Математика пәнi бойынша
Республикалық оқушылар
олимпиадасының
2-iншi (аудандық) кезеңiнiң
шешуi
2023-2024 оқу жылы
11 сынып
Есеп 11.1
a) Натурал санның кубының ондық жазбасындағы цифрларының
қосындысы 2023-ке тең бола ала ма?
б) Натурал санның кубының ондық жазбасында дәл 2023 цифр бо-
луы мүмкiн бе?
Шешуi:
а) Жауабы: табылмайды.
�≡0,1,2, . . . ,8 (mod 9)екенiн байқайық, онда�
3
≡0,1,8 (mod 9).
2023≡7 (mod 9). Демек, табылмайды.
б) Жауабы: иә.
Мысалы,�= 10
674
, онда�
3
= 10
2022
, ал оның дәл 2023 цифры бар.
Есеп 11.2
а) Теңдеудi шешiңiзcos(2
�
) + cos(2
�+1
) = 0.
б) Бүкiл сандар түзуiнде анықталған�(�) = cos(2
�
) + cos(2
�+1
)
функциясының ең үлкен және ең кiшi мәндерiн табыңыз.
Шешуi:
a) Жауабы:log
2
�
3
,log
2�,log
2(�+ 2��),log
2(±
�
3
+ 2��), �∈N.
2
�
=�деп алайық және� >0. Сондаcos�+ cos 2�= 0 =⇒2 cos
2
�+
cos�−1 = 0 =⇒(2 cos�−1)(cos�+ 1) = 0.
1)cos�=−1 =⇒�=�+ 2��, �= 0,1,2, . . .. Демек,�= log
2(�+
2��), �= 0,1,2, . . ..
2)cos�=
1
2
=⇒�=
�
3
немесе�=±
�
3
+ 2��, �= 1,2,3, . . .. Демек,
�= log
2
�
3
немесе�= log
2(±
�
3
+ 2��), �= 1,2,3, . . ..
б) Жауабы:�max= 2,�min=−
9
8
.
�(�) = cos 2
�
+ cos 2
�+1
⩽1 + 1 = 2және теңдiк, мысалыға,2
�
= 2�
болғанда орындалады, яғни�= log
22�болғанда. Онда�max= 2.
а) тармағында қарастырғандай2
�
=�деп алайық және� >0. Сонда
cos�+ cos 2�= 2 cos
2
�+ cos�−1 = 2(cos�+
1
4
)
2
−
9
8
⩾−
9
8
және теңдiк,
мысалыға,cos�=−
1
4
=⇒�= arccos(−
1
4
)болғанда орындалады, яғни
�= log
2arccos(−
1
4
)болғанда. Онда�min=−
9
8
.
2

Есеп 11.3
Екi шеңбер�және�нүктелерiнде қиылысады. Бiрiншi шеңбердiң
бойынан кез келген�нүктесi арқылы (�нүктесi екiншi шең-
бердiң сыртында жатыр) екiншi шеңбердi�нүктесiнде қиып
өтетiн��түзуi және�нүктесiнде қиып өтетiн��түзуi
жүргiзiлген.
а) Барлық осындай�� �үшбұрышында�нүктесiнен жүргiзiл-
ген биссектрисалар бiр нүктеде қиылысатынын дәлелдеңiз;
б) Барлық осындай�� �үшбұрышында�нүктесiнен жүргiзiл-
ген биiктiктер бiр нүктеде қиылысатынын дәлелдеңiз.
Шешуi:
а)�–�нүктесi жоқ��доғасының ортасы болсын. Сонда∠���=
⌢
��
2
=
⌢
� �
2
=∠���. Бұл� ��бұрышының биссектрисасы да���
бұрышының биссектрисасы екенiн және осы биссектрисалардың барлы-
ғы�нүктесi арқылы өтетiнiн бiлдiредi.
б)�– бiрiншi шеңбердiң центрi болсын және��және� � �нүктесiнде
қиылыссын.∠���=�болсын. Сонда����– iштей сызылғандықтан,
∠�� �= 180
∘
−∠���=∠���=�.∠���=∠���=
180
∘
−∠���
2
=
90
∘
−
∠���
2
= 90
∘
−∠���= 90
∘
−�. Бұл∠���= 180
∘
−�−(90
∘
−�) =
90
∘
дегендi бiлдiредi. Сондықтан,��⊥� �. Бұл�� �үшбұрышының
�нүктесiнен жүргiзiлген барлық биiктiктерi�нүктесi арқылы өтетiнiн
бiлдiредi.
3 4