ӘӨЖ 371.147:516

ОЛИМПИАДАЛЫҚ МАТЕМАТИКА ЕСЕПТЕРІН ШЕШУДІҢ ЖОЛДАРЫ

Жангалиева А.Т.

Aikosha89k@mail.ru

Аңдатпа: Бұл мақала олимпиадалық математика есептерін шешудің тиімді жолдары мен әдіс-тәсілдерін қарастырады. Олимпиада деңгейіндегі есептер жиі күрделі және көп қырлы болып келеді, сондықтан оларды шешу үшін логикалық ойлау, шығармашылық және терең математикалық білім қажет. Мақалада олимпиадалық есептерді шешудің негізгі стратегиялары, және кеңінен қолданылатын математикалық әдістер қарастырылады. Сонымен қатар, олимпиада тапсырмаларының ерекшеліктері мен қиындығы, математикалық интуицияны дамыту жолдары, есептерді талдау және оларды шешудің тәсілдері туралы жан-жақты түсінік берілген. Мақала мектеп оқушылары мен студенттерге олимпиада есептеріне дайындалуда тиімді әдістерді ұсыну арқылы математикалық білімдерін тереңдетуге көмектеседі.

Кілт сөздер: Олимпиада, логикалық ойлау, математика, есептерді шешу, геометрия, әдістеме, стандартты емес есептер

Математика – адамзаттың зияткерлік мұрасы. Бұл ғылым өзіне тән қатаң логикалық негіздер мен шығармашылық мүмкіндіктерді біріктіреді. Олимпиадалық математика осы екі қасиетті үйлестіре отырып, оқушылардың математикалық қабілеттерін дамытуда маңызды рөл атқарады. Олимпиадалық есептерді шешу – бұл математикалық даму деңгейінің, оқу материалын игеру тереңдігінің және ерекше ойлау қабілетінің маңызды көрсеткіші. Осыған байланысты білім алушыларға олимпиадалық есептерді шешу дағдыларын игеруге мүмкіндік беру оқу орнындағы математикалық білімнің басты міндеттерінің бірі болып табылады[1, 221 б.]. Олимпиадалық математика мектеп математикасынан ерекшеленеді. Оның тапсырмалары стандартты әдістермен шешілмейтін, креативті тәсілдерді талап ететін ерекше сұрақтардан тұрады.

Әдетте, стандартты емес есептер тек математикаға қызығушылығы бар оқушыларға ұсынылады. Бірақ мұндай есептерді шешу арқылы математикаға деген қызығушылықты арттыруға және осы пәнге қызығатын оқушылардың санын көбейтуге болады. Бұл мәселе қазіргі уақытта өте өзекті. Оны шешу үшін білім алушыларға стандартты емес тапсырмаларды беру жеткіліксіз, себебі көп оқушылар бұл есептерді шешуде қажет дағдылардың жоқтығына байланысты қиындықтарға тап болады.

Қазақстанда олимпиадалық математика ресми түрде оқу бағдарламасына енгізілмеген. Сондықтан бұл пәнге қызығатын оқушылар мен мұғалімдер тек қосымша шығармашылық жұмыстар арқылы дайындалады. Осыдан, олимпиадалық математика көбінесе жеке бастама ретінде қарастырылады.

Факультатив сабақ ретінде олимпиадалық математика курсын енгізу қиындық тудыруы мүмкін, себебі әрбір параллель сыныптан тек 10-12 оқушы ғана қатысады, олардың тек төрт-бесеуі тұрақты дайындалады, ал аудандық деңгейге бір оқушы ғана жіберіледі. Ал облыстық олимпиадаға әр ауданда бір ғана оқушы қатысады, бұл қалған оқушылардың қызығушылығын жоғалтуына себеп болуы мүмкін. Сонымен қатар, негізгі пән ретінде олимпиадалық математиканы енгізу — үлкен қателік, себебі бұл пәнді барлығы білуі міндетті емес және оның қиындығын көтере алмайтын оқушылар болуы мүмкін.

Олимпиадалық математикада сандар теориясының маңызы зор. Осы салада олимпиадаға аз дайындалған оқушылар есептерді жеке жағдайларды қолдану арқылы шешеді, яғни тек сандарды қойып, олардың мәндерін табуға тырысады. Алайда бұл әдіс дұрыс емес, себебі сандардың саны шексіз болғандықтан, барлық мәндерді қолданып шығу мүмкін емес. Егер оқушы дербес жағдайлар арқылы дұрыс мән тауып, ол есептің негізгі дұрыс жауабымен сәйкес келсе де, оған ұпай берілмейді.

Геометрия бойынша, бұл пәнді олимпиадалық геометрия деп атаған жөн. Геометрия есептерінде сызбаға ұпай берілмейді, ал сызбада есептің кейбір мәндері көрсетілген болса да, бұл есептің шешіміне еш әсер етпейді, себебі ол жерде рет белгісіз. Геометрия есептерінде де дербес жағдайлар кездеседі. Мысалы, егер есепте үшбұрыш берілсе, оны негізсіз теңбүйірлі деп шығару дұрыс емес. Үшбұрыштың теңдігі мен ұқсастығын анықтау үшін белгілі геометриялық фактілерге сүйену қажет [2,58 б.].

Олимпиадалық есептерді шешуде мынадай ережелерді ұстануға болады:

1. Есепті шығаруға кіріспес бұрын оның шарттары мен мақсаттарын толық түсініп, зерттеу керек. Есептің мәнін түсінбей, оны шешуге болмайды.

2. Есептер көбінесе өзгертілген түрде беріледі, сондықтан оны бұрыннан белгілі есепке ұқсатып түрлендіріп шешу керек.

3. Егер есеп геометриялық фигурамен байланысты болса, оны сызу арқылы барлық берілген мәліметтер мен ізделінді шамаларды көрсету қажет.

4. Әрбір қадамды тексеріп отыру керек, есепті шешу барысында барлық ережелер мен теоремаларды дұрыс қолдану маңызды.

5. Барлық берілген мәліметтерді пайдалануды қадағалаңыз.

6. Нәтижені есептің талаптарымен салыстырып тексеру қажет.

7. Қателіктер мен жалған пікірлерді байқасаңыз, оларды түзету керек.

8. Кейбір есептерді шешу логикалық талқылау мен тапқырлыққа байланысты болады.

9. Математика саласындағы білімді басқа тарауларда тиімді пайдалану керек. Бір есепті бірнеше тәсілмен шешу пайдалырақ [3].

Ендігі кезекте математика пәнінен олимпиадалық есептердің мысалдарын қарастырар болсақ:

Мысал 1. Шахмат турниріне 16 адам қатысты. Барлығы бір-бірімен бір рет ойнады. Жеңіс үшін 1 ұпай, тең ойын үшін 0,5 ұпай, жеңіліс үшін 0 ұпай беріледі. Турнир аяқталғаннан кейін он ұпайдан кем емес жинағандарға медаль беріледі. Неше медаль берілуі мүмкін?

Шешуі. Егер барлық ойындар тең аяқталса, онда әр ойыншы ұпай алады, яғни барлығы бірге ұпай жинайды. Басқа жағдайда да барлық ұпайлардың жалпы саны да 120-ға тең, себебі әр ойын нәтижесіне қарамастан бір ұпай береді. Осыдан, егер әр «медалист» дәл 10 ұпай жинаса, 12-ден көп ойыншы медаль ала алмайды. Бұл сан 12-ден аз, өйткені 4 қалған ойыншы (медалист емес) арасындағы ойындарда белгілі бір ұпай саны жинақталған. Демек, 11 адамнан көп медаль ала алмайды. Бұл шын мәнінде мүмкін, мысалы: 11 «медалист» бір-бірімен тең ойнаса (яғни, әрқайсысы 10 тең ойын ойнап, 5 ұпай жинайды) және олардың әрқайсысы «медалист еместерден» жеңіп, тағы 5 ұпай алады .

Мысал 2. Теңдеуді бүтін сандар жиынында шешіңіз:

(Тік жақшалар санның бүтін бөлігін көрсетеді).

Шешуі. өрнегі k-ға бөлінетін 1-ден n-ге дейінгі сандар санын білдіреді. Сондықтан өрнегі 1-ден n-ге дейінгі барлық сандардың бөлгіштерінің санын білдіреді.

Сол сияқты өрнегі 1-ден n–1-ге дейінгі барлық сандардың бөлгіштерінің санын білдіреді. Бұдан өрнегі n санының бөлгіштерінің санын білдіреді.

Егер n санының бөлгіштерінің саны 2 болса, онда n жай сан болады.

Жауабы: n – кез келген жай сан

Мысал 3. Калькуляторсыз мәнін есептеңіз [4]

Шешуі. Қосындының жалпы түрін қарастырайық

формуласын қолданып, осы қосындының n-ші мүшесін басқаша өрнектеп көрейік:

Осыдан аламыз.

Жауабы: 4

Мысал 4. Шегін табыңыз [5].

Шешуі:

Берілген теңдеулер жүйесін шешу арқылы мынадай мәндерді аламыз:

Жауабы:

Мысал 5. мәнін есептеңіз.

Шешуі: Интегралды есептеу үшін алдымен берілген функциясының тақ немесе жұптығын анықтайық.

Себебі интегралданатын функциясы аралығында жұп, яғни болса, онда болады.

Ал егер интегралданатын функциясы аралығында тақ, яғни болатын болса, онда болады.

Осыдан екендігі шығады.

Жауабы:

Қорытындылай келсек, математикалық олимпиадалар қазіргі уақытта білім беру жүйесінде үлкен маңызға ие болып, жас математиктерді дамытуда маңызды рөл атқарады. Әр елдің математикалық олимпиадаларға дайындық жүйесі өзіндік ерекшеліктерге ие, алайда олардың барлығы ортақ мақсатқа – оқушылардың ғылыми қызығушылығын арттыру, логикалық ойлау қабілетін дамыту және халықаралық деңгейде жоғары нәтижелерге қол жеткізуге бағытталған. Олимпиадалар тек білім мен дағдыларды тексеріп қана қоймай, сондай-ақ халықаралық ынтымақтастықты дамытуға, ғылыми зерттеулер мен жаңа идеяларды бөлісуге ықпал етеді. Осылайша, математикалық олимпиадалар тек оқу мен жарыс емес, сонымен қатар ғаламдық деңгейде ғылыми ынтымақтастықты, мәдениеттерді жақындастыратын, жас математиктерге өз мүмкіндіктерін көрсетуге мүмкіндік беретін маңызды алаң болып табылады.

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі

1. Моралишвили Т. Д. Современные проблемы методики преподования математики. – М.: Просвещение, 1985.-221 с.

2. Фарков А.В. Готовимся к олимпиадам по математике. – М.: Экзамен, 2010

3. Ажгалиев У. О системе школьных математических олимпиад в Казахстане. - Математика в школе. – 2011. - №9.

4. Самовол П., Браверман  А. Израильские математические олимпиады. - Математика в школе. - 2011. - №8. - С. 56-62

5. Садовничий В. А., Подколзин А. С. Задачи студенческих олимпиад по математике. – М.: Наука, 1978. -208 с.