ҒТАМР 371.132

ҮШБҰРЫШТЫҢ БИІКТІКТЕРІ МЕН БИССЕКТРИСАЛАРЫ БОЙЫНША ТЕҢСІЗДІКТІ ДӘЛЕЛДЕУ

Зейниллаева Ж.

Астана халықаралық университетінің магистрант, Астана, Қазақстан

Ғылыми жетекшісі - Ж.Хырхынбай

Математиканы оқытуда ойлау қабілетін дамытуда қолданылатын әдіс-тәсілдердің сан алуан түрі бар. Осы мақалада геометриялық теңсізіктерді қолдана отырып есептердің шығарылу жолын ұсынатын боламыз. Мәселе есептерін дәлелдеуде қолданылатын әдіс-тәсілдерді Метелский Василий Михайлович [1] және Саранцев Геннадий Иванович [2] еңбектерінде көруге болады. Қазіргі таңда осы есептердің берілу жолдарымен оларды дәлелдеу жолдарын жинақтайтын кітапшалар қолданыста бар. Олар олимпиадалық есептерде қолданылып жүргенін көруге болады [3-4]. Осы мақалада қаралатын есептер үшбұрыштың биіктіктері мен оның биссектрисалары бойынша дәлелдеулер жүргізіледі. Үшбұрыштың биіктігі дегеніміз, үшбұрыштың төбесінен қарсы жатқан қабырғасы арқылы өтетін түзуге түсірілетін перпендикулярды айтамыз. Ал үшбұрыштың биссектрисасы дегеніміз, осы төбесіндегі бұрыш биссектрисасының қарсы жатқан қабырғасымен шектелген кесіндіні айтамыз [5]. Геометриялық есептерді төмендегі келтірілген мысалдардан көретін боламыз:

Мысал 1. Кез келген үшбұрышта биіктіктер ұзындықтар қосындысы оның периметрінен кіші болуын дәлелдеңіз (сурет 1).

Дәлелдеуі: Катеттер ұзындықары гипотенуза ұзындықтарынан кіші болғандықтан,

және кем дегенде осы теңсіздіктердің бірі қатаң. Теңсіздік дәлелденді.

Сурет 1.

Мысал 2. Үшбұрыштың биіктіктерінің қосындысы оның радиусының тоғыз реткі қосындысынан үлкен екенін дәлелде.

Дәлелдеуі: Мектеп бағдарламасынан белгілі мынадай формулаларды білеміз:

Мұндағы S –үшбұрыштың ауданы; a, b, c – үшбұрыш қабырғасының

ұзындықтары; h_a, h_b, h_c – биіктіктерінің ұзындықтары, r – үшбұрышқа іштей

сызылған шеңбердің ауданы.

Бұл теңдіктерден

аламыз. Бұл теңдіктерді қосу арқылы

Сондықтан

≥9.

Мысал 3. Үшбұрыштың екі қабырғасының ұзындығы а және b, ол шартты қанағаттандырады, оның және биіктіктері қабырғасының ұзындығымен сәйкес.

теңсіздігін дәлелдеңіз және теңсіздік қашан орындалады (сурет 2).

Сурет 2.

Дәлелдеуі: ABC үшбұрышының ауданы

одан

Сонымен,

одан

және

,

одан

.

Барлық теңсіздік дәлелдеу мүшелерін бір жаққа аударамыз, одан төмендегідей жазба шығады:

Бізге белгілі,

сондықтан

Анықтамадан теңсіздік орындалады, яғни одан .

Сол сияқты, , яғни тік бұрышты үшбұрышта теңсіздігі орындалады.

Мысал 4. Кез келген үшбұрыштың ұзын қабырғасына қысқа биіктік сәйкес келетінін дәлелдейік.

Дәлелдеуі: ( -үшбұрыштың қабырғалары) болсын. Бұларға сәйкес биіктіктер екен делік. болатынын дәлелдейік. Үшбұрыштың екі еселенген аудандары болатынын ескерсек,

немесе

болатындықтан, сондықтан бұл арадан .

Мысал 5.

теңсіздігін дәлелдейік. Мұндағы –үшбұрыш қабырғалары – сәйкес биіктіктер, үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің радиусы.

Дәлелдеуі:

және

қатыстарының оң және сол жақтарын өзінше қоссақ,

теңдігі шығады.

формуласын қолдансақ,

(1)

теңсіздіктерін ескеріп,

яғни

(2)

(1) теңдіктен

табылған мәнді (2) – ге қоссақ дәлелдеуге тиісті теңсіздік шығады

.

Үшбұрыштың биссектрисалары бойынша теңсіздікті дәлелдеуде келесі есептерді қарастыратын боламыз:

Мысал 6. Егер –үшбұрыштың биссектрсалары, r – іштей сызылған шеңбердің радиусы болса,

екенін дәлелде.

Дәлелдеуі:

екені мектеп курсынан белгілі сондықтан

осыдан берілген теңсіздігіміз шығады:

Мысал 7. Кез келген үшбұрыштың ұзын қабырғасына қысқа биссектрисса сәйкес келетінін дәлелдеңдер.

Дәлелдеуі: үшбұрышының бұрыштарына қарсы жатқан сәйкес қабырғалар және бұрыштарының биссектрисалары болсын. десек болатынын дәлелдеу керек. Белгілеулерді пайдаланып үшбұрыштарың ауданын тапсақ, ол Екінші жағынан үшбұрыш ауданы биссектрисасы арқылы екіге бөлінеді, олардың аудандары

Сонымен,

теңдігін тексеріп, соңғы теңдікті

түрінде жазуға болады. Бұл арадан

Дәл осы сияқты

болғандықтан Сонымен бірге

онда

мен мәндеріндегі бөлшектердің алымы мен бөлімдерін сәйкес –ға бөлсек, оның бөлімдерінен

және

шығады. Бұлардан

Демек

.

үшбұрышының қабырғалары және

болса, онда

орындалады және дәлелденді.

Қорыта келгенде, бұл мақалада біз қарастырдық шеометриялық теңсіздіктерге қатысты есептерді үшбұрыштың қасиеттерін қолдана отырып шығарғанымыз, оның ішінде үшбұрыштың биіктігі мен биссектриса қасиеттері қолданылғанын атап айтуға болады. Мында дәлелдеу барысында білім алушыға түсінікті түрде қабылдауына және оны әріқарай қолдана алуына көмек ретінде көрсетілетін мақала ретінде қарастырылды.

Пайдаланылған әдебиеттер:

1. Мительский М.В. Психолого-педагогические основы дидактики математики. М.,1997

2. Саранцев Ц. Обучение математическим доказательствам и опровержениям в школе. М., 2006

3. Агаханов Н.Х. и др. Всероссийские олипиады школьников по математике 1993-2009: Заключительные этапы. – М.: МЦНМО, 2010

4. Берлов С.Л., Петров Ф.В., Смирнов А.В. Петербургские математические олимпиады 2011 года- М.: МЦНМО, 2012

5. Шыныбеков Ә. Н., Шыныбеков Д. Ә. «Геометрия» 7 сынып оқулығы. / Алматы «Атамұра». - 2017 жыл. 42б.