«№22 жалпы орта мектеп» коммуналдық мемлекеттік мекемесі

Секциясы: Жаратылыстану-математикалық бағыты

Тақырыбы: Тригонометрияның қиындығы жоғары есептерде қолданылуы

Ғылыми жетекшісі: математика пән мұғалімі
Аймешова Мадина Әбдіхалыққызы
Орындаған: 7 «А» сынып оқушысы

Мұңайтпас Қарақат Айдосқызы

Түркістан, 2018

МАЗМҰНЫ

Кіріспе……………………………………………………………………………….
1. Мектеп математика курсында тригонометрияның теориялық негіздері

1.1 Математика және оның даму тарихы. Тригонометрия ұғымы……………………………………………………………………………….10

1.2 Тригонометрияның дербес бөлініп шығуы…………………………………..15

1.3 Тригонометриялық функциялардың анықтамалары және қасиеттері……21

1.4 Тригонометрияның негізгі формулалары және оларды қолдану әдістері..27

2 Тригонометрияның қиындығы жоғары есептерді шешуде қолданылуы…..34

2.1 Тригонометрияның қиындығы жоғары есептерді шығаруың мақсаты мен рөлі………………………………………………………………………………….34

2.2 Теңбе – теңдіктерді дәлелдеу әдістері……………………………………….40

_{2.3 Геометриялық есептерді шешудегі тригонометриялық теңбе-теңдіктер…43}

2.4 Шартты теңдіктер. Теңдіктерден аргументті ығыстыру әдістемесі……….46

2.5 Тригонометриялық теңдеулерді түрлендірулер арқылы шешу…………….49

2.6 Геометриялық есептерді тригонометриялық теңдеулер құру арқылы шешу56

2.7 Триногометрияның қиындығы жоғары есептерде қолданылуы…………….62

3. Қорытынды…………………………………………..…………………………..68

Әдебиеттер тізімі………………………………………………………...…………69

Аннотация

Математикалық олимпиадаларда қиындығы жоғары есептерді шығаруда тригонометриялық түрлендірулер, теңдеулер құру, тепе-теңдіктерді дәлелдеулер жиі кездеседі. Аталған әдістерді есептер шығаруда дұрыс әрі орынды қолдану, олимпиадалық есептерді өте тиімді, тез шығаруға көмектеседі.

Summary

In mathematical Olympiads, trigonometric transformations in the productions of high-performance problems, equations, and proofs of equilibrium are frequently encountered. Proper and appropriate use of these methods in reporting problems will help to effectively expedite Olympic reporting.

Аннотация

В математических олимпиадах часто встречаются тригонометрические преобразования в производстве высокопроизводительных задач, уравнений и доказательств равновесия. Надлежащее и надлежащее использование этих методов при представлении отчетности поможет эффективно ускорить олимпийскую отчетность.

Түркістан қаласына қарасты «№22 жалпы орта мектеп» коммуналдық мекемесінің 7 «А» сынып оқушысы Мұңайтпас Қарақат Айдосқызының

«Тригонометрияның қиындығы жоғары есептерде қолданылуы»

тақырыбындағы ғылыми-шығармашылық жұмысына

П І К І Р

Мұңайтпас Қарақат Айдосқызының ғылыми-шығармашылық жұмысында математикалық олимпиадаларда қиындығы жоғары есептерді шығаруда тригонометриялық түрлендірулер, теңдеулер құру, тепе-теңдіктерді дәлелдеулер болып табылады.

Зерттеудің кезеңдері: аталған тақырып бойынша кездесетін ғылыми және әдістемелік әдебиеттерді зерттеу; тригонометрия тақырыбы бойынша негізгі материалдарды жүйелеу және жинақтау; қиындығы жоғары есептерді шешудің әр-түрлі әдістерін, геометриялық есептерді шешуде қолданылуын көрсету болып жүйелі жасалынған.

Зерттеу жаңашылдығы: қиындығы жоғары есептерді тригонометрияның көмегі арқылы шешуге болатын есептер топтамасы көрсетілген.

Практикалық мәні: ғылыми жұмыстың материалдарын оқушыларды математикада, факультативтік курстар жүргізуде,олимпиадаға дайындауда пайдалануға болады.

Ғылыми жұмыстың құрылымы: зерттеу жұмысы кіріспеден, екі бөлімнен, қорытындыдан, пайдаланылған әдебиеттер тізімінен және қосымшалардан тұрады.

Мұңайтпас Қарақат Айдосқызының ғылыми-шығармашылық жұмысында мынадай кемшіліктерге жол қойылған: әдебиеттерге толық сілтеме жасалынбаған.

Айтылған кемшіліктерге қарамастан бұл ғылыми-шығармашылық жұмысты Қазақстан Республикасы Білім және Ғылым министрлігінің ғылыми-шығармашылық жұмысына қойылған талаптарға сай, жұмысты қорғауға болады деп есептеймін.

Қ.А.Яссауи атындағы ХҚТУ-ң

«математика» кафедрасының

ф.-м.ғ. профессоры К.Көлекеев

Кіріспе

Математиканы оқытуда есеп шығарудың үлкен маңызы бар. Оқушылардың математиканы оқып білудегі жетістігі олардың есепті шығаруға қаншалықты төселгендігіне қарай бағаланады.

Есеп шығару кезінде математикалық ұғымдардың көбінің мағынасы анық ашылып, нақтыланады. Есеп шығарудың практикалық мәні зор: оқушыларды тұрмыста жиі кездесетін есеп-қисаптарды жасау алуға керекті біліммен қаруландырып, қажетті дағдыларды қалыптастырады. Сондықтан оларды келешекте өздігінен дұрыс шешім қабылдауға, жұмыс әдістерін тиімді пайдалануға, еңбек өнімділігін арттыратын әдіс тәсілдерді іздеп табуға баулиды. Математика сабағында пәнаралық есептерді шешу арқылы оқушылар жаңа жағдайлармен танысады, математикалық теорияларды, есептердің шешімін табуға қолдануды үйренеді, есеп шешуге қатысты жаңа әдістерді немесе математиканың жаңа тарауларын оқып үйренеді.
Мектеп математика курсын оқытудың ең маңызды мақсаттарының бірі – математиканың қолданбалы мүмкіндіктерін ашу.

Математиканы оқытуда тригонометрия курсы үлкен орын алады. Тиргонометрияны оқытудың басты мақсаттарының бірі — оның теориялық негіздерін білу және оларды практикада қолдану дағдыларын меңгеру. Мектепте математика курсын оқытуда тригонометрия басты роль атқарады. Бұл оқыту мақсатында тригонометрияның қасиеттерін жүйелі түрде оқыту, логикалық ойлау қабілетін қалыптастыруда оқушылардың түсінігін дамытады.

Егер есепті шешу үшін стандартты емес әдістер қолданылса, ондай есептер стандартты емес деп есептеледі. Осындай есептердің түрлері оқушылар арасында өткізілетін математикалық олимпиадаларда ұсынылады.

Ғылыми жұмыстың өзектілігі: Математикалық олимпиадаларда қиындығы жоғары есептерді шығаруда тригонометриялық түрлендірулер, теңдеулер құру, тепе-теңдіктерді дәлелдеулер жиі кездеседі. Аталған әдістерді есептер шығаруда дұрыс әрі орынды қолдану, олимпиадалық есептерді өте тиімді, тез шығаруға көмектеседі.

Зерттеудің болжамы - тәжірибелік сабақтарда тригонометрияны орынды қолдану мектеп оқушыларының математикалық дайындығының артуына ықпал жасайды.

Зерттеу объектісі: Тригонометрия

Зерттеу пәні: тригонометриялық есептер шығарудағы оқушылардың оқу іс- әрекеті.

Ғылыми жұмыстың мақсаты: тригонометрияның қиындығы жоғары есептерді шешудегі негізгі әдістерін, олардың қолданылуын көрсету.

Ғылыми жұмыстың міндеттері:

1.Аталған тақырып бойынша кездесетін ғылыми және әдістемелік әдебиеттерді зерттеу;

2.Тригонометрия тақырыбы бойынша негізгі материалдарды жүйелеу және жинақтау;

3.Қиындығы жоғары есептерді шешудің әр-түрлі әдістерін, геометриялық есептерді шешуде қолданылуын көрсету.

Ғылыми жұмыстың жаңашылдығы: қиындығы жоғары есептерді тригонометрияның көмегі арқылы шешуге болатын есептер топтамасы.

Практикалық мәні: Ғылыми жұмыстың материалдарын оқушыларды математикада, факультативтік курстар жүргізуде, олимпиадаға дайындауда пайдалануға болады.

Ғылыми жұмыстың құрылымы: зерттеу жұмысы кіріспеден, екі бөлімнен, қорытындыдан, пайдаланылған әдебиеттер тізімінен және қосымшалардан тұрады.

1. Мектеп математика курсында тригонометрияның теориялық негіздері

1.1 Математика және оның даму тарихы. Тригонометрия ұғымы

Қазіргі ғылым, оның іргетасы – математика заманымыздың аса мәдени құбылысы, жалпы өркениетіміздің бөлінбес маңызды бір бөлігі болып отыр. Сондықтан да тек болашақ математика пәнінің мұғалімдері ғана емес, білім-парасатқа ұмтылған әрбір азаматтың ғылым тарихынан, әсіресе «ғылым патшасы» математика тарихынан белгілі бір дәрежеде хабардар болуы игілікті нәрсе. Алайда, мәдениет тарихын баяндауға арналған еңбектерде математика тарихына осы кезге дейін жеткілікті көңіл бөлінбей жүр. Тіпті болашақ математика мамандарын дайындауды көздейтін университеттер мен педагогика институттарында да математика тарихы көп жағдайда өтілмей келеді. Математика тарихы жайлы оқу құралдары, көпшілікке арналған кітаптар өте сирек кездеседі. Мәселен, математика тарихының төрінен орын алатын ұлы ғалымдар Евдокс, Евклид, Архимед және Аполлоний есімдері ежелгі грек мәдениеті тарихы кітаптарының көбісінде жоқ. Сондай - ақ әйгілі ақын Омар Хайямның математика, астрономия тарихындағы елеулі еңбектері жайлы мектеп мұғалімдерінің көбісі білмейді. Тіпті ұлы жерлесіміз данышпан Әл - Фарабидің математикалық мұрасына арналып, қазақ тілінде жазылған дүние жоқ деуге болады.

Ғылым тарихын зерттеп білудің ғылымның өзі үшін де маңызы зор. Көрнекті математика тарихшысы Поль Таннедің сөзімен айтсақ, тарихтың бірден - бір түпкі мақсаты тіпті де бекер әуесқойлықты қанағаттандыру емес, оны зерттеп білу, сайып келгенде, болашақты нұрландыру деген. Мысалы тарихи тұрғыдан алып қарағанда, Ньютон XVII ғасырдағы физика - математика ғылымдарындағы ең көрнекті тұлға. Оның еңбектеріне қазіргі кездегі жаратылыстану ғылымдарының көп саласы негізделеді. Ньютонның механикасы осы заманғы физикаға іргетас қалады, ол қазіргі астрономияның да негізін салушылардың бірі. Ньютон – жоғары математиканы жасаушылардың бірі. Алайда ежелгі грек оқымыстылары – Архимед, Апполлоний, Птоломей еңбектері болмаса, одан кейін шыққан Галлилей, Коперник болмаса, Ньютон болмас еді. «Мен жұрттан алысырақ көремін, өйткені мен алыптардың иығында тұрмын» - деп Ньютонның өзі айтқан екен. Ал Ньютон болмаса, ұлы Эйнштейннің физикасы дүниеге келмес еді. Осындай сабақтастықтың заңдылықтарын зерттеп ашып, ғылыми жұртшылық пен қалың бұқараға жеткізіп отыру - ғылым тарихы мен ғылым тарихшыларының негізігі міндеті. Кейбіреулер математика өте шабан дамитын, тіпті өзгермейтін ғылым деп қарайды. Бұл түбімен дұрыс емес. Адамзат мұқтаждығын, қоғамдық прогресс талабын өтеу жолында математика ғылымы ұдайы дамып, кемелденіп келеді. Математиканың арифметика, алгебра, геометрия, математикалық анализ сияқты классикалық салаларына қоғам қажеттігін, прогресс талабын өтеу, сондай-ақ математиканың дамуының өзінің ішкі логикалық талаптарын қанағаттандыру барысында функциялық анализ, математикалық логика, математикалық статистика, кибернетика, хабарлар теориясы және толып жатқан жаңа салалардың қосылуы бұл айтқанымызды толық дәлелдейді. Бұл процесс қазір де толассыз жүріп жатыр. Математика өзінің туып, өрбу барысында тарихи дамудың ұзақ жолын басып өтті. Екі нүктенің ең жақын ара қашықтығы түзудің кесіндісі болатыны туралы және ең бастапқы сандар жайлы өте қарапайым білімдерден басталған математика өзінің қазір нақты пәні мақсаты әдіс-тәсілдері бар аса күрделі абстракты ғылымға айналып отыр. «Екі жерде екі төрт» деген шындықты білуден бастап осы күнгі аспан денесінің қозғалысын алдын ала дәл есептеуге, атом ішіндегі процестердің есебін білуге, саусақпен санау орнына қиялдан да ұшқыр тез есептегіш электронды машиналармен (ЭЕМ) санауға жету үшін адам баласына көп мыңдаған жыл уақыт керек болды. Ф.Энгельстің анықтауы бойынша «математика ақиқат дүниенің сандық қатынастары мен кеңістік пішіндері туралы ғылым». Белгілі француз математигі Н.Бурбаки «Математика сәулетшісі» атты проблемалық мақаласында: «XIX ғасырдың аяғынан бастап математиктердің, математика салаларының күрт өсіп, көбейіп, аса тармақталып кету бағытын аңғарта келіп, қазір тұтас бір математика бар ма, әлде ол дара-дара байланыссыз, берекесіз көп математикаға ыдырап кетті ме деген сауалға ол: «мұндай қауіпке негіз жоқ, математикалық құрылымдар мен аксиомалық теория негізінде математиканың барша салаларын бір негізге, ортақ зерттеу объектісіне келтіруге болады, сондықтан да тұтас бір-ақ математика бар», - деп жауап береді. Н.Бурбаки: «мұндай жалпы математика – матемтикалық құрылымдар және олардың модельдері туралы ғылым» - деп анықтама береді. Математика пәнін терең әрі кең мағынада алып қарағанда жоғарыдағы Ф.Энгельс анықтамасы мен бұл анықтаманың принципті айырмашылығы жоқ.

Математика тарихы математиканың бір саласы болып есетеледі. Ол – математика дамуының объективті заңдылықтары туралы ғылым. Осыған сәйкес математика тарихының көп мәселелерді қарастыруына тура келеді. Тарихи-математикалық зерттеулер: 1) математиканың дамуындағы фактілер мен мағұлматтар байлығын ашады; 2) математиканың практикалық мұқтаждығын және адам әрекеттерін, басқа ғылымдардың дамуын, қоғамның әлеуметтік және таптық құрылысы мен қатысын, байланысын ашуға тырысады; 3) математиканың логикалық құрылымның тарихи шарттылығын, оның өзгеру диалектикасын көрсетеді. Белгілі дәрежеде оның болашағын, перспективасын болжауға мүмкіндік береді.

Математика тарихының методологиялық негізі – диалектикалық материализм болып табылады. Көрнекті математик А.Н.Колмогоровтың таратуы бойынша математика тарихын шартты түрде төрт дәуірге бөлуге болады.

Бірінші дәуір – математиканың туу, математикалық білім-дағдылардың, мағұлматтардың жиналу және қорлану дәуірі. Бұл жазба тарихқа дейінгі санаудан, алғашқы қауымнан басталып математика өзінің белгілі бір зерттеу пәні, мақсаты, әдістері, салалары бар дербес теориялық ғылым болып қалыптасқан (біздің заманымызға дейінгі VI-V ғасырлар) грек математикасына дейін созылады. Бұл дәуірде математикалық негізгі ұғымдар, сандар, фигуралар т.б. қалыптасады.

Екінші дәуір – элементарлық математика дәуірі – біздің заманымызға дейінгі VI-V ғасырлардан бастап біздің заманымыздың XVI ғасырымен аяқталады. Бұл кезеңде математикада бүтіндей дерлік тұрақты шамалар қарастырылады. Математиканың арифметика, алгебра, геометрия және тригонометрия деп аталатын дербес салалары пайда болады.

Үшінші дәуір – айнымалы шамалар математакасының туу дәуірі. Бұл кезеңде математиканың негізгі нысанасы, объектісі – процестерді, қозғалыстарды зерттеп білу. Бұл дәуір XVII ғасырдағы Декарт, Лейбниц, Ньютонның ашқан математикалық жаңалықтарынан басталып XIX ғасырдың бірінші жартысын қамтиды. Бұл аралықта математиканың бұрынғы салаларына аналитикалық геометрия, дифференциалдық және интегралдық есептеулер, дифференцалдық теңдеулер, ықтмиалдық теориясы сияқты физика-математикалық, техникалық және басқа жоғары оқу орындарында оқытылып жүрген қазіргі математиканың классикалық негізі болып саналатын көптеген салалар қосылады.

Төртінші дәуір – қазіргі математика дәуірі. XIX ғасырдың бірінші жартысында ұлы математиктер Н.И.Лобачевский, Э.Галуа ашқан математикалық жетістіктерден басталады. Мұнда математика қамтитын кеңістік пішіндері мен сандық қатынастар мейлінше кеңейеді, бұл тұста сандар ғана емес, вектор, тенвор, спинор тәрізді және басқа тектес шамалар қарастырыла бастайды. Кеңістік туралы ұғымның шеңбері кеңейіп, әр түрлі геометриялар (евклидтік емес) ашылады. Алгебраның мазмұны бүтіндей өзгеріске ұшырайды. Математиканың көптеген жаңа салалары қалыптасады. Математиканың өзін тарихи, логикалық және философиялық тұрғыдан негіздеу мәселесі қолға алынады, есептеу машиналар пайда болады.

«Тригонометрия» термині гректің «тригон» - үш бұрыш және «метрио» - өлшеймін, «үшбұрышты өлшеу» деген сөзінен шыққан. Бұрыштарды өлшеуге деген қажеттілік қашықтықты өлшеуге деген қажеттілік сияқты ертеде-ақ пайда болған. Тригонометрияның дамуының бір себебі уақытты анықтау, ашық теңіздегі кеменің немесе сахарадағы керуеннің орнын анықтау қажеттілігінен туған. Үшбұрыштың қабырғалары мен бұрыштарының арасындағы тәуелділікті зерттей отырып, ежелгі математиктер үшбұрыштың әр түрлі элементтерін есептеу тәсілдерін тапты. Ежелгі Вавилондықтардың тригонометриядан білімі болғандығын олардың Күннің және Айдың тұтылуын болжау фактілері дәлелдейді. Ежелгі вавилондықтардың қыштан жасалған кесте-жазуларының (б.э.дейінгі 2 мың жыл) бірінде дөңгелектің белгілі диаметрі және сегменттің биіктігі бойынша хорданың ұзындығын табуға арналған есептің шығарылу жолдары көрсетілген, ол синус пен косинустың арасындағы байланысты тағайындауға сәйкес келеді. Ежелгі грек ғалымдары тік бұрышты үшбұрыштарды шешу әдістерін білді. Астроном әрі математик Гиппарх (б.э.дейінгі II ғ.) хордалар кестесін-тұнғыш тригонометриялық кестені құрастырды. Тригонометриялық кестені құрастырудағы елеулі табыстардың бірі К.Птолемейдің (II ғ.) «Альмагест» атты шығармасы болды. Бұл еңбекте астрономия және оған жақын ғылымдар жөніндегі сол кезге дейін белгілі болған әр түрлі мәліметтер жинақталды және жалпыланды. Мұнда хорданың 0 -ден 180 -ге дейінгі жарты градус арқылы есептелетін алты ондық жүйеде құрылған кестесі келтірілген. Шын мәнінде ходалар кестесі 0 –тан 90 – қа дейінгі синустардың кестелері болып табылады. Птолемей қазіргі өрнектелуі мына түрдегі:

,

формулаларды қорытып шығарды. Тригонометрия жөніндегі бұл мәліметтер негізінен практикалық астрономия есептерін шешу үшін және бара алмайтын қашықтықтарды анықтау үшін қолданылады. Бұдан кейін тригонометрияны Үнді және Таяу Шығыс пен Орта Шығыс елдерінің ғалымдары дамытты. Олар синус, косинус, тангенс, котангексті енгізді, бұрыштың радиандық өлшеуішінің бастамасын салды. Араб математиктері жинақтаған тригонометриялық білім деңгейі тригонометрияны математиканың жеке саласы деп есептеуге болатындай дәрежеге жетті. Тригонометрияны өзбетінше жеке пән деп қарастырған алғашқы кітап Еуропада XV ғ. пайда болды. Оны И.Мюллер (1436-1476) жазды. Осыдан кейін Н.Коперниктің (1473-1543), Т.Брагенннің (1546-1601), И.Кеплердің (1571-1630) және т.б. шығармалары жарық көрді. Бұл еңбектерде тригонометрияның дамуы негізінен астрономияның қажеттігіне бағытталды. Тригонометрияның дамуында Франсуа Виеттің шығармалары ерекше роль атқарады, ол бұл шығармаларында тригонометриялық функциялар теориясын жасаған Л.Эйлердің де куб теңдеулерін шешуге тригонометрияны пайдаланды. Эйлердің енбектерінде тригонометрия осы заманғыдай түр алды. Синус пен косинусты 1739 жылы Эйлер бұл белгілеулерді қабылдады және оларды әрдайым қолданып отырды. Тригонометрия ғылыми термин ретінде адамның практикалық әрекеттерінің нәтижесінде пайда болды. Ерте кезде астрономия ғылымы, суда жүзу, жер өлшеу, архитектура талаптары қандай да бір элементтер арқылы есептеу әдістерін ойлап табуға әкелді. Мысалы, олардың көмегімен қол жетпейтін заттарға дейінгі қашықтықты анықтау және географиялық карталарды құрастыруға арналған жергілікті жердің геодезиялық көшірмесін жасау жұмыстары бірқатар оңайлатылды. Мектепте тригонометриялық материалмен алғаш рет планиметрия курсын оқығанда танысады. Тригонометрияның көмегімен жазық үшбұрыштарды шығарды. Тригонометриялық қатынастар «синус», «тангенс» деген атқа ие болды, олардың мәндері есептеліп шығарылды. Тригонометриялық танымдардың негізі ежелгі заманда пайда болды. Аталмасы біршама кейінірек шыққанымен тригонометрияға қатысты қазіргі көптеген ұғымдар мен фактілер бұдан екі мың жыл бұрын белгілі болған. Кейбір тригонометриялық мәліметтер ежелгі вавилондықтар мен египеттіктерге белгілі болған, бірақ ғылым ретінде Ежелгі Грецияда негізделген. Тригонометрия сөзі алғаш рет 1505 жылы неміс геологы және математигі Питискустың кітабының мазмұнында кездеседі. «Тригонометрия» атауының өзі грек сөзінен аударғанда «үшбұрыштарды өлшеу» деген ұғымды білдіреді. Ежелгі грек ғалымы белгілі астроном Клавдий Птолемей (ІІ ғ) «хорда тригонометриясын» ойлап тапты. Дайын кестелермен жұмыс істегенде немесе калькуляторды пайдаланғанда, біз көбінесе кестелер әлі ойлап табылмаған кездердің де болғанын естен шығарып аламыз. Оларды құру үшін аса көлемді есептеулерді орындап қана қоймай, кестелерді құрудың тәсілдерін де ойлап табу қажет болды. Птолемей кестесі бес ондық үлес таңбаларын қоса алғандағы дәлдікпен жасалған. Хордаларды синустармен ауыстырып, тригонометрияның әрі қарай дамуына Үндістандық ғалымдар үлкен үлес қосты. Бұл жаңа енгізіу VIII ғасырда тригонометрияны бірте-бірте астрономия тарауынан бөліп алып, жеке ғылымға айналдырды. Ол араб тіліндегі жақын және алыс Батыс мемлекеттерінің математикасына ауысты. Оған үлес қосқандар Аль-Хорезми, Аль-Коши, Насриддин Тусси, Жан фурье, Иоганн Бернули, Леонард Эйлер. Л.Эйлер тригонометрияның қазіргі кездегі түріне келтірілген XVIII ғасырдың ірі математигі еді, ол негізі швейцарлық, ұзақ жылдар бойы Россияда жұмыс істеген және Петербург ғылым академиясының мүшесі болған. Тригонометриялық функциялардың белгілі анықтамасын да енгізген Л.Эйлер, кез келген бұрыштың функциясын қарастырып, келтіру формулаларын шығарып алды. Осылайша тригонометрия туралы жалпы ұғымдар, тригонометриялық функциялардың белгілеулері және анықтамалары ұзақ тарихи даму процесінде қалыптасып отыр. Математик Иоганн Мюллер (Региомонтан) (1436-1476) - «Үшбұрыштың барлық түрлері. Бес кітап» - еңбегі Еуропа елдерінде тарады. Франсуа Виет –үшбұрыштарды шешу жолдары мен тәсілдерін толықтыра отырып косинустар теоремасын ашты және бұрыштардың квадраттарының тригонометриялық функцияларының формулаларын ойлап шығарды. Исаак Ньютон - функцияларды математикалық анализде қолданды. Леонард Эйлер – функция ұғымын кіргізіп бүгінгі қолданып жүрген таңбаларды енгізді. Астроном Гиппарх (б.э.дейінгі II ғ.) - үшбұрыш элементтерінің арасындағы қатынасты анықтайтын кестені құрды. Астроном Птолемей (б.э.дейінгі II ғ.) - «Альмагест» еңбегі астрономдар үшін тригонометрияның бастамасы болды. Индиялық астрономдар (IV-Vғ) - синус және косинус сызықтарын шығарды. Араб математиктері-синустар мен тангенстер кестесін 1/700000000 дейінгі дәлдікпен құрды (мұсылман адам қай жерде болса да бес намазын оқу үшін Меккеге барар бағытты табуды үйренді). Астроном Насирэддин ат-Тусидің (1201-1274) «Толық төртбұрыш туралы трактат» еңбегімен мұсылмандар елінде тригонометрия математиканың өзіндік бір бөлігі ретінде қаралды. Тригонометриялық өмірлік, практикалық мұқтаждықтан шықты. Ертеде адамдар аспан жарықтарының қозғалысын қадағалап отырған. Ғалымдар болса арнайы күнтізбе жасап егінді сеуіп жинайтын уақыттарын ажыратып отырған, діни мейрамдарды белгілеп отырған.

1.2 Тригонометрияның дербес бөлініп шығуы

Араб математиктері тригонометрия жөніндегі алғашқы қадамдарын грек, үнді математиктерінің еңбектерін меңгеруден бастаған. Математикада синус ұғымын енгізгендер – үнді оқымыстылары. Әл-Хорезми олардың зерттеулерін жалғастырып, өзінің астрономиялық тарктатында математика тарихында тұңғыш рет синустар кестесін жасады. Әл-Хорезмидің жерлесі және қызметтесі Ахмед әл-Марвази тұңғыш рет тангенс және котангенс ұғымдарын енгізген. Бұл ұғымдар жөніндегі алғашқы түсініктер дөңгелекке байланыссыз Күн сағаттарына қатысты айтылды. Мысалы, вертикал таяқшаның тұрақты биіктігін h, оның өзгермелі көлеңкесінің ұзындығын а десек, онда а-ның h-ға қатысы Күннің биіктігі -ға тәуелді өзгеріп отырады. Осы қатынас котангенс деп аталады, оның кестесі жасалады.

Арабтың көрнекті астрономы Мұхаммед Әл-Баттани «Алмагесті кемелдендіру» деп аталатын еңбегінде тригонометриялық сызықтар арасындағы мынадай қатынастарды тағайындады:

; ; ;

; ;

Тригонометрияның шығу тарихында Әл-Фараби еңбектері елеулі орын алады. Ол өзінің «Алмагестке түсініктеме», «Алмагестке қосымша кітап» атты трактаттарында Птоломейдің, Әл-Баттандің осы ғылымдағы жетістіктерін жаңа сапаға көтереді, тригонометриялық сызықтар туралы ілімнің негізін қалайды. Ол тұңғыш рет синус, косинус, тангенс, котангенс сызықтарын радиусы бірге тең дөңгелек ішінде анықтауды, мысалы, тангенс, котангенс сызықтарын (тура көлеңке, кері көлеңке) тік бұрышты үшбұрыш арқылы емес, шеңберге жанаманың кесінділері арқылы анықтауды ұсынады. Ол бұрыннан белгілі қатыстарға:

, хорда

т.б. қатыстар қосады. Әл-Фараби жазық үшбұрыш үшін синустар теоремасын дәлелдейді. Өзінің «Кемел кітап» деп аталатын астрономиялық еңбегінде Әбу-л-Вафа тригонометрияға жан-жақты түсініктеме береді. Мысалы, ол тригонметриялық кестелерін жасау мақсатында формуласын қолданады.

Тригонометрияны әсіресе, астрономия мен географияға қолдануда хорезмдік ұлы энцоклопедист, ғұлама Әбу-Райхан Әл-Бирунидің еңбегі зор. Араб математиктері сфералық тригонометрия, әсіресе, сфералық үшбұрыштарды табуда грек асторномдарының дәстүрлерін дамытқаны белгілі. Олардың бұл тұрғыдағы басты жаңалығы: алты шама арасындағы тәуелділікті сипаттайтын Менелай теоремасын ықшамдап, төрт шама ережелері деп аталатын қазіргі сфералық синустар, тангенстер теоремаларын тағайындады. Бұл сфералық үшбұрыштарды шешуді біршама жеңілдетеді.

XII-XIII ғасырларда тік бұрышты сфералық үшбұрыштарды шешудің барлық жағдайлары қарастырылып бітеді. Бұл жөнінде, Насыреддин ат-Тусидің еңбегі ерекше көзге түседі. Әбу Жапар Мұхаммед ибн Мұхаммед Насыреддин ат-Туси (1201-1274) Орта Азияның Тус (Иран) қаласында туып өсті. 1258 жылы Шыңғыс ханның немересі Құлағу хан Бағдатты жаулап алып, араб халифаты билігінің ең ақырғы қалдықтарын жояды. Осы кезде ескі өкіметтің кәріне ұшырап түрмеде жатқан Насыреддин босап, оны Құлағу өзіне балгер - астролог етіп тағайындайды. Зұлым ханның ой-өрісінің осал жерін дөп пайдаланып, «астрологиялық көріпкелдігімен» бір жыл өтпей Насыреддин Әзірбайжанның көне астанасы Марғада обсерватория салдырады, бұған білімпаз оқымыстыларды шақырады. Осы обсерваторияның ғылыми басшысы ретінде ол сол кездегі ғылымның көп салалары бойынша шығармалар жазады.

Насыреддин, ең әуелі математик. Ол ежелгі грек математикасының көрнекті өкілдерінің негізгі еңбектерін араб тілінде баяндап, оларға көптеген сын-пікірлер айтқан, түбегейлі толықтырулар жасаған ғалым. Ол Ғаббас Әл-Жауһари, Ибн Қорра Сабит, Әл-Фараби, Омар Хайям, т.б. шығыс ғылымы алыптарының еңбектерін ілгері апарушы лайықты мұрагері болып саналады. Оның «толық төртқабырғалық туралы» деп аталатын трактаты дербес тригонометрия мәселелеріне арналған математика тарихындағы тұңғыш кітап. Насыреддигтің трактатында тригоноиетрияның негізгі ұғымдарынан (алты функцияның анықтамасы, олардың арасындағы қатынастар жазық және сфералық үшбұрыштар элементтері арасындағы қатыстар, т.б.) бастап үшбұрыштарды табудың барлық типтік есептерінің алгоритмдеріне дейінгі тригоноиетриялық бүкіл мағұлматтар жүйелі де толық беріледі. Ол бұл еңбегінде тригонометрияның түпкі мәнін ажыратып береді. Оның осындай ғылыми пайымдаулары Еуропаға мәлім болып, мұнда тригонометрияның дамуына үлкен ықпал жасайды. Мәселен, кейінгі уақытқа дейін тригонметрияның авторы аталып келген неміс математигі Региомантанның өзі Насыреддинің тригонометриясынан көп тәлім алғанын мойындайды. Насыреддиннің тригонометриялық мұрасын ары қарай дамытушы Орта Азиядан шыққан ұлы математиктердің соңғы өкілі әл-Қаши болды.

Тригонометрия астрономия мен география ғылымдарының дамуына тікелей байланысты туып, қалыптасқан. Тригонометрияның кейбір бастамалары, элементтері ежелгі Вавилонда кездеседі. Алайда гректер тригонометрияны астрономияның бір бөлігі ретінде қараған. Мұнда ең әуелі шар бетінде орналасқан үшбұрыштарды шешуге негізделген сфералық тригонометрия дамытылған. Ондай сфералық үшбұрыштардың қабырғалары шар бетіндегі үлкен дөңгелектердің доғалары болып келеді.

Ежелгі грек оқымыстылары ең алдымен тік бұрышты үшбұрыштарды (жазық немесе сфералық) шешу мәселесін, яғни берілген үш элементі бойынша үшбұрыштардың басқа элементтерін анықтау мәселесін қояды. Тригонометриялық мазмұндағы алғашқы зерттеулер Евдокстан басталған болу керек. Алайда гректер тригонометриясы туралы толық та жүйелі мағұлматты біз Маналей мен Птоломей еңбектерінен табамыз. Александриялық Менелей – біздің заманымыдың І ғасырында өмір сүрген астроном және математик. Ол «Сферика» деп аталатын үшбұрыштар жөніндегі үш томдық көлемді еңбектің авторы. «Сфериканың» грекше нұсқасы бізге жетпегенмен ол араб аудармасы арқылы сақталған. Менелай мұнан басқа араб жазуларының дерегі бойынша «Геометрия элементтері», «Үшбұрыштар туралы кітап» деп аталатын геометриялық тракттатр жазған.

«Сфериканың» бірінші кітабында Евклидтің «Бастамалары» үлгісінде сфералық тік бұрышты үшбұрыштар туралы теоремалар дәлелденеді. Мұнда ұқсастығы жоқ сөйлемдер де кездеседі. Ол, мәселен, сфералық үшбұрыштардың ішкі бұрыштарының қосындысы екі тік бұрыштан үлкен болатынын дәлелдейді. Сфералық геометрия – математика тарихындағы ең бірінші евклидтік емес геометрия жүйесі болып есептеледі. «Сфериканың» екінші кітабының мазмұны жоғарыда айтылған Теодосийдің шығармасының мазмұнымен бірдей. Бірақ дәлелдері қысқа да анық болып келеді. «Сфериканың» үшінші кітабы негізінен тригонометрия мәселелеріне арналған. Әрине, гректерде ол кезде қазіргі мағынадағы тригонометрия жоқ болатын, синус және басқа тригонометриялық функциялар анықталмайтын, синус сызығының орнына хордалар жүретін, қазіргіше айтсақ: бұрышының синусы бұрышын керіп тұрған хорданың жартысы болады.

Бұл кітапта кейін арабтар қималар теормеасы немесе алты шама туралы ереже деп атап кеткен атақты Менелай теоремасы дәлелденеді. Мұнда жазықтықта немесе сферада әрқайсысы қалғандарын үш нүктеде қиып өтетін төрт түзу немесе сәйкес үлкен дөңгелек доғаларынан құрылған фигураның қасиеті тұжырымдалады. Бұл теореманы орта ғасырларда «қималар фигурасы» деп атаған, қазір мұны толық төртқабырғалық немесе транверсаль деп атайды.

Жазықтық жағдайында Менелай теоремасы ежелгі математика көп қолданған құранды қатыстар ілім термидері бойынша былай жазылады (1-сурет):

(1) немесе (2)

Ал сфера жағдайында (1) теңдіктегі кесінділер екі еселенген қабырғалардың хордаларымен немесе қазіргі таңбалау бойынша, қабырғалардың синустарымен алмастырылады.

1-сурет

Толық төртқабырғалықты ACD, ABE, ECF және DBF төрт үшбұрыштың кез келгенінің BFE, CFD, BDA және CEA қиюшы транверсальдарымен сәйкес қиылысуынан пайда болған фигура деп те қарауға болады. Сондықтан Менелай теоремасын төрт түрлі вариантта жазуға болады. «Сферикада» бірінші және үшінші варианттары келтірілген, қалғандары оларға симметриялы болады. Үшінші варианты мына түрде жазылады:

Менелай теоремасы әр түрлі жазық және сфералық үшбұрыштарды шешуге қолданылған. Клавдий Птолемей – ежелгі дүниенің ең ұлы астрономы. Птолемейдің біздің заманымыздың 120 жылынан бастап Александрияда өмір сүргені ғана мәлім. Ол – астрономия жөнінде жазылған, арабтар кейіннен «Алмагест» деп атап кеткен үлкен еңбектің иесі. Птолемей әлем жайлы геоцентрлік жүйені жасаушы. Бұл жүйе бойынша Күн, Ай және басқа аспан шырақтары әлем центрі Жерді айнала шеңбер бойымен қозғалыста болады.

Птоломейдің «Алмагесті» 13 кітаптан тұрады. Тригонметрия мәселелері бірінші кітапта келтірілген. Мұнда Птолемей өзінен бұрынғы Менелайдың зерттеулеріне сүйенгені байқалады. Птолемей дөңгелек шеңберін 360 градусқа, ал оның диаметрін 120 бөлікке бөледі. Сөйтіп, хорданың ұзындығын дөңгелектің радиусы арқылы өрнектейді. Түрлі бұрыштарға қандай ... , егер төртбұрыш дөңгелекке іштей сызылса, онда оның диагональдарының көбейтіндісі қарама-қарсы қабырғалардың көбейтінділерінің қосындысына тең болады. Бұл теорема қазір Птолемейдің есімімен аталып жүр.

Птолемей теоремасы дәлеленің Әл-Фарабидің (870-950) «Алмагестке түсініктеме» атты еңбегінде берілген нұсқасын келтірейік. Әл-Фараби Птолемей пайдаланған геометриялық алгебра тілін жеңілдетіп, қазіргі геометриялық тілге жақындатады. «Егер төртбұрыш тең қабырғалы болса, онда дәлелдеу оп-оңай. Әр түрлі қабырғалары төртбұрыш, мысалы, ABCD дөңгелекке іштей сызылған дейік, диагональдарын жүріземіз (2-сурет). ABD бұрышы DBC бұрышынан үлкен болса, онда біріншісі керіп тұрған AD доғасы бұл төртбұрышта үлкен болады. DBC бұрышына тең ABE бұрышын саламыз. BAE және BDC бұрыштары бір доғаға тірелетін болғандықтан, олар тең болады. Сондықтан, ABE және DBC үшбұрыштары ұқсас болады және AB-нің CD-ға көбейтіндісі DB-нің AE-ге көбейтіндісіне тең болады.

2-сурет

ABD бұрышы EBC бұрышына тең және BCE, ADB бұрыштары өзара тең болғандықтан, CBE және ABD үшбұрыштары ұқсас. Ендеше, BC-ның AD-ға көбейтіндісі DB-нің CE-ге көбейтіндісіне тең. Олай болса, BC-ның DA-ға және AB-нің CD-ге көбейтінділерінің қосындысы BD-ның CE-ге және BD-ның AE-ге қосындысы, яғни BD-нің CA-ға көбейтіндісіне тең болады. Біздің дәлелдейтініміз де осы еді». Сонымен

(3)

Егер диагональдарының бірі дөңгелектің диаметрі болса, онда (3) теңбе теңдік

(4)

формуласына эквивалент болатыны оңай дәлелденеді. Шынында, егер диагональ AC дөңгелектің диаметрі 2R және болса (3-сурет), онда Енді осы мәндерді (3) теңбе теңдікті сәйкес қойсақ, онда (4) формула келіп шығады.

3-сурет

Птолемей өзінің теоремасын хордалар кестесін жасауға негіз етеді. Птолемейдің «Алмагестінде» жарты градус аралатып -тан -қа дейінгі ходалар кестесі келтірілген, ол -тан -қа дейінгі синустар кестесіне сай келеді. Ол алпыстық бөлшектерді пайдаланады.

Тарихи жазбалар бойынша хордалар кестесін алғаш жасаушы ретінде біздің заманымызға дейінгі ІІ ғасырда өмір сүрген астроном Гиппарх болып саналады. Бірақ ол кестелер бізге келіп жетпеген. Сондықтан да Птолемей кестесі – математика тарихындағы біз білетін тұңғыш тригонометриялық кесте. Птолемей Гиппархтың астрономиясымен жете танысып, оны өзінің «Алмагестке» кемелдендіреді.

Птолемей «Алмагесте» астрономияға қажет көптеген әртүрлі сфералық үшбұрштарды шешуге тиісті болады. Мұнда ол Менелай теоремасын және одан шығатын салдарларды шеберлікпен пайдаланады. Мәселен, «Алмагестің» бірінші кітабының 14-тарауында Күн орнына берілген λ ойлық бойынша ауысуын былай табады. Мұнда ЕВ эклиптиканың ЕА аспан экваторына көлбеулігі ε белгілі деп саналады (4-сурет). Н – Күннің орны, сондықтан, FC доғасы - , ЕН доғасы – λ, Күннің ауысуы =FH доғасын табу керек.

4-сурет

Суреттегі қиюшылар фигурасына немесе толық төрт қабырғалыққа Менелай теоремасын қолданып мынадай қатынасты алуға болады.

Белгілі мәндерді орнына қойып былай жазуға болады.

Қазіргі таңбамен жазсақ, бұл қатынас формуласымен дәл келеді. Птолемейдің бізге «Алмагестен» басқа тригонометрияны кең қолданылған «Аналлема» және «Планисферий» деп аталатын екі шығармасы келіп жетті. Мұның екіншісінде аспан сферасының проекциясы баяндалады.

1.3 Тригонометриялық функциялардың анықтамалары және қасиеттері

Тригонометриялық функциялардың анықтамалары. радиус-векторы осімен бұрыш жасайды дейік, оның ұшының координаттарын және деп белгілейік. Ал, радиус-вектор ұзындығы болсын (5-сурет).

5-сурет

1-анықтама. Радиус-вектор ординатасының вектор ұзындығына қатынасын вектордың осімен жасайтын бұрышының синусы деп атайды, ол былай белгіленеді: .

2-анықтама. Радиус-вектор абциссасының осы вектор ұзындығына қатынасын радиус вектордың осімен жасайтын бұрышының косинусы деп атайды, ол деп белгіленеді.

3-анықтама. Радиус-вектор ординатасының абцисса ұзындығына қатынасы радиус-вектор осімен жасайтын бұрышының тангенсі деп аталады, ол ( ) деп белгіленеді.

4-анықтама. Радиус-вектор абциссасының ордината ұзындығына қатынасын радиус-вектордың осімен жасайтын бұрышының котангенсі деп атайды. Ол ( ) деп белгіленеді.

Аргументтің мәндері , , болғанда тригонометриялық функциялардың мәндерін есептейік. болсын, бұрышқа қарсы жатқан катет гипотенузаның жартысына тең теореманы пайдалансақ, (6-сурет);

6-сурет

онда болады: . ; , ал ; ; ; .

Егер катетті 1 өлшем десек, онда гипотенуза -ге тең (7-сурет). Бұл арадан ; ; ; болатынын оңай байқауға болады.

7-сурет

Тригонометриялық функциялардың таңбалары. ; теңдіктерінде оң сан. Ендеше тригонометриялық функциялардың таңбалары координат жүйесіндегі абцисса және ординаталардың таңбаларына сәйкес анықталады. 0; ; , және -дегі тригонометриялық функциялар мәндері (1-кесте).

функция	I	II	III	IV
	+	+	-	-
	+	-	-	+
	+	-	+	-
	+	-	+	-

Центрі координаттар бас нүктесінде жататын тригонометриялық дөңгелек кескінделген (8-сурет). Радиус-векторы дөңгелекті бірлік дөңгелек дейді. радиус-вектор, ал вектордың абциссамен жасайтын бұрышы болсын.

8-сурет

1. Егер болса (вектор координаттары және ), онда мен нүктелері беттеседі: ; ; . -тің мәні болмайды, себебі бөлшектің бөлімі нөлге тең.

2. Егер болса ( , ), онда мен нүктелері беттеседі: ; ; -нің мәні болмайды, ( болғандықтан); .

3. Егер болса ( ; ), мен беттеседі: ; ; ; -дің мәні болмайды, себебі .

4. Егер болса ( , ), беттеседі: ; ; . -нің мәні болмайды, себебі .

5. Егер болса, беттеседі: ; ; ; -дің мәні болмайды, себебі .

Енді бұрыштың 0-ден -ге дейін өзгеруіне байланысты тригонометриялық функциялардың өзгеруіне таблица жасап көрсетсек (2-кесте):

Ширектер
I-ширекте	0-ден 1-ге дейін өседі	1-ден 0-ге дейін кемиді
II-ширекте	1-ден 0-ге дейін кемиді	0-ден -1-ге дейін кемиді
III-ширекте	0-ден -1-ге дейін кемиді	-1-ден 0-ге дейін өседі
IV-ширекте	-1-ден 0-ге дейін өседі	0-ден 1-ге дейін өседі

Тригонометриялық функциялардың периодтығы және жұптығы. 1. Периодты функциялар. Бірлік дөңгелекте және бұрыштарын қарастырсақ, онда радиус-векторлардың орнласуы бірдей болады, яғни . Егер ... , сол сияқты ... , болса да радиус-вектордың орны өзгермейді. Сонымен мұны қысқаша (мұндағы ...) деп жазуға болады.

(1)

(1) формулалары функциялары үшін дұрыс болады, период деп аталады. Синус пен косинустың периодтары ... , оның ең кішісі ‒ . Ал тангенс пен котангенс үшін және бұрыштарын бірлік дөңгелекте қарастырсақ, радиус-векторлардың орналасуы бірдей болады. Бұдан Олай болса, теңдіктері орынды. Бұл теңдіктерден функцияларының периоды болатынын көреміз.

2. Жұп және тақ функциялар. Бірлік дөңгелекте және бұрыштарын қарастырайық. және шамаларын салыстырсақ, нүктесінің координаттары және ал нүктесінікі ‒ және . Олай болса, және нүктелері осіне қарағанда симметриялы орналасқан (9-сурет).

9-сурет

бұл теңдіктен синус тақ функция болатынын, ал косинус жұп екені байқалады. Сондай-ақ, тангенс, котангенсте – тақ функциялар.

3. y=sinx және y=cosx функцияларының қасиеттері. Жоғарыда айтылған ; анықтамалардан x пен y арасында функциялық тәуелділік бар екенін көреміз, a, b, r– тұрақтылар. Бірнеше қасиеттерді келтірелік.

1) y=sinx және y=cosx функцияларының анықталу облысы барлық нақты сандар жиыны R, яғни .

2) y=sinx және y=cosx функцияларының өзгеру облысы қос теңсіздігімен анықталатын нақты сандар жиыны.

3) y=sinx және y=cosx периодты функциялар, олардың ең кіші ортақ периоды , яғни sinx=sin(x+2 ); cosx=cos(x+2 ), мұндағы .

4) y=sinx – тақ функция, яғни , ал y=cosx – жұп функция, яғни .

5) y=sinx функциясының түбірлері бұл түбірлер жиыны x= формуласы арқылы анықталады. y=cosx функциясының түбірлері бұл түбірлер жиыны формуласы арқылы анықталады.

6) Аргументтің мәндерінде sinx>0 және мәндерінде sinx<0, аралығында cosx>0, ал аралығында cosx<0.

7) y=sinx және y=cosx функцияларының ең үлкен мәні 1, ал ең кіші мәні -1, егер болса, sinx=1. Егер болса, sinx=-1. Егер болса, cosx=1. Егер болса, cosx=-1.

8) y=sinx функциясы аралығында -1-ден +1-ге дейін өседі және аралығында 1-ден -1-ге дейін кемиді. y=cosx функциясы аралығында -1-ден +1-ге дейін өседі және аралығында 1-ден -1-ге дейін кемиді. Бұдан монотонды аралығы екені шығады, оны былай жазуға болады: y=sinx үшін , ал y=cosx үшін .

4. және функцияларының қасиеттері. 1) функциясының анықталу облысы , , ал функциясының анықталу облысы, ; .

2) және функцияларының мәндерінің өзгеру облысы барлық нақты сандар, яғни .

3) және функциялары периодты, ең кіші оң периоды -ге тең.

4) және функциялары тақ, яғни , .

5) үшін (sinx функциясы сияқты), үшін (cosx функциясы сияқты).

6) аралығында және , аралығында және .

7) Монотондылық аралықтары: үшін ; үшін . және функцияларының ең үлкен де, ең кіші де мәндері болмайды.

1.4 Тригонометрияның негізгі формулалары және оларды қолдану әдістері

1. Қосу теоремалары. Кез келген және нақты сандары үшін төмендегі формулалар орындалады:

(1)

(2)

Мысалдар: болғандағы мәнін есептейік. қосындысы екеніне көңіл аударайық, және бұрыштардың косинусы белгілі болғандықтан, қосындының косинусы формуласымен мынаны табамыз:

2. Қос аргументтің тригонометриялық функциялары. а) (1) формуладан және болғандықтан, бұл формуланы былай жазуға болады:

(3)

(2) формуладағы -ны -мен алмастырайық, айырымның синусының формуласы шығады:

(4)

б) Қосындының тангенсінің формуласы қосындының синусы мен косинусы формуласының көмегімен қорытып шығарылады. Сонда былай болады:

Шыққан бөлшектің алымы мен бөлімін көбейтіндісіне бөлейік. Сөйтіп қосындының тангенсі мен котангенсі үшін:

(5)

(6)

2-ші формуладағы -ның орнына -ны қойсақ, айырымның тангенсі мен котангенсі үшін:

(7)

(8)

в) Қосындының косинусының және синусының (1) және (2) формулаларындағы деп ұйғарып, қос аргументтің формулаларына келеміз: (9); 10). Қосындының тангенстің және котангенстің формулаларындағы деп ұйғарсақ, былай болады:

(11)

(12).

3. Келтіру формулалары. Тригонометриялық функциялар мәндері sinα, cosα, tgα, және сtgα арқылы өрнектеліп, аргументтің α және – α мәндеріне ; n ϵ Z шамасын қосқанда шығатын формулаларды келтіру формулалары деп атайды. (Мұндағы n=1; 2;3;4 деп алу жеткілікті, себебі, sin x , cos x , tg x,

сtg x-тың әрқайсысының периоды - 2π . ) Мысалы, sinα ( )-ні есептелік. (2) формула бойынша

sin( )= sin cosα + sinα cos = cosα.

Сол сияқты

cos(π - α) = cos π cos α + sin π sin α = - cos α;

cos ( ) = cos cos α - sin sinα = - sin α; .

Осы формулаларға ұқсас қалған формулаларды да қорытуға болады. Оны мына таблица арқылы берейік (3-кесте):

Аргумент функция			π – α	π + α			2π - α
Sin	cos α	cos α	sin α	-sin α	-cos α	-cos α	-sin α
Cos	sin α	-sin α	-cos α	-cos α	-sin α	sin α	cos α
Tg	ctg α	-ctg α	-tg α	tg α	ctg α	-ctg α	-tg α
Ctg	tg α	-tg α	-ctg α	ctg α	tg α	-tg α	-ctg α

Мысалдар. 1. . 1) α доғасы вертикаль диаметрден салынған , сондықтан косинустың орнына синусты аламыз. 2) α доғасы 1-ші ширекте, ал 3-ші ширекте, онда ол теріс.

2. tg 306 °– мәнін сүйір бұрышты функцияға келтірелік. tg 306° = tg (360°– 54°) = - tg 54°. IV ширекте тангенс теріс мәнді қабылдайды.

4. Бір аргументті және тек сол аргументті тригонометриялық функциялар арасындағы қатыстар. (3) формулада β = α деп ұйғарсақ , cos (α - β) = cosα cosα + + sinα sinα екені белгілі, бірақ, cos (α - α) = cos 0 = 1, онда cos² α + sin² α = 1 (13). 1+tg² α өрнегін қарастырайық.

( 14 )

Осы сияқты:

( 15 )

Мысал. sin x =a; | a | < 1.Қалған тригонометриялық функциялардың мәндерін табайық. (13) формуладан cos²х=1–а², бұдан cosx₁= немесе cosx₂= Синустың берілген мәнінде функциясы екі мәнге ие болады. табылғаннан кейін tg x және ctg x-ті табуға болады:

tg x₁ = немесе tg x₂ = ;

сtg x₁ = немесе сtg x₂ = .

Косинустың мәнінен мынадай жауаптар аламыз:

cosx₁= ; cosx₂= ;

tg x₁ = ; tg x₂ = ;

сtg x₁ = . сtg x₂ = .

5. Жарты аргументтің функциялары. α және аргументтерін байланыстыратын формулалрды алайық: 1+ = 2 cos² (16). Шынында (13) және (5) формулаларды пайдаланып аргументі үшін 1+ = (sin² + + cos² ) + (cos² - sin² ) = 2 cos² . Осы сияқты 1- = 2 sin² (17). (16) және (17) формулалардан ‹‹оңнан солға››, яғни

,

Бұл формулаларды дәрежені төмендету формулалары деп атайды.

Мысал. Егер α = 112°30ˊ болса , cos α ; sin α ; tg α ; ctg α – ні есептеу керек.

112°30ˊ = 225° : 2 болғандықтан α = 225° үшін (16) формуланы пайдалансақ, 1+ cos 225° = 2 cos² 112°30ˊ . Демек,

Осы сияқты (17) формуладан және 112°30ˊ- тық бұрыш II ширекте жататынын ескерсек,

Әрі қарай

6. Тригонометриялық функциялардың көбейтіндісін қосындыға түрлендіру. sin α cos β, sin α sin β, cos α cos β көбейтінділерін қосындыға түрлендірейік, ол үшін өрнегін қарастырайық.

қосу формулаларын қолдансақ былай жазуға болады.

Сонымен

Осы сияқты төмендегі формулаларды да қорытуға болады:

;

7. Тригонометриялық функциялардың қосындысын көбейтіндіге түрлендіру. sinα sin β; cos α ± cos β; tg α ± tg β; ctg α ± ctg β қосындыларын көбейтіндіге түрлендірейік. sinα sin β қосындысын қарастырайық. деп ұйғарып, sinα sin β = sin ( ) + sin (x – y) = sin x cos y + sin y cos x + sin x cos y –- sin y cos x= 2sin х cos у . жүйесін x және y арқылы шешсек, ; . Демек,

2sin х cos у = 2 sin cos ;

sinα sin β = 2 sin cos .

Осы сияқты

sinα sin β = 2 sin cos ;

cos α + cos β = cos cos ;

cos α cos β = sin sin ;

формулаларын аламыз. Енді tg α ± tg β – ны қарастырайық.

Сонымен

Осы сияқты мына формула да дәлелденіледі:

8. Кері тригонометриялық функциялар

y=arcsinx функциясы. y = sin x функциясы ... , [ ], [ ], [ ], … аралықтарының әрқайсысында монотонды және -1 -ден 1 –ге дейінгі мәндерді қабылдайды, яғни осы аралықтардың әрқайсысында өзінің кері функциясы болады. Бұл аралықтардан кесіндісінде y = sinx функциясына кері функцияны арксинус деп атайды да arc sin деп белгілейді. (келісім бойынша х пен у – тің орындарын ауыстырып y = sin x деп алайық).

Сонымен, y = arcsin x – функциясы y = sin x функциясына кері функция, мұндағы . Бұл функцияның графигі y = sinx графигін y = x осіне симметриялы түрлендіруден шығады.

y = arcsin x функциясының қасиеттері :

1°. Анықталу облысы D (f)=[-1;1];

2°. Тақ функция : arcsin (-x) = - arcsin x;

3°. мәнінде функция өспелі;

4°. Функцияның міндер жиыны : .

y = arccos x функциясы. y = cos x функциясы [ 0, π] кесіндісінде -1-ден 1-ге дейінгі мәндерді қабылдайды. Кері функция y = arccos x .

Қасиеттері:

1°. Анықталу облысы : D (f)=[-1;1];

2°. Функция тақ та , жұп та емес : arccos(- x) - = - arccos x, яғни arccos(-x) = π – arccos x;

3°. [ 0, π] кесіндісінде функция кемімелі;

4°.Функцияның мәндер жиыны : E(f)= [ 0, π].

y=arctgx функциясы. у = tgx функциясы [- интервалдарында монотонды және сол интервалда барлық мәндерді қабылдайды.Олай болса, у = tgx функциясына сол интервалда кері функция y= arctg x болады. Қасиеттері: 1°.Анықталу облысы D (f) =R. 2°.[- -да функция тақ: arctg (-x) = - arctg x; 3°. [- -да функция өспелі; 4°. Функцияның мәндер жиыны: E (f)=[- .

y=arcсtgx функциясы. y=сtg x функциясы [0,-π] интервалында монотонды кемеімелі және сол интервалда барлық мәндерді қабылдайды.Сондықтан y=сtg x функцияның кері функциясы y= arcсtg x болады. Қасиеттері: 1°.Анықталу облысы: D (f) =R; 2°.Функция тақ та,жұп та емес; 3°.[0,π] интервалында функция кемімелі; 4°.Функцияның мәндер жиыны: E (f)= [0,π].

Сонымен, , y=arctgx; y=arcctgx функциялары кері тригонометриялық функциялар деп аталады. Есептер шығарғанда ерекше маңызы бар қатынастарды жазайық:

1) ; 2) arcsin(-x)=-arcsin(x);

3) 0 ≤ arccosx ≤ π; 4) arccos(-x) = π – arccos x;

5) - ; 6) arctg (-x) = -arctg x;

7) 0 ≤ arcctgx ≤ π 8) arcctg(-x) = π – arcctg x.

1-мысал. arcsin (- ) өрнегін ықшамдайық.

Шешуі: Қасиеті бойынша arcsin (- , ал - ға тең, демек,

2-мысал. arcsin өрнегін ықшамдайық.

Шешуі. Анықтама бойынша y= және бұдан у = екені белгілі. Сонымен arcsin

3-мысал. arccos (- ) өрнегін ықшамдайық.

Шешуі. қасиеті бойынша

4-мысал. arctg 1 өрнегін ықшамдайық.

Шешуі. бұдан Сонымен

5-мысал. arctg (- өрнегін ықшамдайық.

Шешуі. қасиеті бойынша

2 Тригонометрияның қиындығы жоғары есептерді шешуде қолданылуы

2.1 Тригонометрияның қиындығы жоғары есептерді шығаруың мақсаты мен рөлі

Математиканы оқытуда есеп шығарудың үлкен маңызы бар. Оқушылардың математиканы оқып білудегі жетістігі олардың есепті шығаруға қаншалықты төселгендігіне қарай бағаланады.

Есеп шығару кезінде математикалық ұғымдардың көбінің мағынасы анық ашылып, нақтыланады. Есеп шығарудың практикалық мәні зор: оқушыларды тұрмыста жиі кездесетін есеп-қисаптарды жасау алуға керекті біліммен қаруландырып, қажетті дағдыларды қалыптастырады. Сондықтан оларды келешекте өздігінен дұрыс шешім қабылдауға, жұмыс әдістерін тиімді пайдалануға, еңбек өнімділігін арттыратын әдіс тәсілдерді іздеп табуға баулиды. Шығарылатын есептің рөлі мұғалімнің бұл есепті шығаруға ұсынғанда қандай мақсат қоюына байланысты. Кейбір жағдайларда оқып білуге тиісті теориялық материалдың мәнін, практикалық мағынасы мен маңыздылығына түсіну есептер шығару арқылы іске асырылады. Бұл жағдайда есептер шығару математикалық ұғымдарды қалыптастыруға мүмкіндік береді. Есептер шығару оқушылардың білімін толықтырып, нақтылау және дағдыларды қалыптастырып, одан әрі жетілдіру үшін пайдалынылады. Ондай жағдайда есеп шығарудың мақсаты мұндай болады:

1. Есеп мазмұнына енетін шамалардың арасындағы себептілік пен салдарлық байланыстарды және функциональдық тәуелділіктерді тағайындау.

2. Есеп шығару тұжырымдауларын негіздей және логикалық дұрыс ойлай білуге үйрету.

3. Қолданылатын формулалар мен орындалатын амалдарды негіздеп дұрыс таңдай білу және әрі қарай қатесіз орындай алу.

4. Белгілі бір түрдегі есептерді шығару жолдарымен таныстыру.

Сонымен қатар есеп шығару кең көлемдегі тәрбиелік мақсатты да көздейді:

1. Қоғамдағы құрылыстың жетістіктерін көрсететін есептер Отанға сүйіспеншілікке тәрбиелейді.

2. Көптеген есептер оқушылардың алған білімдерін оқу процесінде немесе өмірде, практикада қолдануға дайындайды.

3. Есептің шешуін іздеу оқушыларды қиыншылықты жеңуге жігерлендіреді, тапқырлыққа, зеректілікке тәрбиелейді

4. Берілген есептің шешуін табудағы твочестволық процеске қатысу оқушыға эстетикалық ләззат алуына жағдай жасап, эстетикалық тәрбие береді.

Егеменді еліміздің халық шаруашылығын дамытудың маңызы, оның материалдық-техникалық базасын нығайтудың өзекті проблемаларын шешудегі, қоғамдық өндірістің тиімділігін арттырудағы, еңбекшілердің материалдық және мәдени деңгейін көтерудегі математика ғылымының маңызы мен рөлі өте зор. Себебі,ғылымдар жүйесінде математика айрықша орын алады. Математиканың ерекшелігі – оның қолданылымының әмбебаптығы.Қазіргі кезде ғылымның барлық дерлік салаларында математикалық әдістерді қолдану қажетті шартқа айналды. Ол өмір талабынан,ғылыми-техникалық прогрестік дамуынан туындайды.Кез келген ғылымдағы обьектіні зерттеу үшін математикалық модельдеу әдісін қолданады.Мектеп математикасын есепсіз құру мүмкін емес.Математикалық есептер оқушылардың ұғымдарды,теорияны және математика әдістерін меңгерудің тиімді де,айырбасталмайтын құралы болып табылады. Оқушылардың ойлау қабілеттерін дамытуда, оларды тәрбиелеуде, біліктері мен дағдыларының қалыптасуында, математиканың практикамен байланысын көрсетуде есептің алатын орны өте зор.
Оқушылардың дүниетанымына әр оқу пәні өз үлесін қосып отырады. Соның ішінде математиканы оқыту барысында сабақтас пәндерден және нақтылы өмірден оқушыларға түсінікті түрде келтірген деректер ғылыми білімдердің пайда болу негізін, қоршаған ортаның табиғат құбылыстарының танымалы жеке пәндердің математиканың ұғымдары мен абстрактілі жағдайларын оңай сезіне біледі. Математика – абстрактілі ғылым.Сондықтан оқудың алғашқы күндерінен бастап-ақ мұғалімнің сабақтас пәндерден деректер келтіруін қажет етеді. Мектептің басқа оқу пәндерінен алған білімдеріне сүйене отырып,оқушылар өтілетін материалды сапалы түрде меңгереді.
Математика курсының әрбір тақырыбын оқыту барысында оқушыларды айнала қоршаған ортаны танудағы математиканың рөлін дұрыс түсінуге және алған білімдерін практикалық есептерді шешуде қолдана білуге әсері тиетіндей пәнаралық байланыстарды іске асырып отыруы қажет.
Математика сабағында пәнаралық есептерді шешу арқылы оқушылар жаңа жағдайлармен танысады, математикалық теорияларды, есептердің шешімін табуға қолдануды үйренеді, есеп шешуге қатысты жаңа әдістерді немесе математиканың жаңа тарауларын оқып үйренеді. Басқаша айтқанда, есептерді шешу арқылы математикалық білімі мен білігін дамытады. Күнделікті өмірге қатысты практикалық есептерді шешу барысында оқушы математикалық білімін қолдануды үйренеді.Оқушылардың мектеп қабырғасында жүріп меңгерген математикалық білім, білік, дағдылары олардың өндірісте өздігінен білім жетілдіруіне негіз болады. Кез келген өндіріс орындарында техниканы, шикізатты, жанар-жағар май, энергия ресурстарын, азық-түліктерді тиімді пайдаланудың және жұмысты тиімді ұйымдастырудың қажеттілігі туады. Осындай коптеген мәселелерді қамтитын күнделікті өмірде жиі қолданатын мазмұнды есептерді іріктеп алып,ұсынуға болады.Табиғаттағы құбылыстар мен өзгерістерді зерттеумен, табиғаттың рухани және материалдық байлықтарын ұқыпты игеруде өлшеп, есептеп, саралап алмай мәселені шешуге тіптен болмайтыны өзінен-өзі белгілі. Міне,осы кезде математиканың табиғаттағы , адам өміріндегі рөлі айқындалады. Математикалық модельдеу әдісі қазіргі кезде математикалық экономика, математикалық биология, математикалық лингвистика, технология, бионика, тағы да басқа ғылымдардың көптеген салаларында терең қолданылып, ғылымның дамуына зор үлесін тигізуде.
Математика курсының әрбір тақырыбын оқыту барысында оқушыларды айнала қоршаған ортаны танудағы математиканың рөлін дұрыс түсінуге және алған білімдерін практикалық есептерді шешуде қолдана білуге әсері тиетіндей пәнаралық байланыстарды іске асырып отыруы қажет.
Мектеп математика курсын оқытудың ең маңызды мақсаттарының бірі – математиканың қолданбалы мүмкіндіктерін ашу. Физикалық, химиялық немесе географиялық , т.б. мазмұнды есептерді шешу барысында оқушылар математикалық ұғымдар мен заңдылықтарды тереңірек түсініп, ұғынып, сонымен қатар кәсіби даярлықтың негіздерін меңгереді.
Оку процесінде есеп шығару математиканы оқытудың мақсаты ретінде де, оны оқыту әдісі ретінде де бой көрсетеді.; «Математикалық есеп дегеніміз — математикадағы заңдылықтар, ережелер мен әдіс-тәсілдер негізінде оқушылардың ойы мен іс-әрекетін талап ететін және математикалық білімді меңгеруге, оларды практикада қолдана білуге дағдыландыруға, ойлау қабілетін дамытуға бағытталған ситуация». Сондықтан есеп шығару математиканы оқытудың ажырамас бөлігі, себебі есеп шығару математикалық ұғымдарды қалыптастырып, байытуға оқушылардың математикалық ойлауын өрістетуге, білімдерін практикада қолдануға, табандылық, і зденгіштік, еңбек сүйгіштік қасиеттерін тәрбиелеуге жол ашады. Математикалық есептер:

а) жаңа математикалық ұғымдар мен мағлұматтарды үйрету;

ә) практикалық іскерліктер мен дағдыларды қалыптастыру;

б) білімнің тереңдігі мен баяндылығын тексеру;

в) проблема қою және проблемалық ахуал туғызу;

г) материалды пысықтау, жалпылау және қайталау;

ғ) оқушылардың шығармашылық қабілетін тәрбиелеу үшін пайдаланылады.
Есеп оқушыларды жаңа математикалық біліммен қаруландырып, калыптасқан іскерліктері мен машықтарын жүйелеуге және нақтылауға көмектеседі.
1. Математикалық ұғымдарды меңгертуге арналған есептер. Математикалық ұғымды толық түсіну үшін оның анықтамасын жаттап алу жеткіліксіз екені мәлім. Ұғымды менгеру үшін оның анықтамасымен қатар ерекше белгілерін, қасиеттерін білу қажет. Бұған ең алдымен есеп шығару, жаттығулар орындау арқылы қол жеткізуге болады. Жұмысты жеделдету үшін нұсқаушы сұрақтар берудің пайдасы мол.
2. Математикалық таңбаларды түсіндіруге арналған есептер. Математиканы оқытудың өзекті де, күрделі салаларының бірі -математикалық таңбаларды игеру, амалдардың орындалу ретін түсіндіру болын табылады.
3. Дәлелдеуді үйретуге арналған есептер. Теореманы дәлелдеуге немесе дәлелдеу есептерін шығаруға үйрету математиканы оқытудың маңызды міндеттерінің бірі.

4. Математикалық іскерліктерді қалыптастыруға арналған есептер. Математикалық іскерлігін қалыптастыру математиканы оқытудың манызды міндеттерінің бірі. Есеп шығару барысында оқушылардың жаңа тәсілдерді меңгеру, алгоритмдерді құру, есептердің қайсыбір топтарына амалдар қолдану, шығарған есептердің көмегімен игерген әдіс-тәсілдерге практикалық маңыз беру іскерліктері шыңдала түседі. Сондықтан есеп шығаруда оңайдан күрделіге, белгіліден белгісізге принципін сақтай отырып, оқушылардың бұрынғы білімдері мен іскерліктерін сарқа пайдаланып, жаңа тақырыпқа байланысты есептердің жан-жақты түсіндірмесін беріп, тақтаға толық жазып шығарған дұрыс. Бұл іскерлікті тиянақты қалыптастыруға көмектеседі.

5. Математикалық машықтарды қалыптастыруға арналған есептер. Математикалық машықтар есеп пен жаттығулардың тұтас жүйесін орындау арқылы калыптастырылады.

6. Жаңа тақырыпты оқып үйренуге алдын ала даярлауға арналған есептер. Математиканың қайталап оқылатын ұғымдарына, заңдарына, әдістеріне оқушылардың зейінін аударады. Мұнда есептер оқушыларға проблемалық ахуал туғызу арқылы теоремаларды дәлелдеуге даярлайды.

7. Математикалық ойлауды дамытуға арналған есептер. Мұндай есептер талдауды, мәліметтер мен ізделетіншамалардысалыстыруды, шығарылатынесептібұрыншығарылғанесептерменсалыстыруды, есептіңқарапайыммоделінжасауды, есептінмәліметтерінсинтездеудіжәнеоларды график, таблица, сондай-ақматематикалықсөйлемтүріндеөрнектеуді, табылғаннәтижелердінақтылауды, зерттеудіталапетеді. Алайда математикалық есептерді шығару оқушылардың жеке шығармалық белсенділігіне байланысты. Сондықтаң есеп шығарудың басты мақсаттарының бірі — окушылардың ойлау қызметін жандандыру. Математикалық ойлауды өрістету үшін окушыларды қызықтыратын, ынтасын арттыратын есептерді қарастырудұрыс.

Есеп шығару оқушылардың еңбек сүйгіштігін, зейінділігін, ұқыптылығын, табандылығын және т. б. қасиеттерін тәрбиелеуге пәрменді әсер етеді. Математикалық есептердің танымдық маңызын атап өтпеске болмайды. Себебі есеп шығару барысында оқушылардың дүниеге ғылыми көзқарасын қалыптастыруға кең жол ашылады. Бұл мақсатта математиканың диалектикалық табиғатын көрсететін есептерге көбірек көңіл бөлген жөн. Ондай есептер алгебра және анализ бастамаларында, олардың геометриядағы, физикадағы, химиядағы қолданымдарында, сондай-ақ физикалық, механикалық процестердің математикалық модельдерін жасауда жиі кездеседі.
Есепті шешу деп қажетті логикалық ой тұжырымдауды, математикалық түрлендірулерді, есептеулерді және салуларды толықтай жүргізу қорытынысында оның сұрағына жауап беруді айтамыз.

Сондай-ақ, есептің бірнеше шешімі болуы мүмкін, ал оның жауабы біреу ғана болады.

Әрбір есептің шешімі:

1. дұрыс

2. дәлелдеген;

3. толық болуы қажет.

Есептің шешімінде ешбір қателіктер болмаса, онда ол дұрыс болып саналады. Есептердің шешімдерінде кездесетін қателіктер әр түрлі болады. Олар шешу процесінде берілетін түсініктемелерде, логикалық ой қорытуларда, есептеулерде, түрлендірулерде және т. б. Болуы мүмкін.

Есепті шығару барысында бірінің әсерін бірі жоятын бірнеше қателер жіберіліп, есептің жауабы дұрыс та болуы мүмкін. Сондықтан есеп жауабының дұрыстығы шешу жолының дұрыс екендігінің кепілі бола алмайды. Шешімінің дұрыстығына көз жеткізу үшін есепті бірнеше жалмен шығарады, не берілген есепке кері есепті шығарады. Алайда есеп шешімінің дұрыстығына көз жеткізетін ең негізгі бір әдіс - тексеру, ол-шешу процесінің әр бір қадамына тәптіштеп талдау жасау.

Мектеп есептерінің мазмұнында көбінесе берілген деректердің саны анықталған бір немесе бірнеше шешім шығатындай етіп беріледі. Мұны анықталған есеп деп атайды. Егер есепте берілгендердің саны оны шығаруға қажеттілерінің санынан асып кетсе, ондай есеп артығымен анықталған деп аталады. Мұндай есептердің ішінде кейбіреуінің ғана шешімі болады. Жалпы жағдайда олардың шешімдері болмайды. Есептегі берілгендердің саны жеткіліксіз болса, онда оны жеткіліксіз анықталған есеп дейді. Бұл есептердің шексіз көп шешімдері болады. Сондықтан «жеткіліксіз анықталған есептердің шешімдері болмайды» деп айту дұрыс емес. Мұндай есептердің шешімдері болады, ерекшелігі, олардың шексіз көп болуында. Яғни олардың кез келгенін берілген есептің шешімі ретінде алуға болады.

Математикалық есептің сипаттамаларының бірі, одан шығатын салдар оның шартында берілгендерімен белгілі математикалық ережелер мен логикалық ой – тұжырымы арқылы дәлелденуі керек. Сондықтан математикалық пәндердің мазмұны есепті шығаруда сүйенетін логикалық негіз болып табылады. Бұл математикалық есептің назар аударатын қастиеттерінің бірі. Сонымен қатар әрбір есеп шарттан және салдардан тұрады.

Есепті шығару үшін оның берілгендері мен белгісіздің арасында функциональдік тәуелділік болуы қажет. Осы фунциональдік тәуелділік есепті шығаруға мүмкіндік береді. Сондықтан В. В. Репьев «әрбір есеп шарттан, функциональдік тәуелділіктен және қойылған талаптан құралады» - дейді.

Есептің сұрақ білігінде оның шартының белгілі бір элементтері, не берілгені немесе берілгендердің арасындағы функциональдік байланыс жөнінде мағлұматтар енуі мүмкін. Кейде есептің мазмұны сұраулы сөйлем ретінде тұжырымдалуы да мүмкін.

Математиканы оқытуда тригонметрия курсы үлкен орын алады. Тиргонометрияны оқытудың басты мақсаттарының бірі — оның теориялық негіздерін білу және оларды практикада қолдану дағдыларын меңгеру. Сонымен қатар оқушының логикалық ойлауын, дәлелдеу қабілетін талқылауларды себептеу, ойды дәл және анық тұжырымдай білу мәселелері де маңызды міндеттер болып табылады.
Тригонометрия курсының көкейкесті мәселелері ол - бұл курстың мазмұнының ғылыми құндылығын, оқу материалдарының түсініктілігін арттыру, мазмұнды тригонометрияның қиындығы жоғары есептердің ролін күшейту.
Логикалы- математикалық жүйелі оқулықты құрастыру үшін қазіргі кезеңде тек қана дағдылы синтетикалық әдіс жеткіліксіз болады. Қосымша әдіс ретінде тригонометриялық түрлендірулер әдісін пайдалануға болады.
Тригонометрия курсы қандай жолмен құрылмасын онда міндетті түрде теоремаларды дәлелдеудің, есептерді шығарудың әртүрлі әдістері қарастырылады.

Егер есепті шешу үшін стандартты емес әдістер қолданылса, ондай есептер стандартты емес деп есептеледі. Осындай есептердің түрлері оқушылар арасында өткізілетін математикалық олимпиадаларда ұсынылады. Олимпиадалық қозғалыстың негізгі мақсаты- жастар арасында математикалық білімді насихаттау, оларды келешекте ғылыми жұмыстармен айналысуға дайындау, оқушылардың ой-өрісін дамыту болып табылады.

Математикалық олимпиадаларда тригонометрияның қиындығы жоғары есептерді шығарудың көптеген әдістері бар.

Аталған әдістерді есептер шығаруда дұрыс әрі орынды қолдану, олимпиадалық есептерді өте тиімді, тез шығаруға көмектеседі.

Мектепте математика курсын оқытуда тригонометрия басты роль атқарады. Бұл оқыту мақсатында тригонометрияның қасиеттерін жүйелі түрде оқыту, логикалық ойлау қабілетін қалыптастыруда оқушылардың түсінігін дамытады.

2.2 Теңбе – теңдіктерді дәлелдеу әдістері

Теңбе–теңдікті дәлелдеу үшін теңдікке қатысы бар тригонометриялық функциялардың анықталу облысын, өрнектердің мүмкін мәндерінің жиынын табу керек. Осы шарттарды қанағаттандыратын теңбе-теңдіктерді дәлелдегенде көбінесе оның екі бөлігін де теңбе - тең түрлендіреді де, оларды үшінші бір өрнекке келтіреді. Кейбір жағдайларда теңбе - теңдіктердің бір жағы екінші жағынан күрделі болып келеді. Мұндай жағдайда сол күрделі жағын түрлендіріп, барынша қарапайым түрге келтіреді. Бұдан соң екі жағындағы өрнектердің айырмасын нольге айналдырады. Теңбе – тең түрлендіру кезінде жасалатын әртүрлі амалдармен, белгілі өрнектерді теңдіктердің екі жағынан алу не қосу кезінде теңбе – теңдіктің анықталу облысы ешбір өзгеріске түспеуі керек. Түрлендіру кезінде мәндестік бұзылса, дәлелдеу барысы дұрыс болмайды. Теңбе-теңдіктерді дәлелдеу кезінде келтіру формуласына және тригонометриялық функциялардың периодтылығымен жұптылығы сияқты қасиеттерді, функцияның нольдерін үнемі ескеріп отыру керек.

1 – мысал. Бөлшекті арқылы өрнектеу керек.

Шешуі. Бөлшектердің алымын да, бөлімін де -ға бөлейік.

Бұл бөлшектің мағынасы болу үшін бөлімі нольден өзгеше болады, яғни

2- мысал. Егер болса, -ні табу керек.

Шешуі. Берілген теңдеуді түрлендіреміз.

3- мысал. Өрнектерді ықшамдаңдар:

а)

Берілген теңдеуді түрлендіреміз.

б) өрнегін ықшамдау керек.

Берілген теңдеуді түрлендіреміз.

4-мысал. Теңбе-теңдікті дәлелдеңдер:

Шешуі. Теңдеудің сол жағын түрлендіреміз:

5-мысал. Теңбе-теңдікті дәлелдеңдер:

Шешуі. Теңдеудің сол жағын түрлендіреміз:

.

6-мысал. Теңбе-теңдікті дәлелдеңдер:

Шешуі. Косинус жұп екенін ескеріп, және келтіру формуласын формуласын пайдалансақ,

сонда аламыз:

.

7-мысал. Теңбе-теңдікті дәлелдеңдер:

Шешуі. формуласын пайдаланамыз, мұндағы , , сонда:

.

8-мысал. Теңбе-теңдікті дәлелдеңдер:

Шешуі. формуласы бойынша:

_{2.3 Геометриялық есептерді шешудегі тригонометриялық теңбе-теңдіктер}

_{Тригонометриялық функциялар көптеген геометриялық есептерді шешуде қолданысын табады. Кей жағдайда тригонометриялық функцияларды қолданбасақ, есептің шықпауы да мүмкін. Мысалы, «Тік бұрышты емес үшбұрыштың үш қабырғалары бойынша үш бұрышын табу» есебін қарастырғанда, бұл есеп тек геометриялық жолмен шешімі табылмайды, бірақ тригонометрияның көмегімен шешімі табылады. Сонымен бірге, тригонометрияның қолданылуы есептеулерде ықшамдаулардың тиімділігін көрсетеді.}

_{Үшбұрыштарды шешу үшін келесі теоремалар мен формулалар қолданылады:}

Косинустар теоремасы: ;

Синустар теоремасы: ;

-сырттай сызылған шеңбердің радиусы;

;

;

;

,

мұндағы - үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы.

Шеңберге іштей және сырттай сызылған көпбұрыштардың элементтерінің арасындағы әртүрлі қатынастарды дәлелдеуге арналған есептерді шешкенде келесі формула пайдаланылады

,

мұндағы АВ- шеңбердің хордасы, - шеңбердің радиусы, - АОВ ортақ бұрышының шамасы.

9 мысал. Радиусы шеңберге сырттай -дұрыс он екі бұрыш салынған. болатындығын дәлелдеу керек.

Шешуі:

ішкі бұрышы -қа тең. Ендеше, , , , мұндағы - он екі бұрышқа сырттай сызылған шеңбердің радиусы.

Осылайша, есептің дәлелдеуі мына теңбе-теңдіктің дәлелдемесіне келтіріледі.

.

Есепті геометриялық әдіспен де шешуге болады, бірақ ол үшін көрнекі түрде тиімді сызбасын салуымыз керек.

Геометриялық шешімдердің бірін төменде келтіреміз.

Көпбұрыштың диагоналын жүргіземіз және оның диагоналымен қиылысу нүктесін В арқылы белгілейміз. және үшбұрыштары тең қабырғалы үшбұрыштар. Олай болса, диагоналы В нүктесімен және , сәйкесінше және кесінділеріне тең кесінділерімен екіге бөлінеді. Ал тең екендігі белгілі болғандықтан, дәлелдегелі отырған тұжырым орындалады.

10- мысал. Егер АВС үшбұрышының бұрыштары белгілі болса және биіктігі белгілі болса, онда осы үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің диаметрін табу керек.

Шешуі: , , деп алайық. биіктігін өрнектейтін формулаларды және үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусын сырттай сызылған шеңбердің радиусы арқылы, АВС үшбұрышының бұрыштары арқылы өрнектелетін формулаларды пайдаланамыз. Сонда:

.

екендігін ескерсек, біз мынаны табамыз:

.

Жоғарыда келтірілген мысалдан, егер үшбұрыштың бұрыштары белгілі болса, оның элементтері арасындағы қатынастарды дәлелдеу үшін келесі амалды қолдануға болатыны көрінеді: бұған дейін белгілі формулалар бойынша үшбұрыштың бұрыштары және оған сырттай сызылған шеңбердің радиусы арқылы үшбұрыштың сызықты элементтерін өрнектеуге болады, сосын осы элементтер арасындағы қатынастарды табуға болады. Сонымен бірге, соңында радиусын қысқартып алып тастауға болады, нәтижесінде алынатын өрнекті ықшамдау мақсатында кейбір тригонометриялық түрлендірулер орындау ғана қалады.

2.4 Шартты теңдіктер. Теңдіктерден аргументті ығыстыру әдістемесі

Егер теңдіктегі аргументтер немесе тригонометриялық өрнектердің коэффициенттері қосымша шарттарды қанағаттандыратын жағдайда ғана теңдіктер дұрыс орындалатын болса, мұндай теңдіктерді шартты теңдіктер деп атайды. Мысалы, егер болса, онда -ке тең болатынын дәлелдеңдер. Мұндағы , . Немесе сандары теңдеуінің әртүрлі шешімдері болса, онда теңдігінің дұрыстығын дәлелдеңдер деген сияқты теңдіктерді шартты теңдіктер деп атаймыз.

1-мысал. Егер болса, онда теңдігінің дұрыстығын дәлелдеңдер.

Шешуі. немесе .

Соңғы теңдікке туынды пропорцияны қолдансақ,

немесе .

Қосымша шарттың дұрыстығын дәлелдедік. Бұл қажетті теңдіктің дұрыстығын дәлелдейді.

2-мысал. Егер болса, онда теңдіктің дұрыстығын дәлелдеңдер.

Шешуі. , . Дәлелдеуге тиісті теңдік -ға тәуелді десек, онда берілген теңдік

,

,

немесе

.

Соңғы теңдіктің екі жағын көбейтіндісіне (анықталу облысын ескеріп) бөлсек, дәлелдеуге тиісті теңдік шығады.

3-мысал. Егер үшбұрыш үшін және теңдігі орындалатын болса, онда теңдіктің дұрыстығын дәлелдеңдер.

Шешуі. деп есептейміз. Тең қатынастарды десек, , , деп жазуға болады. Олай болса,

Дәлелдеу керегі осы еді.

Теңдіктерден аргументті ығыстыру әдістерін қарастырайық. Әртүрлі теңдіктермен оның системаларынан бір не бірнеше параметрді ығыстыру қажет болатын жағдайлар іс жүзінде көп кездеседі. Тригонометрияның салдары қолданылатын көптеген стереометриялық есептерде шартқа сәйкес қосымша параметрлерді белгілі деп есептеп, ең соңында оларды ығыстырады.

4-мысал. Теңдіктерді -ға тәуелді болмайтын түрге келтіріңдер.

, .

Шешуі. Қосу фолрмулаларын пайдаланып, теңдіктерді мына түрде жазамыз:

Теңдіктердін біріншісін , екіншісін -ға көбеитіп, мүшелеп қоссақ,

(1)

мәндерін (1) теңдікке қойсақ,

Алғашқы берілген теңдіктін екі жағын квадраттап қоссақ,

. Соңғы теңдікті пайдаланып, қосындысын есептелік.

.

Сонымен (1)

теңдік бұрынша

яғни -ға тәуелсіз .

5-мысал. Егер шамалары теңдеуінің түбірлері болса, онда теңдіктің дұрыстығын дәлелдеңдер.

Шешуі. Есеп шарты бойынша . Дұрыстығы тексерілетін теңдікті шамаларының көбейтіндісімен қосындысы болатындай түрге келтіреміз.

Бұл арада теңдігін ескерсек, қосындысын q-ге тең екені шығады.

2.5 Тригонометриялық теңдеулерді түрлендірулер арқылы шешу

Тригонометриялық теңдеудің сипаты оның құрамындағы тригонометриялық өрнекке байланысты. Алгебралық өрнектер сияқты тригонометриялық теңбе-теңдікті құрайтын өрнектерде түрлендіру есептер шешуде аса маңызды роль атқарады. Әсіресе теңдеулер шешуде тригонометриялық теңбе-теңдіктер алғашқы немесе негізгі ұғым болып саналады. Теңдеулер шешуге өте көп теңбе-теңдіктерден ең қажеттісін таңдап алу есептің тиімді тәсілдер көмегімен оңай шешілуіне мүмкіндік береді. Бірнеше мысалдар қарастырайық.

1-мысал. Теңдеуді шешеміз

Шешуі. Теңдеуді түрінде жазалық. Қосындыға түрлендіріп, өрнегін қос бұрыштың формуласы бойынша жазамыз

Бұдан қарапайым теңдеулерге келеді.

,

Бұл арада

Түсіріледі салыстыра келіп. түбірлерінің жалпы түбірлер екенің байқаймыз.

2-мысал. теңдеуді көмекші бұрыш өндіру арқылы шешеміз.

Шешуі. Келтіру формулысының көмегімен тендіктерін жазамыз.

Бұл арада қарапайым теңдеуін алдық.

3-мысал. теңдеуді шешеміз.

Шешуі. Дәрежесін төмендету формуласының көмегімен шешеміз

теңдеуді ықшамдаған сон, қосылғыштарды бірге топтап көбейтіндіге түрлендірсек

Бұл арада немесе

Екінші теңдеуден

Бұл теңдеулерден

4-мысал. тендеуін шешеміз.

Шешуі. Бірінші және соңғы қосылғыштарды пайдаланып, толық квадрат алсақ және дәрежесін жоғарылату формуласын пайдалансақ, теңдеу түрге келеді.

– ке қатысты квадрат теңдеудің түбірлерінен теңдеуін таңдап аламыз. Бұл арадан

5-мысал. теңдеуді шешіңдер.

Шешуі. Теңдеудің шешімі мәндерінде болады:

сол жағын қосындыға түрлендірсек, ұқсас мүшесін біріктіргеннен соң шығады.

өрнегінің мәні теңдеудің анықталу облысына енбейтіндіктен

;

(1) түріндегі теңдеуді біртектес теңдеу деп атайды. жағдайында (1) теңдеудің екі бөлігінде өрнегіне көбейтіп, мына теңдеуді аламыз:

(2)

1-мысал. 2

Шешуі. Теңдеудің екі жағын өрнегіне көбейтеміз

2 ;

немесе

(2tg )( )=0.

Бұл арадан

1+

2tg 1=0, tg +n

2-мысал. 3

Шешуі. Теңдеудің екі жағын бөлеміз. Сонда

3 ұнадағы

(2k+1);

десек, 3 +1=0 жіктесек.

3(z-1) ; (z-1)(3

;

а) tg2 =1; б) tg2 ;

в) tg2 ; = +

3-мысал. Теңдеуді шешіңдер.

Шешуі. Теңдеудегі қосылғыштарды тек 2х –ке тәуелді болатындай түрге келтіреміз.

немесе

Бір тектес теңдеудең шығады. Бұдан шығады.

tg tg +2=0

tg

(

Бұл арада а)

б) десек,

+t =0;

= ;

Бір белгісізге келтірілетін рационал теңдеулерді қарастырайық. Тригонометриялық теңдеуге қатысатын өрнектер бір ғана арғументке тәуелді болсын делік. Олай болса, барлық тригонометриялық функцияларды олардың біреуі арқылы өрнектеп, бір белгісізге тәуелді теңдеу алуға болады. Бұл жағдайда барлық түрлендірулерден шыққан теңдеулер бір біріне мәндес болатын дәрежесі өте жоіғары емес рационал теңдеулер болуы керек.

4-мысал. теңдеуді шешеміз

Шешуі. Теңдеудің анықталу облысына мәні енбейді. Берілген теңдеу тек sin тәуелді, өйткені оны түрлендірсек, мынадай теңдеуді аламыз.

Анықталу облысын ескерсек,

,

Теңдеуді қатысты шешсек,

1)

2)

Бірінші түбір теңдеудің анықталу облысына еңбейді, ал екіншісінен табамыз.

.

Барлық тригонометриялық функциялар қатысатын теңдеулерді көбінесе арқылы өрнектеуге болады. Теңдеулерді бұл әдіспен шешкенде көбінесе түбірді жоғалтуымыз мүмкін. Сондықтан шешімді тексеру қажет. Бұл әдісті Эйлер әдісі не алмастыруы деп атайды.

5-мысал. теңдеуді шешеміз.

Шешуі. Бұл теңдеуді көмекші бұрыш ендіру арқылы шешуге де болады. Мұнда деп алып, төмендегі формулардың көмегімен түрлендірсек

,

Сонда мына теңдеуді аламыз:

Бұдан

Енді мәні берілген теңдеуді қанағаттандыратынын тексерелік.

Сонымен теңдеудің шешімі

, .

6-мысал. теңдеуін шешеміз.

Шешуі. Жарты бұрыштың тангенсін ендіру әдісі бойынша шешеміз.

Ортақ бөлімге келтіріп түрлендіреміз. Сонда

а) ,

1) , , ,

2)

айнымалы енгіземіз

, .

,

Сонымен, жауабы:

Ал, , шешімдері теңдеуді қанағаттандырмайды. мәні теңдеудің анықталу облысына енбейді.

7-мысал. теңдеуін шешеміз.

Шешуі. Бұл теңдеу және -ке қарағанда біртекті теңдеу. Теңдеудің екі жағын ( ) бөлеміз.

жаңа айнымалы енгізіп, квадрат теңдеу аламыз.

оның түбірлері:

; .

Екі қарапайым тригонометриялық теңдеу аламыз:

1) , , .

2) , .

Жауабы: , .

8-мысал. теңдеуін шешеміз.

Шешуі. Бұл теңдеуді біртекті теңдеуге келтіреміз.

.

.

1) . , .

2) .

Бірінші дәрежелі біртекті теңдеудің екі жағын cosx-ке бөлеміз.

, ,

, .

Жауабы: , , .

2.6 Геометриялық есептерді тригонометриялық теңдеулер құру арқылы шешу

Геометриялық есептерді теңдеу құру әдісімен шешу кезінде белгісіздерді ұтымды таңдаудың маңызы үлкен. Егер есепте қандай да бір бұрыштың шамасын табу керек болса, онда белгісіздер ретінде тік бұрышты үшбұрыштың қабырғаларын алсақ болады, олардың қатынасы бұрыштың тригонометриялық функциясын, яғни бұрышын анықтайды. Бірақ, кейде егер белгісіздер ретінде бұрыштың шамасын алып, сосын тригонометриялық теңдеу құруға болады немесе белгісіздер саны біреуден көп болса, тригонометриялық теңдеулер жүйесін алуға болады. Сондықтан есептерді шешкенде бірнеше әдістерді қолданып көру керек, сосын шешудің тиімді жолын ұсыну керек.

Біз мұны нақты мысалмен келтірейік.

11 мысал. АВС тік бұрышты үшбұрышына іштей центрі О шеңбер салынған. М нүктесі АВ гипотенузасының ортасы. Егер болса, АВС үшбұрышының сүйір бұрыштарын табу керек.

Шешуі:

1 әдіс. Есепті шешу үшін үшбұрышының қандай да бір екі қабырғасының қатынасын тапсақ жеткілікті.

Белгілеу енгізейік: , , . үшбұрышының сүйір бұрыштарының қосындысы -қа тең, олай болса . Есептің шарты бойынша , ендеше .

және үшбұрыштарынан Пифагор теоремасы бойынша және косинустар теоремасы бойынша, келесі табылады:

,

.

Келесі теңдікті АОВ үшбұрышының ОМ медианасын оның қабырғалары арқылы өрнектеп құрамыз:

.

Нәтижесінде үш теңдеуден тұратын теңдеулер жүйесін аламыз, оның шешімі күрделі есептеулерді қажет етеді. Теңдеулер жүйесінен с-ны қысқартып тастап, екі белгісізі бар теңдеулер жүйесіне келтіреміз:

Бұдан келесі келіп шығады: , .

.

- АВС үшбұрышындағы А бұрышының жартысы болғандықтан,

.

2 әдіс. делік, сонда .

АОМ тңк бұрышты үшбұрышынан мынаны табамыз:

.

ВОМ үшбұрышынан синустар теоремасы бойынша мынаны табамыз:

.

болғандықтан, біз екі әдіспен бір теңдіктік жазылуын өрнектедік және мына теңдеуді аламыз:

, .

Қарапайым түрлендірулер жасап, біз бұл теңдеуді мына түрге келтіреміз

, бұдан . болса, онда екі еселенген аргументтің формуласы бойынша табатынымыз:

.

Осылайша, есептің шарттары бойынша берілген үшбұрыш қабырғалары 3, 4, 5 болатын үшбұрышқа ұқсас үшбұрыш болады.

Алынған шешімдерді салыстыра отырып, есепті шешудің бірінші әдісіне қарағанда, екінші әдісі қысқаша және қарапайым екендігі көрсетілген.

Егер үшбұрыштың бұрышы ізделінді элемент болмаса, бірақ ізделінді элемент пен берілген элементтерді қосымша бұрыштың тригонометриялық функциялары байланыстыруға болатын болса, онда есепті тригонометриялық теңдеулер құру әдісі бойынша шешуге болады.

12 мысал. АВС тең бүйірлі үшбұрышына центрі О болатын шеңбер іштей сызылған болсын. және болса, шеңбердің радиусын табу керек.

Шешуі:

Есептің шартынан екендігі келіп шығады. Егер үшбұрыштың А бұрышын алдымен тауып алсақ, онда іштей сызылған шеңбердің радиусын оңай есептеуге болады. Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің О центрі оның СD биіктігінің бойында жатады. арқылы белгілейік, сонда , . АОС үшбұрышынан синустар теоремасы бойынша мынаны табамыз:

.

Мына формуланы пайдалансақ , келесі теңдеуге келеміз

.

Бұл теңдеудің оң шешімі ғана есептің шартын қанағаттандырады.

үшбұрышынан іштей сызылған шеңбердің радиусын табамыз:

.

Осы теңдікке -тің мәнін апарып қойсақ, онда шешімін аламыз.

Есепті тригонометриялық функцияларды қолданбай да шешуге болады: үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусын х арқылы белгілейміз, сосын Пифагор теоремасын пайдаланып және үшбұрыштың биссектрисасының қасиеттерін пайдаланып квадраттық теңдеу аламыз. Бірақ мұндай теңдеудің шешімін табу күрделі есептеулерді талап етеді.

Есепті шешудің алгебралық әдісін құру кезінде кейде мұнда да белгісіз ретінде бұрышты алу керек. Ал оны табу үшін тригонометриялық теңдеу құрылады. Ізделінді бұрыштың қандай да бір тригонометриялық функциясын берілген элементтер арқылы өрнектеп, осы бұрышты құруға болады, сосын ол фигураны құруға болады.

13 мысал. Параллелограммды екі биіктіктері және бойынша және периметрі бойынша параллелограммды салу керек.

Шешуі:

1 әдіс. -ізделінді параллелограмм болсын. болсын, сонда . Параллелограммның ауданын екі түрлі әдіспен өрнектеп, мына теңдеуді аламыз:

,

бұдан

.

АВ кесіндісін р, және кесінділеріне пропорционал төртінші ретінде салуға болады. Сосын, параллелограммның қабырғалары және биіктігі табылған соң, кәдімгідей параллелограмды сауға болады.

Есептің шартын қанағаттандыратын жалғыз шешімі бар.

2 әдіс.

Параллелограмның сүйір бұрышын арқылы белгілейміз. ADM және CDN тік бұрышты үшбұрыштарынан мынаны аламыз:

, .

Есептің шартына сәйкес, олай болса

.

Есепті зерттеу тіптен қарапайым. өрнегі үшін алынғанды негізге алып және есептің мағынасынан мынадай тұжырымға келеміз, есептің жалғыз ғана шешімі болады, егер ( болғанда тіктөртбұрыш аламыз); егер де болса, онда есептің шешімі жоқ.

Параллелограмды салу қарапайымдылығымен ерекшеленеді. Алынған формуладан - тік бұрышты үшбұрыштың бұрышы, ал оның катеті -ге тең, ал гипотенузасы -ға тең екендігі белгілі. үшбұрышын салайық, мұнда , және . Е нүктесі арқылы -ға параллель және -мен D нүктесімен қиылысатын түзуін жүргіземіз. Алынған және кесінділері – параллелограммның қабырғалары. Ары қарай түсінікті.

Дәлелдеу:

Салуымыз бойынша -параллелограмм, , . болғандықтан, .

Есептің шешімін мұқият талдау арқылы мұндай салуға түзеу әдісін қолданып, геометриялық жолмен де қол жеткізуге болатыны, көрініп тұр.

2.7 Триногометрияның қиындығы жоғары есептерде қолданылуы.

1.2015-2016 ж. 11 сынып (облыстық олимпиада), 1 кезең

R – ABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің радиусы, ал S – оның ауданы болсын. Егер болса, онда ABC үшбұрышының барлық бұрыштары - тан артық және - тан аспайтынын дәлелдеу керек.

Дәлелдеуі: Үшбұрыштың әрбір бұрышының , , дәлелдеу керек. Үшбұрыштың ауданы келесі формула бойынша табылады . Синустар теоремасы бойынша .

Осыдан , , .

Есептің шарты бойынша .

Ендеше , осыдан мұндағы

.

, болғандықтан, болуы керек. функциясы II ширекте теріс болғандықтан орындалады. Онда . Осыдан . Тура осылай . Есептің бір бөлігі дәлелденді. Енді осы бұрыштардың -тан артық екенін дәлелдеу керек. Дәлелдеу үшін теңсіздігін түрлендіреміз.

.

Бұл теңсіздік , болғанда ғана орындалады. Яғни , , . Дәлелдеу керегі осы.

2.2013 ж. Президенттік олимпиада

ABCD тіктөртбұрышының AC және BD диогональдары О нүктесінде қиылысады. AOB үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің радиусы r₁=1.BOC үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің радиусы r₂-ге тең. r₂ радиус қандай аралықтарда өзгеруі мүмкін?

Шешуі: болсын.

қарастырамыз.

. Осыдан табамыз.

.

Осы үшбұрышта .

қарастырамыз. тең.

.Осыдан табамыз.

+

болғандықтан, алынған теңдіктерді теңестіреміз.

осы теңдіктен табамыз.

аралығында өзгеретін болғандықтан, болса тең, ал болса

Жауабы: аралығында өзгереді

3.10 сынып, облыстық олимпиада, 2012 ж, 1 кезең

Егер ABC үшбұрышында қатынасы орындалса, онда ол тікбұрышты үшбұрыш екенін дәлелдеу керек.

Дәлелдеуі: ABC үшбұрышының ішкі бұрыштарының қосындысы

деп белгілейік.

. Есепте берілген тепе-теңдікке дәрежені төмендету формулаларын қолданамыз.

Осы тепе-теңдікті түрлендіреміз.

3-(

3(

2

2

2

2

2

немесе

шартынан демек ABC үшбұрышы тікбұрышты үшбұрыш.

бұдан , ендеше . Олай болуы мүмкін емес. Сонымен берілген үшбұрыштың тікбұрышты үшбұрыш екендігі дәлелденді.

4. (9 кл. 1 күн обл. Олимпиада, 2012)

Есептеу керек:

Шешуі: .

5.Егер а²+в² =1 болса , │а+в│≤ онда екенін дәлелдеңіздер.

және екені есептің шартынан шығады. Сондай –ақ а²+в² =1 болғандықтан, а мен в-ны синуспен және косинуспен ауыстыруға болады: a=sinα , в=cosα. Онда а+в=sinα+cosα=sinα+sin = =2sin cos = cos .

cos ≤1.Демек , │а+в│≤ .

6. Теңсіздікті дәлелде

Дәлелдеуі:

7. Дәлелдеу керек :

Дәлелдеуі:

8. Кез-келген n натурал сан үшін теңдеуді шешіңіздер: cosⁿx-sinⁿx=1

Шешуі: Үш жағдай қарастырамыз:

1)n жұп болсын, яғни n=2m.Онда cos^2mx=1+sin^2mx , cos^2mx≤1≤1+sin^2mx болғандықтан sinx=0 және cosx=±1, яғни x=kπ , kєZ.

2) n-тақ , яғни n=2m+1(m≥1). Онда cos^2m+1x-sin^2m+1x=1.Бұл жағдайда теңдеудің шешімі мынадай түрде жазылады: x=2kπ, не x=2 kπ- ,kєZ

3) n=1. Бұл жағдайда теңдеу cosx-sinx=1түрінде жазылады, немесе cos(x+ )= . Бұл жағдайдағы шешім екінші жағдайдағымен бірдей болады.

Қорытынды

Тригонометрияның қиындығы жоғары есептерді шешу арқылы оқушылардың білім деңгейінің, ойлау қабілетінің, іскерлігінің қаншалықты екенін байқауға болады. Бұның бәрі тригонометриялық функцияның қасиеттерін қаншалықты меңгергендігін көрсетеді. Мектеп оқушыларын тригонометрияның қиындығы жоғары есептерді шығаруға үйрету әртүрлі әдіс-тәсілдерді қолдануға байланысты анықталады.

Ғылыми жұмыстың 1 бөлімінде ең бірінші математика және тригонометрияның даму тарихын, ұғымын қарастырдым. Тригонометрияның дербес бөлініп шығуы, тригонометриялық функциялардың анықтамаларын және қасиеттерін, тригономерияның негізіг формулаларын және қолдану әдістерін қарастырдым.

Ғылыми жұмыстың 2 бөлімінде тригонометрияның қиындығы жоғары есептерді шешуде қолданылуын, мақсаты мен рөлін зерттедім. Тригонометриялық теңбе-теңдіктер, геометриялық есептерді шешудегі тригонометриялық теңбе-теңдіктер және тригонометриялық теңдеулерді түрлендіру арқылы шешу жолдарын қарастырдым.

Математикалық олимпиадаларда қиындығы жоғары есептерді шығаруда тригонометриялық түрлендірулер, теңдеулер құру, тепе-теңдіктерді дәлелдеулер жиі кездеседі. Аталған әдістерді есептер шығаруда дұрыс әрі орынды қолдандым, олимпиадалық есептерді өте тиімді, тез шығаруға болатынына көз жеткіздім. тәжірибелік сабақтарда тригонометрияны орынды қолдану мектеп оқушыларының математикалық дайындығының артуына ықпал жасайды. Тригонометрияның қиындығы жоғары есептерді шешудегі негізгі әдістерін, олардың қолданылуын көрсеттім.Аталған тақырып бойынша кездесетін ғылыми және әдістемелік әдебиеттерді зерттедім.Тригонометрия тақырыбы бойынша негізгі материалдарды жүйеледім және жинақтадым. Қиындығы жоғары есептерді шешудің әр-түрлі әдістерін, геометриялық есептерді шешуде қолданылуын көрсеттім.

Әдебиеттер тізімі

1. Әбілқасымова А.Е., Кенеш Ә.С. және т.б. Математиканы оқытудың

2. теориясы мен әдістемесі, Алматы, 1998, 206 б.

3. Әбілқасымова А.Е. Қазіргі заманғы сабақ. Алматы, 2004, 217 б.

4. Әбілқасымова А.Е. Студенттердің танымдық ізденімпаздығын

5. қалыптастыру. Алматы, 2000, 190 б.

6. Әбілқасымова А.Е., Кенеш Ә.С. Болашақ мұғалімдердің әдістемелік

7. дайындық негіздері. Алматы, 2004.

8. Әбілқасымова А.Е. және т.б. Орта мектепте математика есептерін

9. шығаруға үйретудің әдістемелік негіздері. Алматы, 2005. 125 б.

10. Бидосов Ә. Математиканы оқытудың теориясы мен әдістемесі, Алматы,

11. 2009, 219 б.

12. Кенеш Ә.С. Математикалық ұғымдарды оқыту негіздері. -А., 1999.

13. Көбесов А.К. Математиканы оқытудың теориясы мен әдістемесі,

14. Алматы, 1999, 206 б.

15. Нұғысова А. Практикалық мазмұнды есептер. –А., 1996. 76б.

16. Рахымбек Д. Оқушылардың логика-методологиялық білімдерін

17. жетілдіру.-А., 1998. -225 б.

18. Қаңлыбаев Қ.И. Есеп шығару практикумы. –А., 2011. -129б.

19. Көбесов А. Математика тарихы. – Алматы, 1993.

20. «Математика және физика» атты ғылыми –әдістемелік журнал. – 2010.

21. «Математика және физика» атты ғылыми –әдістемелік журнал. – 2011.

22. «Математика және физика» атты ғылыми –әдістемелік журнал. – 2012.

23. «Математика және физика» атты ғылыми –әдістемелік журнал. – 2013.

24. «Математика және физика» атты ғылыми –әдістемелік журнал. – 2014.

25. Гусев В.А., и.др. Практикум по решению математических задач.

26. М.,Просвещение,1997, 64б.

27. 19) Литвиненко В.Н ,МордковичА.Г Практикум порешение задач школьной

28. математики. М.,Просвещение,1998, 364б.

29. Ляпин С.Е и др. Сборник задач по элементраной алгебре.

30. -М.,Просвещение,1992, 389б.

31. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний, М., 1975. с. 343.

32. Болтянский Б.Г. и др., Лекции и задачи по элементарной математике,

33. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения, М., 1975.

34. Пойа Д. Математическое открытие, М., 1976.

35. Пойа Д. Как решать задачу, М., 1961.

36. Эрдниев П.М. Укрупнение дидактических единиц как технология

37. обучения, Часть І, М., 1985.

38. Колягин Ю.М. и др., Методика преподования математики в средней

39. школе, М., 1980.

40. Методика преподования математики в средней школе. Частные

    1. методики. / Колягин Ю.М. и д.р. -М., 1980.

41. Методика преподования математики в средней школе. Общая методики.

42. Уч.пос. / Оганесян В.А. и д.р. -М., 1990.

43. Туманов С.И. Поиски решения задачи, М., 1989.

44. Цыпкин А. Г. Пинский А. И. Справочное пособие по методам

45. решения задач по математике, М., 1983. 217с.

46. Поисковые задачи по математике, Пособие по математике,

47. под ред. Ю.М. Колягина.