Жалпы білім беретін мектептің жаратылыстану – математика
бағытындағы 10-сынып мұғалімдеріне арналған
Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрлігі ұсынған
Алматы «Атамұра» 2019
Ә. Н. ШЫНЫБЕКОВ, Д. Ә. ШЫНЫБЕКОВ
АЛГЕБРА және
АНАЛИЗ БАСТАМАЛАРЫ
оқыту әдістемесі

ӘОЖ 373
КБЖ 74.262.21
Ш 97
ISBN
978-601-331-538-6
©
Шыныбеков Ә.Н.,
Шыныбеков Д. Ә., 2019
© «Атамұра», 2019
ӘОЖ 373
КБЖ 74.262.21.
Шыныбеков Ә. Н., Шыныбеков Д. Ә.
Алгебра және анализ бастамалары. Оқыту әдістемесі: Жалпы білім беретін
мектептің жаратылыстану-математика бағытындағы 10-сынып мұғалім-
деріне арналған./ Ә.Н. Шыныбеков, Д.Ә. Шыныбеков. — Алматы: Атамұра,
2019. — 176 б.
ISBN 978-601-331-538-6
Ш 97

3
І. «АЛГЕБРА ЖӘНЕ АНАЛИЗ БАСТАМАЛАРЫ –10»
ОҚУЛЫҒЫНЫҢ ҚҰРЫЛЫМЫ»
«Алгебра және анализ бастамалары – 10» оқулығы авторлардың 7, 8 және
9-сыныптарға арналған «Алгебра – 7, 8, 9» оқулықтарының жүйелі жалғасы ретін-
де қарастырылуы қажет. Бұл оқулық ҚР БҒМ бекіткен жаңа оқу бағдарламасы
бойынша жазылған және орта мектептердегі математиканы оқытудың мемлекет-
тік стандартына толық сәйкес келеді. Бұл оқулықтардың құрылымдары да ортақ
әдістемелік жүйеге, саралап және дамыта оқыту тәсіліне негізделген. Мәселен,
тақырыптар шағын модульдік технологияны қолдануға бейімделген. Біздің ойы-
мызша, апталық сағат жүктемесінің қысқаруына байланысты сабақты шағын
модульдік технология бойынша ұйымдастырған тиімді. «Алгебра және анализ
бастамалары» оқулығында да тапсырмалар А, В және С топтарына бөлінген. А
және В топтарындағы есептер жеңіл және орта деңгейде болса, С тобына қиындық
деңгейі жоғары есептер жинақталған. Ал өтілетін тақырыпқа арналған есептерден
соң қайталауға арналған жаттығулар келтірілген. Оқулықтағы С тобының есеп-
терін оқушыларды саралап дамыта оқыту үшін қолдануға болады. Тақырыптың
соңында келтірілетін қайталауға арналған жаттығулардың бір бөлігін сыныпта, ал
қалғандарын үй жұмысы ретінде орындап отыруды дағдыға айналдырған дұрыс.
Бұл оқушыларға келесі тақырыптарды өту үшін қажет және өткен материалдарды
естеріне түсіріп, оны пысықтап отыруына көмектеседі.
Оқулықта қосымша материалдар (*) белгісімен ерекшеленген. Тақырыптардың
бұлай орналасуының бірнеше ұтымды жағы бар:
– сыныптарда оқу процесін тиімді ұйымдастыруға;
– қабілетті оқушылардың бұл материалдарды өз беттерінше меңгеруге;
– факультативтік сабақтар өткізуге, оқушыларды математикалық олимпиада-
ларға дайындауға қолайлы.
Жалпы алғанда, бұл оқулық төмендегі принциптерді басшылыққа ала оты-
рып жасалған:
– Қазақстан Республикасы Жалпы білім берудің мемлекеттік стандарттары-
на сәйкес келетін білім берудің кепілді минимумының сақталуы;
– оқулық мәтінінде, тапсырмалар жүйесінде және жалпы оқу-әдістемелік
кешенінде оқытуды саралап және әрбір оқушының қабілетіне қарай жеке дара-
ландырып дамыта оқыту принципіне бағдарлылығы;

4
– оқу материалын жүйелі орнықтыру, оның рационалдылығы және логи-
калық оңтайлылығы;
– материалдардың салаластығы мен сабақтастық принципі;
– оқу-әдістемелік кешеннің барлық компоненттерінде оқу материалдарының
ең ақпаратты, басты және маңызды бөліктері айқындап көрсетілуі;
– оқу материалы мазмұнын баяндау формасын таңдап алудың оңтайлылығы
және оның жалпы дидактикалық талаптарға сәйкестігі, сабақтастығы,
ғылымилығы, түсініктілігі, көрнекілігі және т.с.с;
– оқушының жеке шығармашылық қабілеттерін дамыта оқыту принципі;
– универсалдылық принципі (жалпы білім беретін мектептер мен математи-
каны тереңдетіп оқытатын сыныптарда қатар пайдалануға болатыны). Ауылдық
және шағын жинақталған мектептерге қолайлылығы;
– сабақты модульдік технологияны қолданып ұйымдастыруға бейімділігі.

5
Ортамерзімді жоспарлау үлгісі.
Алгебра және анализ бастамалары. 10-сынып.
№
сабақ
ТақырыбыОқыту мақсаты
Сағат
саны
Күні
1-тоқсан
1–4
0-бөлім. 7–9-сы -
нып
материалдарын
қайталау
Өткен материалдарды қайталау; оқушылардың білімі, білік
және дағдыларын қалпына келтіру; жаңа тақырыптарды
меңгеруге дайындық жасау.
4
І бөлім. Функция, оның қасиеттері және графигі. 1.1. Функция ұғымы және оның берілу тәсілдері. 1.2.
Функцияның кейбір қасиеттері. 1.3. Функцияны зерттеудің қарапайым жоспары. 1.4. Функцияның гра -
фигін түрлендіру. 1.5. Күрделі және кері функция.
5–7Функция ұғымы
және оның берілу
тәсілдері
10.4.1.1. Функцияның анықтамасын және берілу тәсілдерін
білу;
10.4.1.2. Функцияның графигін түрлендіру.
3
8–13Функцияның кей -
бір қасиеттері
10.4.1.3, 10.4.1.4. Функцияның берілген графигі бойынша
оның қасиеттерін білу:
1) функцияның анықталу облысын;
2) функцияның мәндер жиыны;
3) функцияның нөлдерін;
4) функцияның периодтылығын;
5) функцияның бірсарындылық аралықтары;
6) функцияның таңбатұрақтылық аралықтары;
7) функцияның ең үлкен және ең кіші мәндері;
8) функцияның жұптылығы, тақтылығы;
9) функцияның шенелгендігі;
10) функцияның үзіліссіздігі;
11) функцияның экстремумдарын сипаттай алу;
12) функцияны зерттеудің қарапайым жоспарын қолдана алу.
6
14–17Функцияның гра -
фигін түрлендіру
10.4.1.3. Функцияның қасиеттерін анықтай алу;
10.4.1.4. Функцияның графигіне түрлендірулер орындай алу
(параллель көшіру, сығу және созу)
10.4.1.5. Бөлшек-сызықты функцияның графигін тұрғыза білу.
4

6
18–21Күрделі және кері
функция
10.4.1.6. Кері функцияның анықтамасын білу және берілген
функцияға кері функцияны табу, өзара кері функциялар гра-
фиктерінің орналасу қасиетін білу;
10.4.7. f(g(x)) күрделі функциясын ажырата білу және функ -
циялар композициясын құру.
4
ІІ бөлім. Тригонометриялық функциялар. 2.1. Тригонометриялық функциялардың негізгі қасиеттері.
2.2. Кейбір тригонометриялық функциялардың графиктерін салу мысалдары. 2.3. Кері тригонометриялық
функциялар.
22–25Тригонометрия-
лық функциялар-
дың негізгі қасиет-
тері, графигі
10.2.3.1. Тригонометриялық функциялардың анықтамаларын,
қасиеттерін білу және олардың графиктерін сала білу;
10.2.3.2. Тригонометриялық функциялардың графиктерін
түрлендірулер көмегімен сала білу.
4
26–302.3. Кері
тригонометриялық
функциялар
10.2.3.3. Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс
анықтамаларын білу және олардың мәндерін таба білу;
10.2.3.4. Құрамында кері тригонометриялық функциялары бар
өрнектердің мәнін табу;
10.2.3.5. Кері тригонометриялық функциялардың анық-
тамалары мен қасиеттерін білу;
10.2.3.6. Кері тригонометриялық функциялары бар өрнектерді
түрлендірулер орындау.
5
31ТЖБ1
32Есептер шығару1
2- тоқсан
ІІІ бөлім. Тригонометриялық функциялар. 3.1. Тригонометриялық теңдеулер. 3.2. Тригонометриялық
теңдеулер жүйесін шешу. 3.3. Кері тригонометриялық теңдеулер. 3.4. Тригонометриялық теңсіздіктер.
33–41Тригонометрия-
лық теңдеулер
10.2.3.8. Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шеше алу;
10.2.3.9. Тригонометриялық теңдеулерді шешу тәсілдерін
біледі: көбейткіштерге жіктеу арқылы шеше алу;
10.2.3.10. Квадрат теңдеулерге келтіріп шешу;
10.2.3.14. Қосымша бұрыш тәсілі;
10.2.3.15. Белгісізді алмастыру тәсілі;
10.2.3.12. Біртекті теңдеулерді шешу;
10.2.3.13. Тригонометриялық теңдеулер жүйесін шешу тәсіл-
дерін біледі;
10.2.3.16. Кері тригонометриялық функциялары бар қара-
пайым теңдеулерді шеше алу.
9

7
42–45Тригонометрия-
лық теңсіздіктер
10.2.3.17. Қарапайым тригонометриялық теңсіздіктерді шеше
алу;
10.2.3.18. Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу тәсілдерін біледі.
4
IV бөлім. Ықтималдық. 4.1. Комбинаторика элементтері. Ньютон биномы. 4.2. Оқиғалар алгебрасы және
ықтималдықтың классикалық анықтамасы. 4.3. Оқиғаның толық ықтималдығы. Байес формуласы. 4.4.
Бернулли формуласы және оның салдарлары.
46–49Комбинаторика
элементтері.
Ньютон биномы.
10.3.1.1. Қайталанбайтын және қайталанбалы «алмастыру -
лар», «орналастырулар», «терулер» ұғымдарын ажырата білу;
10.3.1.2. Қайталанбайтын алмастырулар, орналастырулар
және терулерді есептеу үшін формулаларды қолдану;
10.3.1.3, 10.3.1.4. Қайталанбалы алмастырулар, орналастыру -
лар және терулерді есептеу үшін формулаларды қолдану;
10.3.1.5. Есептеу үшін Ньютон биномын (натурал көрсеткішпен)
қолдану.
4
50–55Оқиғалар алгебра-
сы және ықтимал-
дықтың классика-
лық анықтамасы
10.3.2.1. Кездейсоқ оқиға ұғымын, кездейсоқ оқиға түрлерін
білу және оларға мысалдар келтіру;
10.3.2.2. Ықтималдықтардың қасиеттерін қолданып, кездей-
соқ оқиғалардың ықтималдығын есептеу;
10.3.2.3. Ықтималдықтарды қосу ережелерін түсіну және
қолдану:
*Р(А + В) = Р(А) + Р(В)
*Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А · В);
10.3.2.4. Ықтималдықтарды көбейту ережелерін түсіну және
қолдану
*Р(А · В) = Р(А) · Р(В)
*Р(А · В) = Р(А) · Р
А
(В) = Р(В)Р
В
(А).
6
56–59Оқиғаның толық
ықтималдығы.
Байес формуласы
10.3.2.5. Толық ықтималдық формуласын білу және оны есеп -
тер шығарғанда қолдану;
10.3.2.6. Байес формуласын білу және оны есептер шығарғанда
қолдану.
4

8
60–62Бернулли форму-
ласы және оның
салдарлары
10.3.2.7. Бернулли схемасын қолдану шартын және Бернулли
формуласын білу;
10.3.2.8. Бернулли формуласының салдарларын есептер
шығарғанда қолдану;
10.4.2.3. Түрлі құбылыстар мен процестердің ықтималды мо -
дельдерін құра білу.
3
63ТЖБ1
64Есептер шығару1
3-тоқсан
V бөлім. Көпмүшелер. 5.1. Көп айнымалы көпмүшелер. 5.2. Бір айнымалысы бар көпмүшенің жалпы
түрі және оның түбірлерін анықтау. 5.3. Көпмүшенің түбірлері. Безу теоремасы. Горнер схемасы. 5.4.
Жоғары дәрежелі теңдеулерді шеше білу.
65–68Көп айнымалы
көпмүшелер
10.2.1.1. Бірнеше айнымалысы бар көпмүшенің анықтамасын
білу және оны стандарт түрге келтіру, стандарт түрдегі
көпмүшенің дәрежесін анықтау;
10.2.1.2. Симметриялы және біртекті көпмүшелерді танып білу
4
69–73Бір айнымалысы
бар көпмүшенің
жалпы түрі
10.2.1.3. Бір айнымалысы бар көпмүшелерді ажырату және
оны стандарт түрге келтіре алу;
10.2.1.4. Бір айнымалысы бар көпмүшенің бас коэффициентін,
дәрежесін және бос мүшесін табу;
10.2.1.5. Көбейткіштерге жіктеу әдісі арқылы бір айнымалысы
бар көпмүшенің түбірлерін табу;
10.2.1.6. Көпмүшелерді көбейткіштерге жіктеу үшін x
n
– a
n
,
x
2n+1
+ a
2n+1
, n ∈ N формулаларын қолдану;
10.2.1.7. Бүтін коэффициентті көпмүшелердің бүтін түбірлерін
анықтай білу; көпмүшені көпмүшеге «бұрыштап» бөлуді орын -
дау.
5
74–77Көпмүше
түбірлері. Безу
теоремасы.
Горнер схемасы
10.2.1.8. Безу теоремасы және оның салдарларын есеп шығаруда
қолдану;
10.2.1.9. Симметриялы және біртекті көпмүшелер түбірлерін
табудың түрлі тәсілдерін қолдану;
10.2.1.10. Көпмүше түбірлерін табу үшін Горнер схемасын
қолдану;
10.2.1.13. Анықталмаған коэффициенттер әдісін білу және оны
көпмүшені көбейткіштерге жіктеуде қолдану.
4

9
78–81Жоғары дәрежелі
теңдеулерді шешу
10.2.1.11. Бір айнымалысы бар бүтін коэффициентті көп-
мүшенің рационал түбірі туралы теореманы оның түбірлерін
табуда қолдану;
10.2.2.1. Жалпыланған Виет теоремасын білу және оны үшінші
ретті көпмүшелерге қолдану;
10.2.2.2. Жоғары дәрежелі теңдеулерді шешуде көбейткіштерге
жіктеу әдісін қолдану;
10.2.1.12. Жоғары дәрежелі теңдеулерді шешуде жаңа айныма -
лы енгізу әдісін қолдану.
4
VI бөлім. Шек және үздіксіздік. 6.1. Функцияның нүктедегі шегі. 6.2. Сан тізбегінің шегі.
6.3. Функцияның үздіксіздігі.
82–86Функцияның
нүктедегі шегі
10.4.1.8. Функцияның нүктедегі шегінің анықтамасын білу
және оны есептеу;
10.4.1.9. Функцияның шексіздіктегі шегінің анықтамасын
білу және оны есептеу;
10.4.1.10. Функция графигіне жүргізілген асимптотаның
анықтамасын білу және асимптоталардың теңдеулерін құра
білу;
10.4.1.15. Бірінші тамаша шекті қолданып шектерді есептеу;
10.4.1.14. Шектерді есептеуде
0
0
,


және ∞ – ∞ түріндегі анықтал-
мағандықтарды ашу әдістерін қолдану.
5
87–89Сан тізбегінің
шегі
10.4.1.11. Функцияның шексіздіктегі шегінің қасиеттерін
қолданып сан тізбектерінің шектерін табу.
3
90–92Функцияның
үздіксіздігі
10.4.1.12. Функцияның нүктедегі үзіліссіздігінің және
функцияның жиындағы үзіліссіздігінің анықтамаларын білу;
10.4.1.13. Үзіліссіз функциялардың қасиеттерін біледі және
оларды функцияның үзіліссіздігін дәлелдеуде қолдану.
3
VII бөлім. Туынды және оның қолданылуы. 7.1. Функцияның туындысы және дифференциалы. 7.2.
Функцияны дифференциалдау ережелері. 7.3. Күрделі және кері функциялардың туындысы. 7.4. Туын -
дыны функцияны зерттеуде қолдану. 7.5. Функцияны зерттеп, оның графигін салудың толық жоспары.

10
93–95Функцияның
туындысы және
дифференциалы
10.4.1.16. Функция мен аргументінің өсімшесі;
10.4.1.17. Функция туындысының анықтамасын білу және
анықтама бойынша функцияның туындысын табу;
10.4.1.18. Туынды мен дифференциалдың геометриялық мағы-
насын білу.
3
96–98Функцияны
дифференциалдау
ережелері
10.4.1.21. Дифференциалдаудың ережелерін білу және қолдану;
10.4.1.20. Тұрақты функцияның және дәрежелік функцияның
туындыларын табу;
10.4.1.23. Тригонометриялық функциялардың туындыларын
табу.
3
99–102Күрделі және кері
функциялардың
туындысы
10.4.1.22. Күрделі функцияның туындысын табу;
10.4.1.24.  Кері функциялардың туындысын табу ережесін қол-
данып кері тригонометриялық функциялардың туындыларын
табу;
10.4.1.25.   Берілген нүктеде функцияның графигіне жүргізілген
жанама теңдеуін құру.
4
103ТЖБ1
104Есептер шығару1
IV тоқсан
105–
111
Туындыны функ -
цияны зерттеуге
қолдану
10.4.1.26. Функцияның аралықта өсуінің (кемуінің) қажетті
және жеткілікті шартын білу;
10.4.1.27. Функцияның өсу (кему) аралықтарын табу;
10.4.1.28. Функцияның кризистік нүктелерінің және экстре -
мум нүктелерінің анықтамаларын, функция экстремумының
бар болу шартын білу;
10.4.1.29. Функцияның кризистік нүктелері мен экстремум
нүктелерін табу;
10.4.1.30. Функцияның екінші ретті туындысын табу;
10.4.1.31. Функция графигінің иілу нүктесінің анықтамасын
және функция графигінің аралықтағы дөңестігінің (ойысты-
ғының) қажетті және жеткілікті шартын білу;
10.4.1.32. Функция графигінің дөңес (ойыс) аралықтарын таба
білу.
7

11
112–
117
Функцияны
зерттеп, графигін
салудың толық
жоспары
10.4.1.33. Туындының көмегімен функцияның қасиеттерін
зерттеу және оның графигін салу;
10.4.1.34. Функцияның ең үлкен (ең кіші) мәндерін табуға
байланысты қолданбалы есептер шығару.
6
VIII бөлім. Кездейсоқ шамалар. 8.1. Кездейсоқ шамалар (КШ) және олардың санды сипаттамалары.
8.2. Дискретті КШ кейбір түрлері.
118–
122
Кездейсоқ шама -
лар (КШ) және
олардың сандық
сипаттамалары
10.3.2.9. КШ ұғымын білу және оған мысал келтіру;
10.3.2.10. Дискретті және үздіксіз КШ ұғымын білу және мы -
сал келтіру;
10.3.2.11. Дискретті КШ үлестірімділік кестесін (заңын) құра
білу;
10.3.2.12. Дискретті КШ математикалық үмітін анықтай білу;
10.3.2.13. Дискретті КШ дисперсиясын және стандартты ауыт-
қуын (орташа квадраттық ауытқуын) анықтай білу.
5
123–127Дискретті КШ
кейбір түрлері
10.3.2.16. Кейбір дискретті КШ түрлерін ажырата білу; бином-
дық үлестірім; геометриялық үлестірілім; гипергеометриялық
үлестірім;
10.3.2.17. Үлкен сандар заңын білу.
5
128–13410-сыныптағы математика курсын қайталау7
135ТЖБ1
136Есептер шығару1

12
ӘДІСТЕМЕЛІК НҰСҚАУЛАР
7–9-сынып материалдарын қайталау
Ұсынылатын сағат саны 4
Осыған дейін меңгерілген білім: 7–9-сыныпта алгебра курсында өтілген материалдар
Мәнмәтін. Оқушылар 7–9-сыныпта өтілген материалдарды қайталау арқылы білімдерін, біліктерін және
дағдыларын қалпына келтіріп, жаңадан өтілген материалдарды нәтижелі қабылдауға мейлінше дайын
болады.
Пәндік мақсатТілдік мақсат
Пәнге қатысты лексика
мен терминология
Диалогке (жазуға)
қажетті сөзтіркестері
Оқушылар 9-сыныпта
өткен материалдарды
қайталайды.
Оқушылар:
барлық өтілген анық-
тамалар мен қасиеттерді тұжырымдайды, түсінді- реді және оларды қолда- ну жолдарын сипаттай - ды;
функция графигін тұр-
ғызу жолын түсіндіреді және сипаттайды;
формулаларды қолда-
ну жолын негіздеп тү- сіндіреді.
7–9-сыныптарда өтілген терминдер, лексика мен терминологияларды ес - теріне түсіріп, қолданыс аясын кеңейтеді.
7–9-сыныпта өтілген және қалыптасқан сөз- тіркестерін естеріне түсіреді.
Қысқаша шолу. Оқушылар 7–9-сыныпта өтілгендерді қайталайды, естеріне түсіреді және есептер шығарады, сол арқылы келесі жаңа материалдарды меңгеруге дайын болады.

13
7–9-сынып материалдарын қайталау
Мақсаты. Оқушылардың 7-9 сыныптарда өткендерін еске түсіріп, оларды
пысықтап, жаңа материалдарды меңгеруге дайындық жұмыстарын жүргізу,
оқушылардың оқу жылы басындағы біліктілігі мен бейлімділігі, қабілетінің
деңгейін анықтап, оларды деңгейлік топтарға іріктеу.
Әдістемелік нұсқаулар. Қайталауға берілген жаттығулар саны жеткілікті
(50 есеп). Әрине, қайталауға бөлінген 2–3 сағат көлемінде бұл есептерді толық
қарастырып шығу мүмкін емес. Сондықтан алғашқы сабақта назарды, негізі-
нен А тобы есептеріне аударып, оларды шешу барысында қажетті ережелерді
еске түсіріп, пысықтап отыру керек және үй тапсырмалары да осы А тобынан
болуы қажет. Келесі сабақта бұл тапсырмаларды саралап, әрбір оқушының
қабілетіне қарай іріктеп тапсыруға болады. Мұнда функцияның қасиеттеріне,
графигіне және тригонометриялық өрнектерді түрлендіруге, бұрыштың
градустық, радиандық өлшемдеріне берілген есептерге басты көңіл бөлінгені
дұрыс. Қайталау сабағының соңында автордың дидактикалық материалдар
жинағында келтірілген 15–20 минутқа арналған 6 нұсқалы тест тапсырмаларын
(ТТ–1) өткізіп, оның нәтижесін мектеп басшылығы алдында негіздеп, сынып-
ты деңгейлік топтарға бөлуді заңдастырып алу қажет. Оқу жылы соңында осы
топтарға іріктеу сапасы көтерілмесе де, төмендемеуі қажет.
Жаттығуларға шолу. Мұнда деңгейлік үш топқа іріктелген 50 есеп
жинақталған. Енді осы есептердің кейбіреулерінің шешу жолдарына тоқталайық.
0.10. 1) sinα  = 
12
11
болатындай α бұрышы табылмайды.
Себебі sinα -ның қасиеті бойынша
| sinα |  1, ал
12
11
 > 1.
3) sin
2
α + cos
2
α = 1 тепе-теңдігі орындалуы қажет.
sin
2
α + cos
2
α = 
1
2
3
2
1
4
3
4
1
2
2






+−






=+ =. Олай болса, sinα = 
1
2
, cosα  = –
3
2

теңдіктерін қанағаттандыратын α бұрышы табылады.
5) tgα  = 100 теңдігін қанағаттандыратын α бұрышы табылады. Себебі
–  < tgα < + теңсіздігі орындалады.
0.18. p
m
n
= формуласын қолдану қажет. Мұнда n — барлық мүмкін жағдайлар
саны, m — қолайлы жағдайлар саны.
1) n = 30, m  = 30 – 6 = 24 ⇒ p  = 
24
30
 = 
4
5
 = 0,8; 2) n = 30, m  = 6 ⇒ p  = 
6
30
 = 
1
5
 = 0,2.
0.19. 2) x
2
 + y
2
 – 9x = x
2
 – 2 · 
9
2
x + 
9
2
2





 + y
2
 – 
9
2
2





 ⇒
⇒ (x – 4,5)
2
 + y
2
 – 
81
4
 = 0 ⇒ (x  – 4,5)
2
 + y
2
 – 
81
4
⇒ (4,5; 0) — центрі, ал R  = 
9
2
 = 4,5.

14
0.20. Берілген функционалдық тәуелділіктерді былай жазса, жеткілікті:
1) y = 3 – | x | = 
30
30
−
+<



xx
xx
,,
,;

егер
егер
2) y = x
2
 – 8x + 1 3 = (x – 4)
2
 – 3;
3) y = 
3
2x−
. Суретте y  = 3 – | x | функциясының
графигі көрсетілген.
0.21. 1) xy
xy
−+ =
+=




⇔
12
3
,
⇔
+=
+=
<
−+ =
+=
⇔
∈+



















x
xy
xy
x
xy
xy
x
1
3
3
1
1
3
1
,
,
,
,
,
;


)[
()




()









∈−
∈−
==
⇔
,
;
;,
;.
x
x
xy
2
1
12

x ∈ [1; +), y  ∈ (–; 2).
Жауабы: x  ∈ [1; +), y ∈ (–; 2).
3)23 19 8
63
69 57 24
84 82 4
22
22
22
22
xx yy
xy
xx yy
xy
−− =
−=




⇒
−− =
−=


,,

⇒
⇒ 6x
2
 – 9xy – 5 7y
2
 = 8x
2
 – 4 8y
2
⇒ 2x
2
 + 9xy + 9y
2
 = 0 .
y ≠ 0 ⇒ 2
x
y






2
 + 9
x
y






2
 + 9 = 0 ,
x
y
 = t ⇒ 2t
2
 + 9t + 9 = 0 ,
t
1
 = –3, t
2
 = –1,5 ⇒
xy
xy
xy
xy
xy
y
=−
−=



=−
−=










⇔
=−
=
3
63
15
63
3
1
22
22
2
,
;
,,
.
,
;


=−−=










⇔
xy
yy
15
2256 3
22
,,
,.
⇔
=±
=



∈∅
∈∅
 








⇔
y
x
y
x
1
3
,
;
,
.

Жауабы: (3; –1), (–3; 1).
0.27. 3)
5
2
π
 < 8 < 3p,
3
2
π
 < 5 < 2p ⇒ 8 ∈ II, 5 ∈ IV ⇒ cos8 < 0, sin5  < 0 ⇒ cos8 · sin5 >  0.
у
–3 3 х
О
3
0.20 – есепке

15
0.30.
3
4
31
4
331
34
10
sinc os
sinc os
∙xx
xx
x
x
+
−
=
+
−
=
+
−
=−
tg
tg
.
Жауабы: –10.
0.31. 3) 1; –2; 3; –4; 5; –6; ... ⇒ а
п
 = (–1)
п–1
 · п. Тізбек төменнен де, жоғарыдан
да шенелмеген, тербелмелі.
0.34. 7-ге еселік натурал сандардың жалпы түрі а
п
 = 7п ⇒ 7п < 150 ⇒ п < 21,4 ⇒
⇒ п = 21. а
1
 = 7 , a
21
 = 7 · 21 = 147.
S = 
7147
2
+
 · 21 = 77 · 21 = 1617.
Жауабы: 1617.
0.35. 3) x  · | y | = 1 ⇔
y
y
x
y
y
x
> =
<
=
−


















0
1
0
1
,
,
.
;
0.36. y  = x
2
 – px + q = 
x
p
−






2
2
+ q – 
p
2
4
⇒
p
2
 = 1,
q – 
p
2
4
 = –2 ⇒ p  = 2, q = –1.
Жауабы: p  = 2, q = –1.
0.37. 1) x  + y = u, xy  = v деп алу керек.
2) | x |  ≠ | y | ⇒
xx yy
xy
x
y
t
22
22
91 40
48
−+ =
−=




⇒= ⇒
,
t
2
 – 9t + 1 4 = 0 ⇒ t
1
 = 2 , t
2
 = 7 ⇒
⇒
=
−=



=
−=










⇔
=±
=±



=
xy
xy
xy
xy
x
y
x
2
48
7
48
8
4
22
22
,
;
,
.
;
;
±±
=±










7
1
;
.y
Жауабы: (–8; –4); (–7; –1); (7; 1); (8; 4).
3)
xy xxyy
xy
xy xy
xy
−() ++( ) =
−=




−() +=
−=




⇒
22 2
8
2
34
2
, ,
⇒
== =−
−= ==



xy xy
xy yx
00 2
20 2
,,
,, .
,
Жауабы: (0; –2), (2; 0).
0.35 – есепке

16
0.38. Берілген жұмыс 12 · 6=72 еңбек күні ішінде аяқталды. Онда 18  · x = 7 2
⇒ x = 4, яғни 18 жұмысшы бұл жұмысты 4 күнде аяқтайды.
0.39. x  ≠ 2, x ≠ 0, x ≠ 2.
30 0
20
2
2
+−
−>




⇒
xx
xx
,
⇒
∈−
[]
∈−() +()




⇒
x
x
56
02
;
;;
,

x∈ [–5; 2)  
 (–2; 0)   (2; 6].
0.40. 1)
xx
xx
x
xx
xx
2
2
1235
23
0
35
57
21 15
0
2
−+
++
−





⇔
−() −()
−() +()
−


,
,
,
x8





x∈ [–2; –1,5)   (1; 5]   [7; 8].

2)
x
x
x
x
xx
x
x
+
−
+
+
−
⇔
−−
− ⇒




 ()()
()

 


7
5
31
2
0
52
31 3
25
0
37




, ,
⇒ x∈  {3}  (5; 7].
0.41. 3) 0   | sinx |  1 ⇒ –5   –5| sinx |  0 ⇒ –3  2 – 5| sinx |   2, –3 — ең кіші мәні,
2 — ең үлкен мәні.
0.42. 1) 1-тәсіл. 2sinx+cosx=3 болуы үшін sinx=1, cosx=1 шарты орындалуы
қажет. Бұл теңдіктер қатар орындалатындай х табылмайды.
2-тәсіл. 21
22
+ = 5 ⇒ 2sinx + cosx = 3 ⇔
2
5
sinx + 
1
5
cosx = 
3
5
⇔ cosφ · sinx +
+ sinφ · cosx = 
3
5
 , мұндағы cosφ  = 
2
5
, sinφ = 
1
5
⇒ sin(x + φ) = 
3
5
> 1. Бұл теңдік-
тің орындалуы мүмкін емес.
0.43. 1) y = {х} –3sinπx. y = {х} функциясының ең кіші оң периоды T
1
=1,
y = sinπx функциясының ең кіші оң периоды T
2
=2. Берілген функцияның ең
кіші оң периоды 1 және 2 сандарының ең кіші ортақ еселігіне тең болуы керек:
T=[2; 1]=2.
Жауабы: T  = 2 .

17
0.45. 2)
sinc os
sinc os
∙
cos
αα
αα
α
αα
αα+
−
=
+
−
=
+
() +( )3
3
3
3
1 31
33 22
2
tg
tg
tg tg
tg g
2
3
10
4
25
α−
== ,.
sinc os
sinc os
∙
cos
αα
αα
α
αα
αα+
−
=
+
−
=
+ () +( )3
3
3
3
131
33 22
2
tg
tgtg tg
tg g
2
3
10
4
25
α−
== ,.
0.46.
12
2
2
1
21
nn nn
nn=>
++
=+ −⇒() ⇒+++ +>1
1
2
1
3
1

n
>− +− ++ +− =() () ()22 12 32 21 nn =()+− =
++
>
+
>>21 1
2
11
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n.

=()+− =
++
>
+
>>21 1
2
11
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n.
0.47. a
n
 = 3n – 2, b
m
 = 4m – 1. 3n – 2  200 ⇒ n  67, a
67
 = 199. 4m – 1  200 ⇒ m  50,
b
50
 = 199. Сонымен, 3n – 2 = 4m – 1, 1  n  67, 1   m  50 болуы қажет, яғни
=
−−





34 1
15 0
16 7
nm
m
n
,
,

жүйесін натурал сандар жиынында шешу қажет. n
0
 = 3 , m
0
 = 2 осы
жүйенің дербес шешімі болғандықтан, 3n – 4m = 1 теңдеуінің барлық бүтін шешім-
дері n = 3 – 4t, m = 2 – 3t, t ∈ Z формуласымен анықталады. 1  m  50 ⇒ 1  2 – 3t  
 50 ⇒ – 16  t  0. Осыдан t-ның әртүрлі 17 мән қабылдайтынын көреміз. Онда
берілген тізбектердің 17 ортақ мүшесі бар.
0.48. 10, 11, 15 өзара жай сандар болғандықтан, бұл сандар бір геометриялық
прогрессияның мүшелері бола алмайды.
0.49.
bac
ba c
baqcaq
aqaaq
2
2
2
43 43
=
=+



⇒
==
=+

 

⇒
, ,,
3q
2
 – 4q + 1 1 = 0 ⇒ q = 
1
3
, q ≠ 1.
0.50. 1) S=
+
=
9
25
1
3
5
9
40
; 2) S=
−
=
−
=+
sin
sin
.
π
π
3
1
3
3
23
233

18
1-бөлім. Функция, оның қасиеттері және графигі
Ұсынылатын сағат саны 17.
Осыған дейін меңгерілген білім: функция және оның графигі ұғымдары және олардың қарапайым
қасиеттері, қоршаған ортадағы кейбір қолданулары.
Мәнмәтін. Оқушылар бұл бөлімде алған білімдерін ғылымның түрлі салаларында қолдана біледі. Мыса -
лы, физикада қозғалыс заңдылықтары, биологияда — биологиялық түрдің өсу заңдылықтары, экономи -
када – үнемділік функциялары, математикада туынды мен интеграл ұғымдарын оқып-үйренуге қажет.
Пәндік мақсатТілдік мақсат
Пәнге қатысты лексика
мен терминология
Диалогке (жазуға)
қажетті сөзтіркестері
1234
Оқушылар келесі оқу
мақсаттарына қол жет -
кізеді:
10.4.1.1;
10.4.1.2;
10.4.1.3;
10.4.1.4;
10.4.1.5;
10.4.1.6;
10.4.1.7.
Оқушылар:
жалпы жағдайдағы
сәйкестіктер мен бір
мәнді сәйкестіктерді
түсіндіреді;
функция анықтамасын
тұжырымдап, оның
мағынасын түсіндіреді;
функцияның берілу
тәсілдерін сипаттайды;
функцияның
қарапайым қасиеттерін
тұжырымдайды,
түсіндіреді;
функцияны зерттеудің
қарапайым жоспарын
сипаттап, оның графигін
салу тәсілін түсіндіреді.
сәйкестіктер; бірмәнді
сәйкестіктер; мәндер об -
лысы; анықталу облысы;
сан функциясы, аргу-
менті, тәуелсіз айныма -
лысы;
аналитикалық тәсіл,
графиктік тәсіл, кес-
телік тәсіл;
таңба тұрақтылығы
аралығы; өсу (кему)
аралықтары; функция
нөлдері; периодтылығы;
тақ-жұптығы;
қарапайым жоспар;
күрделі функция;
кері функция.
Егер ... онда функция-
ны берілді деп санай -
мыз;
сан жиындары арасын -
да орнатылған бірмәнді
сәйкестікті ... деп атай -
ды;
егер х = а мәнінде ...
теңдігі орындалса, онда
х = а санын функция
нөлі деп атайды;
егер ( a; b) аралығындағы
... нүктелері үшін ...
теңсіздігі орындалса,
онда функцияны осы
аралықта өспелі (кемі -
мелі) деп атайды;
минимум және макси -
мум нүктелері бір сөзбен
... деп аталады.
Қысқаша шолу: бөлімде алған білімдерін оқушылар функцияны тереңірек зерттеп, оның графигін салуда
қолданады және функцияның қолданыс аясы кеңейеді.

19
Функция ұғымы және оның берілу тәсілдері
Тақырып бойынша келесі
мақсаттарға қол жеткізіледі
Оқыту ресурстары
10.4.1.1. Функция
анықтамасын және берілу
тәсілдерін білу.
1. Ә. Шыныбеков, Д.Ә. Шыныбеков, Р.Н. Жұмабаев.Алгебра және анализ баста-
малары - 10, жалпы редакциясын басқарған М. Өтелбаев, «Атамұра», Алматы, 2019. 2. Ә. Шыныбеков, Алгебра және анализ бас- тамалары -10, дидактикалық материалдар жинағы, «Атамұра», Алматы, 2019. 3. http://bilimland.kz/ru 4. http://interneturok.ru/ru/shool/ algebra/10-klass/sistemy-racionalnyh- neravenstv/sistemy-iz-lineynyh-i-kvadratnyh- neravenstv 5. http://interneturok.ru/ru/shool/ algebra/10-klass 6. http://www.yaklass.ru/p/algebra/10-klass/ 7. http://www-formula.ru/index.php/2011- 09-2-39-24/2011-09-20-23-58-11 8. //festival.1september.ru/articles/100725/
Функция ұғымы оқушыларға төменгі сыныптардан белгілі болғандықтан,
бұл тақырып бір қарағанда оңай көрінуі мүмкін. Десек те, бұл толыққанды
меңгеріп, ұғынуға аса күрделі ұғымдардың бірі. Ал тақырыпты оқулықта
көрсетілген түрде баяндау облыстық, республикалық және халықаралық олим-
пиадаларда берілген функцияларды f : R → R, g : N → Z және т.с.с. түрде жазылып
берулері негізгі түрткі болды. Мұндай жазуларды алғаш көрген бала абыржып,
берілген есепті шешу жолдарын таппай, оны «жылы жауып» қоятынына талай
куә болдық. Өз кезегінде функцияның осындай формада жазылуы халықаралық
деңгейде қалыптасқан ортақ жазу үлгілері.
Ескерту: бұл тақырыпта оқушылардың функцияны әртүрлі формада жаза
білуі қабілетінің қалыптасуына көңіл бөлу қажет.
Сондықтан Қазақстандық оқушылар да халықаралық деңгейде мойындалған
математикалық тілді меңгерулері қажет деп есептейміз. Бұл ұғымды жете
меңгерту үшін сабақтың кіріспе бөлігінде функция ұғымының дамуы тарихы-
нан мәліметтер келтіре отырып, тарихи пікірталастар арқылы сынып алдында
«Функция деген не? Оны қалай түсіну қажет?» деген сұрақтармен проблемалық
жағдай туындатқан жөн. Проблемалық жағдай оқушылардың ойында «шы-
нында да, функция деген не? Бұл еркін сызылған қисық па, әлде формуламен
берілген екі айнымалы арасындағы тәуелділік пе?» деген сұрақ туындайтын-
дай деңгейде қойылғаны өте тиімді. Енді туындаған сұраққа жауап іздестіруді
оқушыларға белгілі қарапайым функцияларды мысалға ала отырып іздестірген
дұрыс. Мысалы, y=x
2
–4 параболасын қарастырыңыздар.

20
Квадраттық функция
y = x
2
 – 4, x ∈ R,
f(x) = x
2
 – 4, x ∈ R.
(х; у) сандар жұбы
у = х
2
 – 4, x ∈ R заңдылығы-
мен алынған. Оны былай
да жазуға болады:
(х; х
2
 – 4), x ∈ R.
Жазылу формулалары:
х
f
х
2
 – 4, x ∈ R;
f : х х
2
 – 4, x ∈ R;
f : R R, f(x) = x
2
 – 4, x ∈ R;
f : х y, y = x
2
 – 4, x ∈ R.
у = х
2
 – 4, x ∈ Z,
f(x) = x
2
 – 4, x ∈ Z.
(x; у), у  = х
2
 – 4, x ∈ Z,
(х; х
2
 – 4), x ∈ Z.
х
f
х
2
 – 4, x ∈ Z;
f : х х
2
 – 4, x ∈ Z;
f : R Z, f(x) = x
2
 – 4, x ∈ Z;
f : х y, y = x
2
 – 4, x ∈ Z.

Осындай дайындық жұмыстарын жүргізгеннен кейін оқушылар кез келген
жиындар арасында орнатылған сәйкестіктерді, бірмәнді сәйкестіктерді (бейне-
леулерді), функционалдық сәйкестіктерді және олардың қасиеттерін ұғынуға
дайын болады. Ендігі жерде тақырыпты оқулықтағы 1.1–1.4-суреттерді қолда-
нып түсіндіре беруге болады. Сонымен, тақырыпты түсіндіру барысында оқушы-
лар функцияның қай уақытта берілді деп есептелетіні жөнінде нақты көзқарас
қалыптастырулары қажет.
Функция берілген болып есептелуі үшін оның анықталу облысы мен әсер ету
заңдылығы берілуі қажетті және жеткілікті екенін айқын сезінулері керек. Ол
үшін мынадай көрнекілікті қолданса болады:
y = f(x)
функциясы берілді
деп есептелінеді.
1) D(f) анықталу
облысы берілсе.
2) f заңдылығы (фор-
муласы) берілсе.
⇔
Мысалы, жоғарыда қарастырылған мысалда f заңдылығы (х
2
–4) ортақ болғанымен,
олардың анықталу облыстары әртүрлі. Сондықтан мұндағы функциялар да әртүрлі.

21
Егер жалпы білім беретін мектептердегі сынып деңгейі оқулықтағы §1.2-ты
қабылдап меңгеруге дайын болмайтыны белгілі болса, онда бұл пунктті
қарастырмай, функцияның анықтамасын 9-сыныпта келтірілген күйінде еске
түсіріп, оқушылармен бірге функцияның анықталу облысын, мәндер облысын,
оның кейбір нүктелердегі мәндерін анықтауға арналған есептер қарастырып,
осы сұрақтарды жете пысықтаумен шектелсе де жеткілікті.
Жаттығуларға шолу.
1.11. D(f) жиыны x  ≠ –1, x  ≠ 1 теңсіздіктерімен анықталады:
1) D(f) = ( –; 1)(–1; 1)(1; + );
2) x  1, x ≠ –1 ⇒ D(g)  = [1; +].
1.18. f(x) = x
2
 – 4x + 3 параболасына тиісті нүктелерді алу қажет.
1.26. 2)
hx
xx x
()=−






=






11 1
— санның бөлшек бөлігі ⇒
⇒=
−
+
∈
++
() −−
+
∈
−
hx
x
x
x
n
n
x
n
nN
x
n
n
x
n
nN
()
,
,,
,,
1
11
1
1
1
1
11
1
>1,
<,
<,


11
x
x,< 1.−











егер
егер
егер
егер
Жалпы, бұл тақырыпты, сыныптың деңгейіне байланысты, §1.1-пен
қосып, бір блокпен оқытуға болады. Өйткені мұндағы тақырып оқушыларға
төменгі сыныптардан таныс. Тек мұнда оқушылармен бірге f(x) = x−1,
x∈ [1; +) және g(x) = x−1, x∈ (7; 12] сияқты функциялардың әртүрлі функция-
лар екенін үнемі пысықтап отыру қажет. Өзге материалдарды оқулықта
көрсетілгендей етіп түсіндірсе, жеткілікті.
Жаттығуларға шолу. А тобында айтарлықтай қиындық туындататындай
есептер жоқ.

22
1.8. x–10 1 2 3 4 5 6
у125 0–3–4–30 5
1.9. 4)
fx
gx
x
x
x
x
()
()
,
=
+
−
⇒
+
−≠



⇒
3
2
30
20

x∈ [–3;  2)(2;   +).
1.10. 1) D(f  + g) = [2; + ); 2) D(f  – g) = [2; + ).
1.13. 3) f(x)  = 
1
3+x
⇒ D(f)  = (–; +).
1.14. 1) Суретті қараңыз.
2) x–3–2–10 1 2 3
у245 0–68 6 0


1.16. 3) h(x)  = 
2
1x−
, D(h)  = [–2; 1)(1; 3].
3х
у
21
5
0–1–2
–2
–4
–6
–8
–3
1.14,1 – есепке 1.16 – есепке

23
1.22. 1) yx=−1
1.23. f(x) = 
x
x
−
−
1
1
.
1.24. 1) D(f  · g) = (–; 4], 2) D
f
g






 = ( –; 4],
3) D
f
g




 
 = −−






−






;;
1
2
1
2
4.
4) f(x) · g (x) және h(x) функцияларының айырмашылығы анықталу об-
лыстарында.
5)
fx
gx
x
x
x
x
()
()
,
=
+
−
⇒
+
−≠



⇒
3
2
30
20

және φ(x) функцияларының айырмашылығы анықталу облыста-
рында.
1.25. 1) y  = –| x | + 1, x ∈ Z, | x |   1;
   2) y = 1
2
−x, x ∈ Z, | x |   1;
   2) y = 1 – x
2
, x ∈ Z, | x |   1 және т.с.с.
1.27. 2) –1   – sinα  1 ⇒ 3 – 1  3 – sinα  3 + 1 ⇒ 2  3 – sinα  4. 2 — ең кіші
мәні, 4 — ең үлкен мәні.
1.28. 1-тәсіл:
y
xy
=−
+=



212
36
22
,
⇒ x
2
 + x
2
 – 2 4x + 144 =36⇒x
2
 – 1 2x + 54 = 0.
D = 36 – 54 = –18 < 0 — жүйенің шешімі жоқ. Түзу мен шеңбер қиылыспайды.
2-тәсіл. Математиканы тереңдетіп оқытатын сыныптарда нүктеден түзуге
дейінгі қашықтық формуласын қолдануға болады. х
2
+y
2
=36 шеңберінің цент-
рі О(0; 0) нүктесі, радиусы R=6. О(0; 0) нүктесінен x–y–12=0 түзуіне дейінгі
қашықтық 6-дан артық болса, берілген түзу мен шеңбер қиылыспайды.
d=
−−
+
== >
00 12
11
12
2
62 6.
1.22 – есепке

24
Функцияның кейбір қасиеттері.
Функцияны зерттеудің қарапайым жоспары
Тақырып бойынша келесі
мақсаттарға қол жеткізіледі
Оқыту ресурстары
10.4.1.3. Функцияның
қасиеттерін анықтай алу;
10.4.1.4. Функцияның берілген
графигі бойынша оның
қасиеттерін:
1) функцияның анықталу облысы;
2) функцияның мәндер жиыны;
3) функцияның нөлдері;
4) функцияның периодтылығы;
5) функцияның бірсарындылық
аралықтары;
6) функцияның
таңбатұрақтылық аралықтары;
7) функцияның ең үлкен және
ең кіші мәндері;
8) функцияның жұптылығы,
тақтылығы;
9) функцияның шектелгендігі;
10) функцияның үзіліссіздігі;
11) функцияның экстремумда-
рын сипаттай алу.
1. Ә. Шыныбеков, Д.Ә. Шыныбеков, Р.Н. Жұмабаев. Алгебра және анализ бастамала-
ры- 10, жалпы редакциясын басқарған
М. Өтелбаев, «Атамұра», Алматы, 2019. 2. Ә. Шыныбеков, Алгебра және анализ
бастамалары-10, дидактикалық материал- дар жинағы, «Атамұра», Алматы, 2019. 3. http://bilimland.kz/ru 4. http://interneturok.ru/ru/shool/algebra /10-klass/sistemy-racionalnyh-neravenstv/ sistemy-iz-lineynyh-i-kvadratnyh-neravenstv 5. http://interneturok.ru/ru/shool/algebra /10-klass 6. http://www.yaklass.ru/p/algebra/10-klass/ 7. http://www-formula.ru/index.php/2011- 09-2-39-24/2011-09-20-23-58-11 8. //festival.1september.ru/articles/100725/
Тақырып құрамында мынадай материалдар бар: 3.1. Функцияның нөлдері
және оның үздіксіздігі ұғымы. 3.2. Функция таңбасының тұрақтылық аралық-
тары. 3.3. Функцияның өсу және кему аралықтары. Функцияның экстремум-
дары. 3.4. Жұп және тақ функциялар. Осыдан оқушылар кез келген функция-
ны қарапайым деңгейде зерттеуі мен оның графигін салу дағдыларын қалып-
тастырады.
Функцияның нөлдерін анықтау барысында оқушылар бұл процестің тең-
деудің түбірлерін табуға әкелетінін көріп, өздерінің теңдеулерді шешу дағды-
ларын шыңдай түседі. Осы сияқты оқушылар функцияның анықталу облысын
анықтау барысында оның «үзіліс» нүктелері болатынын және оларды анық-
тай білу бейімділіктерін қалыптастыра отырып, олар функцияның үздіксіздігі
ұғымына өз көзқарастарын үзіліс нүктелері жоқ функциялар ретінде қалып-
тастыра бастайды. Әрине, 8-сыныпта оқушылардың жас ерекшеліктеріне байла-
нысты функцияның үздіксіздігі ұғымын дәстүрлі «ε  – δ» тілінде баяндауға бол-
майды. Өйткені мұның әдістемелік тұрғыдан екі себебі бар:
Оқушылардың жас ерекшеліктері;
Үздіксіздіктің «ε  – δ» түріндегі формасы міндетті түрде «шек» ұғымына
келіп тіреледі, ал оқушылар бұл ұғыммен таныс емес.

25
Фунцияның таңба тұрақтылық аралықтарын оқып-үйрену барысында
оқушылар f(x) > 0, (f(x)  > 0) теңсіздіктерін шешуге машықтанады. Мұнда да
біздер кейбір «заңсыздыққа» орын алдырып отырмыз. Теңсіздіктерді шешуді
оқушылар келесі тарауда оқып-үйренеді. Десек те, бұл тақырып математика-
ны тереңдетіп оқытатын сыныптар мен қабілетті оқушыларға арналғандықтан,
олардың 6-сыныпта алған санды теңсіздіктердің қасиеттері мен сызықтық
теңсіздіктерді шеше білуі бейімділіктері деңгейінде кейбір қарапайым теңсіздік-
терді шеше алатынына сенімдіміз.
Осы айтылғандар функцияның өсу және кему аралықтарын анықтауға да
тікелей қатысты. Сонымен қатар функцияның экстремумдары оның өспелі және
кемімелі аралықтарының «шегаралық» нүктесі ретінде анықталып отыр. Әрине,
мұнда функция қарастырылатын аралықта үздіксіз болуы қажет.
Функцияның тақ-жұптығын анықтау барысында оқушылар мұндай функ-
циялар графиктерінің симметриялық қасиеттері барын аңғарып, оны іс жүзінде
қолдана білу дағдыларын қалыптастырады.
Жаттығуларға шолу.
1.29. 7) ММЖ: 2 х
2
 + 5х + 3 ≠ 0 ⇒ х ≠ –1, х  ≠ –
3
2
;
g(x) = 0 ⇔ x + 1 = 0 ⇒ x = –1, бірақ –1∉ ММЖ ⇒ Функцияның нөлі жоқ.
8) f(x) = 
xx
x
2
56
1
+−
−
; ММЖ: х  ≠ 1, х
2
 + 5х – 6 = 0 ⇒ х
1
 = 1 ; х
2
 = – 6 .
Жауабы: –6.
1.30. 7) у = 
xx
xx
22
44
32
++
++
; х
2
 + 3х + 2 ≠ 0 ⇒ х
1
 = –1; х
2
 = –2 — үзіліс нүктелері.
1.31. 4) кез келген х үшін u(x) = | x – 2 |  0. Егер x = 2 ⇒ u(2) = 0. u(x) функция-
сын (–; 2) және (2; +) аралықтарында жеке-жеке қарастыру керек:
а) x∈(–; 2) ⇒ x
1
 < x
2
 < 2 ⇒ u(x
1
) = | x
1
 – 2 |  = 2 – x
1
 > 2 – x
2
 = | x
2
 – 2 | = u(x
2
) ⇒ u(x)
функциясы (– ; 2) аралығында кемімелі.
ә) x∈(2; + ) ⇒ 2  < x
1
 < x
2
⇒ u(x
1
) = | x
1
 – 2 | = x
1
 – 2 < x
2
 – 2 = | x
2
 – 2 | = u(x
2
) ⇒ өспелі.
1.32. 5) r(x) = x
2
 – 4x + 5 = (x – 2 )
2
 + 1  1 ⇒ r(2)  = 1.
a) x∈ ( –; 2) ⇒ x
1
 < x
2
 < 2 ⇒ r(x
1
) = (x
1
 – 2 )
2
 + 1 > (x
2
 – 2 )
2
 + 1 = r(x
2
) — кему аралығы.
б) x∈  (2; +) ⇒ 2  < x
1
 < x
2
⇒ r(x
1
) = (x
1
– 2)
2
+ 1 < (x
2
– 2)
2
+ 1 = r(x
2
) — өсу аралығы.
1.34. 4) y = (x – 1)(x – 3) ⇒ y = x
2
– 4x + 3 = (x – 2)
2
–1 –1⇒ y(2) = – 1 ⇒ x = 2 — min
нүктесі.
1.35. y  = x
2
 – 8x + 15 = (x – 4)
2
–1.
4) y(2)  = 3; y(5)  = 0, y(4)  = – 1 ⇒ 3 — ең үлкен мәні; –1—ең кіші мәні.

26
1.37. 6)
6
0
6
0
60
0
60
0
6
0
−
>⇒
−
<⇔
−>
<



−<
>










⇒
>
<



x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
,
;
,
.
,
⇒⇒ x∈ ( +; 0)(6; +)
аралығында функция теріс мән қабылдайды. x∈ (0; 6) аралығында функция оң
мән қабылдайды.
1.38. 2) у = – 
4
x
 , x∈(0; +). 0 < x
1
< x
2
⇒ у(x
1
) = –
4
1
x
 < – 
4
2
x
 = у(x
2
) — функция өспелі.
1.39. 2) g (x) = x  0 ;
a) x∈(– ; 0); x
1
 < x
2
 < 0 ⇒ | x
1
 | > | x
2
 | ⇒ g(x
1
) > g(x
2
) ⇒ (–; 0) — кемімелі.
ә) x∈(0; + ); 0 < x
1
 < x
2
⇒ g(x
1
) = 
xx
12
< = g(x
2
) — өспелі.
1.40. 4) y  = 3x
2
 – 4x + 7, x∈ 
−∞






,
2
3
. т = 
2
3
;
D = 4 – 21 = –17 ⇒ n  = 
17
3
.⇒ y = 3xx xx x−






+< <⇒ −






>−






⇒
2
3
17
3
2
3
2 3
2 3
2
12 1
2
2
2
∙
xx xx x−






+< <⇒ −






>−






⇒
2
3
17
3
2
3
2
3
2
3
2
12 1
2
2
2
∙ y(x
1
) > y(x
2
). Дәлелдеу керегі де осы.
1.41. 6) y
xx
=
−() +()
6
18
.
а) х ≠ 1, х ≠ –8 ⇒ D  = (x) = (–; –8)(–8; 1)(1; + ),
ә) R(y)  = (–; +) — мәндер облысы.
б) нөлдері жоқ;
в) х = 1, х = –8 — үзіліс нүктелері;
г) (х – 1)(х + 8) > 0 ⇒ x∈(– ; 8)(1; + )—бұл жиында функция оң;
x∈(–8; 1) — функция теріс мән қабылдайды.
1.42. 1) Тең емес, себебі анықталу облыстары әртүрлі:
D(f) = [1; +), D(φ) = (– ; 8][1; +);
2) тең, себебі D(f) = D(φ).
1.43. х
1
 < х
2
және х
1
мен х
2
үздіксіз бір аралықта жатсын: х
1
 < х
2
 < –1 не
–1 < х
1
 < х
2
.
yx
x
xx x
yx
1
1
11 2
2
1
1
1
2
1
1
2
1
()=
−
+
=−
+
<−
+
=() — функция өспелі.
1.44. 6) 3  – | 2х + 3 | = 0 ⇒ 2х + 3 = 3 ⇒ х
1
 = 0 , х
2
 = – 3 .
7) у = 0 ⇒ (х – 1 )
3
 = 0 ⇒ х = 1 және
1
1x−
 ≠ 0 ⇒ х = 1 .
8) –x
2
 – 2x = 0 ⇒ х
1
 = 0 , х
2
 = –2 — нөлдері.

27
1.45. 6) f (–2) = –1, f
1
2
1
2






=, f(1) = 1, f(4) = 1.
1.48. 6) 10x  – 5  0 ⇒ x  0,5 ⇒ x∈  [0,5; +).
9) x
2
 – 3x + 2 ≠ 0 ⇒ x  ≠ 1, x ≠ 2, x∈(– ; 1)(1; 2)(2; +).
1.49. 5) f (–x) = ( –x – 6 )
9
(–x + 5 )
5
 + (–x + 6 )
9
(–x – 3 )
5
  = (x + 6 )
9
(x – 5 )
5
 + (x – 6 )
9
(x + 3 )
5
=
 = f(x) ⇒ функция жұп.
1.50. 4)
yx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−()=
−−
−+
+
−−
−−
=−
+
+
+
−
+
=−
+
−
+
−
+





4
2
4
2
4
2
4
2
4
2
4
2

=−
()yx
yx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−()=
−−
−+
+
−−
−−
=−
+
+
+
−
+
=−
+
−
+
−
+





4
2
4
2
4
2
4
2
4
2
4
2
 
=− ()yx.
Функция тақ.
1.53. 1) a  x
1
 < x
2
  b ⇒ f(x
1
) < f(x
2
), g(x
1
) < g(x
2
) ⇒  ⇒ f(x
1
) + g(x
1
) < f(x
2
) + g(x
2
) ⇒
⇒ f(x) + g(x) — өспелі.
4) f(x
1
) < f(x
2
) ⇒
11 1
12
fx fx fx()
>
()
⇒
()
— кемімелі.
1.54. 1) f(x) = 4129 22 32
2 2
xx x++ −= +() −= | 2х + 3| –2  2.
Ең кіші мәні f−






3
2
 = –2. Ең үлкен мәні жоқ.
4) u(x) = 
xx
xx xx x
2
22 2
44
45
1
1
45
1
1
21
++
++
=−
++
=−
+() +
⇒ 0  f(x) < 1.
u(–2)  = 0 — ең кіші мәні, ең үлкен мән қабылдамайды.
1.56*. 2) f(x) = –x | x |; 3) f(x) = | x | (x – 2).
1.57*. 2) f(x) = x
2
 – 3| x |; 4) f(x) = –
1
1x−
.
Функцияны зерттеудің қарапайым жоспарын түсіндіре отырып, оқушының
жоспардағы әр баптың мағынасын жете меңгеруін қадағалау қажет. Сонда ғана
оқушы өз бетінше функцияның графигін сала білу қабілетіне ие болады. Ол
үшін алдымен сызықтық функция, сонан соң квадраттық функция мен кері
пропорционалдық графиктерін салып машықтануы қажет. Мұнда әр графикті
салу барысында жоспардағы әр баптың мағынасын ашып көрсетіп отыру керек.
Жаттығуларға шолу.
1.63. 4) f(x) = 2 – 3x
2
 + x.
1. Анықталу облысы: D(f) = ( –; +), себебі квадрат үшмүше х-тің кез келген
нақты мәнінде анықталған, үзіліс нүктелері жоқ.
2. f(–x) = 2 – 3(–x)
2
 + ( –x) = 2 – 3x
2
 – x ≠ f(x) және  f(–x) ≠ – f(x), яғни бұл жалпы
жағдайдағы функция (ж.ж.ф.). Периодсыз.

28
3. f(x) = 0 ⇒ 2 – 3x
2
 + x = 0 ⇒ 3x
2
 – x – 2 = 0 ⇒ x
1
 = –
2
3
, x
2
 = 1, яғни функция Ох
өсімен −






2
3
0; және (1; 0), және (1; 0) нүктелерінде қиылысады. Oy өсімен
(0; 2) нүктесінде қиылысады.
4. −−






+() ;;
2
3
1 жиынында функция теріс мәндер, −






2
3
1; аралығында
оң мәндер қабылдайды.
5. fx xx xx()=− +=−− +






++ =23 32
1
6
1
36
2
1
12
22
=− −






+⇒ −






3
1
6
25
12
1
6
2
x ;
аралығында функция өспелі,
1
6
;+






 аралығында кемімелі.
6. x=
1
6
өспелі және кемімелі аралықтардың ше-
гарасы болғандықтан, бұл — функцияның максимум
нүктесі:
–ff
max
.=




 
=
1
6
25
12

7.
x−−






;
2
3
–
2
3
−






2
3
1
6
;−






2
3
1
6
;
1
6
1;





1(1; + )
f(x) − 0 +
25
12
max+ 0 −
1.66. 2) y  = x
3
 – 2x.
1. D(f) = ( –; + )—үзіліс нүктесі жоқ.
2. f(–x) = ( –x)
3
 – 2(–x) = –x
3
 + 2x = – (x
3
 – 2x) = –f(x) ⇒ функция тақ. Периодсыз.
3. f(x) = 0 ⇒ x
3
 – 2x = 0 ⇒ x(x – 
2)(x + 2) = 0 ⇒ x
1
 = –2, x
2
 = 0 , x
3
 = 2 — Ох
өсімен қиылысатын нүктелері. Оу өсімен (0; 0)-де қиылысады.
4. (–2; 0)(2; +) жиынында функция оң мән, (– ; – 2)(0; 2) жиы-
нында теріс мән қабылдайды.
5. Жалпы, туындының көмегінсіз функцияның өспелі және кемімелі
аралықтары мен экстремумдарын анықтау өте күрделі жұмыс. Біздің жағдайда
x
y
21O
–1
x=
1
6

29
функцияның үздіксіздігі мен теріс және оң мәндер аралықтарын ескерсек,
онда (–2; 0) және (0; 2) аралықтарында экстре-
мум нүктелері бар екені анық. Бұл нүктелерді бы-
лай анықтауға болады:
xx xx xx xx x
33
2
2
3
4
3
2
3
2
3
4
3
−= −− =−






+






−+
+− =−






+






−−






−=
4
3
2
3
4
3
2
3
2
3
2
3
4
3
2
3
4 3
2 3
xx xx
+− =−






+






−−






−=
4
3
2
3
4
3
2
3
2
3
2
3
4
3
2
3
4 3
2 3
xx xx =−






+−





−= −






×xx xx
2 3
2 3
4 3
4
3
2 3
2 3
2
× −+−






−= −






+






−xx xx
2
22
3
2
2
3
4
3
4
3
2
3
2
3
2
2
3
4
3
2
3
.
Осыдан [0; 2] аралығында функция x = +− =−






+






−−






−=
4
3
2
3
4
3
2
3
2
3
2
3
4
3
2
3
4
3
2
3
xx xx
нүктесіндеf
2
3
4 3
2 3






=− .-ке тең ең
кіші мән қабылдайтынын көреміз. Ал функция тақ болғандықтан, x = –+− =−






+






−−






−=
4
3
2
3
4
3
2
3
2
3
2
3
4
3
2
3
4
3
2
3
xx xx

нүктесінде функция + f
2
3
4 3
2 3






=− .-ке тең ең үлкен мәнге ие болады. Сонымен функция
−−






+

 

 
;;
2
3
2
3

жиынында өспелі,
−






2
3
2
3
; аралығында кемімелі.
6. x = –+− =−






+






−−






−=
4
3
2
3
4
3
2
3
2
3
2
3
4
3
2
3
4
3
2
3
xx xx
— максимум нүктесі, f
2 3 4 3
2 3






=− .f
2
3
4 3
2 3






=− ..
x = +− =−






+






−−






−=
4
3
2
3
4
3
2
3
2
3
2
3
4
3
2
3
4
3
2
3
xx xx
— минимум нүктесі, f
2 3
4 3
2 3






=− ..
1.67. fx
xx
xx()=
−−
−−
32
32
2
2
.
1) 3x  –  x
2
  –  2   = – (x–1)(x–2);
3x – x – 2= 3(x – 1) 
x+






2 3
болғандықтан,
fx
xx
xx
x
xx
()=
−−() −()
−() +






=−
−
+






=−+
+
12
31
2
3
2
3
2
3
1
3
8
9
2
33






⇒
fx
xx
xx
x
xx()=
−−
() −()
−() +






=−
−
+






=−+
+
12
31
2
3
2
3
2
3 1
3
8
9
2
33






⇒⇒= −−

 

 
−

 

 
+
()Df() ;; ;. 
2
3
2
3
11
1.67 – есепке

30
Бұл функцияның графигі гипербола. Оның асимптоталары — y = –
1
3
және y = –
3
2

түзулері.
1.68. 3) Функцияны fx
xx
xx
xx
()
,,
,
,
=
−
+−
−−









4
32 3
43
>
1
2
1
2
<

егер
егер
егер түрінде жазып алса,
жеткілікті.
1.69. 1)
fx
xx
xx x
xx
xx xx
()
()
()()
,=
−
+−
=
−
−+
=
+
2
32
2
1
12
1
2
,
D(f) = (–; –2)(–2; 0)(0; 1)(1; + ),
3) fx
xx x
xx x
xx x
xx
()
,,
,
,,
=
+() −()
−+() +() <




=
−−
−+
12 0
12 0
20
3
2
2


++( )<




20,.x
4) fx
x
x
x
x
()
,,
,( ;) (;).
=
−
+
+
−∈ −∞−∪ −













1
4
3
2
6
3
13 32

1.70. 2) y = x
2
 + 4x + 3 = (x + 2 )
2
 –1, y = x
2
параболасын
a
<;
 = (–2; 1) векторына па-
раллель көшіру қажет.
1.71. 1) a
n
n
=
1
2
;; 2) a
n
 = 3 · 2
n–1
.
1.72. 1) 11
1
22
2
22
+() −() =⋅ =tg tgββ
β
ββcos
cos
sin;
2)
sinc os
cossin
sins in
coscos
αα α
αα α
αα
αα
α
+⋅
+⋅
=
+
+
=
tg
ctg
tg.