Алматы облысы

Еңбекшіқазақ ауданы

“Садыр атындағы орта мектеп” КММ

Математика пәні мұғалімі

Тюленова Сахибем Шериповна

“Мәтінді есептерді шығару”

әдістемелік құрал

Алматы 2023 жыл

Күнделікті өмірімізде кездесетін кез келген істі орындау үшін қарапайым математикалық есептерді шығаруға тура келеді.

Математикалық теорияны меңгеретін, шығармашылық және өзіндік ойлау қабілетін дамытатын оқу іс-әрекетінің маңызды түрі –математика есептерін шығару.

Оқытудың тиімділігі көбінесе есеп шығаруды үйренуді ұйымдастыру әдістемесіне байланысты.

Есептер біздерге жаңа білімді қалыптастыратын және бұрын игерген білімдерін пайдалану процесінде пысықтала түсетін нақтылы материал больп табылады. Теорияны практикамен, оқуды өмірмен байланыстыруға мүмкіндік береді. Есептер шығару әрбір адамға оның күнделікті өмірінде қажетті, практикалық білікті қалыптастырады. Есептер шығару арқылы балалар танымдық және тәрбиелік тұрғыдан алғандағы маңызды фактілермен танысады. Математиканы оқуда есептердің алатын ролі ерекше, оны оқудың негізгі мақсаты — математикалық есептің белгілі бір жүйесін шешу әдістемесін игеру. Сондықтан есепті шешу — оқудың мақсаты ғана емес, сондай-ақ құралы.

Есеп деп — жауабы арифметикалық амалдың көмегімен табылуы мүмкін болатын, сөзбен баяндалған сұрақты түсінеміз, Демек есептің сұрағы болады, сұрақсыз есеп болмайды. Сұрақтың жауабын бір ғана арифметикалық амалды орындау арқылы шығарып алсақ, ол — жай есеп, ал, екі немесе одан да көп амалмен шығарылса — қүрама есеп деп аталады.

Жұмыстың басты кезеңі — мәтінді есептерді шешудің оңай жолдарын енгізу және есептің қүрама бөліктерімен (шарты, сұрағымен) оны талдау және шешу кезеңдерімен таныстыру. Берілген мәліметтер мен ізделіп отырған мәліметтер арасындағы байланысты тағайындау және соған сәйкес арифметикалық амалдарды талдап алу, содан кейін оны орындау.

Аннотация

Бұл зерттеу жоба мектеп курсындағы мәтінді есептерін және Қазақ халқының байырғы қара есептерін, олардың шешу жолдарын зерттеуге арналған. Әдетте, мәтінді есептерді шешуде киыншылыктарға кездесеміз, ал оқушы осы тапкырыпты тереңірек білу мақсатында қосымша әдебиет журналдар мен, интернентпен жұмыс істей отырып білімін дамытып келеді, бұл жерде мәтінді және қара есептердың шешім табу жолдары көрсетілген, жұмысы маңызы зор қызықты жазылған.

     Зерттеу жұмыстың мақсаты: оқушылардың математикалық мәтінді есептерді оңай шешу жолдарна үйрету, логикалық ойлау қабілетін арттыру, оқуға саналы сезімге, өз бетінше ойлай білуге, математикалық дүние танамын кеңейтуге тәрбиелеу.

Зерттеу міндеті: ізденімпаздық қасиеттерге жетелеу, ойы орамды, шығармашылығы дамыған, ұтқыр да тапқыр, адамгершілігі мол тұлға қалыптастыру.

Зерттеудің өзектілігі: оқушыларды ұқыптылыққа, шыдамдылыққа, еңбекқорлыққа, ұлтжандылыққа тәрбиелеу.

Зерттеу гипотезасы: оқу процессінде мәтінді есептерді шешудің оңай жолдарын, қазақтың байырғы математикасын, есептер жүйесін қолдану математикаға оқып үйренудің тиімділігін арттырады.

Күтілетін нәтиже: осы жобада анықталған зерттеулер мен жинақтар математикадан қосымша сабақтарда, факультативтерде, математикалық үйірмелерде кеңінен қолданылса, оқушыларды логикалық ой-өрістері кеңінен дамыған, шыдамдылыққа, еңбекқорлыққа тәрбиеленген тұлға қалыптасады.

                                                       

Негізгі бөлім

1. Мәтінді есепті шешу процесі және оның кезеңдері

Есеп шығарудағы мақсат — оқушылар игеруге тиісті негізі білім берілген мәліметтер мен ізделініп отырған мәліметтер арасындағы байланысты игеру болып табылады. Оқушылардың бұл байланыстарды қаншалықты жақсы игергендігі олардың есеп шығара білу біліктілігіне байланысты, Осыны ескере отырып. бастауыш сыныптарда шешуі берілген мәліметтер мен ізделінді арасындағы байланыстарға негізделетін, тек олардың нақты мазмұны мен берілген сан мәліметтері жағынан ғана айырмашылығы болатын, бір топ есептермен жұмыс жүргізіледі. Мүндай есептер тобын бір түрдегі есептер деп атаймыз.

Оның басты мақсаты – балаларды өмірде кездесетін түрлі жағдайлардың, олардың біртіндеп күрделену жағын ескере отырып, берілген және ізделініп отырған мөліметтері арасындағы қандай да бір байланыстарын саналы түрде анықтауға үйрету. Осыған жету үшін біз есептер шығаруға үйрету әдістемесінде қандай да бір мақсаты бар бір кезеңді ескеруіміз тиіс.

Есептелетін жұмыстың 3 кезеңі бар.

Бірінші кезеңде есептердің қарастырыльш отырған түрін шығаруға дайындық жасайды. Біз осы кезеңде осындай есептерді шығарғанда амалдарды таңдап алатындай байланыстарды игерулері тиіс.

Екінші кезеңде оқушыларды есептердің қарастырылып отырған түрін шығарумен таныстырады. Мұнда балалар берілген мәлікеттер мен ізделіп отырган мөліметтер арасындағы байланысты тағайындауға жөне осының негізінде арифметикалық амалдарды таңдап алуға үйренеді, яғни олар есеп түрінде өрнектелген нақтылы жағдайдан тиісті арифметикалық амалды таңдап алуға үйренеді. Осындай жұмыстың нәтижесінде оқушылар қарастырылыл отырғанға ұқсас есептерді шығару тәсілімен танысады.

Үшінші кезеңде қарастырылып отырған түрдегі есептерді шығара білу білігін қалыптастырады. Оқушылар бұл кезеңде нақты мазмұнына қарамастан, қарастырылып отырған түрдегі кез келген есепті шығаруды үйрене білулері тиіс, яғни олар осы түрдегі есептерді шығару тәсілін жинақтап қорыта білулері керек.

Мәтінді есептермен жұмыс істегенде мьна кезеңдердің тәртібін сақтаған жөн.

I кезең — мәтінді есептің мазмұнымен танысу;

II кезең - есентің шешуін іздеу;

III кезең - есепті шешу;

IV кезең — есептің шешуін тексеру.

Бұл бөліп көрсетіп отырылған кезеңдер өзара тығыз байланысты, әр кезеңдегі жұмыс негізінен мұғалімнің басшылығьшен жүргізіледі.

Есептің мазмұнымен таныстыру,

Есептің мазмүнымен таныстыру дегеніміз — оны оқып шығып, онда келтірілген жайттардың өмірде болатын жағдаяттарын көз алдына елестету.

Есепті дұрыс оқи білудің маңызы зор: сан мәндерді жөне амалды тандап алуға қажетті сөздерді, мысалы, “болғаны”, “қалғаны”, “алынғаны”, “бергені” т.с.с. сөздерді баса ескеру, есепке койылатын сұрақты дұрыс көтере айту.

Есепті оқи отырьш оқушылар есепте айтылған мәселелердің өмірде калай болатынын көз алдарына келтіре білулері тиіс. Осы мақсатпен, оқып болған соң, есепте айтылғанды көз алдарына келтіріп, оның айтып берілуін талап ету керек.

Немесе мынадай сұрақтар арқылы мазмұнын таныстыру:

Есепте не туралы айтылған?

Есепте не белгілі?

Есепте не белгісіз?

Есеп не сұрайды?

Есептің шешуін іздестіру

Есептің мазмүнымен танысқаннан кейін оның шешуін іздестіруге кірісуге болады: оқушылар есепке кірістірілген шамаларды, берілген сандар мен ізделінетін сандарды айқындай білуі тиіс, берілген мәліметтер мен ізделіп отырған шамалардың арасындагы байланысты анықтауы тиіс, сөйтіп осылардьщ негізінде тиісті арифметикалық амалдарды таңдап ала білулері тиіс.

Есептеуде балалардың шамаларды, беріліп және ізделініп отырған сандарды саралап бөлуге көмектесетін, олардың арасындағы байланыстарды тағайындайтын арнайы әдістер пайдаланылады. Мұндай үрістерге есептерді қайталау, есепі шығару жоспарын талдау және оны құру жатады.

Осы үрдістердің әрқайсысын қарастырамыз.

Есепті иллюстрациялау — есепке енген шамаларды, берілген және ізделіп отырған сандарды саралай білу үшін, сондай-ақ олардың арасындағы байланысты анықтау үшін көрнекілікті пайдалану.

Нәрсені көрсете отырып түсіндіру, есепте айтылған, өмірде болатын жағдайларды балалардың көз алдына жақсы елестетеді не көмектеседі, ол есепті шығару үшін қандай амал таңдап алуы керектігін көрсететін болады. Нәрсені иллюстрациялап түсіндіруді есептің жаңа түрін шығарумен таныстырғанда пайдаланады.

Нәрсені иллюстрациялаумен қатар схема түрінде түсіндіру де пайдаданылады, ол — есепті қысқаша жазу.

Қысқаша жазуды ыңғайлы түрде шамалар, берілген және ізделіп отырған сандар, сондай-ақ есепте не туралы айтылғаньш көрсететін кейбір “бар еді”, “тағы қосылды”, “болды”, т.с.с. жөне қатынастарды көрсететін “артық”, “кем”, “бірдей” т.с.с. сөздер жазылады.Есептің қысқаша жазуын кестеге, сызба түрінде де жазуға болады.

1.2. Мәтіндік есептерді шығару біліктілігін қалыптастыру

Мәтіндік есептер дегеніміз-аты айтып тұрғандай, мәтін арқылы берілген, теңдеу құруға негізделген есептер болып табылады. Мұны кейде мәселе есептер, кейде сөздік есептер деп те атайды. Күнделікті өмірімізде кездесетін кез келген істі орындау үшін қарапайым математикалық есептерді шығаруға тура келеді.

Математикалық теорияны меңгеретін, шығармашылық және өзіндік ойлау қабілетін дамытатын оқу іс-әрекетінің маңызды түрі –математика есептерін шығару. Сондықтан оқытудың тиімділігі көбінесе есеп шығаруды үйретуді ұйымдастыру әдістемесіне байланысты.

Л.М.Фридман және Е.Н.Турецкий «есеп шығару дегеніміз не?» деген сұраққа олар есепті қолға алғаннан басталып, оның шығаруын толық аяқтағанға дейінгі үдеріс,-деп тұжырымдайды [1]. Ал бұл үдеріс бірнеше кезеңнен тұрады:

1-есепті талдау;

2-есепті сызба түрде беру;

3-есепті шығару тәсілін іздестіру;

4-есептің шығаруын іске асыру;

5-есептің шығаруын тексеру;

6-есепті зерттеу;

7-есептің жауабын жазу (айту);

8-есептің шығаруын талдау екендігін атап көрсетеді.

Есепті шығару үдерісінде маңызды екі элементтін бөліп көрсетуге болады:

1. есепті

2. ұсыну немесе беру (айтып беру, жазып беру);

2) шығаруды іздестіру.

Есеп шығаруды іздестіру оның берілу тәсіліне байланысты. Есепті дұрыс оқи білудің маңызы зор, сан мәндері мен амалды таңдап алуға қажетті сөздерді баса айту және есепке қойылатын сұрақты дұрыс дауыс көтере айту. Математикада сынып жоғарылаған сайын есептер мәтін түрінде беріледі. Олардың кейбіреулері бір амалмен, ал қалғандары екі, үш амалмен шығарылатын жай және құрама есептер болады. Екі, үш амалмен шығарылатын есептер көбейту және бөлу амалдарын өткеннен кейін беріледі. Кез келген есептің мәтіні оның шартынан және талабынан тұрады.

Мәскеудегі озық білім беру орталығының маманы Людмила Петерсонның айтуынша, есептің шарты дұрыс құрылса, онда есептің елу (50) пайызы шықты деген сөз дейді.

Егер оқушы есептің мазмұнын дұрыс түсінсе, оны шешудің жолдарын оңай-ақ өз бетінше таба біледі. 3-4 сынып математикасындағы мәтіндік есептерді шешуде алгебралық әдіс қолданылады. Алгебралық әдіс дегеніміз есепті теңдеу құру арқылы шығару. Қандай мәтіндік есеп болмасын жеңіл, күрделісін әрдайым түсіндіріп, нені табу керек, теңдеуді құрудың жолдарын қайталап отыру керек.

Біздің негізгі мақсатымыз есеп шығаруды үйрену болғандықтан, алғашқы да мұғалім жасаған талдау ретін қайталай отырып, ұқсас мәтіндік есептерді шешуді білу, бұл өз іс-әрекетіміздің орындалу ретін және нәтижесін түсінікті түрде қабылдауға берулеріне мүмкіндік жасайды. Ойлау мен сөйлеу қабілеті өзара тығыз байланысты, сондықтан мәтіндік есептерді шығару арқылы оқушылардың ойлау дәрежесін дамытуға жол ашады.

Есепті оқушы қиналмай шығаратын ережелерді механикалық және тура қолдану арқылы шығаруы мүмкін, оны оқушыға мұғалім айтады немесе оқулықтан қарайды. Бұл жерде ешқандай ойдан ешнәрсе шығарудың, интеллекттің қажеттілігі болмайды. Есептерді шығаруда оқушы бір ережені пайдалануда белгілі бір тәжірибе ғана алады.

Мәтіндік есепті теңдеу құрып шығару икемділіктері белгілі бір дәрежеге жеткенге дейін қолданған жөн.

Кейбір мәтіндік есептерді шешуді іске асыру жеңіл болу үшін алдын-ала есептің көрнекі көмекші моделін –оның сызбалық (схема) жазылуын құрып алу пайдалы. Мысалы, 4-сынып математикасындағы183-беттегі №1 есепті алсақ,

«Бір мезгілде екі қаладан бір-біріне қарама-қарсы екі жүк поезы шықты. Олар 7 сағаттан кейін кездесті. Бірінші поездың жылдамдығы 60 км/сағ, екіншісінікі 80 км/сағ. Қалалардың ара қашықтығын тап.».

Есепті оқушыларды қатыстыра отырып талдап, содан соң өз бетімен шығаруды ұсынуға болады. Сызбасын сызсақ,

А 7 сағ 7сағ Ш

Сызбаны сызғаннан кейін, есепті сынып оқушыларын қатыстыра отырып талдап, есептің шартын жазамыз.

Шарты:

t= 7 сағ

V=60 км/сағ

V=80км/сағ

т/к S-?

Шешуі:

Мұнда оқушылардан уақыт, жылдамдық, қашықтықтың таңбалануын, олардың өзара байланысын естеріне түсіре отырып, қашықтықтың формуласын оның өлшем бірлігін жазамыз.

S=V•t (км)

Есепті екі жолмен шығаруға болады, бірінші жеке әр поездың жүрген жолын тауып, шыққан нәтижелерді қоссақ онда екі қала арақашықтығын табамыз немесе бірден екі поездың жылдамдығын қосып, жүрген уақытқа көбейтсек, екі қаланың арақашықтығы шығады. Есепті шешуде оқушыға жеңіл, және тиімді жолын іздестіреміз.

S=(60+80)7

S= 140•7

S=980 (км)

Жауабы: екі қаланың арақашықтығы 980 км.

Бұл есептердің ішінде де біраз қиындары да бар. Бұл жағдайдағы есептерге катер мен өзен ағысының жылдамдығына қатысты есептерді жатқызамыз. Мұндай есептеулерде мына жағдайларды есте ұстаған жөн:

-Егер катер өзен ағысымен жүзсе, онда катердің жылдамдығына ағыстың жылдамдығы қосылады: v₁+v₂

-Егер катер ағысқа қарсы жүзсе, онда катердің жылдамдығынан ағыстың жылдамдығы азайтылып тасталынады: v₁-v₂

-Егер катер тынық суда жүзсе, өз жылдамдығы ғана алынады: v₁

Енді айтылғандарға түсінік ретінде төмендегі мысалдарды түсіндіре кетелік:

1) Пароход өзен ағысымен 3 сағатта жүріп өткен жолын қайтар жолында 5 сағатта жүріп өткен. Өзен ағысының жылдамдығы 5 км/сағ. Пароходтың тынық судағы жыдамдығын табыңыз. 

Есеп шартына сәйкес пароходтың жылдамдығын х деп аламыз. Жоғарыдағы шарттарда атап көрсеткендей, барар жолда пароход ағыс бойымен жүзгендіктен, жылдамдығы х+5 болмақ. Ал, қайтар жолындағы жылдамдықты ағысқа қарсы болғандықтан х-5 деп аламыз. Сонымен, теңдеу төмендегі түрде құрылмақ:

Сонымен, пароходымыздың жылдамдығы 20км/сағ.-қа тең болды.

2) Өзен бойындағы екі қаланың арақашықтығы 80 км. Теплоход бір қаладан екіншісіне барып, қайтуға 8сағ. 20 мин жұмсайды. Өзен ағысының жылдамдығы 4 км/сағ. Теплоходтың тынық судағы жылдамдығын табыңыз.

Ең әуелі, уақыттағы минутты сағатқа айналдырып аламыз. Өйткені, өзге шамалар км, сағ. секілді шамалармен беріліп тұр. 20мин=1/3 сағ. Ендеше, 8 сағ.20мин=8+1/3сағ.
Теңдеуді төмендегідей құрамыз:

Ал осы есепті бір айнымалымен бір теңдеумен шығарсақ;

υ₁=4км/сағ,

υ₁=Хкм/сағ,

+ =8 сағ 20 мин

+ =8 /3(х-4)(х+4)

80·3(х+4) + 80·3(х-4) = 25(х-4)(х+4)

25х² -480х-400=0

X=

X=20 км/сағ

Сонымен, теплоходтың жылдамдығы 20 км/сағ-қа тең болды.

3) Катер өзен ағысымен 15 км және 4 км тынық суда жүзді. Барлық жолға 1 сағат уақыт кетті. Өзен ағысының жылдамыдығы 4 км/сағ болса, онда катердің өзен ағысымен жүзгендегі жылдамыдығын табыңыз:

х+4 деуіміздің себебі, есептің шартында теплоходтың ағыс бойымен жүзгендегі жылдамдығын табу керек делінген.

Екінші шешу әдісі;

Өзен ағысынымен - 15км

Тынық суда -4км/сағ

υ_ө = өзен ағысының жылдамдығы

өзен ағысымен жүргендегі қатер жылдамдығы –х км/сағ

табу керек: υ_ө + 4 = ?

+ =1 /х(х-4) ≠ 0

15(х-4) +4х=х(х-4)

15х-60+4х =х² -4х

х² -23х +60= 0

х₁ =3,

х₂ =20,

Қатер өзен ағысымен 3км/сағ жылдамдылықпен жүзе алмайды.себебі өзен ағысының жылдамдығы артық. сондықтан 20км/сағ аламыз.

Жалпы, оқушыларда мәтіндік есептерге теңдеулер құрудың неғұрлым тиімді әдістерін таңдап алуға әзірлеу мақсатында оларға есептің шарты бойынша әртүрлі теңдеулер құруды ұсынған пайдалы . Әрбір оқушының мәтіндік есептер шығарғанда әртүрлі теңдеулер құруын, сондай-ақ оларды шешу тәсілін есте сақтауын талап етудің керегі жоқ. Оқушылардың өздері есепті шығару әдістерін меңгеретіндей, яғни оларды пайдаланатындай болу керек.

Сонымен, теңдеу құрылатын мәтіндік есептерді шығару барысында оқушылар есепте берілген, іздеп отырған шамаларды анықтауды, оның математикалық моделін жасауды, шешу әдісін үйренеді.

2. Қызықты есептер

Сыныптан тыс жұмыстар кезінде шешілетін есептер мына бағытта болуы керек. Математикада сыныпта өтілетін, бірақ қиын шығарылатын есептер мен тапқырлықты талап ететін логикалық есептер астарласып келеді, берілетін есептер оқушылардың жас шамасына шақталып, математикалық инициативасын артыратындай, түсіндіру жеңіл, тұжырымдалуы қысқа болады. Бұл есептер зерделікке, қиялдауға, логикалық ойлауға, тапқырлыққа, байқампаздыққа, есептерді шешу тәсілдерін меңгеруге тәрбиелейтіндей болуы керек. Сондай - ақ есеп өмірден алынатындығын танытатындай болуы қажет.

2.1.Қазақ халқының байрғы есептері

Қызықты есептер өлең, әзіл, ермек, викторина түрінде де жазыла береді. Өлең есепте өлең жазу заңдылығын пайдалана отырып, математикалық есеп құрастырылады. Онда не белгілі, белгісізі не екендігі айтылады. Олар есепті шешуде байланыстырылады. Табылған жауаптың дұрыстығы тексеріледі. Кейде есептер өлең түрінде тұжырымдау, оқушыны әдеттегіден тыс күйге түсіріп, өзіне баурап алады. Өлең есеп оқушыларды адамгершіліке қасиеттерге, математикалық заңдылықты байқауға, тыңдай білуге, негізгіні қосымшадан ажырата білуге тәрбиелейді. Өйткені математикалық ұғымның өленде тұрмыстық мағынасы кеңірек ашылады.

«Бәрін бірге ойлап қой» есебі.

Түйе, бота маң басқан,

Төрт аяғын тең басқан.

Шұнақ құлақ бес ешкі,

Қос-қос лақты қос ешкі,

Төрт қозылы екі қой,

Бәрін бірге ойлап қой.

Бұл есеп Қырық бір түйір құмалақ, өтірік айтпай, шынын айт, - түйіндеуімен бітеді де Қазақ даласында да құмалақшының да өз есебі бар екендігі, оның құрмет пен сенімге ие болғанына құмалақшы да бірлікке шақырғанына күмәнданбаймыз.

Шешілуі: 1+1+5+2+2+2+4+2=19 бас

Жауабы: 19 бас мал.

«Жүз қаз» есебі.

Келеді үшып бір топ қаз,

Суалып көлі болып саз.

Ескі жерге оралмақ,

Мүны білмей жалғыз қаз.

Есенсіз бе, жүз қаз,

Деді келіп бір қаз.

Мойнын бұрып бастаушы,

Білдірді оған былай наз.

- Топқа тағы осындай

Жетпей түр ғой қосылмай.

Оның және ширегі,

Болсын жарты керегі.

Өзің жалғыз кезіккен,

Қосыларын сезіп пе ем?!

Бәрін бірге жинайық,

«Жүз» атауын сайлайық,

Қанша едік баста біз?

Деп Сізді де қинайық.

Шешуі: теңдеу құрамыз:

X+X+X/2+X/4+1=100

11X=396

X=36

Жауабы: 36 қаз.

2.2.«Рухани құндылық» есептері

1) Киіз үйдің табанының ауданы 16 м² екені белгілі.

Киіз үй басқұрының ұзындығы қанша метр

болғанын табыңыздар

Шешуі: мұнда алдымен киз үйдің бас құрының не екенін қандай формада болатынын білу,

S= r² S=16π R=4m

P=2πr P=8π

Жауабы: Басқұрдың ұзындығы 8π м болады.

2) Досым екеуміз асық ойнай бастағанымызда асықтарымыздың саны бірдей болды. Бірінші ойында мен 20 асық ұттым. Екінші ойында қолымдағы бар асықтың үштен екі бөлігіне ұтылдым.сонда менде қалған асықтардың саны досымдікінен төрт есе кем болды. Ойынды мен қанша асықпен аяқтадым?

	Менде	Досымда
Ойын басталғанда	Х	Х
І ойыннан соң	Х+20	Х-20
ІІ ойыннан соң	4·(Х+20)·	(Х-20) + (Х+20)
Соңында	4·(Х+20)· = (Х-20) + (Х+20) 4х+80=3х-60+2х+40 4х+80=5х-20 Х=100
Жауабы;	Ойынды 100 асықпен бастаған

2.3. Кез-келген санның квадратын шапшаң есептеу әдістері.

Көбейту, бөлу таблицасын білгеннен кейін сандарды көбейтудің, бөлудің, дәрежелеудің оң тәсілдерін үйрену мақсат.

Әдетте 10, 20, 30, 40, 50, ... ..., 100 оңай есептеледі. Ал 19², 29², 39², 49², ... ..., 99² – ын табу бір жаңа есептеуді қажет етеді. Сол әдістерге тоқталайық.

19² = 361 шығару үшін көбейтіндісінің 20² – нан 20+19=39 – ды шегеру жеткілікті 400-39=361

Енді 15², 25², 35², 45², ... ..., 95² есептейік.

15²=225 – ті шығару үшін бірлік 5²=25 – тың алдына ондық 1-ге, өзінен бір сан үлкен 2-ні көбейтіп алдына жазу керек

Ондық цифры 5 болатын екі орынды сандарды шапшаң квадраттау әдісі

25 санына санның бірлік разрядындағы цифры қосылады, оның оң жағынан бірлік разрядтағы сан квадратталып тіркеліп жазылады, төрт таңбалы сан шығатындай тәртіп сақталады. Бұл әдіс мына тепе-теңдікке негізделген: (50+а) =100(25+а)+а

Мысалы: 51*51=2601

58*58 =3364 а)25+8 =33 б)8*8=64

Соңғы цифры 5 болатын сандарды шапшаң квадраттау әдісі

Соңғы 5 цифрын квадраттап, оның алдына келесі разрядтағы санды өзінен 1-ге артық санмен көбейтіп, 5-тің квадраты 25 санының алдына жазады.

Мысалы: 25*25=625 а)5*5=25 б) 2*(2+1) = 6

305*305=93025, а) 5*5=25 б) 30*(30+1) =930

3.1. Мәтінді есептерде көрнекіліктерді пайдалану

Математика сабағынан алған білімдері мен біліктерін бекітуде көрнекі құралмен істелетін жұмысты, оқушылардың өздері алып көрсетіп, іс-әрекеттеріне тиісті түсініктемелерді беріп отыратындай етіп ұйымдастыру. Материалдың игерілуі мұндай жағдайда да едәуір жоғарылайды, өйткені жұмысқа түрліше анализаторлар (көру, қозғалту, сөйлеу, есту) қатысады. Мұнда балалар тек математикалық білімдерді ғана меңгеріп қоймай, көрнекі құралдарды өздігінен пайдалану білігін де игереді.Көрнекі құралдарды пайдаланудың тиімділігінің негізгі шарты сабаққа көрнекі материалды жеткілікті және қажетті мөлшерде қолдану болып табылады (қажетінше, шамадан тыс емес). Егер көрнекі құралдар қажет емес тұста қолданылатын болса, онда балалары зейіні қойылған міндеттен басқаға ауып, оның зияны тиеді.

Практикада осындай фактілер кездеседі. Мысалы, оқушы арифметикалық есептерді шығарғанда, арифметикалық амалды (қосуды немесе азайтуды) таңдап алуға үйретіледі. Мұны түсіндіру үшін бұтаға қонып отырған құстар мен оған ұшып келген құстардың ( немесе керісінше, одан ұшып кетіп бара жатқан құстардың суретін пайдаланады.

Көрнекі құралдар - бұл сабақты құнарлы өту үшін бірінші орындағы көмекші болып есептеледі. Көрнекі құралдар арқылы түсіндірілген сабақ әрдайым баланың санасында көпке дейін немесе мәңгі қалады.

Төртінші пропорционал шаманы табуға берілген есептер түрлерін кесте көрнекілік түрінде көрсетейік.

Есептер	Шамалар				Есептер
	Бағасы	саны	құны
І	Тұрақты	Екі мәні берілген	Бір мәні берілген, екіншісі ізделінді	2 кг сәбіз үшін 30 теңге төленген. Бағасы осындай 6 кг сәбіз үшін қанша ақша төлеу керек?
ІІ	Тұрақты	Бір мәні берілген, екіншісі ізделінді	Екі мәні берілген	6 кг сәбізге 90 тенге төленген. 30 тенгеге осындай бағамен қанша килограмм сәбіз сатып алуға болады ?
ІІІ	Екі мәні берілген	Тұрақты	Бір мәні берілген, екінші мәні ізделінді	Метрі 20 теңге тұратын бір бөлек кендір матаға 80 теңге төленді. Метрі 40 тенге тұратын болса, ұзындығы осындай бір бөлек жібек матаға қанша ақша төленеді ?
IV	Бір мәні беріл-ген, екіншісі ізделінді	Тұрақты	Екі мәні берілген	Метрі 40 теңге тұратын бір бөлек жібек матаға 160 теңге төленген, ал ұзындығы осындай бір бөлек кендір. Матаға 80 теңге төленген. Кендір матаны қандай бағамен сатып алған?
V	Екі мәні берілген	Бір мәні берілген, ал екіншісі ізделінді болып табылады	Тұрақты	Бағасы 120 теңге тұратын 6 балалар костюміне, бағасы 360 теңге тұратын, балалар пальтоларына төлегендей ақша төленген. Қанша балалар пальтосы сатып алынған?
VI	Бір мәні беріл-ген, ал екіншісі ізделінді бо-лып табылады	Екі мәні берілген	Тұрақты	Бағасы 360 теңге тұратын 2 балалар пальтосына, 6 балалар костюміне төлегендей, акша төленді. Костюмдерді қандай бағадан сатып алған?

Кестеде төртінші пропорционалдық шаманы табуға берілген төрт тура пропорционал тәуелділіктегі, ал соңғы екеуі кері пропорционал тәуелділіктегі есептердің классификациясы. Үштік ережесі Ал — Хорезми арқылы Индияға, одан Европаға кейін бізге келген. Мұндай есептерді шығару балаларға алғаш шамалар арасындағы функциялардың қатысы туралы ұғым береді.

Осы алты есептің әрқайсысын тұрақты шаманың мәнін табу тәсілімен шығаруға болады, яғни әуелі тұрақты шаманың мәнін табу керек, содан соң оны пайдалана отырып, ізделінді шаманы табу керек. Мысалы, 1 есепте 30:2 х 6=90. (әуелі сәбіздің бағасын-тұрақты шаманың мәнін, содан кейін 6 кг-ның құнын білдік).

I және II түрдегі есептер үшін бұл тәсіл, бірге келтіру тәсілі деп аталады. Бастауыш кластарда көбіне осы тәсіл пайдаланылады, ал 4 сыныптан бастап теңдеулер құруды пайдалануға болады. Бұл есептер III және IV кластарда шығарылады.

1. А және В пункттерінен екі жаяу адам бір-біріне қарама-қарсы шығып, жарты сағаттан соң кездесті. Қозғалысты жалғастыра отырып біріншісі В-ға екіншісінің А-ға жетуінен АВ қашықтығын қанша уақытта өтті?

Шешуі: t мин – бірінші жаяудың жолға кеткен уақыты

мин – екіншісінікі

Сонда

Жауабы: 55 мин; 66 мин.

2. А және В пункттерінен бір мезгілде бір-біріне қарсы мотоциклші мен велосипедші шықты. Олар В пунктінен 4 км қашықтықта кездесті. Ал мотоциклші В пунктіне жеткен кезде велосипедші А пунктінен 15 км қашықтықта еді. А және В пунктерінің ара қашықтығын табыңыз.

Шешуі: А  В

V_м =х; V_в =у

Жауабы: 20км.

3. Екі таңбалы санды оның цифрларының қосындысына бөлгенде бөлінді 6-ға, ал қалдық 2-ге тең болады. Егер осы санды цифрларының көбейтіндісіне бөлсе, онда бөліндісі 5, ал қалдығы 2 болады. Осы сандарды табыңыз?

Шешуі: - екі таңбалы сан.

Жауабы: 32

4. Бір жүкті тасуға үш тонналық он машина керек. Сол жүкті тасу үшін екі тонналық неше машина керек?

Шешуі: Барлық жүк: 10∙3=30т

30:2=15

Жауабы: 15 машина

5. 6 күннің ішінде 24 адам құлпынай салынған учаскенің шөбін жұлды, онда 36 адам сол жұмысты неше күнде орындайтынын табыңыз?

Шешуі: Кері пропорционалдықпен шығарылады.

36/24=6/х

36х=24*6

х =4

Жауабы: 4 күн

6. Сағатына 70км/сағ жол жүретін жүрдек поезд С станциясынан Д станциясына қарай шықты, ал 1 сағ. өткеннен кейін оған қарама-қарсы Д станциясынан сағатына 45км/сағ. жол жүретін жүк поезы шықты. Егер СД темір жол бөлігінің ұзындығы 530 км болса, онда осы екі поезд бірінен-бірі Д станциясынан қандай қашықтықта кездесер еді?

Шешуі:

?

км/сағ. сағ.

км/сағ. сағ.

км.

Жауабы: 180 км.

6. Велосипедшіге 15 км қашықтықты жүріп өтуі керек еді. Белгіленген мерзімнен 15 мин. кеш шыққандықтан жылдамдығын 2 км/сағ. арттыруға тура келді. Сөйтіп велосипедші баратын жеріне белгіленген уақытында жетті. Велосипедші қандай жылдамдықпен жүріп өтіп еді?

Ш ешуі: 15 км V_в=Х 15мин сағ. кеш шықты

Жауабы: 12км/сағ.

6. Ит А нүктесінде тұр, енді ол өзінен 30 м қашықтықта тұрған түлкіні қуып кетті. Иттің бір секіруі 2 м, түлкінікі 1 м. Ит 2 секіретін уақыт ішінде түлкі 3 секіреді. А нүктесінен қандай қашықтықта ит түлкіні қуып жетеді?

Шешуі: Ит – 2м екі секіргенде 4м 4м=х*t

Түлкі – 1м үш секіргенде 3м 3м=у*t

А 30м S

Жауабы: 90+30=120.

6. Ара қашықтығы 18км-ге тең А пунктінен В пунктіне қарай жаяу жолаушы шықты. Оның артынан 2 сағаттан кейін әр сағат сайын жаяу жолаушыға қарағанда 4,5км-ге артық жол жүретін велосипедші шықты. Егер В пунктінен жаяу жолаушы мен велосипедші бір уақытта жеткені белгілі болса, онда велосипедшінің жылдамдығы қандай?

Ш ешуі: А 18км В

(18/T)+(4.5/1)=18/(T-2)

(18+4.5*T)/T=18/(T-2)

18+4.5*T=18*T/(T-2)

18*T+4.5*T^2-36-9*T=18*T

-9*T+4.5*T^2-36=0

4.5*T^2-9*T-36=0

D=9^2-4*4.5*(-36)=729

729^0.5=27

T=(9+27)/(2*4.5)=4саг

Vж=18/4=4.5км/саг

Vв=18/(4-2)=9км/саг

Жауабы: 9 км/сағ

10. Сынып оқушыларының шахмат турнирінде 253 партия ойналды. Әр оқушы қалған ойыншылардың әрқайсысымен бір партия ойнады. Сыныпта қанша оқушы болған?

Шешуі: Барлығы х оқушы.

, әрбір оқушы өзінен басқа (х-1) оқушымен

x=23 ойнайды.

Жауабы: 23

11. Жанат пен Раушан саңырауқұлақ терді. Раушан сенде қанша саңырауқұлақ бар деп сұрады Жанат. 30-деді Раушан. Ал сенде ше? Сенде қанша болса сонша, тағы барлық саңырауқұлақтың бөлігі, деп жауап берді Жанат. Сонда Жанатта қанша саңырауқұлақ болған?

Шешуі:

30+30+ x=x Барлығы- х

x=60 x=90 Раушан- 30

Сонда Жанатта: 90∙ +30=60 Жанат- (30+1/3х)

Жауабы: 60

12. Қандай да бір берілген екі таңбалы сан өзінің цифрларының қосындысынан 9-ы артық, ал сол санның квадраты екінші Тек бір ғана цифрлардан тұратын екі таңбалы жай сандардың айырмасы толық квадратқа тең болатын болса, онда осы сандарды

табыңыз.

Ху-ух=а²

(10х+у)-(10у+х)=10х+у-10у-х=9(х-у)=а² =>х-у толық квадрат болу керек

х,у- бір таңбалы жай сан, айырмасы квадат

7,3

Жауабы:73,37

13. Кварталда 8 көп қабатты үйлер салынды. Олардың орташа биіктігі 38м. Егер 8 үйдің төртеуінің орташа биіктігі 29м болса, онда қалған төрт үйдің орташа биіктігі қандай болған?

Шешуі: 8 үйдің биіктігі: 8∙38=304м.

4 үйдікі: 29∙4=116м.

Қалған төрт үйдің орташа биіктігі: 308-116=188м

Демек әр үй 188:4=47м

Жауабы: 47м

14. Әкесі екі баласына 700м жер мұраға қалдырды. Кіші ұлының еншісі үлкен ұлының еншісінің бөлігіндей болса, онда үлкен ұлының еншісіне қанша жер тиді?

Шешуі: Үлкен ұлына x

Кішісі x

х+ х=700

х=400

Жауабы: 400 м

15. Жылдың ортасында 1кг май 80 теңге тұратын, ал бір жылдан кейін 360 теңге болды. Ендеше, май қанша процентке қымбаттады?

Шешуі:
1) 360:80*100%=450%

2) 450%-100%=350%

Жауабы: 350%

16. Моторлы қайық ағынсыз суда 54 км жолды жүруге кететін уақытта өзен ағысымен 28 км, ағысқа қарсы 25 км жол жүрді. Егер өзен ағысы жылдамдығы 2 км/сағ болса, онда қайықтың ағынсыз судағы жылдамдығын анықтау керек.

Шешуі:

Қайықтың тынық судағы жылдамдығы Х км/сағ

((28/(х+2))+(25/(х-2))) =54/2

х²+6х-216=0

х=12

Жауабы: х=12 км/сағ

16. Параход өзен ағысымен 3 сағатта жүріп өткен жолын қайтар жолында 5 сағатта жүріп өткен. Өзен ағысының жылдамдығы 5 км/сағ. Параходтың тынық судағы жылдамдығын табыңыз?

Шешуі:

t₁₌3 сағ; t₂=5 сағ

V₀=5 км/сағ; V_п=х км/сағ

3∙ (х+5)=5∙ (х-5)

3х+15=5х-25

2х=40 => х=20

Жауабы: 20 км/сағ

16. Өзен бойындағы екі қаланың ара қашықтығы 80 км. Теплоход бір қаладан екіншісіне барып, қайтуға 8 сағ 20 мин жұмсайды. Өзен ағысының жылдамдығы 4км/сағ. Теплоходтың толық судағаы жылдамдығын табыңыз?

Шешуі: S=80 км; t₁+t₂=8 сағ 20 мин=25/3 (сағ)

V_ө=4 км/сағ; V_т=Х км/сағ ₁

t₁=80/(Х+4); t₂=80/(Х-4) => ((80/(Х+4))+(80/(Х-4)))=8 ₃ ;

80х-320+80х+320/(х²-16)=25/3 => 160х∙3=25∙ (х²-16)

5 х² -96х-80=0

Д=48²+5∙8=2704=52²

х=(48+52)/5=100/5=20

Жауабы: 20 км/сағ

16. А және В станцияларының арасын жүк поездына қарағанда жолаушы поезды 36 мин тезірек жүріп өтеді. Егер жолаушы поездының орташа жылдамдығы 60 км/сағ, ол жүк поезының орташа жылдамдығы 48 км/сағ болса, онда екі станцияның ара қашықтығын табыңыз?

Шешуі: V₁=60 км/сағ; V₂=48 км/сағ; 36 мин=36/60=3/5 сағ;

S= х км

t₁=х/60; t₂=х/48; (х/48)-(х/60)=3/5

5х-4х=144

х=144

20. Үш жүкті тасуға 948мың теңге төленді.Салмағы 14т бірінші жүк 30км, салмағы 15т екінші жүк 40км, ал салмағы 16т, үшінші жүк 35км қашықтыққа тасылды.Әр жүкті тасуға қанша ақша төленді?

Шешуі: Барлығы:

14∙30=420

15∙40=600 => 420+600+560=1580

16∙35=560

1т/км құны: 948000/1580=600

Әр жүкті тасуға жұмсалған ақша: 1) 420∙600=252000

2)600∙600=360000

3)560∙600=336000

21. Оқушы күніне бірдей беттен оқи отырып 480 беттік кітапты оқып шықты. Егер ол күніне 16 беттен артық оқыған болса, онда ол кітапты 5 күн ертерек оқып шыққан болар еді. Оқушы кітапты

қанша күнде оқып бітірген?

Шешуі: Барлығы-480бет

=> 480/Х күнде бітіреді

Күніне Х бет оқиды

480/(Х+16)=480/Х -5

480х=480Х+480∙16-5Х²-80Х

5Х²+80Х-480∙16=0

Х²+16Х-1536=0

Д=64+1536=1600

Х=-8+40=32

480/32=15

Жауабы: 15күн

22. Кітаптың бір бетіндегі жолдардағы әріптер саны бірдей.Егер жол санын 2-ге арттырса және әрбір жолдағы әріптер санын 2-ге арттырса, онда беттен әріп саны 150-ге артады. Егер жолдағы әріптер санын 3-ке кемітсе, ал беттегі жолдардың санын 5-ке

кемітсе, онда беттегі барлық әріптер са.ны 280-ге кемиді. Беттегі жол санын және жолдағы әріптер санын табыңдар.

Шешуі: Жолдар саны-Х

Әріптер -У

(Х+2)(У+2)=ХУ+150 У=38

=>

(У-3)(Х-5)=ХУ-280 Х=35

Жауабы:У=38 Х=35

23. 49 санын квадраттарының қосындысы ең аз болатындай екі қосылғыштың қосындысы түрінде көрсетіңіз.

Шешуі:

І-Х

ІІ-49-Х

F(Х)=Х²+(49-Х)² =2Х²-98Х+49²

F^’(Х)=4Х-98

Х=24,5

Жауабы: Х=24,5

24. Үш үйдің көлемдері 2410м³,1790м³,1050м³. Бұл үйлерді жылытуға жұмсалған 2625мың теңгені олардың көлемдеріне пропорционал етіп бөліңіз.

2410+1790+1050=5250

5250 ----2625 5250----2625 5250----2625

2410-----х 1790---у 1050----z

x=1205 y=895 z=525

Жауабы: 1205 мың, 895мың, 525 мың

25. Екі мотоциклші бір мезгілде бір- біріне қарсы А және В пунктерінен шыққан. Оларың ара қашықтығы 600 км. Бірінші мотоциклші 250 км жер жүргенде екіншісі 200 км жүреді. Бірінші мотоциклші В- ға екіншісінің А-ға жеткен уақытынан 3 сағат бұрын жетеді. Олар бір қалыпты қозғалады деп есептеп, мотоциклшілердің қозғалыс жылдамдықтарын табыңыз.

Шешуі: А В V₁=х км/сағ

600км V₂=у км/сағ

25/х=200/у 5/х=х/у 4х=5у

=> =>

(350/х)+3=400/у (350+3х)/х=400/у 350у+3ху=400х

у=4х/5

=>

350∙4х/5+3х∙4х/5=400х

280х+12х²/5-400х=0

= > 12х²/5-120х=0, х=0

12х-600=0

х=50

у=40

Жауабы: 40 км/сағ; 50 км/сағ

25. Катер өзен ағысымен 15 км және 4 км тынық суда жүзді. Барлық жолға 1 сағ уақыт кетті. Өзен ағысының жылдамдығы 4 км/сағ болса, онда катердің өзен ағысымен жүзгендегі жылдамдығын табыңдар.

Шешуі: S_ағ = 15 км; S₂= 4 км;

t= 1сағ; V _ағ = 4 км/сағ; =>

t _ағ = 15/(х+4); t ₂ = 4/х;

15/(х+4)+4/х=1

15х+4х+16= х²+4х

х² –15х-16= 0

D=289 => x=(15+17)/2=16

Жауабы: V _ағ =16+4 = 20км/сағ

25. Поезд станцияда 6 минутқа кешіктірілді. Осыдан кейін жылдамдығын 4 км/сағ арттырып, кешіккен уақытын 36км аралықта өтеді. Поездың алғашқы жылдамдығын табыңдар.

Шешуі:υ₁=Х км/сағ 36 /Х=36 /(Х+4)+1/10

υ₂=Х+4 360Х+1440=360Х+Х²+4Х

6мин= 1/10 сағ Х²+4Х-1440=0

D=4+1440=1444=38²

Х=-2+38=36

Жауабы: 36км/сағ

25. Катер арасы 96км.А-дан Б-ға өзен ағысы бойымен және керісінше жүзуге 14сағ уақыт жіберді. Бір мезгілде катер мен бірге А-дан сал шықты. Катер қайтар жолда А-дан 24км қашықтықта салды кезіктірді. Катердің тынық судағы және су ағысының жылдамдығын табу керек.

Шешуі: _{А Б}

─────>.......... < ─────

t=14сағ t₁=96/(х+у) t₂=96/(х-у)

υ_к=х км/сағ

υ_ө=у км/сағ

96/(х+у)+96/(х-у)=14 96х/(х²-у²)=7

=>

96/(х+у)+72/(х-у)=24/у (7х-у)/ (х²-у²)=1/у

Жауабы:у=2

Х=14

29. 30 ерлер көйлегі мен 25 әйел көйлектеріне 1475 тг төлеу керек. Ерлер көйлегі 20%-ке, ал әйелдер көйлегі 10% арзандатылғаннан кейін, әйелдер көйлегі мен ерлер көйлегі үшін төленетін ақшаның айырмашылығы 3075 тг болады. Әйелдер және ерлер көйлегінің бағасын анықтаңыз.

Шешуі: 1 ерлер көйлегі – Х тг

әйел – У тг

30Х + 25У = 14750 6Х +5У = 2950

=> =>

25( У - ) – 30( Х - ) = 3075 15У – 16Х = 2050

Х = 200

=>

У = 350

Жауабы: 350 тг, 200тг

30. Кітапта 132 бет бар. Бір бетте 40 жол, бір жолда 27 әріптен жазылған . Егер бір бетке 48 жол, бір жолға 30 әріп жазылса, осы кітап неше бет болатынын табыңыз.

Шешуі: ( 40 ∙27 ) ∙ 132 = 142560 әріп бар

( 48 ∙ 30) ∙ Х = 142560

Х = 99

Жауабы: 99

31. Ұзындығы 4м, ал ені 2м болатын тіктөртбұрыш формалы клумбаны айналдыра жол салынды.Ол жолдың барлық жердегі ені бірдей. Егер осы жолдың ауданы клумбаның ауданынан 9 есе артық болатын болса, онда жолдың енінің қандай болғаны?

Шешуі:

S_к=4∙2=8

S_ж= (4+2х) 2х+2∙2х=8х+4х²+4х=4х²+12х

4х²+12х=9∙8

4х²+12х-72=0

х²+3х-18=0

D=9+72=9²

Х= (-3+9)/2=3

Жауабы:3м

32. Вертолеттің жылдамдығы автомобильдікінен 85 км/сағ артық. Олардың жылдамдықтарының қатынасы 35:18 қатынасындай. Вертолеттің және автомобильдің жылдамдықтары қандай?

Шешуі: Авт.жылд: Х км/сағ.

Верт. Жылд: У км/сағ.

у-85=х

у=85+x

35x=85∙18+18x

17x=85∙18

x= =5∙18=90

y=85+90=175

Жауабы: 90км/сағ; 175км/сағ

33. Қанат велосипедпен ауылдан көлге дейін барып, кідірместен кері қайтқан, сонда бүкіл жолға 1 сағ уақыт кетті. Ауылдан көлге дейінгі жылдамдығы 15 км/сағ, ал көлден ауылға дейінгі жылдамдығы 10 км/сағ болды. Көлден ауылға дейінгі ара қашықты табыңыз?

Шешуі: қашықтық – х км.

2х+3х=30

х=6

Жауабы: 6 км.

34 Аэродромнан бір мезгілде екі самолет ұшты: біреуі – батысқа, екіншісі оңтүстікке. 2 сағаттан соң олардың ара қашықтығы 2000 км болды. Біреуінің жылдамдығы екіншісінің жылдамдығының 75%-не тең болса, әрқайсысы қанша?

Ш ешуі: II - =x км/сағ

I - =(0,75x) км/сағ

S=2000 км

Жауабы: 800 км/сағ; 600 км/сағ

35. Екі бригада орындықтар жасады, сонда бірінші бригада 65 орындық, ал екінші бригада 66 орындық жасады. Бірінші бригада бір күнде екіншіден екі орындық артық, бірақ одан бір күн кем жұмыс жасады. Екі бригада бірлесе отырып бір күнде қанша орындық жасады?

Шешуі: I – 65 1 күнде – х+2

II - 66 х

II - 11

I - 13

Жауабы: 24

35. Жұмысшылар бригадасы 360 детальды дайындап шығуы керек еді. Күніне белгіленген жоспарынан 4 детальды артық жасағандықтан бригада барлық тапсырманы белгіленген мерзімнен 1 күнге ерте бітірді. Осы тапсырманы орындауға бригада қанша күн жұмсады?

X дет -1 күнде

360/х дней   дайындап шығуы керек еді

х+4  дет белгіленген жоспарынан артық жасаған

360/(х+4)  күн жұмсады

 360/х -  360/(х+4)=1

360(х+4)-360х=х(х+4)

х^2+4х-1440 =0

х=36

36+4=40

360/40=9

Жауабы: 9 күн

37. Күніне жылқыларға 96 кг шөп беретіндей етіп шөп қоры дайындалды. 2 жылқышы көрші колхозға өткізгендіктен күніне әр жылқыға беретін тиісті мөлшерлі шөпті 4 кг – ға артық беруге тура келді. Әуелде қанша жылқы болып еді?

Шешуі: х жылқы

1 жылқыға: - 96/х кг шөп

(х-2) жылқы: 96/(х-2)

96/х=(96/(х-2))-4

х²-2х-48=0

х=8

Жауабы: 8 жылқы

38. Электропоезд А станциясынан В станциясына қарай жүріп кетті. Барлық АВ жолының 75%не тең 450 км жолды жүргеннен кейін, ол жолға түскен қардан жүре алмай тұрып қалды. Жарты сағатта жол тазаланып болған соң, машинист поездың жылдамдығын 15 км/сағ арттырды да, В станциясына уақытында келді. Поездың бастапқы жылдамдығын табу керек?

450—75%

Х—100%

Х=600

600/х=450/х+150/(х+15)+0,5

Х=75

Жауабы: 75 км/сағ

39. Сыйымдылығы 10 мың литрлік ыдысқа екі насос арқылы бензин құйылды. Екінші насос біріншіге қарағанда минутына 1 0 л бензин кем құяды. 10 минутта ыдыс 50 % ке толтырылды. Әр насос қанша литрден бензин құйды?

Шешуі:

I минутына Х л

II (х-1) л

10х+10(х-10)=5000

20х=4900

Х=245

Жауабы: 2450; 2550.

40. Картоп егілген жердің бір бөлігінің ауданы екіншісіне қарағанда 2 га артық. Бірінші бөліктен 748 тонна, екіншісінен 720 тонна картоп жиналды. Егер екінші бөлікиің 1 гектарынан жиналған картоп бірінші бөліктің 1 гектарынан жиналған

картоптан 4 тоннаға көп болса, онда әр бөліктің 1 гектарынан қанша кортоп жиналды.

Шешуі:

S₁=х(га) xy=720

S₂ =x+2 (x+2)(y-4)=748

Жүйені шешу х=15, у=48

Жауабы: 15т, 48т.

41. Екі труба бірігіп бассейнді 6 сағатта толтырады. Бірінші трубаның жеке өзі бассейнді екінші трубаға қарағанда 5 сағатқа ертерек толтырады. Бассейнді трубалардың әрқайсысы жеке-жеке қанша сағатта толтыра алады?

Ш ешуі: I – жеке өзі х сағ.

1 сағ.

II - у сағ.

Жауабы: 10;15.

42. Екі жұмысшы бір сменада 72 деталь дайындады. Біріншісі еңбек өнімділігін 15 %-ке, екіншісі 25%-ке арттырғаннан кейін бір сменада 86 деталь жасайтын болды. Еңбек өнімділігін арттырғаннан кейін әрқайсысы бір сменада қанша деталь жасайтын болды?

Ш ешуі: I – Х дет.

II – у.

I .

I I.

Жауабы: 46; 40.

43. Екі құрылысшы бірігіп 20 күнде бір жұмыс бітіреді. Егер біріншісі екіншісіне қарағанда жеке-жеке жасаңанда 9 күн ерте бітіретіні белгілі болса, әрқайсысы жеке жасағанда неше күнде бітіреді?

Шешуі: I – х күн

II – х+9 күн

1/х + 1/х+9 =1/20

х =36 , 36+9=45

Жауабы: 36күн, 45 күн

44. 60 тонна жүкті тасу үшін бірнеше машинаға тапсырыс берілген еді. Әрбір машинаға 0,5 тонна кем тиелгендіктен қосымша тағы да 4 машина қажет болды. Алғашқыда неше машинаға тапсырыс берілген еді?

Шешуі: х машина 60 тонна

1 машинаға жүк

Жауабы: 20

45. Саяхатқа шығу үшін ақша жинау керек еді. Егер әр саяхатшы 75 теңгеден өткізсе, барлық шығынға 440 теңге жетпейді, егер әрқайсысы 80 теңгеден өткізсе, онда 440 теңге артылып қалған болар еді. Саяхатқа қанша адам шығады?

Шешуі: х адам

Жауабы: 176.

46. Сыныптағы оқушылардың әрқайсысы бірдей мөлшерде жинаған ақшалардың қосындысы 172 теңге 73 тиын болды. Сыныпта қанша оқушы болған?

Шешуі: х – оқушы

әр оқушы – у теңге

- бөлінгіштік белгісі бойынша шығады.

172,73:23

Жауабы: 23 оқушы

47. Ракета 1 сағаттың ішінде жанармайдың 15%-ін жағады. Егер ракета ұшырылғаннан 1 сағаттан соң ракетада 170 тонна жанармай қалса, жанармайдың бастапқы шамасы қандай болғаны?

Шешуі: 1 сағ. – 15 % жағады.

170 т. қалды

170 – 85 %

Х – 100 %

Жауабы: 200 тонна

48. Бір жылқы мен екі сиырға күн сайын 34 кг шөп беріледі, ал екі жылқы мен бір сиырға 35 кг шөп беріледі. Күн сайын бір жылқыға қанша кг және бір жылқыға қанша кг шөп беріледі?

Шешуі: 1 жылқы – х кг

1 сиыр – у кг

-2∙

Жауабы: 12;11.

49. Белгілі жұмысты бір ұста 12 күнде, сол жұмысты екінші ұста 6 күнде бітіреді. Екі ұста бірігіп сол жұмысты неше күнде бітіреді?

Ш ешуі:

Жауабы: 4 күн.

49. Егістік жерді жеке жыртып шығу үшін бірінші тракторға екіншісіне қарағанда 1 күнге кем уақыт қажет. Осы екі трактор егістік жерді 2 күн бірігіп жыртты, ал сосын егістік жердің қалған бөлігін екінші тарктордың жеке өзі 0,5 күнде жыртып шықты. Жеке-жеке жұмыс істесе тракторлардың әрқайсысы егістік жерді қанша уақытта жыртып бітіре алады?

Ш ешуі: I – х күнде

1 күнде жұмыс жасалады

II – у күнде

Жауабы: 4күн;5күн.

49. Екі кран бірлесіп баржаның жүгін 6 сағатта түсірді. Егер әр кран жеке жұмыс істегенде бірінші екіншісінен 5 сағ. бұрын түсіретін болса. Онда әр кран баржаны қанша уақытты түсіреді?

Ш ешуі: I – х сағ.

1 сағатта

II – у сағ.

;

Жауабы: 10;15.

49. Тапсырманы екі жұмысшы бірігіп 12 күнде бітірер еді. Егер олардың біреуі тапсырманың жартысын орындап, қалған жұмысты екіншісі ауыстыратын болса, барлық жұмыс 25 күнде орындалып бітеді. Әр жұмысшы жеке- жеке бүкіл тапсырманы қанша күнде орындар еді?

Шешуі: 1/х + 1/у =1/12

х/2 + у/2=25

жүйені шешу: х=20, у=30

Жауабы: 20 күн, 30 күн

53. Бір сағатта автоматты станок 240 деталь жасап шығарады. Осы станокты жаңа өңдеуден өткізгеннен кейін ол сағатта 288 деталь жасап шығаратын болды. Станоктің жұмыс жасау өнімділігі қанша процентке артты?

Шешуі: I – 240 д. 240 - 100%

II- 288 д. 288 – Х

Жауабы: 20%

54. 160 метрлік канализациялық жүйені іске қосу үшін ұзындықтары 800мм және 1200мм. 150 керамикалық трубалар пайдаланылды. Осы трубалардың әрқайсысынан қанша алынды?

Шешуі:

I – 800мм - х

II – 1200мм – у

-2∙

,

Жауабы: 50; 100

55. Оқушылардың екі тобы әрқайсысы 24 теңгеден төлеп театрға билет алды. Бірінші топтың әр билеті екінші топтың әр билетінен 20 тиын қымбат болғандықтан, олар екінші топқа қарағанда 10 билетті кем алды. Бірінші топ қанша билет сатып

алды?

Шешуі: бірінші -х, екінші -у, 24-0,2=23,8 екінші топтың билеті

24х=23,8у

х=у-10

жүйені шешу: х=1190, у=1200

Жауабы: 1190 билет

56. Күз-қыс мезгілдерінде көкеністің бағасы 25%-ке артты. Енді оның бағасы жаздыкүнгі бағасына түсу үшін көктемде оның бағасын неше процентке кеміту керек екенін табыңыз.

Шешуі: Жаздыкүні – Х теңге

Күз-қыс:

- 100% 100∙ =80

x - ?

100-80=20

Жауабы: 20%

57. Екі нүкте радиустарының қатынасы 1:6 болатындай шеңберлер бойымен жылжиды. Егер 10 секунд ішінде үлкен шеңбер бойымен қозғалатын нүкте 2 м артық жүрсе және 5 есе кем айналым жасаған болса, онда әрбір нүктенің қозғалыс

жылдамдығын табыңдар.

Шешуі:

I - м/сек (үлкен шеңбер бойымен)

Сонда бірінші нүкте м жол жүреді.

м – екіншісінікі, ол бірінші нүктенің жүрген жолының -не тең.

V₁=1,2 м/сек

V₂=5/6*1,2=1 м/сек

Жауабы: 1,2 м/сек, 1м/сек

58. Массасы 0,5 т целлюлозаның 85 % аз. Құрамында 25% целлюлоза болу үшін қанша суды құрғату керек?

Шешуі: 15% - негізгі масса

Жауабы: 200 кг.

58. Сыйымдылығы 20 литр ыдыс спиртпен толтырылған. Ыдыстан спирттің белгілі бір бөлігін құйып алып, орнына сондай мөлшерде су құйған, пайда болған қоспадан тағы да алғашқыдай мөлшерде сұйық құйылып алынып, орнына тағы да су құйылған, сонда ыдыста 5 л. Таза спирт қалған. Әрбір ретте қанша литр сұйық құйылып алынған?

Шешуі: Әр мезгілде Х % спирт құйылып алынды. Сонда

20л – 50%-ті – 10л

Жауабы: 10л; 50л

60. 90 %-тік суы бар 100 кг массадан 80%-тік судан тұратын масса алу үшін қанша суды құрғату керек?

Шешуі: кг су; 10 кг масса

Х кг- 100%

немесе Х-10 - 80%

Жауабы: 50

61. Құрамында 42 кг мыс бар мыс пен қорғасынның қорытпасына мыстың %-нен 9% аз болатын қорытпа шықты. Алғашқы қорытпадағы қорғасын қанша?

Шешуі: Мыс – 42 кг

Қорғасын – х кг

- жалпы масса

мыс, енді

х = 35,06

Жаубы: 35,06 кг

62. Студент емтиханға дайындық кезінде оқулықтың 120 бетін оқыды. Ал бұл барлық кітаптың75%-ін құрайды. Оқулықта қанша бет бар?

Шешуі: Барлық бет – x

x∙ =120

x=160

Жауабы: 160 бет

63. Кітаптың бірінші томының 60-ның, екінші томының 75-нің құны 270 мың теңгені құрайды. Ал іс жүзінде барлық кітаптарға 237 мың теңге төлейді, өйткені кітаптың бірінші томы 15%-ке, ал екінші томы 10%-ке арзандатылды. Кітаптардың алғашқы бағасы қанша еді?

Шешуі: I – x т;

II – y т;

-2x=-4000

x=2000

64. Құны 225мың теңгелік екі бағалы тері халықаралық аукционда 40% пайдамен сатылды. Егер бірінші теріден 25%, екіншісінен 50% пайда түскен болса, әр терінің жеке бағасы қанша?

Шешуі: I – х мың тенге

II – (225-х) мың

Жауабы: 135000; 90000.

65. Калькулатордың бағасын алдымен 25%ке, ал содан соң тағыда 65 % ке арттырды. Калькулатордың бағасы қанша есе өсті?

Шешуі: Бастапқы бағасы- х

I х+25х/100=5х/4

II 5х/4+65/100∙5х/4=5х/4∙33/20=33х/16=33х/16=2,0625х

Жауабы: 2,0625 есе өсті.

66. Бір сағатта автоматты станок 240 деталь жасап шығарады. Осы станокты жаңа өңдеуден өткізгеннен кейін ол сағатына 288 деталь жасап шығаратын болды. Станоктың жұмыс жасау өтімділігі қанша процентке артты?

Шешуі: 240 —100%

Х=(288∙100)/240=120

288 —?

Жауабы:20%

67. 3 санын үш қосылғышқа жіктеді, екінші қосылғыш біріншіден 25%-ке кем, ал үшіншісі екіншісінен 1-і кем. Бірінші қосылғышты табыңдар?

Шешуі: I – x

II – x- x= x

х+ (3/4)х + ((3/4)х-1) = 3

х = 1,6

Жауабы: 1,6.

68. 15 литр 10 %тік тұз ертінідісіне 5 % тік тұз ертіндісі араластырып, 8% тік ертініді алынды. Қанша литр 5 % тік ертінді қосылған?

Шешуі: 15∙10/100+х∙5/100=8/100∙ (х+15)

150+5х=8х+120; 3х=30 х= 10

Жауабы: 10 л

69. Теңіз суының құрамында массасы бойынша 5 % тұз болды. 15 л теңіз суына, ондағы тұздың концентрациясы 1,5% құрайтын болу үшін, тұщы су құю керек?

Шешуі: 15∙5/100=3/4 кг тұз бар

Онда Х л тұщы су құю керек

(15+х) ∙1,5/100=3/4

15+х=3/4∙100/5

15+х=50

х=35

Жауабы: 35 л.

70. Құрамында никель 5 % және 40% болтаын екі сорт болат сынықтары бар. Құрамында 30 % никель бар 140 т болат алу үшін әр сорттан қанша тонна болта алу керек?

Шешуі: I сорт 5% никел-х_т

II сорт 40% никел- у_т

30 % никел -140т

х+у=140 х+у=140

=>

5/100∙х+40/100∙у=30/100∙140 5х+40у=4200

35у=3500

у=100 т

х=40т

Жауабы: 100т; 40т.

71. Кен 40 % қоспадан тұрады, ол одан балқытылған металда 4 % қоспа бар. 24 тонна кеннен қанша металл алуға болады?

Шешуі: 40% қоспа => 24∙60%/100=24∙3/5=72/5 тонна металл

4% қоспа : 72/5---96%

Х-----100% => х= (72/5∙100)/96= 1440/96=15

Жауабы: 15 т

72. Жүзім кептірілген кезде өзінің массасының 65 % ін жоғалтады. 40 кг таза жүзімнен қанша кг кептірілген жүзім алуға болады?

Шешуі: 40∙35/100=14

Жауабы: 14 кг

73. А, В және С үш ыдыста спирт ерітінділері болды. Құрамындағы спирттің проценттік мөлшері сәйкесінше 10 %, 20 %, 30%. Егер А және В ыдыстарындағыны араластырып жіберсе, онда 14% тік спирт ерітіндісі пайда болады. Үш ыдыстағы ертіндіні араластырғанда онда 50/3 % спирті бар ерітінді пайда болдаы. Егер А және В ыдыстардағыны бірге алғанда спирт 5 л болса, онда әрбір ыдыста қанша спирт болған?

Шешуі: А ыдыста -Х л ерітінді

С ыдыста - У л ертінді болсын

В ыдыста – (5-х) л

Екі теңдеу құрамыз: 0,1х+0,2∙ (5-х)=0,14∙5

Жауабы: 3800;4300.

74. Жұмыс күні 8-ден 7 сағатқа азайтылды. Бұрынғы жалақы 5%-ке өсу үшін еңбек өнімділігін неше процентке көтеру керек?

Шешуі: 8 сағатқа - у теңге алады.

7 сағатқа - т

7 сағатта осынша жалақы алу үшін, бұрынғы жұмыс өнімділігін Х есе арттырамыз.

8 сағ. – у

7х – 1,05у

яғни 20%-ке артады.

Жауабы: 20%.

75. Қоймада 100кг жидек бар еді. Тексере келгенде жидек құрамының 99%-і су екен. Біраз уақыт өткеннен кейін жидектегі су мөлшері 98%-ке дейін азайды. Енді жидек неше кг болды?

Шешуі: 100 кг жидекте 99кг су

1 кг өз салмағы

Х кг – 100%

- 98%

Жауабы: 50 кг.

76. Токарь 3 күн жұмыс істеп, 208 деталь дайындады. Бірінші күні ол нормасын орындап. Екінші күні нормадан 15% асыра орындады, ал үшінші күні екінші күнге қарағанда 10 деталь артық дайындады. Токарь әр күн сайын қанша детальдан дайындады?

Шешуі: I - х

II – х+0,15х

III – х+0,15х+10

Жауабы: 60;69;79.

77. Сауыншы бірінші жылы екі сиырдан барлығы 8100л сүт сауып алды. Келесі жылы бірінші сиырдан алынатын сүттің мөлшері 15%, ал екінші сиырдан сауып алынатын сүттің мөлшері 10%-ке артты. Сондықтан сауыншы екінші жылы осы екі сиырдан 9100л сүт сауып алды. Бірінші жылы сауыншы әр сиырдан неше литрден сүт сауып алды?

Ш ешуі:

0,1х+0,2∙(5-х)+0,3у=(50∙ (5+у))/300

х=3, у=1

Жауабы: 3 л, 2 л, 1л.

78. Көлемі 10 литрлік ыдыста 10л 75 % тік спирт ерітінді бар. Одан бірнеше литрін құйып алып, орнына спирт құйған. Содан кейін тағы сонша литр пайда болған қоспадан құйып алып, орнына спирт құйды. Нәтижесінде ыдыста 84 % тік ерітінді пайда болған. Әрбір кезеңде неше литр спирт құйған?

Шешуі: Әуелде ыдыста – 75/100∙10 л=7,5 л спирт болды7

I ретте Х л ерітінді құйып алды, сонда (7,5-0,75х) лспирт қалды.

Енді ыдсты спиртпен толтырғанда, онда спирт 7,5-0,75х+х=7,5+0,25х болды.

II рет х л ерітінді құйып алынды, ыдыста ((7,5+0,25х) ∙ (10-х))/10 л спирт қалды. Енді ыдысты спиртпен толтырғанда, онда ыдыстағы спирт

х+(((7,5+0,25х) ∙ (10-х))/10)= (10х+75+2,5х-7,5х-0,25х²)/10= (-0,25х²+5х+75)/10;

немесе 8,4 л болды. Теңдеу құрамыз (-0,25х²+5х+75)/10=8,4 => х₁=18 және х₂=2

Сонымен есептің мағынасы бойынша х<0, яғни х=2

Жауабы: 2 л спирттен құйылған

79. Көлемі 20 л ыдыста барлығы 20 л спирт болды. Бірнеше литр спиртті құйып алып және оның орнына су құйған. Енді пайда болған қоспадан тағыда сонша литр құйып алып, орнына су құйылады. Нәтижесінде ыдыста 64 %тік спирт ерітіндісі пайда болған. Ыдыстан бірінші жолы қанша литр спирт құйылып алынған?

Шешуі: I-Хл спирт құйылып алынды, сонда 20-х=20∙ (1-(х/2)) л спирт қалды.

Енді су құйғандай, қалған спирттің үлесі 1-(х/20) болдаы. (көлемі бойынша)

II- Х л ерітіндімен бірге х∙ (1-(х/20) л спирт құйып алынды, сонда ыдыста қалған спирт: 20(1-(х/20))-х∙ (1-(х/20))=(20-х) ∙ (1-(х/20))=20∙ (1-(х/20))² л7

Енді тағыда су құйғанда, ондағы спирттің үлесі (1-(х/20))² немесе 0,64 болды.

Теңдеу құрамыз: (1-(х/20))² = 0,64

х=4

Жауабы: 4 л

80. Алтын мен күмістің екі балқымасы бар. Бір балқымадағы бұл металдардың мөлшері 2:3 қатынасындай да, ал екінші 3:7 қатынасындай. Алтын мен күміс 5:11 қатынасында болатындай 8 кг жаңа балқыма шығарып алу үшін әр балқымадан қанша алу керек?

Шешуі: I – A-2x II – A-3y

K-3x K-7y

Сонда

81. 39 г тұзы бар ерітіндіге 1000 г су құйылды, сондықтан тұздың концентрациясы 10%-ке азайды. Ерітіндідегі тұздың алғашқы проценттік концентрациясын табыңдар.

Шешуі: (39 / ((W+1000)) * 100 = х-10

х = 14%

Жауабы: 14.

82. Тауардың бағасын алдымен 20%, ал одан кейін жаңа бағасын тағы да 25% кемітті. Тауардың бастапқы бағасын барлығы неше процентке кеміткен?

Шешуі: Бастапқы баға – х

I -

II -

Жауабы: 40% кеміген.

83. Жоспар бойынша кооператив күніне 40 га жерге астық себуі керек еді. Алайда кооператорлар әр күні жоспарын 30%-ке артық орындады, сондықтан жұмысты уақытынан 2 күн бұрын бітірді және жоспардағыдан 4 га артық септі. Кооператив неше гектар жерге егін екті

Шешуі: Барлығы Х га

Күніне – 40 га барлығы күн

Енді: әр күн - га

га жерге егін септі

күн жұмсады

2 күн бұрын бітірді:

(жоспар бойынша)

Жауабы: 360 га.

1. Цистернаға 38 л бензин құйғаннан соң, цистернаның 5%- нің толмағаны байқалады. Цистерна толық толтырылуы үшін қанша бензин құйылуы керек?

Ш ешуі: 38л – 95 %

Х – 100 %

Жауабы: 2л.

85. Зауытқа белгілі мерзімге 800 деталь жасау тапсырылған. График бойынша жүмыс істеп зауыт тапсырыстың 25%-ін орындады. Бұдан соң әр күні жоспардан 100 деталь артық орындап, тапсырысты мерзімінен екі күн бұрын бітірді. Зауыт тапсырысты неше күнде орындады?

Шешуі:

Барлығы 8000 деталь

Әр күні – х деталь

Бастапқы жоспар бойынша зауыт y күнде орындауы керек: x *y = 8000

Алғашында 25%-ы орындалды, яғни 2000 деталь үшін кеткен күн саны: 2000/x

Қалған 6000 детальды (x + 100) жылдамдықпен жасап, (y - 2) күнде орындады:

(x + 100) * (y - 2) = 6000

Екі теңдеуден құралған жүйе:

x * y = 8000

(x + 100) *(y - 2) = 6000

Осы жүйені шешсек, y = 39 күн шығады.

Жауабы: Зауыт тапсырманы 39 күнде орындады.

86. Бригада қаңтарда 62 деталь шығарады, ал келесі айлардың әрңайсысында алдындағысынан 14 деталь артық шығарып отырады. Маусымда шығарған детальдар санын анықтаңыз.

Шешуі: маусым – VI ай

Арифметикалық прогрессия

а₁= 62; d=14

а₆ = а₁+5d= 62+5∙14=62+70 =132

Жауабы: 132 деталь.

87. Тасбақа өзенге дейін 4 сағат жорғалап барды, сол 4 сағаттың әрбір келесі сағатында алдында жүрген жолындағыдан екі есе аз жол жорғалап отырды. Егер оның барлық жүрілген жолы 90 м болса, онда алғашқы бірінші сағатында қанша жол жүргенін табыңыз.

Шешуі: t = 4 сағ.

1сағ. – х м жүреді десек, q=

S_n= 90 м

S_n= геометриялық прогрессия

ð 90= -2х∙

Жауабы: 48 м.

88. Ағаш көшеттің биіктігі 1,3 м. Екінші жылы көшет 70% ұзарды, ол әрі қарай жыл сайын өткен жылғы өсіміне қарағанда 70%-ке ұзарып отырады. Ағаш қандай биіктікке дейін өсуі мүмкін?

Шешуі: шектеусіз кемімелі геометриялық прогрессия

;

Жауабы: 4,33м

89.Фотоаппараттың бағасы екі рет бірдей процентке арзандатылғанда оның бағасы 300 теңгеден 192 теңгеге түсті. Фотоаппараттың бағасы екі ретінде де неше неше процентке арзандатылған?

Шешуі:

Фотоаппарат құны екі ретінде де Х %-ке кеміді десек, онда ол бірінші рет аразандатылғанда

300∙ (1-х/100) болды.

Екіші ретінде 300∙ (1-х/100)²=192 болды.

(1-х/100) ² =192/300

(1-х/100) ² =16/25 => 1-х/100=4/5

х/100=1/5; х=20%

Жауабы: х= 20%

90. Құс фермасында қаздар үйрекке қарағанда 2 есе көп еді. Біраз уақыттан кейін қаздар саны 20 %-ке, ал үйрек саны 30%-ке өсті. Сонда қаздар мен үйректер саны барлығы 8400-ге өскені анықталды. Құс фермасында қаздардың және үйректердің саны қанша болды?

Шешуі: Үйрек – Х

Қаз – 2Х

Жауабы: 15600 үйрек; 28800 қаз.

91. Пісірген кезде ет өз салмағының 35 %-ін жоғалтады. 520 грамм пісірілген ет алу үшін қанша шикі ет қажет?

Шешуі: 35% жоғалтады

520 – 65 %

Х – 100 %

Жауабы: 800грамм.

92. Жоспар бойынша кооператив күніне 40 га жерге астық себуі керек еді. Алайда кооператорлар әр күні 30%-ке артық орындады, сондықтан жұмысты уақытынан 2 күн бұрын бітірді және жоспардағыдан 4 га артық септі. Кооператив неше гектар жерге егін екті?

Белгілеулер:

• Жоспарланған жұмыс күндерін x деп алайық.

• Барлық жер көлемі: 40x гектар

• Артық себілген жер: 40x + 4 гектар

• Жаңа жұмыс уақыты: x - 2 күн

• Жаңа қарқынмен егілген жер: 52(x - 2)

Теңдеу: 52(x - 2) = 40x + 4

Шешуі: 52x - 104 = 40x + 4

52x - 40x = 104 + 4

12x = 108

x = 9 40*9+4=364

Жауабы: 364 га

Қорытынды

Бұл әдістемелік құрал мәтінді есептерді шешудің негізгі әдістері мен тәсілдерін қарастырады. Оқушылардың математикалық сауаттылығын, логикалық ойлау қабілетін дамытуға бағытталған тапсырмалар ұсынылып, олардың есептерді шешу барысында жүйелі түрде жұмыс істеу дағдылары қалыптасады.

Жұмыстың негізгі нәтижелері:

1.Мәтінді есептерді шешу дағдылары жетілдірілді:

*Оқушылар есептің шартын мұқият талдау, қажетті математикалық моделін құру және оны шешу жолдарын анықтау әдістерін меңгерді.

*Теңдеулер, теңсіздіктер және пропорциялар арқылы есептерді шешу дағдылары

дамыды.

*Есептерді шешу барысында тиімді математикалық амалдарды қолдануға үйренді.

2.Әртүрлі есептерді шешу әдістері көрсетілді:

*Алгебралық, арифметикалық және графикалық тәсілдерді пайдалану.

*Бірнеше тәсілмен шығаруға болатын есептерге мысалдар келтіріліп, олардың

тиімді шешім жолдары салыстырылды.

*Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді қолдану арқылы күрделі мәтінді

есептерді шешу жолдары қарастырылды.

3.Практикалық маңызы:

*Мәтінді есептерді шешу арқылы оқушылар тек теориялық білімін ғана емес, оны

қолдану қабілетін де дамытады.

*ҰБТ, олимпиадалар және басқа да білім байқауларына дайындық барысында

тиімді стратегиялар қолданылады.

*Күнделікті өмірде кездесетін сандық және логикалық есептерді шешу дағдылары

қалыптасады.

*Экономика, инженерия, физика және басқа да қолданбалы ғылымдарда

математикалық есептеулерді жүргізу қабілеті жетілдіріледі.

Қорытынды ой:

Мәтінді есептерді шешу – математиканың маңызды бөлігі. Бұл әдістемелік құрал оқушылардың ойлау қабілетін дамытып, есеп шығару машығын жетілдіруге көмектеседі. Оқушылар есептердің құрылымын дұрыс түсініп, шешімін жүйелі түрде табуды үйренсе, олардың логикалық және аналитикалық ойлау қабілеттері дамиды. Бұл дағдылар тек математикалық есептерді шешуде ғана емес, күнделікті өмірде де тиімді шешім қабылдауға септігін тигізеді.

Келешекте әдістемелік құралды одан әрі толықтыру үшін оқушылардың кері байланысын ескере отырып, есептердің күрделілігін арттыру, қосымша тест тапсырмаларын енгізу және заманауи цифрлық ресурстарды қолдану мүмкіндігін қарастыру керек.