asdasdsadsadasd

9- практикалық сабақ. Матрицаның өзіндік мәндерін және өзіндік векторларын табу

Сабақ мақсаты: студент оқытылатын пән туралы мағлұмат алу, яғни курста әр түрлі қолданбалы есептерді шығаратын сандық әдістер туралы негізгі қажетті мәліметтерді меңгеру.

Сабақ жоспары:

Өзіндік мәндерді және өзіндік векторларды есептеуге қажетті кейбір негізгі мәліметтер. Данилевский әдісі. Крылов әдісі. Леверрье әдісі.

Данилевский әдісі

Данилевский әдісінің негізгі мақсаты сипаттауыш анықтауышты Фробениустың нормаль түріндегі анықтауышына келтіру:

(6.2)

Егер сипаттауыш анықтауышты (6.2) түрінде жазу мүмкін болса, онда оны бірінші жатық жолда орналасқан элементтері бойынша жіктесек

немесе

(6.3)

• түріндегі полиномды аламыз.

белгілеулерін енгізейік. Мұндағы - берілген матрица, - берілген матрицаға ұқсас Фробениус матрицасы, яғни

( - матрицасы ерекше емес).

Ұқсас матрицалардың сипаттауыш полиномдары бірдей болғандықтан:

(6.4)

Сондықтан, әдісті негіздеу үшін, матрицасынан қалайша  матрицасын алуға болатынын көрсету жеткілікті. Данилевский әдісі бойынша матрицасынан оған ұқсас матрицаға көшу –  матрицасының соңғы жатық жолынан бастап біртіндеп ұқсас түрлендіру арқылы сәйкес матрицасының элементтеріне түрлендіру болып табылады.

матрицасын матрицасына түрлендіреміз.

элементтері орналасқан жолдан 0 - жолына көшу керек. деп ұйғарып, матрицасының -ші тік жолдың барлық элементтерін -ге бөлеміз. Сонда  матрицасының -ші жатық жолы келесі элементтерден тұрады:

.

Түрлендірілген матрицаның қалған басқа тік жолдарынан сәйкес элементтеріне көбейтілген - ші тік жолдың элементтерін алып тастаймыз. Нәтижесінде соңғы жатық жолы

элементтерінен тұратын матрицаны аламыз. матрицасының тік жолдарына қолданылған амалдар элементар түрлендірулер болып табылады. Осы түрлендірулерді бірлік матрицаға қолданып, келесі матрицаны аламыз:

мұндағы

және

(6.5)

Осыдан, келтірілген операциялар матрицасын оң жағынан матрицасына көбейткенмен пара-парлығын қорытуға болады, яғни көрсетілген түрлендірулерден кейін келесі матрицаны аламыз:

(6.6)

Матрицаларды көбейту ережелерін қолданып,  матрицаларының элементтері келесі формулалар бойынша есептелінеді

Бірақ, алынған матрицасы матрицасына ұқсас емес. Ұқсас түрлендіру алу үшін, кері матрицасын матрицасына сол жағынан көбейту керек:

мұндағы

(6.7)

- болсын, немесе .

Сонда матрицасының түрі:

((6.7)) матрицасымен ((6.6)) матрицасын көбейтейік:

(6.8)

және

(6.9)

Сонымен, матрицасымен матрицасының көбейтіндісі матрицасының - ші жатық жолының мәндерін өзгертеді. Бұл жатық жолдың элементтері (6.8) және (6.9) формулалары бойынша есептеледі. Алынған матрицасы мен матрицасы ұқсас, және бір келтірілген жолы бар. Осымен үрдістің бірінші сатысы аяқталды.

Әрі қарай, егер болса, онда негіз ретінде  матрицасының -ші жатық жолды алып, жоғарыда қарастырылған амалдарды қолдануға болады. Нәтижесінде екі келтірілген жатық жолдары бар

матрицасын аламыз. Соңғы матрицаға жоғарыдағы амалдарды қолданамыз. Осы үрдістерді жалғастырып, соңында Фробениус матрицасын аламыз (әрине, егер, барлық аралық түрлендірулер мүмкін болса):

Осы үрдістің барлығын келесі сұлба түрінде өрнектеуге болады:

Бұл сұлбадағы және тік жолдары әрбір жатық жолдағы орындалған есептеулерді тексеру үшін енгізіледі, және

Бақылау қатыстары:

Барлық түрлендірулер нәтижесінде түбірлері матрицасының өзіндік мәндері болып табылатын

теңдеуін аламыз.

Өзіндік векторлар келесі қатынастан анықталады:

Осы теңдеудің оң жағындағы мәнінен бастап әрбір көбейтінді векторының координаталарының біреуін анықтайды.

Крылов әдісі

(6.10)

- матрицасының сипаттауыш полиномы болсын. Гамильтон-Кели тепе - теңдігі бойынша матрицасы өзінің сипаттауыш полиномын нөлге айналдырады. Сондықтан,

(6.11)

Енді кез келген нөлдік емес вектор алайық:

.

(6.11) теңдеуінің екі жағында векторына көбейтейік:

(6.12)

- (6.13)

деп ұйғарып, (6.12) теңдеуін түрлендіріп жазамыз:

(6.14)

немесе

(6.14')

мұндағы

Осыдан, (6.14) векторлық теңдеу келесі теңдеулер жүйесімен эквивалент.

(6.15) теңдеулер жүйесінен белгісіз коэффициенттерін анықтауға болады.

(6.13) формула негізінде

сондықтан векторының координаталары біртіндеп келесі формулалардың көмегімен есептеледі:

(6.16)

Сонымен, (6.10) сипаттауыш полиномының  коэффициенттерін Крылов әдісімен анықтау бастапқы вектордың координаталары кез келген, коэффициенттері (6.16) формуласымен есептелетін (6.15) сызықтық теңдеулер жүйесін шешуге әкеліп тіреледі. Егер (6.15) теңдеулер жүйесінің жалғыз ғана түбірі болса, онда оның түбірлері (6.10) сипаттауыш полиномының коэффициенттері болып табылады. Бұл шешімді өзімізге белгілі бір әдісті қолданып табуға болады. Егер (6.15) теңдеулер жүйесінің түбірі жалғыз болмаса, онда бастапқы векторды өзгерту керек.

(6.10) сипаттауыш полиномының түбірлері әр түрлі болған жағдайды қарастырайық. (6.10) сипаттауыш полиномының коэффициенттері және оның түбірлері белгілі болсын. өзіндік мәндеріне сәйкес өзіндік векторларын табу керек.

векторлары - Крылов әдісі бойынша коэффициенттерін есептеу үшін қолданылатын векторлар болсын. векторын өзіндік векторлары бойынша жіктейік:

(6.17)

мұндағы - қандайда бір сандық коэффициенттер.

,

қатыстарын ескерсек,

(6.18)

• теңдеулерін аламыз.

(6.19)

- полиномдардың кез келген жүйесі болсын. Коэффициенттері болатындай, векторларының сызықтық комбинациясын құрып, және (6.17), (6.18) формулаларды пайдаланып, келесі өрнекті аламыз:

(6.20)

Егер

(6.21)

деп алсақ, онда

және

.

Бұл жағдайда (6.20) формуланы келесі түрде жазуға болады:

(6.22)

.

Сонымен, егер болса, онда алынған векторлардың сызықтық комбинациясы сандық көбейткішке дейінгі дәлдікте өзіндік векторларды береді. коэффициенттері Горнер сұлбасы бойынша оңай табылады, яғни

Леверрье әдісі

(6.10) - берілген матрицасының сипаттауыш полиномы, - оның түбірлерінің (еселік нешеге тең болса, әрбір түбір сонша рет қайталанады) толық жиынтығы болсын.

деп алайық.

Онда үшін Ньютон формуласы ақиқат:

(6.23)

Осыдан,

(6.24)

Егер қосындылары белгілі болса, онда (6.24) формуласының көмегімен әрбір қадам сайын (6.10) сипаттауыш полиномының коэффициенттерін анықтауға болады.

қосындылары былайша есептеледі:

,

мұндағы - матрицаның ізі, яғни

(6.25)

– матрицасының өзіндік мәндері болып табылады. Сондықтан

,

яғни, егер

,

болса, онда

.

Сонымен, Леверрье әдісі бойынша сипаттауыш анықтауышты анықтаудың сұлбасы мынандай: алдымен берілген матрицаның -шы дәрежесі ( ), содан кейін сәйкес – матрицасының бас диагоналындағы элементтерінің қосындысы және ең соңында (6.24) формула бойынша ізделінді коэффициенттері есептелінеді.

Матрицаның абсолют шамасы бойынша үлкен бірінші және екінші өзіндік мәндерін және сәйкес өзіндік векторларын итерация әдісімен табу

(6.10) сипаттауыш анықтауышты ашуды талап етпейтін, матрицасының абсолют шамасы бойынша ең үлкен бірінші, екінші өзіндік мәндерін есептейтін итерациялық әдісті қарастырайық.

Алдымен, векторлар тізбегін құрамыз: - кез келген вектор;

Сонда ең үлкен бірінші өзіндік мән келесі формула бойынша есептеледі:

мұндағы және соңғы екі векторлар тізбегінің біраттас координаталары.

матрицасының анықталған өзіндік мәніне сәйкес өзіндік векторы

формуласының көмегімен есептелінеді.

– формуласымен берілген матрицаның екінші өзіндік мәні анықталады, мұндағы, және соңғы үш векторлар тізбегінің біраттас координаталары. Сәйкес екінші өзіндік вектор келесі формула бойынша есептеледі:

Нақты матрицаның алғашқы өзіндік мәнін табуға арналған скаляр көбейтінді әдісі

Кей жағдайда нақты матрицасының бірінші өзіндік мәнін табуда тиімді болып келетін басқа итерациялық үрдіске тоқталып өтейік. Бұл әдіс және матрицаларының скаляр көбейтіндісі негізінде қаралады. Мұндағы берілген матрицасына транспонирленген матрица, – қандай да бір жолмен таңдап алынған бастапқы вектор.

A – нақты матрица және оның әр түрлі – өзіндік мәндері берілсін.

Қандайда бір нөлдік емес векторды алайық, және матрицасының көмегімен итерация тізбегін құрайық:

.

векторы үшін транспонирленген матрицаның көмегімен екінші итерация тізбегін құрамыз:

мұндағы

.

Сонда берілген матрицаның бірінші өзіндік мәні

егер берілген – симметриялы матрица болса, онда , және