Математика пәнінен аудандық олимпиада тапсырмалары, шешімдерімен, 10-сынып

Математика пәнi бойынша
Республикалық оқушылар
олимпиадасының
2-iншi (аудандық) кезеңiнiң
шешуi
2023-2024 оқу жылы
10 сынып
Есеп 10.1
ОЛИМПИАДА сөзiндегi әрiптердi цифрлармен алмастырғандағы
(әртүрлi әрiптердi әртүрлi цифрлармен, бiрдейлердi бiрдей) алы-
нған тоғыз таңбалы сан а) 999-ға; б) 1001-ге бөлiнетiндей етiп
алмастыруға бола ма?
Шешуi:
а) Жауап: иә, болады.
ОЛИМПИАДА =ОЛИ·10
6
+МПИ·10
3
+АДА≡ОЛИ+МПИ+АДА
(mod 999)екенiн ескеремiз. Қарапайым iздеу арқылыОЛИМПИАДА =
324504171сәйкес келетiнiн таба аласыз.
б) Жауап: иә, болады.
ОЛИМПИАДА =ОЛИ·10
6
+МПИ·10
3
+АДА≡ОЛИ−
МПИ+АДА(mod 1001)екенiн ескеремiз. Қарапайым iздеу арқылы сiз
ОЛИМПИАДА = 893063171сәйкес келетiнiн таба аласыз.
Есеп 10.2
Тақтада 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 сандары жазылған. Бiр жүрiсте екi�
және�сандарын өшiрiп, орнына келесi екi санды жазуға болады:
�−�
√
2
және
�+�
√
2
. Бiрнеше жүрiстен кейiн тақтада
а) 1, 1, 3, 3, 4, 5, 7, 8 сандарын алуға бола ма?
б) 2, 2, 3, 3, 5, 6, 6, 9 сандарын ше?
Шешуi:
а) Жауап: жоқ, мүмкiн емес.
Жүрiстен кейiн тақтадағы сандардың квадраттарының қосындысы өз-
гермейтiнiн дәлелдеп көрейiк.
(︁
�−�
√
2
)︁
2
+
(︁
�+�
√
2
)︁
2
=
(�−�)
2
2
+
(�+�)
2
2
=�
2
+�
2
.
Сонда1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ 4
2
+ 5
2
+ 6
2
+ 7
2
+ 8
2
= 204, ал1
2
+ 1
2
+ 3
2
+ 3
2
+ 4
2
+
5
2
+ 7
2
+ 8
2
= 174. Сондықтан бұл мүмкiн емес.
б) Жауап: мүмкiн.
Осындай жүрiстер қарастырайық:(7,1)→(
6
√
2
,
8
√
2
)және(8,4)→
(
4
√
2
,
12
√
2
). Содан кейiн(
12
√
2
,
6
√
2
)→(3,9)және(
8
√
2
,
4
√
2
)→(2,6). Осы-
лайша, төрт жүрiстен кейiн бiзге қажеттiнi алдық.
2

Есеп 10.3
�,�,�,�нүктелерi сәйкесiнше����ромбының��,��,
��,��қабырғаларының орталары болсын.�– ромбтың iшiнде
жатқан нүкте.��=��= 5,��= 1екенi белгiлi.
a)��-тi есептеңiз.
б)&#3627408436;&#3627408437; <8екенiн дәлелдеңiз.
Шешуi:
а) Жауабы:&#3627408454;&#3627408459;= 7.
&#3627408451;&#3627408452;&#3627408453;&#3627408454;тiктөртбұрыш екенiн дәлелдейiк.&#3627408451;&#3627408454;,&#3627408452;&#3627408453;,&#3627408451;&#3627408452;және&#3627408454;&#3627408453;сәйкесiн-
ше&#3627408436;&#3627408437;&#3627408439;,&#3627408438;&#3627408437;&#3627408439;,&#3627408436;&#3627408437;&#3627408438;және&#3627408436;&#3627408439;&#3627408438;үшбұрыштарының орта сызықтары
екенiн байқайық. Сонда&#3627408451;&#3627408454;||&#3627408437;&#3627408439;||&#3627408452;&#3627408453;және&#3627408451;&#3627408452;||&#3627408436;&#3627408438;||&#3627408454;&#3627408453;=⇒&#3627408451;&#3627408452;&#3627408453;&#3627408454;
параллелограмм екенiн бiлдiредi. Ал&#3627408436;&#3627408438;⊥&#3627408437;&#3627408439;болғандықтан,&#3627408451;&#3627408452;&#3627408453;&#3627408454;
тiктөртбұрыш болады.&#3627408459;нүктесiнен&#3627408451;&#3627408454;және&#3627408452;&#3627408453;қабырғаларына пер-
пендикуляр түзу жүргiзiп оларды&#3627408446;және&#3627408447;нүктелерiнде қисын. Сонда
&#3627408451;&#3627408459;
2
−&#3627408454;&#3627408459;
2
= (&#3627408451;&#3627408459;
2
−&#3627408459;&#3627408446;
2
)−(&#3627408454;&#3627408459;
2
−&#3627408459;&#3627408446;
2
) =&#3627408451;&#3627408446;
2
−&#3627408454;&#3627408446;
2
=&#3627408452;&#3627408447;
2
−&#3627408453;&#3627408447;
2
=
&#3627408452;&#3627408459;
2
−&#3627408453;&#3627408459;
2
=⇒&#3627408454;&#3627408459;
2
=&#3627408451;&#3627408459;
2
+&#3627408453;&#3627408459;
2
−&#3627408452;&#3627408459;
2
= 49 = 7бiлдiредi.
б)&#3627408436;&#3627408437;=&#3627408454;&#3627408452; < &#3627408454;&#3627408459;+&#3627408452;&#3627408459;= 7 + 1 = 8екенiн оңай көруге болады.
3 4