Ұлттық Бірыңғай Тестке дайындық

(7-9 – сыныптар)

Геометрия пәні бойынша

§1. Бұрыш. Бұрыштың биссектрисасы.

Жазықтықты сәуле және түзудің көмегімен бөліктерге бөлу түсініктерін пайдаланып, бұрышты анықтауға болады.

Анықтама. Бір нүктеден шығатын екі сәулемен шектелген жазықтықтың бөлігі бұрыш деп аталады.

Сәулелер бұрыштың қабырғалары деп, ал олардың бас нүктесі бұрыштың төбесі деп аталады. Бұрышты « » таңбасымен және қабырғалары мен төбесінен алынған әріптермен белгілейді.

Төбесі белгіленген әріп басқа екі әріптің ортасында жазылады. Мысалы, 29.1-суретте АОВ немесе ВОА (АОВ немесе ВОА бұрышы) кескінделген. Бұрышты жалғыз әріппен оның төбесінің атауымен немесе қандай да бір санмен белгілеуге де болады: С, 1 (29.2,3-суреттер).

Ортақ OF қабырғасы бар POF және FON бұрыштары тең, өйткені OF сәулесі PON бұрышын қақ бөледі (32-сурет). Анықтама. Бұрыштың төбесінен шығып, оны қақ бөлетін сәуле осы бұрыштың биссектрисасы деп аталады.

(32-сурет)

Енді бұрыштың түрлеріне тоқталайық.

Анықтама. Қабырғалары толықтауыш сәулелер болатын бұрыш жазыңқы бұрыш деп аталады.

33-суретте көрсетілген DOC – жазыңқы бұрыш.

АОВ жазыңқы бұрыш берілсін (34-сурет).

Бұл бұрышты тең екіге бөлетін, яғни ВОС= СОА болатын етіп, ОС сәулесін жүргізейік.

Анықтама. Жазыңқы бұрыштың жартысы тік бұрыш деп аталады.

ВОС және АОС бұрыштарының әрқайсысы тік бұрыш (34-сурет).

Анықтама. Тік бұрыштан кіші бұрыш сүйір бұрыш деп аталады.

Анықтама. Тік бұрыштан үлкен, жазыңқы бұрыштан кіші бұрыш доғал бұрыш деп аталады.

Сонымен біз бұрыштардың төрт түрін қарастырдық: сүйір бұрыш, тік бұрыш, доғал бұрыш, жазыңқы бұрыш (33, 35-суреттер).

Бұрыштың өлшемі ретінде градус деп аталатын өлшем бірлік қолданылады. Оны былай жазады: . Оқылуы: 1 градус.

Бұрыштың басқа да өлшем бірліктері бар, олар минут (^‘), секунд (^‘’), яғни , . Тік бұрыш 90 градусқа тең. Оны деп жазамыз. Ал жазыңқы бұрыш тік бұрыштан екі есе үлкен болғандықтан, ол -қа тең.

Тапсырмалар.

№1. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) бұрыштары берілген. Осы бұрыштардың қайсысы сүйір, тік, доғал және жазыңқы бұрыш болады?

№2. ; және олар бір қабырғасы ортақ бұрыштар болсын. АОС бұрышының шамасын табыңдар.

№3. 2-есептегі , болса, бұрышы неге тең?

№4. болатын бұрышқа ОС биссектрисасы жүргізілген. АОС және СОВ бұрыштарын анықтап, салыстырыңдар.

№5. 1) ; ; ; бұрыштары берілген. Оларды минуттар арқылы жазыңдар.

2) ; ; бұрыштарының әрқайсысын градус арқылы жазыңдар.

№6. ; ; ; бұрыштарының әрқайсысы

1) тік бұрыштың

2) жазыңқы бұрыштардың қандай бөлігін құрайды?

№7. 1) Тік бұрыштың; 2) жазыңқы бұрыштың ; бөлігі неше градустық бұрыш болады?

№8. Егер

1) ; болса, АОС бұрышын табыңдар. Қай сәуле қандай сәулелердің арасында жатады?

2) ; болса, АОВ бұрышын есептеңдер.

№9. АВ түзуінің бойынан С нүктесі алынған, осы нүктеден ACD бұрышы BCD бұрышынан 4 есе үлкен болатын СD сәулесі жүргізілген. Осы бұрыштарды табыңдар.

§2. Сыбайлас және вертикаль бұрыштар.

Жазыңқы бұрыштың төбесінен шығып, оның қабырғаларымен беттеспейтін әрбір сәуле жазыңқы бұрыштың ішінде жатады деп есептеледі. 43-суретте ОD сәулесі ВОА жазыңқы бұрышының ішінде жатыр. Бұл жағдайда ВОD және DОА бұрыштары сыбайлас бұрыштар деп аталады.

Анықтама. Бір қабырғасы ортақ, ал қалған екі қабырғасы толықтауыш сәулелер болып келетін екі бұрыш сыбайлас бұрыштар деп аталады.

43-суретте ВОD және DОА сыбайлас бұрыштардың ОD қабырғасы ортақ, ал ОВ мен ОА қабырғалары толықтауыш сәулелер, бірін-бірі түзуге толықтырып тұр.

Теорема. Сыбайлас бұрыштардың қосындысы -қа тең.

О нүктесінде қиылысқан a және b түзулері берілсін (44-сурет). Сонда а түзуінде ОА, ОF сәулелерін, b түзуінде ОС, ОЕ сәулелерін белгілеуге болады. ОF, ОЕ сәулелері -ді; ОА, ОС сәулелері -ні; ОЕ, ОА сәулелері -ті, ОС, ОF сәулелері -ті анықтайды. мен -ні және пен -ті вертикаль бұрыштар деп атайды.

Анықтама. Бір бұрыштың қабырғалары екінші бұрыштың қабырғаларының созындысы болып келетін екі бұрышты – вертикаль бұрыштар деп атайды.

Суретте ОF және ОА, ОС және ОЕ сәулелері бір-бірінің созындысы болып тұр.

Теорема. Вертикаль бұрыштар тең болады.

Тапсырмалар.

№10. Сыбайлас бұрыштардың біреуі 1) 45⁰; 2) 120⁰; 3) 18⁰ болса, онда оның екінші бұрышы неге тең?

№11. Екі түзудің қиылысуынан пайда болған бұрыштардың бірі 50⁰-қа тең, қалған бұрыштарын табыңдар.

№12. Сыбайлас бұрыштардың бірі екіншісінен 5 есе артық болса, ол бұрыштардың үлкені неге тең?

№13. Сыбайлас бұрыштардың бірі екіншісінен 40⁰ кіші. Осы бұрыштарды табыңдар.

№14. Сыбайлас бұрыштардың бірі 48⁰ болса, екіншісі неге тең?

№15. Сыбайлас бұрыштардың бірі екіншісінен 1) 64⁰ үлкен; 2) 56⁰ үлкен; 3) үш есе үлкен; 4) 2 есе кіші. Осы бұрыштарды табыңдар.

№16. Екі түзудің қиылысуынан пайда болған екі бұрыштың 1) қосындысы 70⁰; 2) бірі екіншісінен 3 есе үлкен; 3) бірі екіншісінен 35⁰-қа кіші. Осы бұрыштарды табыңдар.

№17. АВ түзуінің бойынан С нүктесін алайық. Осы нүктеден бастап АСD бұрышы ВСD бұрышынан 4 есе үлкен болатын СD сәулесі жүргізілген. Осы бұрыштарды табыңдар.

§3. Түзулердің параллельдік белгілері.

а және b түзулерін l түзуі А, В нүктелерінде қиып өтсін (50.1-сурет). Сонда олардың қиылысуынан сегіз бұрыш пайда болады. Ол бұрыштар суретте цифрлармен көрсетілген. Бұл жағдайда l түзуін қиюшы деп атаймыз.

Ал бұрыштар үшін төмендегідей атау қабылданған. l түзуіне қарағанда әр түрлі жарты жазықтықта жатқан мен және мен ішкі айқыш бұрыштар деп аталады (50.2-сурет). Ал 3 пен 7 және 4 пен 8-бұрыштар сыртқы айқыш бұрыштар деп аталады (50.3-сурет).

l түзуіне қарағанда бір жарты жазықтықта жататын 1 мен 2 және 5 пен 6 – ішкі тұстас бұрыштар деп, ал 3 пен 8 және 4 пен 7 – сыртқы тұстас бұрыштар деп аталады (50.2,3-суреттер).

1 мен 3, 6 мен 4, 2 мен 8, 5 пен 7 сәйкес бұрыштар деп аталады (50.1-сурет).

1-теорема. Егер екі түзудің әрқайсысы үшінші түзуге параллель болса, онда бұл екі түзу өзара параллель болады.

2-теорема. Егер екі түзу мен қиюшы жасайтын ішкі айқыш бұрыштар тең болса, онда бұл түзулер параллель болады.

3-теорема. Егер екі түзу үшінші түзумен қиылысқанда 1) ішкі тұстас бұрыштардың қосындысы 180⁰-қа тең болса; 2) сәйкес бұрыштар тең болса, онда берілген екі түзу параллель болады.

Тапсырмалар.

№18. с түзуі кез келген а және b түзулерімен қиылысқанда 8 бұрыш пайда болады (53-сурет). Олар цифрлармен белгіленген. Мұндағы

1) , . 5 пен бұрыштарын табыңдар;

2) екені белгілі. бұрыштарының қосындысын табыңдар.

3) екені белгілі. бұрыштарының айырымын табыңдар.

№19. Екі параллель түзуді үшінші түзумен қиғанда пайда болған бұрыштардың бірі 65⁰-қа тең. Қалған бұрыштарын табыңдар.

№20. Екі параллель түзу үшінші түзумен қиылған. Ішкі тұстас бұрыштардың айырымы 40⁰ екені белгілі. Түзулердің қиылысуында пайда болған барлық бұрыштарды табыңдар.

№21. Екі параллель түзу үшінші түзумен қиылған. Ішкі айқыш бұрыштардың қосындысы 160⁰-қа тең. Түзулер қиылысқанда пайда болған барлық бұрыштарды табыңдар.

№22. Екі параллель түзу үшінші түзумен қиылған. Сыртқы айқыш бұрыштардың қосындысы 150⁰-қа тең. Түзулер қиылысқанда пайда болған барлық бұрыштарды табыңдар.

№23. Параллель a мен b түзулерін с түзуі қиып өтеді. Ішкі тұстас бұрыштардың бірі 107⁰-қа тең. Бұл бұрыштың биссектрисасы екінші түзуді қандай бұрышпен қияды?

№24. Екі параллель түзу үшінші түзумен қиылысады. Ішкі бұрыштардың бірі мен оған вертикаль бұрыштың қосындысы 240⁰-қа тең. Берілген бұрышқа сәйкес бұрышты табыңдар.

№25. с түзуі АВ түзуімен Е нүктесінде, СD түзуімен F нүктесінде қиылысады. Егер 1) АЕF=90⁰ болса; 2) А мен D нүктелері с түзуінің бір жағында жатып, ВЕF= және ЕFD= болса, АВ мен СD түзулері параллель бола ма?

№26. Екі параллель түзу мен қиюшының арасында пайда болған ішкі тұстас бұрыштардың айырымы 40⁰-қа тең. Барлық бұрыштарды табыңдар.

§4. Қиылысқан түзулер. Перпендикуляр және көлбеу.

АВ және CD түзулері О нүктесінде қиылысып, бір-бірімен тік бұрыш жасасын (57-сурет). Сонда болады. Ол жазық бұрыштың жартысы болғандықтан, , . Бұдан -қа тең. Бұл жағдайда АВ және CD түзулері перпендикуляр болады.

Анықтама. Тік бұрыш жасап қиылысқан екі түзу перпендикуляр түзулер деп аталады.

Түзулердің перпендикулярлығы « » таңбасымен белгіленеді. Мына жазуы былай оқылады: «а түзуі b түзуіне перпендикуляр». Сонда «АВ түзуі CD түзуіне перпендикуляр» дегенді қысқаша деп жазамыз.

Перпендикуляр түзулерде жатқан кесінділер де, сәулелер де перпендикуляр болады. Яғни, 57-суреттегі ОВ және OD сәулелері, сондай-ақ ОЕ, ON кесінділері перпендикуляр деп есептеледі.

1 – теорема. Бір түзуге перпендикуляр екі түзу өзара параллель болады.

2 – теорема. Егер түзу параллель түзулердің біріне перпендикуляр болса, онда ол екіншісіне де перпендикуляр болады.

3 – теорема. Түзудің әрбір нүктесі арқылы оған перпендикуляр тек бір ғана түзу жүргізуге болады.

4 - теорема. Түзуден тысқары жатқан нүкте арқылы осы түзуге перпендикуляр бір ғана түзу жүргізуге болады.

В нүктесінен а түзуіне түсірілген ВА кесіндісін – перпендикуляр, ал ВС кесіндісін – көлбеу деп атайды (60-сурет). А нүктесі ВА перпендикулярының табаны, С нүктесі ВС көлбеудің табаны, АС кесіндісі ВС көлбеуінің а түзуіндегі проекциясы деп аталады.

ВА кесіндісінің ұзындығын В нүктесінен а түзуіне дейінгі қашықтық деп те атайды.

Салдар. Параллель екі түзудің арақашықтығы олардың бірінің кез келген нүктесінен екіншісіне түсірілген перпендикулярдың ұзындығына тең.

(60-сурет)

Тапсырмалар.

№27. АВ және CD перпендикуляр түзулері О нүктесінде қиылысады. ОЕ және OF сәулелері OD сәулесімен бір жарты жазықтықта жатады және , . DOF және DOE бұрыштарын табыңдар.

№28. Төбелері ортақ сәйкес қабырғалары перпендикуляр екі бұрыш берілген. Олардың бірі екіншісінен 4 есе кем. Осы бұрыштарды табыңдар.

§5. Үшбұрыш және оның түрлері.

Анықтама. Бір түзуде жатпайтын үш нүкте мен осы нүктелерді қосатын үш кесіндіден және сол кесінділермен шектелген жазықтықтың бөлігінен тұратын фигураны үшбұрыш деп атайды.

Бір түзуде жатпайтын әр түрлі А, В, С нүктелері берілсін (61.1-сурет). АВ, ВС, СА кесінділерін жүргізсек, АВС үшбұрышы пайда болады. Үшбұрыш деген сөздің орнына « » белгісі қолданылады. Сонда «АВС үшбұрышы» деген сөз түрінде жазылады.

А, В, С нүктелері үшбұрыштың төбелері; АВ, ВС, СА кесінділері – қабырғалары; -үшбұрыштың АВ және АС қабырғаларының арасындағы бұрышы, , да бұрыштары деп аталады. Яғни, үшбұрыштың 3 төбесі, 3 қабырғасы, 3 бұрышы бар екен. Олар үшбұрыштың элементтері деп аталады. А, В, С төбелеріне қарсы жатқан қабырғаларды сәйкесінше a, b, c әріптерімен белгілеу де қолданылады, яғни , , . Сондай-ақ, бұрыштарды төбесіндегі әріппен ғана белгілеуге де болады: , , . Оларды үшбұрыштың ішкі бұрыштары деп атайды.

Анықтама. Үшбұрыштың төбесін оған қарсы жатқан қабырғасының ортасымен қосатын кесіндіні оның медианасы деп атайды.

Үшбұрыштың медианаларын жүргізген қабырғасына байланысты , , деп белгілейді. М нүктесі с қабырғасының ортасы болса, ВМ кесіндісі В төбесінен жүргізілген медиана ( , ).

Анықтама. Үшбұрыш бұрышының төбесінен бұрышты қақ бөлетін және қарсы қабырғаға дейінгі кесіндісі, оның осы бұрышының биссектрисасы деп атайды.

Үшбұрыштың биссектрисаларын жүргізілген қабырғасына байланысты , , деп белгілеуге болады (61.2-сурет). АВС үшбұрышының В бұрышының биссектрисасының ВЕ кесіндісі үшбұрыштың биссектрисасы болады ( ). Анықтама. Үшбұрыштың төбесінен қарсы жатқан қабырғаны қамтитын түзуге түсірілген перпендикуляр кесіндіні оның биіктігі деп атайды. Үшбұрыштың биіктіктерін түсірілген қабырғасына байланысты , , деп белгілеуге болады 61.2, 3 сурет. BD – биіктік, себебі ол В төбесінен АС қабырғасына түсірілген перпендикуляр, ( ). Анықтама. Үшбұрыш қабырғаларының ұзындықтарының қосындысын оның периметрі деп атайды. Периметр Р әрпімен белгіленіп, былай есептелінеді: .

Үшбұрыш алты түрге, яғни қабырғаларының ұзындықтарына байланысты үш түрге және бұрыштарының шамаларына байланысты үш түрге бөлінеді.

Үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтарына байланысты түрлері:

1) қабырғаларының ұзындықтары әр түрлі болатын әр түрлі қабырғалы үшбұрыш;

2) екі қабырғасы тең болатын теңбүйірлі үшбұрыш.

Теңбүйірлі үшбұрыштың өзара тең екі қабырғасы оның бүйір қабырғалары, ал үшіншісі – табаны деп аталады;

3) үш қабырғасы өзара тең болатын тең қабырғалы үшбұрыш.

Үшбұрыштың бұрыштарының шамаларына байланысты түрлері:

1) үш бұрышы да сүйір болатын сүйір бұрышты үшбұрыш;

2) бір бұрышы тік болатын тікбұрышты үшбұрыш.

Тікбұрышты үшбұрыштың тік бұрыш жасап тұрған қабырғалары оның катеттері деп, ал оған қарсы жатқан қабырғасы гипотенузасы деп аталады.

62-суреттегі АВС үшбұрышында , a, b – катеттері, с–гипотенузасы; 3) бір бұрышы доғал болатын үшбұрыш доғал бұрышты үшбұрыш деп аталады.

Тапсырмалар.

№29. Қабырғалары 1) 7,5см, 6см, 4,5см; 2) 8,1см, 7,9см, 12см болатын үшбұрыштардың периметрлерін табыңдар.

№30. Үшбұрыш пішінді жер бөлігінің периметрі 1248м. Берілген екі қабырғасы бойынша үшінші қабырғасын табыңдар:

1) a=476м, b=504м; 2) a=540м, b=400м.

№31. Үшбұрыштың екі қабырғасының қосындысы 72дм, үшінші қабырғасы бұл қосындыдан 18дм кем. Үшбұрыштың периметрін табыңдар.

§6. Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы.

Кез келген үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысын мына теореманың негізінде табуға болады.

Теорема. Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы 180⁰-қа тең болады.

Анықтама. Үшбұрыштың ішкі бұрышымен сыбайлас бұрыш оның сыртқы бұрышы деп аталады.

69-суреттегі АВС үшбұрышының ішкі бұрышымен сыбайлас бұрыш CBD, сондықтан сыртқы бұрыш болады. Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы туралы теоремадан шығатын салдарларға тоқталайық. 1-салдар. Үшбұрыштың сыртқы бұрышы өзімен сыбайлас емес екі ішкі бұрыштардың қосындысына тең болады.

2-салдар. Үшбұрыштың сыртқы бұрышы өзімен сыбайлас емес ішкі бұрыштардың кез келгенінен артық болады.

3-салдар. Үшбұрыштың бір бұрышы ғана доғал (тік) бола алады.

4-салдар. Тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрыштарының қосындысы 90⁰-қа тең.

Тапсырмалар.

№32. Бұрыштары 1) 45⁰; 35⁰; 110⁰; 2) 70⁰; 60⁰; 50⁰; 3) 90⁰; 60⁰; 45⁰; 4) 55⁰; 45⁰; 60⁰ болатын үшбұрыштар бола ма?

№33. Берілген екі бұрышы бойынша үшінші бұрышын табыңдар:

1) 30⁰; 50⁰; 2) 60⁰; 40⁰; 3) 29⁰; 30⁰; 4) 81⁰; 90⁰.

№34. Үшбұрыштың сыртқы бұрышының бірі оның ішкі бұрыштарының қосындысының -сіне, ал ішкі бұрышының бірі -не тең. Үшбұрыштың барлық ішкі және сыртқы бұрыштарын табыңдар.

№35. Үшбұрыштардың бір бұрышы екіншісінен 45⁰ артық, ал үшіншісі 15⁰ кем. Үшбұрыштың бұрыштарын табыңдар.

№36. АВС үшбұрышында және . Үшбұрыштың барлық бұрыштарын табыңдар.

№37. Үшбұрыш бұрыштары шамаларының қатынасы 4:2:3. Оның барлық бұрыштарын табыңдар.

№38. Үшбұрыштың екі бұрышының қатынасы 5:7, ал үшінші бұрышы кіші бұрыштан 44⁰ артық. Үшбұрыштың үшінші бұрышын табыңдар.

№39. АВС үшбұрышында , , CD – биіктігі, СЕ – биссектрисасы. DCE бұрышын табыңдар.

№40. DEF үшбұрышында , . D және Е бұрыштарының биссектрисаларының арасындағы бұрышты табыңдар.

№41. Үшбұрыштың екі төбесіндегі сыртқы бұрыштары 110⁰ және 160⁰-қа тең. Үшбұрыштың барлық бұрыштарын табыңдар.

№42. АВС үшбұрышының В және С төбелеріндегі сыртқы бұрыштарының қосындысы 250⁰-қа тең. Үшбұрыштың А төбесіндегі ішкі бұрышын табыңдар.

№43. Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының бірі 50⁰, ал сыртқы бұрыштарының бірі 85⁰-қа тең. Оның қалған ішкі бұрыштарын табыңдар.

§7. Теңбүйірлі үшбұрыштың қасиеттері.

1-теорема. Теңбүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрыштары тең болады. Берілген АВС үшбұрышындағы (72-сурет) АС, ВС бүйір қабырғалары, АВ – табаны, пен - табанына іргелес жатқан бұрыштар, онда .

2-теорема. Теңбүйірлі үшбұрыштың табанына жүргізілген биссектриса оның әрі медианасы, әрі биіктігі болады.

Салдар. Тікбұрышты үшбұрыштың 30⁰-қа қарсы жатқан катеті гипотенузаның жартысына тең болады.

3-теорема. (1-теоремаға кері теорема). Егер үшбұрыштың екі бұрышы тең болса, онда ол теңбүйірлі үшбұрыш болады.

Салдар. Үшбұрышта өзара тең қабырғаларға қарсы өзара тең бұрыштар жатады және өзара тең бұрыштарға қарсы өзара тең қабырғалар жатады.

Тапсырмалар.

№44. Қабырғалары 1) 4см, 6см, 7см; 2) 6см, 9см, 0,6см; 3) 5м, 5м, 5м;

4) 1,2м, 7м, 12дм болатын үшбұрыштар берілген. Олардың қайсысы 1) теңбүйірлі; 2) теңқабырғалы; 3) әр түрлі қабырғалы үшбұрыш болады?

№45. Теңбүйірлі үшбұрыштың 1) бүйір қабырғасы 8см, табаны 10см;

2) бүйір қабырғасы 5м, табаны 7м болғандағы периметрін табыңдар.

№46. Теңбүйірлі үшбұрыштың периметрі 20,6дм. 1) Табаны 6дм болғандағы бүйір қабырғаларын; 2) бүйір қабырғасы 53см болғандағы табанын;

3) табаны бүйір қабырғасынан 2,6дм артық болғандағы қабырғаларын табыңдар.

№47. Теңқабырғалы үшбұрыштың қабырғасы 6,2см. Үшбұрыштың периметрін табыңдар.

№48. Теңқабырғалы үшбұрыштың периметрі 32,4дм. Оның қабырғасын табыңдар.

№49. Теңқабырғалы үшбұрыштың бір қабырғасына жүргізілген медиана оны 8дм және 8дм бөліктерге бөледі. Үшбұрыштың қабырғаларын табыңдар.

№50. Теңбүйірлі АВС үшбұрышының периметрі 60дм, BD – табанына түсірілген биіктік. ABD үшбұрышының периметрі 46дм. BD биіктігін табыңдар.

№51. Теңбүйірлі үшбұрыштың төбесіндегі бұрышы 75⁰. Табанындағы бұрыштарын табыңдар.

№52. Теңбүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрышы . Төбесіндегі бұрышын табыңдар.

№53. Теңбүйірлі үшбұрыштың төбесіндегі бұрышы 80⁰. Бүйір қабырғасына түсірілген биіктік пен табанының арасындағы бұрышты табыңдар.

№54. Теңбүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрышы 50⁰. Бір бүйір қабырғасына жүргізілген биіктік пен табанының арасындағы бұрышты табыңдар.

№55. Теңбүйірлі үшбұрыштың төбесінен түсірілген биіктік пен бүйір қабырғасының арасындағы бұрыш табанындағы бұрышынан15⁰ кіші. Үшбұрыштың бұрыштарын табыңдар.

№56. Теңбүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрышы мен төбесіндегі бұрышының айырымы 24⁰. Оның бұрыштарын табыңдар.

№57. Тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрыштарының біреуі 1) 18⁰; 2) 56⁰ болса, оның екінші сүйір бұрышы неге тең?

№58. Тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышарының бірі 60⁰. 1) Осы бұрышқа іргелес катеті 6,5см. Гипотенузасын табыңдар. 2) Кіші катеті мен гипотенузасының қосындысы 3,6дм. Осы катет пен гипотенузаны табыңдар.

№59. Тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы 18см, ал бір сүйір бұрышы 30⁰. Осы бұрышқа қарсы жатқан катеттің ұзындығын табыңдар.

§8. Шеңбер және оның элементтері

Тұйық қисық сызықтардың ішіндегі ең қарапайым түрі шеңбер болып табылады. Ол былайша анықталады.

Анықтама. Жазықтықта берілген нүктеден бірдей қашықтықта жататын нүктелердің жиынын шеңбер деп атайды.

Берілген нүктені (О) шеңбердің центрі дейді. Шеңбер сызу үшін циркуль пайдаланылады.

80.1-суретте центрі О нүктесі болатын шеңбер көрсетілген. А, В, С нүктелері шеңбердің бойында орналасқан және ОА=ОВ=ОС.

Анықтама. Шеңбердің центрін оның бойындағы кез келген нүктемен қосатын кесіндіні шеңбердің радиусы деп атайды.

Радиус латынның R немесе r (оқылуы «эр») әрпімен белгіленеді, яғни . Центрі О нүктесінде, радиусы r болатын шеңберді деп белгілейді. шеңберінің бойындағы кез келген В мен С нүктелері алынсын (80.1-сурет). Ол нүктелер шеңберді екі бөлікке бөледі. Ол бөліктердің әрқайсысы шеңбердің доғасы деп немесе жай ғана доға деп аталады. В мен С нүктелері шеңберді BQC және САВ доғаларына бөліп тұр, оларды BQC-на САВ немесе ВС, СВ деп белгілейді, мұндағы « »-доғаның белгісі.

80.2-суреттегі M мен N нүктелері шеңбердің бойында жатпайды. М нүктесі шеңбердің ішінде, N нүктесі шеңберден тыс орналасқан делінеді. Себебі шеңбердің анықтамасы бойынша OM<r, ал ON>r.

Анықтама. Шеңбердің бойындағы кез келген екі нүктені қосатын кесіндіні оның хордасы деп атайды.

ВС доғасы ВС хордасына сәйкес доға немесе ВС хордасына керілетін доға деп аталады (80.3-сурет).

Анықтама. Шеңбердің центрі арқылы өтетін хорданы диаметр деп атайды.

80.2-суретте AD – диаметр. . Шеңбердің центрі диаметрдің ортасы болады. Диаметрге керілетін доғаны жартышеңбер деп атайды.

шеңбері берілсін (81-сурет). Анықтама. Шеңбердің екі радиусының арасындағы бұрыш центрлік бұрыш деп аталады. ВОС бұрышы ОВ мен ОС радиустарының арасында орналасқан, яғни -центрлік бұрыш. Центрлік бұрыштың қабырғалары шеңберді екі доғаға бөледі. Олардың біреуі центрлік бұрыштың ішінде жатады, сондықтан ол доға центрлік бұрышқа сәйкес келеді.

Сонымен ВС доғасы ВОС центрлік бұрышына сәйкес доға делінеді. Керісінше ВС доғасына ВОС центрлік бұрышы сәйкес келеді. Олай болса, доға да градуспен өлшенеді және доғаның градустық өлшемі сәйкес центрлік бұрыштың өлшеміне тең болады. Мысалы, егер болса, онда . Бұдан .

Тапсырмалар.

№60. Шеңбердің 1) жартысына; 2) бөлігіне тең доғаға сәйкес центрлік бұрыштың градустық өлшемдерін табыңдар.

№61. Центрлік бұрыштар , болғандағы АВ, ВС және АС доғаларының градустық өлшемдерін табыңдар.

№62. Жарты шеңбер 1) 3; 2) 4; 3) 6; 4) 18 тең бөлікке бөлінген. Әр доғаның және оған сәйкес центрлік бұрыштың градустық өлшемін табыңдар.

§9. Түзу мен шеңбердің өзара орналасуы.

Түзу мен шеңбердің өзара орналасуының үш түрлі жағдайы болуы мүмкін.

1. Түзу мен шеңбердің ортақ нүктесі жоқ (84.1-сурет).

2. Түзу мен шеңбердің бір ортақ нүктесі бар (84.2-сурет).

3. Түзу мен шеңбердің екі ортақ нүктесі бар (84.3-сурет).

Анықтама. Шеңбермен бір ғана ортақ нүктесі болатын түзуді шеңберге жанама деп атайды.

Анықтама. Шеңбермен екі ортақ нүктесі бар түзу қиюшы деп аталады.

1-теорема. Шеңбердің хордасын қақ бөлетін диаметр осы хордаға перпендикуляр болады.

2-теорема. (1-теоремаға кері теорема). Егер шеңбердің диаметрі хордаға перпендикуляр болса, онда ол хорданы тең екі бөлікке бөледі.

3-теорема. Шеңберге жүргізілген жанама жанасу нүктесіне жүргізілген радиусқа перпендикуляр болады.

Шеңберден тыс алынған М нүктесінен оған МВ және МС екі жанама жүргізілсе, онда

а) шеңбердің центрі -ның биссектрисасында жатады ;

ә) ВМС бұрышының төбесінен жанасу нүктелеріне дейінгі қашықтықтары тең (MB=MC);

б) жанасу нүктелерін шеңбердің центрімен қосатын кесінділер осы шеңбердің радиустары және ВМС бұрышының қабырғаларына перпендикуляр болады (OB=OC=R, , );

в) .

Центрлері ортақ шеңберлер коцентрлі шеңберлер деп аталады.радиустары тең болса, шеңберлер беттесіп кетеді, ал радиустары әр түрлі болса, ортақ нүктелері болмайды (90-сурет).

Қайталауға арналған жаттығулар

№63. ОС сәулесі АОВ жазық бұрышының ішінде жатыр. Егер АОС бұрышы СОВ бұрышынан 5 есе артық болса, үлкен бұрыштың шамасы неге тең?

№64. Сыбайлас бұрыштардың біреуі екіншісінен 8 есе кіші. Үлкен бұрыштың шамасын табыңдар.

№65. Сыбайлас бұрыштардың бірі екіншісінен 44⁰-қа кіші болса, осы бұрыштардың шамалары қандай?

№66. Егер ОВ және ОС сәулелері ОА сәулесімен 1) бір; 2) әр түрлі жарты жазықтықта жатса және , болса, ВОС бұрышының шамасы қандай?

№67. Центрлік бұрыштар 60⁰ және 80⁰-қа тең. Осы бұрыштарға сәйкес доғалардың шамасын табыңдар.

№68. Шеңбердің ВС доғасының шамасы 20⁰-қа тең. болса, BOD бұрышының шамасы қандай?

№69. Үшбұрыштың екі қабырғасының қосындысы 68дм-ге тең, ал үшінші қабырғасының ұзындығы бұл қосындыдан 20дм-ге кіші. Үшбұрыштың периметрін табыңдар.

№70. Үшбұрыштың бір бұрышы екінші бұрышының -іне, ал үшінші бұрышы екінші бұрыштың -іне тең. Үшбұрыштың бұрыштарын табыңдар.

§10. Параллелограмм және оның қасиеттері.

Анықтама. Қарама – қарсы қабырғалары қос-қостан параллель болатын төртбұрыш параллелограмм деп аталады.

2, а-суретте ABCD параллелограмы көрсетілген: , . Параллелограмм – дөңес төтбұрыш. Шынында да, параллелограмм оның әрбір қабырғасы арқылы өтетін түзумен шектелген жарты жазықтықтардың тек бірінде ғана жатады.

Параллелограмның бір төбесінен қарсы жатқан қабырғасына түсірілген перпендикуляр оның биіктігі деп, ал биіктік түсірілген қабырға табаны деп аталады. , , демек, DE кесіндісі параллелограмның D төбесінен АВ қабырғасына түсірілген биіктігі, ал DK кесіндісі ВС қабырғасына түсірілген биіктігі болады (2, ә-сурет).

Теорема. Параллелограмның қарама-қарсы қабырғалары тең.

Бұл теоремадан параллелограмның мынадай үш қасиеті шығады:

1. Параллелограмның қарсы жатқан бұрыштары тең.

2. Параллелограмның диагональдары қиылысу нүктесінде тең екі бөлікке бөлінеді.

3. Параллелограмның бір қабырғасына іргелес бұрыштарының қосындысы 180⁰-қа тең.

1 – мысал. Периметрі 144дм, ал бір қабырғасы екіншісінен 30дм үлкен болатын параллелограмның қабырғаларын табайық.

Шешуі. Параллелограмның қасиеті бойынша оның қарама-қарсы қабырғалары тең. Параллелограмның бір қабырғасын х деп, ал екінші қабрғасын у деп белгілейік. Сонда есептің шартынан

теңдеулер жүйесі шығады. Бұл жүйені шешіп, x=51, y=21 аламыз. Сонда параллелограмның қабырғалары 51дм, 21дм, 51дм, 21дм-ге тең.

Тапсырмалар.

№71. 1) Қабырғалары 6см және 4см; 2) 11,5м және 7м болатын параллелограмның периметрі қандай?

№72. Параллелограмның бір қабырғасы 12,4дм. 1) Екінші қабырғасы одан 0,8дм қысқа; 2) 1,6дм ұзын; 3) 4 есе кіші. Параллелограмның периметрі неге тең?

№73. Параллелограмның периметрі 18,4дм. Оның бір қабырғасы: 1) 3дм; 2) 7дм. Екінші қабырғасын табыңдар.

№74. Параллограмның периметрі 24см. Оның бір қабырғасы екінші қабырғасынан: 1) 4см ұзын; 2) 6см қысқа; 3) 2 есе ұзын. Параллелограмның қабырғаларын табыңдар.

№75. Параллелограмның екі қабырғасының қосындысы 12см, ал олардың қатынасы: 1) 1:2; 2) 3:2. Параллелограмның қабырғалары неге тең?

№76. Параллелограмның бір бұрышы 42⁰. Қалған бұрыштарын табыңдар.

№77. Параллелограмның бір бұрышы екінші бұрышынан 1) 15⁰-қа үлкен; 2) -қа кіші; 3) 2 есе үлкен. Параллелограмның бұрыштарын табыңдар.

№78. ABCD параллелограмында А бұрышының биссектрисасы ВС қабырғасын Е нүктесінде қиып өтеді. AB=12дм және AD=17дм деп алып, ВЕ және ЕС кесінділерінің ұзындықтарын есептеңдер.

№79. Параллелограмның бір бұрышының биссектрисасы қабырғаны 12см және 7см кесінділерге бөледі. Параллелограмның периметрін табыңдар.

№80. Параллелограмм бұрышының биссектрисасы оның қабырғасымен 32⁰ бұрыш жасап қиылысады. Параллелограмның бұрыштарын есептеңдер.

§11. Тіктөртбұрыш, ромб, квадрат және олардың қасиеттері

Анықтама. Барлық бұрыштары тік болатын параллелограмды тіктөртбұрыш деп атайды.

Тіктөртбұрыш параллелограмның дербес жағдайы болғандықтан, параллелограмның барлық қасиеттері және ол туралы теоремалар тіктөртбұрыш үшін де орындалады.

ABCD тіктөртбұрышының іргелес қабырғалары өзара перпендикуляр (5-сурет).

Теорема. Тіктөртбұрыштың диагональдары тең болады. Анықтама. Барлық қабырғалары тең параллелограмм ромб деп аталады. 6, а-суретте ABCD ромб бейнеленген. Ол параллелограмның дербес түрі болғандықтан, параллелограмның барлық қасиеттері және ол жөніндегі теоремалар ромб үші де орындалады. Мұндағы AB=BC=CD=DA. Теорема. Ромбының диагональдары өзара перпендикуляр және олар бұрыштардың биссектрисалары болып табылады. Анықтама. Барлық қабырғалары тең тіктөртбұрыш квадрат деп аталады (7-сурет). Квадрат тіктөртбұрыштың дербес түрі болғандықтан, тіктөртбұрыштың барлық қасиеттері квадрат үшін де орындалады. Квадратты барлық бұрыштары тік ромб деп те қарастыруға болады. Сондықтан квадраттың диагональдары перпендикуляр (7-сурет).

Тапсырмалар

№81. Тіктөртбұрыштың қабырғалары: 1) 8,5см және 4,5см; 2) 17дм және 8дм. Әр жағдай үшін тіктөртбұрыштың периметрін есептеңдер.

№82. Тіктөртбұрыштың бір қабырғасы 15м. Екінші қабырғасы одан: 1) 2,5м қысқа; 2) 3м ұзын; 3) 1,5 есе үлкен. Тіктөртбұрыштың периметрі неге тең?

№83. Тіктөртбұрыштың периметрі 24м. Оның бір қабырғасы екінші қабырғасынан: 1) 3м ұзын; 2) 2м қысқа; 3) 2 есе қысқа. Тіктөртбұрыштың қабырғаларын табыңдар.

№84. Тіктөртбұрыштың қабырғаларының қосындысы 16дм, қатынасы 3:7; 2) тіктөртбұрыштың қабырғаларының айырымы 3дм, қатынасы 5:3. тіктөртбұрыштың қабырғаларын табыңдар.

№85. Тіктөртбұрыштың диагоналі қабырғасымен 36⁰ бұрыш жасайды. Диагональдардың арасындағы бұрыштардың кіші қабырғаға қарсы бұрышын табыңдар.

№86. Тіктөртбұрыштың диагональдарының арасындағы бұрыштардың үлкен қабырғаға қарсы жатқан бұрышы сол үлкен қабырға мен диагональдың арасынағы бұрыштан 30⁰-қа үлкен. Үлкен қабырға мен диагональдың арасындағы бұыршты табыңдар.

№87. Тіктөртбұрыштың диагональдары 60⁰ бұрыш жасап қиылысады. Диагональдар мен екі кіші қабырғаның қосындысы 3,6м-ге тең. Диагональдардың ұзындықтарын табыңдар.

№88. Тіктөртбұрыштың бір бұрышының биссектрисасы қабырғалардың бірін ұзындықтары 12см және 8см кесінділерге бөледі. Тіктөртбұрыштың қабырғаларын табыңдар.

№89. Тіктөртбұрыштың периметрі 22дм. Тіктөртбұрыштың ішінде жатқан кез келген нүктеден қабырғаларына дейінгі қашықтықтардың қосындысын табыңдар.

№90. Ромбының қабырғасы 6,5дм. Периметрін есептеңдер.

№91. Ромбының периметрі 36,4м. Қабырғасын табыңдар.

№92. Ромбының бір диагоналі қабырғасына тең болса, оның бұрыштарын есептеңдер.

№93. Ромбының сүйір бұрышы 42⁰. Қалған бұрыштарын табыңдар.

№94. Ромбының қабырғасы оның диагональдарымен айырымы 15⁰-қа тең бұрыштар жасайды. Ромбының бұрыштарын табыңдар.

№95. Ромб қабырғасының диагональдарымен жасайтын бұрыштарының қатынасы 2:7. ромбының бұрыштарын есептеңдер.

№96. Егер ромбының үлкен бұрышының төбесінен қабырғасына түсірілген биіктік сол қабырғаны тең екіге бөлсе, ромбының бұрыштары неге тең?

№97. Ромбының периметрі 16дм, ал биіктігі 2дм. Ромбының үлкен бұрышын табыңдар.

№98. Бір қабырғасы 7,5см-ге тең квадраттың периметрін табыңдар.

№99. Квадраттың периметрі 3,2см. Қабырғасын табыңдар.

№100. Әрбір катеті 4дм болатын теңбүйірлі тікбұрышты үшбұрышқа бір бұрышы ортақ квадрат іштей сызылған. Квадраттың периметрін табыңдар.

§12. Трапеция.

Анықтама. Екі қабырғасы ғана параллель болатын дөңес төртбұрыш трапеция деп аталады.

Трапецияның параллель қабырғалары табандары, ал параллель емес қабырғалары бүйір қабырғалары деп аталады. 10, а-суретте ABCD трапециясы бейнеленген. болғандықтан, АВ мен CD трапецияның табандары, AD мен ВС бүйір қабырғалары болып табылады.

Бүйір қабырғалары тең трапеция теңбүйірлі трапеция деп аталады (10, ә-сурет). Егер трапецияның бір бұрышы 90⁰-қа тең болса, онда ол тікбұрышты трапеция болады. 10, б-суретте тікбұрышты KDEF трапециясы бейнеленген. Трапецияның төбесінен табанына түсірілген перпендикуляр оның биіктігі деп аталады. , кесіндісі D төбесінен АВ табанына түсірілген биіктік болып тұр (11, а-сурет).

Қарсы жатқан төбелерін қосатын кесінді трапецияның диагоналі деп аталады. ABCD трапециясының диагональдары – АС, BD кесінділері (11, ә-сурет).

Тапсырмалар.

№101. ABCD трапециясы берілген. В төбесінен CD бүйір қабырғасына параллель жүргізілген түзу AD үлкен табанын Е нүктесінде қиып өтеді. АВЕ-ның периметрі 18дм, ал дм болса, берілген трапецияның периметрін табыңдар.

№102. Трапецияның кі бұрышы 112⁰ және 65⁰-қа тең. Оның қалған бұрыштарын есептеңдер.

№103. AD мен ВС қабырғалары ABCD трапециясының табандары болып табылады және , . B мен D бұрыштарын табыңдар.

№104. Теңбүйірлі трапецияның кіші табаны 8см, бүйір қабырғасы 10см, ал үлкен табанына іргелес бұрышы 60⁰ болса, онда берілген теңбүйірлі трапецияның периметрін табыңдар.

№105. Теңбүйірлі трапецияның қарсы бұрыштарының айырымы 56⁰-қа тең. Трапецияның бұрыштарын табыңдар.

№106. Теңбүйірлі трапецияның кіші табаны оның бүйір қабырғасына тең, ал диагоналі бүйір қабырғасына перпендикуляр. Трапецияның бұрыштарын табыңдар.

№107. Теңбүйірлі трапецияның диагоналі оның сүйір бұрышын тең екі бөлікке бөледі. Трапецияның периметрі 15м, ал үлкен табаны 6м. Трапецияның кіші табанын табыңдар.

№108. Теңбүйірлі трапецияның үлкен табаны 10,5дм, бүйір қабырғасы 4дм, ал олардың арасындағы бұрышы 60⁰-қа тең. Трапецияның кіші табанының ұзындығын табыңдар.

№109. Теңбүйірлі трапецияның доғал бұрышының төбесінен түсірілген биіктігі оның табанын ұзындықтары 8см және 26см болатын екі кесіндіге бөледі. Трапеция табандарының ұзындықтарын табыңдар.

§13. Үшбұрыштың, трапецияның орта сызықтары.

Анықтама. Үшбұрыштың екі қабырғасының ортасын қосатын кесіндіні үшбұрыштың орта сызығы деп атайды. Мысалы, АВС үшбұрышының (12, а-сурет) АС қабырғасының ортасы D нүктесі, ВС қабырғасының ортасы Е нүктесі болса, онда DE кесіндісі берілген үшбұрыштың орта сызығы болады. Теорема. Үшбұрыштың екі қабырғасының ортасын қосатын орта сызық үшінші қабырғаға параллель және оның жартысына тең болады. Теорема. Үшбұрыштың үш медианасы бір нүктеде қиылысады және ол нүкте әрбір медиананы оның табанынан бастап есептегенде бөлікке бөледі. Ескерту. Үшбұрыштың медианаларының қиылысу нүктесін оның ауырлық центрі деп атайды. Анықтама. Трапецияның бүйір қабырғаларының ортасын қосатын кесіндіні трапецияның орта сызығы дейміз.

12-сурет

Теорема. Трапецияның орта сызығы табандарына параллель және табандарының қосындысының жартысына тең.

(14-сурет).

1-мысал. Диагоналі бүйір қабырғасына перпендикуляр және табанымен 20⁰ бұрыш жасайтын теңбүйірлі трапецияның бұрыштарын табайық.

Шешуі. ABCD теңбүйірлі трапециясын салайық (15-сурет). Теңбүйірлі трапецияның табанындағы бұрыштары тең екені белгілі: , . Шарт бойынша, , , демек, параллель түзулер мен қиюшының қасиеті бойынша .

15-суреттен . Ал -дан

. Сонымен біз трапецияның ВС табанындағы бұрышы 110⁰, ал AD табанындағы бұрышы 70⁰ болатынын таптық.

Тапсырмалар.

№110. АВС үшбұрышы берілген. Е – АС қабырғасының ортасы, F – ВС қабырғасының ортасы. 1) дм болса, үшбұрыштың EF орта сызығын; 2) см болса, АВ қабырғасын табыңдар.

№111. Үшбұрыштың қабырғалары 6м, 9м, 13м. Оның орта сызықтарынан салынған үшбұрыштың қабырғаларын табыңдар.

№112. Үшбұрыш берілген. Оның орта сызықтарынан салынған үшбұрыштың қабырғалары 5дм, 7дм, 10дм. Берілген үшбұрыштың қабырғаларын табыңдар.

№113. Үшбұрыштың периметрі 24м. Сол үшбұрыштың орта сызықтарынан салынған үшбұрыштың периметрін табыңдар.

№114. Үшбұрыштың орта сызықтарынан салынған үшбұрыштың периметрі 15дм. Берілген үшбұрыштың периметрін есептеңдер.

№115. Үшбұрыштың қабырғаларының қатынасы 4:3:5 қатынасындай. Қабырғаларының орталарын қосқанда пайда болған үшбұрыштың периметрі 3,6дм. Берілген үшбұрыштың периметрін табыңдар.

116. Әр түрлі жарты жазықтықтарда жататын а түзуінен 12дм және 5дм қашықтықта А, В нүктелері берілген. АВ кесіндісінің ортасы болатын О нүктесінен а түзуіне дейінгі қашықтықты табыңдар.

Нұсқау. В нүктесі арқылы а-ға параллель жүргізіп, оған А және О нүктелерінен перпендикуляр түсіру керек.

№117. Үшбұрыштың бір медианасы 6м-ге тең. Медианалардың қиылысу нүктесінде ол қандай бөліктерге бөлінеді?

Нұсқау. Кез келген үшбұрыштың медианалары қиылысу нүктесінде төбелерінен бастап есептегенде 2:1 қатынасында бөлетінін пайдаланыңдар.

118. Табандары 6,4дм және 8,6дм болатын трапецияның орта сызығын табыңдар.

119. Трапецияның табандарының қатынасы 2:3, орта сызығы 24дм. Табандарын табыңдар.

№120. Орта сызығы 10м болатын трапецияның диагоналі оны айырымы 4м-ге тең екі кесіндіге бөледі. Трапецияның табандарын табыңдар.

№121. Теңбүйірлі трапецияның үлкен бұрышының төбесінен түсірілген биіктік оның үлкен табанын ұзындықтары 3,5дм және 8,5дм кесінділерге бөледі. Трапецияның орта сызығын табыңдар.

№122. Трапецияның табандары 5,6м және 2,4м. Трапецияның диагональдары оның орта сызығын қандай кесінділерге бөледі?

§14. Тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышының синусы, косинусы, тангенсі және котангенсі.

Тікбұрышты үшбұрыштың қабырғалары мен бұрыштарының арасындағы байланыс геометрияның көптеген сұрақтарын оқып-үйренуде маңызды рөл атқарады. АВС тікбұрышты үшбұрышы берілсін (27-сурет). Оның катеттерін a, b, ал гипотенузасын с деп, сонымен бірге бір сүйір бұрышын, мысалы, А бұрышын деп белгілейік. болсын. Осы үшбұрыштың қабырғаларының қатынасын қарастырамыз.

Алдымен сүйір бұрышының косинусы деген түсінікке назар аударайық.

Анықтама. Тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышына іргелес жатқан катеттің гипотенузаға қатынасы осы бұрыштың косинусы деп аталады. Оны қысқаша

(1)

түрінде жазады.

Анықтама. Тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышына қарсы жатқан катеттің гипотенузаға қатынасы осы бұрыштың синусы деп аталады. Оны қысқаша

(2)

түрінде жазады.

Анықтама. Тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышына қарсы жатқан катеттің іргелес жатқан катетке қатынасы осы бұрыштың тангенсі деп аталады. Оны қысқаша

(3)

түрінде жазады.

Анықтама. Тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышына іргелес жатқан катеттің қарсы жатқан катетке қатынасы осы бұрыштың котангенсі деп аталады. Оны қысқаша

(4)

түрінде жазады.

, , және -ларды тригонометриялық өрнектер деп атайды.

Тапсырмалар.

№123. Егер теңбүйірлі үшбұрыштың бүйір жағы 5дм, табаны 6дм, ал биіктігі 4дм болса, табанындағы бұрышының 1) косинусын; 2) синусын; 3) тангенсін; 4) котангенсін табыңдар.

№124. Егер теңбүйірлі үшбұрыштың бүйір жағы 5дм, табаны 6дм, ал биіктігі 4дм болса, төбесіндегі жарты бұрышының 1) косинусын; 2) синусын; 3) тангенсін; 4) котангенсін табыңдар.

№125. 1) ВС=8, АВ=17, АС=15; 2) ВС=21, АС=20, АВ=29; 3) ВС=1, АС=2, АВ= ; 4) АС=24, АВ=25, ВС=7 болса, С бұрышы тік болатын үшбұрыштың А және В сүйір бұрыштарының синусы мен косинусын табыңдар.

§15. Пифагор теоремасы.

Пифагор тікбұрышты үшбұрыштың қабырғаларының арасындағы қатынасты өрнектейтін теореманы ашқан.

Теорема. Тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасының квадраты катеттерінің квадраттарының қосындысына тең.

1-мысал. АВС тікбұрышты үшбұрышының бір бұрышы: , с – гипотенуза, a, b – катеттері, ал а1 және b1 гипотенузаға түсірілген a мен b катеттерінің проекциялары болса, 1) ; 2) формулалары орындалады (31-сурет).

2 – мысал. Радиусы 5см-ге тең шеңбер центрінің бір жағында жататын, ұзындықтары 8см және 6см екі параллель хорда жүргізілген. Осы хордалардың арақашықтығын табайық.

Шешуі. AB және CD хордаларына перпендикуляр OL радиусын жүргіземіз, шеңбердің О центрін С, A, D және B нүктелерімен қосамыз (32-сурет). OC=OD, OA=OB (радиустар) болғандықтан, COD мен AOB үшбұрыштары теңбүйірлі үшбұрыштар және ОМ мен ON – олардың биіктіктері. Теңбүйірлі үшбұрыштың табанына түсірілген биіктігі оның медианасы да болатыны белгілі. Сондықтан DM=MC және BN=NA. OCM және OAN тікбұрышты үшбұрыштарында OC=OA=5см, CM=4см, AN=3см. OAN үшбұрышынан пифагор теоремасы бойынша (см) болады.

Ал OMC үшбұрышынан мынаны аламыз: (см).

Сонда хордалардың арақашықтығы MN=ON–OM=4–3=1(см).

Тапсырмалар.

№126. 1) a=6 және b=8; 2) a=5 және b=6; 3) a=8 және b= катеттері бойынша тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасын табыңдар.

№127. Тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы 5м, ал оның бір катеті 3м. Екінші катетті табыңдар.

№128. Тіктөртбұрыштың қабырғалары 8дм және 6дм. Диагоналін табыңдар.

№129. Тіктөртбұрыштың бір қабырғасы 91см, диагоналі 109см болса, оның екінші қабырғасын есептеңдер.

№130. Теңбүйірлі үшбұрыштың бүйір қабырғасы 17см-ге тең, ал табаны 16см. Үшбұрыштың табанына жүргізілген биіктікті табыңдар.

№131. 1) 6м және 8м; 2) 12см және 16см; 3) 1дм және 2,4дм диагональдары бойынша ромб қабырғасының ұзындығын табыңдар.

№132. Ромбының қабырғасы 13дм, ал диагональдарының бірі 10дм. Екінші диагоналін табыңдар.

№133. АВС – тікбұрышты үшбұрыш; ; a, b – катеттер; с–гипотенуза а₁, b₁ – сәйкес катеттердің гипотенузаға түсірілген проекциялары. 1) a=8cм; a₁=6,4см болса, онда b, c, b₁; 2) b=6дм; b₁=3,6дм болса, онда a, c, a₁; 3) a₁=4,2м; b₁=5,8м болса, a, b, c неге тең?

№134. 1) a=5; b=12; 2) a=12; b=16 деп алып, a және b катеттері бойынша тікбұрышты үшбұрыштың гипоенузаға түсірілген биіктігін табыңдар.

№135. Қабырғалары 10см және 12см болатын теңбүйірлі үшбұрыштың табанына түсірілген биіктігін табыңдар.

№136. Тіктөртбұрыштың қабырғаларының қатынасы 4:3-ке тең. Оған сырттай сызылған шеңбердің радиусы 10см. Тіктөртбұрыштың қабырғаларын табыңдар.

№137. Теңбүйірлі үшбұрыштың бүйір қабырғасы 13м, ал табаны 10м-ге тең. Үшбұрыштың биіктігін табыңдар.

№138. Теңбүйірлі трапецияның табандары 11дм және 23дм, бүйір қабырғасы 10дм. Трапецияның биіктігін табыңдар.

§16. Жазықтықтағы нүктенің координаталары.

Кесінді ортасының координаталары.

«Тікбұрышты координаталар жүйесі» ұғымы алгебра курсынан белгілі. Тікбұрышты координаталар жүйесін енгізу үшін өзара перпендикуляр екі түзу (ось) жүргізіп, олардың әрқайсысына бағыт беріп, кесінділердің өлшем бірлігін таңдау керек. Горизонталь, вертикаль орналасқан түзулер О нүктесінде қиылыссын. Горизонталь осьті х-пен белгілеп, оны абсцисса осі деп, ал вертикаль осьті у-пен белгілеп, ордината осі деп атаймыз. Олардың О қиылысу нүктесін координаталар басы дейді.

Координаталық осьтер жазықтықты төрт бөлікке – І, ІІ, ІІІ, ІV ширектерге бөледі (35-сурет). Бір ширекте екі координатаның да таңбалары сақталады. Бірінші ширекте олар оң таңбалы, екінші ширекте абсцисса теріс, ал ордината оң; үшінші ширекте абсцисса да, ордината да теріс таңбалы; төртіншіде – абсцисса оң, ал ордината теріс (35-сурет). Біз М нүктесін бірінші ширектен алдық (34-сурет), сондықтан оның координаталары х>0, у>0; егер М нүктесі ІІ ширекте болса, х<0, у>0; ІІІ ширекте болса, х<0, у<0; ІV ширекте х>0, у<0. бұл 35-суреттен көрініп тұр.

P(х₁; у₁) және Q(х₂;у₂) кесіндісінің ортасы N(х;у) болсын. Онда

; (1)

теңдігі орындалады.

Тапсырмалар.

№139. Координаталық осьтердің екеуінде де бірлік масштабы 1см деп алып, координаталық жазықтыққа мына нүктелерді салыңдар: А(4; 5), В(-3; 2), С(-3; -2), D(7; -3), Е(0; -5), F(-2; 0), К(0; 0).

№140. А(-3; 4), В(2; -2) нүктелері берілген. АВ кесіндісінің ортасында жатқан нүктенің координаталарын табыңдар.

§17. Екі нүктенің арақашықтығы.

Координаталық жазықтықта А(х₁, у₁) және В(х₂, у₂) нүктелері берілсін (37-сурет). Берілген координаталары бойынша олардың арақашықтығын анықтайық. Ол үшін А және В нүктелерінен координаталық осьтерге перпендикулярлар жүргізіп, олардың қиылысуында С нүктесін аламыз. Шыққан АВС үшбұрышы тікбұрышты үшбұрыш. Пифагор теоремасы бойынша АВ²=АС²+СВ².

Бірақ , . Сондықтан . (1) Осылайша, А(х1, у1) және В(х2, у2) нүктелерінің арақашықтығы формуласымен өрнектеледі. Егер координаталар басы О(0; 0) нүктесінен М(х; у) нүктесіне дейінгі қашықтықты табу керек болса, онда (1) формуладан

(2)

аламыз.

Мысал. А(-4; 5) және В(1; -7) нүктелерінің арақашықтығын табайық.

Шешуі. Арақашықтық (1) формуламен есептеледі.

, , , болғандықтан, , .

Тапсырмалар.

№141. хОу координаталар жүйесі берілген. Мына нүктелердің арақашықтығын табыңдар.

1) А(-1; 4) және В(5; -4); 2) С(3; 8) және D(-1; 5).

№142. Координаталар басынан мына нүктелерге дейінгі қашықтықты табыңдар.

1) М(-4; 3); 2) N(-3; 1); 3) K(4; -4).

№143. К(5; -3) және L(-1; 0) нүктелерімен шектелген кесіндінің ұзындығын табыңдар.

№144. Үшбұрыштың А(2; 1), В(-6; 7) және С(2; -2) төбелері берілген. Үшбұрыштың периметрін және медианаларын табыңдар.

Нұсқау. Медианаларды табу үшін үшбұрыштың қабырғаларының орталарын табу керек.

§18. Шеңбердің теңдеуі.

Анықтама. Егер қисықтың барлық нүктелерінің координаталары қандай да бір теңдеуді қанағаттандырса, онда ол теңдеу осы қисықтың (шеңбердің) теңдеуі деп аталады. Теңдеу жалпы жағдайда түрінде жазылады, мұндағы F шамасы х пен у арасында орындалатын амалдарды білдіреді. хОу координаталар жүйесінде центрі А(а; b) нүктесінде жатқан радиусы R-ге тең шеңбер берілсін (38-сурет). Осы шеңбердің теңдеуін жазайық. Ол үшін шеңбердің бойында кез келген N(х; у)

нүктесін белгілейміз.

Берілген шеңберді А(а; b) центрінен К қашықтықта жатқан жазықтықтың нүктелер жиыны ретінде қарастырамыз. Біз AN=R немесе AN²=R² деп аламыз. Сонда А(a; b) және N(х; у) нүктелерінің арақашықтығын есептеу формуласы бойынша

(1)

аламыз. Шеңбердің кез келген нүктесінің координаталары (1) теңдеуді қанағаттандырады, сол себепті (1) теңдеу шеңбердің теңдеуі болып табылады. Нүкте шеңберде жатса, оның координаталары шеңбердің теңдеуін қанағаттандыратынын көреміз.

Егер А(a; b) центрі координаталар басымен беттессе, онда a=0, b=0. Бұл жағдайда (1) теңдеу

(2)

түрінде жазылады.

Сонымен центрі бас нүктеде болатын, радиусы R-ге тең шеңбердің теңдеуі (2) түрінде жазылады.

Мысал. Радиусы 3-ке тең центрі С(4; -2) нүктесінде болатын шеңбердің теңдеуін жазайық. Бұл шеңбер А(-1; 5) нүктесінен өте ме, өтпей ме?

Шешуі. Есептің шарты бойынша a=4, b=-2, R=3. олай болса, (1)-формуладан .

Бұл берілген шеңбердің теңдеуі. Шеңбердің А(-1; 5) нүктесінен өтетінін тексеру үшін шеңбердің теңдеуіндегі х пен у орнына А нүктесінің координаталарын қоямыз: .

Теңдік орындалмады, демек, шеңбер А нүктесінен өтпейді.

Тапсырмалар.

№145. Центрі О координаталар басында жататын, ал радиусы R=5-ке тең шеңбердің теңдеуін жазыңдар.

№146. О координаталар басынан 1,5 қашықтықта жатқан нүктелерден тұратын қисықтың теңдеуін жазыңдар.

№147. А(3; -4), В(10; 3), С(-1; 3), D(0; 5) нүктелердің қайсысы теңдеуімен анықталған шеңберде жатады?

№148. шеңберінің радиусын табыңдар.

§19. Түзудің теңдеуі.

хОу координаталар жүйесінде А(х₁; у₁) және В(х₂; у₂) нүктелері берілсін. Бұл нүктелермен тек қана бір түзу анықталады. Ол түзудің теңдеуі мына теңдеумен анықталады:

(1)

Мысал. А(-3; 5) және В(2; -4) нүктелерінен өтетін түзудің теңдеуін жазайық.

Шешуі. (1) теңдеуді пайдаланамыз:

,

себебі, есептің шарты бойынша , , , . Ал ізделінді түзудің теңдеуі түрінде жазылады. Бұл теңдеу берілген екі А(-3; 5), В(2; -4) нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі. Егер берілген нүктелердің коордианаталарын осы теңдеуге апарып қойсақ, онда олардың теңдеуі қанағаттандыратынын көреміз.

Тапсырмалар.

№149. Нүктелері А(4; -5) және В(-1; 2) нүктелерінен бірдей қашықтықта жатқан түзудің теңдеуін жазыңдар.

Нұсқау. Ізделінді түзудің бойынан кез келген нүктені С(х; у) арқылы белгілеп, шартын пайдаланыңдар.

№150. А(9; -3) және В(-6; 1) нүктелерінен өтетін түзудің теңдеуін жазыңдар.

№151. Үшбұрыштың А(-2; 2), В(1; 4), С(0; 0) төбелері берілген. Үшбұрыштың қабырғаларының және медианаларының теңдеулерін жазыңдар.

Нұсқау. Медианалардың теңдеулерін жазу үшін, алдымен үшбұрыштың қабырғаларының орталарын тауып алыңдар.

§20. Тіктөртбұрыштың ауданы.

Теорема. Тіктөртбұрыштың ауданы оның іргелес жатқан екі қабырғасының көбейтіндісіне тең.

(1)

Егер тіктөртбұрыштың қабырғалары болса, онда ол квадратқа айналады. Сондықтан (1) формуладан қабырғасы а-ға тең квадраттың ауданы үшін

(2)

формуласын аламыз.

Енді өлшем бірліктерінің арасындағы байланысты қарастырайық.

Ұзындық	Аудан
1дм=10см 1м=10дм=100см 1км=1 000м=10 000дм=100 000см	1дм2=100см2 1м2=100дм2=10 000см2 1км2=1 000 000м2 1га=10 000м2 1ар=100м2 1км2=100га

Тапсырмалар.

№152. Жер телімінің ауданы 10га. 1) Километрді; 2) метрді қолданып, берілген ауданның сан мәнін анықтаңдар.

№153. 1) 8,2дм²+780см²; 2) 1,6м²+40см²; 3) 6ар-204м²; 4) 4га+70 000м² өрнектерін есептеңдер.

№154. Қабырғалары 16см және 25см болатын тіктөртбұрыштың ауданын есептеңдер.

№155. Қабырғасы 4,5дм квадраттың ауданын есептеңдер.

№156. Квадрат пішіндес екі жер телімінің қабырғалары 60м және 80м. Ауданы осы екі жер телімінің аудандарының қосындысына тең квадрат пішіндес жер телімінің қабырғасын табыңдар.

№157. Тіктөртбұрыштан ауданы 9см² болатын квадрат кесіп алынған. Егер қалған тіктөртбұрыштың ауданы 36см² болса, онда алғашқы тіктөртбұрыштың ауданын табыңдар.

№158. Тіктөртбұрыш тәріздес жер телімінің ұзындығы 242,5м, ал ені 81,6м. Жер телімінің ауданын тауып, оны гектармен және армен өрнектеңдер.

№159. Тіктөртбұрыш тәрізді жер телімінің ауданы 80га, ұзындығы 2км. Оның периметрін есептеңдер.

№160. Егер тіктөртбұрыштың қабырғаларының қатынасы 5:7, ауданы 140дм² болса, қабырғалары неге тең?

№161. Периметрі 96дм, ал ауданы 540дм² тіктөртбұрыштың қабырғаларын табыңдар.

§21. Параллелограмның ауданы

Теорема. Параллелограмның ауданы оның табаны мен биіктігінің көбейтіндісіне тең. (1) Егер параллелограмның қабырғалары мен арасындағы бұрышы берілсе, онда оның ауданы мына формуламен өрнектеледі: (2)

Ромб параллелограмның дербес жағдайы болғандықтан, оның ауданын параллелограмның ауданы ретінде тауып аламыз. Яғни, ромбының ауданы оның қабырғасы мен биіктігінің көбейтіндісіне тең:

, мұндағы а-ромбының қабырғасы, һ-биіктігі.

Ромбының қабырғасы мен қабырғаларының арасындағы бұрышы берілсе, (2) формула бойынша ауданы мынаған тең:

, а-ромбының қабырғасы, -арасындағы бұрышы.

Ромбының диагональдары бойынша оның ауданын табу төмендегі формула арқылы есептеледі:

, мұндағы және -ромбының диагональдары.

Тапсырмалар.

№162. Параллелограмның қабырғасы 4,5дм, ал оның осы қабырғасына түсірілген биіктігі 2,6дм. Ауданын табыңдар.

163. Параллелограмның қабырғалары 15см және 12см, биіктігі 6см. Оның екінші биіктігін табыңдар. Есептің барлық шешімдерін табыңдар.

№164. Параллелограмның ауданы 2,4м². 1) Қабырғасы 1,5м болса, параллелограмның биіктігін; 2) биіктігі 0,6м болса, оған сәйкес қабырғасын есептеңдер.

№165. Ұзындығы 24дм және 18дм болатын параллелограмм қабырғаларының арасындағы бұрыш: 1) 30⁰; 2) 45⁰; 3) 60⁰. Параллеограмның ауданын табыңдар.

№166. Қабырғалары 14м және 8м, ал ауданы 56м²-қа тең параллелограмның сүйір бұрышын табыңдар.

№167. Қабырғасы 14см, биіктігі 6см ромбының ауданын табыңдар.

№168. Ауданы 10,5дм², қабырғасы 1,5дм ромбының биіктігін табыңдар.

№169. Ромбының қабырғасы 12см, бұрышы 60⁰. Ромбының ауданын табыңдар.

№170. Ромбының диагональдарының қатынасы 2:3, ауданы 12см². Ромбының диагональдарын табыңдар.

№171. Биіктігі 48м, ал кіші диагоналі 52м ромбының ауданын табыңдар.

§22. Үшбұрыштың ауданы

Үшбұрыш параллелограмның тең жартысы болғандықтан, оның ауданы параллелограмның ауданының жартысына тең болады.

Теорема. Үшбұрыштың ауданы табаны мен биіктігінің көбейтіндісінің жартысына тең. Яғни

Мұндағы a, b, c – үшбұрыштың қабырғалары, , , -сәйкес қабырғасына түсірілген биіктіктері.

Үшбұрыштың екі қабырғасы мен арасындағы бұрышы берілсе, оның ауданы мынаған тең:

, мұндағы b, c – үшбұрыш қабырғалары, -екі қабырға арасындағы бұрышы.

Тапсырмалар.

№172. Үшбұрыштың бір қабырғасы 34,5дм, оған түсірілген биіктігі 12,6дм. Үшбұрыштың ауданын табыңдар.

№173. Үшбұрыштың ауданы 36м². 1) Қабырғасы 12м болса, оған түсірілген биіктікті; 2) биіктігі 4м болса, оған сәйкес қабырғаны табыңдар.

№174. Теңбүйірлі үшбұрыштың табаны а, бүйір қабырғасы b болса, ауданы

формуласымен анықталатынын дәлелдеңдер.

№175. Теңбүйірлі үшбұрыштың табаны мен бүйір қабырғасы берілген:

1) а=8см; b=6см; 2) а=4м, b=2,8м. Осы үшбұрыштың ауданын табыңдар.

Нұсқау. 174 есептегі формуланы пайдаланыңдар.

176. Теңбүйірлі үшбұрыштың бүйір қабырғасы 12,8см, ал табанындағы бұрышы: 1) 30⁰; 2) 45⁰; 60⁰. Үшбұрыштың ауданы неге тең?

№177. Қабырғасы а болатын тең қабырғалы үшбұрыштың ауданын табыңдар.

178. Тікбұрыштың үшбұрыштың катеттері a және b. Оның ауданы формуласымен есептелетінін дәлелдеңдер.

№179. Тікбұрышты үшбұрыштың катеттері: 1) а=1,6м, b=4,5м; 2) а=5см, b=7,6см. Үшбұрыштың ауданын табыңдар.

180. Қабырғалары a, b, c болатын үшбұрыштың ауданы формуласымен есептелетінін дәлелдеңдер. Мұндағы р – үшбұрыштың жарты периметрі, яғни .

Нұсқау. Берілген қабырғалары бойынша үшбұрыштың бір биіктігін тауып, содан соң формуланы ықшамдаңдар.

Ескерту. Ұсынылған формуласы осы формуланы қорытып шығарған Ежелгі Грек ғалымының құрметіне Герон формуласы деп аталады.

181. Берілген шамалар бойынша үшбұрыштың ауданын есептеңдер:

1) 29; 25; 6; 2) 5; 6; 9; 3) 6; 5; 2,2; 4) 5; 4; .

№182. 25м, 29м, 36м қабырғалары бойынша үшбұрыштың кіші биіктігін табыңдар.

№183. 13см, 14см, 15см қабырғалары бойынша үшбұрыштың үлкен биіктігін табыңдар.

№184. Радиусы R-ге тең дөңгелекке іштей сызылған теңқабырғалы (дұрыс) үшбұрыштың ауданын табыңдар.

№185. Радиусы r-ге тең дөңгелекке сырттай сызылған теңқабырғалы (дұрыс) үшбұрыштың ауданын табыңдар.

§23. Трапецияның ауданы.

Теорема. Трапецияның ауданы оның табандарының қосындысының жартысы мен биіктігінің көбейтіндісіне тең.

Яғни трапецияның табандары – a және b, биіктігі һ болса, ауданы

формуласымен есептеледі.

Тапсырмалар.

№186. Табандары 15см және 19см, ал биіктігі 18см болатын трапецияның ауданын табыңдар.

№187. Трапецияның табандары 3,5дм және 2,9дм, ал оның ауданы 2,56дм². Трапецияның биіктігін табыңдар.

№188. Трапецияның биіктігі 16см, ауданы 4дм². Орта сызығының ұзындығын табыңдар.

№189. Трапецияның ауданы 288см², табандарының қатынасы 4:5-ке тең, биіктігі 3,2дм. Табандарын есептеңдер.

№190. Теңбүйірлі трапецияның табандары 5,1дм және 6,9дм, бүйір қабырғасы 41см. Ауданын табыңдар.

№191. Трапецияның табандары 6дм және 2дм, бүйір қабырғалары 0,13м және 0,37м. Ауданын табыңдар.

№192. Теңбүйірлі трапецияның үлкен табаны 22м, бүйір қабырғасы 8,5м және диагоналі 19,5м. Трапецияның ауданын табыңдар.

№193. Теңбүйірлі трапецияның диагональдары өзара перпендикуляр. Табандары 24см және 40см. Трапецияның аудандарын есептеңдер.

§24. Вектор. Векторларға амалдар қолдану.

Анықтама. Сандық мәнімен қатар бағытымен де сипатталатын шаманы векторлық шама немесе вектор деп атайды.

(1)

векторын векторлардың қосындысы түрінде алдық. Бұл жағдайда векторын және векторлары бойынша жіктелген деп айтамыз. векторын және векторлары бойынша жіктеу сандары а₁ мен а₂ берілген векторының осы жүйедегі координаталары деп аталады. Координаталары а₁, а₂ сандары болатын векторы былай белгіленеді:

(2)

және векторлары берілсін, мен векторларының қосындысы болатын векторының координаталарын табайық:

, яғни

.

Сонымен екі вектордың қосындысының координаталары, олардың сәйкес координаталарының қосындысына тең. Осы сияқты екі вектордың айырымының координаталары олардың сәйкес координаталарының айырымына тең болатынын, яғни екенін дәлелдеуге болады.

Векторды санға көбейткенде, оның әрбір координатасын сол санға көбейту керек, яғни .

Егер жазықтықта екі нүкте А(х₁; у₁) және В(х₂; у₂) координаталарымен берілсе, онда осы екі нүктемен анықталған векторының координаталары болады.

А(х₁; у₁) және В(х₂; у₂) нүктелерінің арақашықтығын табу үшін қолданылатын

(3)

формуласы сендерге 8-сыныптың геометрия курсынан белгілі.

векторының координаталары , болғандықтан, векторының ұзындығын

(4)

формуласымен табамыз.

1 – мысал. Жазықтықта А(-3; 7), В(1; 4) екі нүкте берілген. векторының координаталарын табайық.

Шешуі. Шарт бойынша , , , .

.

Жауабы: (4; -3).

2 – мысал. , , векторлары берілген. 1) АВС үшбұрышы теңбүйірлі немесе теңқабырғалы болатынын анықтайық; 2) АВС үшбұрышының периметрін табайық.

Шешуі. 1) Әр вектордың ұзындығын табамыз:

;

;

.

болғандықтан, , яғни АВС үшбұрышы теңбүйірлі.

2) АВС үшбұрышының периметрі

.

Жауабы: .

Коллинеар векторлардың сәйкес координаталары пропорционал, яғни нөлдік емес коллинеар және векторлары берілсе, онда теңдігі орындалады.

3 – мысал. ; векторлары m-нің қандай мәнінде коллинеар болатынын анықтайық.

Шешуі. Коллинеар векторлардың сәйкес координаталары пропорционал, сондықтан . Бұдан , яғни .

Тапсырмалар.

№194. А(2; 3) және В(-1; 4) нүктелері берілген. векторының координаталарын табыңдар.

№195. А(-1; -3), В(4; -2), С(1; -4), D(-2; 3) нүктелері берілген. Осы берілгендер бойынша мына векторлардың координаталарын табыңдар:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

196. векторының бастапқы нүктесі А(1; 2) берілген. Осы вектордың ұшы болатын В нүктесінің координаталарын табыңдар.

№197. векторы берілген. 1) 4 ; 2) -1,5 векторларының координаталарын табыңдар.

№198. векторы берілген. Вектордың абсолют шамасын табыңдар.

№199. векторы берілген. 1) векторының ұзындығын; 2) векторының координаталарын табыңдар.

№200. және векторлары берілген. 1) ; 2) деп алып, векторының координаталарын табыңдар.

№201. 200 есептегі әрбір жағдай үшін вектордың модулін табыңдар.

№202. және векторлары берілген. Егер 1) ; 2) болса, векторының координаталарын табыңдар.

№203. , , , , векторлары берілген. 1) ; 2) ; 3) ; 4) векторларының координаталарын табыңдар.

№204. , , , , векторлары берілген. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) векторларының координаталарын табыңдар.

№205. және берілген. , , векторларының координаталарын табыңдар.

№206. және векторлары х-тің қандай мәнінде коллинеар болатынын анықтаңдар.

§25. Екі вектордың скаляр көбейтіндісі.

және векторлары берілсін. О нүктесін белгілеп, осы нүктеден бастап , векторларын саламыз. Сонда екі түрлі жағдай болуы мүмкін:

1. мен векторлары бағыттас емес, яғни ОА және ОВ сәулелері АОВ бұрышын құрайды. Осы бұрыш және векторларының арасындағы бұрыш деп аталады және деп белгіленеді. (19-сурет).

Дербес жағдайда мен векторлары қарама-қарсы бағытталса, онда ОА мен ОВ сәулелері жазық бұрыш құрайды, яғни (20-сурет).

Егер векторлардың арасындағы бұрыш 90⁰-қа тең болса, онда олар перпендикуляр векторлар деп аталады. немесе (21-сурет).

2. мен векторлары бағыттас немесе векторлардың ең болмағанда біреуі нөлдік вектор. Бұл жағдайда векторлардың арасындағы бұрыш нөлге тең: .

Сонымен екі вектордың арасындағы бұрыш 0⁰ пен 180⁰ аралығында мән қабылдай алады.

Анықтама. Екі вектордың скаляр көбейтіндісі деп олардың ұзындықтарының сол векторлар арасындағы бұрыштың косинусына көбейтіндісін айтады.

және векторларының скаляр көбейтіндісі былай белгіленеді: немесе . Анықтама бойынша,

(1)

мұндағы - мен векторларының арасындағы бұрыш, яғни .

Екі вектордың скаляр көбейтіндісінің формуласынан олардың арасындағы бұрыштың косинусын тауып алуға болады:

(2)

Егер екі вектор перпендикуляр болса, олардың арасындағы бұрыш 90⁰-қа тең, сондықтан .

(3)

теңдігін екі вектордың перпендикулярлық шарты деп атаймыз.

(4)

теңдігі берілген координаталары бойынша екі вектордың скаляр көбейтіндісін анықтайды.

Мысал. және векторларының скалыр көбейтіндісін табайық.

Шешуі. Векторлардың координаталары берілген, сондықтан (4) фомуланы пайдаланамыз. Бізде а₁=5, а₂=12, b₁=-4, b₂=3, сондықтан .

(2) мен (4) формуланы пайдаланып, және екі вектордың арасындағы бұрыштың косинусын есептеу формуласын шығарып аламыз:

(5)

Тапсырмалар.

№207. , , екені белгілі. және векторларының скаляр көбейтіндісін табыңдар.

№208. және векторларының арасындағы бұрыштың косинусын табыңдар.

№209. және вектордары берілген. n-нің қандай мәндерінде бұл векторлар перпендикуляр болады?

№210. Үшбұрыштың А(2; 1), В(-6; 7), С(2; -2) төбелері берілген. А бұрыштың косинусын табыңдар.

Нұсқау. Алдымен , векторларының координаталарын табу керек.

§26. Үшбұрыштардың ұқсастығының қасиеттері.

Ұқсас түрлендірудің анықтамасы мен қасиеттерінен АВС және ұқсас үшбұрыштарының сәйкес бұрыштарының теңдігі мен сәйкес қабырғаларының пропорционалдығы шығады: 1) , , және 2) .

Сондай-ақ сәйкес қабырғаларының қатынасы – ұқсастық коэффициенті k-ға тең.

АВС және үшбұрыштарының ұқсастығын былай жазамыз: ~ (58-сурет).

Ұқсас үшбұрыштың қабырғалары пропорционал болғандықтан, олардың периметрлері де пропорционал болады, яғни

Мысал. Үшбұрыштың қабырғалары 0,8м, 1,6м және және 2м .Периметрі 5,5м-ге тең ұқсас үшбұрыштың қабырғаларын табыңыз.

Шешуі. P=5,5;

, . Дәл осылай BC=2, AC=2,5.

Жауабы: 1м, 2м және 2,5м.

Тапсырмалар.

№211. Үшбұрыштың қабырғалары 5см, 7см, 4см. Оған ұқсас үшбұрыштың үлкен қабырғасы 21см-ге тең болса, оның басқа қабырғаларын табыңдар.

№212. Бірінші квадраттың периметрі 24см, ал екінші квадраттың кабырғасы 18см болса, екі квадраттың ұқсастық коэффициентін табыңдар.

№213. Шеңбердің диаметрі 8см. Ұқсастық коэффициенті деп алып, екінші шеңбердің радиусын табыңдар.

№214. Үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтарының қатынасы 3:4:5. оған ұқсас үшбұрыштың кіші қабырғасы 12дм. Екінші үшбұрыштың қабырғаларын табыңдар.

№215. Үшбұрыштың қабырғаларының қатынасы 3:5:6 қатынасындай. Оған ұқсас екінші үшбұрыштың периметрі 4,2дм. Екінші үшбұрыштың қабырғаларын табыңдар.

№216. АВС және үшбұрыштары ұқсас. Осы үшбұрыштарда

1) егер , , , болса, АВ мен АС неге тең?

2) BC=105, , деп алып, АВ қабырғасын табыңдар.

№217. Екі теңбүйірлі үшбұрыштың төбелеріндегі бұрыштар тең. Бір үшбұрыштың бүйір қабырғасы мен табаны сәйкесінше 8,5дм және 5дм. Екіншісінің табаны 4дм. Екінші үшбұрыштың бүйір қабырғасын табыңдар.

§27. Шеңберге іштей сызылған бұрыш және оның қасиеттері.

Шеңбердің хордалары мен қиюшыларының кесінділерінің пропорционалдығы

шеңбері берілсін (68-сурет). Шеңбер бойында А нүктесін белгілеп, АВ және АС қиюшыларын жүргізсек, ВАС бұрышын аламыз. Анықтама. Төбесі шеңбердің бойында жататын, ал қабырғалары шеңберді қиып өтетін бұрышты шеңберге іштей сызылған бұрыш деа атайды.

Шеңберге іштей сызылған бұрышты қысқаша іштей сызылған бұрыш деп атау келісілген. ВАС бұрышы іштей сызылған бұрыш. В және С нүктелері шеңберді екі доғаға бөледі. Іштей сызылған бұрыштың ішінде жататын ВС доғасын іштей сызылған бұрышқа сәйкес доға деп немесе іштей сызылған бұрыш тірелетін доға деп атайды.

Шеңбердің доғасы оған сәйкес центрлік бұрышпен өлшенетіні белгілі. Сондықтан іштей сызылған бұрышты өзі тірелетін доғамен немесе центрлік бұрышпен өлшеуге болады.

Теорема. Шеңберге іштей сызылған бұрыш өзі тірелетін доғаның жартысымен өлшенеді.

69.1-суретте , 69.2-суретте , 69.3-суретте .

1-салдар. Диаметрге тірелетін іштей сызылған бұрыш тік бұрыш болады. 2-салдар. Тек бір ғана доғаға тірелетін және төбелері доғаның ұштары арқылы өтетін түзудің бір жағында жататын іштей сызылған бұрыштар тең болады (70-сурет). .

Теорема. Егер шеңбердің АВ және СD хордалары К нүктесінде қиылысса, онда болады (71-сурет).

Теорема. Егер шеңбер сыртында жатқан N нүктесінен шеңберді А, В және С, D нүктелерінде қиятын екі қиюшы жүргізілсе, онда . Мұндағы А,С нүктелері N-ге жақын орналасқан нүктелер (72-сурет).

Тапсырмалар.

№218. Хорда мен хорданың ұшын қосатын радиус арасындағы бұрыш 40⁰-қа тең болса, осы хордаға керілген доғаның градустық өлшемін табыңдар.

№219. Шеңбердің доғасы 120⁰. Осы доғаның хордасы мен хорданың ұшына жүргізілген радиус арасындағы бұрышты табыңдар.

№220. А, В, С, D нүктелері шеңберді төрт бөлікке бөледі: ; ; ; . BD мен АС хордалары Е нүктесінде қиылысқан. АЕВ және ВЕС бұрыштарын табыңдар.

№221. Шеңбер K, L, M, N нүктелерімен қатынастарында бөлінген. KM мен LN хордалары D нүктесінде қиылысқан. LDM бұрышын табыңдар.

№222. CD хордасы шеңбердің АВ диаметрімен М нүктесінде қиылысады. Егер , болса, BD доғасының градустық шамасын табыңдар.

№223. ED хордасының доғасы 40⁰, яғни . Е нүктесі арқылы ЕМ жанамасы жүргізілген. DEM бұрышын табыңдар.

№224. Хорда шеңберді 11:16 қатынасында бөледі. Хорданың ұштары арқылы жүргізілген жанамалардың арасындағы бұрышты табыңдар.

№225. Шеңбер үш бөлікке 3:5:7 қатынасында бөлінген. Бөлу нүктелері арқылы жүргізілген жанамалар үшбұрыш құрайды. Үшбұрыштың бұрыштарын табыңдар.

§28. Косинустар теоремасы және синустар теоремасы. Үшбұрыштарды шешуде косинустар теоремасын және синустар теоремасын қолдану.

Теорема. Үшбұрыштың қабырғасының квадраты қалған екі қабырғасының квадраттарының қосындысынан осы қабырғалардың екі еселенген көбейтіндісін олардың олардың арасындағы бұрыштың косинусына көбейтіп, шегеріп тастағанға тең.

(1)

Косинустар теоремасынан үшбұрыштың қабырғалары белгілі болғанда, оның бұрышының косинусын өрнектейтін формуланы шығарып алуға болады:

(2)

Бұрыштың косинусының табылған мәні бойынша бұрыштың түрін анықтауға болады.

Егер бұрыштың косинусының мәні оң болса, онда бұрыш сүйір болады.

Егер бұрыштың косинусының мәні теріс болса, онда бұрыш доғал болады.

Егер бұрыштың косинусының мәні нөлге тең болса, онда бұрыш тік болады.

Теорема. Кез келген үшбұрыштың қабырғалары оларға қарсы жатқан бұрыштардың синустарына пропорционал болады.

Салдар. Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер диаметрі синустар теоремасына тең.

Үшбұрыштың негізгі алты элементі болатыны белгілі (үш қабырғасы және үш бұрышы). Егер оның үш элементі (үш бұрышынан басқа) берілген болса, онда үшбұрыштың қалған элементтерін табуға болады. Осындай элементтерді табуға арналған есептерді үшбұрыштарды шешу деп атайды.

Тапсырмалар.

№226. Үшбұрыштың екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрышы берілсе, оның үшінші қабырғасын және қалған екі бұрышын табыңдар:

1) , , ; 2) , , ;

3) , , ; 4) , , .

№227. Үшбұрыштың бір қабырғасы және оған іргелес екі бұрышы берілген. Қалған екі қабырғасын және үшінші бұрышын табыңдар:

1) , , ; 2) , , ;

3) , , ; 4) , , .

№228. Үшбұрыштың үш қабырғасы берілген. Оның бұрыштарын табыңдар:

1) , , ; 2) , , ;

3) , , ; 4) , , .

№229. Үшбұрыштың екі қабырғасы және олардың біріне қарсы жатқан бұрышы берілген. Үшбұрыштың үшінші қабырғасын және қалған екі бұрышын есептеңдер:

1) , , ; 2) , , ;

3) , , ; 4) , , .

7-9 сынып. Геометрия

ҮШБҰРЫШ

1. Үшбұрыштың үшінші қабырғасы қандай аралықта жатады, егер қалған екі қабырғасы 7 және 8 тең болса.

А) В) С) Д) Е)

2. Берілген үш санның қайсысы тік бұрышты үшбұрыш қабырғаларының ұзындықтарын өрнектей алмайды?

А) 6 , 8 , 10 В) 18 , 24 , 30 С) 3 , 4 , 5 Д) 9 , 12 , 15 Е) 1 , 2 , 3

3. Тең бүйірлі үшбұрыштың бір бұрышы 100⁰- қа тең. Қалған бұрыштарын табыңыз.

А) 50⁰ , 30⁰ В) 60⁰ , 20⁰ С) 40⁰ , 40⁰ Д) 70⁰ , 80⁰ Е) 30⁰ , 70⁰

4. Бүйір қабырғалары арасындағы бұрышы 80⁰ болатын тең бүйірлі үшбұрыш бұрыштарын табыңыз.

А) 70⁰ В) 50⁰ С) 110⁰ Д) 60⁰ Е) 90⁰

5. АВС тең бүйірлі үшбұрыш. АС қабырғасының А төбесінен шығатын ішкі бұрышы 40⁰. Үшбұрыштың қалған бұрыштарын табыңыз.

А) 40⁰ , 40⁰ , 100⁰ В) 70⁰ ,70⁰ ,40⁰ С) 50⁰ ,50⁰ , 40⁰ Д) 46⁰, 46⁰, 88⁰ Е) 50⁰, 50⁰, 80⁰

6.Тiк төртбұрыштың диогналы оның бұрышын бiреуi 20⁰ болатындай етiп 2 бөлiкке бөледi. Бұрыштың екiншi бөлiгiн тап.

А\ 110⁰ В\ 70⁰ С\ 90⁰ Д\ 20⁰ Е\ 80⁰

7. Үшбұрыштың екі сыртқы бұрышы 100⁰ және 150⁰ .Үшбұрыштың үшінші сыртқы бұрышын табыңыз.

А) 120⁰ В) 110⁰ С) 130⁰ Д) 105⁰ Е) 90⁰

8. Егер үшбұрыштың екі сүйір бұрыштарының қосындысы 90⁰-қа тең болса, онда мұндай үшбұрышты ... деп атаймыз.

А) Сүйірбұрышты. В) Доғалбұрышты. С) Тікбұрышты.

Д) Тең қабырғалы. Е) Тең бүйірлі.

9. Үшбұрыш бұрыштары 3:7:8 сандарының қатынасындай. Ең үлкен бұрышты табыңыз.

А) 60⁰ В) 80⁰ С) 90⁰ Д) 150⁰ Е) 45⁰

10. Тең бүйiрлi үшбұрышта табанына жүргiзiлген биiктiк пен және бүйiр қабырға арасындағы бұрыш табанындағы бұрышынан 36⁰-қа кем.Үшбұрыштың төбесiндегi бұрышын табыңыз.

А/ 27⁰ В/ 51⁰ С/ 55⁰ Д/ 160⁰ Е/ 30⁰

11. Тең бүйірлі үшбұрыштың табанындағы сыртқы бұрышының шамасы 140⁰. Үшбұрыштың барлық бұрыштарын тап.

А) 70⁰,70⁰,40⁰ В) 50⁰,50⁰,80⁰ С) 40⁰,40⁰,100⁰ Д) 45⁰,45⁰,90⁰ Е) 60⁰,60⁰,60⁰

12. АВС үшбұрышының төбелері центрі О болатын шеңберді АВ, ВС және АС үш доғаға бөледі. Олардың градустық шамасы 7:5:6 қатынасындай. Үшбұрыштың кіші бұрышын тап.

А) 50⁰ В) 60⁰ С) 80⁰ Д) 100⁰ Е) 70⁰

13. АВС үшбұрышының АС және ВС қабырғалары тең. В төбесіндегі сыртқы бұрыш 130⁰. АВС үшбұрышының бұрыштарын тап.

А) 60⁰,60⁰,60⁰ В) 50⁰,50⁰,80⁰ С) 70⁰,70⁰,40⁰ Д) 65⁰,65⁰,50⁰ Е) 40⁰,40⁰,100⁰

14. Тең бүйірлі үшбұрыштың төбесіндегі бұрышы 50⁰ –қа тең болса, табан бұрыштары неге тең?

А) 55⁰;55⁰ В) 70⁰;70⁰ С) 130⁰;130⁰ Д) 65⁰;65⁰ Е) 60⁰;60⁰

15. Тең бүйірлі үшбұрыштың табанындағы сыртқы бұрыштың шамасы 112⁰. Үшбұрыштың барлық бұрыштарын анықта.

А) 68⁰68⁰,44⁰ В)48⁰,48⁰,84⁰ С) 34⁰,34⁰,112⁰ Д) 58⁰,58 ⁰,4⁰ Е) 54⁰,54⁰,72⁰

16. Үшбұрыштың әрбір төбесінде неше сыртқы бұрыш болады?

А) 1 В) 2 С) 3 Д) 6 Е) 9

17.Әрбір катеті 8 м-ге тікбұрышты үшбұрышқа осы үшбұрышпен ортақ бұрыш жасайтын іштей тіктөртбұрыш сызылған. Тіктөртбұрыштың периметрін табыңыз.

А) 10 м В) 14 м С) 16 м Д) 17 м Е) 18 м

18.Тең бүйірлі үшбұрыштың периметрі 15,6м. Табан қабырғасы бүйір қабырғасынан 3 м-ге кем болса, қабырғаларын табыңыз.

А) 3,2м; 6,2м; 6,2м В)6,2м; 6,2м; 6,2м С)5,2м; 5,2м; 5,2м

Д)4,2м;4,2м;7,2м. Е) 3,2 м; 7,2 м ; 5,2 м.

19. Тең бүйірлі үшбұрыштың периметрі 7,5 м, ал бүйір қабырғасы 2 м. Табанының ұзындығын табыңыз.

А) 2,5 м. В)4м С)3,5м Д)3м Е) 4,5 м

20. Тең бүйірлі үшбұрыш периметрі 5,4 дм. Бүйір қабырғасы табанынан 13 есе ұзын. Үшбұрыш қабырғалар ұзындығын табыңыз.

А) 1,6 дм және 1,2 дм В) 2,6 дм және 0,2 дм С) 2,4 дм және 2 дм

Д) 1,4 дм және 0,8 дм Е) 2 дм және 0,4 дм

21. Тең бүйірлі үшбұрыштың бүйір қабырғасы табан қабырғасынан 2 см-ге артық, ал оның периметрі 10 см. Үшбұрыштың қабырғаларын табыңыз.

А) 2 см, 2 см, 6 см В) 8 см, 2 см, 2 см С) 2 см, 4 см, 4 см

Д) 5 см, 5 см, 2 см Е) 2 см, 2 см, 5 см

22. Тең бүйірлі үшбұрыштың периметрі 1 м- ге тең , табаны 0,4 м. Бүйір қырының ұзындығын табыңыз.

А) 0,5 м В) 0,3 м С) 0,2 м Д) 0,4 м Е) 0,6 м

23. Тең бүйірлі үшбұрыштың периметрі 20 см, бүйір қабырғасы табанынан екі есе ұзын. Оның қабырғаларының ұзындығын тап.

А) 8;8;4 В) 6;7;7 С) 8;6;6 Д) 10;5;5 Е) 7,5;7,5;5

24. Үшбұрыштың периметрі 48 см. Оның қабырғаларының ұзындықтарының қатынасы 3:4:5 қатынасындай. Үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтарын тап.

А) 10 см,7 см, 21 см В) 11 см,17 см, 20 см С) 12 см,16 см,20 см

Д) 11 см,16 см, 21 см Е) 13 см,15 см, 20 см

25. Тең бүйірлі үшбұрыштың табаны 4 см, бүйір қабырғасы 6 см. Осы үшбұрыштың периметрін тап.

А) 20 см В) 32 см С) 14 см Д) 16 см Е) 10см

26. Бір мезгілде завод трубасы көлеңкесінің ұзындығы 40 м, ал биіктігі 1,5 м болатын тік баған көлеңкесінің ұзындығы 2 м. Завод трубасының ұзындығын табыңыз.

А) 15 м В) 32 м С) 30 м Д) 28 м Е) 24 м

27. АВС үшбұрышының АВ қабырғасына параллель а жазықтығы оны АС және ВС түзулерiнде жататын А₁ және В₁ нүктелерiнде қиып өтедi. Егер АС= 15 см, А₁В₁= 4 см, АВ = 20 см болса, А₁С табыңыз.

А/ 4 см В/ 10 см С/ 3 см Д/ 12 см Е/ 2,5 см

28. Үшбұрыштың қабырғалары 0,8м, 1,6м және және 2м .Периметрі 5,5м-ге тең ұқсас үшбұрыштың қабырғаларын табыңыз.

А) 2,5 м ; 2 м ; 1 м В) 3,5 м; 1 м ; 1 м. С) 4,5 м ; 0,5 м ; 0,5 м .

Д)1,2 м ;1,2 м ;3,1 м. Е) 1,6 м;2,4 м; ,5 м.

29. Ұқсас үшбұрыштардың аудандарының қатынасы берiлген: 9:16. Олардың периметрлерiнiң қатынасын табыңыз.

А\ 3:4 В\ 3:2 С\ 2:3 Д\ 3:5 Е\ 5:3

30. Тең қабырғалы үшбұрыштың медианасы 16 см. Оның ауданының екiншi тең қабырғалы үшбұрыштың ауданына қатынасы 1:25. Екiншi үшбұрыштың медианасын табыңыз.

А/ 31 см В/ 400 см С/ 0,64 см Д/ 80 см Е/ 3,2 см

31. АВС үшбұрышының АВ қабырғасының Е нүктесі арқылы АС қабырғасымен параллель түзу жүргізілген. Егер АВ=22,5 см, АЕ=18 см, ВС=15 см болса, осы түзу ВС қабырғасын қандай қатынаста бөледі?

А) 1:2 В) 1:5 С) 3:4 Д) 25:60 Е) 1:4

32. Тiк бұрышты үшбұрыштың катеттерiнiң бiреуi 12 см тең,ал екiншiсi 3 см –ге кем.Гипотенузаны табыңыз.

А/ 11 см. В/ 15 см. С/ 9 см. Д/ 17 см. Е/ 13 см.

33. Тiкбұрышты үшбұрыш катеттерiнiң қосындысы 17-ге, гипотенузасы 13-ке тең. Катеттердi табыңыз.

А\ 9; 8 В\ 13;4 С\ 10;7 Д\ 12;5 Е\ 11;6

34. Тік бұрышты үшбұрыш гипотенузасы 20 см. Егер бір катет екіншісінен 4 см ұзын болса, онда катеттер ұзындығын табыңыз.

А) 12 см, 14 см В)24 см, 4 см С) 12 см, 16 см Д) 11 см, 9 см Е) 7 см, 13 см

35.Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы 26 см, ал катеттері 5:12 қатынасындай. Ұзын катетін табыңыз.

А) 36 см В) 18 см С) 12 см Д) 24 см Е) 48 см

36. Үшбұрыштың биiктiгi, табаны және бүйiр қабырғаларының қосындысы сәйкесiнше 24 см, 28 см және 56 см. Үшбұрыштың бүйiр қабырғаларын табыңыз.

А/ 21 см, 35 см. В/ 20 см, 36 см. С/ 23 см, 33 см. Д/ 26 см, 30 см.

Е/ 24 см, 32 см.

37. АВС үшбұрышының бір қабырғасы с= 44 және С төбесінен осы үшбұрышқа биіктік жүргізілген һ =15, ал қалған екі қабырғасының айырымы a-b=22. а және b қабырғаларын табыңыз.

А) 39, 17 В) 42, 20 С) 38, 16 Д) 40, 18 Е) 41, 19

38. Үшбұрыштың бүйір қабырғалары 30 см және 25 см , ал табаны 25 см-ге тең. Үшбұрыштың табанына жүргізілген биіктігін табыңыз.

А) 35 см В) 28 см С) 24 см Д) 32 см Е) 26 см

39. Тең бүйірлі үшбұрыштың бүйір қабырғасы 17 см , ал табаны 16см. Табанына түсірілген биіктігін табыңыз.

А) 16 см В) 14 см С) 15 см Д) 21 см Е) 18 см

40. Тең бүйірлі үшбұрыштың бүйір қабырғасы 17 см , ал табанына түсірілген биіктігі 15 см –ге тең. Үшбұрыштың табанын табыңыз.

А) 16 см В) 2 см С) 8 см Д) 32 см Е) 4 см

41. Үшбұрыштың бүйiр қабырғалары 30 см және 25 см, ал табаны 11 см-ге тең. Үшбұрыштың табанына жүргiзiлген биiктiгiн табыңыз.

А/ 26 см. В/ 28 см. С/ 32 см. Д/ 24 см. Е/ 35 см.

42. Қабырғасы 5 см болатын тең қабырғалы үшбұрыштың биiктiгiн табыңыз

А\ В\ С\ Д\ Е\

43.Қабырғалары 17 см, 65 см және 80 см болатын үшбұрыштың ең кіші биіктігін табыңыз.

А) 6,1 см. В) 7,2 см. С) 8,3 см. Д) 4,5 см. Е) 9,2 см.

44. MNK үшбұрышында MK=20 cм, NK=18 см, ал N бұрышының сыртқы бұрышы 150^о тең. MN-ге жүргізілген биіктікті табыңыз.

А) 18 см В) 12 см С) 9 см Д) 4,5 см Е) 20 см

45. Тең бүйірлі тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы 12 см болса, катетін тап

А) см В) 6 см С) см Д) 7см Е) 8 см

46. Тік бұрышы АСВ, катеті АС, АС болатын АВС үшбұрышы осы жазықтықпен 45⁰ бұрыш жасайды. Егер АС=20 см, АВ:ВС=3:1 болса, онда В төбесінен жазықтыққа дейінгі қашықтықты тап.

А) 25 см В) 5 см С) 6 см Д) 4 см Е) 3 см

47. АВС–тік бұрышты үшбұрышының гипотенузасы АВ=8см, А=60⁰. Үшбұрыштың катеттері мен сүйір бұрышын табыңыз.

А) 4 см, 4 см, 30⁰ В) 4 см, 2√3 см, 30⁰ С) 4 см, 4 √3 см, 30⁰

Д) 2 см, 2 √3 см, 30⁰ Е) 2 см, 4 √3 см,30⁰

48. АВС үшбұрышында АС ═ 1см, < А ═ 120⁰, < С ═ 30⁰ болса, ВА қабырғасын табыңыз.

А) 1,2 см. В) 1 см. С) 0,5 см. Д) 0,9 см. Е) 1,4 см.

49. АВС үшбұрышы берілген. АВ =4см, С=30⁰, В=45⁰. АС неге тең?

А) 2 В) 3 С) 4 Д) Е) 7

50. АВС үшбұрышында АС = 10 см , С = 30⁰ , В = 48⁰ . АВ қабырғасын табыңыз.

А) 5 sin 48⁰ В) 10 sin 30⁰ С) 5 cos 30⁰ Д) 10 sin 78⁰ Е)

51. АВС үшбұрышында АВ=5 см, ВС=7 см. А бұрыш синусының С бұрыш синусына қатынасын табыңыз.

А/ . В/ 1. С/ 2. Д/ . Е/ .

52. Үшбұрыштың қабырғасы 2, ал оған iргелес бұрыштар 30⁰ пен 45⁰-қа тең. Үшбұрыштың басқа қабырғаларын табыңыз.

А/ 2 -2 , - В/ 2 -2, - . С/ 2 -3, - .

Д/ 2 -1, - . Е/ 2 -2, - .

53. АВС үшбұрышында АС=1, A=60⁰, B=45⁰. Үшбұрыштың ВС қабырғасын табыңыз.

А\ В\ С\ Д\ Е\ 1,5

54. Табанындағы бұрышы 30°-ға тең және бүйiр қабырғасында түсiрiлген биiктiгi 3-ке тең болатын АВС тең бүйiрлi үшбұрышының бүйiр қабырғасын табыңыз.

А/ 2 В/ С/ Д/ Е/

55. АВС сүйiр бұрышты үшбұрышта ВН АС, А= , В= , ВН=h. АС-ны табыңыз.

А\ В\ С\ Д\

Е\

56. Қабырғалары , және а қабырғасына қарсы жатқан бұрышы 30⁰ –қа тең болатын үшбұрыштың үшінші қабырғасын тап.

А) 3 В) 6 С) 5 Д) Е)

57. Қабырғалары 5 см, 12 см және 13 см болатын үшбұрыш берілсін.Ұзындығы 13 см-ге тең қабырғасына қарсы жатқан бұрышты табыңыз.

А) 90⁰. В) 60⁰. С) 30⁰ . Д) 45⁰ Е) 25⁰.

58. АВС үшбұрышының сәйкес қабырғалары а = 14, b = 16 , с = 10 болса , онда А бұрышы неге тең болғаны?

А) 120⁰ В) 60⁰ С) 30⁰ Д) 90⁰ Е) 45⁰

59. АС=2 см, ВС= 4 см, С = 120⁰ болса, АВС үшбұрышының АВ қабырғасының ұзындығын табыңыз.

А) 14 см В) см С) см Д) 17 см Е) 12 см

60. Үшбұрыштың үш қабырғасы берiлген: 13, 14, 15. Осы үшбұрыштың үлкен бұрышының косинусын табыңыз.

А/ В/ С/ Д/ Е/

61. Егер үшбұрыштың басқа екi қабырғасы 6 см және 10 см-ге тең болса, онда 120⁰ бұрышқа қарсы жататын қабырғасын табыңыз

А\ 13 см В\ 14 см С\ 15 см Д\ 10 см Е\ 12 см

62. CD түзуi АС және DF түзулерiне перпендикуляр, АҒ түзуiн В нүктесiнде қиып өтедi. Егер ВҒ=8 см және cos болса, DB-ны табыңыз.

А\ 7 см В\ С\ Д\ 5,6 см Е\ 4 см

63. Дұрыс АВС үшбұрышының Д нүктесiмен қосылған А төбесi оның ВС қабырғасын ВД=1, ДС=2 болып келетiн кесiндiлерге бөледi. АД кесiндiсiн табыңыз.

А\ В\ 3 С\ Д\ Е\

64. Қабырғалары , 6 және 12 болып келетін үшбұрыштың ең кіші бұрышы қандай?

А) 15⁰ В) 45⁰ С) 75⁰ Д) 30⁰ Е) 60⁰

65.Қабырғалары 13 см, 14 см және 15 см болатын үшбұрыштың ауданын табыңыз.

А) 42см ². В) 84см ^2. С) 36см ^2. Д) 56см ^2. Е) 72см ^2.

66. Үш үшбұрыштың қабырғалары сәйкесінше мынаған: 1. 43, 37, 68, 2. 39, 68, 41, 3. 68, 38, 42 тең. Үшбұрыштардың қайсысының ауданы артық?

А) 3. В)1 және 2. С) 1 Д) 2 Е) Барлығы бірдей

67. Берілген үш қабырғасы бойынша 5 см, 6 см, 9 см бойынша үшбұрыш ауданын тап

А) см² В) см² С) 20 см² Д) 10 см² Е) 15 см²

68. АВС үшбұрышының қабырғалары 13см, 14см және 15см. О-медианаларының қиылысу нүктесі. АОВ үшбұрышының ауданын тап.

А) 7 см² В) 28 см² С) 84 см² Д) 42 см² Е) 7 см²

69. Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы 41 см-ге тең, ал оның ауданы 180 см². Осы үшбұрыштың катеттерін табыңыз.

А) 40 см, 9 см В) 41 см, 90 см С) 40 см, 41 см Д) 9 см, 90 см Е) 41 см, 9 см

70. Тік бұрышты үшбұрыш катеттері 3: 4 қатынасындай, ал гипотенузасы 25-ке тең.Тік бұрышты үшбұрыш ауданын табыңыз.

А) 12. В) 300 С) 150 Д) 6 Е) 24

71. Тiк бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы 15см-ге, катеттерiнiң бiрi 9см-ге тең. Ауданын табыңыз.

А\ 100 см² В\ 56 см² С\ 110 см² Д\ 54 см² Е\ 108 см²

72. Ауданы 36-ға тең болатын тең бүйiрлi тiк бұрышты үшбұрыштың гипотенузасының ұзындығын табыңыз.

А/ 6 . В/ 8. С/ 12. Д/ 6. Е/ 12 .

73. Тiк бұрышты үшбұрыштың периметрi 24 см-ге, ал ауданы 24 см²-ға тең. Гипотенузаны табыңыз.

А\ 10,5 см В\ 12 см С\ 9 см Д\ 10 см Е\ 11 см

74. Табанына жүргiзiлген биiктiгi 10-ға, ал бүйiр қабырғасына жүргiзiлген биiктiгi 12-ге тең болатын тең бүйiрлi үшбұрыштың ауданын табыңыз.

А/ 125. В/ 75. С/ 120. Д/ 50. Е/ 150.

75. Қабырғалары 16 см және 8 см болып келетiн үшбұрыштың бiрiншi қабырғасына түсiрiлген биiктiгi 6 см-ге тең. Екiншi қабырғасына жүргiзiлген биiктiгiн табыңыз.

А/ 15 см. В/ 24 см. С/ 12 см. Д/ 20 см. Е/ 16 см.

76. Тiк бұрышты үшбұрыштың гипотенузасына жүргiзiлген биiктiгi осы үшбұрышты аудандары 6 см² және 54 см² болып келетiн екi үшбұрышқа бөледi. Үшбұрыштың гипотенузасын табыңыз.

А\ 24 см В\ 20 см С\ 18 см Д\ 25 см Е\ 16 см

77. Егер тік бұрышты үшбұрыштың тік бұрышынан гипотенузаға түсірілген биіктік оны 3 см, 27 см бөліктерге бөлетін болса , онда осы биіктіктің ұзындығы қандай?

А) 9 см В) 7 см С) 5 см Д) 4 см Е) 2 см

78. Биіктігі гипотенузаны 8 см және 18 см кесінділерге бөлетін тік бұрышты үшбұрыштың ауданын тап.

А) 312 см² В) 72 см² С) 156 см² Д) 144 см² Е) 288 см²

79. Тік бұрышты үшбұрыштың биіктігі оның гипотенузасын 16 см және 9 см болып келетін кесінділерге бөледі. Үшбұрыштың ауданын тап.

А) 200 см² В) 150 см² С) 300 см² Д) 250 см² Е) 225 см²

80. Тік бұрышты үшбұрыштың тік бұрышының төбесінен гипотенузаға жүргізілген биіктік -ке, катеттерінің біреуі 8-ге тең. Үшбұрыштың ауданын тап.

А) 16 В) 64 С) Д) 32 Е)

81. Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы 313, ал каттетерінің біреуі 312 болса, ауданын тап.

А) 390 В) 3900 С) 400 Д) 4000 Е) 3500

82.ВС ═ 7см, АС ═ 14см, < C ═ 30⁰ болса, АВС үшбұрышының ауданы неге тең?

А) 31 см². В) 28,3 см². С) 40,1 см². Д) 24,5 см ². Е) 12,5 см ².

83 ВС ═ 3 см, ВА ═ 18 √2 см, < В ═ 45⁰ болса, АВС үшбұрышының ауданын табыңыз.

А) 27 см ². В) 24 см ². С) 14 см ² Д) 32 см ² Е) 10 см²

84. АВ ═ 6√8 см , АС ═4 см , < А═ 60⁰ болса , АВС үшбұрышының ауданын табыңыз.

А) 6 √8 см² В) 12 √ 3 см² С) 12 √ 6 см² Д) 8 √ 2 см ² Е ) √ 2 см ²

85. Үшбұрыштың екі қабырғасы 2 және 3, ал арасындағы бұрышы 60⁰-қа тең. Ауданын табыңыз.

А) 3/2 В) 3 /2. С) 3. Д) 3 Е)

86. АС = 3 см , ВС = 4см , = 60⁰ болса , АВС үшбұрышының ауданын табыңыз.

А) 12 см² В) 6 см² С) 3 см² Д) 8 см² Е) см²

87. Тік бұрышты үшбұрыштың катеттерінің ұзындықтары сәйкес 3 және 4- ке тең. Тік бұрыштан шығатын биссектриса гипотенузаны ұзындықтары қандай кесінділерге бөледі?

А) В) 2 ; 3 С) 1 ; 4 Д) Е) 2 2,5

88. Тік бұрышты үшбұрыштың катеттерінің ұзындықтарына сәйкес 12 және 5 – ке тең . Тік бұрыштан шығатын биссектриса гипотенузаны ұзындықтары қандай кесінділерге бөледі?

А) В) 11, 2 С) Д) Е) 10 ; 3

89. Тік бұрышты үшбұрыштың катеттерінің ұзындықтары сәйкес және - ке тең. Тік бұрыштан шығатын биссектриса гипотенузаны ұзындықтары қандай кесінділерге бөледі?

А) В) С)

Д) Е)

90. Тік бұрышты үшбұрыштың катеттерінің ұзындықтары және -ге тең. Тік бұрыштан шығатын биссектриса гипотенузаны ұзындықтары қандай кесінділерге бөледі?

А) В) С)

Д) Е)

91. Тік бұрышты үшбұрыштың катеттері және 2 -ге тең.Тік бұрыштан шығатын биссектриса гипотенузаны ұзындықтары қандай кесінділерге бөледі?

А) В) С)

Д) Е)

92. Тік бұрышты үшбұрыштың катеттері және тең. Осы тік бұрышты үшбұрыштың тік бұрышының биссектрисасы гипотенузасын қандай кесінділерге бөледі?

А) В) С)

Д) Е)

93. MNP үшбұрышының N бұрышының биссектрисасы МР қабырғасын ұзындықтары 28 және 12 болып келетiн кесiндiлерге бөледi.МNP үшбұрышының периметрiн тап,егер МN-NP=18 болса.

А/ 75. В/ 95. С/ 80. Д/ 90 Е/ 85.

94. АВС үшбұрышының үш қабырғасы берiлген: а=18 cм, b=15 см, с=12 cм. А бұрышының биссектриссасын табыңыз.

А/ 18 см. В/ 10 см. С/ 12 см. Д/ 11 см. Е/ 9 см.

95. Егер үшбұрыштың бұрыштарының бiреуi 48⁰-қа тең болса, онда басқа екi бұрыштың биссектрисаларының арасындағы сүйiр бұрышын табыңыз.

А/ 64 ⁰. В/ 65⁰. С/ 66⁰. Д/ 62⁰. Е/ 68⁰.

96.Бұрыштарының бiреуi 18°-қа тең болатын үшбұрыштың басқа екi бұрыштарының биссектрисаларының арасындағы сүйiр бұрышын табыңыз.

А/ 80° В/ 83° С/ 84° Д/ 81° Е/ 82°

97. DO кесіндісі DBC үшбұрышының биссектрисасы, CO = 14 см, ВD=15 см, ВC=24 см болса, DС-нің табыңыз.

А) 10 В) 8,75 см С) 9 Д) 21 см Е) 18 см

98. Тең бүйірлі үшбұрыштың табаны 8, бүйір қабырғасы 12. Табан бұрыштарынан шыққан биссектрисалардың бүйір қабырғаларымен қиылысу нүктелерінің ара қашықтығын табыңыз.

А) 3,2 см В) 1 см С) 4,8 см Д) 6 см Е) 4 см

99. Қабырғалары a және b болатын АВС үшбұрышы берілген және осы қабырғалар арасындағы бұрышы С болсын. С төбесінен шығатын биссектрисаның ұзындығы неге тең?

А) В) С) Д) Е)

100. АВС үшбұрышының СВ , СА және АВ қабырғалары сәйкес 4; 3; 2 см.Биссектрисалардың қиылысу нүктесі В бұрышының биссектрисасын қандай қатынаста бөледі?

А) 1:3 В) 1:2 С) 2:3 Д) 5:6 Е) 7:8

101. Тiк бұрышты үшбұрыштың тiк бұрышының биссектрисасы гипотенузаны 1:3 қатынасқа бөледi.Гипотенузаны биiктiк қандай қатынаста бөледi?

А/ 7:2. В/ 9:1. С/ 5:1. Д/ 4:1. Е/ 6:1.

102. Тең бүйiрлi үшбұрыштың бұрыштарын табыңыз, егер оның биiктiгi табанындағы бұрыштың биссектрисасынан екi есе кем болса.

А\ 36⁰, 36⁰, 108⁰ В\ 45⁰, 45⁰, 90⁰ С\ 30⁰, 30⁰, 120⁰ Д\ 50⁰, 50⁰, 100⁰

Е\ 40⁰, 40⁰, 100⁰

103. Тең бүйірлі үшбұрыштың бүйір қабырғасы 3-ке тең және ортоцентрдің табанындағы бұрыштың төбесіне дейінгі қашықтығы 5-ке тең. Үшбұрыштың табанындағы бұрышты анықта.

А) tg α=0,5 В) tg α=0,75 С) tg α=0,6 Д) tg α=0,8 Е) tg α=

104. АВС үшбұрышының ,АК –биссектрисса. ВК-ны тап.

А) В) С) Д) Е)

105. АВС тең бүйірлі үшбұрышында АВ табаны см, ал табанындағы бұрышы 30⁰. АД биссектриссасының ұзындығын тап.

А) 1 см В) см С) см Д) см Е) 2 см

106.Тік бұрышты үшбұрыш катеттері 5 және 12. Гипотенузаға жүргізілген медиана ұзындығын табыңыз.

А) 6,5 В) 7 С) 13 Д) 13,5 Е) 15

107. АВС үшбұрышының үш қабырғасы берiлген: АВ=9, ВС=17, АС=10. Осы үшбұрыштың медианаларының қиылысу нүктесiнен АС қабырғасына дейiнгi қашықтықты табу керек.

А/ 2,4 В/ 4,8 С/ 5 Д/ 3 Е/ 3,2

108. Тiк бұрышты үшбұрыштың катеттерiне жүргiзiлген медианалары мен -ке тең. Осы үшбұрыштың гипотенузасын табыңыз.

А/ 16. В/ 12. С/ 10. Д/ 18. Е/ 14.

109. Тiк бұрышты үшбұрыштың сүйiр бұрыштарынан жүргiзiлген медианалардың ұзындықтары 11 және 7-ге тең. Гипотенузаның квадратын табыңыз.

А\ 136 В\ 170 С\ 156 Д\ 126 Е\ 140

110. Тең бүйірлі үшбұрышты үшбұрыштың табаны -ге , ал бүйір қабырғасының медианасы 5-ке тең. Бүйір қабырғаның ұзындығын тап.

А) 8 В) 7,5 С) 7 Д) 6,5 Е) 6

111. Тік бұрышты үшбұрыштың медианалар қиылысу нүктесінен сүйір бұрыштарының төбесіне дейінгі ара қашықтық а және b. Осы нүктеден тік бұрышқа дейінгі ара қашықтықты

табыңыз.

А) В) С) Д) Е)

112. АВС тең бүйiрлi тiк бұрышты үшбұрыш. Тiк бұрышының С төбесi арқылы ВД медианасына перпендикуляр жүргiзiлген түзу гипотенузаны М нүктесiнде қияды. АМ/МВ қатынасын табыңыз.

А\ 0,4 В\ 0,6 С\ 0,5 Д\ 0,45 Е\ 0,55

113. Ауданы -ке тең болатын дұрыс үшбұрыштың медианаларын тап.

А) 3 В) С) 2 Д) Е) 1

114. АВС үшбұрышының А төбесі және ВД медианасының ортасы арқылы өтетін түзудің ВС қабырғасын қандай қатынаста бөлетінін тап

А) В) С) Д) Е)

115. АВС үшбұрышы-тік бұрышты, С=90^o, DBE үшбұрышы тең қабырғалы үшбұрыш. AC және DE қабырғалары ара қашықтығы см және параллель. Егер BC=DE=2 см болса, үшбұрыштардың арасындағы сызықты бұрышын табыңыз.

А) 30^о В) arccos С) 60^o Д) arccos Е) arcsin

116 . Үшбұрыштың биіктігін екіге бөлетін биіктігіне перпендикуляр түзу жүргізілген. Осы түзу арқылы бөлінген аудандар қандай қатынаста болатынын табыңыз?

А) 1 : 2 В) 1 : 1 С) 1 : 4 Д) 1 : 3 Е) 3 : 4

ТӨРТБҰРЫШ

1. Дұрыс тұжырымды көрсетіңіз.

А) Барлық төртбұрыш – квадрат болады. В) Барлық ромб – квадрат болады.

С) Барлық төртбұрыш – тік төртбұрыш. Д)Барлық параллелограмм – тік төртбұрыш.

Е) Барлық квадрат – ромб болады.

2. Тік төртбұрыштың периметрі 26 см , ал ауданы 42 см².Тік төртбұрыш қабырғаларын табыңыз.

А) 21 см,2 см В) 6 см, 7 см С) 10,5 см 4 см Д) 12 см, 4 см

Е) 3 см, 7 см

3. Ауданы 56 см², периметрі 30 см тік бұрышты төртбұрыш қабырғаларын табыңыз.

А) 14 см және 1 см В) 28 см және 2 см С) 7 см және 8 см Д) 14,2 см және 3,5 см Е) 8 см және 6 см

4.Ұқсас екі төртбұрыштың периметрлерінің қатынасы 2 : 3.Аудандарының қатынасын табыңыз.

А) 2: 3. В) √ 2: √ 3 С) 1/2: 1/3 Д) 4: 9. Е) 6:8.

5. Тік төртбұрыш ұзындығы енінен 8см артық , ал ауданы 65см².Қабырғаларын табыңыз.

А) 12 см және4 см В) 13 см және 5 см С) 14 см және 16 см Д) 24,5 см және 4,2 см Е) 20,5 см және 8 см

6. Тiк бұрыштың қабырғаларын табу керек, егер олардың қатынасы 2:3 болып, ал ауданы 24 см² болса.

А\ 4 см, 6 см В\ 6 см, 9 см С\ 4 см, 5 см Д\ 8 см, 12см Е\ 3см, 8см

7. Тік төртбұрыш периметрі 28- ге тең. Ұзындығы енінен 2-ге артық. Диагоналын табыңыз.

А) 14 В) 16 С) 10 Д) 15 Е) 18

8. MNPQ – тік төртбұрыш , мұндағы NP = 5 см , MP= 12 см ,ал О- диагональдар қиылысу нүктесі. NOP үшбұрышының периметрін табыңыз.

А) 16 см В) 23 см С) 17 см Д) 7 см Е) 29 см

9. АВСД-тiк төртбұрышы берiлген. М, К, Р және Т нүктелерi қабырғаларының ортасы. АВ=6 см, АД=20 см болса, онда МКРТ төртбұрышының ауданын табыңыз.

А\ 100 см² В\ 50 см² С\ 60 см² Д\ 65 см² Е\ 120 см²

10. АВСД және DСМК квадраттары берiлген. АВ=10см. О және Р нүктелерi АВСD және DСМК квадраттардың диагоналдарының қиылысу нүктелерi. ОСРD төртбұрышының ауданын табыңыз.

А\ В\ 10 см² С\ 25 см² Д\ 50 см² Е\ 100 см²

11. Квадрат диагоналы 2 -ге тең. Квадрат ауданын табыңыз.

А) 8 В) 4 С) 4 Д) 8/ Е) 2/

12.Квадраттың қабырғалары 25% -ке ұзартылған . Квадраттың ауданы қанша процентке көбейеді?

А) 25 % В) 56 , 25 % С) 52 , 65 % Д) 50 % Е) 30 %

13. Тік төртбұрыштың әр қабырғасы 50% -ке ұзартылған.Тік төртбұрыштың ауданы қанша процентке көбейеді?

А) 125% В) 50% С) 100% Д) 75% Е) 150%

14. Квадраттың периметрі 24 см болса, оның қабырғасын тап.

А) 4 см В) 6 см С) 8 см Д) 2см Е) 6

15. Квадраттың диогналы см болса, квадраттың қабырғасын тап.

А) 3 см В) см С) см Д) 4 см Е) 6 см

16.Тіктөртбұрыштың ұзындығы а , ені в см болса, периметрін қалай табады?

А) (а+в) В) 2ав С) 2а+2в Д) ав Е)

17. Егер тік төртбұрыштың қабырғалары 6 см және болса, онда диогналдар арасындағы бұрышты тап.

А) 120⁰ В) 45⁰ С) 135⁰ Д) 100⁰ Е) 60⁰

18. Егер квадраттың қабырғасын 3 есе арттырса , оның ауданы қалай өзгереді?

А) 9 есе өседі. В) 81-ге өседі. С) 6 есе өседі. Д) 3-ке артады. Е) 3 есе өседі.

19. Шаршының қабырғасы 20%-ке үлкейтілді. Шаршының периметрі қанша пайызға үлкейеді?

А) 60 % В) 80% С) 100% Д) 20% Е) 40%

20. Квадраттың диогналы 10 см болса , квадраттың ауданын тап.

А) 50 см В) 64 см² С) 25 см² Д) 100 см² Е) 36см²

21. Квадраттың диогналы а-ға тең. Қабырғасы неге тең?

А) В) С) Д) Е)

22. Тіктөртбұрыштың диогналы оның бұрыштарын 2:1 қатынасында бөледі. Егер оның бір қабырғасы 3 см болса, тік төртбұрыштың ауданын тап.

А) 6 см² В) 12м² С) 9см² Д) см² Е) см²

23. АВ=5,СД=9,ДА=15,АС=12 болатын АВСД төртбұрышының ауданын тап.

А) 108 В) 84 С) 98 Д) 88 Е) 104

24. Тіктөртбұрыштың периметрі 56 см, ал бір қабырғасы екіншісінен 6 есе ұзын. Тіктөртбұрыштың ауданын тап.

А) 96 см² В) 112 см² С) 196 см² Д) 144 см² Е) 48 см²

25. Егер тіктөртбұрыштың қабырғаларының қатынасы 4:9 қатынасындай , ал оның периметрі 52 см болса, оның қабырғалары неге тең болады?

А) 8 см;18 см В) 9 см;16 см С) 3 см;48 см Д) 4 см;36 см Е) 12 см;12 см

26. Квадраттың периметрі 12 см. Оның екінші бір квадраттың ауданына қатынасы 1:4 қатынасындай. Екінші квадраттың периметрін тап.

А) 24 см В) 3 см С) 36 см Д) 4 см Е) 48 см

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

1. Параллелограммның бір бұрышы 40⁰.Қалған бұрыштарын табыңыз.

А) 120⁰ В) 130⁰ С) 140⁰ Д) 135⁰ Е) 160⁰

2. Параллелограмм диагоналы оның екі қабырғасымен 25⁰ және 35⁰ бұрыш жасайды. Параллелограмм бұрыштарын табыңыз.

А)145⁰ және 35⁰ В)75⁰ және 105⁰ С)60⁰ және 120⁰ Д)110⁰ және 70⁰ Е) 90⁰ және 90⁰

3. Екі бұрышының қосындысы 160⁰ болатын параллелограмның бұрыштарын табыңыз.

А) 80⁰;100⁰ В) 120⁰; 60⁰ С) 110⁰; 70⁰ Д) 92⁰; 88⁰ Е) 60⁰; 100⁰

4. Екі бұрышының айырмасы 70⁰ болатын параллелограмм бұрыштарын табыңыз.

А)145⁰ және 135⁰ В)55⁰ және 125⁰ С)120⁰ және 60⁰ Д)110⁰ және 78⁰ Е)60⁰ және 120⁰

5. Параллелограммның бір бұрышы екіншісінен 50⁰ артық.. Параллелограммның бұрыштарын табыңыз.

А) 65⁰, 115⁰ В) 60⁰, 120⁰ С) 145⁰, 35⁰ Д) 95⁰ , 85⁰ Е) 85⁰ , 95⁰

6. Параллелограммның барлық бұрыштарын табыңыз, егер оның қарама-қарсы бұрыштарының қосындысы 160⁰ тең болса.

А) 80⁰, 100⁰ В) 160⁰,20⁰ С) 40⁰, 140⁰ Д) 150⁰, 30⁰ Е) 130⁰, 50⁰

7.Параллелограмның бiр қабырғасы 4 дм, екiншiсi одан 3 есе артық. Параллелограммның периметрiн табыңыз.

А\ 48 дм В\ 11 дм С\ 22 дм Д\ 16 дм Е\ 32 дм

8. Параллелограмм биссектрисасы қарсы жатқан қабырғасын 4 см және 5 см кесінділерге бөледі. Параллелограмм периметрін табыңыз.

А) 32 см. В) 26 см С) 48 см Д) 50см Е) 56см

9. Параллелограммның екі қабырғасы 3:4 қатынасындай.Периметрі 2,8 м-ге тең. Параллелограммның қабырғаларын табыңыз.

А) 1,2 м, 0,7 м В) 0,6 м, 0,8 м С) 0,7 м 0,6 м Д) 1,1 м, 0,3 м Е) 1,2 м, 0,2 м

10. Параллелограммның бір бұрышының биссектрисасы оның қабырғасын 14 см және 28 см кесінділерге бөледі . Параллелограммның периметрін табыңыз.

А) 140 см В) 144 см С) 138 см Д) 160 см Е) 126 см

11. Параллелограммның бір бұрышының биссектрисасы оның қабырғасын 5 см және 7 см кесінділерге бөледі. Параллелограммның периметрін табыңыз.

А) 24 см В) 29 см С) 19 см Д) 34 см Е) 36 см

12. Параллелограмның 26 см-ге тең диагоналы оның 10 см-ге тең қабырғасына перпендикуляр. Параллелограмның ауданын табыңыз.

А\ 300 см² В\ 130 см² С\ 65 см² Д\ 520 см² Е\ 260 см²

13. Параллелограмның қабырғалары 12 см, 15 см. ұзын қабырғасына жүргiзiлген биiктiгi 8 см. Кiшi қабырғасына жүргiзiлген биiктiгiн табыңыз.

А\ 12 см В\ 8 см С\ 10 см Д\ 14 см Е\ 15 см

14. Егер АВСD пареллелограммында АВ=15 см, ВК=9 см, DК=10 см, мұндағы К нүктесi АD қабырғасына тиiстi. ВК АD болса, онда АВСD параллелограмының ауданын табыңыз.

А\ 99 см² В\ 90 см² С\ 198 см² Д\ 120 см² Е\ 144 см²

15.Параллелограммның қабырғалары 12 см,15см. Ұзын қабырғасына жүргізілген биіктігін табыңыз.

А) 15 см В) 12 см С) 14 см Д) 10 см Е) 8 см

16.Параллелограмның үлкен қабырғасы 5 см , ал биіктіктері 2 см және 2,5 см. Параллелограмның екінші қабырғасы неге тең?

А) 12 В) 4 С) 7,5 Д) 3 Е) 5,5

17.Параллелограммның қабырғалары 4 см,6 см – ге тең , олардың арасындағы бұрыш 30⁰ – қа тең . Оның ауданын есептеңіз.

А) 11 В) 18 С) 12 Д) 9 Е) 7

18. Параллелограмм қабырғалары 2 және 3 , ал арасындағы бұрышы 45⁰ . Параллелограмм ауданын табыңыз.

А) 6 В) 2 С) 3 Д) 3 Е) 4

19. Параллелограмм диагоналының ұзындығы 20 см,ол параллелограмм қабырғаларымен 90⁰ және 30⁰ бұрыш жасайды. Осы параллелограмның қабырғаларын табыңыз.

А\ В\ С\ Д\

Е\

20. Параллелограммның сүйір бұрышы 30⁰- қа тең. Төбесінен екі қабырғасына түсірілген биіктіктердің қосындысы 15 см. Параллелограммның периметрін табыңыз.

А) 45 см В) 60 см С) 50 см Д) 75 см Е) 40 см

21. Биіктігі см болатын параллелограммның бір бұрышы екіншісінен екі есе кіші . Онда параллелограммның ...

А) Бір қабырғасы 2 см- ге тең . В) Екі қабырғасы да см- ден кемірек.

С) Бір қабырғасы 2 см –ден кемірек. Д) Екі қабырғасы да 2 см – ден ұзындау.

Е) Екі қабырғасы да 2 см – ден кемірек.

22. Биіктігі см болатын параллелограмның бір бұрышы екіншісінен үш есе үлкен.Онда парллелограмның ...

А) Қабырғаларының бірі 2 см –ге тең В) Қабырғалары биіктігінен қысқа.

С) Екі қабырғасы да 2 см- ден ұзын. Д) Екі қабырғасы да 2 см -ден қысқа.

Е) Қабырғаларының бірі 2 см-ден қысқа, ал басқасы 2 см-ден ұзын.

23. Параллелограмм қабырғалары 2см және 3см, арасындағы бұрышы 60⁰.Осы бұрышқа қарсы жатқан диагонал ұзындығын табыңыз.

А) 4 см В) 3,7 см С) см Д) см Е) 2 см

24. Параллелограммның диагоналдары 16,8 және 12,4 , ал олардың арасындағы бұрыш 60⁰ . Параллелограммның қабырғаларын табыңыз.

А) 56,02 және 171,06 В) 58,92 және 161,03 С) 60,02 және 160,08

Д) 60,02 және 161,08 Е) 56,92 және 161,08

25. Төртбұрышты ABCD – параллелограммның периметрі 10 см . Егер ABD үшбұрышының периметрі 8 см болса , BD диагоналінің ұзындығын табыңыз.

А) 1,5 см В) см С) 3 см Д) 2,5 см Е) 3,8 см

26. АВСД параллелограмның периметрі 24 см, егер АД-АВ=3 см болса , әр қабырғасы қанша болады?

А) 9;3;9;3 В) 7,5;4,5;7,5;4,5 С) 5;7;5;7 Д) 4;4;8;8 Е) 8,5;3,5;8,5;3,5

27. Параллелограмның периметрі 24 см. Іргелес қабырғаларының айырымы 3 см екендігін ескеріп, оның қабырғаларын тап.

А) 4,5 см және 7,5 см В) 11 см және 8 см С) 9 см және 3 см

Д) 6,5 см және 3,5 см Е) 10,5 см және 13,5 см

28. АВСД параллелограмының <В-<А=30⁰ екені белгілі болса, бұрыштары неше градусқа тең?

А) 150⁰,150⁰,30⁰,30⁰ В) 90⁰,90⁰,60⁰,60⁰ С) 50⁰,130⁰,130⁰,50⁰

Д) 75⁰,75⁰,105⁰,105⁰ Е) 145⁰,145⁰,35⁰,35⁰

29. Параллелограмның бір бұрышы 30⁰.Қалған бұрыштарын тап.

А) 150⁰,90⁰,90⁰,30⁰ В) 30⁰,150⁰,150⁰,30⁰ С) 100⁰,100⁰,30⁰,30⁰

Д) 30⁰,90⁰,90⁰,30⁰ Е) 30⁰,60⁰,60⁰,30⁰

30. Параллелограмның диогналы оның қабырғасына тең. Егер оның үлкен қабырғасы 8 см, ал бұрыштарының бірі 45⁰ болса, параллелограмның ауданын тап

А) 164 см² В) 32 см² С) см² Д) 128 см² Е) 64 см²

31. Параллелограмның диогналы 12 см, ал қабырғасы 10 см. Диогналь мен берілген қабырға арасындағы бұрыш 30⁰. Параллелограмның ауданын тап.

А) 90 см² В) 45 см² С) 60 см² Д) 75 см² Е) 120 см²

РОМБ

1. Ромбының бір диагоналінің ұзындығы қабырғасына тең. Ромбтың бұрыштарын табыңыз.

А) 60⁰ , 120⁰ В) 30⁰ , 150⁰ С) 70⁰ , 110⁰ Д) 90⁰ , 90⁰ Е) 45⁰ , 135⁰

2. АВСД ромбысында D ═ 140⁰ тең.АОD үшбұрышының барлық бұрыштарын табу керек, егер мұндағы О-диагональдар қиылысу нүктесі болса.

А) 40⁰, 40⁰, 100⁰ В) 70⁰, 70⁰, 40⁰ С) 20⁰, 20⁰,140⁰ Д) 20⁰, 90⁰, 70⁰

Е) 40⁰,90⁰,50⁰

3.Диагоналы 6см , 8см болатын ромб қабырғасы неге тең?

А) 16. В) 8 С) 5 Д) 10 Е) 12

4. Диагоналдары АС = 12 см және BD = 16 см болатын ABCD ромбысының АВ қабырғасын табыңыз.

А) 12 см В) 10 см С) 16 см Д) 9 см Е) 18 см

5. АВ қабырғасы 17 см-ге тең ,ал BD диагоналы 30 см- ге тең болатын ABCD ромбысының АС диагоналын табыңыз...

А) 8 см В) 16 см С) 17 см Д)14 см Е) 20 см

6. Кіші диагоналы 8 см, бұрышының біреуі 60⁰ болатын ромб периметрін табыңыз.

А) 42 см В) 64 см С) 32 см Д) 54 см Е) 36 см

7. Ромб биіктігі 2- ге тең. Ромб бұрышы 30⁰ болса , ауданы неге тең?

А) 4 В) 2 С) 8 Д) 8 Е) 8

8. Ромбының диагональдарының қатынасы 2:3, ал ауданы 12 см²-ға тең. Ромбының диагональдарын табыңыз.

А\ 2 см, 3 см В\ 4 см, 6 см С\ 8 см, 12 см Д\ 5 см, 6 см Е\ 3 см, 9 см

9. Ромбының биiктiгi 24 см, ал кiшi диагоналi 26 см. Ромбының ауданын табу керек.

А\ 820 см² В\ 624 см² С\ 840 см² Д\ 312 см² Е\ 811,2 см²

10. Ромб қабырғалары 30 %-ке ұзартылған.Онда ромб ауданы қанша процентке көбейді?

А) 69% В) 70% С) 30% Д) 90% Е) 60 %

1 1. KMN үшбұрышына К бұрышы ортақ , ал Е төбесі MN қабырғасында жататын іштей ромб сызылған. Егер КМ =m , KN=n болса, онда ромб қабырғаларын табыңыз.

А) (m+n)/nm

В) 2mn/(m+n)

C) mn/(m-n)

Д) mn/(m+n)

C) mn/2(m+n)

12. Ромбының доғал бұрышының төбесiнен жүргiзiлген биiктiгi қабырғасымен 20° бұрыш жасайды. Ромбының доғал бұрышын табыңыз.

А\ 70⁰ В\ 120⁰ С\ 100⁰ Д\ 110⁰ Е\ 140⁰

13. Ромбының диогналдарының қосындысы 14 см-ге , ал қабырғасы 5 см-ге тең. Ромбының ауданын тап.

А) 36 см² В) см² С) см² Д) 12 см² Е) 24 см²

14. АВСД ромбысының ВК биіктігі 6 см-ге, ал АВС бұрышы 120⁰ тең болса, онда ромбының ауданын тап.

А) 72 см² В) С) Д) Е)

15.АЕ=АО=1 м болатын ромбтың периметрін тап.

А)4 м В) 1 м С) 2 м Д) 8 м Е) 6 м

16. Ромбының бір бұрышы 150⁰ және қабырғасы 20 см. Ромбының ауданын есепте.

А) 150 В) 100 С) 250 Д) 300 Е) 200

ТРАПЕЦИЯ

1.Сүйiр бұрышы 38⁰ болатын тiк бұрышты трапецияның доғал бұрышын тап.

А\ 142⁰ В\ 232⁰ С\ 128⁰ Д\ 52⁰ Е\ 152⁰

2. Трапецияның бір табанындағы бұрышы 68⁰ және 74⁰. Трапецияның қалған бұрыштарын табыңыз.

А) 112⁰ және 106⁰ В) 115⁰ және 125⁰ С) 132⁰ және 68⁰ Д) 111⁰ және 83⁰

Е) 120⁰ және 80⁰

3.Тең бүйiрлi трапецияның кiшi табаны 4 м, биiктiгi мен үлкен табанында қиылатын кесiндiлердiң кiшiсi 3 м.Трапецияның үлкен табанын тап.

А\ 7 м В\ 11 м С\ 10 м Д\ 13 м Е\ 12 м

4. Тең бүйірлі трапецияның үлкен табаны 2,7 м, бүйір қабырғасы 1м , арасындағы бұрышы 60⁰-қа тең.Трапецияның кіші табанын табыңыз.

А) 1,5 м В) 1,3 м С) 1,7 м Д) 1,8 м Е) 2 м

5. Трапецияның доғал бұрышы төбесінен түсірілген биіктігі табанын 6 см және 30 см кесіндіге бөледі.Трапеция тең бүйірлі болса табандарын табыңыз.

А) 24 см және 36 см В) 22 см және 32 см С) 41 см және 20 см Д) 12 см және 24 см Е) 26 см және 34 см

6. Трапеция табандарының ұзындығы 4 см және 10 см. Орта сызығы диагоналы арқылы қандай кесінділерге бөлінетінін табыңыз.

А) 2 см , 5 см В) 1 см , 6 см С) 3 см , 2 см Д) 5 см , 6 см Е) 4 см , 3 см

7.Трапецияның диагоналi оның орта сызығын ұзындықтары 4 см және 6 см болатын кесiндiлерге бөледi.Трапецияның табандарын тап.

А\ 4 см және 8 см В\ 12 см және 18 см С\ 8 см және 12 см Д\ 16 см және 24 см

Е\ 4 см және 6 см

8.Трапецияның бүйiр қабырғалары 13 см және 15 см, ал периметрi 48 см. Трапецияның орта сызығын тап.

А\ 30 см В\ 10 см С\ 24 см Д\ 15 см Е\ 20 см

9. Трапецияның орта сызығы 7 см-ге тең.Бір табаны екіншісінен 4 см артық..Трапецияның табандарын табыңыз.

А) 10 см,4 см В) 8 см,6 см С) 5 см, 9 см Д) 11 см,3 см Е) 2 см,12 см

10. Трапецияның орта сызығы 10 см. Диагоналдардың біреуі орта сызықты айырмасы 2 см- ге тең кесінділерге бөледі. Трапеция табандарын табыңыз.

А) 8 см ,12 см В) 4 см , 16 см С) 13 см , 7 см Д) 11 см , 9 см Е) 7 см , 13 см

11. Трапецияның табандары 2 : 3 қатынасындай , ал орта сызығы 5 м – ге тең. Трапецияның табандарын табыңыз.

А) 5 м , 3 м В) 4 м , 6м С) 8 м , 2 м Д) 12 м , 2 м Е) 10 м , 2 м

12. Трапецияның бір табаны екіншісінен 8 см- ге кем , ал орта сызығы 9 см- ге тең . Трапецияның табандарын табыңыз.

А)5см; 13см В)6,25см; 14,25см С)8 см ; 17 см Д) 17 см ; 25 см Е) 9 см ; 18 см

13. Трапецияның бүйір қабырғалары 14 см және 17 см , ал периметрі 71 см . Трапецияның орта сызығын табыңыз.

А) 15,5 см В) 31 см С) 20 см Д) 51 см Е) 40 см

14. Үлкен табаны а – ға тең трапеция - бір түзумен ромб және теңқабырғалы үшбұрышқа бөлінген. Трапецияның орта сызығын табыңыз.

А) В) 2а С) Д) Е)

15. Табандары 15 см және 49 см болып , бір бұрышы 60⁰ – қа тең тең бүйірлі трапецияның периметрін табыңыз.

А) 122 см В) 130 см С) 132 см Д) 128 см Е) 134 см

16.Трапецияның бір табанындағы бұрыштары 20⁰, 70⁰ , ал табандарының ортасын қосатын кесіндінің ұзындығы 2 см . Егер орта сызығының ұзындығы 4 см болса , онда трапецияның табандарының ұзындығы қандай?

А) 2, 4 В) 2, 5 С) 3, 6 Д) 2, 6 Е) 4, 8

17. Тең бүйірлі трапецияның доғал бұрышының төбесінен жүргізілген биіктік табанын 5см және 2см кесінділерге бөледі.Трапецияның орта сызығын табыңыз.

А) 3 см В) 4 см С) 5 см Д) 7 см Е) 6 см

18. ABCD трапецияның табандары ВС = 12 м және АD = 27 м екендігі белгілі болса , онда АС диагоналын табыңыз , егер мұндағы АВС бұрышы мен ACD бұрыштары тең болса.

А) 12 м В) 27 м С) 39 м Д) 18 м Е) 9 м

19.Тең бүйiрлi трапецияның диоганалi 10 дм және ол бүйiр қабырғасымен 60⁰ бұрыш , ал табанымен 45⁰ бұрыш жасайды. Трапецияның бүйiр қабырғасы мен қысқа табанын тап.

А\ В\ С\

Д\ Е\

20.Тең бүйiрлi трапецияның диогнальдары өзара перпендикуляр.Егер оның диогналiнiң ұзындығы 10 см болса,онда трапецияның ауданын тап.

А\ 50 см² В\ 75 см² С\ 100 см² Д\ 60 см² Е\ 90 см²

21.Тең бүйiрлi трапецияның биiктiгi мен диагоналi сәйкес 5 пен 13. Трапеция ауданын тап.

А\ 62 В\ 64 С\ 60 Д\ 66 Е\ 65

22.Трапеция диогнальдарымен 4 үшбұрышқа бөлiнедi.Трапецияның табандарына iргелес үшбұрыштардың аудандары 4 см² және 9 см².Трапецияның ауданын тап.

А\ 16 см² В\ 30 см² С\ 26 см² Д\ 39 см² Е\ 25 см²

23.Трапецияның табандарының қатынасы 5:6,ал трапецияның биiктiгi 10 см.Егер трапецияның ауданы 110 см² болса,онда трапецияның кiшi табанын тап.

А\ 10 см В\ 6 см С\ 11 см Д\ 12 см Е\ 5 см

24.Трапеция табандары 4 және 12.Оның 6 – ға тең болатын бүйір қабырғасы үлкен табанымен 30⁰ бұрыш жасайды.Трапеция ауданын табыңыз.

А) 12 В) 24 С) 16 Д) 48 Е) 36

25. Тең бүйірлі трапецияның бүйір қабырғасы 4 және табанымен 30⁰ бұрыш жасайды, орта сызығы 5- ке тең.Трапеция ауданын табыңыз..

А) 20 В) 10 С) 10 Д) Е) 20

26. Трапецияның табандары 7 см және 15 см , ал биіктігі – 8 см . Трапецияның ауданын табыңыз.

А) 176 см² В) 840 см² С) 88 см² Д) 16 см² Е) 60 см²

27.Табандары АД мен ВС болатын АВСД трапецияның диогнальдары О нүктесiнде қиылысады.Егер де ВОС үшбұрышының ауданы 75см² , АД=15 см,ВС=9 см болса,онда АОД үшбұрышының ауданын тап.

А\ 45 см² В\ 111 см² С\ 75 см² Д\ 36 см² Е\ 27 см²

28.АВСД трапециясында АД мен ВС табандары және АД:ВС қатынасы 4:3-ке тең.Трапецияның ауданы 70 см²-қа тең болса,онда АВС үшбұрышының ауданын тап.

А\ 35 см² В\ 45 см² С\ 30 см² Д\ 15 см² Е\ 40 см²

29.Трапецияның табандары а және b. Трапецияның диагоналдарының қиылысу нүктесінен өтетін және табан қабырғаларына параллель кесінді жүргізілген.Кесіндінің ұштары трапецияның бүйір қабырғаларында жатыр.Осы кесіндінің ұзындығын табыңыз.

А) / 2 В) С) 2 ab / Д) Е)

30. Трапецияның табандары a және b. Трапецияның табандарына параллель

және бүйір қабырғаларын қосатын кесінді жүргізілген.Бұл кесінді трапецияны аудандары теңдей екі бөлікке бөледі. Осы кесіндінің ұзындығын табыңыз.

А) В) C) Д) Е)

31. Табандары 4 м және 6 м болатын трапецияны орта сызығы екі фигураға бөледі . Осы фигуралардың аудандарының қатынасын табыңыз.

А) 7 : 8 В) 11 : 9 С) 9 : 8 Д) 7 : 6 Е) 4 : 9

32. Тең бүйірлі трапецияның сүйір бұрышы 60⁰. Бүйір қабырғалары мен жоғарғы табаны 10 м-ге тең. Трапецияның орта сызығын тап.

А) 12,5 м В) 15 м С) 63 м Д) 10 м Е) 30 м

33. Тең бүйірлі трапецияның бүйір қабырғасы 25-ке , ал табандары 10 мен 24-ке тең. Трапецияның биіктігін тап.

А) 28 В) 20 С) 24 Д) 26 Е) 22

34. Трапецияның табандары 5 пен 15-ке, ал диогналдары 12 мен 16-ға тең. Трапецияның ауданын тап.

А) 120 В) 84 С) 96 Д) 108 Е) 72

35. Тік бұрышты трапецияның кіші табаны см, көлбеу бүйір қабырғасы 4 см, ал табанындағы сүйір бұрышы 45⁰. Трапеция ауданын тап.

А) 5 см² В) 10 см² С) см² Д) 16 см² Е) 8 см²

КӨПБҰРЫШ

1.Әр бұрышы 150⁰ болатын дұрыс көпбұрыш қабырғалар санын табыңыз.

А) 8 В) 4 С) 5 Д) 12 Е) 10

2. Дұрыс n- бұрышты көпбұрыштың әр бұрышы 135⁰ болса , онда қабырғалар саны қанша?

А) 10 В) 8 С) 7 Д) 12 Е) 14

3. Дұрыс көпбұрыш бұрыштарының қосындысы 1800⁰. Қабырғалар санын табыңыз.

А) 8 В) 5 С) 12 Д) 10 Е) 14

4. Дұрыс көпбұрыш бұрыштарының қосындысы 1080⁰. Көпбұрыш қабырғаларының санын табыңыз.

А) 6 В) 7 С) 8 Д) 12 Е) 14

5. Екі ұқсас көпбұрыштардың кіші қабырғалары 35 см және 21 см , ал периметрлерінің айырмасы 40 см . Кіші көпбұрыш периметрін табыңыз.

А) 50 см В) 60 см С) 80 см Д) 140 см Е) 120 см

6. Ұқсас екі бесбұрыштың аудандарының қатынасы 4 : 9 . Олардың периметрлерінің қатынасын табыңыз.

А) В) 2 : 3 С) Д) 4 : 9 Е) 16 : 81

7.Дұрыс көпбұрыштың ең үлкен орта бұрышы қандай бұрыш болуы мүмкін?

А) 60⁰ В) 90⁰ С) 120⁰ Д) 135⁰ Е) 150⁰

8. Ұқсас көпбұрыштың қабырғаларының қатынасы 2 : 1 , ал үлкен көпбұрыштың ауданы 36 – ға тең.Кіші көпбұрыштың ауданын табыңыз.

А) 18 В) 12 С) 10 Д) 9 Е) 6

9 . Дөңес көпбұрыштың әрбір төбесінен 5 диагональ өтетін болса онда көпбұрыштың қабырғаларының санын табыңыз.

А) 6 В) 7 С) 9 Д) 8 Е) 10

ШЕҢБЕР

1. Радиусы 10 м болатын шеңбер ұзындығын табыңыз.

А) 40 м В) 35 м С) 30 м Д) 20 м Е) 10 м

2. Радиусы 15 см болатын шеңбер ұзындығын табыңыз.

А) 11 см В) 12 см С) 30 см Д) 15 см Е) 20 см

3. Радиусы 5 см болатын шеңбердің ұзындығын табыңыз

А) 31 , 4 см В) 25 см С) 5 см Д) 314 см Е) 25 см

4. Шеңбер ұзындығы 1- ге тең. Радиусын табыңыз.

А) 2 В) С) 1 Д) Е)

5. Дөңгелек ауданы 1- ге тең. Радиусын табыңыз.

А) В) 1 С) Д) Е) 4

6. Радиусы 2,7 см-ге тең дөңгелектiң ауданын табу керек.

А\ 8 см² В\ см² С\ см² Д\ см² Е\ см²

7. Дөңгелек ауданы 4 -ге тең. Шеңбер ұзындығын табыңыз.

А) 4 В) 4 С) 2 Д) 2 Е) 3

8. Шеңбер ұзындығы 2 -ге тең. Дөңгелек ауданын табыңыз.

А) 1 В) 2 С) Д) 4 Е) 6

9. Егер шеңбердің ұзындығын 19 есе арттырсақ , онда онымен шектелген дөңгелектің ауданы неше есе артады?

А) 361 есе В) 360 есе С) 19 есе Д) 19 есе Е) 324 есе

10. Дөңгелек ауданын екі есе арттыру үшін , дөңгелек радиусын неше есе арттыру керек?

А) 2 есе В) 0,5 есе С) есе Д) есе Е) 3 есе

11. Дөңгелектің ауданы 14,49 %- ке өсу үшін оның радиусын қанша процентке үлкейту керек?

А) 15 % В) 2 % С) 6 % Д) 7 % Е) 9 %

12. Егер шеңбердің радиусы 15%-ке үлкейтілсе , оның ауданы қанша %- ке үлкейеді?

А) 32,25 % В) 15 % С) 21 % Д) 30 % Е) 45 %

13. <Н=60⁰ болатын EHF үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер радиусы -ке тең. EF қабырғасын тап.

А) В) С) Д) 3 Е)

14. Қабырғалары АВ=ВС=5 см, АС=6 см болатын үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер радиусын тап.

А) см В) 10 см С) 12 см Д) см Е) 10,5 см

15. болатын АВС үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердiң радиусын табыңыз.

А\ В\ 1 С\ Д\ Е\ 2

16. , ВС=6 болатын АВС үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердiң радиусын табыңыз:

А\ 12 В\ 6 С\ 3 Д\ 18 Е\ 10

17. Сырттай сызылған шеңбердiң радиусы 6 см, ал қарсы жатқан бұрыш 45⁰-қа тең болатын үшбұрыштың қабырғасын табыңыз.

А\ 6 см В\ см С\ 3 см Д\ Е\ см

18. Сүйiр бұрышы 30° тiк бұрышты үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер центрiнен ұзындығы 6 см болатын жазықтыққа перпендикуляр тұрғызылған. Перпендикулярдың жазықтықтан тыс жатқан ұшынан үлкен катетке дейiнгi қашықтық 10 см.Үшбұрыш гипотенузасының ұзындығын табыңыз.

А\ 36 см В\ 33 см С\ 35 см Д\ 34 см Е\ 32 см

19. Катеттерi 4 дм және 3 дм болып келетiн тiк бұрышты үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердiң ұзындығын табыңыз.

А\ 5 дм В\ 20 дм С\ 10 дм Д\ 2 дм Е\ дм

20. Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы 10 см- ге тең. Осы үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің радиусын табыңыз.

А) 5 см В) см С) -5 см Д) 5 см Е) -5 см

21. Үшбұрыштың қабырғасы 10 см , ал оған қарсы жатқан бұрыш 150⁰. Осы үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің радиусын табыңыз.

А) 5 см В) 10 см С) 10 Д) см Е) 5 см

22. АВС үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің радиусы 7- ге тең , ал үшбұрыштың бұрыштары /3 және /6. Үшбұрыштың қабырғаларын табыңыз.

А) 7 ; 3,5; 14 В) 14 ; 3,5 ; 14 С) 7 ; 7 ; 14 Д) 7 ; 7 ; 14 Е) 7 ; 3,5 ; 14

23. Қабырғалары 8, 15, 17 болатын үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің радиусы неге тең?

А) 6 В) 7,5 С) 8,5 Д) 5,5 Е) 4

24.Тік бұрышты үшбұрыш катеттері қатынасы 3 : 4 қатынасындай , ал периметрі 24 см . Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер радиусын табыңыз.

А) 5 см В) 8 см С) 6 см Д) 10 см Е) 12 см

25. Тік бұрышты үшбұрыш катеттері 3 және 4. Үшбұрышқа сырттай сызылған дөңгелек ауданын табыңыз.

А) 25 В) 25 С) 6,25 Д) 5 Е) 6,25

26. Тік бұрышты үшбұрыштың катеттері 30 см және 40 см .Оған сырттай сызылған шеңбердің радиусын табыңыз.

А) 35 см В) 50 см С) 40 см Д) 60 см Е) 25 см

27.Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер радиусы R және центрi үшбұрыштан тыс жатыр. Үшбұрыштың үлкен қабырғасы болса,онда үшбұрыштың үлкен бұрышын тап

А\ 135⁰ В\ 115⁰ С\ 120⁰ Д\ 90⁰ Е\ 150⁰

28.Қабырғалары 8 см және 16 см болатын тiктөртбұрыш дөңгелекке iштей сызылған.Дөңгелек ауданын тап.

А\ 320п см² В\ 64п см² С\ 80п см² Д\ 144п см² Е\ 121п см²

29. Квадрат қабырғасы 4- ке тең. Оған сырттай сызылған шеңбер радиусын табыңыз.

А) 2 В) 2 С) 1 Д) С) 3

30. Квадрат диагоналы 2 -ге тең.Сырттай сызылған шеңбер радиусын табыңыз.

А) В) С) 1 Д) 2 Е)

31. Шеңберге iштей қабырғалары 12 см және 5 см болатындай тiк төртбұрыш сызылған. Шеңбердiң ұзындығын табыңыз.

А\ 13 см В\ 17 см С\ 52 см Д\ 22 см Е\ 26 см

32. Радиусы 6 см-ге тең шеңберге қырлары см-ге тең дұрыс көпбұрыш сырттай сызылған. Көпбұрыш қырларының санын табыңыз.

А\ 8 В\ 12 С\ 6 Д\ 4 Е\ 3

33. Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрі не болады?

А) Үшбұрыш бұрыштарының биссектрисаларының қиылысу нүктесі.
В) Үшбұрыш қабырғаларының орталарына жүргізілген перпендикулярлардың қиылысу нүктесі. С) Үшбұрыш биіктіктерінің қиылысу нүктесі

Д) Үшбұрыш медианаларының қиылысу нүктесі.

Е) Үшбұрыш қабырғаларын қиятын түзулердің қиылысу нүктесі.

34. Тiк бұрышты үшбұрыштың бiр катетi 10 дм-ге, ал осы үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердiң радиусы 13 дм-ге тең. Осы үшбұрыштың ауданын табыңыз.

А\ 80 дм² В\ 39 дм² С\ 60 дм² Д\ 120 дм² Е\ 240 дм²

35. Тiкбұрышты үшбұрыштың ауданы 24 см², гипотенузасы 10 см. Iштей сызылған шеңбер радиусын табыңыз.

А\ 1 см В\ 2 см С\ 3 см Д\ 5 см Е\ 4 см

36. Тiк бұрышты үшбұрыштың бiр бұрышы 30°-қа тең. Осы үшбұрышқа iштей сызылған шеңбердiң радиусы 4 см-ге тең болса, онда осы үшбұрыштың ауданын есептеңiз.

А\ 48+32 В\ 96 см² С\ 48 Д\ 96+64 Е\ 48 см²

37. Тік бұрышты үшбұрыштың катеттері 5 және 12. Осы үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер радиусы неге тең?

А) 2 В) 4 С) 3 Д) 2,5 Е) 1

38 . Теңбүйірлі үшбұрыштың биіктігі 20 , табаны мен бүйір қабырғасының ұзындықтарының қатынасы 4:3 – тей . Іштей сызылған шеңбердің радиусын табыңыз.

А) 3 В) 5 С) 4 Д) 8 Е) 6

39. Тiк бұрышты үшбұрышқа iштей сызылған шеңбердiң гипотенузамен жанасу нүктесi гипотенузаны ұзындықтары 5 және 12 см-ге тең кесiндiлерге бөледi. Осы үшбұрыштың катеттерiн табу керек.

А\ 7 см, 12 см В\ 8 см, 15 см С\ 12 см, 16 см Д\ 8 см, 14 см Е\ 13 см, 15 см

40. Тік бұрышты үшбұрышқа іштей шеңбер сызылған . Жанау нүктесі гипотенузаны 2 және 3 бөліктерге бөледі.Осы шеңбердің радиусын табыңыз.

А) 2 В) 1 С) 3 Д) 5 Е) 7

41. болатын АВС үшбұрышына iштей сызылған шеңбер центрi –О нүктесi.ВОС үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер радиусын тап

А\ В\ С\ Д\ Е\

42. Ромб биіктігі 2- ге тең . Ромбының бір бұрышы 30⁰ болса , оған іштей сызылған дөңгелек ауданын табыңыз.

А) 4 В) С) 2 Д) Е)

43. Квадрат қабырғасы 2 . Квадратқа іштей сызылған шеңбер радиусын табыңыз.

А) 1 В) С) 2 Д) Е) 3

44.Квадрат диагоналы 2 - ге тең. Квадратқа іштей сызылған шеңбер радиусын табыңыз.

А) 2 В) С) Д) 1 Е) 4

45. Шеңберге сырттай сызылған шаршының қабырғасы 2- ге тең. Шеңбер ұзындығын табыңыз.

А) В) 2 С) 3 Д) 4 Е) 5

46. Квадрат дөңгелекке iштей сызылған. Егер де дөңгелек радиусы 4 см болса, онда квадраттың керiп тұрған қырының кiшi сегментiнiң ауданын табыңыз.

А\ В\ С\ Д\ Е\

47.Кубтың қыры а-ға тең.Кубқа iштей сызылған шеңбердiң радиусын тап.

А\ В\ С\ Д\ а Е\ 2а

48. ABCD төртбұрышына іштей шеңбер сызылған. АВ═15 см, ВС ═ 20 см, СD ═ 17 см екендігі белгілі. Келесі тұжырымдардың қайсысы орынды?

А)АD қабырғасы CD қабырғасынан ұзын. В)AD қабырғасы CD қабырғасынан қысқа, бірақ АВ-дан ұзын. С) AD қабырғасы ВС қабырғасынан қысқа, бірақ CD-дан ұзын. Д) AD қабырғасының ұзындығы 14 см. Е)AD қабырғасының ұзындығы 12 см.

49. Параллелограммның бір бұрышы басқасынан екі есе үлкен.Егер параллелограмға іштей шеңбер сызуға болатын болса, онда....

А) Бірде-бір диагональ ұзындығы бойынша ешқандай қабырғасымен тең болмайды.
В) Диагональдардың бірінің ұзындығы бір қабырғасының ұзындығына тең болады. С) Диагональдардың бірі ұзындығы бойынша параллелограмның екі қабырғасына тең болады. Д) Параллелограмм қабырғаларының ұзындықтары әртүрлі. Е) Параллелограмм диагональдары өзара тең.

50.ABCD төртбұрышына іштей шеңбер сызылған. АВ = 15 см , ВС = 21 см , CD = 18 см екендігі белгілі . Келесі тұжырымдардың қайсысы орынды?

А) AD қабырғасы CD қабырғасынан ұзын . В)AD қабырғасы CD қабырғасынан қысқа ,бірақ АВ – дан ұзын. С) AD қабырғасы ВС қабырғасынан қысқа , бірақ CD –дан ұзын. Д) AD қабырғасының ұзынды ғы 14 см . Е) AD қабырғасының ұзындығы 12 см

51. Тік бұрышты үшбұрыштың катеттері 6 және 8. Осы үшбұрышқа іштей және сырттай сызылған шеңберлердің радиустарының қосындысын табыңыз.

А) 6,5 В) 7 С) 7,5 Д) 8 Е) 8,5

52. Тік бұрышты үшбұрыштың катеттері а = 6 см , в = 8 см . Үшбұрышты сырттай және іштей сызылған шеңберлер диаметрлерінің айырмасын табыңыз.

А) 4 В) 3 С) 2 Д) 1 Е) 6

53. Шеңбердiң iшiне периметрi 54 см-ге тең дұрыс үшбұрыш сызылған. Осы шеңбердiң iшiне сызылған квадраттың периметрiн табыңыз.

А\ В\ С\ Д\ Е\

54. Шеңбер радиусы 6 см , шеңбер доғасының градустық өлшемі 30⁰ болса ,доға ұзындығын табыңыз.

А) 3 см В) 4 см С) см Д) 5 ,3 см Е) 2 см

55.Радиусы 10 см шеңбердің доғасының ұзындығын табыңыз, егер ол доға тірелетін центрлік бұрыш 1,5 рад. болса.

А) 31,4 см В) 62,8 см С) 15 см Д) 41,1 см Е) 25 см

56. Радиусы 5 см шеңберге центрінің екі жағынан өзара параллель ұзындықтары 6 см , 8 см екі хорда жүргізілген.Хордалардың арақашықтығын табыңыз.

А) 5 В) 7 С) 4 Д) 2 Е) 8

57. Ұзындығы 24π м – ге тең шеңберде 12 м – ге тең хорда жүргiзiлген . Хорданы керiп тұрған кiшi доғаның бұрыштық өлшемiн табыңыз.

А\ 120⁰ В\ 90⁰ С\ 45⁰ Д\ 30⁰ Е\ 60⁰

58. KD және МС-бiр шеңбердiң доғалары, А-олардың қиылысу нүктесi. СDА бұрышын табыңыз, егер DАМ бұрышы DАС бұрышынан 2 есе артық болса, ал СМК бұрышы DАС бұрышынан 26⁰-қа артық болса.

А\ 64⁰ В\ 84⁰ С\ 54⁰ Д\ 86⁰ Е\ 71⁰

59. Ұзындығы 36 болып келетiн шеңберде 60⁰ доғаны керетiн хорда жүргiзiлдi. Хорданың ұзындығын табыңыз.

А\ 18 В\ 12 С\ Д\ Е\ 6

60. Егер шеңберге жүргiзiлген жанама бiр диаметр ұштарынан 2,4 дм және 1,8 дм қашықтықта жатса, онда шеңбер диаметрiн табыңыз.

А\ 3 дм В\ 2,1 дм С\ 2,8 дм Д\ 3,6 дм Е\ 4,2 дм

61. АВС бұрышы тiрелетiн доғаның градустық өлшемiн табыңыз.

С

А D

B

А\ 90⁰ В\ 60⁰ С\ 45⁰ Д\ 30⁰ Е\ 120⁰

62. Центрi О, радиусы 10 см-ге тең шеңбердегi жүргiзiлген МН хордасы 16 см болса, онда шеңбер центрiнен хордаға дейiнгi ара қашықтықты табыңыз.

А\ 12 см В\ 6 см С\ Д\ Е\

63. Шеңберден 8 м қашықтықта жатқан нүктеден шеңберге жанама жүргiзiлген. Егер шеңбер радиусы 5 м болса, онда жанасу нүктесiнен А нүктесiмен шеңбер центрi арқылы жүргiзiлген түзуге дейiнгi қашықтықты тап.

А\ м В\ 5м С\ Д\ 8 м Е\

64. Радиусы 10-ға шеңбердiң центрiнен ұзындығы 12-ге тең хордасына дейiнгi қашықтықты табыңыз.

А\ 10 В\ 9 С\ 6 Д\ 12 Е\ 8

65. ABCD ромбысында диагоналдары АС =1 , BD = 1/ тең . А , В , С нүктелерінен өтетін шеңбердің центрі О нүктесі. OD кесіндісінің ұзындығын табыңыз.

А) 1/2 В) 1/ С) 0 Д) 1/ Е)

66. Үш шеңбердің әрқайсысы бір-бірімен жанасады. Олардың центрлерінің арасын қосатын кесінділерден тік бұрышты үшбұрыш жасалады. Егер үлкендеу екеуінің радиустары 4 см , 6 см болса , онда кіші шеңбердің радиусын табыңыз.

А) 1 В) 3 С) 4 Д) 2 Е) 5

67. Радиусы 13 см шеңбердi қабырғасы 18 см-ге тең квадраттың iргелес қабырғалары жанайды. Квадраттың қалған екi қабырғасын шеңбер ұзындығы қандай кесiндiлерге бөледi?

А\ 1,5 см, 16,5 см В\ 3 см, 15 см С\ 1 см, 17 см Д\ 2 см, 16 см

Е\ 2,5 см, 15,5 см

68.60⁰-қа тең АСВ бұрышының қабырғалары центрi О₁ және О₂ болып келетiн және өзара жанасатын шеңберлердi жанайды (О₂ –кiшi шеңбердiң центрi).СО₁ =12 см.Центрi О₂ болып келетiн шеңбердiң радиусын тап.

А\ 3 см В\ С\ 2 см Д\ Е\

69.СД=CE,О-шеңбердiң центрi. бұрышы бұрышынан 105⁰-қа артық. бұрышын тап.

С

Д Е

О

А\ 100⁰

В\ 260⁰

С\ 110⁰

Д\ 115⁰

Е\ 105⁰

70. Қабырғасы а және сүйір бұрышы болатын ромбының ауданының , қабырғасы ромбыға іштей сызылған шеңбердің диаметріне тең болатын квадраттың ауданына қатынасын табыңыз.

А)1: 2sin В)1: С)sin : 1 Д 1 : sin Е) 2 sin : 3

71. Бөренеден көлденең қимасының ауданы 9 см² болатын дұрыс төртбұрышты тақтай кесіліп алынған . Бөрененің диаметрін табыңыз.

А) В) 3 С) Д) 3+ Е) 3

72 . Радиусы а – ға тең дөңгелекке іштей квадрат сызылған, дөңгелек сызылған және т.с.с. Онда барлық квадраттарының аудандарының қосындысы неге тең ?

А) В) С) Д) Е)

73. Шеңбердің AD және BC хордалары қиылысады. Егер АВС бұрышы 60⁰, ал ACD бұрышы 70⁰ тең болса, онда CAD бұрышын табыңыз.

А) 60⁰ В) 70⁰ С) 50⁰ Д) 90⁰ Е) 80⁰

74. Шеңберге іштей сызылған бұрыштың шамасы 150^о тең. Егер шеңбердің радиусы 6 см тең болса, онда осы доғаны керетін центрлік сектордың ауданын табыңыз.

А) 10 см² В) 30 см² С) 60 см² Д) 5 см² Е) 20 см²

75. Егер ізделінді шеңбер ұзындығы радиустары 11 см және 47 см шеңбер ұзындықтарының қосындысынан 2 есе көп болса, онда ізделінді шеңбер радиусын табыңыз.

А) 58 см В) 116 см С) 29 см Д) 332 см Е) 18 см

76. Шеңберге үшбұрыш іштей сызылған. Егер бір қабырғасы шеңбер центрі арқылы өтіп, ал қалған екі қабырғасы шеңбер центрінен 6 см және 4 см қашықтықта орналасса, онда үшбұрыш ауданын табыңыз.

А) 96 см² В) 24 см² С) 12 см² Д) 48 см² Е) 48 см²

77 . Егер дұрыс үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер радиусы 5см тең болса, онда үшбұрыш ауданын табыңыз.

А) В) С) Д) Е)

78. Тік бұрышты үшбұрыш гипотенузасы 10 см, ал іштей сызылған шеңбер радиусы 2 см. Үшбұрыштың ауданын тап.

А) 36 см² В) 24 см² С) 18 см² Д) 12 см² Е) 9 см²

79. Тік бұрышты үшбұрыштың ауданы 24 см², гипотенузасы 10 см. Іштей сызылған шеңбер ауданын тап.

А) 5 см В)3 см С) 4 см Д) 2 см Е) 1 см

80. Үшбұрыштың бір бұрышы 60⁰ және сырттай сызылған шеңбер радиусы 9 см болса, онда осы бұрышқа қарсы жатқан қабырғаны тап.

А) 18 см В) см С) 12 см Д) см Е) 9 см

81. Шеңбердің бір нүктесінен ұзындықтары 9 см және 17 см-ге тең екі хорда жүргізілді. Осы хордалардың ара қашықтығы 5 см-ге тең. Дөңгелектің ауданын тап.

А) 100π см³ В) см³ С) 100,25π см³ Д) 25π см³ Е) 36π см³

82. Шеңберінің ұзындығы 8π болып келетін дөңгелектің ауданын тап

А) 36π см² В) 27π см² С) 49π см² Д) 25π см² Е) 16π см²

83. Тең бүйірлі үшбұрыштың биіктігі20 см, табаны мен бүйір қабырғасының ұзындықтарының қатынасы 4:3-тей. Іштей сызылған шеңбер радиусын тап.

А) 5 В) 3 С) 8 Д) 4 Е) 6

84. Радиусы 6 см-ге тең болатын шеңберге іштей сызылған дұрыс үшбұрыштың ауданын тап.

А) см² В) см² С) см² Д) 24 см² Е) 48 см²

85. Ұзындығы 36π болып келетін шеңберде 60⁰ доғаны керетін хорда жүргізілді. Хорданың ұзындығын тап.

А) В) 6 С) Д) 12 Е) 18

86. Қабырғалары 6 см дұрыс үшбұрышқа іштей және сырттай сызылған шеңберлер ортасындағы сақина ауданын тап

А) 18π см² В) 36 π см² С) 9π см² Д) 27π см² Е) 45π см²

87. Радиустары r және R болатын екі шеңбер А, В нүктелерінде қиылысады және С, Д нүктелерінде түзуге жанасады. N-АВ және СД түзулерінің қиылысу нүктесі ( А мен N арасында В жатыр ) . АСД үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің радиусын табыңыз.

А) В) rR С) Д) Е)

Жауаптары

1. 1-сүйір; 4-тік; 2, 3-доғал; 5-жазыңқы. 2. 70⁰. 3. 24⁰. 4. 35⁰, екеуі тең. 5. 1) , , , ; 2) 4⁰, 0,5⁰, 6⁰. 6. 1) , , , бөлігін; 2) ; , , . 7. 1) 36⁰; 105⁰; 2) 72⁰; 210⁰. 8. 1) 70⁰; 2) 25⁰. 9. 36⁰; 144⁰. 10. 1) 135⁰; 2) 60⁰; 3) 162⁰. 11. 130⁰; 50⁰; 130⁰. 12. 150⁰. 13. 110⁰; 70⁰. 14. 132⁰. 15. 1) 58⁰, 122⁰; 2) 62⁰, 118⁰; 3) 45⁰, 135⁰; 4) 60⁰, 120⁰. 16. 1) 35⁰, 145⁰, 35⁰, 145⁰; 2) 45⁰, 135⁰, 45⁰, 135⁰; 3) , . 17. 36⁰, 144⁰. 18. 1) 85⁰, 80⁰; 2) 200⁰; 3) 15⁰. 19. 65⁰, 115⁰. 20. 70⁰, 110⁰. 21. 80⁰, 100⁰. 22. 75⁰, 105⁰. 23. . 24. 120⁰. 25. 1) иә; 2)иә. 26. 70⁰, 110⁰. 27. 43⁰, 62⁰. 28. 36⁰, 144⁰. 29. 1) 18см; 2) 28см. 30. 1) 268м; 2) 308м. 31. 126дм. 32. 1) жоқ; 2) иә; 3) жоқ; 4) жоқ. 33. 1) 100⁰; 2) 80⁰; 3) 121⁰; 4) 9⁰. 34. 60⁰, 80⁰, 40⁰-ішкі бұрыштар; 120⁰, 100⁰, 140⁰-сыртқы бұрыштар. 35. 95⁰; 50⁰; 35⁰. 36. 60⁰; 50⁰; 70⁰. 37. 80⁰; 40⁰; 60⁰. 38. 40⁰; 56⁰; 84⁰. 39. 15⁰. 40. 120⁰. 41. 70⁰; 20⁰; 90⁰. 42. 55⁰. 43. 95⁰; 35⁰. 44. 4-тең бүйірлі, 3-тең қабырғалы, 1, 2-әр түрлі қабырғалы үшбұрыш. 45. 1) 26см; 2) 17м. 46. 1) 7,3дм; 2) 10дм; 3) 6дм, 6дм, 8,6дм. 47. 18,6см. 48. 10,8дм. 49. 16дм. 50. 16дм. 51. . 52. . 53. 40⁰. 54. 40⁰. 55. ; 75⁰. 56. 68⁰; 68⁰; 44⁰. 57. 1) 72⁰; 2) 34⁰. 58. 1) 13см; 2) 1,2дм, 2,4дм. 59. 9см. 60. 1) 180⁰; 2) 60⁰. 61. 45⁰, 60⁰, 255⁰. 62. 1) 60⁰; 2) 45⁰; 3) 30⁰; 4) 10⁰. 63. 150⁰. 64. 160⁰. 66. 1) 50⁰; 2) 270⁰. 67. 60⁰, 80⁰. 68. 140⁰. 69. 116дм. 70. 30⁰, 60⁰, 90⁰. 71. 1) 20см; 2) 37м. 72. 1) 48дм; 2) 52,8дм; 3) 31дм. 73. 1) 6,2дм; 2) 2,2дм. 74. 1) 4см, 8см; 2) 3см, 9см; 3) 4см, 8см. 75. 1) 4см, 8см; 2) 4,8см, 7,2см. 76. 138⁰. 77. 1) , ; 2) , ; 3) 60⁰, 120⁰. 78. 12дм және 5дм. 79. екі жағдай: 62см және 52см. 80. 64⁰; 116⁰. 81. 1) 26см; 2) 50см. 82. 1) 55м; 2) 66м; 3) 75м. 83. 1) 7,5м және 4,5м; 2) 5м және 7м; 3) 4м және 8м. 84. 1) 4,8дм және 11,2дм; 2) 7,5дм және 4,5дм. 85. 72⁰. 86. 50⁰. 87. 1,2м. 88. екі жағдай: 20см және 8см немесе 20см және 12см. 89. 11дм. 90. 26дм. 91. 9,1м. 92. 60⁰, 120⁰. 93. 138⁰. 94. 105⁰, 75⁰. 95. 40⁰, 140⁰. 96. 60⁰, 120⁰. 97. 150⁰. 98. 30см. 99. 0,8см. 100. 8дм. 101. 28дм. 102. 68⁰, 115⁰. 103. 138⁰; 70⁰. 104. 46см. 105. 118⁰, 62⁰. 106. 60⁰, 120⁰. 107. 3м. 108. 6,5см. 109. 18см, 34см. 110. 1) 6дм; 2) 9см. 111. 3м, 4,5м, 6,5м. 112. 10дм, 14дм, 20дм. 113. 12м. 114. 30дм. 115. 2,4дм, 1,8дм, 3дм. 116. 3,5дм. 117. 4м, 2м. 118. 7,5дм. 119. 19,2дм, 28,8дм. 120. 6дм, 14дм. 121. 8,5дм. 122. 2,8м, 1,2м. 123. 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 124. 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 125. 1) , ; 2) , ; 3) , ; 4) , . 126. 1) 10; 2) ; 3) 16. 127. 4м. 128. 10дм. 129. 60см. 130. 15см. 131. 1) 5м; 2) 10см; 3) 1,3дм. 132. 24дм. 133. 1) 3,6см, 10см, 6см; 2) 8дм, 10дм, 6,4дм. 134. 1) ; 2) 9,6. 135. екі жағдай: 8см немесе см. 136. 16см; 12см. 137. 12м. 138. 8дм. 140. (-0,5; 1). 141. 1) 10; 2) 5. 142. 1) 5; 2) ; 3) . 143. . 144. , , , . 145. x²+y²=25. 146. x²+y²=2,25. 147. A және D нүктелері. 148. 8. 149. 5x-7y-18=0. 150. 4x+15y+9=0. 151. AB:2x-3y+10=0, AA₁:y-2=0, BC:4x-y=0, BB₁:3x-2y+5=0, AC:x+y=0, CC₁:6x+y=0. 152. 1) 0,1км²; 2) 100 000м². 153. 1) 16дм²; 2) 16 040см²; 3) 396м²; 4) 11га. 154. 400см². 155. 20,25дм². 156. 100м. 157. 45см⁰. 158. 1,9788га, 197,88ар. 159. 4,8км. 160. 10дм, 14дм. 161. 30м, 18м. 162. 11,7дм². 163. 7,5см немесе 4,8см. 164. 1) 1,6м; 2) 4м. 165. 1) 216дм²; 2) дм²; 3) дм². 166. 30⁰. 167. 84см². 168. 7дм. 169. см². 170. 4см және 6см. 171. 3244,8м². 172. 217,35дм². 173. 1) 6м; 2) 18м. 175. 1) см²; 2) м². 176. 1) ; 2) 81,92; 3) . 177. . 179. 1) 3,6м²; 2) 19см². 181. 1) 60; 2) ; 3) 5,28; 4) 8. 182. 20м. 183. см. 184. . 185. . 186. 306см². 187. 0,8дм. 188. 2,5дм. 189. 8см, 10см. 190. 24дм². 191. 4,8дм². 192. 135м². 193. 1024см². 194. . 195. 1) (2; -1); 2) (-1; 6); 3) (0; 0); 4) (13; 4). 196. В(5; 7). 197. 1) (8; 20); 2) (-3; -7,5). 198. 10. 199. 1) 5; 2) (3; -4). 200. 1) ; 2) . 201. 1) ; 2) . 202. 1) ; 2) . 203. 1) (6; 8); 2)(4;-1); 3) (5; 13); 4) (2; 0). 204. 1) (2; 3); 2) (0; 1); 3) (2; 4); 4) (3; 6); 5) (4; 8); 6) (2; 2); 7) (3; 3); 8) (-11; -14). 205. ; ; . 206. -6. 207. 12. 208. . 209. -20. 210. -0,6. 211. 15см; 12см. 212. . 213. 10см. 214. 16дм; 20дм. 215. 9см. 216. 1) 16; 11,2; 2) 60. 217. 6,8дм. 218. 100⁰. 219. 30⁰. 220. 110⁰; 70⁰. 221. . 222. 144⁰. 223. 20⁰ немесе 160⁰. 224. . 225. 108⁰; 60⁰; 12⁰.