Математика пәнінен аудандық олимпиада тапсырмалары, шешімдерімен, 9-сынып

Математика пәнi бойынша
Республикалық оқушылар
олимпиадасының
2-iншi (аудандық) кезеңiнiң
шешуi
2023-2024 оқу жылы
9 сынып
Есеп 9.1
a) Теңдеулер жүйесiн шешiңiз
{︃
�−
1
�
= 0
�−
1
�
= 1.
б) Теңдеулер жүйесiн шешiңiз
{︃
�−
1
�
= 1
�−
1
�
= 2.
Шешуi:
а) Жауабы: шешiмi жоқ.
�−
1
�
= 0мәнiнен��= 1шығады. Сонда1 =�−
1
�
=
��−1
�
= 0. Демек,
теңдеулер жүйесiнiң шешiмi жоқ.
б) Жауабы:(�, �) = (1−
√
3,2−2
√
3),(1 +
√
3,2 + 2
√
3).
�−
1
�
= 1мәнiнен��−1 =�, ал�−
1
�
= 2мәнiнен��−1 = 2�шығады.
Сондықтан�= 2�және2�
2
−1 = 2�=⇒2�
2
−2�−1 = 0 =⇒
(2�−1)
2
= 3 =⇒�= 1±
√
3 =⇒�= 2±2
√
3дегендi бiлдiредi.
Есеп 9.2
а) 12-ге бөлгенде 7 қалдық, ал 42-ге бөлгенде 11 қалдық беретiн
натурал сан табылады ма?
б) 11-ге бөлгенде 7 қалдық, ал 42-ге бөлгенде 11 қалдық беретiн
натурал сан табылады ма?
Шешуi:
а) Жауабы: жоқ.
Осындай�саны бар деп есептейiк. Сонда(�−7)
.
.
.12
.
.
.3және(�−
11)
.
.
.42
.
.
.3. Сондықтан((�−7)−(�−11))
.
.
.3 =⇒4
.
.
.3, ал бұл мүмкiн
емес.
б) Жауабы: иә, бар. Мысалы,�= 95.
2

Есеп 9.3
Биiктiктерi
а) 2, 3, 7;
б) 3, 4, 6
болатын үшбұрыш табылады ма? Егер табылса онда оның қабы-
рғаларын есептеңiз.
Шешуi:
а) Жауабы: жоқ, табылмайды.
Осындай үшбұрыш бар болсын. Оның қабырғалары �, �және�болсын
және осы қабырғаларға түсiрiлген биiктiктер сәйкесiнше��= 2, ��= 3
және��= 7болсын. Үшбұрыштың ауданын�= 21�деп алайық. Сонда
�=
2�
��
= 21�,�=
2�
��
= 14�және�=
2�
��
= 6&#3627408485;. Онда&#3627408463;+&#3627408464;= 20&#3627408485; <21&#3627408485;=&#3627408462;.
Демек, бұндай үшбұрыш табылмайды.
б) Жауабы: бұндай үшбұрыш табылады және оның қабырғалары
32
√
15
15
,
8
√
15
5
және
16
√
15
15
-ке тең.
Үшбұрыштың қабырғалары&#3627408462;, &#3627408463;және&#3627408464;-ға тең болсын және осы қабырға-
ларға түсiрiлген биiктiктер сәйкесiнше&#3627408469;&#3627408462;= 3, &#3627408469;&#3627408463;= 4және&#3627408469;&#3627408464;= 6болсын.
Үшбұрыштың ауданы&#3627408454;= 6&#3627408485;болсын. Сонда&#3627408462;=
2&#3627408454;
&#3627408469;&#3627408462;
= 4&#3627408485;,&#3627408463;=
2&#3627408454;
&#3627408469;&#3627408463;
= 3&#3627408485;
және&#3627408464;=
2&#3627408454;
&#3627408469;&#3627408464;
= 2&#3627408485;(ал бұндай үшбұрыш табылады). Ендi Герон форму-
ласы арқылы ауданды табайық:6&#3627408485;=&#3627408454;=
√︀
&#3627408477;(&#3627408477;−&#3627408462;)(&#3627408477;−&#3627408463;)(&#3627408477;−&#3627408464;), бұл
жердегi&#3627408477;=
&#3627408462;+&#3627408463;+&#3627408464;
2
=
9&#3627408485;
2
.6&#3627408485;=&#3627408485;
2
√︁
9
2
·
1
2
·
3
2
·
5
2
=
3&#3627408485;
2
4
√
15 =⇒&#3627408485;=
8
√
15
15
.
Демек,&#3627408462;=
32
√
15
15
, &#3627408463;=
8
√
15
5
және&#3627408464;=
16
√
15
15
.
3 4