Раздел

9.2А Последовательности

ФИО педагога

Камалова Рабия Акбаровна

Дата

Класс: 9 «__» класс

Количество присутствующих: ___ отсутствующих: ___

Тема урока

Решение текстовых задач, связанные с арифметическими и геометрическими прогрессиями

Цели обучения, которые достигаются на данном уроке (ссылка на учебную программу)

9.2.3.5 знать и применять формулы n-го члена, суммы n первых членов и характеристическое свойство арифметической прогрессии;

9.2.3.6 знать и применять формулы n-го члена, суммы n первых членов и характеристическое свойство геометрической прогрессии;

9.2.3.9 - применять формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии к решению задач;

Цель урока

Учащийся сможет определить тип прогрессии (арифметическая или геометрическая) по ее свойствам и заданным данным.

Учащийся сможет правильно выбрать и применить формулы n-го члена, суммы n членов или характеристическое свойство для решения практических задач базового и повышенного уровня.

Учащийся сможет решить задачу на нахождение суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии в контекстной ситуации.

Этап урока / Время

Действия педагога (полные реплики и инструкции)

Действия ученика

Формы оценивания

Ресурсы

Начало урока (5 мин)Вызов (метод)

"Добрый день, ребята! Сегодня мы продолжаем изучать последовательности. Представьте себе такую ситуацию: Что было бы, если бы ваш рост увеличивался каждый месяц не равномерно, а, например, сначала на 2 см, потом на 4 см, потом на 8 см? Или если бы деньги на вашем счете прибавлялись не фиксированной суммой, а каждый раз увеличивались на определенный процент? Как вы думаете, чем эти два процесса роста принципиально отличаются друг от друга? Обсудите в парах и предложите свои варианты."

Проводит мозговую атаку

Задание 1 Определите, является ли последовательность прогрессией:

3, 7, 11, 15…

2, 6, 18, 54…

5, 4, 3, 3…

1, 2, 4, 7… Задание 2 (устная работа)

Найдите:
a) 10-й член прогрессии 4, 8, 12…
b) знаменатель прогрессии 3, 9, 27…
c) разность прогрессии 15, 12, 9…
d) тип прогрессии: 1, 2, 3, 5, 8…

Учащиеся обсуждают в парах, выдвигают гипотезы. Возможные ответы: "В первом случае прибавка все время разная, во втором – каждый раз одна и та же сумма", "Во втором примере рост идет быстрее, он как снежный ком", "В первом случае мы умножаем, во втором – прибавляем".

Отвечают на вопросы,определяют прогрессии и виды последовательностей

Формирующее, наблюдение. Дескриптор: Учащийся участвует в обсуждении, высказывает предположение о различии между линейным (с постоянной разностью) и экспоненциальным (с постоянным множителем) ростом.

Доска или интерактивная панель для записи идей учеников.

Середина урока (20-25 мин)Изучение нового

1. Организация групповой работы:

"Сейчас мы разделимся на 3 команды. Каждая группа получит карточку с заданиями разного уровня сложности. Ваша задача – не просто решить свои примеры, но и быть готовыми объяснить решение другим. Помогайте друг другу, слушайте каждого члена команды. Ваша общая цель – успех всей группы."

2. Инструктаж по заданиям (разноуровневым):

Группа 1 (Базовый уровень): Задание: Дана последовательность: 3, 7, 11, 15, ... . 1) Определите, является ли она арифметической прогрессией (АП). Если да, найдите разность (d) и запишите формулу для n-го члена (an). 2) Найдите сумму первых 10 членов (S10). Подсказки для педагога (шаги выполнения): 1) Проверить постоянство разности между соседними членами: 7-3=4, 11-7=4, 15-11=4. Вывод: d=4, это АП. 2) Использовать формулу an = a1 + d(n-1) = 3 + 4(n-1). 3) Использовать формулу Sn = (2a1 + d(n-1)) * n / 2. Подставить n=10, a1=3, d=4.

Группа 2 (Основной уровень): Задание: В геометрической прогрессии (ГП) b3 = 12, b5 = 48. 1) Найдите первый член (b1) и знаменатель (q) этой прогрессии. 2) Найдите сумму первых шести членов прогрессии. 3) Используя характеристическое свойство, проверьте, являются ли числа 4, x, 9 тремя последовательными членами ГП, и найдите x. Ожидаемые результаты и возможные затруднения: Ученики должны составить систему уравнений: b1q2=12 и b1q4=48. Разделив второе на первое, найти q2=4, q=2 или q=-2, затем найти b1. Затруднение: учет двух возможных значений q. Формула суммы S6 = b1(q6-1)/(q-1). Характеристическое свойство: x2 = 4*9 => x = ±6.

Группа 3 (Продвинутый уровень): Задание (исследовательское): Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию: 12, 4, 4/3, 4/9, ... . 1) Докажите, что она является бесконечно убывающей. 2) Найдите сумму этой бесконечной прогрессии (S). 3) Придумайте жизненную ситуацию (финансовую, физическую), которую могла бы моделировать эта прогрессия. Критерии успешного выполнения: 1) Найден знаменатель |q| = 1/3 1/(1-q) = 12/(1-1/3) = 18. 3) Творческий пример: например, амортизация мяча, который при каждом отскоке поднимается на высоту, в 3 раза меньшую предыдущей, или ежедневное уменьшение дозы лекарства по определенному правилу.

3. Интеграция ценности "Единство и солидарность":

"Через 10 минут каждая группа назначит 1-2 «послов», которые перейдут в другую группу, чтобы объяснить решение своих задач. Ваша задача как команды – убедиться, что каждый член понял материал, чтобы «послы» могли качественно донести информацию. Поддержите их, если они волнуются."

1. Учащиеся делятся на 3 разнородные группы (методом жеребьевки или по выбору учителя).

2. В группах совместно решают задания своего уровня, распределяя роли (решатель, проверяющий, оформитель). Консультируются с учителем при необходимости.

3. Готовят краткое объяснение своего решения.

4. Назначают «послов».

5. «Послы» перемещаются по маршруту (Группа1 -> Группа2 -> Группа3 -> Группа1) и объясняют решение своей задачи новой группе, отвечают на вопросы.

Формирующее оценивание в группе.

Дескрипторы для групповой работы:

• Учащийся активно участвует в обсуждении решения.

• Учащийся предлагает или корректирует идеи, уважая мнение других.

• Учащийся помогает товарищу, если тот испытывает затруднения.

• Группа достигает верного решения и готовит понятное объяснение.

Формирующее оценивание для «послов».

Дескрипторы:

• «Посол» четко и логично излагает решение своей группы.

• «Посол» корректно отвечает на вопросы принимающей группы.

• Раздаточные карточки с заданиями для 3 групп.

• Учебник Алгебра 9 класс, страницы с формулами прогрессий.

• Бумага, маркеры для оформления решений.

• Калькуляторы (по необходимости).

•

ИИ-инструменты:

-

ChatGPT/Gemini:

Для групп продвинутого уровня – генерация дополнительных жизненных примеров применения бесконечно убывающей ГП по запросу (например, "приведи 3 примера из физики и экономики, где встречается бесконечно убывающая геометрическая прогрессия").

-

Photomath/Algebra Calculator:

Для групп базового и основного уровня как инструмент самопроверки правильности выполненных алгебраических преобразований и вычислений.

-

Khan Academy/Ru (видео):

Как дополнительный ресурс для учеников, которым нужно повторение темы (ссылки на короткие ролики об АП и ГП предоставляются в цифровом виде).

Конец урока (5-10 мин)Закрепление

"А теперь давайте проверим, как вы усвоили материал в индивидуальном режиме. На экране/доске задача: «Первый член геометрической прогрессии равен 5, а знаменатель равен 2. Арифметическая прогрессия задана условиями: a

1

= 3, d = 4. Сравните пятнадцатые члены этих прогрессий. Во сколько раз член ГП больше члена АП?» Работаем самостоятельно в тетрадях. На выполнение 5 минут."

Учащиеся индивидуально решают задачу в тетрадях. Вычисляют b

15

= 5 * 2

14

; a

15

= 3 + 4*14 = 59; находят отношение b

15

/ a

15

.

Формирующее, самопроверка по эталону.

Дескрипторы:

• Учащийся правильно определил формулы для n-го члена АП и ГП.

• Учащийся верно выполнил вычисления для a

15

и b

15

.

• Учащийся корректно нашел искомое отношение.

• Учащийся записал ответ в понятной форме.

• Задача на доске или слайде презентации.

• Тетради, ручки.

•

ИИ-инструмент:

QuickMath/Wolfram Alpha:

После самостоятельного решения учитель демонстрирует проверку через инструмент, вводя запросы "52^14" и "3+414", чтобы визуализировать мощь вычислений и разницу в скоростях роста.

Домашнее задание

Формат:

Создать задачу для одноклассника.

"Ваше домашнее задание творческое. Вам нужно придумать и красочно оформить одну задачу на применение формул арифметической или геометрической прогрессии, связанную с реальной жизнью (спорт, финансы, природа и т.д.). Задача должна иметь условие, четкий вопрос и

правильное решение на отдельном листочке

. На следующем уроке мы обменяемся задачами и решим некоторые из них."

Рефлексия (5 мин)

"Ребята, наш урок подходит к концу. В качестве рефлексии предлагаю вам метод «Погода». Выберите, какая погода у вас в душе после урока:

•

Солнечно

– я все понял(а), могу сам(а) объяснить тему, мне было интересно.

•

Облачно

– я понял(а) основное, но остались отдельные вопросы, нужна небольшая помощь.

•

Дождь

– мне многое было непонятно, нужна дополнительная консультация.

Поднимите карточку соответствующего цвета или напишите смайлик в тетради. Спасибо за плодотворную работу и взаимопомощь!"

Учащиеся анализируют свое состояние, понимание материала. Выбирают вариант и демонстрируют его учителю (цветной стикер, смайлик в тетради, поднятие руки).

Формирующее, самооценивание. Учитель фиксирует общую картину для планирования последующих уроков.

Цветные карточки (желтая, серая, синяя) или нарисованные смайлики на доске.