Математика 9 сыныпқа байланысты логикалық есептер

"EL UMITI" ҚОРЫ" КОРПОРАТИВТІК ҚОРЫ
ОЛИМПИАДАЛЫҚ МАТЕМАТИКА
9 СЫНЫП. ЕСЕПТЕР ЖИНАҒЫ

ОЛИМПИАДАЛЫҚ МАТЕМАТИКА 9
СЫНЫП
1
ҚҰРАСТЫРУШЫ: БЕКБАУОВ АМАНБЕК-МАГИСТР (АҚПАРАТТЫҚ
ТЕХНОЛОГИЯЛАР), МАТЕМАТИКА ОҚЫТУШЫСЫ,
ОЛИМПИАДАЛЫҚ МАТЕМАТИКА БОЙЫНША ЖАТТЫҚТЫРУШЫ.
Олимпиадалық математика бойынша есептер жинағы 9 сынып
оқушыларына арналған. Бұған математикадан олимпиадалық
сипаттағы қиындық деңгейі бойынша жеңілден күрделіге дейінгі 121
тапсырма кірді. Олимпиадалық есептерді шешу үшін арнайы білім
мен дағдылар қажет, логика мен стандартты емес тәсіл
қолданылады. Мектеп физикасынан негізгі тақырыптарды білу
жеткіліксіз, дағдыларды біріктіре білу, ғылым заңдылықтарын білу
және оларды қолдана білу қажет. Оқушылардың дайындық деңгейі
сіз негізгі ұғымдар мен формулалармен таныс екеніңізді білдіреді,
сондықтан мұнда тек тапсырмалар берілген.
СИПАТТАМА
"EL UMITI" ҚОРЫ" КОРПОРАТИВТІК ҚОРЫ

2
Бұл жинақта сіз әртүрлі қиындық деңгейлеріндегі 9-сыныптағы
олимпиадалық математикадан әртүрлі тапсырмаларды таба аласыз.
Олимпиадалық есептерді шешу үшін орта мектеп бағдарламасынан
тыс білім мен дағдылар қажет және көбінесе оңай Анықталмайтын,
бірақ күрделі есептеулерді қажет етпейтін жұмбақтар болып
табылады. Негізгі назар тапсырмалардың физикалық мазмұнына
аударылады. Физика олимпиадасына қатысушыларға ұсынылатын
теориялық міндеттер идеалдандырылған объектілердің шартты
әлемін сипаттайды-нүктелік массалар, салмақсыз жіптер, идеалды
катушкалар және т. б. Мұндай тапсырмаларды көптеген
тапсырмалардан табуға болады. Тәжірибеге жақын міндеттер нақты
физикалық объектілерді қарастырады. Сондықтан біз осы жинақта
олимпиадаларға дайындалуға көмектесетін тапсырмаларды
жинадық. Жинақтың соңында тапсырмалардың кілттері бар, бұл
жауапты тексеруге көмектеседі. Сізге ыңғайлы болу үшін
тақырыптар мен тапсырмаларды нөмірлеу өте жақсы. Тапсырмаға
жауап іздеу үшін нөмірді қарап, "кілттер" бөлімінде нөмірді табу
жеткілікті.
НҰСҚАУЛЫҚ
Авторлар ұсынылған жарияланым мәтіні үшін жеке жауап береді.
© КФ "ФОНД "EL UMITI"

Тақырып 1. Инвариант 4
Тақырып 2. Математикалық индукция. 6
Тақырып 3. Қосымша сызулар 8
Тақырып 4. Қалдықтар арифметикасы 9
Тақырып 5. Диофант теңдеулер 11
Тақырып 6. Сандар теориясының негізгі
теоремалары 13
Тақырып 7. Бөлінгіштікке арналған есептер. ҚКФ
қолдану 14
Тақырып 8. Теңсіздіктер 16
Тақырып 9. Геометриядағы Дирихле принципі 18
Тақырып 10. Ферманың кіші теоремасы. 20
Тақырып 11. Аудан. 21
Тақырып 12. Ойындар теориясы 23
Кілттер 26
МАЗМҰНЫ
3

Есеп 1.
Тақтада алты сан жазылған: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Бір қадамда олардың кез
келген екеуіне бір уақытта 1 қосуға рұқсат етіледі. Бірнеше қадамда
барлық сандарды теңестіруге бола ма?
Есеп 2.
Алина, Әлия және Әсел есеп шығарды. Жұмыс тезірек жүруі үшін
кәмпиттер сатып алып, әрбір шешілген есеп үшін бірінші шешкен
қыз төрт кәмпит, екінші шешкен қыз екі, ең соңғы шешкен қыз бір
кәмпит алады деп келісті. Қыздар олардың әрқайсысы барлық
есепті шешіп, 20 кәмпит алғанын, бірақ ешбір есеп бірнеше қызбен
бір уақытта шығарылмағандығын айтты. Бұл болуы мүмкін бе?
Есеп 3.
Шахмат тақтасы берілген. Кез келген көлденең жолдар немесе тік
бағандардағы шаршыларды бірден басқа түске бояуға рұқсат
етіледі. Осы әрекетті орындай отырып, бір ғана қара шаршысы бар
шахмат тақтасын алуға болады ма?
Есеп 4.
Тақтада 12 саны жазылған. Әр минут сайын сан 2-ге немесе 3-ке не
көбейтіледі, не бөлінеді, ал нәтиже тақтаға бастапқы санның
орнына жазылады. Тақтаға тура бір сағаттан кейін жазылатын сан
54-ке тең бола алмайтынын дәлелдеңіз.
4
ТАҚЫРЫП 1. ИНВАРИАНТ

Есеп 5.
Зертханада тақтада екі сан жазылған. Аға ғылыми қызметкер
Арман екі санды да тақтадан күн сайын өшіріп, орнына олардың
арифметикалық ортасы мен гармоникалық ортасын жазады.
Бірінші күні таңертең тақтаға 1 және 2 сандары жазылды. 1999-шы
күннің кешінде тақтаға жазылған сандардың көбейтіндісін
табыңыз. (a және b сандарының арифметикалық ортасы деп .
саны, ал гармоникалық ортасы деп саны айтылады).
Есеп 6.
100 фишка қатарға қойылған. Ортасында бір фишка бар екі
фишканы ауыстыруға рұқсат етіледі (мысалы, бірінші және үшінші,
бесінші және жетінші). Осындай операциялардың көмегімен
барлық фишкаларды кері ретпен қоюға болады ма?
Есеп 7.
Аралда 13 сұр, 15 қоңыр және 17 қызыл қызыл хамелеон
мекендейді. Түрлі түсті екі хамелеон кездескенде, олар бір уақытта
үшінші түске боялады. Біраз уақыттан кейін барлық
хамелеондардың түсі бірдей болуы мүмкін бе?
Есеп 8.
Шеңбер 6 секторға бөлінген, онда 1,0,1,0,0,0 сандары сағат тілімен
орналасқан. Көршілес екі сектордағы кез келген санға біреуін
қосуға болады. Барлық сандарды теңестіруге болады ма?
Есеп 9.
Тақтаға 1, 2, 3, ..., 1989 сандары жазылған.Кез келген екі санды
өшіріп, оның орнына осы сандардың айырмасын жазуға рұқсат
етіледі. Тақтадағы барлық сандарды нөлге айналдыруға болады
ма?
5

Есеп 11.
Теңдікті дәлелдеңіз

Есеп 12.
Теңдікті дәлелдеңіз

Есеп 13.
. өрнегі n-ның барлық натурал мәнінде 16-ға
бөлінетіндігін дәлелдеңіз
Есеп 14.
Математикалық индукция әдісін қолданып n-нің кез-келген
натурал мәнінде өрнегі 5-ке еселі екендігін
дәлелдеңіз.
6
ТАҚЫРЫП 2. МАТЕМАТИКАЛЫҚ
ИНДУКЦИЯ
Есеп 10.
Тақтаға 1, 2, ..., 20 сандары жазылған.Кез келген екі a және b
сандарын өшіріп, ab + a + b санына ауыстыруға рұқсат етіледі.
Осындай 19 операциядан кейін тақтада қандай сан қалуы мүмкін?

Есеп 15.
Кез-келген натурал саны үшін келесі теңдіктің орындалатындығын
дәлелдеңіз

Есеп 16.
Кез-келген натурал саны үшін келесі қосынды


формуласымен есептелінетіндігін дәлелдеңіз.
Есеп 17.
айырмасы кез-келген натурал саны үшін 48-ге еселі
екендігін дәлелдеңіз.
Есеп 18.
Математикалық индукция әдісін пайдаланып, кез-келген натурал
сан үшін өрнегі 11-ге бөлінетіндігін дәлелдеңіз.
Есеп 19.
Теңсіздікті дәлелдеңіз
7

8
Есеп 20.
ABC (AB = BC) теңбүйірлі үшбұрышында BD биссектрисасы AE
биссектрисасынан екі есе қысқа. ABC үшбұрышының бұрыштарын
табыңыз.
Есеп 21.
ABC үшбұрышы берілген, CD – AB қабырғасына жүргізілген
медиана. AC > BC болса, онда ACD бұрышы BCD бұрышынан кіші
екендігін дәлелдеңіз.
Есеп 22.
Үшбұрыштың қабырғаларында сырттай шаршылар салынған.
Шаршылардың үшбұрыштың бір төбесінен шығатын
қабырғаларының шеттерін қосатын кесінді осы төбеден
жүргізілген медианадан екі есе артық екендігін дәлелдеңіз.
Есеп 23.
ABC (∠B =90°) тікбұрышты үшбұрышында AD медианасы және CE
биссектрисасы M нүктесінде қиылысады. CM = 8, ME = 5 болса, онда
ABC үшбұрышының ауданын табыңыз.
Есеп 24.
ABC үшбұрышында A төбесінен жүргізілген медиана AB
қабырғасынан төрт есе қысқа және осы қабырғамен 60° бұрыш
жасайды. А бұрышын табыңыз.
Есеп 25.
Егер үшбұрыштың екі қабырғасы 1 және болса, ал үшінші
қабырғаға жүргізілген медиана 2-ге тең болса, онда үшбұрыштың
ауданын табыңыз.
ТАҚЫРЫП 3. ҚОСЫМША
СЫЗУЛАР

Есеп 26.
ABC үшбұрышында BD медиана, , ал
теңдіктері орындалады. ABD бұрышын табыңыз.
9
Есеп 27.
13-тiң 100 дәрежесі санын 4 модулі бойынша қалдығын табыңыз.
Есеп 28.
n санының кез-келген мәнінде өрнегі 6-ға бөлінетіндігін
дәлелдеңіз.
Есеп 29.
екендігін дәлелдеңіз.
Есеп 30.
түріндегі ешқандай санды екі натурал санның кубтарының
қосындысы ретінде өрнектеуге болмайтындығын дәлелдеңіз.
Есеп 31.
a, b, c және d сандары өрнегі 5-ке бөлінетіндей
алынған. abcd көбейтіндісі 625-ке бөлінетіндігін дәлелдеңіз.
Есеп 32.
екендігін дәлелдеңіз.
ТАҚЫРЫП 4. ҚАЛДЫҚТАР
АРИФМЕТИКАСЫ

Есеп 33.
екендігін дәлелдеңіз.
Есеп 34.
екендігін дәлелдеңіз.
Есеп 35.
n-нің кез-келген натурал мәнінде өрнегі 27-
ге бөлінетіндігін дәлелдеңіз.
Есеп 36.

санының соңғы цифрын табыңыз.
Есеп 37.
a және b сандарының ешқандай мәнінде a³ + b³ + 4 өрнегі бүтін
санның кубына тең болмайтындығын дәлелдеңіз.
10

11
ТАҚЫРЫП 5. ДИОФАНТОВЫЕ
УРАВНЕНИЯ
Задача 38.
Задача 39.
Задача 40.
Задача 41.
Задача 42.
Задача 43.
Задача 44.
Задача 45.
Задача 46.

12
Задача 47.
Задача 48.
Задача 49.
Задача 50.

Есеп 51.
санының құрама екендігін дәлелдеңіз.
Есеп 52.
m және n сандары ЕКОЕ(m,n)+ЕҮОБ(m,n)=m+n теңдігі
орындалатындай алынған. m немесе n сандарының біреуі
екіншісіне бөлінетіндігін дәлелдеңіз.
Есеп 53.
10! санын жай сандардың көбейтіндісі түрінде жазыңыз.
Есеп 54.
120 санының бөлгіштерінің санын және қосындысын табыңыз.
Есеп 55.
1763 санын жай сандардың көбейтіндісі түрінде жазыңыз.
Есеп 56.
991 санының құрама сан екендігін дәлелдеңіз.
Есеп 57.
a және b – натурал сандар. a²+ b² саны ab-ға бөлінетіндігі белгілі. a = b
теңдігін дәлелдеңіз.
Есеп 58.
15! санын жай сандардың көбейтіндісі ретінде жазыңыз.
Есеп 59.
720 санының бөлгіштерінің санын және қосындысын табыңыз.
13
ТАҚЫРЫП 6. САНДАР
ТЕОРИЯСЫНЫҢ НЕГІЗГІ
ТЕОРЕМАЛАРЫ

Есеп 60.

cанының неше әртүрлі натурал бөлгіштері
бар?
14
Есеп 61.
саны 17-ге бөлінетіндігін дәлелдеңіз.
Есеп 62.
айырмасы 47-ге бөлінетіндігін дәлелдеңіз.
Есеп 63.
өрнегі 49-ға бөлінетіндей натурал саны табылады
ма?
Есеп 64.
өрнегі 23-ке бөлінетіндігін дәлелдеңіз, мұндағы n
натурал сан.
Есеп 65.
саны n санының кез-келген натурал мәнінде 7-ге
бөлінетіндігін дәлелдеңіз.
Есеп 66.
саны 31-ге бөлінетіндігін дәлелдеңіз.
ТАҚЫРЫП 7. БӨЛІНГІШТІККЕ
АРНАЛҒАН ЕСЕПТЕР. ҚКФ
ҚОЛДАНУ

15
Есеп 67.
саны 7-ге бөлінетіндей n натурал санының барлық мәнін
табыңыз.
Есеп 68.
өрнегі 11-ге бөлінетіндігін дәлелдеңіз.
Есеп 69.
n санының кез-келген тақ мәнінде өрнегі өрнегіне
бөлінетіндігін дәлелдеңіз.

16
Задача 70.
Задача 71.
Задача 72.
Задача 73.
Задача 74.
Задача 75.
ТАҚЫРЫП 8. ТЕҢСІЗДІКТЕР

17
Задача 76.
Задача 77.
Задача 78.
Задача 79.

18
Есеп 80.
Қабырғасы 5 см болатын шаршының ішінен 126 нүкте алынған. Осы
нүктелердің арасында 6 нүкте радиусы 1 см болатын шеңбердің
ішінде жатқандығын дәлелдеңіз.
Есеп 81.
Қабырғасы 3 м болатын дұрыс үшбұрыш пішінді көгалда 10
қалампыр отырғызылған. Бір-бірінен арақашықтығы 1 м-ден
аспайтын екі қалампыр бар екендігін дәлелдеңіз.
Есеп 82.
3х4 өлшемді тіктөртбұрышқа 6 нүкте орналастырылған. Осы
нүктелердің арасында арақашықтығы -тен аспайтын екі нүкте
бар екендігін дәлелдеңіз.
Есеп 83.
20х30 өлшемді тіктөртбұрыш 1х1 өлшемді торкөздерге бөлінген.
Тіктөртбұрыштың ішіндегі 50 торкөзді киып өтетін түзу сызық
жүргізуге болады ма?
Есеп 84.
4х4 шаршыға 15 нүкте сызылған. Одан ішінде нүктелері жоқ 1х1
шаршыны қиып алуға болатынын дәлелдеңіз.
Есеп 85.
Қабырғасы 10 м төртбұрышты кілемде күйе көбелегі 80 тесікті жеп
қойған. Ішінде тесіктері жоқ (тесіктерді нүкте деп санауға болады)
қабырғасы 1 м болатын төртбұрышты кілемше қиып алуға
болатынын дәлелдеңіз. Кесетін кілемшенің шекарасында тесіктерді
орналастыруға болмайды.
ТАҚЫРЫП 9. ГЕОМЕТРИЯДАҒЫ
ДИРИХЛЕ ПРИНЦИПІ

Есеп 86.
Жазықтықта бүтін координаталары бар 5 нүкте берілген. Оларды
қосатын кесінділердің бірінің ортасының да координаталары бүтін
болатынын дәлелдеңіз.
Есеп 87.
Қабырғасы 1 болатын теңбүйірлі үшбұрыштың ішінде 5 нүкте бар.
Олардың кейбір екеуінің арақашықтығы 0,5-тен аз екенін
дәлелдеңіз.
Есеп 88.
Тоғайдың пішіні радиусы 215 м болатын дөңгелек. Ондағы кез-
келген екі ағаштың арасы 10 м-ден кем. Тоғайда 1950-ден аз ағаш
бар екенін дәлелдеңіз.Есеп 391.
Есеп 89.
Бірлік шаршыға 51 нүкте салынды. Олардың үшеуі міндетті түрде
радиусы 1/7 шеңбердің ішінде жататынын дәлелдеңіз.
19

Есеп 90.
санын 101 бөлгенде пайда болатын қалдықты табыңыз.
Есеп 91.
саны 143 бөлінетіндігін дәлелдеңіз.
Есеп 92.
саны 13 бөлінеді. abcdef көбейтіндісі
: бөлінетіндігін дәлелдеңіз.
Есеп 93.
n – 17-ге бөлінбейтін натурал сан болсын немесе саны
17 бөлінетіндігін дәлелдеңіз.
Есеп 94.
саны келесі сандарға бөлінетіндей мәнін табыңыз
а) 7; б) 13; в) 91; г) 819.
Есеп 95.
Кез-келген бүтін a саны үшін келесі тұжырымдарды дәлелдеңіз
Есеп 96.
санын 101 бөлгенде пайда болатын қалдықты табыңыз.
20
ТАҚЫРЫП 10. ФЕРМАНЫҢ КІШІ
ТЕОРЕМАСЫ

Есеп 97.
саны 5 бөлінетіндей a, b, c және d бүтін сандары
алынған. abcd көбейтіндісі 625 бөлінетіндігін дәлелдеңіз.
Есеп 98.
Келесі өрнектерді дәлелдеңіз
21
ТАҚЫРЫП 11. АУДАН
Есеп 99.
Егер AB=a,∠A=a,∠B=β болса, онда ABC үшбұрышының ауданын
табыңыз.
Есеп 100.
Үшбұрыштың екі қабырғасы 10 және 12, ал үшінші қабырғасына
жүргізілген медианасы 5 тең. Үшбұрыштың ауданын табыңыз.
Есеп 101.
Дөңес төртбұрыштың ауданы оның екі диагоналі мен
диагональдар арасындағы бұрыштың синусының көбейтіндісінің
жартысына тең екендігін дәлелдеңіз.
Есеп 102.
Үшбұрыштың төбелері іштей сызылған шеңбердің центрімен
байланысқан. Жүргізілген кесінділер арқыл үшбұрыш аудандары
28, 60, 80 болатын үш бөлікке бөлінген. Үшбұрыштың
қабырғаларын табыңыз.

Есеп 103.
Теңбүйірлі трапецияның табандары 40 және 24, ал диагональдері
өзара перпендикуляр. Трапецияның ауданын табыңыз.
Есеп 104.
Үшбұрышқа радиусы 4 болатын шеңбер іштей сызылған.
Үшбұрыштың бір қабырғасы жанасу нүктесімен 6 және 8 болатын
екі бөлікке бөлінген. Үшбұрыштың қалған екі қабырғасын табыңыз.
Есеп 105.
Теңбүйірлі үшбұрыштың табаны a, ал бүйір қабырғасына түсірілген
биіктігі h тең. Үшбұрыштың ауданын табыңыз.
Есеп 106.
Үшбұрыштың екі қабырғасы 35 және 14, ал арасындағы бұрыштың
биссектрисасы 12 тең болса, онда осы үшбұрыштың ауданын
табыңыз.
Есеп 107.
ABCD параллелограмында E нүктесі CD қабырғасын қақ бөледі, ал
ABC бұрышының биссектрисасы AE кесіндісімен O нүктесінде
қиылысады. Егер AD = a, DE = b, ∠ABO = a болса, онда OBCE
төртбұрышының ауданын табыңыз.
22

Есеп 108.
Екі ойыншы келесідей ойынды ойнайды. Үш тас үйіндісі бар:
біріншісінде – 10, екіншісінде – 15, үшіншісінде – 20. Жүріс кезінде
кез келген бір үйіндіні екі кіші үйіндіге бөлуге рұқсат етіледі. Жүріс
жасай алмайтын ойыншы жеңіледі.
Есеп 109.
Екі ойыншы шахмат тақтасына бір-бірін жей алмайтындай етіп
ладьяларды қояды. Жүріс жасай алмайтын адам жеңіледі.
Есеп 110.
Тастар екі жерге үйілген: бірінші үйіндіде 40, екінші үйіндіде 30 тас
бар. Ойын барысында бір айналымда кез келген тастарды алуға
рұқсат етіледі, бірақ тек бір үймеден ғана алуға болады. Тас жетпей
қалған ойыншы ұтылады.
Есеп 111.
Дөңгелек үстелге екі адам кезектесіп, бір-бірін
қабаттастырмайтындай етіп тиын қояды. Жүріс жасай алмайтын
адам жеңіледі.
Есеп 112.
7х7 өлшемді тақтайшаның торкөз ұяшықтарына екі адам шахмат
корольдерін (бір-бірін шах бермейтіндей) қойып жатыр. Жүріс
жасай алмайтын адам ұтылады.
Есеп 113.
Бір үйіндіде 25 тас бар. Ойыншылар кезекпен 2, 4 және 7 тастан
алады. Тас жетпей қалған ойыншы ұтылады.
23
ТАҚЫРЫП 12. ОЙЫНДАР
ТЕОРИЯСЫ

Есеп 114.
Екі ойыншы кезек-кезек шахмат тақтасына ладьяларды бір-бірін
жей алмайтындай етіп қояды. Жүріс жасай алмайтын адам ұтылады.
Есеп 115.
Тақтада 10 бірлік пен 10 екілік сандар жазылған. Ойын барысында
жүріс үшін кез келген екі санды өшіруге болады, егер өшірілген
сандар бірдей болса, 2 деп, ал егер әртүрлі болса – 1 деп жазады.
Егер тақтада қалған соңғы сан - 1 болса бірінші ойыншы, егер 2
болса – екінші ойыншы жеңеді.
Есеп 116.
Екі ойыншы корольдарды кезек-кезек 9х9 өлшемді тақтаның
торларына бір-бірін жей алмайтындай етіп орналастырады. Жүріс
жасай алмайтын адам жеңіледі.
Есеп 117.
10×10 өлшемді торлы тақта берілген. Ойын барысында жүріс
жасағанда домино тастары қабаттасып кетпес үшін кез келген
көршілес екі ұяшықты доминомен (1×2 тіктөртбұрыш) жабуға рұқсат
етіледі. Жүріс жасай алмайтын адам жеңіледі.
Есеп 118.
Үш тас үйіндісі бар. Барлық үйіндідегі тастардың саны бірдей. Екі
ойыншы кез келген үйіндіден кез келген мөлшерде тастарды
кезекпен алады, бірақ бір үйіндіден алуға ғана рұқсат етіледі . Соңғы
тастарды алатын адам ұтады.
24

Есеп 119.
а) � тастардан жиналған үйінді бар. Екі ойыншы үйіндіден кезектесіп
тас алады. Әркім 1, 2 немесе 3 тас ала алады. Соңғы тастарды алатын
адам ұтады. Жеңіске жету үшін үйіндідегі тастардың саны
бастапқыда қанша болуы керек(яғни оның қарсыласы қалай ойнаса
да, жеңіске жете алатындай)?
б) Жоғарыдағы есептің берілгенін пайдаланып, бірақ шарты
келесідей алып есепті шешіңіз: егер үйіндіде � тастар болып және
әркім 1-ден �-ге дейінгі тастарды (m>n) ала алатын болса.
Есеп 120.
а) Қорапта 27 сіріңке бар. Екі ойнаушы кезекпен 1, 2, 3 немесе 4
сіріңке алады. Ойын аяқталғаннан кейін кімде сіріңке саны жұп
болады, сол адам ұтады.
б) Жалпы жағдайда егер қорапта 2�+1 сіріңке болса, және 1-ден �-ге
дейінгі сіріңкелердің кез келген санын алуға рұқсат етілсе жауап
қандай болады?
Есеп 121.
Ойын барысында жүріс үшін 300 сіріңке салынған қораптан ондағы
сіріңкелердің жартысынан аспайтын сіріңке мөлшерін алуға рұқсат
етіледі. Жүріс жасай алмайтын адам ұтылады.
25

Шешуі видеосабақта көрсетілген Birge Oqy платформасында
Шешуі видеосабақта көрсетілген Birge Oqy платформасында
Шешуі видеосабақта көрсетілген Birge Oqy платформасында
Шешуі видеосабақта көрсетілген Birge Oqy платформасында
Шешуі видеосабақта көрсетілген Birge Oqy платформасында
1-ден 100-ге дейінгі сандармен фишкалар орналастырылған
жерлерді белгілейік. Көрсетілген операцияны орындағаннан
кейін әрбір фишканың саны не өзгермегенін, не өзгергенін
(ұлғайтылған немесе азайған), яғни 2-ге өзгергендігін
байқаймыз. Алдымен жұп орында тұрған фишка кез келген
уақытта жұп орында тұрады. Сондықтан 100-ші орындағы фишка
ешқашан 1 ұяшыққа жете алмайды.
С – сұр хамелеондар саны, b – қоңыр түсті. c – b санын 3-ке
бөлудің қалдығы инвариант екенін ескеріңіз. Шынында да, сұр
хамелеон қоңыр кездескенде айырмашылық өзгермейді, сұр
қызылмен кездессе 3-ке азаяды, ал қоңыр қызыл қызылмен
кездессе 3-ке артады. Бастапқыда 3-ке бөлгенде қалдық 1 болды.
Егер барлық хамелеондар бірдей түске айналса, онда ол 0-ге тең
болады (c – b айырмашылығы 0 немесе ±45). Сондықтан бұл
мүмкін емес.
1-ден 6-ға дейінгі сандармен секторларды санаймыз. Бірліктер
бірінші және үшінші секторларда деп алайық (шешімнің
жалпылығы жоғалмайды). Тақ секторлардағы сандардың
қосындысы бастапқыда екіге, ал жұп секторлардағы сандардың
қосындысы нөлге тең. Жұп және тақ сандар секторларына бір-
бірден қосамыз, сонда бұл қосындылар арасындағы
айырмашылық бәрібір 2 болады, сондықтан сандарды теңестіру
мүмкін емес.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
ЖАУАПТАР
26

9. Тақтадағы сандардың жұптылығы өзгермейді, сондықтан
болмайды
10. 21! – 1.
11. Дәлелдеуі видеосабақта көрсетілген Birge Oqy платформасында
12. Дәлелдеуі видеосабақта көрсетілген Birge Oqy платформасында
13. Дәлелдеуі видеосабақта көрсетілген Birge Oqy платформасында
14. Дәлелдеуі видеосабақта көрсетілген Birge Oqy платформасында
15. Математикалық индукция әдісі
16. Математикалық индукция әдісі
17. Математикалық индукция әдісі
18. Математикалық индукция әдісі
19. Математикалық индукция әдісі
20. 36°, 36° и 108°.
21. Дәлелдеуі видеосабақта көрсетілген Birge Oqy платформасында
22. Дәлелдеуі видеосабақта көрсетілген Birge Oqy платформасында
23.
24.
25.
26. 30°.
27. 1
28. 6 бөлгендегі барлық қалдықтарды қарастыру керек
29. 10 бөлгендегі барлық қалдықтарды қарастыру керек
30. Санды модулі 7 бойынша салыстырып, барлық қалдықтарды
қарастыру керек
31. 5 бөлгендегі барлық қалдықтарды қарастыру керек
32. 6 саны 7-ге бөлгенде -1 қалдық береді
33. 21 саны 20-ға бөлгенде 1 қалдық береді
34. 39 саны 20-ге бөлгенде -1 қалдық береді, ал 61 1 қалдық береді
35. Формуланы түрлендіру керек
36. 3
27

37. 9-ға бөлгенде a³ + b³ + 4 саны қандай қалдық бере алатынын
табыңыз.
38. Шешуі видеосабақта көрсетілген Birge Oqy платформасында
39. Шешуі видеосабақта көрсетілген Birge Oqy платформасында
40. Шешуі видеосабақта көрсетілген Birge Oqy платформасында
41. Шешуі видеосабақта көрсетілген Birge Oqy платформасында
42. Әрбір жақшаны 1 мен 7-ге теңестіріп, теңдеулер жүйесін шешу
керек.
43. ҚКФ бойынша сол жағын жіктеп, 1 мен 31-ге теңестіріңіз
44. Көбейткіштерге жіктеп, 1 мен 3-ке теңестіріңіз
45. Нұсқау: х² орнына тек 0, 1, 4, 9 сандарын қоюға болады, өйткені 74-
6х²≥0.
46. Белгісіз шамаларды теңдеудің сол жағына шығарып, ҚКФ
қолданып, көбейткіштерге жіктеу керек
47. 7 модулі бойынша салыстыру керек
48. 3 модулі бойынша салыстыру керек
49. Параметр арқылы шығарыңыз
50. Сол жағын көбейткіштерге жіктеңіз
51. Шешуі видеосабақта көрсетілген Birge Oqy платформасында
52. Шешуі видеосабақта көрсетілген Birge Oqy платформасында
53. Шешуі видеосабақта көрсетілген Birge Oqy платформасында
54. Шешуі видеосабақта көрсетілген Birge Oqy платформасында
55. 1763=41∙43
56. 9991=10² - 3²=(10-3)(10+3)
57. d = ЕҮОБ(a, b) болсын, a = du, b = dv. d² қысқарту арқылы u² + v²
өрнегінің uv өрнегіне бөлінетіндігін аламыз. Бірақ ЕҮОБ(u² + v², uv) = 1,
өйткені u және v өзара жай сандар. Ендеше, uv = 1. Сондықтан, u = v =
1, a = b = d.
58.
59. 30 бөлгіші бар, қосындысы 2700
60. 10368
61. Шешуі видеосабақта көрсетілген Birge Oqy платформасында
28

62. Шешуі видеосабақта көрсетілген Birge Oqy платформасында
63. Шешуі видеосабақта көрсетілген Birge Oqy платформасында
64. Шешуі видеосабақта көрсетілген Birge Oqy платформасында
65.
66. Бірінші және соңғы қосылғыштарды, екінші және соңынан
санағанда екінші қосылғыштарды және т.с.с. қарастыру керек.
67.
68. 3⁵ + 2⁵= 275 ⋮ 11
69. Дәлелдеуі видеосабақта көрсетілген Birge Oqy платформасында
70. Дәлелдеуі видеосабақта көрсетілген Birge Oqy платформасында
71. Дәлелдеуі видеосабақта көрсетілген Birge Oqy платформасында
72. Дәлелдеуі видеосабақта көрсетілген Birge Oqy платформасында
73. Дәлелдеуі видеосабақта көрсетілген Birge Oqy платформасында
74. Дәлелдеуі видеосабақта көрсетілген Birge Oqy платформасында
75. Кошидің келесі теңсіздіктерін қосамыз
76. Арифметикалық және гармоникалық орталардың арасындағы
теңсіздікті қарастырыңыз
77. Арифметикалық және гармоникалық орталардың арасындағы
теңсіздікті қарастырыңыз
78. (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(аb + bc + ca) ≥ 3(аb + bc + ca) ≥ 36. a + b + c > 0
ескерсек, a + b + c ≥ 6 шығады.
79. Үш Коши теңсіздігін өзара көбейту керек
80. 5∙5=25, 126:25>5. Кез-келген шаршыны радиусы 1 см болатын
дөңгелектің ішіне сызуға болады.
81. Газонды қабырғасы 1 метр болатын 9 тең бүйірлі үшбұрышқа
бөліңіз. Сонда Дирихле принципі бойынша олардың біреуінде кем
дегенде екі нүкте болады. Сондықтан бұл нүктелер арасындағы
қашықтық 1 метрден аспайды. Бөлік үшбұрыштардың төбелеріне 10
қалампырды орналастырғаннан кейін олардың арасындағы барлық
қашықтық 1 метрге тең болатынын ескеріңіз.
29