1

Қымбатты талапкер

Бұл оқу әдістемелік құрал ҰБТ тапсырушы
талапкерлерге және математика, математикалық
сауаттылық бағытындығы білім алушыларға
арналған формулалар жинағы болып табылады
Бұл құрал аз уақытта көп білім алып, өз біліміңізді
еселеуге мүмкіндік береді
Әдістемелік құрал авторлық құқықпен қорғалған.
Автордың рұқсатынсыз құралды тарату мен
көбейтуге тыйым салынады. Кері жағдайда ҚР
Қылмыстық кодексінің 198-бабына сәйкес 80-5000
АЕК көлемінде айыппұл төленетінін ескертеміз
Материалды заңсыз таратылғанын білген
жағдайда 87002447336 телефон нөмірі бойынша
хабарласуыңызды сұраймыз

@easymath_study

2

Мазмүны
I ТАРАУ. АЛГЕБРА ............................................................................................5
1. Модуль ...........................................................................................................5
2. Дәреже ............................................................................................................6
3. Қысқаша көбейту формулалары .............................................................7
4. Түбір асты формулалары ..........................................................................8
5. Квадраттық теңдеу .....................................................................................9
6. Арифметикалық және Геометриялық прогрессиялар .....................10
7. Логарифм ....................................................................................................11
8. Туынды ........................................................................................................12
9. Тригонометрияның туындысы ..............................................................13
10. Күрделі функцияның туындысы ........................................................14
11. Интеграл ....................................................................................................16
12.Тригонометрялық фунцияның интегралы ..........................................17
және Интегралдың маңызды ережелері .....................................................17
13.Анықталған интеграл жән оның ережелері .........................................18
II ТАРАУ. ГЕОМЕТРИЯ .................................................................................19
1. Үшбұрыш ....................................................................................................19
1.1 Аудан. Үшбұрыш ішіндегі сызықтар ..................................................19
1.2 Тең қабырғалы және тең бүйірлі үшбұрыштар. ..............................21
Тік бұрышты үшбұрыш ..............................................................................21
1.3 Ұқсас үшбұрыштар ................................................................................22
2.Төртбұрыштар..............................................................................................23
2.1 Дөңес төртбұрыш ..................................................................................23
2.2 Тіктөртбұрыш және квадрат .............................................................24
2.3 РОМБ ......................................................................................................25
2.4 Параллелограмм. Трапеция ..................................................................26
3.Көпбұрыштар ...............................................................................................27
4.Шеңбер ...........................................................................................................28
5.Координата ....................................................................................................29
3

5.1 Координаталық жазықтық .................................................................29
5.2 Сызық пен шеңбердің координатағы теңдеуі. ..................................30
3D кеңістігіндегі координата .....................................................................30
6. Вектор............................................................................................................32
6.1 Вектор негіздері ......................................................................................32
6.2 Векторлар ережесі .................................................................................33
6.3 Кеңістіктегі векторлар ........................................................................34
III ТАРАУ. ТРИГОНОМЕТРИЯ ....................................................................35
1. Негізгі қасиеттер мен формулалар ........................................................35
2.Төрттіктегі тригонометрия белгісі және периоды. ...............................36
Тригонометрияның керек формулалары ..................................................36
3.Кері тригонометриялық функция ...........................................................39
4.Тригонометриялық теңдеу ........................................................................40
IV.ТАРАУ. СТЕОРОМЕТРИЯ .......................................................................41
1.Призма. Параллелипед.Куб .......................................................................41
2.Пирамида .......................................................................................................43
2.1 Дұрыс пирамида ......................................................................................43
2.2 Қиық пирамида .......................................................................................44
3.Цилиндр.Конус.Шар ...................................................................................45
V ТАРАУ. МАТЕМАТИКАЛЫҚ САУАТТЫЛЫҚ ...................................47
1.Логикалық тізбек ........................................................................................47
2.Бүтін санды есептер ....................................................................................48
3.Бірлескен жұмыс..........................................................................................49
4.Қозғалысқа байланысты есептер .............................................................50
5.Комбинаторика ............................................................................................51
6.Ықтималдылық ...........................................................................................53
7. Теңдеу құрастыру арқылы шығатын есептер .....................................54

4

Бұл әдістемелік құралды таратуға тыйым салынады! Авторлық құқық бұзғандар ҚР қылмыстық
заңнамасына сәйкес қудаланады

I ТАРАУ. АЛГЕБРА
1. Модуль
№

Шама

Формула

1

Негізгі
анықтама

|?| ≥ ?

a – кез келген сан

2

Негізгі
анықтама

|?| = |−?|

a – кезкелген сан

3

Көбейту

4

Бөлу

5

Қосу теңсіздігі

6

Азайту
теңсіздікі

|? − ?| ≥ ||?| − |?||

7

Модуль
квадраты

|?|? = |?? | = ??

|? ∙ ?| = |?| ∙ |?|

|?|
?
| |=
,? ≠ ?
|?|
?
|? + ?| ≤ |?| + |?|

5

Белгіленуі

a, b – кезкелген сандар

a, b – кезкелген сандар

a, b – кезкелген сандар

a, b – кезкелген сандар

a – кезкелген сан

Бұл әдістемелік құралды таратуға тыйым салынады! Авторлық құқық бұзғандар ҚР қылмыстық
заңнамасына сәйкес қудаланады

2. Дәреже
№

Шама

1

Дәрежелерді
қосу

? ∙? =?

2

Дәрежелерді
азайту

?? : ?? = ??−?

3

Минус дәреже

Формула

?

?

?−? =

?+?

?
??

Белгіленуі

a – кез келген сан
n – натурал сан
m – натурал сан
a – кез келген сан
n – натурал сан
m – натурал сан
a – кез келген сан
n – натурал сан
a – кез келген сан
b – кез келген сан
c – кез келген сан
n – натурал сан
a – кез келген сан
n – натурал сан
m – натурал сан

4

Жақша ішінде

(???)? = ?? ∙ ?? ∙ ??

5

Жақша ішінде

(?? )? = ? ?∙?

6

Бөлшектің
дәрежесі

? ? ??
( ) = ?
?
?

a – кез келген сан
b – кез келген сан
n – натурал сан

7

Бөлшектің
кері дәрежесі

? −?
? ?
( ) =( )
?
?

a – кез келген сан
b – кез келген сан
n – натурал сан

8

0 дәрежесі

?? = ?

a – кез келген сан

6

Бұл әдістемелік құралды таратуға тыйым салынады! Авторлық құқық бұзғандар ҚР қылмыстық
заңнамасына сәйкес қудаланады

3. Қысқаша көбейту формулалары
№

Шама

Формула

1

Екі санның
қосындысының
квадраты

(? + ?)? = ?? + ??? + ??

2

Екі санның
айырмасының
квадраты

(? − ?)? = ?? − ??? + ??

3

Екі квадраттың
айырмасы

?? − ?? = (? − ?)(? + ?)

4

Екі санның
(? + ?)? = ?? + ??? ? + ????
қосындысының
+ ??
кубы

5

Екі санның
айырмасының
кубы

(? − ?)? = ?? − ??? ? + ????
− ??

6

Екі кубтың
қосындысы

?? + ?? = (? + ?)(?? − ??
+ ?? )

7

Екі кубтың
айырмасы

?? − ?? = (? − ?)(?? + ??
+ ?? )

7

Белгіленуі

a, b – кез келген
сандар

Бұл әдістемелік құралды таратуға тыйым салынады! Авторлық құқық бұзғандар ҚР қылмыстық
заңнамасына сәйкес қудаланады

4. Түбір асты формулалары
мұнда бүкіл формулада

?≥?; ?≥?
№

Шама

1

Түбір астында
n ( эн )
дәрежесі

2

Бөлшек сан
түбір астында

3

Түбір астының
дәрежесі

4

Түбір асты
түбір астында

? ?

5

Негізгі
формула

?

6

Негізгі
формула

7

Қосмша
формула

8

Қосмша
формула

Формула
?

Белгіленуі
?

?

√? ∙ ? = √? ∙ √?
a,b – нөлден үлкен кез
?

? √?
√ =?
? √?

?

?

?

келген сандар

?

( √?) = √??

??

√ √? = √?

√??

a – кез келген сан
n – натурал сан
m – натурал сан

?
??

=

a – кез келген сан
?,
егер
?
тақ
болса
n – натурал сан
√?? = {
|?|, егер ? жұп болса

?

??

?

√?? = √???

?

√? =

?
??

8

a – кез келген сан
n – натурал сан
m – натурал сан
k – натурал сан
a – кез келген сан
n – натурал сан

Бұл әдістемелік құралды таратуға тыйым салынады! Авторлық құқық бұзғандар ҚР қылмыстық
заңнамасына сәйкес қудаланады

5. Квадраттық теңдеу
№

Шама

Формула

1 Дискриминант

? = ?? − ???

2

−? ± √?? − ???
=
??

Теңдеудің
түбірлері

3

Виета
теоремасы
( түбірлерінің
қосындысы)

4

Виета
теоремасы
( түбірлерінің
көбейтіндісі)

5

Шешімі жоқ

??,?

?? + ?? =

?? ∙ ?? =

−?
?

?
?

Белгіленуі

a – нөлден басқа кез келген
сан
b,c – кез келген сандар
x1,2 – теңдеудің түбірлері
a – x2-тың алдындағы
коефффицент
b – x-тің алдындағы
коефффицент
c – бос коефффицент
x1,2 – теңдеудің түбірлері
a – x2-тың алдындағы
коефффицент
b – x-тің алдындағы
коефффицент

x1,2 – теңдеудің түбірлері
a – x2-тың алдындағы
коефффицент
c – бос коефффицент

? < ? болса
теңдеудің шешімі жоқ
D- дискриминант

6

Тек бір шешім

? = ? болса
тек 1 ақ шешім бар

9

Бұл әдістемелік құралды таратуға тыйым салынады! Авторлық құқық бұзғандар ҚР қылмыстық
заңнамасына сәйкес қудаланады

6. Арифметикалық және Геометриялық прогрессиялар
№

Шама

Формула

се Арифметикалық
прогрессия
1

?? – прогрессияның n-ші
?? = ?? + (? − ?)?

2

3

4

Негізгі формула

Прогрессияның
алғашқы n
мүшесінің
қосындысы

Геометриялық
прогрессия

5

Негізгі формула

6

Прогрессияның
алғашқы n
мүшесінің
қосындысы

7

Шексіз
геометриялық
прогрессияның
қосындысы

Белгіленуі

??+? =

?? + ??+?
?

?? + ??
∙?
?
??? + (? − ?)?
?? =
∙?
?
?? =

мүшесі
n - натурал сан
d – прогрессияның
айырмасы
?? – прогрессияның n-ші
мүшесі
n - натурал сан

?? – прогрессияның n-ші
мүшесі
n - натурал сан

?? – прогрессияның n-ші

?? = ?? ∙ ??−?

???+?

?? =

= ?? ∙ ??+?

??

(?? −?)
?−?

мүшесі
n - натурал сан
q – прогрессияның еселігі

?? – прогрессияның n-ші
мүшесі

?1 - прогрессияның 1-ші
;?≠?

??
?=
?−?

10

мүшесі
n - натурал сан
q – прогрессияның еселігі

?1 - прогрессияның 1-ші

мүшесі
q – прогрессияның еселігі

Бұл әдістемелік құралды таратуға тыйым салынады! Авторлық құқық бұзғандар ҚР қылмыстық
заңнамасына сәйкес қудаланады

7. Логарифм
№

Шама

Формула

1

Негізгі
формула

??? ? ? = ?

Негізгі
формула

??? ? ? = ?

2

3

4

Белгіленуі

a – 1 ден басқа 0 ден үлкен
кез келген сан

Логарифмдерді
??? ? (? ∙ ?) = ??? ? ? + ??? ? ?
қосу
a – 1 ден басқа 0 ден үлкен
кез келген сан
b, c – 0 ден үлкен кез
?
Логарифмді
келген сандар
???
(
) = ??? ? ? −??? ? ?
?
азайту
?

a – 1 ден басқа 0 ден үлкен
5

Негізгі
формулалар

6

Логарифм
негізін
ауыстыру

??? ? ?? = ? ∙ ??? ? ?
??? ? ?? = ?

??? ? ? =

??? ? ?
??? ? ?

кез келген сан
b – 0 ден үлкен кез келген
санд
n – кез келген сан
a, c – 1 ден басқа 0 ден
үлкен кез келген сан
b – 0 ден үлкен кез келген
санд

a – 1 ден басқа 0 ден үлкен
7

Қосымша
формула

?
??? ?? ? = ∙ ??? ? ?
?

11

кез келген сан
b – 0 ден үлкен кез келген
санд
k – кез келген сан

Бұл әдістемелік құралды таратуға тыйым салынады! Авторлық құқық бұзғандар ҚР қылмыстық
заңнамасына сәйкес қудаланады

8. Туынды
№

Шама

Формула

Белгіленуі

Бізде ?′ (?) = (?)′
1

Негізгі
формула

?′ = ?

C – кез келген сан

2

Негізгі
формула

?′ =1

x – белгісіз айнымалы

3

Негізі

(?? )′ = ? ∙ ??−?
? ′
?
( ? ) = − ?+?
?
?
?

′

(√?) =
4

Негізі
?

′

( √?) =

5

6

?√?
?

x – белгісіз айнымалы
n – 0 ден басқа кез
келген сан

?

? ∙ √??−?

Негізі

(?? )′ = ?? ∙ ?? ?
(?? )′ = ??

Негізі

?
?
?
(??? ? ?)′ =
? ∙ ?? ?
(?? ?)′ =

12

x – белгісіз айнымалы
a – кез келген сан
e = 2,71828……
x – белгісіз айнымалы
a – кез келген сан

Бұл әдістемелік құралды таратуға тыйым салынады! Авторлық құқық бұзғандар ҚР қылмыстық
заңнамасына сәйкес қудаланады

9. Тригонометрияның туындысы
№

Шама

Формула

Белгіленуі

1

sin - тың
туындысы

(??? ?)′ = ??? ?

2

cos – тың
туындысы

(??? ?)′ = − ??? ?
?
???? ?

3

tg – тың
туындысы

(?? ?)′ =

4

ctg – тың
туындысы

(??? ?)′ = −

5

arccsin – тың
туындысы

12

arccos – тың
туындысы

)′

(?????? ? =

?
???? ?
?

√? − ??

(?????? ?)′
=−

?
√? − ??
?
? + ??

13

arctg – тың
туындысы

(????? ?)′ =

14

arcctg – тың
туындысы

(??????)′ = −

?
? + ??

13

x – белгісіз айнымалы

Бұл әдістемелік құралды таратуға тыйым салынады! Авторлық құқық бұзғандар ҚР қылмыстық
заңнамасына сәйкес қудаланады

10.
№

Күрделі функцияның туындысы

Шама

Формула

Белгіленуі

?(? ) және ?(? )функцияларын қысқаша түрде ?(? ) = ?, ?(? ) = ?
Туындылары ?′(?) = ?′ және ?′(? ) = ?′
C – кез келген сан
′
Негіз
(? ∙ ?) = ? ∙ ?′
2
u - функция

3

Екі
фнкцияның
туындысы

5

Күрделі
функция

4

Қосымша
формула

(? ∙ ?) = ?′ ∙ ? + ? ∙ ?′
(? ± ?)′ = ?′ + ?′
? ′ ?′ ∙ ? − ? ∙ ?′
( ) =
?
??

? = ?(?),
ал ? = ?(?)
u функциясы f
Ал туындысы
функциясының ішінде
?′ = [?(?)]′ = ?′(?) ∙ ?′(?)
(?? )′ = ?′ ∙ ? ∙ ??−?
? ′
?′
( ) =− ?
?
?
?′

′

5

Қосымша
формула

u,v - функциялар

(√?) =
?

′

( √?) =

?√?
?′
?

6

Қосымша
формула

? √??−?
(?? )′ = ?′ ∙ ?? ln ?
(? ? )′ = ?′ ∙ ? ?

7

Қосымша
формула

?′
(log ? ?)′ =
? ∙ ln ?

14

u,v – функциялар
n – 0 ден басқа кез
келген сан
u – функция
n – 0 ден басқа кез
келген сан
u – функция
a – кез келген сан
u – функция
a – 1 ден басқа 0 ден үлкен
кез келген сан

Бұл әдістемелік құралды таратуға тыйым салынады! Авторлық құқық бұзғандар ҚР қылмыстық
заңнамасына сәйкес қудаланады

Күрделі функцияның туындысы
№

Шама

1

Қосымша
формула

2

Қосымша
формула

(??? ?)′ = ?′ ∙ ??? ?

3

Қосымша
формула

(??? ?)′ = −?′ ∙ ??? ?

4

Қосымша
формула

5

Қосымша
формула

Формула

(?? ?)′ =

(?? ?)′ =

(??? ?

)′

Белгіленуі

?′
?

?′
???? ?

?′
=−
???? ?
?′

)′

(?????? ? =

6

Қосымша
формула

7

Қосымша
формула

(????? ?)′ =

8

Қосымша
формула

(?????? ?)′ = −

√? − ??
?′
′
(?????? ?) = −
√? − ??
?′
? + ??

15

?′
? + ??

u – функция

Бұл әдістемелік құралды таратуға тыйым салынады! Авторлық құқық бұзғандар ҚР қылмыстық
заңнамасына сәйкес қудаланады

11. Интеграл
№

Шама

Формула

Белгіленуі

?(? ) функциясының анықталмаған интегралы ? (? ) + ? болады
к – кез келген сан
Бос
1 коеффициенттің
∫ ? ?? = ?? + ?
C – анықталмаған бос
интегралы

коеффициент

2

Дәрежелі
функцияның
интегралы

3

Бөлшек
функцияның
интегралы

?
∫ ?? = ??|?| + ?
?

4

Дәрежелі
функцияның
интегралы

??
?
∫ ? ?? =
+?
?? ?

5

Түбір
астындағы
функцияның
интегралы

??√?
∫ √? ?? =
+?
?

6

Дәрежелі
функцияның
интегралы

?+?

∫ ?? ?? =

?

?
+?
?+?

?

∫ ? ?? = ? + ?

n – 0 ден басқа кез елген
сан
C – анықталмаған бос
коеффициент

C – анықталмаған бос
коеффициент

a – 0 ден басқа кез елген
сан
C – анықталмаған бос
коеффициент

C – анықталмаған бос
коеффициент

e = 2,71828……
C – анықталмаған бос
коеффициент

16

Бұл әдістемелік құралды таратуға тыйым салынады! Авторлық құқық бұзғандар ҚР қылмыстық
заңнамасына сәйкес қудаланады

12.Тригонометрялық фунцияның интегралы
және Интегралдың маңызды ережелері
№

Шама

Формула

1.

sin - тың
интегралы

∫ ??? ? ?? = − ??? ? + ?

cos – тың
интегралы

∫ ??? ? ?? = ??? ? + ?

2

3 Керек формула

4 Керек формула

∫

∫

5 Керек формула ∫

6 Керек формула

∫

Белгіленуі

?
?? = ?? ? + ?
???? ?

?
?? = −??? ? + ?
???? ?
?

√? −

??

C – анықталмаған
бос коеффициент

?? = ?????? ? + ?

?
?? = ?????? ? + ?
?? + ?

Интегралдың маңызды ережелері
1. ∫ ? ∙ ?(?)?? = ? ∙ ∫ ?(?) ??
2. ∫(?(?) ± ?(?))?? = ∫ ?(?) ?? ± ∫ ?(?) ??
?

3. Егер ∫ ?(?) ?? = ?(?) + ?, онда ∫(?? + ?)?? = ?(?? + ?) + ?
?
17

Бұл әдістемелік құралды таратуға тыйым салынады! Авторлық құқық бұзғандар ҚР қылмыстық
заңнамасына сәйкес қудаланады

13.Анықталған интеграл жән оның ережелері
№

Атауы

Формула

Анықтама
?

∫ ?(?)?? = [?(?)]
?

?
= ?(?) − ?(?)
?

? (? ) функциясы ?(? )
фукциясының алғашқы функциясы

?

суреттегі фигураның ауданы ∫ ?(?)?? − ға тең
1

2

?

Тұрақты
коеффициентің
сыртқа шығуы

?

?

∫ ? ∙ ?(?)?? = ? ∙ ∫ ?(?)??
?

Екі
функцияның
қосуы мен
айырымы

?

?

?

∫ (?(?) ± ?(?))?? = ∫ ?(?)?? ± ∫ ?(?)??
?

?

?

3

Негіз

?

?

?

?

?

Негіз

?

∫ ?(?)?? = ∫ ?(?)?? + ∫ ?(?) ??,
?

4

?

?

∫ ?(?)?? = − ∫ ?(?) ??
?

?
?

5

0 дік аудан

∫ ?(?) = ?
?

18

? ∈ [?; ?]

Бұл әдістемелік құралды таратуға тыйым салынады! Авторлық құқық бұзғандар ҚР қылмыстық
заңнамасына сәйкес қудаланады

II ТАРАУ. ГЕОМЕТРИЯ
1. Үшбұрыш
1.1 Аудан. Үшбұрыш ішіндегі сызықтар
№

Атауы

Формула

Анықтама

Бұрыштарының қосындысы: ? + ? + ? = 180

?=
1

Аудан

?
?
?
??? = ??? = ???
?
?
?

ℎ? , ℎ? , ℎ?
− ?, ?, ? қабырғасына
түсірілген
биіктіктер

R – үбұрышқа сырттай
2

сызылған шеңбердің
радиусы
r – үшбұрышқа іштей
сызылған шеңбердің
радиусы

Радиусқа
байланысты
аудан

?=

3

Бұрышқа
байланысты
аудан

4

Қабырғаларға
қатысты аудан

???
??

?=

; ? = ??

?
?? ??? ?
?

a,b – үшбұрыштың
қабырғалары

p – үшбұрыштың
? = √?(? − ?)(? − ?)(? − ?) периметрінің жартысы

19

5

Косинустар
теоремасы

6

Синустар
теоремасы

7

Медиана
(қарама қарсы
қабырғаны
теңдей екі
бөлікке бөледі)

?? = ?? + ?? − ??? ??? ?
?? = ?? + ?? −??? ??? ?
?? = ?? +?? − ??? ??? ?
?
?
?
=
=
??? ? ??? ? ??? ?
= ??

?, ?, ? бұрыштары ?, ?, ?
қабырғаларына сәйкесінше
қарама-қарсы жатқан
бұрыштар

R – үбұрышқа сырттай
сызылған шеңбердің
радиусы

?? − ? қабырғасына
түсірілген медиан

?

?? = √??? + ??? − ??
?

8

?? − ? қабырғасына
түсірілген биссектриса

Биссектриса

?? =

??? ??? ?
?+?

? ??
=
? ??

9

S – үшбұрыштың ауданы
?, ? − үшбұрыштың
бұрыштары

Биіктік

?? =

??

= ? ??? ? =
? ??? ?

?

20

Бұл әдістемелік құралды таратуға тыйым салынады! Авторлық құқық бұзғандар ҚР қылмыстық
заңнамасына сәйкес қудаланады

1.2 Тең қабырғалы және тең бүйірлі үшбұрыштар.
Тік бұрышты үшбұрыш
№

Атауы

Формула

Анықтама

?? √?
?=
?
?√?
?=
?
?√?ң
?=
?

1
Тең қабырғалы
үшбұрыш

?=?=?=

R –сыртқы шеңбердің
радиусы
r – ішкі шеңбердің
радиусы
? − үшбұрыштың
ауданы
?√?
?

??? ? ?
= ? ??? ?
?
?
?? = ?? = ??

?=
2
Тең бүйірлі
үшбұрыш

3
Тік бұрышты
үшбұрыш

4

Пифагор
теоремасы

?
? = ??
?
?
? = = ??
?
?+?−?
?=
?
?

?

?

? = ? +?

21

I – биссектриса
m – медиана
h - биіктік
?? − ? негізіне түскен
медиана
?? − ? негізіне түскен
биссектриса
?? − ? негізіне түскен
биіктік
R –сыртқы шеңбердің
радиусы
r – ішкі шеңбердің
радиусы
?? − С бұрышынан
шыққан медиан
a,b,c – тік бұрышты
үшбұрыштың
қабырғалары

Бұл әдістемелік құралды таратуға тыйым салынады! Авторлық құқық бұзғандар ҚР қылмыстық
заңнамасына сәйкес қудаланады

1.3 Ұқсас үшбұрыштар
№

Атауы

Формула

Анықтама

△ ??? ∼△ ?1 ?1 ?1

2

1 – ші белгі

??
??
=
,
?? ?? ?? ??
∠? = ∠?? болса, онда
△ ??? ∼△ ?? ?? ??
∠? = ∠?? , ∠? = ∠??

3

2 – ші белгі

болса, онда

△ ??? ∼△ ?? ?? ??

??

4

5

3 – ші белгі

Ұқсастықтың
қасиеті

?? ??

=

??
?? ??

=

??
?? ??

=k

k – ұқсастықтың
коеффициенті

?△???
?△??????

= ??

22

Егер 1 – ші үшбұрыштың
екі қабырғасы 2 – ші
үшбұрыштың екі
қабырғасына
пропорциональды болса
және арасындағы бұрыш
тең болса, екі үшбұрыш
ұқсас болады
Егер 1 – ші үшбұрыштың
екі бұрышы 2 – ші
үшбұрыштың екі
бұрышына тең болса, екі
үшбұрыш ұқсас болады
Егер 1 – ші үшбұрыштың
үш қабырғасы 2 – ші
үшбұрыштың үш
қабырғасына
пропорциональды болса,
екі үшбұрыш ұқсас
болады

?△???− △ ??? үшбұры −
шының ауданы
k – ұқсастықтың
коеффициенті

Бұл әдістемелік құралды таратуға тыйым салынады! Авторлық құқық бұзғандар ҚР қылмыстық
заңнамасына сәйкес қудаланады

2.Төртбұрыштар
2.1 Дөңес төртбұрыш
№

Атауы

Формула

?1, ?2 − диагональдар
? − диагональдар арасындағы
Бұрыш
?, ?, ?, ? − төртбұрыштың
Қабырғалыра
?, ?, ?, ? − төртбұрыштың
бұрыштары
?
? ? ??? ?
? ? ?
? = √?(? − ?)(? − ?)(? − ?)(? − ?)
?=

1

Аудан

2

Қабырғалар
мен
Диагональдар
қатынасы

3

Сыртына
шеңбер сызу
үкімі

Егер ? + ? = ? + ? немесе ? + ? = ? + ? = ???
болса төртбұрыш сыртынан шеңбер сызылады

4

Қабырғалар
мен
Диагональдар
қатынасы

?? + ?? = ?? ??

5

Периметрдің
жартысы

?? +?? + ?? +?? = ??? + ??? + ???
? − диаганольдардың
орртасын қосатын сызық

?=

23

?
(? + ? + ? + ?)
?

Бұл әдістемелік құралды таратуға тыйым салынады! Авторлық құқық бұзғандар ҚР қылмыстық
заңнамасына сәйкес қудаланады

2.2 Тіктөртбұрыш және квадрат
№

Атауы

Формула

?
? = ?? = ?? ??? ?
?

Анықтама
? − аудан
? − екі диагональ
арасындағы бұрыш

? = ?(? + ?)

?

?? + ?? = ??

қабырға мен
диагональ
қатынасы

? ?
? = = √? ? + ? ?
? ?

? − сыртынан
сызылған
шеңбер радиусы

1

Тіктөртбұрыш

? = ?? =

? ?
?
?

? = ??
? = ?√?

? − аудан

? − периметр

2
? ?√?
?= =
?
?

? – сырттай
сызылған
шеңбердің радиусы

Квадрат

?=
24

?
?

? – іштей сызылған
шеңбердің радиусы

Бұл әдістемелік құралды таратуға тыйым салынады! Авторлық құқық бұзғандар ҚР қылмыстық
заңнамасына сәйкес қудаланады

1.3 РОМБ
№

Атауы

Формула

Анықтама

РОМБ – бүкіл қабырғасы бір-біріне тең

1

Аудан

2

Периметр және
диагональ мен
қабырға
қатынасы

3

Іштей
сызылған
шеңбердің
радиусы

? = ?? ??? ? = ?? =

?? ??
?

? = ??
??? + ??? = ??

?=

?
?
? = ? ??? ?
?
?

?1, ?2 -диагональдар
? − ромбтың
бұрышы

h -биіктік

1. Диагональдары перпендикулярно (90 градус)

4

Қасиеттері

2. Диагональдары қиылысқан нүктеде өздерін
теңдей екіге бөлінеді

3. Диагональдары ішкі бұрыштардың биссектриса
болады

25

Бұл әдістемелік құралды таратуға тыйым салынады! Авторлық құқық бұзғандар ҚР қылмыстық
заңнамасына сәйкес қудаланады

2.4 Параллелограмм. Трапеция
№

Атауы

Параллелограмм

Формула

Анықтама

? = ?? ???? = ??
??? ?? ??? ?
=
?

? − диагональдар
арасындағы бұрыш

? = ?(? + ?)

? − периметр

??? +??? = ?(?? + ?? )

?1 ?2 -диагональдар

1

Диагональдары
қиылысқан
нүктеде өздерін
теңдей екіге
бөлінеді
?=

?+?
?
?

?? = ?,
?? = ?

2
?+?
?? =
?
Трапеция

26

?? = ?, ?? = ?
MN – трапецияның
орта сызығы

Бұл әдістемелік құралды таратуға тыйым салынады! Авторлық құқық бұзғандар ҚР қылмыстық
заңнамасына сәйкес қудаланады

3.Көпбұрыштар
№

Атауы

Формула

Анықтама

Дұрыс n-бұрыш

???°
?
???°
?=
?
? = ???° − ?
?=

n – бұрыштар саны.
Бұрыштар суретте
көрсетілген

1

Центрлік, ішкі
және сыртқы
бұрыштар

2

Ішкі және
сыртқы
бұрыштардың
қосындысы

Ішкі: (? − ?) ∙ ???°
Сыртқы: ???°

3

Диагональдар
саны

?(? − ?)
?
n – бұрыштар саны

4

5

Аудан

Қабырға

? ?
???°
? ∙ ???
?
?
? ?
???°
?? = ?? ? ∙ ???
?
?
?? =

?? = ?? ∙ ???

???°
?

= ?? ∙ ??
27

???°
?

Бұл әдістемелік құралды таратуға тыйым салынады! Авторлық құқық бұзғандар ҚР қылмыстық
заңнамасына сәйкес қудаланады

4.Шеңбер
№

Атауы

Сурет

Қасиет

Шеңбер ұзындығы: ? = ???
Шеңбердің ауданы: ? = ???
? − бұрышының доғасының ұзындығы:
????
?=
???°

1

Хорда

?? ∙ ?? = ?? ∙ ??

2

Шеңбер қиюшы
сызық және
жана
арасындағы
қатынас

??2 = ?? ∙ ??

3

Шеңбер қиюшы
сызықтың
қасиеті

?? ∙ ?? = ?? ∙ ??

4

Центлік және
ішкі бұрыш

?=

28

?
2

Бұл әдістемелік құралды таратуға тыйым салынады! Авторлық құқық бұзғандар ҚР қылмыстық
заңнамасына сәйкес қудаланады

5.Координата
5.1 Координаталық жазықтық
№

Шама

Формула

?1 (?1 , ?1 )

Формула

?2 (?2 , ?2 )

y (OY) – осьі ордината
x (OX) – осьі абцисса

1

Екі нүкте
арасындағы
қашықтық

?1 (?1 , ?1 ) тан ОХ осьіна
дейін = |?1 |
?2 (?2 , ?2 ) тан ОY осьіна
дейін = |?2 |
?1 (?1 , ?1 ) тан O нүктесіне
дейін = √?12 + ?22

?1 (?1 , ?1 ) мен ?2 (?2 , ?2 )
нүктелер арасы
= √(?2 −?1 )2 +(?2 − ?1 )2

C – нүктесі АВ нүктесінің ортасы
D – нүктесі АВ сызығын ℷ қатынасында
бөледі
??
=ℷ
??

2

C мен D
нүктесінің
координатасы

?(

?? + ?? ?? + ??
,
)
?
?

29

?(

?1 + ℷ?2 ?1 + ℷ?2
,
)
2
2

Бұл әдістемелік құралды таратуға тыйым салынады! Авторлық құқық бұзғандар ҚР қылмыстық
заңнамасына сәйкес қудаланады

5.2 Сызық пен шеңбердің координатағы теңдеуі.
3D кеңістігіндегі координата
№

Шама

Формула

Белгіленуі

? − бұрыштық коэффициент
?(?1 , ?1 ) ?(?2 , ?2 )
?? = ?2 − ?1
?? = ?2 − ?1

1

Бұрыштық
коэффициент

?? ?2 − ?1
? = ?? ? =
=
?? ?2 − ?1

? − AB мен OX
сызықтарының
арасындағы бұрыш

2

Сызықтың
теңдеуі

? − ?1
? − ?1
=
?2 − ?1 ?2 − ?1

? = ?? + ? – түрінде
функция шығады
?- бос коэффициент

3

Координатағы
екі сызық
арасындағы
қатынас

1) Егер ?? = ?? ж\е ?? = ??
болса, екі сызық сәйкес
2) Егер ?? = ?? ж\е ?? ≠ ??
болса,
екі
сызық
параллель
3) Егер ?? ≠ ?? болса, екі
сызық қиылысады
4) Егер ?? ?? = −? болса,
екі сызық перпендикуляр
(арасы 90° градус)

30

? = ?1 ? + ?1 - 1-ші
сызық
? = ?2 ? + ?2 - 2-ші
сызық

Центр: (?0 , ?0 )
4

Шеңбердің
теңдеуі

5

3 D кеңістігі

6

Екі нүкте
арасындағы
қашықтыққа
байлансыты
формулалар

(? − ?0 )2 + (? − ?0 )2 = ? 2

1. A нүктесінен OYZ жазығына дейін = |?1 |
2. A нүктесінен O нүктесіне дейін = √?12 + ?12 + ?12
3. A мен B нүктесінің арасы =
√(?2 − ?1 )2 + (?2 − ?1 )2 + (?2 − ?1 )2
Мұнда ?(?1 ; ?1 ; ?1 ) ?(?2 ; ?2 ; ?2 )

7

Екі нүкте
арасының
ортас

? нүктесі ?? сызығының ортасы
?(

?1 + ?2 ?1 + ?2 ?1 + ?2
;
;
)
2
2
2

31

Бұл әдістемелік құралды таратуға тыйым салынады! Авторлық құқық бұзғандар ҚР қылмыстық
заңнамасына сәйкес қудаланады

6. Вектор
6.1 Вектор негіздері
№

Шама

Формула

Белгіленуі

Вектор – бағыты бар сызық
?(?1 , ?1 ) ?(?2 , ?2 )

1

?? − ?? ; ?? − ??
-вектордың
координатолары

Вектор
координатасы

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
?? = ?
⃗ = (?? − ?? ; ?? − ?? )
?
2

Ветордың
ұзындығы

3

Екі вектор
перпендикуляр
(ортагональ)

4 Коллинеарность

?? − ?? = ?; ?? − ?? = ?
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (?; ?)
??
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √?? + ??
|??

Мұнда
координатоларды
қысқаша түрде
жаздық

⃗ = (?? , ?? ) ⃗? = (?? , ?? )
?

Осы теңдік орындалса
екі вектор
перпендикуляр

? ? ?? + ? ? ?? = ?
⃗ = (?? , ?? ) ⃗? = (?? , ?? )
?
?? ??
=
=?
?? ??

32

Осы теңдік
орындалса екі вектор
параллель болады

Бұл әдістемелік құралды таратуға тыйым салынады! Авторлық құқық бұзғандар ҚР қылмыстық
заңнамасына сәйкес қудаланады

6.2 Векторлар ережесі
⃗ = (?? , ?? ) ⃗? = (?? , ?? )
?
№

Шама

Формула

Белгіленуі

⃗ = (?? , ?? ) ⃗? = (?? , ?? )
?
⃗ = (?? + ?? ; ?? + ?? )
⃗ =?
⃗ +?
?
1

?? + ?? ; ?? + ?? -⃗ векторының
?
координатолары

Қосу

? ? − ?? ; ? ? − ?? , −
⃗ векторының
?
координатолары

2

Азайту

⃗ =?
⃗ − ⃗? = (?? − ?? ; ?? − ?? )
?

3

Векторды
санға
көбейту

⃗ = (?? , ?? )
?
⃗? = (??? , ??? )

k – кез келген сан

4

Векторларды
скалярды
көбейту

⃗ ∙ ⃗? = ?? ?? + ?? ??
?
⃗ = |?
⃗ | ∙ ??? ?
⃗ ∙?
⃗ | ∙ |?
?

|⃗?| - ⃗? векторның
ұзындығы
? – екі вектор
арасындағы бұрыш

⃗ ∙?
⃗ =?
⃗?
?) ?

5

Скалярды
көбейтудің
қасиеттері

⃗ =?
⃗ ∙?
⃗ ∙?
⃗
?) ?
⃗ +?
⃗⃗⃗⃗∙ (?
⃗) = ?
⃗ ∙ ⃗? + ?
⃗ ∙?
⃗
?) ?
⃗ ∙?
⃗ ∙ ⃗?) ∙ ?
⃗ =?
⃗ ∙ (?
⃗)
?) (?
⃗ ) = ?? ∙ (?
⃗ ) ∙ (??
⃗ ∙ ⃗?)
?) (??
⃗ | = √?
⃗ ∙?
⃗ = √?
⃗?
1) |?

33

⃗ , ⃗?, ?
⃗ − векторлар
?

Бұл әдістемелік құралды таратуға тыйым салынады! Авторлық құқық бұзғандар ҚР қылмыстық
заңнамасына сәйкес қудаланады

6.3 Кеңістіктегі векторлар
?(?1 ; ?1 ; ?1 ) ? (?2 ; ?2 ; ?2 )

№

1

2

3

Шама

Кеңістіктегі
векторлар
координатасы

?(?? ; ?? ; ?? ) ?(?? ; ?? ; ?? )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
?? = (?? − ?? ; ?? − ?? ; ?? − ?? )

Вектордың
ұзындығы

?? − ?? = ?; ?? − ?? = ?;
?? − ? ? = ?
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(?)? + (?)? + (?)?
|??

Перпендикуляр

4 Коллинеарность

5

Формула

Қосу және
азайту

Белгіленуі

?? − ?? ;
?? − ?? ;
?? − ??

Вектордың
координатолар
ы

координалард
ы қысқаша
жаздық

⃗ = (?? ; ?? ; ?? ) ⃗? = (?? ; ?? ; ?? )
?
? ? ?? + ? ? ?? + ? ? ?? = ?

Осы теңдік
орындалса екі
вектор
перпендикуляр

?? ?? ??
=
=
=?
?? ?? ??

Осы теңдік
орындалса екі
вектор
параллель
болады

⃗ + ⃗? = (?? + ?? ; ?? + ?? ; ?? + ?? )
?
⃗ , ⃗??
векторлар

6

Скалярды
көбейту

⃗ ∙ ⃗? = ?? ?? + ?? ?? + ?? ??
?

34

Бұл әдістемелік құралды таратуға тыйым салынады! Авторлық құқық бұзғандар ҚР қылмыстық
заңнамасына сәйкес қудаланады

III ТАРАУ. ТРИГОНОМЕТРИЯ
1. Негізгі қасиеттер мен формулалар
№

Шама

Формула

Белгіленуі

?? = ?

1

Негіз

??? ?
??? ?
??? ?
???? =
??? ?

2

Негіз

??? ∙ ???? = ?
??? ?? + ??? ?? = ?

?(?; ?)

??? =

? - PO мен OX
арасындағы бұрыш
3

Негіз

4

Негіз

5

Жұп және тақ
функциялар

??? ? = ±√? − ??? ??
??? ? = ±√? − ??? ??
?
???? ?
?
? + ??? ? =
???? ?

? + ???? ? =

Тақ: ???(−?) = −???(?)
??(−?) = −??(?)
???(−?) = −???(?)

35

Жұп:
???(−?) = ???(?)

Бұл әдістемелік құралды таратуға тыйым салынады! Авторлық құқық бұзғандар ҚР қылмыстық
заңнамасына сәйкес қудаланады

2.Төрттіктегі тригонометрия белгісі және периоды.
Тригонометрияның керек формулалары
№

Шама

Формула

Белгіленуі

Тангенс пен
котангенстің
белгілері

Синус пен
косинустың белгілері

1

Косинус
пен синус
периоды

???(? + ???) = ??? ?
???(? + ???) = ??? ?

2

Тангенс
пен
котангенс
тің
периоды

??(? + ??) = ?? ?
???(? + ??) = ??? ?

36

Функциялар
2? периоды
мен
n - натурал
сан
Функциялар
? периоды
мен
n - натурал
сан

3

4

Қосу мен
алу
формулал
ары
Қосу мен
алу
формулал
ары

???(? ± ?) = ???? ???? ± ???? ????
???(? ± ?) = ???? ???? ∓ ???? ????

5

6

Екі еселі
бұрыш
Тың
формула
лары

??? ± ???
? ∓ ??? ∙ ???

??(? ± ?) =

???(? ± ?) =

?, ?
− бұрыштар

???? ∙ ???? ∓ ?
???? ± ????

????? = ????? ∙ ????
????? = ???? ? − ???? ?
?? ?? =

?, ?
− бұрыштар

? ∙ ???
? − ??? ?

???? ? − ?
??? ?? =
? ∙ ????
? ? − ??? ?
???? =
?
?
7
? ? + ??? ?
=
?
?
?
??? ?
? − ??? ?
?? =
=
? ? + ??? ?
??? ?
????

8

Жарты
бұрыш
тың
формулал
ары

???

? ? + ??? ?
??? ?
=
=
?
??? ?
? − ??? ?
? ? − ??? ?
=
? ? + ??? ?

9

???

10

????

? ? + ??? ?
=
? ? − ??? ?

37

? − бұрыш
? ≠ ??,
n-натурал
сан
? − бұрыш
? ≠ ?(2? +
1),
n-натурал
сан
? − бұрыш
? ≠ 2??,
n-натурал
сан

Қосын
дыны
11 көбейтуге
айналдыр

??? ? ± ??? ? = ????

?±?
?∓?
???
?
?

?+?
?−?
???
?
?
?+?
?−?
???? − ???? = −????
???
?
?
???(? ± ?)
??? ± ??? =
???? ∙ ????
???? + ???? = ????

12

Қосын
дыны
13 көбейтуге
айналдыр

14

?, ? ≠

?
+ ??
2

???(? ± ?)
???? ± ???? =
???? ∙ ????

15

с??? ???? =

Көбейтінд
іні
қосынды
ға,
16
азайтуға
айналды
ру

?
(???(? − ?) + ???(? + ?))
?

???? ???? =

?
(???(? − ?) − ???(? + ?))
?

17

???? ???? =

?
(???(? − ?) + ???(? + ?))
?

38

?, ?
− бұрыштар

?, ?
− бұрыштар
?, ?
?
≠ + ??
2
n-натурал
сан
?, ? ≠ ??
n-натурал
сан

?, ?
− бұрыштар

Бұл әдістемелік құралды таратуға тыйым салынады! Авторлық құқық бұзғандар ҚР қылмыстық
заңнамасына сәйкес қудаланады

3.Кері тригонометриялық функция
№

Шама
?

Формула
?

Белгіленуі
?

− ? ≤ ?????? ? ≤ ? ;
? ≤ ?????? ? ≤ ?;

?

− ? ≤ ????? ? ≤ ? ;
? < ?????? ? < ?.

Мыналар кері тригоноиетриялық функциялар
1

Қасиеттер

2

Қасиеттер

3

Қасиеттер

???(?????? ?) = ? және
???(?????? ?) = ?

??(????? ?) = ? және
???(?????? ?) = ?

Бұлар ? ∈ [−1; 1]
аралығында болғанда
орындалады

x – кез келген сан

??????(−?) = −?????? ?
??????(−?) = ? − ?????? ?
x - бұрыш

4

Қасиеттер

?????(−?) = −????? ?
??????(−?) = ? − ?????? ?

39

Бұл әдістемелік құралды таратуға тыйым салынады