«Пайыз, пропорция, қатынас тақырыптарына өмірмен байланысты есептер құрастыру»

Автор:

Бұл әдістемелік құрал математика пәнінің негізгі әрі өмірге тікелей қатысты ұғымдары – пайыз, пропорция және қатынас бойынша есептерді құрастырудың тиімді жолдарын ұсынады. Құралдың басты мақсаты – мұғалімдерге күнделікті өмірмен байланысты тапсырмалар дайындау әдістерін көрсету, оқушылардың математикалық сауаттылығын арттыру және оларды практикалық ойлау дағдыларына баулу. Қазіргі білім беру жүйесінде функционалдық сауаттылыққа сұраныс жоғары. Әсіресе, тұрмыстық мәселелерді математикалық тілге аударып, есеп шығара білу – оқушының өмірлік дағдыларының қалыптасуына тікелей әсер ететін маңызды білік. Осы тұрғыдан алғанда, пайыз, пропорция, қатынас тақырыптарына арналған өмірлік мазмұндағы есептер оқушыны тек формуламен жұмыс істеуге емес, нақты өмірде кездесетін сандық ақпаратты талдауға үйретеді.

Әдістемелік құралда есеп құрастырудың кезеңдері, тапсырмаларды түрлендіру тәсілдері, стандартты есепті өмірмен байланысты ету жолдары, креативті есеп жазуға арналған алгоритмдер жүйелі түрде қарастырылады. Сонымен қатар, тұрмыстық, қаржылық сауат, сауда, спорт, демография, экология, денсаулық сақтау, тұрмыстық шығындар, жол жүру, уақыт пен ресурс үнемдеу тақырыптарында есептер үлгісі беріледі. Әр есептің бірнеше деңгейдегі нұсқасы ұсынылып, дифференциация жасауға мүмкіндік беріледі. Бұл мұғалімге әртүрлі дайындықтағы оқушылармен тиімді жұмыс жүргізуге жағдай жасайды.

Құралда оқушылардың жас ерекшелігі ескеріліп, 5–11 сыныптарға арналған есеп үлгілері мен тапсырма шаблондары жасалған. Әрбір тақырыпқа әдістемелік нұсқаулықтар, есепті өмірлік жағдайдан шығару мысалдары, жобалық және зерттеушілік бағыттағы сұрақтар енгізілген. Құралда цифрлық платформаларда (Quizizz, Kahoot, GeoGebra, Wordwall) өз есептерін құрастыру жолдары да көрсетіледі. Бұл оқушыларға математиканы тек дәстүрлі форматта емес, цифрлық ортада да қолдануға мүмкіндік береді.

Ұсынылып отырған материал мұғалімдерге оқу үдерісін жандандырып, оқушыларды шынайы өмірлік жағдайларда математикалық шешім қабылдауға бейімдеуге ықпал етеді. Құрал орта және жоғары буын мұғалімдеріне, әдіскерлер мен педагог-зерттеушілерге, сондай-ақ олимпиадаға, PISA форматы мен функционалдық сауатқа бағытталған тапсырмалар әзірлеушілерге пайдалы көмекші құрал бола алады.

Мазмұны

Кіріспе I БӨЛІМ. ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕР ЖӘНЕ ӘДІСТЕМЕЛІК ЖОЛДАР 1.1. Пайыз, пропорция және қатынас ұғымдарының математикалық мазмұны 1.2. Есепті өмірмен байланыстырудың теориялық негіздері 1.3. Қатынас, пропорция, пайыз ұғымдарын күнделікті өмірге енгізу әдістері 1.4. Математикалық сауаттылық пен функционалдық ойлау дағдысын қалыптастырудың маңызы II БӨЛІМ. ӨМІРМЕН БАЙЛАНЫСТЫ ЕСЕП ҚҰРАСТЫРУ ӘДІСТЕРІ 2.1. Есепті тұрмыстық жағдайдан құрастыру алгоритмі 2.2. Қаржылық сауат бағытындағы есептерді модельдеу тәсілдері 2.3. Уақыт, жылдамдық, шығын және ресурс үнемдеу есептерін жасау 2.4. Стандартты есепті өмірлік мазмұнға түрлендіру жолдары III БӨЛІМ. ПӘНАРАЛЫҚ ИНТЕГРАЦИЯ ЖӘНЕ ТАПСЫРМАЛАР ТҮРЛЕНДІРУ 3.1. Пайыз, пропорция, қатынас есептерін физика, география, экономикамен байланыстыру 3.2. Денсаулық, экология, спорт статистикасы арқылы есептер құрастыру 3.3. PISA, TIMSS форматына бейімделген тапсырмалар үлгілері 3.4. Деңгейлеп оқытуға арналған дифференциацияланған есептер топтамасы IV БӨЛІМ. ПРАКТИКАЛЫҚ ЖОБАЛАР, ЕСЕП ҮЛГІЛЕРІ ЖӘНЕ ҚҰРАЛДАР 4.1. Өмірлік кейс-есептер банкі: дүкен, коммуналдық төлем, жеңілдік, инфляция мысалдары 4.2. Жобалық жұмысқа арналған тапсырмалар: шағын зерттеу, дерек жинау, диаграмма жасау 4.3. Оқушының өзіндік есеп құрастыру дағдысын дамытуға арналған әдістер 4.4. Есептердің күрделену сатылары: қарапайымнан зерттеушілікке дейінгі прогрессия Қорытынды Пайдаланылған әдебиеттер

Кіріспе

Қазіргі білім беру кеңістігі оқушының математикалық білімді жаттанды емес, өмірде қолдана алу қабілетіне бағытталуда. Мектеп математикасында ең жиі қолданылатын, сонымен қатар күнделікті тұрмыста аса қажет ұғымдардың бірі — пайыз, пропорция және қатынас. Бұл тақырыптар оқушылардың сандық деректі талдау, салыстыру, болжау және өмірлік шешім қабылдау дағдыларын қалыптастыруда негізгі рөл атқарады. Сондықтан мұғалімнің есепті тек оқулық мазмұнымен шектемей, шынайы өмірмен байланыстыра құрастыруы — функционалдық сауаттылықты дамытудың басты шарты. Ұсынылып отырған әдістемелік құрал аталған тақырыптарға арналған есептерді өмірмен байланыстыра құрастырудың жүйелі жолдарын, үлгілерін, қолдану әдістерін ұсынады.

Тақырыптың өзектілігі

Бүгінгі жаһандану жағдайында оқушының қаржылық сауаттылығы, статистикалық деректермен жұмыс істеуі, талдау жасап, тиімді шешім қабылдауы маңызды талапқа айналды. Саудадағы жеңілдік, пайыздық ставка, банк өсімі, валюта айырбастау, тұрғын үй мен коммуналдық төлем есептері — осының бәрі мектеп курсында оқытылатын пайыз, қатынас, пропорция ұғымдарымен тікелей байланысты. Есептерді өмірден алу оқушының пәнге қызығушылығын арттырып, математиканы практикамен ұштастыруға мүмкіндік береді. Осыған байланысты өмірлік сипаттағы есептерді құрастыру әдістемесін әзірлеу уақыт талабы болып отыр.

Әдістемелік құралдың жаңашылдығы

Құрал дәстүрлі есептен өзгеше, нақты өмірден алынған жағдаяттарға сүйенеді. Мұнда оқушы өзі күнде көретін жағдайды есепке айналдырып, талдау жасауға үйренеді. Әдістеме есеп құрастыруда цифрлық ресурстар қолдану, PISA форматымен үйлестіру, кейс арқылы есеп жасау, жобалық тапсырмамен байланыстыру сияқты жаңа тәсілдерге негізделген. Әр есепке 2–3 деңгейлі нұсқа берілуі — құралдың жаңашылдығын нығайтады.

Әдістемелік құралдың ғылымилығы

Құрал мазмұны педагогика, математика әдістемесі, функционалдық сауат теориясы, құзыреттілік тәсілге сүйене отырып құрастырылған. Есеп құрастыру процесі алгоритмдік, логикалық құрылымға негізделіп, ғылыми-теориялық әдебиеттер талдауы арқылы ұсынылған. Ұғымды жүйелі түсіндіру, дәлелді тәсілдер, әдістемелік сәйкестік құралдың ғылыми сипатын айқындайды.

Мақсаты

Пайыз, пропорция, қатынас тақырыптарына өмірмен байланысты есептерді құрастырудың әдіснамасын қалыптастыру, мұғалімдерге тәжірибеде қолдануға болатын нақты үлгілер ұсыну.

Міндеттері

1. Пайыз, қатынас, пропорция ұғымдарын өмірлік контексте түсіндіру.

2. Өмірден алынған есептерді құрастырудың алгоритмін ұсыну.

3. Оқушылардың математикалық сауаттылығын дамытуға бағытталған тапсырмалар дайындау.

4. Қаржылық және тұрмыстық есептердің практикалық модельдерін көрсету.

5. PISA/TIMSS бағытына сәйкес тапсырмалар үлгілерін әзірлеу.

6. Әр деңгейге бейімделген есептер топтамасын жасау.

7. Мұғалімдерге әдістемелік нұсқаулықтар ұсыну.

8. Тақырыпқа қатысты есептерді цифрлық ортада құрастыру мүмкіндігін көрсету.

Әдістемелік құралдың ғылыми-әдістемелік деңгейі

Құрал мазмұны ғылыми тұжырымдамаларға сүйеніп, практикалық қолдануға тиімді етіп ұсынылған. Материалдағы тапсырмалар жүйелі, сатылы, деңгейлік тәсілмен құрылып, мұғалімнің жұмысын жеңілдетуге бағытталған. Теория–практика–нәтиже желісі сақталып, әр тақырып әдістемелік талаптарға сай берілген.

Әдістемелік құралдың негізгі бағыт-бағдары

• өмірмен байланысты есептерді жүйелеу;

• есеп құрастыру дағдысын қалыптастыру;

• цифрлық ресурспен жұмыс істеу;

• зерттеушілік ойлауды дамыту;

• дифференциациялық тапсырмалар арқылы жеке оқыту траекториясын құру.

Әдістемелік құралдың теориялық және практикалық маңыздылығы

Теориялық тұрғыдан құрал математикалық ұғымдардың мәнін ашып, оларды өмірлік контексте қолдану механизмін айқындайды. Практикалық жағынан мұғалім сабақта тікелей пайдалана алатын есептер банкіне, тапсырма үлгілеріне, жұмыс парақтарына қол жеткізеді. Құрал оқу үдерісін жеңілдетіп, оқушының ойлауын нақты өмірмен байланыстырады.

Әдістемелік құралдан күтілетін нәтижелер

• оқушылардың математикалық сауаттылығы артады;

• өмірлік жағдайларды есепке айналдыра білу дағдысы қалыптасады;

• мұғалім есеп құрастыруда еркіндікке ие болады;

• PISA форматындағы тапсырмалармен жұмыс істеу қабілеті күшейеді;

• функционалдық ойлау дағдысы, талдау және шешім қабылдау қабілеттері дамиды.

I БӨЛІМ. ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕР ЖӘНЕ ӘДІСТЕМЕЛІК ЖОЛДАР

1.1. Пайыз, пропорция және қатынас ұғымдарының математикалық мазмұны

Математика ғылымының маңызды салаларының бірі – шамалар арасындағы өзара байланыстарды зерттеу. Сол байланысты анықтайтын негізгі ұғымдардың қатарына пайыз, пропорция және қатынас жатады. Бұл ұғымдар оқушының күнделікті өмірінде жиі кездеседі: дүкендегі жеңілдік мөлшері, банк өсімі, тауар бағасының өзгеруі, халық санының өсімі, спорттағы көрсеткіш айырмашылығы, тіпті дәрі мөлшерін есептеу секілді көптеген практикалық жағдайлар осы түсініктерге негізделеді. Сондықтан оларды жүйелі, ғылыми тұрғыда меңгерту – математикалық білімнің іргетасы.

Қатынас ұғымының математикалық негізі

Қатынас – екі немесе бірнеше шаманың бір-біріне қатынасын сандық түрде көрсету тәсілі. Қарапайым мысал: бір санның екінші саннан қанша есе артық немесе кем екенін анықтау. Егер a және b шамалары берілсе, онда олардың қатынасы a : b немесе бөлшек түрінде a/b деп белгіленеді. Бұл математикалық форма оқушыға шамалардың салыстырмалы түрде қаралуын, абсолют емес, қатысты өлшемнің маңызын түсінуге көмектеседі.

Қатынас тек салыстыруды ғана емес, пропорцияның негізін құрайды. Мысалы, бір сыныптағы ұлдар саны 18, қыздар саны 12 болса, ұлдар мен қыздардың қатынасы 18 : 12. Бұл қатынас екі жақты теңдеулерге, көбейту мен қысқартуға негізделеді. 18 мен 12-ні 6-ға бөлсек, қатынас 3 : 2 болып қарапайым түрге келеді. Демек, сыныптағы әр 3 ұлға 2 қыздан келеді деген қорытынды жасай аламыз. Мұндай көрсеткіштер әлеуметтану, экономика, демография саласында кең қолданылады.

Пропорция ұғымының мәні

Пропорция – екі қатынастың теңдігі. Алгебралық түрде a : b = c : d немесе бөлшек ретінде a/b = c/d деп жазылады. Пропорциядағы негізгі қасиет: сыртқы мүшелердің көбейтіндісі ішкі мүшелердің көбейтіндісіне тең, яғни a·d = b·c. Бұл қасиет пропорциялық теңдеуді шешуде негізгі құрал болып табылады.

Пропорция көбінесе үлесті бөлісу, масштаб өзгерту, модель құру, карта, сызба, архитектура, биологиядағы генетикалық ықтималдық есептерінде көрініс табады. Мысалы, карта масштабында 1 см – 5 км болса, картадағы 8 см кесінді нақты жерде 40 км-ге сәйкес келеді. Мұндай есептер оқушының ойлауын кеңейтіп, модельмен және шынайы объектімен байланыс орнатуға мүмкіндік береді.

Сондай-ақ пропорция пропорционалдық тәуелділік идеясын түсіндіреді. Мысалы, жолдың ұзақтығы жылдамдық пен уақытқа пропорционал. Бұл байланыс физикамен интеграция жасауға мүмкіндік береді. Демек, пропорция ұғымы тек математикалық формула емес, пәнаралық ғылыми түсінік.

Пайыз түсінігінің математикалық мәні

Пайыз – бір бүтіннің жүзден бір бөлігі. 1% = 1/100. Бұл ұғым пропорция мен қатынас логикасының жалғасы. Егер санның пайызын табу қажет болса, оны 100-ге бөліп, қажетті пайызға көбейтеміз. Мысалы, 250 теңгенің 20%-ы:
250 × 20% = 250 × 0.20 = 50 теңге.

Бұл тәсіл күнделікті өмірде кең қолданылады — дүкендегі жеңілдік, банктегі несие пайызы, депозит өсімі, тауар бағасының қымбаттауы немесе арзандауы.

Пайыз есептері көбіне үш негізгі түрге бөлінеді:

1. Санның белгілі бір пайызын табу.

2. Пайыз бойынша санның жалпы мөлшерін анықтау.

3. Екі шаманың пайыздық өзгерісін анықтау.

Мысалы, оқушының бастапқы салмағы 50 кг, бір айдан кейін 54 кг болса, өсім:

]
демек, салмақ 8% өскен. Мұндай есептер биология, медицина, спорт статистикасы, экономика саласымен байланыстырылады. Пайызды түсіну – деректерді талдаудың алғашқы сатысы.

Үш ұғымның байланысы

Пайыз, қатынас және пропорция бір-бірімен логикалық байланыста дамиды.

• Қатынас – шамаларды салыстыру.

• Пропорция – қатынастар теңдігі.

• Пайыз – қатынастың жүздік бөлігі.

Кез келген пайыздық есеп пропорция арқылы шешіледі. Мысалы, 300 оқушының 40%-ы спортпен шұғылданады десек, пропорция құрастырамыз:

x : 300 = 40 : 100

Осыдан x = 120 оқушы спортпен айналысады деген қорытынды шығады. Бұл жерде пайыз қатынасқа, ал қатынас пропорцияға айналып тұр.

Бұл ұғымдарды меңгертудегі әдістемелік негіз

Оқушыға құр формуланы емес, оның өмірге қатысын түсіндіру аса маңызды. Егер пайыз тек жүзден бір өлшем екенін емес, нақты затқа баланғанын сезінсе, оқушының қызығушылығы артады. Сабақта келесідей әдістер тиімді:

• Нақты мысалға сүйену (дүкен бағасы, сүт көлемі, жол қашықтығы).

• Диаграмма, график, картамен жұмыс.

• Өз өмірінен есеп құрастыру.

• Сандық мәліметті салыстыру және интерпретациялау.

Пайызды оқушыға тортты 100 бөлікке бөлу арқылы түсіндіруге болады. Қатынас екі түрлі жемісті салыстырудан, пропорция бір табақтағы жемістерді әділ бөлу жағдайынан басталса, ұғым оқушы санасында нақты бейнеге айналады. Бұл – теорияны өмірмен байланыстырудың ең тиімді жолы.

Пайыз, қатынас және пропорция – математиканың негізгі ұғымдары және функционалдық сауаттылықтың тірегі. Олар сандық ақпаратты түсінуге, салыстыруға, талдауға, шешім қабылдауға мүмкіндік береді. Бұл ұғымдарды терең меңгерту – тек формула үйрету емес, логикалық ойлау мен өмірлік дағды қалыптастыру. Сондықтан мектеп математикасында бұл тақырыптарды өмірлік контекспен байланыстыра оқыту — уақыт талабы.

1.2. Есепті өмірмен байланыстырудың теориялық негіздері

Математика – абстрактылы ұғымдар мен формулалар жиынтығы ғана емес, өмірдің нақты процестерін сандық сипаттауға мүмкіндік беретін ғылым. Оқыту үдерісіндегі басты міндет – оқушының математикалық білімді жаттап қана қоймай, оны шынайы өмірлік жағдайларда қолдана алуына жағдай жасау. Осы тұрғыдан алғанда есепті өмірмен байланыстырудың теориялық мәні өте жоғары. Өмірлік мазмұндағы есептер оқушыны тек орындаушы емес, ойланушы, талдаушы, шешім қабылдаушы тұлға ретінде қалыптастыруға бағытталады. Себебі кез келген теория өзінің құндылығын тәжірибеде ғана дәлелдей алады.

Өмірмен байланыстырудың педагогикалық негіздері

Педагогика ғылымына сәйкес оқыту мазмұны тек білім беруді емес, тұлғаның танымдық қызығушылығын, ізденісін, рефлексиясын дамытуға міндетті. Жаңа форматтағы сабақтың нәтижелілігі оқушының алған білімін өмірлік мәселені шешуге қолдана алуымен өлшенеді. Бұл тәсіл Выготскийдің жақын даму аймағы теориясымен, Блум таксономиясымен, конструктивистік оқыту қағидаларымен үндес.

• Выготский теориясы: оқушы нақты әрекет пен тәжірибе негізінде жақсы меңгереді, сондықтан білім өмірлік жағдаятқа енгізілгенде нәтижелілік артады.

• Конструктивизм: білім дайын күйінде берілмейді, оқушы оны өмірлегі мәселені шешу барысында өзі құрастырады.

• Блум таксономиясы: білу, түсіну – бастапқы деңгей, ал қолдану, талдау, синтез – күрделі деңгей. Өмірлік есептер дәл осы жоғары деңгейлі дағдыны дамытады.

Демек, өмірге негізделген есептер оқушының сандық деректі түсіну ғана емес, оны интерпретациялау, салыстыру, болжау, шешім қабылдау қабілеттерін дамытады.

Математикалық модельдеу – теорияны өмірге әкелудің негізгі жолы

Өмірлік есеп – нақты жағдаяттың математикалық моделіне айналуы. Модельдеу бірнеше кезеңнен тұрады:

1. Өмірлік жағдайды түсіну (мысалы, дүкендегі 30% жеңілдікпен сатып алу)

2. Шамаларды белгілеу (бағасы, пайыздық мөлшер, айырмашылық)

3. Қатынас/пропорция/пайыз түрінде модель құрастыру (x : 100 = 30 : 100 → x=…)

4. Шешім шығару және нәтижені өмірмен байланыстырып түсіндіру

Оқушы нәтижені санмен ғана емес, мәнімен түсінуі қажет. Ол “2500 теңгелік тауар 30% жеңілдікпен 1750 теңге болады” деген тұжырымды өмірде қолданыла алатын білім ретінде қабылдайды.

Функционалдық сауаттылықпен байланысы

PISA, TIMSS бағалау жүйелері өмірмен байланысты тапсырмаларға негізделген. Яғни бүгінгі мектеп математикасы да оқушының:

- ақпаратты талдауын,

- дерекпен дәлелді жұмысын,

- математикалық тілмен сипаттап беруін,

- өмірлік шешім қабылдау мүмкіндігін бағалауы қажет.

Өмірлік есептер оқушының қаржылық, статистикалық, экономикалық, әлеуметтік, экологиялық сауатын қалыптастырады. Тауар бағасын салыстыру, бюджет жоспарлау, уақыт пен ресурс үнемдеу, халық санының пайыздық өсімін анықтау – бәрі күнделікті өмір қажеттілігі.

Контексті есептердің психологиялық әсері

Өмірге негізделген есеп баланың ойында нақты бейне жасайды. Абстракция нақты формаға айналып, мида есте сақтау жеңілдейді. Психологиялық тұрғыда оқушы:

• қызығады, себебі есеп өзіне таныс;

• белсенді ойлайды, себебі нәтижесі өмірлік мәнге ие;

• қателесуден қорықпайды, себебі мәселе шынайы әрі түсінікті.

Осылайша, өмірлік мазмұн оқу мотивациясын арттырады, пәнді пайдалылық құндылығы бар білім ретінде танытады.

Өмірмен байланыстырудың құрылымдық моделі

Кезең	Оқытуда не орындалады?	Нәтиже
Теориямен танысу	Пайыз, қатынас, пропорция анықтамасы, формуласы	Білім қоры қалыптасады
Өмірлік мысал келтіру	Тұрмыстық жағдайға тіркеу	Байланыс орнайды
Математикалық модельдеу	Есеп формуласын шығару, пропорция құру	Қолдану қабілеті дамиды
Кері есеп/жағдаят құрастыру	Бірдей шамаға түрлі сұрақ қою	Шығармашылық күшейеді
Талдау және рефлексия	Бір шешімді бірнеше тәсілмен шығару	Жоғары деңгей дағдылары артады

Бұл кесте есепті өмірмен байланыстырудың ғылыми негізін көрсетеді.

Оқытудағы басты қағида

Есеп – өмірді түсіндіретін құралға айналу керек.

Егер оқушы пайызды тек формула ретінде білсе, ол — білім емес, ақпарат. Ал егер ол шығын сомасын өзі есептеп, дерекке сүйенген шешім қабылдай алса — бұл құзыреттілік. Мұғалім осы құзыреттілікті қалыптастырушы.

Өмірмен байланыстырылған есеп – математикалық білімнің шынайы құндылығын ашатын маңызды тәсіл. Бұл теорияны практикамен біріктіреді, функционалдық сауаттылықты дамытады, оқушыны ойлауға, ізденуге, шешім қабылдауға бағыттайды. Сондықтан пайыз, пропорция, қатынас тақырыптарын тек формулалар ретінде емес, өмірде қолданылатын құрал ретінде оқыту қажет. Мұндай оқыту – қазіргі білім беру парадигмасының негізгі талабына толық жауап береді.

1.3. Қатынас, пропорция, пайыз ұғымдарын күнделікті өмірге енгізу әдістері

Қатынас, пропорция және пайыз – математиканың ең өміршең ұғымдарының бірі. Олар адамның қаржылық жоспарлау, сауда жасау, уақытты бөлу, ресурсты есептеу, өнімділікті бағалау, денсаулық пен спорт көрсеткіштерін анықтау сияқты әрекеттерінің барлығында қолданылады. Сондықтан бұл ұғымдарды оқытуда басты назар тек формулаға емес, күнделікті өмірмен тікелей байланыс орнатуға бағытталуы тиіс. Оқушы осы тақырыптарды өмірде қолданудың нақты тетіктерін көргенде пәнге қызығушылығы артып, математикалық ойлау дағдысы күшейеді.

1) Тұрмыстық жағдайлар арқылы түсіндіру

Көптеген балалар пайыз, қатынас және пропорцияны тек есептен көргенде ғана түсінеді деп ойлайды. Ал шын мәнінде олар бұл ұғымдармен күн сайын кездеседі. Мысалы:

Өмірлік жағдай	Қатысатын ұғым
Дүкендегі 10–30% жеңілдік	Пайыз
Газдалған сусын: 1 литрге 200 мл шәрбат	Қатынас
Ас дайындауда рецепт сақтау	Пропорция
Тарифтік жоспарды салыстыру	Қатынас + пайыз
Отбасы бюджетін бөлу	Қатынас, пайыз
Спорттағы нәтижелерді салыстыру	Пайыздық өзгеріс

Мұндай мысалдарды сабаққа енгізу үшін мұғалім оқушылардың өмірінен алынған шынайы деректерді пайдаланады. Мәселен, сыныптағы оқушылардың бойын, жасын, салмағын салыстыру – қатынасқа мысал; бағаның қанша пайызға арзандағанын есептеу – пайызға мысал; тағам рецептісін үлкейту немесе азайту – пропорция қолдану.

2) Қатынас ұғымын өмірге енгізу әдістері

Қатынас – шамаларды салыстыру құралы. Күнделікті өмірде:

- сыныптағы ұл мен қыз санының арақатынасы

- мектеп асханасындағы тағам құрамы

- су мен шырын мөлшері

- жол қатынастарын салыстыру

осының бәрі қатынасқа негізделеді.

Әдіс:

– Оқушыларға екі түрлі шаманы салыстыратын тапсырма беру.

– Тек санды емес, мағыналық түсіндірмесін сұрау.

Мысал:

Кітапханада 400 қазақ тіліндегі, 200 орыс тіліндегі кітап бар. Қатынас 400 : 200 = 2 : 1.

Түсіндірме: Әр екі қазақ тілді кітапқа бір орыс тілді кітап сәйкес келеді.

Мұндағы басты мақсат – математикалық әрекетті өмірлік түсінікпен бекіту.

3) Пропорцияны өмірмен байланыстыру тәсілдері

Пропорция – екі қатынастың теңдігі. Ол үлесті бөлу, масштаб, сызба, карта жұмысында жиі кездеседі.

Өмірлік қолдану мысалдары:

• Картадан қашықтық анықтау (1 см = 5 км → 8 см = 40 км)

• Ас мәзірін көбейту (2 жұмыртқаға 100 г ұн → 6 жұмыртқаға 300 г ұн)

• Фото/бейне өлшемін үлкейту

• Құрылыс материалын есептеу

Оқыту әдісі:

«Егер шарт өзгерсе, пропорция қалай өзгереді?» сұрағы арқылы ойлау әрекетін белсендіру.

Мысал сұрақ:

Рецепт 4 адамға арналған. Егер 10 адамға әзірлесек, ингредиент мөлшері қалай өзгереді?

Оқушы нақты өмірге жақын әрекет жасап пропорция құрастырады.

4) Пайыз ұғымын күнделікті өмірге енгізу жолдары

Пайыз – ең жиі қолданылатын қаржылық және тұрмыстық көрсеткіш. Сабақта келесі шынайы контексттер беріледі:

- дүкен жеңілдігі;

- депозит өсімі;

- бағаның қымбаттауы/арзандауы;

- жол жүру шығынының өзгеруі;

- телефон тарифін салыстыру;

- жанармай шығыны.

Әдіс: Бағаны салыстыру кестесін беру.

Тауар	Бастапқы баға	Жеңілдік	Қорытынды баға
Спорт аяқ киімі	25 000 тг	–20%	20 000 тг
Куртка	42 000 тг	–30%	29 400 тг

Оқушы баға өзгерісін тек санмен емес, пайда-зарар тұрғысынан да талдайды. Яғни математикалық ұғым өмірлік мағына алады.

5) Оқушының өзі есеп құрастыруына үйрету

Ұғым өмірге енуі үшін оқушы тек орындаушы емес, есеп құрастырушы болуы керек.

Тапсырма түрлері:

1. Дүкенге қатысты 3 пайыздық есеп құрастыр.

2. Өзің тұтынатын сусынға рецепт жасап, қатынас көрсет.

3. Карта масштабын өзгертіп, пропорция құру.

Бұл әрекет оқушыны шығармашыл ойлауға жетелейді, себебі дайын есеп емес, өмірлік жағдайда есеп өзі тудырады.

6) Цифрлық құралдар арқылы өмірге енгізу

Оқушының өмірінде цифрлық орта да үлкен орын алады. Сондықтан есепті өмірмен байланыстырудың заманауи тәсілі:

• Quizizz, Kahoot – пайыздық тест, баға салыстыру викторинасы

• GeoGebra, Desmos – қатынас, масштаб визуализациясы

• Google Sheets/Excel – пайыздық диаграмма құру

• Wordwall – шынайы өмірден алынған есеп карточкалары

Бұл әдіс оқушыны математиканы сандық технологияда қолдануға үйретеді.

7) Шынайы зерттеу тапсырмалары

Өмірмен байланыс тек мысал емес, зерттеу элементі бар тапсырма болуы тиіс.

- Мектеп асханасындағы тағам бағасын талда.

- Үй бюджетін жоспарлап, шығынның пайыздық үлесін шығар.

- Бір ай ішінде өз су/интернет тұтынуыңды бақылай отырып диаграмма жаса.

Оқушы нақты дерекпен жұмыс істеп, статистикалық ойлауын дамытады.

Қатынас, пропорция, пайыз ұғымдарын күнделікті өмірге енгізу – математикалық ойлауды белсендірудің ең тиімді жолы. Мұндай тәсіл білімді қолданбалы түрге айналдырып, функционалдық сауаттылықты қалыптастырады. Оқушы баға, уақыт, ресурс, карта, рецепт, төлем, сандық көрсеткіштер сияқты деректермен жұмыс істей алады. Ең бастысы – ол математиканы жаттанды ереже емес, өмірмен тікелей байланысты құрал ретінде қабылдайды.

1.4. Математикалық сауаттылық пен функционалдық ойлау дағдысын қалыптастырудың маңызы

Қазіргі білім беру жүйесінде математика тек есеп шығаруды үйрететін пән емес, логикалық ойлауды, талдау жүргізуді, мәселені шынайы жағдайда шешуге бағытталған құзыреттіліктерді қалыптастыратын құрал болып қарастырылуда. Осы тұрғыдан алғанда математикалық сауаттылық пен функционалдық ойлау ұғымдарының маңызы айрықша. Математикалық сауаттылық – оқушының математикалық білімін өмірлік жағдаяттарды талдау, түсіндіру және шешім қабылдауға қолдана алу қабілеті. Ал функционалдық ойлау – сандық ақпаратпен жұмыс барысында ой қорытып, логикалық тұжырым жасау, нәтижені түсінікті түрде негіздеу дағдысы.

Пайыз, қатынас, пропорция тақырыптарының функционалдық деңгейде меңгерілуі оқушының өмірде кездесетін экономикалық, әлеуметтік, тұрмыстық есептерді өздігінен шеше алуына мүмкіндік береді. Мысалы, оқушы тауар бағасының қанша пайызға түскенін есептеп, сатып алу тиімділігін талдап, отбасылық бюджетті реттей алады. Бұл – математикалық білімнің нақты өмірде қолданылуының көрінісі.

Математикалық сауаттылықтың негізгі көрсеткіштері

PISA форматындағы талаптар математикалық сауаттылықты үш деңгейде анықтайды:

1. Талдау және интерпретация – ақпаратты түсіну, мазмұнды ажырату.

2. Қолдану – есепті өмірге енгізіп шешім шығару.

3. Бағалау және негіздеу – шешімнің дұрыстығын дәлелдеу.

Бұл модель бойынша оқушы тек жауап табумен шектелмейді, есептің мәнін түсінеді, әдісін таңдайды, қорытындысын түсіндіреді. Осы процестер оның функционалдық ойлауын дамытады.

Функционалдық ойлау – өмірлік шешім қабылдаудың тетігі

Функционалдық ойлауы бар оқушы:

- мәселені бірнеше қырынан қарайды,

- артық-мәнсіз ақпаратты алып тастап, маңыздысын ажыратады,

- математикалық модель құрып, шешім жолын таңдайды,

- нәтижені өмірмен байланыстыра бағалайды.

Мысалы, дүкендегі екі тауардың бірінде 20% жеңілдік, екіншісінде 30% жеңілдік, бірақ бастапқы бағалары әртүрлі болса, функционалдық ойлауы дамыған оқушы қайсысы тиімді екенін тек пайызға қарап емес, есептеп салыстырып анықтайды. Бұл – рационалды тұтынушылық шешім қабылдау қабілеті.

Қатынас, пропорция, пайыз – функционалдық ойлаудың құралы

Бұл тақырыптар сандық деректерді салыстыру мен талдауға мүмкіндік береді:

• Қатынас – шамалардың арақатынасын көруге үйретеді

• Пропорция – үлестік байланыстарды модельдеуге мүмкіндік береді

• Пайыз – өзгерісті, өсімді, төмендеуді сандық тұрғыда бағалайды

Мәселен, егістіктегі өнім жыл сайын 12% артып отырса, студент халық саны өсімін есептесе, спортшы нәтижесінің қанша пайызға жақсарғанын анықтаса – бұл математикалық сауаттылықтың өмірдегі көрінісі.

Функционалдық сауаттылықты қалыптастыру әдістері

Оқыту барысында қолдануға болатын тиімді тәсілдер:

Әдіс	Не береді?
Өмірлік есептер (дүкен, тариф, рецепт)	Сандық ойлауды автоматтандырады
Кейс-талдау	Мәселені жан-жақты бағалау мүмкіндігін дамытады
Диаграмма, график оқу	Ақпаратты визуалды талдау дағдысын қалыптастырады
Өз есептерін құрастыру	Шығармашылық пен логикалық байланыс орнатады
Excel/Google Sheets қолдану	Цифрлық-математикалық зерттеу мәдениетін дамытады

Яғни математикалық сауаттылық дәстүрлі есепті шешумен шектелмей, деректі өңдеуге, талдауға, қолдануға бағытталады.

Математика – өмір тәжірибесінің тілі

Оқушы математиканы күнделікті өмірдің логикасы ретінде қабылдағанда ғана пәннің мәні ашылады. Ол:

- бағаның қымбаттау немесе арзандау себептерін пайызбен бағалап,

- жол жүру уақытын пропорция арқылы есептеп,

- ресурсты тиімді пайдалану үшін қатынас қолдана алады.

Мұндай дағдылар өмірде қажет – отбасылық бюджеттен бастап кәсіпкерлікке дейін.

Неліктен бұл маңызды?

Өйткені бүгінгі қоғамға ойлайтын, талдайтын, дәлелдейтін тұлға қажет. Математикалық сауаттылық пен функционалдық ойлау:

- қаржылық қателікке жол бермеуге,

- ақпараттық манипуляциядан сақтануға,

- нақты фактіге сүйенген шешім қабылдауға,

- өмірлік жоспар құруға көмектеседі.

Демек, пайыз, пропорция, қатынас ұғымдарын өмірмен байланыстыра оқыту – тек білім беру міндеті емес, тұлғаның интеллектуалдық және әлеуметтік дамуына ықпал ететін процесс.

Математикалық сауаттылық пен функционалдық ойлау – заманауи білім берудің басты нәтижесі. Бұл дағдыларды қалыптастыру оқушыны есеп шығарудан жоғары деңгейге жеткізіп, оны саналы шешім қабылдай алатын, дерекпен жұмыс істейтін, өмірге бейімделген тұлға ретінде тәрбиелейді. Сондықтан қатынас, пропорция, пайыз тақырыптарын тек есеп ретінде емес, өмірді түсіндіретін құрал ретінде оқыту – әдістемелік жұмыстың негізгі бағыты болуға тиіс.

II БӨЛІМ. ӨМІРМЕН БАЙЛАНЫСТЫ ЕСЕП ҚҰРАСТЫРУ ӘДІСТЕРІ

2.1. Есепті тұрмыстық жағдайдан құрастыру алгоритмі

Математиканы өмірмен байланыстырудың негізгі шарты – есепті шынайы жағдайдан тікелей шығару. Оқушы кітаптағы дайын есепті шешкенде тек орындаушы рөлінде қалады, ал есепті өзі құрастырса немесе ұсынылған тұрмыстық жағдаятқа есептік модель жасаса — ол белсенді ойлаушыға айналады. Сондықтан мұғалімнің ең маңызды міндеттерінің бірі — нақты өмірден математикалық есеп жасаудың әдісін үйрету. Бұл бөлімде тұрмыстық жағдайдан есеп құрастырудың толық алгоритмі, кезеңдері мен мысалдары ұсынылады.

1-КЕЗЕҢ. Өмірлік жағдаятты таңдау

Есептің бастау нүктесі — нақты өмірден алынған қарапайым жағдай. Бұл оқушыға таныс, күн сайын кездесетін, шынайылығы жоғары ақпарат болуы керек. Мысалы:

• дүкендегі жеңілдік мөлшері;

• ас әзірлеудегі мөлшерлер;

• жол жүру, уақыт, жанармай шығыны;

• коммуналдық төлем, электр энергиясы;

• мобильді байланыс тарифі;

• мектепке қажетті құралдар тізімі;

• отбасы бюджеті, шығын үлесі;

• спорттағы пайыздық өсім.

Бұл тақырыптар оқушыға түсінікті болғандықтан, есеп табиғи қабылданады. Мұғалім ең алдымен нақты жағдайды мәтіндік әңгіме түрінде ұсынады, әзірге есеп емес:

"Асханадан 250 г салат сатып алынды, құрамында 30% көкөніс, 20% күріш, 50% тауық еті бар."

Бұл есеп емес — жағдай. Келесі кезеңде осы жағдай негізінде есеп сұрағы туады.

2-КЕЗЕҢ. Жағдайдан математикалық объектілерді бөліп алу

Өмірлік мәтінде бірден формула іздемейміз. Алдымен шамаларды анықтаймыз:

Жағдайдағы ақпарат	Математикалық өлшем
250 г салат	жалпы шама
30% көкөніс	пайыздық үлес
20% күріш	пайыздық үлес
50% тауық еті	пайыздық үлес

Міне, мәтіндегі ақпарат математикалық тілге аударылды. Бұл ұғымдарды жүйелеу оқушыны анализ → модель құру дағдысына үйретеді.

3-КЕЗЕҢ. Сұрақ құрастыру (есепке айналдыру)

Есептің сапасы сұрағына байланысты. Бір жағдайдан бірнеше есеп шығаруға болады.

Мысалы, жоғарыдағы дерек негізінде:

1. Салаттың құрамында қанша грамм көкөніс бар?

2. Тауық етінің массасы қанша?

3. Егер салат массасы 400 г болса, мөлшер қалай өзгереді?

4. Сол күнгі 1 кг тауық етінің бағасын есептеңдер.

Көріп отырғанымыздай, бір жағдаят — бірнеше есеп. Бұл тәсіл мұғалімге дифференциация жасауға мүмкіндік береді. Тапсырмаларды 3 деңгейге бөлуге болады:

Деңгей	Есеп түрі	Дағды
1 денгей	Пайыздан нақты шаманы табу	Қолдану
2 денгей	Кері есеп (жалпыны табу)	Талдау
3 денгей	Модельді өзгерту, болжам жасау	Жоғары деңгей ойлау

4-КЕЗЕҢ. Математикалық модель құрастыру

Бұл кезеңде қатынас, пропорция немесе пайыз формуласы енгізіледі. Мысалы:

250 г салаттың 30%-ы →

250 × 0.30 = 75 г

Егер оқушы пропорция әдісін қолданса:

x : 250 = 30 : 100 → x = 75

Осылайша бір есеп бірнеше тәсілмен шығарылады — функционалдық ойлау дамиды.

5-КЕЗЕҢ. Шешімді өмірмен байланыстырып түсіндіру

Жауап — тек сан емес. Ол өмірлік мағынаға ие болуы тиіс.

"Салаттың 75 г бөлігі — көкөніс. Демек, тағамның жартысына жуығы ет болғандықтан, бұл салат ақуызға бай."

Осындай интерпретация білімді қолданбалы деңгейге көтереді.

6-КЕЗЕҢ. Жағдайды өзгертіп, жаңа есеп жасау

Бұл — ең маңызды дағды. Егер оқушы есепке өзгеріс енгізсе, ол математикалық модельді түсінгенін көрсетеді.

Мысалдық өзгерту үлгілері:

Өзгеріс түрі	Жаңа есеп тууы
Масса өзгерді	250 г емес → 500 г болса не болады?
Үлес өзгерді	20% емес → 35% күріш болса?
Баға қосылды	1 кг салат 1800 тг болса, құны қанша?
Шама алмасуы	Көкөніс 2 есе азайтылса?

Оқушы есеп құрастырушыға айналады — бұл функционалдық сауаттылықтың ең жоғарғы деңгейі.

Мысал ретінде толық алгоритммен құрылған есеп

Өмірлік жағдай:

Меруерт дүкеннен 1200 тг тұратын сүт, 800 тг тұратын нан және 1500 тг тұратын ірімшік сатып алды. Дүкенде 10% жеңілдік болған.

1) Жағдай талдау:

Барлығы — 1200 + 800 + 1500 = 3500 тг

Жеңілдік — 10%

2) Математикалық модель құру:

3500 × 10% = 350 тг

3500 – 350 = 3150 тг

3) Қорытынды:

Меруерт 350 тг үнемдеді, дүкенге 3150 тг төледі.

Күрделенген нұсқа (оқушы дамуына арналған):

• Егер келесі күні жеңілдік 15% болса шығын қалай өзгерер еді?

• Егер бағалар 5% қымбаттаса қанша ақша қажет?

• Үй бюджетін жоспарлау кестесін құр.

Бұл бір есептің 5–6 нұсқасын жасауға болатындығын көрсетеді.

Тұрмыстық жағдайдан есеп құрастыру — математиканы өмірмен байланыстырудың ең тиімді құралы. Алгоритм бойынша:

1. Өмірлік жағдаят таңдау

2. Мәліметтерді бөліп алу

3. Сұрақ құрастыру

4. Математикалық модель жасау

5. Шешімді түсіндіру

6. Жағдайды өзгертіп жаңа есеп тудыру

Оқушы тек есеп шығаруды емес, өмірдегі мәселені есепке айналдыруды үйренеді. Бұл функционалдық сауаттылықтың негізгі шарты, болашақта саналы шешім қабылдай алатын тұлға қалыптастырудың кілті.

2.2. Қаржылық сауат бағытындағы есептерді модельдеу тәсілдері

Қазіргі қоғамда қаржылық сауаттылық — адамның күнделікті өмірінде шешім қабылдаудың басты құралы. Ақша айналымын түсіну, шығын мен табыс көлемін есептеу, пайыздық өсім мен жеңілдікті анықтау, депозит пен несие шарттарын салыстыру, коммуналдық төлемдер мен отбасы бюджетін жоспарлау — барлығы математикалық модель арқылы дәлелді түрде орындалады. Сондықтан мектеп математикасында пайыз, пропорция, қатынас тақырыптарын қаржылық сауатпен байланыстыра оқыту оқушыны болашақ өмірге дайындаудың ең тиімді жолы болып саналады.

Бұл бөлімде қаржылық сауатқа негізделген есептерді модельдеу тәсілдері, алгоритмдері, өмірлік мысалдары және тапсырмаларды деңгейлеп құру әдістері талданады.

1) Қаржылық есепті модельдеудің жалпы алгоритмі

Қаржылық жағдаяттан есеп тудыруға арналған әмбебап тәсіл:

1. Өмірлік жағдайды анықтау (сауда, жеңілдік, депозит, несие, тариф, коммуналдық төлем)

2. Маңызды шамаларды бөліп алу (баға, пайыздық мөлшерлеме, мерзім, сома, ай сайынғы төлем)

3. Математикалық модель түрін таңдау

– пайыз формуласы

– пропорция

– өсім/төмендеу коэффициенті

– күрделі пайыз моделі

4. Шешім шығару және оны интерпретациялау

5. Альтернативті сценарий ұсыну (бағаны арттыру, жеңілдікті өзгерту)

6. Қорытынды жасау — тиімді/тиімсіз шешімді дәлелдеу

Оқушы бұл кезеңдерді меңгергенде, ол қаржылық шешімді механикалық емес, саналы түрде қабылдайды.

2) Сауда және жеңілдікке қатысты есептерді модельдеу

Жеңілдіктер — пайызды меңгертудің ең нақты құралы.

Мысал жағдаят:

Дүкенде 18 000 тг тұратын көйлекке 25% жеңілдік берілді. Жеңілдікпен қанша тұрады?

Модель:

18000 - 4500 = 13500 тг

Өмірлік қорытынды:

Тауар 4500 теңгеге арзандап, 13 500 теңгеге сатып алуға болады.

Күрделендіру тәсілдері:

Өзгеріс	Жаңа есеп
Жеңілдік екі кезеңмен	Алдымен 10%, кейін 20% төмендетілсе?
Қайта қымбаттау	Арзандаған соң 15% қымбаттаса не болады?
Салыстыру	Қос дүкендегі бағаны пайызбен салыстыр

Оқушы нарықтық өзгерісті талдауға үйренеді.

3) Банк депозиті мен күрделі пайыз моделін құру

Депозит — қаржылық сауатты меңгертудің негізгі тақырыбы. Бұл жерде пайыз тек есеп емес, табыстың өсу механизмі ретінде қарастырылады.

Мысал:
Азамат банкке 200 000 тг салып, жылдық 12% табыс алады. 1 жылдан кейін қанша болады?

Алайда шынайы қаржыда күрделі пайыз жиі қолданылады:

Егер депозит 2 жыл тұрса:

Түсіндіру:

Екінші жылғы пайыз бастапқы сомадан емес, өсіп тұрған сомадан есептеледі.

Оқушы мұнда математиканы қаржы өсімінің тетігі ретінде көреді.

4) Несие төлемдерін есептеу моделі

Қаржылық сауаттылықтың маңызды бөлігі — несие шарттарын талдау.

Жағдай:
300 000 тг несие 12 айға 15% жылдық мөлшерлемемен берілді.

Модель құруда:

1. Жылдық пайыз – 15%

2. Айлық пайыз коэффициенті:
   

3. Шамамен есептеу:

Қорытынды: ай сайынғы төлем негізгі қарыз + пайыздан құралады.

Күрделі деңгей үшін аннуитет формуласы ұсынылады.

5) Бюджет жоспарлау есептерін модельдеу

Отбасы бюджетін есептеу — функционалдық ойлаудың шынайы көрінісі.

Шығын түрі	Жалпы бюджеттен үлесі
Тамақ	35%
Коммуналдық	15%
Транспорт	20%
Бос уақыт	10%
Жинақ	20%

Егер айлық табыс 300 000 теңге болса:

Бұл есеп:

- пайызды табу;

- үлесті есептеу;

- қаржылық жоспар құру сияқты бірнеше дағдыны біріктіреді.

6) Қосымша модельдер: жанармай, тариф, валюта

1. Жанармай шығыны:

Авто 100 км-ге 8 л жұмсайды. 560 км жолға қанша қажет?

→ пропорция әдісі

2. Валюта айырбастау:

1$ = 480 тг. 150$ сатып алу үшін қанша тг керек?

→ қатынас моделін қолдану

3. Интернет тарифін салыстыру:

Тариф А — 40 ГБ/5000 тг

Тариф В — 55 ГБ/6500 тг

→ 1 ГБ-тың құнын есептеу

Оқушы деректі санға айналдырып, тиімділігін дәлелдейді.

Қаржылық сауат бағытындағы есептерді модельдеу:

- пайызды практикалық деңгейде қолдануға үйретеді;

- экономикалық шешім қабылдай алу дағдысын дамытады;

- өмірлік ақпаратты есепке айналдыру қабілетін қалыптастырады;

- жоспарлау, талдау, салыстыру мәдениетін нығайтады.

Модельдеу арқылы оқушы математиканы абстракция емес — өмірлік құрал ретінде қабылдайды. Бұл тәсіл функционалдық сауаттың қалыптасуына тікелей әсер етеді.

2.3. Уақыт, жылдамдық, шығын және ресурс үнемдеу есептерін жасау

Уақыт, жылдамдық, шығын және ресурс үнемдеу ұғымдары — адам өмірінің барлық саласында қолданылатын сандық көрсеткіштер. Күнделікті тұрмыста біз бір жерден екінші жерге қанша уақытта жетеміз, құрылысқа қанша материал қажет, белгілі бір өнім қанша тұрады, энергияны қалай үнемдеуге болады деген сұрақтарға жиі жауап іздейміз. Бұл сұрақтардың математикалық шешімі қатынас, пропорция, пайыз және функционалдық модельдеу тәсілдері арқылы табылады. Сондықтан оқушыларға бұл бағыттағы есептерді құрастыруды және шешуді үйрету — олардың өмірлік құзыреттілігін дамытудағы басты қадам.

1) Уақыт және жылдамдыққа негізделген есептерді модельдеу

Уақыт–жол–жылдамдық арасындағы байланыс математикада формула арқылы анықталады:

Бұл формула оқушыға тек физикада ғана емес, күнделікті өмірде де қажет. Мысалы:

- мектепке жаяу бару уақыты;

- автобуспен жүріп өту жылдамдығы;

- қоғамдық көлік пен велосипедті салыстыру;

- жолға кететін уақытты жоспарлау.

Өмірлік есеп үлгісі

Айдана үйден мектепке дейінгі 1.8 км жолды 30 минутта жүреді. Оның орташа жылдамдығы қандай?

Айдана орташа есеппен 3.6 км/сағ жылдамдықпен қимылдайды.

Күрделенген нұсқалар

Өзгеріс	Есеп түрін күрделендіреді
Жаңбыр жауса, жылдамдық 20% төмендесе	Пайыздық өзгеріс қосылады
Велосипедпен жүрсе жылдамдығы 3 есе артса	Қатынас & пропорция қолданылады
Мектепке баратын жол ұзартылды	Жаңа уақыт есептеледі

Оқушы қорытынды шығарады: "велосипедпен бару тиімді, уақыт үнемделеді."

2) Шығынды есептеу және экономикалық жоспарлау

Шығынды есептеу — ресурс үнемдеудің негізі. Электр энергиясы, су, газ, жанармай сияқты ресурстарды дұрыс пайдалану математикалық санауды талап етеді.

Мысал есеп:

Айлық электр энергиясы 210 кВт·сағ болды. 1 кВт·сағ — 19 тг. Отбасы қанша төлем жасайды?

Ресурс үнемдеу тапсырмасы

Егер отбасы электр қуатын 15%-ға азайтса:

Практикалық қорытынды:

Қуатты тиімді пайдалану айына шамамен 600 теңге, жылына 7200 теңге үнемдейді.

Оқушы «үнемдеу» ұғымын нақты мәнмен көреді.

3) Шығын–пайда–ресурс байланысын көрсететін күрделі есеп

Бұл есеп бірнеше математикалық ұғымды біріктіреді:

- жылдамдық;

- уақыт;

- жанармай шығыны;

- пайыздық үнем.

Жағдай:

Автокөлік 100 км-ге 8 л жанармай жұмсайды. Жол ұзындығы — 350 км. 1 литр бензин — 210 тг.

Кейін жүргізуші жылдамдығын тұрақты ұстап, шығынды 12% азайтты.

Өмірлік талдау:

Нәтиже	Мәні
Бастапқы шығын	5880 тг
Үнемделген сома	705.6 тг
Жаңа шығын	5174.4 тг

Оқушы осылай ресурсты дұрыс пайдалану экономикалық тиімді екенін түсінеді.

4) Өмірлік жағдаяттан есеп құрастыру алгоритмі

Кезең	Мазмұны
1) Жағдайды анықтау	Жол, жанармай, су/электр төлемі, уақыт
2) Мәлімет алу	Қашықтық, тариф, литраж
3) Математикалық модель	Пропорция, пайыз, көбейту/бөлу
4) Нәтиже табу	Есептеу формуласы қолданылады
5) Үнемдеу/салыстыру	Екі сценарийді салыстыру
6) Қорытынды	Қандай нұсқа тиімді?

Бұл сызба оқушыға есепті өзі құрастыруға мүмкіндік береді.

5) Тапсырмаларды деңгейлеп құру

Деңгей	Мысал тапсырма	Құзырет
I деңгей	Қашықтық бойынша уақыт/жылдамдықты тап	Формула қолдану
II деңгей	Ресурс шығынын есепте	Талдау & салыстыру
III деңгей	Екі жолды салыстырып, тиімдісін таңда	Шешім қабылдау

Бұл әдіс дифференциацияны қамтамасыз етеді, функционалдық ойлауды дамытуға мүмкіндік береді.

Уақыт, жылдамдық, шығын және ресурс үнемдеу есептерін меңгерту — оқушыны өмірлік мәселелерді санмен дәлелдеп шешуге үйрететін маңызды бағыт. Мұндай есептер:

- жоспарлау және болжау дағдысын қалыптастырады;

- логикалық ойлау мен талдауды дамытады;

- ресурсты тиімді пайдалану мәдениетін қалыптастырады;

- математиканы нақты өмір құралы ретінде танытады.

Оқушы тек есеп шығармайды — өмірлік шешім қабылдайды. Бұл — функционалдық сауаттың ең жоғары деңгейі.

2.4. Стандартты есепті өмірлік мазмұнға түрлендіру жолдары

Математика оқулықтарындағы көптеген есептер құр сандық берілгендерден тұрады: x-ты тап, пропорция құр, пайызды есепте. Мұндай тапсырмалар оқушыдан механикалық орындауды талап етеді, ал практикалық ойлауға және өмірде қолдануға жеткілікті ықпал жасай бермейді. Сол себепті стандартты есепті өмірлік мазмұнға түрлендіру әдістерін меңгерту — математикалық функционалдық сауаттылықты арттырудың негізгі тетігі. Мұғалім есеп шартын біршама өзгертсе, оған сюжет берсе, шынайы деректер енгізсе — қарапайым есеп оқушы үшін мәнді, қызықты, қажет білімге айналады.

Бұл бөлімде дәл осындай трансформация жасау жолдары, кезеңдері, алгоритмі және нақты мысалдары берілген.

1) Стандартты есепті түрлендірудің негізгі мақсаты

- өмірмен байланыс орнату;

- санды шынайы мағынаға айналдыру;

- оқушының қызығушылығын арттыру;

- дерекпен жұмыс істеу дағдысын қалыптастыру;

- математикалық шешімді рационалды ойлауға негіздеу.

Осы мақсатқа жету үшін кез келген жабық формулалық есеп өмірлік контекстпен қайта жазылады.

2) Түрлендірудің 5 қадамы

Қадам	Әрекет	Мысал
1. Негізгі математикалық мазмұнын анықтау	Қай формула? Қай байланыс?	Пайыз, қатынас, пропорция
2. Сюжет қосу	Қарапайым өмірлік жағдайға енгізу	Дүкен, жол, тағам, тариф
3. Дерек нақтылау	Сандық мәліметтерді шынайы ету	15%, 5 кг, 12 км
4. Мәселе қою	Нені табу керек?	шығын? уақыт? үнем?
5. Қосымша нұсқалар құру	тапсырманы күрделендіру	салыстыру, болжау, өзгеріс енгізу

Енді осы алгоритмді нақты үлгілермен дамытайық.

3) Мысал 1. Пайыздық стандартты есептің өмірлік нұсқасы

Стандартты есеп: 500 санының 30%-ын тап.

Бұл — тек формула. Оқушы шығарады, бірақ мәнін сезінбеуі мүмкін.

Өмірлік нұсқаға айналдыру:

Айдана дүкеннен 500 г шоколад кәмпит сатып алды. Олардың 30%-ы жаңғақпен қапталған. Қанша грамм кәмпит жаңғақпен?

Бұл жерде есеп бұрынғыдай, бірақ оқушы жағдайды елестетіп жауап береді:

Күрделенген нұсқалар:

1. Егер жаңғақпен кәмпиттің бағасы 4800 тг/кг болса, бұл бөліктің құны қанша?

2. Егер 30% емес, 40% болса — айырмашылығы қандай?

3. Қайсы жағдай тиімді? Таңдау жаса.

Бір формуладан — 3 түрлі ойлау тапсырмасы шықты.

4) Мысал 2. Пропорциялық есеп трансформациясы

Стандартты есеп:

4 кг алма 1200 тг тұрады. 7 кг қанша тұрады?

Өмірлік есепке айналдыру:

Әсем базардан 4 кг алманы 1200 теңгеге сатып алды. Үйіне жеткен соң тағы алма алмақ болды, бірақ бұл жолы 7 кг қажет. Сол бағамен алса, ол қанша ақша жұмсайды?

300 × 7 = 2100 тг

Күрделендіру:

Өзгеріс	Есеп құрылады
Баға 10% көтерілсе	Жаңа бағасын есептеу
Тек 2000 тг бар болса	Қанша кг алуға мүмкіндік бар?
Алманың 30%-ы бүлінген болса	Қолдануға жарамдысы қанша?

Стандартты пропорция есебі — өмірлік шешім қабылдау моделіне айналды.

5) Мысал 3. Қатынас тақырыбын түрлендіру

Стандартты есеп:

15 және 10 сандарын қатынас түрінде жаз.

Өмірлік есепке айналдыру:

Сыныпқа 15 жаңа кітап және 10 дәптер әкелінді. Кітап пен дәптер санының қатынасын тап.

15 : 10 = 3 : 2

Күрделендіру:

1. Егер дәптердің саны 30-ға артса, жаңа қатынас қандай?

2. Егер мектеп кітапханасына 20% қосымша кітап түссе, қатынас қалай өзгереді?

3. Қайсысы көбірек — кітап па, дәптер ме? Неше есе?

Бір қатынас — дерек талдау тапсырмасына айналды.

6) Түрлендіру нәтижесі: қарапайым есеп → зерттеуші есеп

Мысал ретінде:

Стандартты түрі	Өмірлік контекст	Зерттеушілік нұсқа
20%-ын тап	Таңғы ас мәзірі	Калорияны есепте, мәзірді өзгерт
Пропорция шеш	Құрылыс материалын бөлу	Табысты/шығынды жоспарла
Қатынас құр	Ас мәзіріндегі қант/су қатынасы	Рецептті 2 есе үлкейт

Есеп жан-жақты дамиды.

7) Оқушының өзі түрлендіруіне арналған тапсырмалар

1. Кез келген оқулықтағы есепті таңдап, оған өмірлік сюжет қос.

2. Пайыздық есепті дүкен/жеңілдік мазмұнына ауыстыр.

3. Қатынас есебін тағам рецептіне бейімде.

4. Пропорция есебін жанармай, жол, уақытпен байланыстыр.

5. Ақпаратты өзгертіп, 3 жаңа есеп шығар.

Бұл — білімді қолдану → құрастыру → талдау деңгейіне көтереді.

8) Сабақ барысында қолдануға болатын әдістемелік техника

- «Құрғақ есепті жандандыру» стратегиясы

Оқулықтағы есепке кем дегенде бір шынайы элемент қосу: баға, салмақ, уақыт, адам әрекеті.

- «Есеп құрастыру конструкторы»

Шамалар + сюжет + сұрақ формуласы бойынша жаңа есепті оқушының өзі жазады.

- «Қайта құру тәсілі»

Берілген есеп шартын өзгертіп, жаңа есеп жасау:

– сандарды өзгерту

– пайызды өсіру/төмендету

– қосымша жағдай енгізу

- «Екі сценарий салыстыру»

Екі шешімнің қайсысы тиімді екенін дәлелмен көрсету.

Стандартты есепті өмірлік мазмұнға түрлендіру — математиканы шынайы дүниенің моделі ретінде оқытудың ең тиімді әдістерінің бірі. Бұл технология оқушыны:

- формуланы түсініп қолдануға;

- есепті өмірден көре білуге;

- сандық дерек негізінде шешім қабылдауға;

- талдау, салыстыру, болжау дағдыларын дамытуға;

жетелейді.

Оқушы енді тек есеп шығармайды — өмірді есеп арқылы түсіндіреді.

Бұл — функционалдық сауаттылықтың ең жоғары көрінісі.

III БӨЛІМ. ПӘНАРАЛЫҚ ИНТЕГРАЦИЯ ЖӘНЕ ТАПСЫРМАЛАР ТҮРЛЕНДІРУ

3.1. Пайыз, пропорция, қатынас есептерін физика, география, экономикамен байланыстыру

Пайыз, пропорция және қатынас — тек математика тараулары емес, олар жаратылыстану ғылымдары мен қоғамдық пәндерде қолданылатын әмбебап аналитикалық құрал. Физикадағы жылдамдық пен масса, географиядағы халық динамикасы мен климаттық көрсеткіштер, экономикадағы баға өзгерісі, бюджет құрылымы, инфляция — барлығы осы үш математикалық ұғым арқылы сандық дәлелдеуге құрылады. Сондықтан пәнаралық интеграция оқушының математикалық ойлауын кеңейтеді, білімді бір пән аясында емес, комплексті түрде қолдануға үйретеді.

Бұл бөлімде физика, география және экономика пәндерімен интеграция негізінде математикалық есеп құрастыру үлгілері, тәсілдері және сабақта қолдану модельдері ұсынылады.

1) Пайыз, пропорция, қатынас — пәнаралық байланыстың өзегі

Пән	Қолданылатын түсінік	Қандай есеп құрастырылады?
Физика	Жылдамдық, масса, қуат, тығыздық	Энергия үнемдеу, қозғалыс уақыты, отын шығыны
География	Халық саны, жауын-шашын, климат динамикасы	Пайыздық өсім, пропорциялық салыстыру
Экономика	Бюджет үлесі, инфляция, депозит, баға	Қаржылық талдау және тиімді шешім таңдау

Яғни формула — математикалық, ал мағына — пәндік сипатта.

2) Физика пәнімен интеграция

Физикада пропорция энергия, жылдамдық, уақыт арасындағы байланыстарды есептеуде тікелей қолданылады.

Мысал 1. Жылдамдық пен уақыт есебі (пәнаралық модель)

Жағдай:
Автокөлік 72 км/сағ жылдамдықпен 3 сағат жол жүрді. Қашықтықты есепте.

Түрлендірілген өмірлік нұсқа:

Егер жылдамдық 20% артса, жолға кететін уақыт қанша қысқарады?

]
Жылдамдық ↑ ⇒ уақыт ↓ → 0.5 сағат үнем.

Мысал 2. Электр энергиясы және пайыздық үнем

Физика + Математика + Экология бір тапсырмада

Берілгені:

Отбасы айына 240 кВт·сағ энергия жұмсайды. Қуатты тиімді пайдалансақ, тұтыну 18%-ға азаяды.

240 - 43.2 = 196.8

Формулалық есеп — экологиялық шешімге айналды:

Айына 43.2 кВт энергия үнемделеді — бұл табиғатқа жүктемені азайтады.

Бұл жерде математикалық есеп — өмірлік құндылыққа қызмет етеді.

3) География пәнімен интеграция

География көрсеткіштері көбіне пайыздық динамика, көлем қатынасы, халық тығыздығы талдауы арқылы түсіндіріледі.

Мысал 1. Халық санының пайыздық өсімі

2020 жылы қала халқы — 180 000 адам. 2023 жылы — 207 000 адам.
Өсу пайызын есептейік:

Модельдік сұрақтар:

- 5 жылда 15% өсім сақталса, халық саны қандай болады?

- Бұл өсім инфрақұрылымға қалай әсер етеді?

- Қанша мектеп/емхана қажет болады?

География → математика → әлеуметтік болжам.

Мысал 2. Климаттық мәліметтерді пропорциялау

Айлық жауын-шашын мөлшері

Ай	Жауын-шашын, мм
Наурыз	28
Сәуір	42
Мамыр	70

Сұрақ:
Мамырдағы жауын-шашын сәуірден неше есе көп?

Түрлендіру:

→ Егер тренд сақталса, маусымдағы көрсеткішті болжа.

→ Ауыл шаруашылығына әсерін түсіндір.

Оқушы дерек талдайды, болжам жасайды — бұл функционалдық сауат.

4) Экономика пәнімен интеграция

Экономикалық есеп — пайыздың ең табиғи қолданысы.

Мысал 1. Инфляция және баға динамикасы

Былтыр 1 кг күріш 600 тг болатын. Баға 12%-ға өсті.
Жаңа бағаны табу:

600 + (600 × 0.12) = 672 тг

Күрделендіру:

- Егер келесі жылы қайтадан 8% өссе?

- Табыс өзгермесе, тұтынушыға әсері қандай?

Математика → экономика түсінігіне айналды.

Мысал 2. Бюджетті пропорциямен бөлу

Отбасы айына 350 000 теңге табыс табады.

Сектор	Үлес
Тамақ	30%
Коммуналдық	18%
Транспорт	12%
Жинақ	20%
Қалған шығын	? (табамыз)

Шешім:

Қалған шығын:

350000 - (105000 + 63000 + 42000 + 70000) = 70000

Оқушы экономикалық пайым жасайды:

айына 70 000 тг еркін жұмсайды немесе жинағын көбейте алады.

5) Бір есеп — үш пәндік нұсқада

Негізгі есеп	Физика нұсқасы	География нұсқасы	Экономика нұсқасы
20% табу	Электр қуаты 20% азайды	Климат 20% ылғалдырақ	Баға 20% арзандады
Пропорция құру	Жол/уақыт пропорциясы	Халық саны өсімі	Бюджет бөлу
Қатынас табу	Жылдамдық | Қашықтық	Жауын-шашын қатынасы	Тауар үлестері

Бұл кесте бір ғана математикалық модельді үш түрлі пәнде қолдануға болатынын дәлелдейді.

Пәндер арасындағы байланыс — оқушыны көреген, талдай алатын, ойлай білетін тұлғаға айналдыру тетігі. Пайыз, пропорция, қатынас математикалық формула ғана емес — физикадағы энергияны, географиядағы халық динамикасын, экономикадағы баға мен табыс өзгерісін сипаттайтын әмбебап интеллектуалдық құрал.

Бұл тәсіл:

- құбылысты нақты санмен дәлелдеуге;

- бір дерекке әр пән тұрғысынан қарауға;

- ойлау дағдысын кешенді дамытуға мүмкіндік береді.

Оқушы санды есепке емес — өмірге құрал ретінде қарай бастайды.

3.2. Денсаулық, экология, спорт статистикасы арқылы есептер құрастыру

Пайыз, қатынас, пропорция ұғымдары денсаулық сақтау, экология және спорт салаларында нақты көрсеткіштерді есептеуде кең қолданылады. Адам денсаулығын бақылау — жүрек соғысы, салмақ индексі, су тұтыну пайызы, калория шығыны сияқты шамаларды есептеу арқылы жүзеге асады. Экология — ауа сапасының өзгерісі, қалдық көлемінің азаю пайызы, энергия үнемдеу, орман алқабының кему-өсу динамикасы секілді статистикалық деректерге сүйенеді. Спорт статистикасы — қашықтық, жылдамдық, нәтиже өсімі, ойын көрсеткіші сияқты параметрлермен өлшенеді.

Сондықтан математика пәнінде осы бағыттарға құрылған есептерді қолдану оқушының пәнді өмірмен байланыста көруіне, сандық ақпаратты талдап, дәлелді шешім қабылдауына мүмкіндік береді.

1) Денсаулық саласына негізделген есептер

Денсаулыққа байланысты есеп құрастыру — оқушыны өз өміріне жауапкершілікпен қарауға тәрбиелейді. Бұл жерде пайыз, қатынас, пропорция табиғи түрде қолданылады.

Мысал 1. Дене салмағы индексі (BMI)

Формула:
(массасы — m, бойы — h)

Мысал есеп: Назерке 52 кг, бойы 1.62 м. Оның дене индексін есепте.

Бұл нормаға сәйкес көрсеткіш екенін оқушы интерпретациялайды.

Күрделендіру:

- салмақ 6% артса BMI қалай өзгереді?

- бой 3 см өссе, индекс қалай өзгереді?

- норма шегін пайызбен салыстыр.

Мысал 2. Судың тәуліктік нормасы

Дерек: Ағзаға тәулігіне салмақтың 3%-ы мөлшерінде су қажет.

55 кг адамға:

55 × 0.03 = 1.65 литр

Өмірлік тапсырма:

- Егер адам күнде 1.2 л ғана ішсе — норманың неше пайызы?

- Жаз мезгілінде қажеттілік 15% артса, жаңа норма қандай?

- Арнайы 1 аптаға су кестесін құр.

Оқушы күнделікті денсаулық дағдысын математикалық модельдеуді үйренеді.

Мысал 3. Калория шығынының пропорциясы

Спортпен шұғылданған адам әр 15 минутта 120 ккал жұмсайды.

1 сағат жаттығуда:

120 × 4 = 480 ккал

Егер жаттығу ұзақтығы 25% артса:

480 × 1.25 = 600 ккал

Оқушы калория үнемі — энергия жұмсаумен байланысты екенін түсінеді.

2) Экология тақырыбында есеп құрастыру

Экологиялық есептер функционалдық сауаттылықты дамытудың ең пәрменді құралы, себебі нәтижесі тікелей табиғатты қорғауға қатысты.

Мысал 1. Қалдықтың азаю пайызы

Мектеп бір айда 150 кг қағаз қалдығын жинаған. Экосынып жобасынан кейін бұл көлем 40%-ға азайды.

150 × 40% = 60 кг азайды

150 - 60 = 90 кг қалдық

Интерпретация:

- 1 айда 60 кг үнемделді — 6 ағашты сақтауға тең.

Күрделендіру:

1. Егер үнемдеу 6 ай жалғасса?

2. 5 сынып осы жұмысты бастаса — жалпы нәтиже қандай?

3. Қалдықты 60%-ға азайту үшін қандай жоспар қажет?

Мысал 2. Ауа сапасының индексі

Қаладағы PM2.5 концентрациясы 32 бірлік → 27 бірлікке дейін түсті.
Төмендеу пайызын табу:

Өмірлік байланыс:

Ауа сапасы 15.6% жақсарды. Бұл — денсаулық үшін маңызды көрсеткіш.

Оқушы статистика — қоршаған ортаның көрінісі екенін көреді.

Мысал 3. Электр қуатын үнемдеу

Отбасы айына 230 кВт энергия жұмсайды. Эко-лампа орнатқан соң тұтыну 18% азайды.

Кейінгі тапсырма:

- Құны 18 тг/кВт болса — қаржы үнемі?

- 1 жылдық үнем есепте.

- Мектеп 100 үйде осы әдісті енгізсе?

Бұл жерде жеке үй → қоғамдық масштабқа көтеріледі.

3) Спорт статистикасын есепке айналдыру

Спорттық көрсеткіштер көбіне салыстыру, өсім%, қатынас, уақыт-жылдамдық пропорциясы арқылы бағаланады.

Мысал 1. Нәтиже өсімін есептеу

Спортшы 100 метрді 16 секунтта жүгірген. 3 ай жаттыққаннан кейін нәтижесі 13.6 сек болды.

Оқушы осы өсімге не әсер етті? деген талдауға өтеді.

Мысал 2. Команда ұпай қатынасын талдау

Команда	Ұпай
А	42
В	36

Қатынас:

42 : 36 = 7 : 6

- Қайсысы басым?

- Егер В командасы 20% ұтып алса — қатынас қалай өзгереді?

- А кемісе ше?

Бұл есеп соревновательный динамиканы модельдейді.

Мысал 3. Қашықтық пен калория есебі

5000 қадам ≈ 3.7 км.

Айгерім күніне 9000 қадам жасайды.

× 3.7 = 6.66 км

- Егер қадам саны 25% көбейсе — калория шығыны?

- 1 айда неше км жүреді?

- Денсаулыққа әсерін сипатта.

Оқушы ғылыми + физикалық + матем. ойлауды біріктіреді.

4) Бір тақырып — үш салаға бейімделуі

Бастапқы модель	Денсаулық	Экология	Спорт
20% өсім	жүрек соғысы — 20% жиілесе	ауа сапасы 20% нашарласа	нәтиже 20% жақсарса
Қатынас	су/калория теңгерімі	өсімдік/қалдық көлемі	ұпай/жеңіс ара қатысы
Пропорция	сусын рецепті	қуат тұтыну → уақыт	жылдамдық → қашықтық

Бір формула — үш түрлі өмір саласына қызмет етеді.

Денсаулық, экология, спорт бағытындағы есептер оқушыны:

- өз денсаулығын бақылауға,

- табиғатты қорғауды сандық негізде түсінуге,

- нәтижені талдап, шешім қабылдауға,

- процесті математикалық модельдеуге,

үйретеді.

Оқушы тек есеп шығармайды — өз өміріне, ортаға және дамуына саналы қарайды.

Бұл — функционалдық математикалық сауаттың ең нақты көрінісі.

3.3. PISA, TIMSS форматына бейімделген тапсырмалар үлгілері

Халықаралық зерттеулер ‒ PISA және TIMSS – оқушылардың тек математикалық формулаларды білуін емес, оларды өмірлік жағдаяттарды шешуде қолдана алу қабілетін бағалайды. Мұндай тапсырмаларда нақты дерек, диаграмма, кесте, мәтіндік ақпарат беріледі; оқушы оны талдап, салыстырып, дұрыс қорытынды шығара білуі қажет. Сондықтан пайыз, пропорция, қатынас тақырыптарын осы форматқа сәйкестендіріп есеп құрастыру – функционалдық сауаттылықты дамытудағы ең тиімді жолдардың бірі.

Бұл бөлімде PISA және TIMSS стиліндегі нақты тапсырма үлгілері ұсынылады. Әр есеп нақты өмірден алынған дерекке негізделген, бірнеше сұрақпен беріледі және ойлау деңгейі күрделеніп отырады.

1) PISA форматына негізделген тапсырмалар

- PISA тапсырмалары ‒ мәтінге, өмірлік жағдаятқа, дерек талдауға бағытталған. Жауап әрдайым бір ғана сан емес – талдау, түсіндіру, пікір айту да бағаланады.

PISA ТАПСЫРМАСЫ 1. «ҚҰТТЫҚТАУ ПЕШІ»

Асхана 1 айда 420 кВт энергия жұмсайды. Энергия үнемдейтін пеш орнатқан соң тұтыну 22% азайды.

1. Жаңа энергия тұтыну мөлшерін есептеңіз.

2. Егер 1 кВт энергияның бағасы 18 тг болса, ай сайын қанша қаржы үнемделеді?

3. Осы үнемдеу 12 айға созылса, асхана бюджеті қалай өзгереді? Қорытынды жаса.

Шешім үлгісі:

Талдау күтіледі:

Бұл өзгеріс экономикалық жағынан тиімді ме? Неліктен?

PISA ТАПСЫРМАСЫ 2. «ҚАЛА ХАЛҚЫ»

Қала халқы 2019 жылы – 185 000 адам, 2023 жылы – 218 000 адам болды.

1. Халықтың өсу пайызын анықта.

2. Егер өсім осылай жалғасса, 2025 жылғы болжамды халық санын есепте.

3. Халық санының артуы қалалық инфрақұрылымға қалай әсер етеді?

Есептеу:

Пікір:

Тұрғын саны артқан сайын мектеп, аурухана, қоғамдық көлік сұранысы өседі.

PISA ТАПСЫРМАСЫ 3. «МЕНЮДЕГІ ҚҰНДЫЛЫҚ»

Төмендегі диаграмма Амирдің бір күнде тұтынған тағам құрамын көрсетеді:

Қоректік зат	Үлес (%)
Көмірсу	45%
Ақуыз	30%
Май	25%

Күндік рационы 2400 ккал.

1. Әр қоректік бөліктің калория мөлшерін есепте.

2. Егер май мөлшері 20%-ға қысқартылса, артық калория қанша болады?

3. Амирге пайдалы мәзір өзгерісін өз ойыңмен ұсын.

2) TIMSS форматына бейімделген тапсырмалар

- TIMSS – құрылымы математикалық, нақты сандық есеп жазу талап етіледі. Жауап түсінікті және дәл болуы керек.

TIMSS ТАПСЫРМАСЫ 1. «МАСШТАБ ЖӘНЕ ҚАШЫҚТЫҚ»

Карта масштабы: 1 см = 5 км. Қала мен ауылдың арақашықтығы картада 7.6 см.

1. Нақты қашықтықты есепте.

2. Егер жылдамдық 60 км/сағ болса, жолға кететін уақытты тап.

3. Жылдамдық 20% артса, уақыт қаншаға қысқарады?

Шешім:

7.6 × 5 = 38 км

t = сағ = 38 мин

Жылдамдық артқанда уақыт азаяды.

TIMSS ТАПСЫРМАСЫ 2. «СУ ТАЗАЛАУ ФИЛЬТРІ»

Фильтр тәулігіне 120 л суды тазартады. Жаңа модель оны 25% жылдам тазартады.

1. Жаңа модельдің өнімділігін есепте.

2. 1 аптада тазартылған су мөлшерін анықта.

3. Егер отбасы тәулігіне 160 л су қолданса, жаңа құрылғы жеткілікті ме?

120 × 1.25 = 150 л/тәулік

150 × 7 = 1050 л/апта

Оқушы логикалық шешімге келеді:

Қажеттілік > мүмкіндік болса, қосымша су көзі керек.

TIMSS ТАПСЫРМАСЫ 3. «СПОРТ ОРТАЛЫҒЫ»

Спортшы алғашқы 4 аптада орташа 12 км, кейінгі 4 аптада – 15 км жүгірді.

1. Екі кезеңді салыстыр: неше пайыз өсім?

2. Егер келесі айда көрсеткіш тағы 10% өссе, жаңа қашықтық қандай?

3. 12 апта ішінде барлығы қанша км жүгіргенін есепте.

× 100% = 25 % өсім

Оқушы динамиканы түсінеді, статистикалық пайымдаманы қалыптастырады.

3) PISA–TIMSS гибридті күрделі тапсырмалар (жоғары деңгей)

Бұл есептерде дерек + есептеу + талдау + қорытынды ұштасады.

ҚОСЫЛҒАН ТАПСЫРМА 1. «ЭКО БАҚША»

Мектеп жылыжайы жылына 820 кг көкөніс өсіреді. Жоба енгізілген соң өнім 18% артты.

1. Жаңа өнім мөлшерін тап.

2. Мектеп асханасы жылына 900 кг тұтынады. Қосымша сату үшін қанша өнім қалады?

3. Бұл табысқа қалай әсер етеді? Пікір жаз.

ҚОСЫЛҒАН ТАПСЫРМА 2. «ДИЕТА САЛЫСТЫРУ»

Мәзір	Калория	Ақуыз %	Май %
A	2100	25%	30%
B	2400	30%	25%

1. Әр мәзірдегі ақуыз калориясын есепте.

2. Қайсысы спортшыға тиімді? Неліктен?

3. Май мөлшерін 10% өзгертіп, жаңа рацион ұсын.

Бұл жерде математика — биология, денсаулық, спортпен бірігеді.

PISA және TIMSS форматындағы тапсырмалар:

- теорияны шынайы өмір жағдайларымен ұштастырады,

- ақпаратты талдап, математикалық шешім қабылдауға үйретеді,

- пайыз, пропорция, қатынас ұғымдарын функционалды қолданады,

- жоғары деңгейлі ойлау дағдыларын дамытады.

Оқушы есепті жаттап емес — түсініп және дәлелдеп орындайды. Бұл — математикалық сауаттың шынайы нәтижесі.

3.4. Деңгейлеп оқытуға арналған дифференциацияланған есептер топтамасы

Математика сабағында барлық оқушы бірдей қарқынмен, бірдей дайындық деңгейінде дами алмайды. Сондықтан оқыту үдерісінде деңгейлік тапсырмалар жүйесін құру — тиімді оқу нәтижесіне қол жеткізудің негізгі шарттарының бірі. Дифференциацияланған есептер оқушыға өз мүмкіндігіне сай тапсырма орындауға мүмкіндік береді, күрделі деңгейге біртіндеп көтерілуге жағдай жасайды және индивидуалды траектория құруға мүмкіндік береді.

Бұл бөлімде пайыз, пропорция, қатынас тақырыптарына арналған үш деңгейлі (I — базалық, II — орта, III — жоғары) есептер ұсынылады. Әр деңгейде тапсырмалар күрделене отырып, өмірмен байланысады, салыстыру, дәлелдеу, талдау дағдыларын дамытады.

I ДЕҢГЕЙ — БАЗАЛЫҚ ТАПСЫРМАЛАР

Мақсаты: формуланы қолдану, негізгі түсініктерді бекіту.

Бұл деңгейдегі есептер қарапайым, бір амал арқылы шығарылатын, формуланы қолдануға негізделген.

- Есеп 1. Пайыз

480 теңгенің 25%-ын тап.

Шешім:

480 × 0.25 = 120 тг

- Есеп 2. Қатынас

18 және 12 сандарын ең қарапайым қатынас түрінде жаз.

Шешім:

18 : 12 = 3 : 2

- Есеп 3. Пропорция

4 кг алма 1200 теңге тұрса, 1 кг қанша тұрады?

Шешім:

1200 : 4 = 300 тг/кг

- Есеп 4. Өмірмен байланысты нұсқа

Оқушы мектепке дейін 2 км жолды 30 минутта жүреді. Оның орташа жылдамдығы қандай?

Шешім:

Осы деңгейдің мақсаты:

- формуланы түсіну → қолдану

- есепті талдамай орындау

- нәтижеге жету әдісін меңгеру

II ДЕҢГЕЙ — ТАЛДАУҒА НЕГІЗДЕЛГЕН ЕСЕПТЕР

Мақсаты: екі немесе одан көп амал орындау, нәтиже мәнін түсіндіру.

Бұл деңгей оқушыдан ақпаратты өңдеуді, салыстыруды, шешім іздеуді талап етеді.

- Есеп 1. Пайыз өзгерісі

Тауар бағасы 15 000 тг болды, кейін 12% арзандады. Жаңа баға қанша?

Шешім:

15000 × 0.12 = 1800

15000 - 1800 = 13200 тг

- Есеп 2. Қатынас салыстыру

Кітапханада 420 қазақша, 280 орысша кітап бар. Қатынасын жаз, қайсысы көп және неше есеге?

Шешім:

420 : 280 = 3 : 2

→ Қазақша кітап 1.5 есе көп.

- Есеп 3. Пропорция және уақыт

Карта масштабы 1 см = 4 км. Егер картадағы қашықтық 9.5 см болса, қанша км?

Шешім:

9.5 × 4 = 38 км

→ Автобус жылдамдығы 60 км/сағ болса, жол уақыты:

t = = 0.63 сағ ≈ 38 мин

- Есеп 4. Өмірге бейімделген есеп

Спортшы алғашқы айда 5 км, келесі айда 6.5 км жүгірді. Өсім пайызын есепте.

Шешім:

× 100% = 30%

Осы деңгейдің мақсаты:

- ақпаратты талдау;

- салыстыру және қорытынды жасау;

- модель құру.

III ДЕҢГЕЙ — ЗЕРТТЕУ, БОЛЖАМ, ШЕШІМ ҚАБЫЛДАУ ЕСЕПТЕРІ

Мақсаты: күрделі ақпаратпен жұмыс, көпқадамды шешім, өмірлік сценарий таңдау.

Бұл деңгейде оқушы тек есеп шығармайды, ойлайды, дәлелдейді, өз шешімін негіздейді.

- Есеп 1. Отбасылық бюджет

Төмендегі кестені негізге ал:

Шығын түрі	Үлес (%)
Тамақ	35%
Коммуналдық	18%
Транспорт	12%
Жинақ	20%
Бос шығын	қалғаны

Айлық табыс 420 000 тг.

1. Әр сектордың төлем мөлшерін есепте.

2. Жыл бойғы жинақ сомасын тап.

3. Егер транспорт шығыны 15%-ға өссе, бюджет қалай өзгереді? Қорытынды жаса.

- Есеп 2. Экологиялық тиімділік есебі

Мектеп жылына 260 кг қағаз тұтынады. Қайта өңдеу жобасы енгізіліп, қалдық 48% қысқарды.

1. Жылдық үнем мөлшерін есепте.

2. Егер 1 кг қағаз → 7 тг пайда әкелсе, қанша табыс түседі?

3. 5 жылда қанша ағаш сақталады (1 ағаш = 20 кг)?

Оқушы сандық шешім + экологиялық жауапкершілік сезімін қалыптастырады.

- Есеп 3. Спорт көрсеткішіне талдау

Спортшы 2 айда 10 км, кейінгі 2 айда 14 км, соңғы айда 18 км жүгірді.

1. Әр кезеңнің өсім пайызын тап.

2. Жалпы нәтижені жас графикпен түсіндір.

3. 6-айдағы болжау нәтижесін ұсынып, дәлелде.

→ Бұл есеп зерттеу, болжау, дәлелдеу құзыретін дамытады.

Осы деңгейдің мақсаты:

- зерттеу әрекетін дамыту;

- математиканы өмірмен байланыстыру;

- дәлелді шешім қабылдау;

- жоғары деңгей ойлауға көтерілу.

Дифференциацияланған есеп топтамасы:

- әр оқушыға өз деңгейіне сай жұмыс істеуге мүмкіндік береді;

- математикалық сауаттылықты кезең-кезеңімен дамытады;

- төменгі деңгей — түсіну, қолдану;

- орта деңгей — талдау, салыстыру;

- жоғары деңгей — зерттеу, дәлел, шешім шығару құзыретін қалыптастырады.

Оқушы формуланы жаттап емес, өмірде қолданатын құрал ретінде меңгереді.

IV БӨЛІМ. ПРАКТИКАЛЫҚ ЖОБАЛАР, ЕСЕП ҮЛГІЛЕРІ ЖӘНЕ ҚҰРАЛДАР

4.1. Өмірлік кейс-есептер банкі: дүкен, коммуналдық төлем, жеңілдік, инфляция мысалдары

Өмірлік мазмұндағы есептер – математиканы өмірмен біріктіретін ең күшті құрал. Оқушы үшін пайыз, пропорция, қатынас абстрактілі формула күйінде емес, нақты әрекетті түсіндіретін модельге айналады: сатып алу, шығынды есептеу, коммуналдық төлем төлеу, инфляцияны талдау, бюджетті жоспарлау. Бұл бөлімде мұғалім сабақта бірден қолдана алатын кең ауқымды өмірлік кейс-есептер банкі беріледі. Әр кейс бірнеше деңгейлі сұрақпен ұсынылады: бірінші сұрақ – негізгі есептеу, екіншісі – талдау, үшіншісі – ойлау және шешім қабылдау. Мұндай тәсіл оқушының тек сан табуына емес, санды өмірге қолдануына, мағына шығаруына мүмкіндік береді.

I. ДҮКЕН ЖӘНЕ САУДА КЕЙСТЕРІ

Бұл топтағы есептер пайызды есептеу, жеңілдік, салыстыру, шығынды жоспарлау дағдысын дамытады. Оқушы — сатып алушы рөлін атқарады.

Кейс 1: «Жеңілдік күні»

Дүкенде 32 000 тг тұратын күртеге 25% жеңілдік берілді.

1. Жеңілдік мөлшерін есепте.

2. Жеңілдік жасалғаннан кейінгі баға қандай?

3. Егер сатып алушы 40 000 тг әкелсе, қанша ақшасы қалды?

Күрделендіру сұрағы:

→ Егер келесі аптада баға 15% қайта қымбаттаса, соңғы баға қандай болады?

32000×25%=8000 тг

32000-8000=24000 тг

24000×1.15=27600 тг

Талдау:

Жеңілдікпен алу тиімді, бірақ кейінгі қымбаттау бюджетке әсер етеді.

Кейс 2: «Екі дүкенді салыстыру»

Дүкен	Баға
«A»	18 900 тг
«B»	20 500 тг, бірақ –15% жеңілдік

Қай дүкенде алу тиімді?

20500×0.15=3075 жеңілдік

20500-3075=17425 жаңа баға

Шешім:

→ B дүкенінде 1475 теңге арзан.

Сұрақ:

Егер А дүкені кейін –10% акция ұсынса, тиімділік өзгере ме? Нәтижені дәлелде.

Кейс 3: «Ас мәзірі және құнды есептеу»

Дастан 800 г мандарин (1500 тг/кг) және 450 г шоколад (4200 тг/кг) сатып алды.

1. Әр өнімнің құнын есепте.

2. Барлығы қанша төледі?

3. Егер дүкенде 5% бонус берілсе, қайтарылған ақша қандай?

Кейс 4: «Себет құны»

Өнім	Салмақ	Баға (тг/кг)
Банан	1.3 кг	900
Үзім	0.8 кг	1600
Алма	2.4 кг	780

1. Жалпы бағаны есепте.

2. Егер клиент бонус картамен төлеп, 7% кешбэк алса, қанша қайта алады?

3. Бір аптада осындай себеттен 3 рет алса, айлық шығынды есепте.

Мұнда оқушы ұзақ мерзімді жоспарлауды үйренеді.

II. КОММУНАЛДЫҚ ТӨЛЕМ МЕН ТҰТЫНУ ЕСЕПТЕРІ

Энергия, су, газ, жылу төлемдерін есептеу – математикалық сауаттың нақты өмірдегі көрінісі. Мұндай есептер оқушының отбасылық бюджетке көзқарасын қалыптастырады.

Кейс 1: «Электр энергиясы»

Отбасы айына 285 кВт·сағ энергия жұмсайды. 1 кВт құны – 19 тг.

1. Айлық төлемді есепте.

2. Егер тұтыну 18%-ға азайтылса, қанша үнем болады?

3. Жылдық үнемді шығар.

285×19=5415 тг

5415×18%=974.7 тг үнем

974.7×12≈11696.4 тг/жыл

Кейс 2: «Су тұтыну»

Үйдегі су есептегіші айына 14.8 м³ су көрсетті. 1 м³ = 120 тг.

1. Төлем сомасын тап.

2. Егер отбасында су тұтынуды 20% азайту жоспары болса, жаңа төлем қандай?

3. Үнемделген қаражатты 1 жылға шақта.

Кейс 3: «Газ төлемі»

Қыста газ тұтыну 110 м³ болды. Көктемде бұл көрсеткіш 35%-ға төмендеді.

1. Көктемдегі тұтыну мөлшерін есепте.

2. Қыстағы төлем 9500 тг болса, көктемдегі төлем шамамен қанша?

3. Егер жылдық газ қолдану жазда тағы 50% азайса, маусымдық жоспар жаса.

III. ИНФЛЯЦИЯ ЖӘНЕ БАҒА ДИНАМИКАСЫ

Бұл есептер экономикалық ойлауды дамытады. Инфляция – пайызды шынайы қолданудың ең айқын саласы.

Кейс 1: «Баға өсімі»

Былтыр күріш 680 тг/кг еді. Биыл 14% қымбаттады.

1. Жаңа бағаны тап.

2. Егер отбасы айына 6 кг тұтынса, шығын қалай өзгереді?

3. Инфляция осылай жалғасса, келесі жылға болжам жаса.

Кейс 2: «Тауар арзандауы»

Телекөрсеткіш бағасы 195 000 тг еді. Қарашадан бастап 12% арзандады.

1. Жаңа бағаны есепте.

2. Егер желтоқсанда қосымша –8% жеңілдік берілсе, соңғы баға қандай?

3. Қандай кезеңде сатып алу тиімді? Түсіндір.

Кейс 3: «Жалақы және инфляция»

Аманжолдың айлығы 200 000 тг. Инфляция 10%. Келесі жылы жалақы 12% өсті.

1. Жалақы өсімі нақты тұрғыда тиімді ме?

2. Сатып алу қабілетін салыстыр.

3. Аманжолға қаржылық ұсыныс жаса (жинақ, депозит, үнемдеу).

Оқушы санды ғана емес — экономикалық тұрғыдан ойлауды үйренеді.

Кейс 4: Нан бағасының өзгерісі

Жыл	Баға
2021	110 тг
2022	135 тг
2023	150 тг

1. Әр жылдағы өсімді пайызбен есепте.

2. 2024 болжамын жаса.

3. Табыс өзгермесе, шығын қалай өзгереді?

Мұнда статистика + математика + экономика бірігеді.

IV. КЕЙС-ЕСЕПТЕРДІ САБАҚТА ҚОЛДАНУ МОДЕЛІ

Сабақ кезеңі	Мұғалім әрекеті	Оқушы әрекеті
Мотивация	Өмірлік жағдай ұсынады	Мәселені талдайды
Міндет қою	«Тиімді шешім қандай?» сұрайды	Дәлелді болжам жасайды
Есеп шығару	Формула/модельге бағыттайды	Есептеп, түсіндіреді
Рефлексия	«Неге сен олай ойлайсың?» деп сұрайды	Шешімін дәлелдейді
Кеңейту	Жаңа нұсқа құрастыруды ұсынады	Өзіндік кейс жасайды

Бұл модель оқушыны тұтынушы емес — талдаушы тұлғаға айналдырады.

Өмірлік кейс-есептер банкі:

- Оқушыны нақты өмірлік шешім қабылдауға үйретеді;

- Пайыз, пропорция, қатынас ұғымдарын шынайы дерекпен бекітеді;

- Дүкенде баға салыстыруды, төлем есептеуді, инфляцияны түсінуді дамытады;

- Коммуналдық шығынды жоспарлау мәдениетін қалыптастырады;

- Экономикалық ойлау, талдау, болжам, тиімділік бағасын арттырады.

4.2. Жобалық жұмысқа арналған тапсырмалар: шағын зерттеу, дерек жинау, диаграмма жасау

Жобалық жұмыс ‒ оқушының тек есеп шығарушы ғана емес, зерттеуші, талдаушы, дерек жинаушы және шешім қабылдаушы тұлға ретінде қалыптасуына ықпал ететін қуатты әдіс. Пайыз, пропорция, қатынас тақырыптары зерттеу жүргізуге өте қолайлы, себебі олар кез келген сандық ақпаратты талдау мен салыстыруға мүмкіндік береді. Оқушы өзінің өмірімен, мектебімен, тұрмысымен байланысты дерек жинап, есепке айналдыра алады; статистика шығарып, диаграмма жасай алады; қорытынды жасап, шешім ұсына алады. Осы бөлімде зерттеуге негізделген жобалық тапсырмалар үлгісі, кезеңдік әдістемелік алгоритм және дайын зерттеу кейстері ұсынылады.

I. Жобалық жұмыстың алгоритмі (оқушыға арналған қадамдар)

Қадам	Не істейді?	Қандай дағды дамиды?
1. Мәселе таңдауы	Зерттеу тақырыбын анықтайды	Қызығушылық, мақсат қою
2. Дерек жинау	Сауалнама, бақылау, интернет/әдебиет	Ақпарат іздеу, сұрыптау
3. Есептеу және өңдеу	Пайыз, пропорция, салыстыру	Аналитикалық ойлау
4. Диаграмма, кесте жасау	График, визуализация құру	Модельдеу, цифрлық сауат
5. Қорытынды, ұсыныс	Тиімді шешім ұсыну	Сыни ойлау, дәлелдеу
6. Презентация	Нәтижені қорғау	Коммуникация, сөйлеу мәдениеті

Мұғалім бұл алгоритмді сабаққа енгізсе, оқушы өз зерттеуін жоспарлауды үйренеді, санмен жұмыс істеуге сенімділік артады.

II. Мектеп және тұрмысқа бағытталған шағын зерттеу тақырыптары

Бұл тақырыптар оқушыға ең жақын, дерек жинау оңай.

1. Сыныптағы оқушылардың су ішу көлемі.

– күніне орташа неше мл?

– нормамен салыстыру, пайыздық айырмашылық.

2. Асханадағы тағам порциясының энергетикалық құрамы.

– ақуыз/май/көмірсу үлесі.

– диаграмма жасау.

3. Мектепте интернетті қолдану статистикасы.

– оқушылардың % Wi-Fi пайдалану деңгейі.

4. Қоқыс (пластик/қағаз/шыны) сұрыптау динамикасы.

– айлық өзгеріс % түрінде.

5. Кітап оқу жиілігі.

– аптасына орта есеппен неше бет?

– сынып бойынша қатынас, медиана, орташа мән.

6. Үйдегі электроқұралдардың энергия тұтынуы.

– әр құрылғының %, диаграмма, үнемдеу әдісі.

Бұл тақырыптар тек математикалық есеп емес, нақты зерттеу құжатына айнала алады.

III. Жобалық тапсырма үлгісі (толық зерттеу нұсқасымен)

Жоба: «Су тұтыну нормасы және нақты көрсеткіш»

Мақсаты: Оқушылардың су ішу көлемін өлшеу және нормаға сәйкестігін пайызбен есептеу.

1-қадам – дерек жинау:

25 оқушының күніне қанша су ішетінін тіркейді. Мысалы:

Оқушы	Көлем (мл)
Аяулым	1200
Марсель	1600
Дінмұхаммед	900
…	…

2-қадам – статистикалық өңдеу:

Орташа көлем=∑

Егер норма – 1800 мл болса, әр оқушы норманың неше % ішкенін есептейді:

3-қадам – визуализация:

Баған диаграммасы

Орташа мән сызықпен белгіленеді.

4-қадам – қорытынды:

→ 25 оқушының 40%-ы нормадан төмен тұтынады.

→ Дене және мидың жұмыс қабілеті үшін су нормасын сақтау маңызды.

5-қадам – ұсыныс:

✓ «Мектеп су флешмобы»

✓ 1 литрлік бөтелке қолдану

✓ Асханаға су диспенсерін орнату

Мұнда математикалық есеп ғылыми жобамен бірігеді.

IV. Экологияға негізделген зерттеу жобалары

Экология тақырыбы сандық зерттеу жасауға өте ыңғайлы, себебі көрсеткіштер пайызбен, салыстырумен өлшенеді.

Жоба 1. «Пластикті азайту тәжірибесі»

Мәселе: Мектеп 1 айда қанша пластик шығарады?

Дерек жинау әдісі: қоқыс салмағын аптасына бір рет өлшеу.

Апта	Пластик (кг)
1	12
2	15
3	14
4	11

Талдау:

→ Ең көп және ең аз аптаны пайызбен салыстыру.

→ Егер эко-сұрыптау енгізілсе, 25% азайту болжамын есептеу.

→ 1 жылдық үнем көлемін шығару.

Оқушы санды → шешімге айналдырады:

➜ «Eco-box орнату қажет»,

➜ «Әр сыныпқа арнайы жәшік керек».

Жоба 2. «Ағаш отырғызу тиімділігі»

Мектеп ауласында 30 ағаш отырғызылды. Бір жыл ішінде олардың 20% өспей қалды.

1. Тірі қалған ағаш санын есепте.

2. Егер келесі жылы 15% қайта отырғызылса, жалпы сан қалай өзгереді?

3. Қорытындысын диаграмма немесе секторлық графикпен көрсет.

Бұл жобада есеп — табиғатты қорғау әрекетімен тікелей байланысады.

V. Спорт және денсаулық статистикасы бойынша жоба үлгілері

Бұл бағыт физикалық белсенділік пен нәтижені сандық талдауға мүмкіндік береді.

Жоба 1. «Қадам санау зерттеуі»

10 оқушы 1 апта бойы смартфон/браслет арқылы қадам санын есептейді.

Оқушы	1 күн (қадам)	7 күн (орташа)
Аян	6200	6400
Айша	8900	8200
т.б.	…	…

Талдау тапсырмалары:

1. Орташа қадам көлемін анықта.

2. 10 000 қадам нормасымен салыстыр.

3. Норманы орындау пайызы қанша?

4. Диаграмма жаса және қорытынды жаз.

Жоба 2. «Жүгіру көрсеткішінің өсімі»

Апталық нәтижелер:

Апта	Қашықтық (км)
1	4.2
2	5.1
3	6.0
4	7.5

Тапсырмалар:

1. Әр апта өсім пайызын есепте.

2. 5-аптаға болжам жаса (өсу тенденциясы бойынша).

3. Нәтижені сызықтық графикпен бейнеле.

4. Қандай фактор дамуға әсер етуі мүмкін?

Оқушы аналитикалық қорытынды жасайды:

✓ жаттығу тұрақты болса — өсім жоғары болады.

✓ артық күш салу — кері әсер береді.

VI. Сабақ пен жоба интеграциясы

Жобаларды сабаққа енгізудің бір үлгісі:

Сабақ сценарийі:

Кезең	Қолданылатын құрал	Үйренілетін дағды
Бастау	Инфографика, статистика	Дерек түсіну
Жұмыс	Google Sheets, Excel	Пайыздық есеп, диаграмма
Зерттеу	Сауалнама, бақылау	Ақпарат жинау
Талдау	График, салыстыру	Қорытынды, болжам
Қорғау	Презентация, постер	Коммуникация, дәлелдеу

Бұл модель оқушы жұмысын ықшам ғылыми жобаға айналдырады.

Бұл бөлімде ұсынылған жобалық тапсырмалар:

- оқушыны зерттеушілік әрекетке бағыттайды;

- дерек жинау → есептеу → талдау → диаграмма → қорытынды тізбегін қалыптастырады;

- функционалдық сауаттылықты нақты өмірімен байланыстыра дамытады;

- сандық дерекпен жұмыс, визуализация, статистика құру қабілетін дамытады;

- пайым, болжам, шешім қабылдау мәдениетін қалыптастырады.

Жобалық жұмыс математиканы жаттықтыру емес —
шын өмірді өлшеу, түсіну және басқару дағдысы.
Оқушы үшін бұл — санды формулаға емес, санды өмірге айналдыру өнеріне жол ашады.

4.3. Оқушының өзіндік есеп құрастыру дағдысын дамытуға арналған әдістер

Оқушының есепті өз бетінше құрастыра алуы — математикалық ойлаудың жоғары деңгейі. Бұл дағды тек шешу емес, есепті ойдан жасау, шартын құрастыру, жоспарлау, санмен байланысу, логикалық құрылым ұйымдастыру қабілеттерін дамытады. Пайыз, қатынас, пропорция тақырыптары есеп құрастыру үшін өте қолайлы, себебі кез келген өмірлік шаманы салыстыру, үлеске бөлу, өсім/азаю арқылы есепке айналдыруға болады. Оқушы есепті өзі жасағанда оны терең түсінеді, себебі ол ‒ есептің авторы және шешушісі.

Бұл бөлімде оқушыларға есеп құрастыруды үйретудің әдістемесі, жаттықтыру тапсырмалары, деңгейлік модельдер, формула-шаблондар және практикалық сабақ сценарийлері беріледі.

I. Есеп құрастыру дағдысын дамытудың мақсаттары

- дайын есепті шешуден жоғары ойлау деңгейіне көтерілу;

- математикалық модель құру қабілетін қалыптастыру;

- дерек → есеп → шешім тізбегін меңгеру;

- шығармашылық және талдау ойлауын бірге дамыту;

- өмірден есеп көру, бағалау, салыстыру қабілетін арттыру.

Бұл дағды қалыптасқанда оқушы математикаға өңдеуші емес, жасаушы рөлінде қарай бастайды.

II. Есеп құрастыруға арналған әдістемелік алгоритм

Оқушыға төмендегі қадамдарды үйрету тиімді:

Кезең	Әрекет	Нәтиже
1) Шама таңдау	Баға, уақыт, қашықтық, пайыз, масса	Бастапқы дерек
2) Контекст беру	Дүкен, спорт, экология, мектеп	Өмірлік сюжет
3) Сан белгілеу	10%, 1500 тг, 8 км	Математикалық негіз
4) Сұрақ құру	Қанша? Неше пайыз? Қайсысы тиімді?	Есептің мақсаты
5) Күрделендіру	Қосымша шарт қосу	Аналитикалық ойлау

Оқушы осы 5 қадаммен 1 минут ішінде есеп құрастыра алады.

III. Формула-шаблондар (дәл қолдануға болады)

Пайыздық есеп құрастыру үлгісі:

«Бағасы A тг болған өнім B% арзандады/қымбаттады. Жаңа бағаны тап.»

Пропорциялық үлгі:

«A кг өнім B тг тұрса, C кг қанша тұрады?»

Қатынасқа арналған үлгі:

«Себетте A алма және B алмұрт бар. Қатынасын жаз және салыстыр.»

Экономикалық шаблон:

«Айлық табыс A тг. Оның B% жинаққа бөлінеді. 1 ай/1 жылда қанша?»

Бұл шаблондар кейін оқушының өзі өзгертіп, дамытып құрастыратын негіз болады.

IV. Есеп құрастыруды үйрететін жаттығулар жүйесі

1-кезең — саннан есеп шығару

Оқушыға үш сан беріледі. Мысалы: 200 — 15 — 3сағ
Тапсырма: осы сандармен есеп құрастыр.

Мысал нәтижесі:

200 км жолды 3 сағатта жүретін көлік жылдамдығын тап.
15% жеңілдік болса, бағасы қаншаға азаяды?

2-кезең — мәтіннен есеп шығару

Мұғалім мәтін береді:

«Мектепте 450 оқушы бар, оның 280-і бастапқы сыныпта оқиды.»

Тапсырма: осы дерекпен 2–3 есеп құрастыр.

Мүмкін нұсқалар:

- Бастауыш сынып үлесін пайызбен тап;

- Қалған сынып оқушылары саны қанша?

- Қатынасын жаз.

3-кезең — контексттен есеп шығару

Тақырып беріледі: «Асхана мәзірі».

Оқушының құрастыру мүмкін есептері:

1. 1200 тг болған тамақ 10% арзандады.

2. Мәзірдегі ақуыз/май/көмірсу қатынасын көрсет.

3. 3 оқушы үшін шығынды есепте.

V. Өмірлік кейсте есеп құрастыруға арналған тапсырмалар

«Дүкен» тақырыбы

Кез келген өнімді таңда және есеп құр:

Өнім	Баға (тг/кг)	Үлес/мөлшер
Алма	850	1.2 кг
Банан	920	0.9 кг
Шоколад	4200	350 г

Оқушының мүмкін есеп нұсқалары:

- Жалпы шығынды тап.

- Егер жеңілдік 12% болса — баға қандай?

- 2 апта сатып алса — айлық шығын қандай?

«Коммуналдық төлем» тақырыбы

Берілген:

Тұтыну	Баға
Электр — 290 кВт·сағ	19 тг/кВт
Су — 12 м³	120 тг/м³

Мүмкін есептер:

1. Айлық төлемді есепте.

2. 15% үнем болса, жылдық айырмашылық қанша?

3. Төлемдер қатынасын анықта.

Бұл жерде бір дерек → 3 есеп → жоғары ойлау.

«Экология» тақырыбы

Мектеп бір айда 140 кг қағаз қалдығын жинады. Оқушы есеп құрастырсын:

- Егер 25% қайта өңделсе — қалдық мөлшері?

- 1 жылдық үнем?

- 1 ағаш = 20 кг болса, қанша ағаш сақталады?

Оқушы әлеуметтік жауапкершілікті цифрмен түсінеді.

«Спорт» тақырыбы

Спортшы 2 аптада 12 км, келесі екі аптада 16 км жүгірді.

Оқушы құрастыратын есеп мысалы:

1. Қанша % өсім?

2. Егер 3-айда тағы 10% өссе — нәтиже?

3. 6-айға болжам жаса.

VI. Сабақ үлгісі (60 минут)

Уақыты	Мұғалім әрекеті	Оқушы әрекеті
10 мин	Дерек береді	Тақырыпты талдайды
15 мин	Есеп құрастыруға бағыттайды	3 есеп жасайды
15 мин	Жұптық алмасу	Бір-бірінің есебін шығарады
10 мин	Күрделендіру сұрағын ұсынады	Шартқа өзгеріс енгізеді
10 мин	Қорытынды	Ең тиімді есепті қорғау

Нәтиже:

1 сабақта 30+ жаңа есеп пайда болуы мүмкін.

Оқушылар математикамен ойнайды, тек орындап қоймайды.

Оқушының есеп құрастыру дағдысын дамыту:

- математиканы шығармашылықпен меңгеруге жағдай жасайды;

- зерттеу, модельдеу, талдау қабілетін қалыптастырады;

- білімді қолдану → құрастыру → кіріктіру деңгейіне көтереді;

- пайыз, пропорция, қатынас ұғымын терең және саналы меңгеруге көмектеседі.

4.4. Есептердің күрделену сатылары: қарапайымнан зерттеушілікке дейінгі прогрессия

Есепті тек шығара білу — математикалық білімнің бастапқы деңгейі. Бірақ шынайы функционалдық сауат — есепті өзгерту, күрделендіру, салыстыру, талдау және зерттеу қабілетімен өлшенеді. Осы бөлімде пайыз, пропорция, қатынас тақырыптарына арналған есептердің күрделене құрылу моделі ұсынылады. Әр деңгейде тапсырмалар бір-біріне логикалық түрде жалғасып, оқушыны қарапайым машықтан аналитикалық-зерттеушілік деңгейге жеткізеді.

Прогрессия 5 сатымен ұсынылады:

I — базалық,

II — стандартты,

III — логикалық-талдамалық,

IV — модельдеу және сценарийлік,

V — зерттеушілік деңгей.

Бұл жүйе мұғалімге сабақ құрылымын күрделендіре жоспарлауға, ал оқушыға жеке даму траекториясын көруге мүмкіндік береді.

I деңгей – Базалық (формула қолдану)

Мақсат: түсіну → амал орындау ↘

Бұл деңгейде есеп бір қадаммен шешіледі. Формула, қатынас немесе қарапайым пропорция тікелей қолданылады.

Үлгі есептер:

Тақырып	Есеп
Пайыз	4000 тг-нің 15%-ын тап.
Пропорция	4 кг = 1200 тг болса, 1 кг қанша?
Қатынас	18 : 12 қатынасын ықшамда.

Оқушы механикалық орындауды меңгереді — бірақ ойлау әлі терең емес.

II деңгей – Стандартты тапсырма (2–3 амалдық есеп)

Мақсат: қолдану → бірнеше қадамды есеп → түсіндіру

Бұл деңгейде есеп формуланы тікелей емес, контекст ішінде қолдануды талап етеді.

Мысал:

36 000 тг тұратын аяқкиімге 20% жеңілдік жасалды. Жаңа баға қандай?

36000×0.20=7200

36000-7200=28800 тг

Басқа нұсқа:

4 литр жанармай 680 тг тұрады. 9 литр қанша?

Оқушы есеп шешеді, бірақ неге солай шықты? сұрағы әлі қойылмайды.

III деңгей – Логикалық-талдамалық есеп

Мақсат: салыстыру, таңдауды дәлелдеу, қорытындылау

Бұл деңгейде есеп тек сан табумен шектелмейді — оқушы нәтижені түсіндіреді, салыстырады, таңдау жасайды.

Үлгі: Дүкендегі тиімді ұсынысты анықтау

Нұсқа	Баға
А дүкені	24 000 тг
B дүкені	26 500 тг – 16% жеңілдік

1. Қайсысы арзан?

2. Айырмашылығы қанша?

3. Қай жағдайда А тиімді болар еді?

26500×0.16=4240

26500-4240=22260 тг

Оқушы жауап береді:

→ B тиімді, себебі 1740 теңгеге арзан.

Ал А тиімді болу үшін ол шамамен 7% арзандауы қажет.

Мұнда сандық қорытынды + дәлел бар.

IV деңгей – Модельдеу және сценарий құру

Мақсат: «Егер…?» сценарийін қолдану, болжам жасау, есепті түрлендіру

Бұл деңгейде оқушы есеп құрастырады, шартты өзгертеді, болжамды модельдейді.

Мысал-кейс:

Отбасы айына 260 кВт·сағ энергия тұтынады. Бағасы – 19 тг/кВт.

1. Айлық төлемді есепте.

2. Егер тұтыну 12% азайса, төлем мөлшері қандай?

3. Егер тариф 10% өссе, аймаққа әсері қандай?

4. Үнемді жылдық көрсеткішке айналдыр.

260×19=4940 тг

4940×12%=592.8 тг

4940-592.8=4347.2 тг

Болжау:

Тариф өссе → үнем көлемі өзгереді → тұтыну саясаты қажет.

Оқушы енді тек шығарып қоймайды — шешім ұсынады.

V деңгей – Зерттеушілік, авторлық есеп және қорытынды

Мақсат: дерек жинау → есепке айналдыру → талдау → тиімді таңдау

Бұл ең жоғарғы кезең. Мұнда оқушы өмірден алынған ақпаратпен есеп құрастырады, шешеді, салыстырады.

Жоба-есеп үлгісі

Тақырып: «Суды үнемдеу тиімділігі»

Ай	Тұтыну (м³)
Қаңтар	18.5
Ақпан	16.2
Наурыз	14.8

Тапсырмалар:

1. Әр айдағы өзгеріс пайызын есепте.

2. Тенденцияға қарай сәуір болжамын жаса.

3. Егер 1 м³ = 120 тг болса, 4 айда қанша үнемделеді?

4. Суды азайтуға 3 ұсыныс жаса.

5. Осы деректермен толық есеп өзің құрастыр.

Бұл ‒ барынша дамыған деңгей, себебі мұнда:

- есеп шешу бар;

- модельдеу бар;

- зерттеу бар;

- қорытынды бар;

- ұсыныс бар;

- авторлық ой бар.

Оқушы өз-өзінің «сарапшысы» болады.

Есептерді күрделендіру кестесі (мұғалімге арналған дайын құрал)

Деңгей	Сұрақ үлгісі	Мақсат
I – Базалық	«Тап», «Есепте»	Формула қолдану
II – Стандартты	«2 қадам есепте»	Техника меңгеру
III – Талдаулық	«Салыстыр», «Қайсы тиімді?»	Аналитика
IV – Модельдік	«Егер өзгерсе…?»	Болжам
V – Зерттеушілік	«Өзің есеп құр», «Ұсыныс жаса»	Сараптамалық ойлау

Бұл прогрессияны кез келген тақырыпқа қолдануға болады.

Қолдануға дайын сабақ үлгісі

Тақырып: Баға, пайыз және үнем модельдері
45 минуттық сабақ құрылымы:

Уақыт	Қадам	Деңгей
5 мин	Қарапайым есеп (жылындыру)	I
10 мин	Стандартты есептер топтамасы	II
10 мин	Салыстыру және дәлелдеу	III
10 мин	«Егер…?» моделі	IV
10 мин	Авторлық есеп құрастыру	V

Сабақ соңында әр оқушы кемінде 5 деңгей тапсырмасын орындап шығады.

Есептердің күрделену прогрессиясы:

- оқушыны біртіндеп жоғары ойлау деңгейіне көтереді;

- математикалық ұғымдарды терең әрі өмірлік қолдануға үйретеді;

- формула білуден → талдау → зерттеу деңгейіне әкеледі;

- шығармашылық есеп құрастыруға бағыттайды;

- функционалдық сауат пен дерекпен жұмыс қабілетін дамытады.

Оқушы енді есеп шығармайды — есеп тудырады, қарайды, талдайды, шешеді.

Бұл — математикалық мәдениеттің ең жоғарғы нәтижесі.

Қорытынды

Бұл әдістемелік құралдың негізгі мақсаты – пайыз, пропорция, қатынас тақырыптарын өмірлік жағдаяттармен ұштастыра отырып, оқушының математикалық сауаттылығын қалыптастыруға бағытталған білім беру жүйесін ұсыну болды. Ұсынылған бөлімдерде теориялық түсініктер нақты практикалық есептермен, зерттеулермен, жобалық тапсырмалармен, пәнаралық байланыстармен толықтырылды. Математиканы өмірден бөлек емес, керісінше, күнделікті әрекетті санмен дәлелдеуге мүмкіндік беретін құрал ретінде қарастыру – бүгінгі білім берудің басты талабы. Осы тұрғыдан қарағанда, бұл еңбектің құрылымы оқушыға да, мұғалімге де қолжетімді, икемді әрі қолданбалы сипатта жасалды.

Құрал мазмұнында ең алдымен пайыз, пропорция, қатынас ұғымдарының математикалық табиғаты ашылып, олардың өмірмен байланысы ғылыми және әдістемелік тұрғыда түсіндірілді. Теорияны тек формула түрінде емес, мысал, кесте, диаграмма және модель арқылы көрсету – түсінудің жоғары деңгейіне жеткізеді. Теориялық бөлімдер күрделі ғылыми пайымдарға сүйене отырып, ақпаратты қабылдауға жеңіл құрылымда ұсынылды. Бұл – кез келген мұғалімге әдістемені өз тәжірибесіне бейімдеп қолдануға мүмкіндік береді.

Әдістемелік құралдың екінші бөлігінде есепті өмірмен байланыстыра құрастыру тәсілдері жан-жақты ашылды. Қарапайым формулаларды тұрмыстық жағдаятқа енгізу, сауда, баға, көлік, коммуналдық төлем, денсаулық пен ресурс үнемдеу сияқты салаларға негізделген есептер оқушының қызығушылығын арттырып қана қоймай, математиканың өмірдегі рөлін нақты сезіндіреді. Оқушы есепті жай орындаушы емес, шешім қабылдаушы тұлғаға айналады. Бұл өз кезегінде функционалдық сауаттылық, логикалық ойлау, аналитикалық пайымдау мәдениетін дамытады.

Үшінші бөлімде пәнаралық интеграцияға арналған модельдер ұсынылды. Физикадағы жылдамдық пен энергия тұтыну, географиядағы халық өсімі мен климат статистикасы, экономикадағы инфляция мен бюджет жүйесі – математикалық түсініктердің көпсалалы қолданылатынын дәлелдейді. Мұндай байланыстар білімді тұтас қарауға, пәндерді бөлектемей, біріктіріп қабылдауға бағыттайды. PISA және TIMSS форматындағы тапсырмалар осы бөлімнің маңызды жалғасы ретінде беріліп, оқушыны халықаралық бағалау талаптарына бағыттайды. Дифференциацияланған есептер топтамасы әр деңгейдегі оқушыға жеке даму мүмкіндігін ұсынды.

Төртінші бөлім – әдістемелік құралдың практикалық өзегін құрады. Мұнда өмірлік кейс-есептер банкі, жобалық жұмыс үлгілері, дерек жинау және диаграмма құрастыру тапсырмалары, оқушының өзіндік есеп жасау әдістері және есептердің күрделену прогрессиясы ұсынылды. Бұл бөлім мұғалімге сабақ құрылымы ғана емес, қолдануға дайын тапсырмалар, зерттеу жобалары, сценарийлер мен бағалау үлгілерін береді. Әсіресе есептің қарапайымнан зерттеу деңгейіне дейін сатылы дамуы – оқушының өсу траекториясын нақты көрсететін тиімді педагогикалық модель.

Жалпы алғанда, әдістемелік құрал төмендегі тиімді нәтижелерге жол ашады:

• математиканы түсіну емес, қолдану бағытын күшейтеді;

• оқушы сандық ақпаратпен жұмыс істеуді, талдауды, қорытындылауды үйренеді;

• есепті өмірден көру, оны модельдеу және қайта құрастыру зерттеушілік қабілетті дамытады;

• пәнаралық байланыс интеллектуалдық интеграция жасайды;

• тапсырмалар жүйесі оқушыны тек орындаушы емес, ойлаушы деңгейіне жеткізеді;

• мұғалім үшін сабақ жүргізуге дайын құралдар мен сценарийлер топтамасы пайда болады.

Бүгінгі қоғамға дайын жауапты жаттап алған бала емес, ақпаратты талдап, салыстырып, тиімді шешім қабылдай алатын тұлға қажет. Бұл әдістемелік құрал дәл осы құзыретті қалыптастыруға бағытталған. Пайыз, қатынас, пропорция тақырыптары математиканың өзегі ғана емес, өмірдің де негізгі сандық тілі. Оқушы осы тілді меңгерсе – ол бағаны есептей алады, сатып алуды жоспарлай алады, ресурсты үнемдей алады, отбасылық бюджетке әсер ететін шешім қабылдай алады. Яғни математика – өмірлік сауаттың бөлінбес бөлігі.

Қорытындылай келе, ұсынылып отырған әдістемелік құрал мұғалімге оқу процесін жаңаша ұйымдастыруға, оқушыға математиканы өмірмен үйлестіріп түсінуге мүмкіндік береді. Еңбектің әр бөлімі нақты әдіспен, қолданысқа дайын есептермен, практикалық бағытпен толықтырылған. Бұл материал тең дәрежеде тәжірибелі де, жас маман үшін де тиімді нұсқаулық бола алады.

Болашақта бұл жұмысты кеңейтіп, цифрлық ресурстармен байланыстырылған интерактивті платформа, есеп банкі, оқыту модульдері, диагностикалық тесттер жүйесі ретінде дамытуға болады. Мұндай жалғастыру математикалық сауаттылықты арттырумен қатар, білім беру үдерісін сандық ортаға бейімдеу бағытын да қолдайды.

Пайдаланылған әдебиеттер

1. Әбішева Н. Математиканы оқыту әдістемесі. – Алматы: Мектеп, 2019.

2. Сейтқұлова Б. Жаратылыстану-математика бағытында функционалдық сауаттылық дамыту жолдары. – Нұр-Сұлтан: Педагогика, 2021.

3. Құрманова Г. Математика сабақтарында өмірмен байланысты есептерді құрастыру әдістері. – Алматы: Қазақ университеті, 2020.

4. Әлмұхамбетова С. Функционалдық сауаттылық және тапсырмаларды саралау технологиясы. – Шымкент: Ордабасы, 2018.

5. Оспанова Қ. PISA форматындағы математикалық тапсырмалар жинағы. – Астана: РБК, 2022.

6. Сағындықова А., Төлеуғазы А. Оқытуда жобалық әдісті қолдану тәжірибесі. – Қарағанды: Болашақ-Баспа, 2020.

7. Есенова Ә. Математикалық есептерді өмірмен байланыстыра оқыту. – Павлодар: Инновация, 2017.

8. Мұханбетқалиева А. Жиынтық және қалыптастырушы бағалау материалдары (5–9 сынып). – Алматы: Ұлттық білім академиясы, 2021.

9. Мақанова Г. Математикадан құзыреттілікке бағытталған тапсырмалар. – Тараз: Жамбыл баспасы, 2022.

10. Жанұзақова М. Оқушының зерттеушілік дағдысын дамыту әдістері. – Қостанай, 2019.

11. Айтқұлова Д. STEM және математикалық модельдеу практикумы. – Семей: Абылайхан баспа, 2023.

12. Құрбанбаев Т. Мектеп математикасын оқытудағы пәнаралық байланыс мәселелері. – Шымкент, 2018.

13. Жолдасова Ә. Математиканы оқытуда есептерді деңгейлеп беру технологиясы. – Ақтөбе: Дарын-Пресс, 2020.

14. Шынәлиева Т. Математикалық сауаттылық: тапсырмалар, талдау, зерттеу. – Алматы: Білім, 2021.

15. Ішпекбаев М. Мектеп математикасының әдістемелік негіздері. – Қызылорда: Қорқыт ата университеті баспасы, 2019.