Натурал санның бөлінгіштігі

ҚР ШҒА ОҚБ 48 ғылыми-практикалық конференциясы

Секция: «Математика»

Тақырыбы: Натурал сандардың бөлінгіштігі

Жобаның авторы: Ескелді Жанарыс Бүркітұлы

6-сынып оқушысы

«Қызыларай жалпы орта

білім беретін мектеп»КММ-сі

Ақтоғай ауданы, Қызыларай ауылы

Ғылыми жетекші: Смайлова Ботагоз Жумабековна

Екінші санатты математика мұғалімі

Мақсаты: Натурал сандар бөлінгіштігі мен құрама сандардың жай

көбейткіштерге жіктелуін логикалық ,олимпиадалық есептер

шығаруға, теңбе-теңдікті дәлелдеуге қолдану.

Міндеттері: 1. Натурал сандар бөлінгіштігі белгілерін білу.

2.Жұп және тақ сандардың формуламен берілуін білу.

3. Натурал сандар тізбегіндегі қатар тұрған мүшелерді

формуламен жаза білу.

4. есептер шығаруға, дәлелдеулерге теоремаларды қолдана білу.

Болжам: Натурал сандар жиынындағы түрлендірулер бүтін сандарға да

қолданылатын болғандықтан, дәлелдеулерге, логикалық

есептерлерге пайдалану арқылы танымдық қабілет дамиды.

Күтілетін нәтиже : Егер сандар теориясын терең зерттеп,тиянақты меңгерсе,

онда ой жүйесі кемел, қабілеті мол,іскер,

белсенді,Тәуелсіз Қазақстанның дамуына үлес қосатын

тұлға қалыптасады.

1

Кіріспе

Натурал сандар өзінің қазіргі түріне бірден келген жоқ. Мысалы,сандар әуелде ағашқа кертіп белгі салу арқылы жазылса, келе-келе сызықшамен белгілеу тәсілі шықты.Бұдан соң сандар суреттермен, содан кейін әріптермен таңбаланды.Ақырында V-VII ғаырларда Үндістанда осы күндеріиқолданып жүрген цифрлар пайда болды.Бұл цифрлар , яғни санаудың ондық жүйесі дүние жүзінде Әл-Хорезмидің арифметикасы арқылы таралды.Орта Азиялық бұл ғалымның еңбегі араб тілінде жазылғандықтан, үнділік цифрлар-араб цифрлары деп аталып кетті.

Ал арифметикалық белгілеулер мен таңбалар, сандардың атаулары, оларды кластар мен разрядтарға топтау XVI ғасырдан бастап Еуропа ғалымдарының еңбектерінде дамытылды.

Заттарды санауда қолданылатын сандар натурал сандар деп аталады.

Натурал сандар бөлгінгіштігіне қарай үш топқа бөлінеді.

1. 1-ге және өзіне ғана бөлінетін санды жай сан деп атайды. Сонда жай санның екі ғана бөлгіші болады.Олар : 1 және сол санның өзі.

Мысалы, 13 санның бөлгіштері : 1 және 13.

101 санның бөлгіштері : 1 және 101.

Ең кіші жай сан -2 саны. 2 санынан басқа жай сандардың барлығы тақ сандар. Жай сандар шексіз көп болады.

2. Екіден көп бөлгіштері бар болатын сандарды құрама сандар деп атайды. 35,26,18 сандары құрама сандар.

Мысалы, 8- саны құрама сан,бөлгіштері : 1,2,4,8.

24 саны-құрама сан, бөлгіштері: 1,2,3,4,6,8,12,24.

3. Натурал 1 санының бір ғана бөлгіші бар, ол сол өзі -1 саны.Ол жай сандар тобына да, құрама сандарына да жатпайды.

Жазылуы жұп цифрлармен аяқталатын барлық натурал сандар 2-ге бөлінеді,егер санның жазылуы тақ цифрлармен аяқталса, онда ол 2-ге бөлінбейді.

Жазылуы 0 цифрыменнемесе 5 цифрымен аяқталатын барлық натурал сандар 5-ге бөлінеді,Егер санның жазылуы 0 цифрлармен аяқталатын барлық натурал сандар 10-ға бөлінеді.

Берілген санның цифрларының қосындысы 3-ке бөлінсе, онда ол санның өзі де 3-ке бөлінеді.

Берілген санның цифрларының қосындысы 9-ға бөлінсе, онда ол санның өзі де 9-ға бөлінеді.

2

Егер қосылғыштардың әрқайсысы жеке-жеке берілген натурал санға бөлінсе, онда қосынды да сол санға бөлінеді. Қосылғыштар берілген

натурал санға жеке-жеке қалдықпен бөлінген жағдайда қалдықтардың қосындысы сол санға бөлінсе, онда қосынды да сол санға бөлінеді.

Егер көбейткіштердің біреуі берілген санға бөлінсе, онда көбейтінді де сол санға бөлінеді.

Теорема 1. Бірден артық кез келген натурал сан әрбір көбейткіші жай сан болатын көбейтінді болып табылады.

Теорема 2. Жай сан р-нің тек натурал бөлгіші 1және р болады.

Теорема 3. Натурал санның жай сан болуы үшін,оның дәлме-дәл екі натурал бөлгіші болуы қажетті және жеткілікті.

Теорема 4.Егер а және b натурал сандар және аb көбейтіндісі жай сан р-ге бөлінетін болса, онда а және сандарының ең болмағанда р-ге бөлінеді.

Құрама сандарды жай сандардың көбейтіндісі түрінде жазуды оларды жай көбейткіштерге жіктеу деп атайды.Жай көбейткіштер қатары тек жай сандардан тұрады.

Құрама санды жай көбейткіштерге жіктеудің екі тәсілі бар.

1-тәсілі.Құрама санды мүмкін болатын бөлгіштердің көбейтіндісі түрінде жазып, бөлгіштердің құрамында құрама сан болса, оны жай сандар көбейтіндісіне жіктеу.

Мысалы: 210 = 21*10 = (3*7)*(2*5)

210 = 35*6 = (5*7)*(2*3) = 2*3*5*7

210 210 210

21 10 3 70 35 6

3 7 5 2 7 10 7 5 2 3

5 2

Құрама сандарды осылайша жіктеуге болады.

2-тәсіл. Сандардың бөлінгіштігі бойынша жай сандар кестесіндегі реттілікті сақтай отырып, берілген құрама сандыжай көбейткіштерге жіктейміз. Мұны көбінесе баған түрінде жіктеу деп атаймыз.

3

М ысалы, 60 2

30 2

15 3

5 5

1

Сандардың жай көбейткішке жіктелуі мен бөлінгіштік қасиеттерін олимпиадалық, логикалық есептерді шешуге пайдаланамыз.

Мысалы: Есеп.Үсеннің 39 көк ,Асанның 52 сары асығы бар,ал Серікте Үсеннің асықтарынан 26 асық көп және боялмаған.олар асықтарын өздері мен достарына тең бөлді.Неше бала әр түстен неше асықтан алды?

Шешуі: 1) 39+52+65 = 156

2) 39 52 65

ЕҮОБ (39,52,65) = 13

156 = 12*13

156 асықты 13 бала 12 асықтан бөлісті. Әр бала 3 көк асық, 4 сары, 5 боялмаған асықтан алды.

Тексерілуі: 4+3+5 = 12

65+39+52 = 156

156/ 13 = 12

Сонда натурал санды жай көбейткішке жіктеу, ортақ бөлгішін табу арқылы логикалық көптеген есептер шешімін табуға болады.

1-Есеп. 3^4k саны қандай цифрмен аяқталады ? Мұндағы k-натурал сан.

Шешуі : (3⁴) ^k = 81

k=1 болса 81¹ = 81

k=2 болса 81² = 6561

k=3 болса 81³ = 531441

k=4 болса 81⁴ = 43046721

Ендеше , 3^4k саны 1 цифрымен аяқталады.

2-Есеп. Кез келген натурал п үшін 10^п -1 саны 9-ға еселік екенін дәлелде.

Шешуі: 10^п -1 = 9 ...9 = 9*1...1 9 және 1сандары п рет жазылады.

Себебі п = 2 болса 10² -1 = (10-1)(10+1) = 9*11

п = 3 болса 10³ -1 = (10-1)(10² 10+1)= 9*111

п = 4 болса 10⁴ -1 = (10² )²-1 = (10² -1) (10² +1) = 99*101= 9*11*101 = 9*1111

10^п -1 саны 9 -ға еселік екенін дәлелденді.

4

3-Есеп. Тізбектес үш натурал санның көбейтіндісіне ондағы ортаңғы көбейткішті қосқанда, осы ортаңғы санның кубы шығатынын көрсетіңдер.

Шешуі : (п-1)п (п+1)+п = (п² -1)п+п = п³ –п + п = п³

4-Есеп. 4⁹+4⁸ -4⁷ қосындысы 19-ға бөлінетінін дәлелде.

Шешуі : 4⁹+4⁸ -4⁷ 4⁷ (4² +4-1) 19*4⁷

Ендеше 4⁹+4⁸ -4⁷ қосындысы 19-ға бөлінеді.

5-есеп. N-нің барлық бүтін мәндерінде п(п-1)-(п+3)(п+2) өрнегі 6-ға бөлінетінін көрсетіңдер.

Шешуі : п(п-1)-(п+3)(п+2) = п² –п-п² -2п-3п-6 = -6п-6 = -6 (п+1)

6-Есеп. 18⁶+18⁵ қосындысы 19-ға бөлінетінін дәлелде.

Шешуі: 18⁶+18⁵ = 18⁵ (18+1) = 18⁵ *19

7-Есеп. 4-тің тізбектес үш натурал көрсеткішті дәрежелерінің қосындысы 84-ке бөлінетінін дәлелдеңдер.

Шешуі: 4^п-1 +4^п +4^п+1 = 4^п +4*4^п +16*4^п = 4^п (1+4+16) = 4^п *21 = 84*4^п-1

8-Есеп. Жай сандардың көбейтіндісі құрама сан екенін дәлелде.

Шешуі: (2п+1)(2п-1) = 4п² -1

п= 2 болса 4*4-1= 15

п =3 болса 4*9-1 = 35

п =4 болса 4*16-1= 63

п= 5 болса 4*25-1= 99

п= 6 болса 4*36-1 = 143

9-Есеп. Балалар 93 алма,87 алмұрт және 129 өрік теріп алды.Олар алмалар санын,алмұрттар санын және өріктер санын бірдей етіп бөліп алды. Жеміс жинауға неге беле қатысты?

Шешуі: 93+87+129 = 489

93 = 3*31 87 = 3*29 129 = 3*43

Жауабы: Жеміс жинауға 3 бала қатысты

Қорыта келе Елбасы Н.Ә.Назарбаев Қазақстанның 2030 жылға дейінгі

стратегиялық даму бағдарламасында еліміз болышағы техникалық

өрлеуге тікелей байланысты екенін көрсетіп бергендіктен,

математика- ғылымдардың іргетасы ретінде қарап, ізденістерді одан әрі жетілдіре беруіміз қажет.

5

Пайдаланған әдебиеттер:

1.Математиканың даму тарихы. О.А.Жәутіков.

2. «Математика және логика» журналдары.

3. Жанды математика. Я.И.Перельман .Алматы,1978ж.

4. Жай сандар туралы білетіндеріміз бен білмейтіндеріміз.

В.Серпинский.Алматы ,1972ж

5. «Математика және физика» журналдары.

6. Математика және математиктер туралы әңгімелер.М.Ө.Искаков.

С.Н.Назаров. Алматы,1970ж

7.Бәрі де сандар туралы Джонни Болл. Алматы кітап,2006ж.

8. Школьные математические олимпиады.Н.Х.Агаханов. Москва ,2003г

ҚР ШҒА ОҚБ 48 ғылыми-практикалық конференциясы

Секция: «Математика»

Тақырыбы: Ұлттық мазмұнды есептер

Жобаның авторы: Аққан Бекет Жанметұлы

7-сынып оқушысы

«Қызыларай жалпы орта

білім беретін мектеп»КММ-сі

Ақтоғай ауданы, Қызыларай ауылы

Ғылыми жетекші: Смайлова Ботагоз Жумабековна

Екінші санатты математика мұғалімі

Кіріспе

Ұлттық мазмұнды есептер ата-бабамыздан бізге жеткен баға жетпес байлығымыз,өткен күн мен бүгінгі өмірді байланыстырып,салыстыратын асыл қазынамыз.

Қиын жұмбақтың шешуін табу адамды қандай қанағаттану сезіміне бөленсе, қиын есептің шешуін тапқандағы адамның сезімдері одан асып түспесе кем түспейді.

Математика тарихына көз жүгірте отырып, оның ғалымдардың бос қиялы емес,тікелей өмірдің қажеттілігінен туындаған ғылым екеніне көз жеткізуге болады. Математика оқулығында тарихи мәліметтердің, оның ішінде қазақтың ұлттық есептердің көп қолданылмауы өз зерттеуімізді, осы арнада зерттеуімізге түрткі болған ғылыми жобаның тақырыбы «ұлттық мазмұнды есептер» деп таңдауымызға негіз болды.

Зерттеудің мақсаты: «Ұлттық мазмұнды есептер» тақырыбымен танысып оның қазіргі кездегі қолданысын зерттеу.

Зерттеудің міндеті: Алған білімізді жалғастыра отырып,оны қолдану мақсатында математикалық білімді нақтылы қалыптастыру.

Зерттеудің нысаны: Халықтың педагогикалық математикалық қолданысын ашу.

Зерттеудің проблемасы: . Математика оқулығында қазақтың ұлттық есептердің көп қолданылмауы.

Болжам: «Ұлттық мазмұнды есептерін» күнделікті сабақтарда көбірек қолданса,математика оқулығының ұлттық тәлім-тәрбие беруде маңызы кеңейе түсер еді.

Зерттеудің кезеңдері:

• Зерттеу материалдарын жинақтау :

• Есептердің шешңмдерін табу:

• Зерттеудің нәтижелерін қорытындылау.

Зерттеу материалдарын жинақтау барысында математикадан түрлі есеп жинақтары, мерзімді баспасөздерде жарияланып тұратын ежелгі есептер сараланды. Зерттеулердің екінші кезеңінде жинақталған математикалық есептердің ішінен зерттеуге қажетті мәліметтер сұрыпталды.Сұрыпталған есептердің шешімдері табылды.Зерттеу нәтижелері қағаз бетіне түсірілді.

Зерттеу барысында жинақтау,салыстыру, талдау (анализ) және синтез тәрізді зерттеу әдістері пайдаланады.

Зерттеудің жаңалығы: Зерттеу жұмысында бұрын кездеспеген қызықты логикалық есептер ұлттық мазмұнды есептеріне талдау жасау арқылы сұрыпталынып алынған.

1

Ғылыми жобамды жазу барысында қазақтың байырғы есептерінің,қара есептерінің қыр-сырымен таныстым. Менің негізгі мақсатым -сабақтар көлеміндегі тақырыпты игеру мен қатар кең ауқымды есептерді шешуді зерттеу. Бұл тұғырда зерттелген еңбегімді пәнге деген қызығушылығым артып, оқулықтарды пайдалана отырып, ізденуімнің арқасында өзімнің білімімді толықтырдым.

Ұлттық мазмұнды танымдық ,дамытушылық, логикалық есептерді шығару үшін төмендегідей зерттеу жүргіземін.

1. Есептің шартымен танысып,оны элементар шарттарға ажыратып, қандай талаптар қойылғанын анықтап есепке толық талдау жасау:

2. Берілген есепті схема түрінде жазу:

3. Есепті шығару тәсілін іздеу:

4. Табылған тәсіл бойынша есепті шығару:

5. Есептің нәтижесін тексеру:

6. Есепті зерттеу:

7. Есептің жауабын тұжырымдау.

Ұлттық мазмұнды есептерді шығару алгоритмі

1.Есептің мәтінін талдау.

2.Белгісіз шамаларды анықтау.

3.Теңдеу құру.

4. Теңдеу шешу.

5. Теңдеу шешімдерін зерттеу.

6. Есепті тексеру.

7.Есептің толық жауабын жазу, шарттарын орындау қажет.

Қазақ халықтарының есептері.

1. «Қаз бен түлкі»есебі.

«Түлкісінің аярлыққа бермейтін дес,

Көрейін сенде қанша ақыл ес.

Балапан ,көжек санын өзің тапшы

Аяқтары 94, басы 35»

Теңдеу арқылы шешеміз.

Шешуі: 1)Есептің мәтін түсіну .Түлкінің айлакерлігі, қаздың

ақылдылығы ,балапанда 2 аяқ, көжекте-4 аяқ.

2) Теңдеу құру : Балапан саны - х

Көжек саны- у

Балапанда 2 аяқ-2х

Көжекте 4 аяқ-4у.

Сонда теңдеулер жүйесі шығады. 2

3) Теңдеулер жүйесін шешу.

4) Теңдеулер жүйесінің шешімдерін зерттеу:

Балапан саны - 23

Көжек саны- 12

Бастарының саны-23+12 = 35

Аяқтарының саны- 2*23+4*12= 46+48 = 94

Жауабы: 23 балапан,12 көжек.

2. «Барлығы қанша қарға?» есебі.

Келеді ұшып екі қарға,

Топ достарын ертіп талға

Болды елу әлгі жиын

Санағанда демей қиын.

Болмаңыздар әбігер,

Шешімі табылар бәрі бір .

Айтпай есеп шарты кім,

Теңдеу құру тәртібін?

Есептің шартын талдау:

Достар саны –х

Ұшып келген қарға -2

Барлығы -50

Теңдеу құру: 2-х =50

х = 48

Жауабы: 48 қарға

3 «Кетті бірге нешеуі»есебі.

Кездесіп бір топ аңменен ,

Болды 30 бас малменен.

Олар кетті қоштасып,

Үш түлкімен достасып.

Теңдеуді ойлап құрыңыз,

Мал санын айта тұрыңыз.

Есептің шартын талдау:

Барлығы -30 бас

3

Кеткені-3 бас

Қалғаны-х бас мал

Теңдеу құру: х+3 = 30

х = 27

Жауабы: 27 бас мал

4«Әр түліктен нешеден?»

Жеті жасар баласын есепке үйреткісі келген әкесі бір күні:

-Енді жеті жылда түйеміз екі есе , жылқымыз үш, сиырымыз төрт, қойымыз бес есе көбейтсе ,онда бәрін қосқандағы саны сенің қазіргі жасыңнан екі есе көп болады екен,-дейді.

-Ол кезде біздің үйдегі жылқының ,түйенің ,сиырдың ,қойдың әрқайсысы қаншадан болады,-деп баласы әкесіне қарайды.Оны білу қиын емес. Шешуін өзің тап деп әкесі баласын ойландырып тастады. Көп өтпей-ақ, бала әкесінің сұрағының жауабын айтады.

Бұл үйдің түйесінің, жылқысының, сиырының, қойының саны қанша?

Шешуі: Бұл үйдің бір түйе,бір жылқы,бір сиыр,бір қойы болған.Жеті жылдан кейін екі түйе, үш жылқы,төрт сиыр, бес қой болады.

5«Салт аттылар»

Айдала.Көзге түрсе көрінбейтін айсыз түн.Суыт жүрісті әке мен бала аяң жүріспен келеді.Екі ауылдың арасы ет пісірімдік жер. Кенет жылт еткен сәуле сөніп –өшті . Кім бірінші көреді әкесі ме,әлде баласы ма?

Жауабы: Ешқайсысы көрмейді,себебі сөніп-өшті деген сөзге мән берсек, сәуле сөнгеннен кейін жанған жоқ,өшіп қалды.

6.«Балық»

Балықтың ұзындығы 30 қарыс. Басының тұрқы құйрығының ұзындығына тең. Егер басы екі есе ұзарса, онда басы мен құйрығының ұзындығының қосындысы қара кесек етінің ұзындығына тең болар еді.

Балық басының,құйрығының және қара етінің ұзындығын табу керек.

Шешуі: Балық басының ұзындығын құйрығына тең деп, екеуінің қосындысы 2х десек, есептің бірінші шарты бойыша, балықтың қара кесек еті 30-2х болады.

есептің екінші шарты бойыша:

Балықтың жалпы ұзындығы -2х+х.

Демек ,

30-2х = 2х+х

3х+2х =30

5х = 30

х = 6

Жауабы: 6(қарыс) 4

4. «Табақ тарту» есебі

Бір меймандос адамның үйіне достары келіпті. Оларға шай беріпті. Шайдан кейін қазанға ет салынады. Тамақ пісіп. Табақ тартыларда үй йесі меймандарды көзбен шолып шықты да, ойланып қалды.Ошақ басында жүрген жұбайына келіп: Екеу ара бір табақ тартсақ, бір табақ жетпей қалады.Үшеу ара бір табақ тартсақ, бір табақ артылып қалады, енді не істесек екен? –дейді .Бұл үйдің қонағы қанша? Табақ саны қанша?

Шешуі: х-қонақ, у-табақ

3у-3 =2у+2

3у-2у = 3+2

У =5(табақ)

Х =2у+2 = 2*5+2 12

Жауабы: 5табақ, 12 қонақ.

7.Атасы мен немерелері

Атасы немерелеріне сақтап қойған асығын бөліп бергісі келді.Оларға жетіден берсе, асықтың екеуі артық қалады. Ал сегізден берсе,асықтың біреуі жетпей қалады.Атаның неше немересі бар,атаның асығы бар?

Шешуі: х деп бүкіл асық санын белгілесек, есеп теңдеу шешуге келеді. Мұны шешсек,х = 23 .Енді 23:7 = 3 (бала) және 2 асық қалады. 23:8 = 3 (бала) және 1асық жетпейді.

Жауабы: Атаның үш немересі,23 асығы бар.

8.Жыл қайыру.

-Нешедесің ?-деді Тәттімбет күйшіге жігіт ағасы.

-4жылқы,тоқтымын,-деді Тәтімбет күйші.

Тәттімбет нешеде?

Жауабы: Тәтімбет күйші төрт жылқы деу арқылы 2 жас қос деді,яғни 49+2 = 51 .

5

Қортынды.

Ұлттық мазмұнды есептерді шешуде оқытушы оқушының ойлау іс-әрекетін жандандыруға арналған әдістемелік ретінде қолданса болады.

Ұлттық мазмұнды есептерді шығару ойлау қабілетін дамытып,логиканы жетілдіріп, тез ойлауға ,алғырлыққа,тапқырлыққа тәрбиелеп, халқымыздың өткеніне көз жібертеді .Ұлттық мазмұнды танымдық, дамытушыылық ,логикалық есептерді шығаруда халықтық педагогика элементтерін қолдану әдістері:

Қызықты ертегі математикалық

с иқырлар есептер айтыстар

о йлан математикалық тоғыз құмалақ

тап есептер ойыны

халық санамақтар викториналар

есептер

Халқымыздың осындай асыл мұраларын математика оқулығында көбірек қолданса , өскелең ұрпақтың математикалық біліктілігі қалыптасып, оқушылардың танымына жол ашады.

6

Пайдаланған әдебиеттер:

1.Оқытуда халық педагогикасының мұрасын қолдану. Г.Кертаева.

2. «Математика және логика» журналдары.

3. Қазақ халқының салт-дәстүрлері.Апматы : Жазушы ,1987.

4. «Математика және физика» журналдары.

6. Математика және математиктер туралы әңгімелер.М.Ө.Искаков.

С.Н.Назаров. Алматы,1970ж

7. Школьные математические олимпиады.Н.Х.Агаханов. Москва ,2003г