Олимпиада есептері

Математикадан Республикалық олимпиаданың аудандық кезеңі

2012 – 2013 оқу жылы.

Құрметті оқырман! Сіздерге олимпиада есеперін шешудін басқа әдемі (оригинальное решение) әрі қысқа жолдары белгілі болса, ой бөлісулеріңізді сұраймын. Пікірлеріңізді сайт бетінде қалдыруларыңызға немесе amangeldi.sadykov@mail.ru эл. адресіне жолдауларыңызға болады

8 сынып

І тур

1. есеп.1 + 2 + 2² + 2³ + ∙∙∙ + 2⁷⁷ саны 7 – ге қалдықсыз бөліне ме?

Шешуі: Мына өте әдемі заңдылықты (формуланы) жадыңда сақтаған абзал.

a⁰ + а¹ + а² + а³ +∙∙∙ + аⁿ = Осы формула негізінде қосындыны оңай табуға болады 1 + 2 + 2² + 2³ + ∙∙∙ + 2⁷⁷ = = 2⁷⁸ – 1 , 2⁷⁸ – 1 = (2³⁹ -1) (2³⁹ +1) =

= (2³(2³⁶ – 1) + 7) (2³⁹ +1) 2³⁶ – 1= (2¹⁸ -1) (2¹⁸ +1), 2¹⁸ -1 = (2⁹ -1) (2⁹ +1) =

=511(2⁹ +1), 511 саны 7 –ге қалдықсыз бөлінгендіктен 2³(2³⁶ – 1) + 7 саны, яғни алғашқы сан 7 –ге қалдықсыз бөлінеді. Жауабы: 7 – ге бөлінеді

2 есеп. Нақты а,b, с сандары (а + b +с )² = 3(ab + bc + ca) теңдігін қанағаттандыратындығы белгілі. Онда a=b=c екенін дәлелдеңдер

Шешуі: (а + b +с )² = а² + b² +с²+ 2(ab + bc + ca) ⇒ а² + b² +с²+ 2(ab + bc + +ca) = 3(ab + bc + ca), яғни а² + b² +с²=ab + bc + ca, демек a=b=c

8 сынып. ІІ тур

4. Қанша екі орынды санның цифрларының қосындысы бүтін санның квадраты болады?

Шешуі: а+в = 1², а+в = 2², а+в = 3², а+в = 4², барлығы 17 жағдай

Жауабы: 10,13,18,22,27,31,36,40,45, 54,63,72,81,79,88,90,97

5) Сегізінші сыныптың бір оқушысы кез – келген квадратты одан кіші он квадратқа бөлшектей аламын дейді (кіші квадраттың ішінде өлшемдері тең болатын квадраттар кездесуі мүмкін). Ол қателесіп тұрған жоқ па?

Шешуі: Квадратты одан кіші квадраттарға келесі түрде бөлейік.

Квадрат өзінен кіші он квадратқа бөлінсін. Оқушы қателесіп тұрған жоқ.

6. Егер, x + y = 4 және x² + y² = 10 екені белгілі болса, x⁴ + y⁴ өрнегінің мәнін табыңдар

Шешуі: x²+2xy + y² = 16 немесе 2xy + 10 = 16⇒ xy =3, x⁴ + y⁴ = 100 – 2x²y².

x⁴ + y⁴ = 100 –2∙9, x⁴ + y⁴ =82. Жауабы: 82

9 сынып. І тур

1 есеп. А = және сандарын салыстырыңдар.

Шешуі: >1, = а деп белгілейік. Сонда А – В айырмасы

болғандықтан , ендеше А > В

2. есеп санының ондық жазбасында 9 цифры қанша рет кездеседі?

Шешуі: 9³ (10 – 1)³ = 999 - 3∙9∙10 = 999 – 270 = 729

99³ (10² – 1)³ = 999999 - 3∙99∙10² =999999 - 29700 = 970299

9 99³ = (10³ – 1)³ = 999999999 – 3∙999∙10³ = 999999999 – 2997000 = 99 7002 999

4 рет

2 рет

2 рет

3 рет

3 рет

3 рет

9

300 рет

99 рет

101 рет

100 рет

100 рет

99 рет

Жауабы:9 цифры 199 рет кездеседі

3. есеп. Егер АВС үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі ВД диагоналында жатса, онда АВСД ромб болатыны шын ба?

Жауабы: а) АВСД – ромб. ВД диагоналы АВС үшбұрышындағы В бұрышының биссектрисасы.

ә) АВСД – ромб, өйткені ВД диагоналы орта перпендикуляр.

9 сынып. ІІ тур

4. Егер бүтін x, y сандары үшін x²+3xy + y² өрнегінің мәні 25 –ке бөлінетін болса, онда x пен y сандарының әрқайсысы 5 –ке бөлінетінің дәлелдеңдер.

Шешуі: = = + ∙

4. Кеше ойын алаңындағы ұл балалардың саны қыз балаларға

қарағанда біржарым есе көп болды. Бүгін ұл балалардың саны

қыз балалардың санының квадраты болып тұр және кешегімен

салыстырғанда, ұл балалардың саны 6-ға, ал қыз балалардың

саны 7-ге кеміген. Кеше ойын алаңындағы барлығы қанша бала

болған еді?

Жауабы: ұлдар-42, қыздар-28, барлығы-70.

6) Кез-келген n саны үшін тепе-теңдігі

орындалатынын дәлелдеңдер. Мұнда k!=1·2·….·k

Шешуі: n=1 , 1·1!=(1+1)! − 1 .1= 1 дұрыс

n=k , 1·1!+2·2!+….+k·k! = (k+1)! − 1 дұрыс делік,

n=k+1 үшін дұрыс екендігін дәлелдейік,

1·1! + 2·2!+….+k·k! + (k+1)·(k+1)! = (k+2)! − 1

(k+1)! – 1 + (k+1)(k+1)!=(k+2)! − 1

(k+1)!(1+k+1) = (k+1)!(k+2) = (k+2)!

10 сынып.

І тур

1. Кез – келген натурал саны үшін 2∙3ⁿ ≤ 2ⁿ + 4ⁿ теңсіздігі орындалатынын дәле