Паскаль үшбұрышының қасиеттерін пайдаланып оның «ерекше үшбұрыш» екендігін ашып көрсету.

Казақстан Республикасының білім және ғылым министрлігі

Секция: «Математика»

Тақырыбы

Паскаль үшбұрышының қасиеттерін пайдаланып оның «ерекше үшбұрыш» екендігін ашып көрсету.

Жобаның авторы: Ескелді Жанарыс Бүркітұлы

7-сынып оқушысы

«Қызыларай жалпы орта

білім беретін мектеп»КММ-сі

Ақтоғай ауданы, Қызыларай ауылы

Ғылыми жетекші: Смайлова Ботагоз Жумабековна

Екінші санатты математика мұғалімі

2018-19 ОҚУ жылы

Зерттеу мақсаты: Санды үшбұрыштарға жеткілікті мысал пайдаланып, Паскаль үшбұрышының  қасиеттерінің қолданылуына болжамды мысалдар келтіру арқылы дәлелдеу.

Паскаль үшбұрышының қасиеттерін пайдаланып оның «ерекше үшбұрыш» екендігін ашып көрсету.

Болжам: Егер Паскаль үшбұрышындағы сандардың ерекше қасиеттері бар болса, онда осы үшбұрышты «ғажайып» үшбұрыш деп атауға болады.

Зерттеу кезеңдері:

1 кезең. Паскаль үшбұрышының құрамына кіретін сандар қасиеттерін анықтау.Паскаль үшбұрышы жөнінде математиктер немесе ғалымдардың тұжырымын анықтау. Ғалымдарының айтқан ойларын үшбұрыш туралы алғашқы мәліметтерді ғылыми әдебиеттерден және энциклопедияларда жинақтау.

2 кезең. Паскаль үшбұрышындағы сандар қасиеттерінің қолданылуын анықтау. Мектеп бағдарламасында Ньютон биномының формуласын пайдаланылуын анықтап алып, оларға сипаттама беру.Үшбұрыш сандарының қасиеттерінің ең «ғажайып» екендігін дәлелдеу. Паскаль үшбұрышының тағы қандай қасиеттері бар екенін іздестіру.

3 кезең. Зерттеу қорытындысын және тұжырымды қалыптастыру. Ньютон биномы формуласындағы коэффициенттер арқылы кесте құруға болатынын көрсетіп, талдау жасау. Паскаль үшбұрышының мысалдарда қолданылуын үйрену.

4 кезең. Жоғары сыныпта жіктелетін екі мүшенің қосындысының формулаларындағы коэффициенттер «Ғажайып үшбұрыш» құрайтынын көрсету. Қорытынды мен нәтижелерін қалыптастыру.

Зерттеу барысында ашылған жаңалықтар:

1)      Паскаль үшбұрышының шығу тарихының жалпы заңдылықтары талданды.

2)      Нақты мысалдар арқылы Паскаль үшбұрышы құрастырылып, сызылған.

3)      Паскаль үшбұрышы жөніндегі ғалымдар еңбегі қарастырылып, коэффициенттер арқылы «Ғажайып үшбұрыш» екендігі көрсетіліп, талданды.

Зерттеу әдістемесі:

 - Паскаль үшбұрышының пайда болуын ашу, оның теориялық маңызын анықтау.

-  Теориялық талдау жасай отырып, практика жүзінде көрсете білу.

-  Паскаль үшбұрышын өте қарапайым жолмен көрсету, оны салыстыра отырып қасиеттері арқылы «Ғажайып үшбұрыш» екендігін дәлелдеу.

- Оқушыларға Паскаль үшбұрышын құрастыру және жоғары сыныптарда жалғастыру арқылы стереометрияда қолдануға болатынын көрсету.

Зерттеудің нәтижесі

Паскаль үшбұрышын қарапайым жолмен құрастыру арқылы келешекте «Ғажайып үшбұрыш» түрлерін алуға болатынын меңгеріп, терең тануға мүмкіндік береді.

Зерттеу нәтижесі кейінгі, қазіргі ұрпақтың технология факультетін таңдап, соның ішінде математика пәнін білуге жол ашады. Себебі қазіргі оқушылар екі санның натурал дәрежелерін қарастырғанда, коэффициенттері кесте құрайтындығын біле бермейді. Менің мақсатым сол коэффициенттер үшбұрыш құрайтынын анықтау, ал күтілмек нәтижем коэффициенттер арқылы «Ғажайып үшбұрыш» сызуға болатынын, қиындықсыз меңгеруге бағыт бағдар жолын көрсету.

 Зерттеу жұмысының мақсаты мен міндеттері:

Жұмыстың басты мақсаты – қазіргі математикадағы екі мүшенің қосындысының квадраты және кубының жіктелуіндегі коэффициенттер «Ғажайып үшбұрыш» құрайтынын ашып көрсету.

Осы басты мақсатты айқындау үшін жұмысқа төмендегідей міндеттер қойылды:-  Паскаль үшбұрышының пайда болуын пайымдау;

-  Паскаль үшбұрышының құрастыру жолдарын анық көрсету;

-  Паскаль үшбұрышын «Ғажайып үшбұрыш» екенін саралап анықтау.

Зерттеудің әдістемелік және теориялық негіздері:

-  Зерттеу жұмысында мәліметтерді салыстыру, саралау, теориялық талдау әдістері қолданылды. Ұсынылып отырған жұмыстың нәтижелерін оқу орындарында, мектептегі факультативтік сабақтарда математикаға қызығушылығы бар оқушыларға пайдалануға болады. Оқушылардың ғылыми жұмыстарына көмекші құрал бола алады.

Ғылыми деректердің немесе зерттеу нәтижелерінің дәлдігі:

1.    Зерттеудің ізденіс мақсатына сай келуі;

2.    Жасалған ой мен жорамалдың (гипотезасының) теориялық және тәжірибелік (эксперименттік) зерттеулер, сараптамалар арқылы дәлелденуі.

3.    Паскаль үшбұрышының шығу тарихын зерттеу барысында ашылған жаңалықтарды дәлелдеу, негізгі мәліметтерге сүйену арқылы тақырыпқа сай келуі.

Жұмыстың құрылымы мен көлемі.

Ғылыми жоба кіріспеден, үш тараудан, пайдаланылған әдебиеттер тізімі мен қосымшадан тұрады.

Кіріспе

Зерттеудің көкейкестілігі

Бүгінгі математика тарихында Ньютон биномы тақырыбы саяси даму үстінде келе жатыр.Ежелгі  ғалымдар  алғаш рет математикадағы   белгілі бір әдемі  сандар қатарын   Паскаль  үшбұрышы деп атады.

Блез Паскаль француз математигі және18 ғасырдағы  философ, оның «Арифметикалық үшбұрыш» атты еңбегі  жарық  көрді. 1529 жылы Паскаль үшбұрышы  осы  кітаптың  сыртқы  мұқабасына басылды.  Қытай  математигі  Чжу Шицзенің 1303 жылғы «Төрт  элементтің  айнасы» кітабында  үшбұрыш  бейнеленген және суреттелген.Омар Хайям  философ және  жазушы  ғана емес, ол математик.1100жыл бұрын  үшбұрыштың  бар екенін,ол қытай мен үнділерден  бұрын білген.

Паскаль үшбұрышы математикадағы бірден-бір әйгілі және әсем сандар кестесі 1665 жылға дейін жазба шыққанша белгілі болған.

Паскаль үшбұрышы – бұл үшбұрыш түрінде берілген шексіз сандар қатары.

1. Әдеби шолу.

1. Паскаль үшбұрышының пайда болу тарихы.

Әріптер арқылы өрнектелген екі санның қосындысы немесе айырмасы бином деп аталады (латынша «би» - екі, «ном» - мүше). Дәрежеленетін биномды осы күні Ньютон биномы дейді. Жайылып  жазылған  Ньютон биномының  әрбір мүшесінде өзіне лайықты коэффициент жолын айтады. Бір дәрежелі биномның коэффициенттері 1 және 1, екі дәрежелі биномдыкі 1, 2, 1, үш дәрежелі биномдыкі 1, 3, 3, 1, төрт дәрежелі биномдыкі 1, 4, 6, 4, 1 болады. Жоғары дәрежелі биномдардың да коэффициенттері осылардың ережесімен шығады. Бином коэффициенттерін төмендегідей үш бұрышты кескінде көрсетуге болады:

  Бұл кескін қазір Паскаль үшбұрышы делінеді. Ол бойынша биномның кез келген дәрежесін анықтауға болады. Үшбұрыштың «бүйір қабырғалары» ылғи бірліктерден құралған, басқа сандар өзінің  екі «иығындағы»сандарды  қосудан  шыққан. Төбесіндегі 1 саны нөл дәрежелі биномның коэффициенті. Ішкі екі қабырғада 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 сандары табиғи ретімен тұр. Бұлар бойынша аралықтағы сандар табылады. Мәселен, алтыншы жолдағы 10 саны  4 пен 6 сандарының, сегізінші жолдағы 21 саны 6 мен 15 сандарының қосындысы. Тоғызыншы жолды тапқанда екі шетіне1 санын жазып, олардың аралығына ретімен 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8 түсіреміз. Әр жол (а+в) –нің белгілі бір дәрежесіне сәйкес.

Кестені көрсетілген  ереже бойынша  одан әрі құрастыра беруге болады.

Алгебра курсынан   қысқаша көбейту  формулалары, оның ішінде  екі мүшенің  қосындысының квадраты мен кубы, яғни

(а+в)²=а²+2ав+а²

(а+в)³=а³+3ав²+3а²в+в³ белгілі.

Егер осы екі мүшенің  қосындысын   кез келген  натурал дәрежеге  шығару  формуласы қажет болса, онда оны жоғарыдағы формулалардың   көмегімен  қорытып шығаруға болады.

  Ал ең қызығы кез келген екі мүшенің натурал дәрежесін шығаруда Паскаль үшбұрышын қолдану өте пайдалы

Мысалы:   1-Өрнек өз дәрежесін кемітеді, ал 2-өрнек дәрежесін арттырады  және дәреже көрсеткіштен 1 мүше артық болады.

  1..Мысалы, біз натурал сандар қатарындағы 1-ден 9-ға дейінгі қосындыны есептейік. “9”-ға дейін диагональ бойымен түссек, біз төменгі қатарда сол жағында 45 саны тұрады. Бұл іздеген қосындыны береді.

   2.Қонақ күту шартымен ең бай хан өзінің 7 әйелінің 3-ін бермекші. Ойыңызша неше рет алмастыруға мүмкіндігіңіз бар. Бұл сұраққа жауап беру үшін Паскаль үшбұрышындағы 7 саны тұрған жол мен 3-ң диагоналының қиылысқан санын қарастыру қажет. Ол  35 санына тең. 

Егер керісінше шатасып қараған болсақ, онда олардың қиылыспайтынын байқауға болады. Яғни, бұл әдістің өзі сізге қателесуге мүмкіндік туғызбайды.

Паскаль үшбұрышын Ньютон 11 санымен түсіндірген; 11 санын алып, өзін-өзіне көбейтсек, 121 шығады, өзін-өзіне үш рет көбейтсек, 1331 шығады. Бұлардың сандарын бір-бірінен алыстатып жазсақ, Паскаль үшбұрышының үшінші және төртінші жолдары шығады. Әрі қарай да солай бола береді.

Паскаль үшбұрышы жөнінде  математик ғалымдарының айтқан ойларын, үшбұрыш туралы алғашқы мәліметтерді ғылыми әдебиеттерден және энциклопедиялардан жинақтау.

«Паскаль үшбұрышы өте қарапайым, оны тіпті 10 жастағы бала да анықтап, түсіне алады. Сондай-ақ, кейбір көзқарастар бойынша бір-бірімен байланыспайтын математикалық әртүрлі аспекті мен құндылықтарын байланыстырды. Паскаль осы үшбұрышын ерекше қасиеттері барлық математикалық жүйенің ішінде ерекше деп санауға мүмкіндік береді», - Мартин Гарднер «Математикалық новеллалар» 1974.

  ЕҢ ҒАЖАЙЫП ҚАСИЕТТЕРІ

Әрбір қатар тұрған екі санның қосындысы сол сандардың астындағы санға тең.Үшбұрышты шексіз жалғастыра беруге болады.

1 қасиет: Кестедегі кез келген А саны вертикаль қатардағы өзінің алдындағы тұрған сандардың қосындысына тең, ең жоғарыдан бастап сол жағында тұрған А санына дейін.

2 –қасиет. Паскаль үшбұрышының әрбір саны, алдыңғы диагональдардың сандарының қосындысына тең болады.

Комбинаторика формулаларын пайдалану, көпмүшелерді n-дәрежелеу

(А+В)⁰ = 1

(А+В)¹ = 1А+1В

(А+В)² = 1А² +2АВ+1В²

(А+В)³ = 1А³+3А ² В+3АВ ² +1В³

(А+В)⁴ = 1А⁴ +4А ³ В+6А ² В ² +4АВ ³ +1В⁴

Паскаль үшбұрышы және Ньютон биномының коэффиценті

1

1жол

2жол

3жол

4жол

5жол

6жол

Қорытынды

Сонымен біз Паскаль үшбұрышы және оның түрлерімен таныстық.

Бұл сандар кестесі бұрыннан құрылған және жақсы мысалдар арқылы таныстырылған.

Ал соңғы белгі арқылы қарастырылған үшбұрышты «таңбалы үшбұрыш» деп атадық.

Паскаль үшбұрышына енетін сандар түрлі қасиеттерге ие.

Паскаль үшбұрышы математика және физика саласындағы түрлі есептерді шешуде қолданылады.

Паскаль үшбұрышы компьютерлік бағдарды құрудың негізі болып табылады. Бүгінгі күні Паскаль бағдарламаларының күрделенген түрі есеп шешуде әсіресе информатика пәнінде қолданылады.

Барлық бағыттар даму мен толықтыруға көмек тигізеді.

Жалпы біздің ғылыми жоба жұмысының «Ғажайып үшбұрыш» болғандықтан, мен өз көзқарасымды тек осы тақырыпта айтқым келеді. Мектептің математика курсындағы тақырыптардың бірі екі мүшенің квадраты және кубы жіктеу болып табылады. Жалпы алғанда, осы формуладағы коэффициенттер кестеде үшбұрыш құрайтыны белгілі. Қарапайым үшбұрыштың кескінделуіне байланысты қасиеттері анықталып отыр.

Осы жұмыс барысында төмендегідей зерттеу кезеңдерін қолдандым:

1)    Жұмыстың бірінші кезеңінде Паскаль үшбұрышы төңірегінде авторлардың дәріптеу  жолдарын талдадым.

2)    Мектеп программасындағы екі мүшенің квадраты формулаларын анықтап, оларды пайдаланып сипаттама бердім.

3)    Паскаль үшбұрышының кесте арқылы анықтап, сызбаларын пайдаланып талдау жасадым.

4)    Паскаль үшбұрышының сызбаларын пайдаланып, «Ғажайып үшбұрыш» екендігін анықтадым.

 «қызықты ғажайып үшбұрыш» құрастыруға болатынын саралап, талдау арқылы жан-жақты меңгеруге мүмкіндік алады, ой-өрісі дамиды. Паскаль үшбұрышының барлық мүмкін жағдайларын зерттеу жұмысында толық құрастырып талдадым.

  Пайдаланылған әдебиеттер:

  1. Л.Ф. Пичурин за страницами учебника Алгебры

2. Е.Б.Ваховский; А.А. Рывкин задачи по элементарной математике

 3. Н.Я. Виленкин;  Р.С.Гутер;     С.И.Шварцбурд;  Б.В. Овчинский 

Успенский В.А. «Треугольник Паскаля» М., 1979

     4. Воробьев Н.Н «Число Фибоначчи» М.,  1992

     5. Докин В.Н «Обобщенный треугольник Паскаля с его свойствами приложения». Диссертация Новосибирск 1986

6. Кузьмин О.В «Обобщенные пирамиды Паскаля и их приложения» Новосибирск 2000

7.М.Ө.Исқақов,С.Н.Назаров «Математика мен математиктер жайындағы әңгімелер» М, Алматы 1967