

3 слайд
Функционалдық кейбір түрлері бізге мектеп курсындағы, функцияның қасиеттерінен таныс. Бұл теңдеулер функцияның жұптық, тақтық және периодтылық қасиеттері болып табылады) ( ) ( x f x f   ) ( ) ( x f x f   ) ( ) ( x f T x f  

4 слайд
1. Параметрленетін теңдеулер Функционалдық теңдеудің қайсыбір параметрлік функциялар класына тиісті шешімін іздейтін теңдеулерді параметрленетін теңдеулер деп атаймыз.

5 слайд
Мысал: Есептің қойылуы: Барлық х-тер үшін 2 f ( x + 2) + f (4 - x ) = 2х + 5 шартын қанағаттандыратын у = f ( x ) сызықтық функциясы барма? Шешуі: Сызықтық функция анықтамасы бойынша, f ( x ) = kx + b түріндегі функцияны айтамыз. Мұндағы, k және b параметрлері сызықтық функцияны бірмәнді сипаттайды. Себебі келесі теңдік х- тің кез-келген мәнінде, келесі тепе-теңдікке мәндес , Бұл факт, біз бірнеше рет қолданатын тұжырымның дербес жағдайы болып табылады:2 2 1 1 b x k b x k    2 1 k k  2 1 b b 

6 слайд
Екі көпмүшелік теңбе-тең болуы үшін айнымалының бірдей дәрежелеріндегі коэффициенттер өзара тең болуы керек. (яғни, көпмүшеліктердің дәрежелері тең болуы керек).

7 слайд
2. Жалпы түрдегі функционалдық теңдеулер Алдыңғы есепті жалпы жағдайда шешу жолдарын қарастырамыз. х- ті х – 2 ауыстырайық. Онда (1) теңдеу келесі түрге көшеді: 2 f (х)+ f (6 - х) = 2х + 1 кез-келген х үшін . А = f ( x ) және B = f (6 - х) деп алсақ, екі айнымалыдан тәуелді теңдеуге келеміз ; мұндағы х параметр қызметін атқарады: 2А + В = 2х+ 1.

8 слайд
3. Классикалық функционалдық теңдеулер Математикада салыстырмалы түрде қарапайым функционалдық теңдеулердің түрлері кездеседі. Соның ішінде ең қарапайымы, шешімі у = kx Түріндегі функциялар болатын теңдеулер (бұл теңдеулерді Коши қарастырған): f ( x + у) = f ( x ) + f ( y ) (15) Кез-келген х үшін.

9 слайд
4. Ауыстыру тәсілімен функционалдық теңдеулерді шешу 1. f(x) –ті тап: 2. 3. 4. 5. 6.x x x f x x f                   1 2 2 2 1   7 14 4 1 2 2     x x x f 2 ) 1( ) ( 2 x x f x f                        2 , 0 2 , 3 2 3 2 x x x x f x x f 1 ) 1( 2 1 ) (           x f x x f ? )1( ), 0(  f f     2 2 2 3 4 2 2 48 12 6 6 x y x y x y y x x f     

10 слайд
Функционалдық теңдеулерді шешудің әдіс тәсілдері  1 Айнымалылардың нақты мәндерін қою  2 Айнымалыны ауыстыру  3 Математикалық индукция  4 Функцияның инъективтілік пен сюръектівтілігін пайдалану  5 Кошидің функционалдық теңдеулерін қолдану  6 Функцияның монотондылығын пайдалану

11 слайд
Қолданылған әдебиеттер  Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н.., Савин А.Н., Саушкин И.Н. Функциональные уравнения. – Самара: В мире науки, 1999  Бродский Я. С., Слипенко А. К. Функциональные уравнения. – К.: Вища школа. Головное издательство, 1983. – 96 с  Ильин В.А. Методы решения функциональных уравнений // Соросовский образовательный журнал, 2001, № 2, с. 116 – 120  Лихтарников Л.М. Элементарное введение в функциональные уравнения.– СПб.: Лань, 1997. – 160 с  Кострикина Н.П. “Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов” - М: “Просвещение”, 1991г.  Смышляев В.К.. Практикум по решению задач школьной математики. – М: “Просвещение”, 1978г.