Алгебра және анализ бастамалары оқыту әдістемесі 10-сынып

Ә. Н. ШЫНЫБЕКОВ, Д. Ә. ШЫНЫБЕКОВ

АЛГЕБРА

және
АНАЛИЗ БАСТАМАЛАРЫ
оқыту әдістемесі

Жалпы білім беретін мектептің жаратылыстану – математика
бағытындағы 10-сынып мұғалімдеріне арналған
Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрлігі ұсынған

Алматы «Атамұра» 2019

ӘОЖ 373
КБЖ 74.262.21
Ш 97

Шыныбеков Ә. Н., Шыныбеков Д. Ә.
Ш 97 Алгебра және анализ бастамалары. Оқыту әдістемесі: Жалпы білім беретін
мектептің жаратылыстану-математика бағытындағы 10-сынып мұғалімдеріне арналған./ Ә.Н. Шыныбеков, Д.Ә. Шыныбеков. — Алматы: Атамұра,
2019. — 176 б.
ISBN 978-601-331-538-6

ӘОЖ 373
КБЖ 74.262.21.

©
ISBN 978-601-331-538-6

©

Шыныбеков Ә.Н.,
Шыныбеков Д. Ә., 2019
«Атамұра», 2019

І. «АЛГЕБРА ЖӘНЕ АНАЛИЗ БАСТАМАЛАРЫ –10»
ОҚУЛЫҒЫНЫҢ ҚҰРЫЛЫМЫ»
«Алгебра және анализ бастамалары – 10» оқулығы авторлардың 7, 8 және
9-сыныптарға арналған «Алгебра – 7, 8, 9» оқулықтарының жүйелі жалғасы ретінде қарастырылуы қажет. Бұл оқулық ҚР БҒМ бекіткен жаңа оқу бағдарламасы
бойынша жазылған және орта мектептердегі математиканы оқытудың мемлекеттік стандартына толық сәйкес келеді. Бұл оқулықтардың құрылымдары да ортақ
әдістемелік жүйеге, саралап және дамыта оқыту тәсіліне негізделген. Мәселен,
тақырыптар шағын модульдік технологияны қолдануға бейімделген. Біздің ойымызша, апталық сағат жүктемесінің қысқаруына байланысты сабақты шағын
модульдік технология бойынша ұйымдастырған тиімді. «Алгебра және анализ
бастамалары» оқулығында да тапсырмалар А, В және С топтарына бөлінген. А
және В топтарындағы есептер жеңіл және орта деңгейде болса, С тобына қиындық
деңгейі жоғары есептер жинақталған. Ал өтілетін тақырыпқа арналған есептерден
соң қайталауға арналған жаттығулар келтірілген. Оқулықтағы С тобының есептерін оқушыларды саралап дамыта оқыту үшін қолдануға болады. Тақырыптың
соңында келтірілетін қайталауға арналған жаттығулардың бір бөлігін сыныпта, ал
қалғандарын үй жұмысы ретінде орындап отыруды дағдыға айналдырған дұрыс.
Бұл оқушыларға келесі тақырыптарды өту үшін қажет және өткен материалдарды
естеріне түсіріп, оны пысықтап отыруына көмектеседі.
Оқулықта қосымша материалдар (*) белгісімен ерекшеленген. Тақырыптардың
бұлай орналасуының бірнеше ұтымды жағы бар:
– сыныптарда оқу процесін тиімді ұйымдастыруға;
– қабілетті оқушылардың бұл материалдарды өз беттерінше меңгеруге;
– факультативтік сабақтар өткізуге, оқушыларды математикалық олимпиадаларға дайындауға қолайлы.
Жалпы алғанда, бұл оқулық төмендегі принциптерді басшылыққа ала отырып жасалған:
– Қазақстан Республикасы Жалпы білім берудің мемлекеттік стандарттарына сәйкес келетін білім берудің кепілді минимумының сақталуы;
– оқулық мәтінінде, тапсырмалар жүйесінде және жалпы оқу-әдістемелік
кешенінде оқытуды саралап және әрбір оқушының қабілетіне қарай жеке дараландырып дамыта оқыту принципіне бағдарлылығы;

3

– оқу материалын жүйелі орнықтыру, оның рационалдылығы және логикалық оңтайлылығы;
– материалдардың салаластығы мен сабақтастық принципі;
– оқу-әдістемелік кешеннің барлық компоненттерінде оқу материалдарының
ең ақпаратты, басты және маңызды бөліктері айқындап көрсетілуі;
– оқу материалы мазмұнын баяндау формасын таңдап алудың оңтайлылығы
және оның жалпы дидактикалық талаптарға сәйкестігі, сабақтастығы,
ғылымилығы, түсініктілігі, көрнекілігі және т.с.с;
– оқушының жеке шығармашылық қабілеттерін дамыта оқыту принципі;
– универсалдылық принципі (жалпы білім беретін мектептер мен математиканы тереңдетіп оқытатын сыныптарда қатар пайдалануға болатыны). Ауылдық
және шағын жинақталған мектептерге қолайлылығы;
– сабақты модульдік технологияны қолданып ұйымдастыруға бейімділігі.

4

5

0-бөлім. 7–9-сынып
материалдарын
қайталау

Тақырыбы
Өткен материалдарды қайталау; оқушылардың білімі, білік
және дағдыларын қалпына келтіру; жаңа тақырыптарды
меңгеруге дайындық жасау.

1-тоқсан

Оқыту мақсаты

4

Сағат Күні
саны

Функцияның кей- 10.4.1.3, 10.4.1.4. Функцияның берілген графигі бойынша
бір қасиеттері
оның қасиеттерін білу:
1) функцияның анықталу облысын;
2) функцияның мәндер жиыны;
3) функцияның нөлдерін;
4) функцияның периодтылығын;
5) функцияның бірсарындылық аралықтары;
6) функцияның таңбатұрақтылық аралықтары;
7) функцияның ең үлкен және ең кіші мәндері;
8) функцияның жұптылығы, тақтылығы;
9) функцияның шенелгендігі;
10) функцияның үзіліссіздігі;
11) функцияның экстремумдарын сипаттай алу;
12) функцияны зерттеудің қарапайым жоспарын қолдана алу.
Функцияның гра- 10.4.1.3. Функцияның қасиеттерін анықтай алу;
10.4.1.4. Функцияның графигіне түрлендірулер орындай алу
фигін түрлендіру
(параллель көшіру, сығу және созу)
10.4.1.5. Бөлшек-сызықты функцияның графигін тұрғыза білу.

8–13

14–17

Функция ұғымы 10.4.1.1. Функцияның анықтамасын және берілу тәсілдерін
және оның берілу білу;
тәсілдері
10.4.1.2. Функцияның графигін түрлендіру.

5–7

4

6

3

І бөлім. Функция, оның қасиеттері және графигі. 1.1. Функция ұғымы және оның берілу тәсілдері. 1.2.
Функцияның кейбір қасиеттері. 1.3. Функцияны зерттеудің қарапайым жоспары. 1.4. Функцияның графигін түрлендіру. 1.5. Күрделі және кері функция.

1–4

№
сабақ

Ортамерзімді жоспарлау үлгісі.
Алгебра және анализ бастамалары. 10-сынып.

6

Күрделі және кері 10.4.1.6. Кері функцияның анықтамасын білу және берілген
функция
функцияға кері функцияны табу, өзара кері функциялар графиктерінің орналасу қасиетін білу;
4
10.4.7. f(g(x)) күрделі функциясын ажырата білу және функциялар композициясын құру.
ІІ бөлім. Тригонометриялық функциялар. 2.1. Тригонометриялық функциялардың негізгі қасиеттері.
2.2. Кейбір тригонометриялық функциялардың графиктерін салу мысалдары. 2.3. Кері тригонометриялық
функциялар.
22–25 Т р и г о н о м е т р и я - 10.2.3.1. Тригонометриялық функциялардың анықтамаларын,
лық функциялар- қасиеттерін білу және олардың графиктерін сала білу;
4
дың негізгі қасиет- 10.2.3.2. Тригонометриялық функциялардың графиктерін
тері, графигі
түрлендірулер көмегімен сала білу.
10.2.3.3. Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс
26–30 2.3. Кері
тригонометриялық анықтамаларын білу және олардың мәндерін таба білу;
10.2.3.4. Құрамында кері тригонометриялық функциялары бар
функциялар
өрнектердің мәнін табу;
5
10.2.3.5. Кері тригонометриялық функциялардың анықтамалары мен қасиеттерін білу;
10.2.3.6. Кері тригонометриялық функциялары бар өрнектерді
түрлендірулер орындау.
ТЖБ
31
1
Есептер шығару
32
1
2- тоқсан
ІІІ бөлім. Тригонометриялық функциялар. 3.1. Тригонометриялық теңдеулер. 3.2. Тригонометриялық
теңдеулер жүйесін шешу. 3.3. Кері тригонометриялық теңдеулер. 3.4. Тригонометриялық теңсіздіктер.
10.2.3.8. Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шеше алу;
33–41 Тригонометрия10.2.3.9. Тригонометриялық теңдеулерді шешу тәсілдерін
лық теңдеулер
біледі: көбейткіштерге жіктеу арқылы шеше алу;
10.2.3.10. Квадрат теңдеулерге келтіріп шешу;
10.2.3.14. Қосымша бұрыш тәсілі;
10.2.3.15. Белгісізді алмастыру тәсілі;
9
10.2.3.12. Біртекті теңдеулерді шешу;
10.2.3.13. Тригонометриялық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдерін біледі;
10.2.3.16. Кері тригонометриялық функциялары бар қарапайым теңдеулерді шеше алу.

18–21

7

10.2.3.17. Қарапайым тригонометриялық теңсіздіктерді шеше
алу;
10.2.3.18. Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу тәсілдерін біледі.
4

IV бөлім. Ықтималдық. 4.1. Комбинаторика элементтері. Ньютон биномы. 4.2. Оқиғалар алгебрасы және
ықтималдықтың классикалық анықтамасы. 4.3. Оқиғаның толық ықтималдығы. Байес формуласы. 4.4.
Бернулли формуласы және оның салдарлары.
10.3.1.1. Қайталанбайтын және қайталанбалы «алмастыру46–49 Комбинаторика
элементтері.
лар», «орналастырулар», «терулер» ұғымдарын ажырата білу;
10.3.1.2. Қайталанбайтын алмастырулар, орналастырулар
Ньютон биномы.
және терулерді есептеу үшін формулаларды қолдану;
4
10.3.1.3, 10.3.1.4. Қайталанбалы алмастырулар, орналастырулар және терулерді есептеу үшін формулаларды қолдану;
10.3.1.5. Есептеу үшін Ньютон биномын (натурал көрсеткішпен)
қолдану.
50–55 Оқиғалар алгебра- 10.3.2.1. Кездейсоқ оқиға ұғымын, кездейсоқ оқиға түрлерін
сы және ықтимал- білу және оларға мысалдар келтіру;
дықтың классика- 10.3.2.2. Ықтималдықтардың қасиеттерін қолданып, кездейлық анықтамасы
соқ оқиғалардың ықтималдығын есептеу;
10.3.2.3. Ықтималдықтарды қосу ережелерін түсіну және
қолдану:
6
*Р(А + В) = Р(А) + Р(В)
*Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А · В);
10.3.2.4. Ықтималдықтарды көбейту ережелерін түсіну және
қолдану
*Р(А · В) = Р(А) · Р(В)
*Р(А · В) = Р(А) · РА(В) = Р(В)РВ(А).
10.3.2.5. Толық ықтималдық формуласын білу және оны есеп56–59 Оқиғаның толық
ықтималдығы.
тер шығарғанда қолдану;
4
Байес формуласы 10.3.2.6. Байес формуласын білу және оны есептер шығарғанда
қолдану.

42–45 Тригонометриялық теңсіздіктер

8

ТЖБ
Есептер шығару

10.3.2.7. Бернулли схемасын қолдану шартын және Бернулли
формуласын білу;
10.3.2.8. Бернулли формуласының салдарларын есептер
шығарғанда қолдану;
10.4.2.3. Түрлі құбылыстар мен процестердің ықтималды модельдерін құра білу.
1
1

3

3-тоқсан
V бөлім. Көпмүшелер. 5.1. Көп айнымалы көпмүшелер. 5.2. Бір айнымалысы бар көпмүшенің жалпы
түрі және оның түбірлерін анықтау. 5.3. Көпмүшенің түбірлері. Безу теоремасы. Горнер схемасы. 5.4.
Жоғары дәрежелі теңдеулерді шеше білу.
10.2.1.1. Бірнеше айнымалысы бар көпмүшенің анықтамасын
65–68 Көп айнымалы
білу және оны стандарт түрге келтіру, стандарт түрдегі
көпмүшелер
4
көпмүшенің дәрежесін анықтау;
10.2.1.2. Симметриялы және біртекті көпмүшелерді танып білу
10.2.1.3. Бір айнымалысы бар көпмүшелерді ажырату және
69–73 Бір айнымалысы
бар көпмүшенің
оны стандарт түрге келтіре алу;
10.2.1.4. Бір айнымалысы бар көпмүшенің бас коэффициентін,
жалпы түрі
дәрежесін және бос мүшесін табу;
10.2.1.5. Көбейткіштерге жіктеу әдісі арқылы бір айнымалысы
бар көпмүшенің түбірлерін табу;
5
10.2.1.6. Көпмүшелерді көбейткіштерге жіктеу үшін xn – an,
x2n+1 + a2n+1, n ∈ N формулаларын қолдану;
10.2.1.7. Бүтін коэффициентті көпмүшелердің бүтін түбірлерін
анықтай білу; көпмүшені көпмүшеге «бұрыштап» бөлуді орындау.
10.2.1.8. Безу теоремасы және оның салдарларын есеп шығаруда
74–77 Көпмүше
түбірлері. Безу
қолдану;
10.2.1.9. Симметриялы және біртекті көпмүшелер түбірлерін
теоремасы.
Горнер схемасы
табудың түрлі тәсілдерін қолдану;
4
10.2.1.10. Көпмүше түбірлерін табу үшін Горнер схемасын
қолдану;
10.2.1.13. Анықталмаған коэффициенттер әдісін білу және оны
көпмүшені көбейткіштерге жіктеуде қолдану.

63
64

60–62 Бернулли формуласы және оның
салдарлары

9

Функцияның
үздіксіздігі

3

VII бөлім. Туынды және оның қолданылуы. 7.1. Функцияның туындысы және дифференциалы. 7.2.
Функцияны дифференциалдау ережелері. 7.3. Күрделі және кері функциялардың туындысы. 7.4. Туындыны функцияны зерттеуде қолдану. 7.5. Функцияны зерттеп, оның графигін салудың толық жоспары.

90–92

10.4.1.12. Функцияның нүктедегі үзіліссіздігінің және
функцияның жиындағы үзіліссіздігінің анықтамаларын білу;
10.4.1.13. Үзіліссіз функциялардың қасиеттерін біледі және
оларды функцияның үзіліссіздігін дәлелдеуде қолдану.

10.2.1.11. Бір айнымалысы бар бүтін коэффициентті көпмүшенің рационал түбірі туралы теореманы оның түбірлерін
табуда қолдану;
10.2.2.1. Жалпыланған Виет теоремасын білу және оны үшінші
ретті көпмүшелерге қолдану;
4
10.2.2.2. Жоғары дәрежелі теңдеулерді шешуде көбейткіштерге
жіктеу әдісін қолдану;
10.2.1.12. Жоғары дәрежелі теңдеулерді шешуде жаңа айнымалы енгізу әдісін қолдану.
VI бөлім. Шек және үздіксіздік. 6.1. Функцияның нүктедегі шегі. 6.2. Сан тізбегінің шегі.
6.3. Функцияның үздіксіздігі.
10.4.1.8. Функцияның нүктедегі шегінің анықтамасын білу
82–86 Функцияның
нүктедегі шегі
және оны есептеу;
10.4.1.9. Функцияның шексіздіктегі шегінің анықтамасын
білу және оны есептеу;
10.4.1.10. Функция графигіне жүргізілген асимптотаның
анықтамасын білу және асимптоталардың теңдеулерін құра
5
білу;
10.4.1.15. Бірінші тамаша шекті қолданып шектерді есептеу;
0
10.4.1.14. Шектерді есептеуде ,  және ∞ – ∞ түріндегі анықтал0 
мағандықтарды ашу әдістерін қолдану.
10.4.1.11. Функцияның шексіздіктегі шегінің қасиеттерін
87–89 Сан тізбегінің
3
шегі
қолданып сан тізбектерінің шектерін табу.

78–81 Жоғары дәрежелі
теңдеулерді шешу

10

Функцияны
дифференциалдау
ережелері

96–98

Есептер шығару

104

105– Туындыны функ111
цияны зерттеуге
қолдану

ТЖБ

103

99–102 Күрделі және кері
функциялардың
туындысы

Функцияның
туындысы және
дифференциалы

93–95

IV тоқсан
10.4.1.26. Функцияның аралықта өсуінің (кемуінің) қажетті
және жеткілікті шартын білу;
10.4.1.27. Функцияның өсу (кему) аралықтарын табу;
10.4.1.28. Функцияның кризистік нүктелерінің және экстремум нүктелерінің анықтамаларын, функция экстремумының
бар болу шартын білу;
10.4.1.29. Функцияның кризистік нүктелері мен экстремум
нүктелерін табу;
10.4.1.30. Функцияның екінші ретті туындысын табу;
10.4.1.31. Функция графигінің иілу нүктесінің анықтамасын
және функция графигінің аралықтағы дөңестігінің (ойыстығының) қажетті және жеткілікті шартын білу;
10.4.1.32. Функция графигінің дөңес (ойыс) аралықтарын таба
білу.

10.4.1.16. Функция мен аргументінің өсімшесі;
10.4.1.17. Функция туындысының анықтамасын білу және
анықтама бойынша функцияның туындысын табу;
10.4.1.18. Туынды мен дифференциалдың геометриялық мағынасын білу.
10.4.1.21. Дифференциалдаудың ережелерін білу және қолдану;
10.4.1.20. Тұрақты функцияның және дәрежелік функцияның
туындыларын табу;
10.4.1.23. Тригонометриялық функциялардың туындыларын
табу.
10.4.1.22. Күрделі функцияның туындысын табу;
10.4.1.24.  Кері функциялардың туындысын табу ережесін қолданып кері тригонометриялық функциялардың туындыларын
табу;
10.4.1.25.   Берілген нүктеде функцияның графигіне жүргізілген
жанама теңдеуін құру.

7

1

1

4

3

3

11

ТЖБ

Есептер шығару

135

136

128–134 10-сыныптағы математика курсын қайталау

1

1

7

10.4.1.33. Туындының көмегімен функцияның қасиеттерін
112– Функцияны
117
зерттеп, графигін зерттеу және оның графигін салу;
6
10.4.1.34. Функцияның ең үлкен (ең кіші) мәндерін табуға
салудың толық
жоспары
байланысты қолданбалы есептер шығару.
VIII бөлім. Кездейсоқ шамалар. 8.1. Кездейсоқ шамалар (КШ) және олардың санды сипаттамалары.
8.2. Дискретті КШ кейбір түрлері.
10.3.2.9. КШ ұғымын білу және оған мысал келтіру;
118– Кездейсоқ шама10.3.2.10. Дискретті және үздіксіз КШ ұғымын білу және мы122
лар (КШ) және
сал келтіру;
олардың сандық
10.3.2.11. Дискретті КШ үлестірімділік кестесін (заңын) құра
сипаттамалары
5
білу;
10.3.2.12. Дискретті КШ математикалық үмітін анықтай білу;
10.3.2.13. Дискретті КШ дисперсиясын және стандартты ауытқуын (орташа квадраттық ауытқуын) анықтай білу.
10.3.2.16. Кейбір дискретті КШ түрлерін ажырата білу; бином123–127 Дискретті КШ
кейбір түрлері
дық үлестірім; геометриялық үлестірілім; гипергеометриялық
5
үлестірім;
10.3.2.17. Үлкен сандар заңын білу.

12
7–9-сынып материалдарын қайталау

Тілдік мақсат

Диалогке (жазуға)
қажетті сөзтіркестері
7–9-сыныпта өтілген
және қалыптасқан сөзтіркестерін естеріне
түсіреді.

Пәнге қатысты лексика
мен терминология
7–9-сыныптарда өтілген
терминдер, лексика мен
терминологияларды естеріне түсіріп, қолданыс
аясын кеңейтеді.

Қысқаша шолу. Оқушылар 7–9-сыныпта өтілгендерді қайталайды, естеріне түсіреді және есептер
шығарады, сол арқылы келесі жаңа материалдарды меңгеруге дайын болады.

Оқушылар
9-сыныпта Оқушылар:
өткен
материалдарды барлық өтілген анықтамалар мен қасиеттерді
қайталайды.
тұжырымдайды, түсіндіреді және оларды қолдану жолдарын сипаттайды;
функция графигін тұрғызу жолын түсіндіреді
және сипаттайды;
формулаларды қолдану жолын негіздеп түсіндіреді.

Пәндік мақсат

Мәнмәтін. Оқушылар 7–9-сыныпта өтілген материалдарды қайталау арқылы білімдерін, біліктерін және
дағдыларын қалпына келтіріп, жаңадан өтілген материалдарды нәтижелі қабылдауға мейлінше дайын
болады.

Осыған дейін меңгерілген білім: 7–9-сыныпта алгебра курсында өтілген материалдар

Ұсынылатын сағат саны 4

ӘДІСТЕМЕЛІК НҰСҚАУЛАР

7–9-сынып материалдарын қайталау
Мақсаты. Оқушылардың 7-9 сыныптарда өткендерін еске түсіріп, оларды
пысықтап, жаңа материалдарды меңгеруге дайындық жұмыстарын жүргізу,
оқушылардың оқу жылы басындағы біліктілігі мен бейлімділігі, қабілетінің
деңгейін анықтап, оларды деңгейлік топтарға іріктеу.
Әдістемелік нұсқаулар. Қайталауға берілген жаттығулар саны жеткілікті
(50 есеп). Әрине, қайталауға бөлінген 2–3 сағат көлемінде бұл есептерді толық
қарастырып шығу мүмкін емес. Сондықтан алғашқы сабақта назарды, негізінен А тобы есептеріне аударып, оларды шешу барысында қажетті ережелерді
еске түсіріп, пысықтап отыру керек және үй тапсырмалары да осы А тобынан
болуы қажет. Келесі сабақта бұл тапсырмаларды саралап, әрбір оқушының
қабілетіне қарай іріктеп тапсыруға болады. Мұнда функцияның қасиеттеріне,
графигіне және тригонометриялық өрнектерді түрлендіруге, бұрыштың
градустық, радиандық өлшемдеріне берілген есептерге басты көңіл бөлінгені
дұрыс. Қайталау сабағының соңында автордың дидактикалық материалдар
жинағында келтірілген 15–20 минутқа арналған 6 нұсқалы тест тапсырмаларын
(ТТ–1) өткізіп, оның нәтижесін мектеп басшылығы алдында негіздеп, сыныпты деңгейлік топтарға бөлуді заңдастырып алу қажет. Оқу жылы соңында осы
топтарға іріктеу сапасы көтерілмесе де, төмендемеуі қажет.
Жаттығуларға шолу. Мұнда деңгейлік үш топқа іріктелген 50 есеп
жинақталған. Енді осы есептердің кейбіреулерінің шешу жолдарына тоқталайық.
12
0.10. 1) sinα =  болатындай α бұрышы табылмайды.
11
12
Себебі sinα -ның қасиеті бойынша | sinα |  1, ал
 > 1.
11
3) sin2α + cos2α =  1 тепе-теңдігі орындалуы қажет.
2

2

3
1 3
 1
sin α + cos α =   +  −
= + = 1.

 2
4 4
 2 

2

2

Олай

болса,

1
sinα =  ,
2

cosα = –

3
2

теңдіктерін қанағаттандыратын α бұрышы табылады.
5) tgα = 100 теңдігін қанағаттандыратын α бұрышы табылады. Себебі
–  < tgα < + теңсіздігі орындалады.
m
0.18. p =
формуласын қолдану қажет. Мұнда n — барлық мүмкін жағдайлар
n
саны, m — қолайлы жағдайлар саны.
24 4
6 1
1) n = 30, m = 30 – 6 = 24 ⇒ p =   =   = 0,8;
2) n = 30, m = 6 ⇒ p =   =   = 0,2.
30 5
30 5
2

2

9
 9
 9
0.19. 2) x2 + y2 – 9x = x2 – 2 ·  x +    + y2 –   ⇒
 2
 2
2
9
81
81
⇒ (x – 4,5)2 + y2 –   = 0 ⇒ (x – 4,5)2 + y2 –  ⇒ (4,5; 0) — центрі, ал R =   = 4,5.
2
4
4

13

0.20. Берілген функционалдық тәуелділіктерді былай жазса, жеткілікті:
3 − x, егер x  0,
1) y = 3 – | x | = 
3 + x, егер x < 0;

у
3

2) y = x2 – 8x + 13 =  (x – 4)2 – 3;
3
. Суретте y = 3 – | x | функциясының
3) y = 
x−2

О
3

–3

графигі көрсетілген.

х

0.20 – есепке

0.21. 1)  x − 1 + y = 2,
⇔

x + y = 3

x 1,
x + y = 3,

x + y = 3,
⇔
⇔
x < 1,

− x + y = 1,
x + y = 3

x

x

x
x


[

∈ 1; + ) ,
∈ (−; 2)

∈ (−; 1) ,

⇔ x ∈ [1; +), y ∈ (–; 2).

= 1; y = 2.
Жауабы: x ∈ [1; +), y ∈ (–; 2).

2
2
3)2x2 − 3xy − 19y2 = 8,
6x − 9xy − 57y = 24,
⇒
⇒
 2

2
2
2
x − 6y = 3
8x − 48y = 24

⇒ 6x2 – 9xy – 57y2 =  8x2 – 48y2 ⇒ 2x2 + 9xy + 9y2 =  0.
2

2

 x
 x
x
y ≠ 0 ⇒ 2   + 9   + 9 =  0,  =  t ⇒ 2t2 + 9t + 9 =  0,
 y
 y
y
 x = −3y,
 2
2
 x − 6y = 3;
⇔
t1 = –3, t2 = –1,5 ⇒ 
x = −1, 5y,


 x2 − 6y2 = 3.

 x = −3y,
 2
 y = 1;
⇔
⇔
 x = −1, 5y,

 2, 25y2 − 6y2 = 3.

 y = ±1,

 x = 3; ⇔
 y ∈ ∅,

 x ∈ ∅.

Жауабы: (3; –1), (–3; 1).

5π
3π
0.27. 3)
 < 8 < 3p,
 < 5 < 2p ⇒ 8 ∈ II, 5 ∈ IV ⇒ cos8 < 0, sin5 < 0 ⇒ cos8 · sin5 > 0.
2
2

14

0.30.

3 sin x + cos x
sin x − 4 cos x

=

3tgx + 1
tgx − 4

=

3·3 + 1
3−4

= −10.
Жауабы: –10.

0.31. 3) 1; –2; 3; –4; 5; –6; ... ⇒ ап = (–1)п–1 · п. Тізбек төменнен де, жоғарыдан
да шенелмеген, тербелмелі.
0.34. 7-ге еселік натурал сандардың жалпы түрі ап =  7п ⇒ 7п < 150 ⇒ п < 21,4 ⇒
⇒ п = 21. а1 =  7, a21 = 7 · 21 = 147.
7 + 147
S = 
 · 21 = 77 · 21 = 1617.
2
Жауабы: 1617.
y > 0,


y = 1 ;

x
0.35. 3) x · | y | = 1 ⇔
y < 0,

−1

.
y =


x

2

p
p
p2

0.36. y = x2 – px + q =  x −  + q –  ⇒  = 1,

2
2
4
p2
q –   = –2 ⇒ p = 2, q = –1.
4
Жауабы: p = 2, q = –1.
0.37. 1) x + y = u, xy = v деп алу керек.
0.35 – есепке
2
2
x
x − 9xy + 14y = 0,
2) | x | ≠ | y | ⇒  2
⇒ = t ⇒ t2 – 9t + 14 =  0 ⇒ t1 =  2, t2 =  7 ⇒
2
y
x − y = 48

 x = 2y,
 x = ±8;
 2

2
y = ±4;
 x − y = 48;
⇔
⇒

x = 7y,
x = ±7;
 

2
2
 x − y = 48.
 y = ±1.

(

Жауабы: (–8; –4); (–7; –1); (7; 1); (8; 4).

)

xy = 0, x = 0, y = −2 ,
3) ( x − y ) x2 + xy + y2 = 8, ( x − y )2 + 3xy = 4,
⇒ 


x − y = 2, y = 0, x = 2.
x − y = 2
x − y = 2
Жауабы: (0; –2), (2; 0).
15

0.38. Берілген жұмыс 12 · 6=72 еңбек күні ішінде аяқталды. Онда 18 · x =  72
⇒ x = 4, яғни 18 жұмысшы бұл жұмысты 4 күнде аяқтайды.
30 + x − x20, x ∈ [ −5; 6] ,
0.39. x ≠ 2, x ≠ 0, x ≠ 2.  2
⇒
⇒ x∈ [–5; 2) 
⇒
x ∈ ( −; 0)  (2; + )
x − 2x > 0
 (–2; 0)  (2; 6].
 x2 − 12x + 35
 0,

0.40. 1)  2x2 + x + 3
⇔
 x − 3 5


 x + 7 3x + 1
+
 0,

⇔
2
x − 5
2) 
 x − 5 2

 ( x − 5) ( x − 7)
 0,

x∈ [–2; –1,5)  (1; 5]  [7; 8].
 2 ( x − 1) ( x + 1, 5)
−2  x  8


 3 (x − 1)(x − 3)
 0,

⇒ x∈ {3}  (5; 7].
⇒
 2 (x − 5)
3 x 7


0.41. 3) 0  | sinx |  1 ⇒ –5  –5| sinx |  0 ⇒ –3  2 – 5| sinx |  2, –3 — ең кіші мәні,
2 — ең үлкен мәні.
0.42. 1) 1-тәсіл. 2sinx+cosx=3 болуы үшін sinx=1, cosx=1 шарты орындалуы
қажет. Бұл теңдіктер қатар орындалатындай х табылмайды.
2
3
1
2-тәсіл. 22 + 12  =   5 ⇒ 2sinx + cosx =  3 ⇔
sinx +  cosx =  ⇔ cosφ · sinx +
5
5
5
2
3
3
1
+ sinφ · cosx =    , мұндағы cosφ =  , sinφ =  
⇒ sin(x + φ) =   > 1. Бұл теңдік5
5
5
5
тің орындалуы мүмкін емес.
0.43. 1) y =  {х} –3sinπx. y =  {х} функциясының ең кіші оң периоды T1=1,
y = sinπx функциясының ең кіші оң периоды T2=2. Берілген функцияның ең
кіші оң периоды 1 және 2 сандарының ең кіші ортақ еселігіне тең болуы керек:
T=[2; 1]=2.
Жауабы: T =  2.
16

(

)

α ++ 33) tg
α ++ 11 10
tgα
tg22α
(tg
sin
tg
11
sinα
α ++ 33cos
cosα
α
tgα
α ++ 33
10
==
== 22
··
==
== 22,,55..
0.45. 2)
33
33
22
22
sin
gg α
44
tg
sin α
α −− 33 cos
α
α −− 33cos
cos α
α tg
tg α
cos α
α −− 33
tg
0.46.
>2
2n
n+1+1

>

(

1
n

=

2
2 n

) (

2 −1 +2
2n

n+1

>

2n
n

>

2
n+1+

)

n

=2

3 − 2 ++2

(

(

)

1

) (

n +1 −1 =

n+1− n ⇒ 1+

n+1− n =
=2

2

1

+

3

)

++

1
n

2n
n+1+1

>
>

2n
n+1

> n.

0.47. an =  3n – 2, bm =  4m – 1. 3n – 2  200 ⇒ n  67, a67 = 199. 4m – 1  200 ⇒ m  50,
b50 = 199. Сонымен, 3n – 2 =  4m – 1, 1  n  67, 1  m  50 болуы қажет, яғни

3n − 4m − 1,

= 1  m  50, жүйесін натурал сандар жиынында шешу қажет. n0 =  3, m0 = 2 осы
1  n  67

жүйенің дербес шешімі болғандықтан, 3n – 4m = 1 теңдеуінің барлық бүтін шешімдері n =  3 – 4t, m =  2 – 3t, t ∈ Z формуласымен анықталады. 1  m  50 ⇒ 1  2 – 3t  
 50 ⇒ – 16  t  0. Осыдан t-ның әртүрлі 17 мән қабылдайтынын көреміз. Онда
берілген тізбектердің 17 ортақ мүшесі бар.
0.48. 10, 11, 15 өзара жай сандар болғандықтан, бұл сандар бір геометриялық
прогрессияның мүшелері бола алмайды.

b2 = ac,
⇒
0.49. 
4b = a + 3c

2
1
b = aq, c = aq ,
⇒ 3q2 – 4q + 11 =  0 ⇒ q =   , q ≠ 1.

2
3
4aq = a + 3aq

9
π
sin
9
3
25
3
0.50. 1) S =
=
; 2) S =
=
= 2 3 + 3.
3 40
π 2− 3
1+
1 − sin
5
3

17

>

2n
n

>

18
Тілдік мақсат

Диалогке (жазуға)
қажетті сөзтіркестері
1
4
Оқушылар келесі оқу
Егер ... онда функциямақсаттарына қол жетны берілді деп санайкізеді:
мыз;
10.4.1.1;
сан жиындары арасын10.4.1.2;
да орнатылған бірмәнді
10.4.1.3;
сәйкестікті ... деп атай10.4.1.4;
ды;
10.4.1.5;
егер х = а мәнінде ...
10.4.1.6;
теңдігі орындалса, онда
10.4.1.7.
х = а санын функция
нөлі деп атайды;
егер (a; b) аралығындағы
... нүктелері үшін ...
теңсіздігі орындалса,
онда функцияны осы
аралықта өспелі (кемімелі) деп атайды;
минимум және максимум нүктелері бір сөзбен
... деп аталады.
Қысқаша шолу: бөлімде алған білімдерін оқушылар функцияны тереңірек зерттеп, оның графигін салуда
қолданады және функцияның қолданыс аясы кеңейеді.

Пәндік мақсат

Пәнге қатысты лексика
мен терминология
2
3
Оқушылар:
сәйкестіктер; бірмәнді
жалпы жағдайдағы
сәйкестіктер; мәндер обсәйкестіктер мен бір
лысы; анықталу облысы;
мәнді сәйкестіктерді
сан функциясы, аргутүсіндіреді;
менті, тәуелсіз айнымафункция анықтамасын
лысы;
тұжырымдап, оның
аналитикалық тәсіл,
мағынасын түсіндіреді;
графиктік тәсіл, кесфункцияның берілу
телік тәсіл;
тәсілдерін сипаттайды;
таңба тұрақтылығы
функцияның
аралығы; өсу (кему)
қарапайым қасиеттерін
аралықтары; функция
тұжырымдайды,
нөлдері; периодтылығы;
түсіндіреді;
тақ-жұптығы;
функцияны зерттеудің
қарапайым жоспар;
қарапайым жоспарын
күрделі функция;
сипаттап, оның графигін кері функция.
салу тәсілін түсіндіреді.

1-бөлім. Функция, оның қасиеттері және графигі
Ұсынылатын сағат саны 17.
Осыған дейін меңгерілген білім: функция және оның графигі ұғымдары және олардың қарапайым
қасиеттері, қоршаған ортадағы кейбір қолданулары.
Мәнмәтін. Оқушылар бұл бөлімде алған білімдерін ғылымның түрлі салаларында қолдана біледі. Мысалы, физикада қозғалыс заңдылықтары, биологияда — биологиялық түрдің өсу заңдылықтары, экономикада – үнемділік функциялары, математикада туынды мен интеграл ұғымдарын оқып-үйренуге қажет.

Функция ұғымы және оның берілу тәсілдері
Тақырып бойынша келесі
мақсаттарға қол жеткізіледі
10.4.1.1. Функция
анықтамасын және берілу
тәсілдерін білу.

Оқыту ресурстары
1. Ә. Шыныбеков, Д.Ә. Шыныбеков,
Р.Н. Жұмабаев.Алгебра және анализ бастамалары - 10, жалпы редакциясын басқарған
М. Өтелбаев, «Атамұра», Алматы, 2019.
2. Ә. Шыныбеков, Алгебра және анализ бастамалары -10, дидактикалық материалдар
жинағы, «Атамұра», Алматы, 2019.
3. http://bilimland.kz/ru
4. http://interneturok.ru/ru/shool/
algebra/10-klass/sistemy-racionalnyhneravenstv/sistemy-iz-lineynyh-i-kvadratnyhneravenstv
5. http://interneturok.ru/ru/shool/
algebra/10-klass
6. http://www.yaklass.ru/p/algebra/10-klass/
7. http://www-formula.ru/index.php/201109-2-39-24/2011-09-20-23-58-11
8. //festival.1september.ru/articles/100725/

Функция ұғымы оқушыларға төменгі сыныптардан белгілі болғандықтан,
бұл тақырып бір қарағанда оңай көрінуі мүмкін. Десек те, бұл толыққанды
меңгеріп, ұғынуға аса күрделі ұғымдардың бірі. Ал тақырыпты оқулықта
көрсетілген түрде баяндау облыстық, республикалық және халықаралық олимпиадаларда берілген функцияларды f : R → R, g : N → Z және т.с.с. түрде жазылып
берулері негізгі түрткі болды. Мұндай жазуларды алғаш көрген бала абыржып,
берілген есепті шешу жолдарын таппай, оны «жылы жауып» қоятынына талай
куә болдық. Өз кезегінде функцияның осындай формада жазылуы халықаралық
деңгейде қалыптасқан ортақ жазу үлгілері.
Ескерту: бұл тақырыпта оқушылардың функцияны әртүрлі формада жаза
білуі қабілетінің қалыптасуына көңіл бөлу қажет.
Сондықтан Қазақстандық оқушылар да халықаралық деңгейде мойындалған
математикалық тілді меңгерулері қажет деп есептейміз. Бұл ұғымды жете
меңгерту үшін сабақтың кіріспе бөлігінде функция ұғымының дамуы тарихынан мәліметтер келтіре отырып, тарихи пікірталастар арқылы сынып алдында
«Функция деген не? Оны қалай түсіну қажет?» деген сұрақтармен проблемалық
жағдай туындатқан жөн. Проблемалық жағдай оқушылардың ойында «шынында да, функция деген не? Бұл еркін сызылған қисық па, әлде формуламен
берілген екі айнымалы арасындағы тәуелділік пе?» деген сұрақ туындайтындай деңгейде қойылғаны өте тиімді. Енді туындаған сұраққа жауап іздестіруді
оқушыларға белгілі қарапайым функцияларды мысалға ала отырып іздестірген
дұрыс. Мысалы, y=x2–4 параболасын қарастырыңыздар.
19

Квадраттық функция
y = x2 – 4, x ∈ R,
f(x) = x2 – 4, x ∈ R.
(х; у) сандар жұбы
Жазылу формулалары:
у = х2 – 4, x ∈ R заңдылығыf
х2 – 4, x ∈ R;
мен алынған. Оны былай х
х2 – 4, x ∈ R;
f : х
да жазуға болады:
2
(х; х  – 4), x ∈ R.
R, f(x) = x2 – 4, x ∈ R;
f : R
y, y =  x2 – 4, x ∈ R.
f : х

у = х2 – 4, x ∈ Z,
f(x) = x2 – 4, x ∈ Z.

(x; у), у = х  – 4, x ∈ Z,
2

(х; х2 – 4), x ∈ Z.

х
f : х
f : R
f : х

f

х2 – 4, x ∈ Z;
х2 – 4, x ∈ Z;
Z, f(x) = x2 – 4, x ∈ Z;
y, y =  x2 – 4, x ∈ Z.


Осындай дайындық жұмыстарын жүргізгеннен кейін оқушылар кез келген
жиындар арасында орнатылған сәйкестіктерді, бірмәнді сәйкестіктерді (бейнелеулерді), функционалдық сәйкестіктерді және олардың қасиеттерін ұғынуға
дайын болады. Ендігі жерде тақырыпты оқулықтағы 1.1–1.4-суреттерді қолданып түсіндіре беруге болады. Сонымен, тақырыпты түсіндіру барысында оқушылар функцияның қай уақытта берілді деп есептелетіні жөнінде нақты көзқарас
қалыптастырулары қажет.
Функция берілген болып есептелуі үшін оның анықталу облысы мен әсер ету
заңдылығы берілуі қажетті және жеткілікті екенін айқын сезінулері керек. Ол
үшін мынадай көрнекілікті қолданса болады:
y =  f(x)
функциясы берілді
деп есептелінеді.

⇔

1) D(f) анықталу
облысы берілсе.
2) f заңдылығы (формуласы) берілсе.

Мысалы, жоғарыда қарастырылған мысалда f заңдылығы (х2–4) ортақ болғанымен,
олардың анықталу облыстары әртүрлі. Сондықтан мұндағы функциялар да әртүрлі.
20

Егер жалпы білім беретін мектептердегі сынып деңгейі оқулықтағы §1.2-ты
қабылдап меңгеруге дайын болмайтыны белгілі болса, онда бұл пунктті
қарастырмай, функцияның анықтамасын 9-сыныпта келтірілген күйінде еске
түсіріп, оқушылармен бірге функцияның анықталу облысын, мәндер облысын,
оның кейбір нүктелердегі мәндерін анықтауға арналған есептер қарастырып,
осы сұрақтарды жете пысықтаумен шектелсе де жеткілікті.
Жаттығуларға шолу.
1.11. D(f) жиыны x ≠ –1, x ≠ 1 теңсіздіктерімен анықталады:
1) D(f) =  (–; 1)(–1; 1)(1; +);
2) x  1, x ≠ –1 ⇒ D(g) = [1; +].
1.18. f(x) =  x2 – 4x + 3 параболасына тиісті нүктелерді алу қажет.
1.26. 2) h(x) =

1 1  1 
=   — санның бөлшек бөлігі ⇒
−
x  x   x 

1
 x , егер x > 1,

1
1
 1 − n, егер
< x  , n ∈ N,
x
n +1
n
⇒ h(x) = 
 1 + (n + 1) , егер − 1 < x  − 1 , n ∈ N,
x
n
n +1
 1
− , егер x < −1.
 x

Жалпы, бұл тақырыпты, сыныптың деңгейіне байланысты, §1.1-пен
қосып, бір блокпен оқытуға болады. Өйткені мұндағы тақырып оқушыларға
төменгі сыныптардан таныс. Тек мұнда оқушылармен бірге f(x) =   x − 1,
x∈ [1; +) және g(x) =   x − 1, x∈ (7; 12] сияқты функциялардың әртүрлі функциялар екенін үнемі пысықтап отыру қажет. Өзге материалдарды оқулықта
көрсетілгендей етіп түсіндірсе, жеткілікті.
Жаттығуларға шолу. А тобында айтарлықтай қиындық туындататындай
есептер жоқ.
21

1.8.

1.9. 4)

x

–1

0

1

2

3

4

5

6

у

12

5

0

–3

–4

–3

0

5

x + 3  0,
f (x)
x+3
=
⇒
⇒ x∈ [–3;  2)(2;  +).
g (x)
x−2
x − 2 ≠ 0

1.10. 1) D(f + g) = [2; +); 2) D(f – g) = [2; +).
1

1.13. 3) f(x) = 

3+ x

⇒ D(f) = (–; +).

1.14. 1) Суретті қараңыз.
2)

x

–3

–2

–1

0

1

2

3

у

24

5

0

–6

8

6

0

у
5

–3 –2 –1 0 1 2 3

х

–2
–4
–6
–8
1.14,1 – есепке

2
, D(h) = [–2; 1)(1; 3].
1.16. 3) h(x) = 
x −1

22

1.16 – есепке

1.22. 1) y = x − 1

1.22 – есепке

1.23. f(x) =  

x −1
.
x −1

f
1.24. 1) D(f · g) = (–; 4], 2) D    =  (–; 4],
 g
1  1 
f 
3) D    =   −; −    − ; 4 .
 g 
2  2 
4) f(x) · g (x) және h(x) функцияларының айырмашылығы анықталу облыстарында.
x + 3  0,
f (x)
x+3
айырмашылығы анықталу облыста5)
=және φ(x)
⇒функцияларының
⇒

g (x)
x−2
x − 2 ≠ 0
рында.
1.25. 1) y = –| x | + 1, x ∈ Z, | x |  1;
   2) y =  1 − x2 , x ∈ Z, | x |  1;
   2) y = 1 – x2, x ∈ Z, | x |  1 және т.с.с.
1.27. 2) –1  – sinα  1 ⇒ 3 – 1  3 – sinα  3 + 1 ⇒ 2  3 – sinα  4. 2 — ең кіші
мәні, 4 — ең үлкен мәні.
y = 2 − 12,
1.28. 1-тәсіл:  2
⇒ x2 + x2 – 24x + 144 =36⇒x2 – 12x + 54 = 0.
2
x
+
y
=
36

D = 36 – 54 = –18 < 0 — жүйенің шешімі жоқ. Түзу мен шеңбер қиылыспайды.
2-тәсіл. Математиканы тереңдетіп оқытатын сыныптарда нүктеден түзуге
дейінгі қашықтық формуласын қолдануға болады. х2+y2=36 шеңберінің центрі О(0; 0) нүктесі, радиусы R=6. О(0; 0) нүктесінен x–y–12=0 түзуіне дейінгі
қашықтық 6-дан артық болса, берілген түзу мен шеңбер қиылыспайды.
d=

0 − 0 − 12
1+1

=

12
2

= 6 2 > 6.
23

Функцияның кейбір қасиеттері.
Функцияны зерттеудің қарапайым жоспары
Тақырып бойынша келесі
мақсаттарға қол жеткізіледі
10.4.1.3. Функцияның
қасиеттерін анықтай алу;
10.4.1.4. Функцияның берілген
графигі бойынша оның
қасиеттерін:
1) функцияның анықталу облысы;
2) функцияның мәндер жиыны;
3) функцияның нөлдері;
4) функцияның периодтылығы;
5) функцияның бірсарындылық
аралықтары;
6) функцияның
таңбатұрақтылық аралықтары;
7) функцияның ең үлкен және
ең кіші мәндері;
8) функцияның жұптылығы,
тақтылығы;
9) функцияның шектелгендігі;
10) функцияның үзіліссіздігі;
11) функцияның экстремумдарын сипаттай алу.

Оқыту ресурстары
1. Ә. Шыныбеков, Д.Ә. Шыныбеков, Р.Н.
Жұмабаев. Алгебра және анализ бастамалары- 10, жалпы редакциясын басқарған
М. Өтелбаев, «Атамұра», Алматы, 2019.
2. Ә. Шыныбеков, Алгебра және анализ
бастамалары-10, дидактикалық материалдар жинағы, «Атамұра», Алматы, 2019.
3. http://bilimland.kz/ru
4. http://interneturok.ru/ru/shool/algebra
/10-klass/sistemy-racionalnyh-neravenstv/
sistemy-iz-lineynyh-i-kvadratnyh-neravenstv
5. http://interneturok.ru/ru/shool/algebra
/10-klass
6. http://www.yaklass.ru/p/algebra/10-klass/
7. http://www-formula.ru/index.php/201109-2-39-24/2011-09-20-23-58-11
8. //festival.1september.ru/articles/100725/

Тақырып құрамында мынадай материалдар бар: 3.1. Функцияның нөлдері
және оның үздіксіздігі ұғымы. 3.2. Функция таңбасының тұрақтылық аралықтары. 3.3. Функцияның өсу және кему аралықтары. Функцияның экстремумдары. 3.4. Жұп және тақ функциялар. Осыдан оқушылар кез келген функцияны қарапайым деңгейде зерттеуі мен о