#1 слайд
10 сынып Алгебра және анализ бастамалары Умбетова Меруерт Мирзамидиновна

1 слайд

#2 слайд
Көпмүшелер Бірнеше айнымалысы бар көпмүшенің түрі және сипаттамасы. Анықтама. Бірмүшелердің қосындысы көпмүше деп аталады Анықтама. Көпмүшенің құрамына кіретін бірмүшелер көпмүшенің мүшелері д.а.  Бірнеше айнымалы көпмүше n-ші дәрежелі біртектi көпмүше деп аталады, егер көпмүшенің әрбір мүшесінің дәреже көрсеткіштерінің қосындысы n-ге тең болса. Умбетова Меруерт Мирзамидиновна

2 слайд

#3 слайд

3 слайд

#4 слайд
5232) 2345  xxxxa 32) 3 xxb 323 54) yxyxс  4567 541087216) yyyyd  abe3) 2 22 )   x xf 22 252)   yxyxg 53 3) ttth  33 4) xxk 1553) 23  хxxl Өрнектерді қарап шығыңыз. Бір айнымалы көпмүшелердің қасына «˅» белгісін, бірнеше айнымалы көпмүше қасына «+» белгісін, көпмүше болып табылмайтын өрнектер қасына «–» белгісін қойыңыздар.

4 слайд

#5 слайд
5232) 2345  xxxxa 32) 3 xxb 323 54) yxyxс  4567 541087216) yyyyd  abe3) 2 22 )   x xf 22 252)   yxyxg 53 3) ttth  33 4) xxk 1553) 23  хxxl ˅ ˅ + ˅ + _ _ ˅ ˅ ˅ Умбетова Меруерт Мирзамидиновна

5 слайд

#6 слайд
Көпмүшенің анықтамасы !!! Дәреже көрсеткіштері теріс емес бүтін сан болу керек.

6 слайд

#7 слайд
Умбетова Меруерт Мирзамидиновна

7 слайд

#8 слайд
Тапсырма№1. көпмүшені канондық түрде жазыңыз а) (х + 1)(х - 1)(х - 2); б)    (х + 1) 2 (х - 2) - (х + 1)(х - 2) 2 , в)    (2х + 1)(2х - I) 2 ; г)    (2х + 1)(2х - I) 2  + (1 - 2х) 3

8 слайд

#9 слайд
Тапсырма №2 көпмүшелері берілген. Кестеге дәреже көрсеткішін толтырыңыздар )(),( xgxf 5 8 15 7 7 14 3 4 9 3 3 6 7 7 21 Умбетова Меруерт Мирзамидиновна

9 слайд

#10 слайд
Көпмүшені стандарт түрде жазыңыз а) (2х-у-3) 2 +(х-Зу-1) 2 ; б)    (х - у - 2z - 1) 2  + (2х+ у + z - З) 2 ; в)    (5х - у - 2) 2  + 2(3х - у -1) 2 ; г)    (х - Зу + z - 2) 2  - 3(2х + у - z + 1).

10 слайд

#11 слайд
Тақырып: Біртекті және симметриялы көпмүшелер Умбетова Меруерт Мирзамидиновна

11 слайд

#12 слайд
Жаңа материал бойынша теориялық түсінік беру Анықтама: Көпмүшенің әрбір бірмүшелерінің дәрежелері тең болса, онда мұндай көпмүше біртекті көпмүше деп аталады. Мысалы: х + 3у, xy(x+y) көпмүшелері біртекті көпмүшер болады. Анықтама: Егер f (x;y) көпмүшесіндегі х-ті у-ке, ал у-ті х-ке ауыстырғанда, берілген көпмүше өзгермесе, ондай көпмүше симметриялы көпмүше деп аталады. Ең қарапайым симметриялы көпмүшелер: х + у және ху. Бұл көпмүшелерді элементар көпмүшелер деп айтады

12 слайд

#13 слайд
Умбетова Меруерт Мирзамидиновна

13 слайд

#14 слайд
Умбетова Меруерт Мирзамидиновна

14 слайд

#15 слайд
Умбетова Меруерт Мирзамидиновна

15 слайд

#16 слайд
Тақырып: Көбейткіштерге жіктеу әдісі арқылы бір айнымалысы бар көпмүше түбірлерін табу Умбетова Меруерт Мирзамидиновна

16 слайд

#17 слайд

17 слайд

#18 слайд

18 слайд

#19 слайд

19 слайд

#20 слайд
Мысал:

20 слайд

#21 слайд

21 слайд

#22 слайд
Кубтық теңдеулерді шешу алгоритімі: •Ax 3 +Bx 2 +Cx+D=0 түріндегі кубтық теңдеуді шешудің алгоритімін қарастырамыз, мұнда x=0 сол теңдеудің шешімі болатын болса •Бұл жағдайда D бос мүшесі нөлге тең болса онда теңдеу келесі түрге айналады Ax 3 +Bx 2 +Сx=0 • осы теңдеуден х айнымалысын жақша сыртына шығарсақ бір түбірі 0-ге тең. ал жақша ішіндегі теңдеудің түбірлерін Виетпен немесе Дискриминатпен есептеп шығамыз x(Ax 2 +Bx+C)=0

22 слайд

#23 слайд
Мысалдар қарасытрамыз: Теңдеуді шеш: 3x 3 +4x 2 +2x=0 Шешуі: 3x 3 +4x 2 +2x=0 x(3x 2 +4x+2)=0 x=0 бір түбірі. Енді квадрат үшмүшенің түбірін табамыз: 3x 2 +4x+2 D=4 2 -4*3*2=-8 дискриминан нөлден кіші болса түбірі жоқ

23 слайд

#24 слайд
Биквадрат теңдеуді шешу алгоритімі: • ax4 + bx2 + c = 0 теңдеуі биквадрат теңдеу д.а. • Жаңа айнымалы енгіземіз:y=x2 онда теңдеу келесі түрде жазылады: y2+by+c=0. • Енді бұрынғыша кварат теңдеуді шешеміз • Табылған түбірлерді у жаа айнымалысының орнына қоямыз Умбетова Меруерт Мирзамидиновна

24 слайд

#25 слайд
Мысал: теңдеуді шеш: x 4  - 10x 2  + 1 = 0 . Шешуі: y= x 2, y 2 -10y+1=0,онда y1,2=5 ± √(24). Теңдеуді шешсек түбірлері x 2 =5+ √(24) және x 2 =- √(24) Жауабы::X1,2,3,4=± √(5 ± √(24)). Умбетова Меруерт Мирзамидиновна

25 слайд

#26 слайд
Бір айнымалысы бар көпмүше р(x) = a n x n + a n-1 x n-1 +…+ a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a o - р(х) көпмүшенің стандарт түрі a nx n –р(х) көпмүшесініңең ең үлкен мүшесі a n – ең үлкен мүшесінің коэффициенті Егер a n = 1 болса, ондар(х) көпмүшесі келтірілген деп аталады егер a n ≠ 1, р(х) көпмүшесі келтірілмеген көпмүше деп аталады a о –р(х) көпмүшесінің бос мүшесі n – көпмүшенің дәрежесі

26 слайд

#27 слайд
Көпмүшелерді бөлу р(x) = s(x)  q(x) p(x) көпмүшесі s(x) көпмүшесіне бөлінеді деп айтамыз, егер сәйкестік орындалатындай q(x) көпмүшесі бар болса. p(x) – бөлінді s(x) – бөлгіш q(x) – бөлінгіш Умбетова Меруерт Мирзамидиновна

27 слайд

#28 слайд
бөлінді бөлгіш Көпмүшелерді бөлу х 2 + 5 х 3 + 5х − − 3х 2 − 15 х − 3х 2 − 15 0 х 3 − 3х 2 + 5х − 15 = (х 2 + 5)(х − 3) болса, онда х 3 − 3х 2 + 5х − 15 көпмүшесі х 2 + 5 және х − 3 көпмүшелеріне бөлінеді 1 мысал − 3 − бөлінгіш х 3 − 3х 2 + 5х − 15 Умбетова Меруерт Мирзамидиновна

28 слайд

#29 слайд
•Жаңа материал бойынша теориялық түсінік беру •Көпмүшелерді қалдықпен бөлу үшін «бұрыштап бөлу» тәсілі қолданылады. •Кез келген f(x)және g(x) көпмүшелері үшін q(x) және r(x) көпмүшелері табылып, •f(x)=g(x)*q(x)+r(x) теңдігі орындалады. •Мұнда r(x) -тің дәрежесі g(x) -тің дәрежесінен кіші немесе r(x)=0 болады. g(x) көпмүшесі f(x)-ті g(x)көпмүшесіне бөлгендегі толымсыз бөлінді деп айтады.

29 слайд

#30 слайд
Көпмүшелерді қалдықпен бөлу р(x) = s(x) q(x) + r(х) p(x) – көпмүше s(x) – бөлгіш q(x) – толымсз бөлінді r(x) – қалдық

30 слайд

#31 слайд
қалдық бөлінді бөлгіш бөлінгіш 2х 2 − х − 3 х − 2 2х 2 − 4х − 3х − 6 2х 3х − 3 3 2х 2 − х − 3 = 2х 2 − 4х + 3х − 6 + 3 = = 2х(х − 2) + 3(х − 2) + 3 = (х − 2)(2х + 3) + 3, 2-Мысал + 3 Қалдықпен бөлу онда 2х 2 − х − 3 = (х − 2)(2х + 3) + 3 −

31 слайд

#32 слайд

32 слайд

#33 слайд
Безу Теоремасы р(x) = (x − а) q(x) + r кез-келген көпмүшені x − а ексімүшесіне бөлгенде шыққан қалдық р(х) бөлінгіш көпмүшенің х = а болғндағы мәніне тең p(x) –бөлінгіш q(x) – бөлінді r – қалдық x − а –бөлгіш

33 слайд

#34 слайд
Безу теоремасы бойынша р(2)= 22 2 − 2 − 3 = 3 2х 2 − х − 3 х − 2 2х 2 − 4х − 3х − 6 2х 3х − 3 3 р(х) = 2х 2 − х − 3 көпмүшесін х − 2.ге бөлгендегі қалдықты тап мысал + 3 Қалдықпен бөлу − қалдық

34 слайд

#35 слайд
Горнер схемасы р(x) = bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f көпмүшесі болсын. р(х) –ті (x − а)-ке бөліп, р(x) = (х − а )q(x) + r аламыз. q(x) = kx 3 + mx 2 + nx + s, коэффициенттері Горнер схемасы бойынша есептеледі b c d e f ak = bm = ka + cn = ma + ds = na + er = sa + f k = b m = ka + c n = ma + d s = na + e r = sa + f

35 слайд

#36 слайд
Бөлінгіштің коэффициенттері: 2, − 3, 3, − 4, 8, Ал қалдық r = − 11. демек, 2x 5 + x 4 − 3x 3 + 2x 2 + 5 = = (х + 2)(2x 4 − 3x 3 + 3x 2 − 4x + 8) − 11 р(x) = 2x 5 + x 4 − 3x 3 + 2x 2 + 5 көпмүшесін x + 2-ге бөлеміз. мұнда a = − 2; Коэффициенттер сәйкесінше 2, 1, −3, 2, 0, 5 тең Горнер схемасымен таблица құрайық: қалдық мысалы 2 1 −3 2 0 5 −22 2 2(−2)+1 −3 −3(−2)+(−3) 3 3(−2)+2 −4 −4(−2)+0 8 8(−2)+5 −11

36 слайд

#37 слайд
Квадраттық үшмүшені көбейткішке жіктеу4 Ортақ көбейтішті жақша сыртына шығару1 Топтастыру әдісі2 Қысқаша көбейту формуласын қолдану3 Көпмүшені көпмүшеге бөлу

37 слайд

#38 слайд
Ортақ көбейткшті жақша сыртына шығару : (a + b)c = ac + bc Кері ретпен: ac + bc = c(a + b) 4 мысал 8х 4 + 6х 3 − 4х 2 + 2х =2х (4х 3 + 3х 2 − 2х + 1) 3х 3 + 6х 6 − 27х 4 =3x 3 (1 + 2х 3 − 9x)

38 слайд

#39 слайд
Топтастыру әдісі Қосудың ауыстырымды немесе терімділік заңдарын қолдану арқылы көпмүшенің мүшелерін кез келген жолмен топтастыруға болады. : a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) = а + b + c 5 мысал 3х 3 + 6х 2 − 27х − 54 =3(х 3 + 2х 2 − 9х − 18) = = 3(х 2 (х + 2) − 9(х + 2)) = 3(х + 2)(х 2 − 9) = = 3(х + 2)(х − 3)(х + 3)

39 слайд

#40 слайд
Қ.К.Ф. қолдану (a + b)(а − b) = a 2 − b 2 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) = а 3 + b 3 (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = а 3 − b 3 (a − b) 3 = a 3 − 3ab 2 + 3a 2 b − b 3 (a + b) 3 = a 3 + 3ab 2 + 3a 2 b + b 3 6 мысал х 6 − 1 = = (х + 1)(х 2 − х + 1)(х − 1)(х 2 + х + 1) (х 3 ) 2 − 1 2 = (х 3 + 1)(х 3 − 1) =

40 слайд

#41 слайд
Квадрат үшмүшені көбейткішке жіктеу егер х 1 және х 2 түбірлері aх 2 + bх + с квадрат үшмүше түбірлері болса, онда aх 2 + bх + с = а (х − х 1 )(х − х 2 ) 7 мысал 2х 2 − 3х − 5 = 2 (х + 1)(х − 2,5) = (х + 1)(2х − 5)

41 слайд

#42 слайд
Теорема Егер а бүтін саны бүтін коэффициентті көпмүшенің түбірі болса, онда көпмүшенің бос мүшесі а санына бөлінеді

42 слайд

#43 слайд
8 мысал х 3 − 3х 2 − 10х + 24 = (х – 2)(х 2 − х − 12) = = (х – 2)(х − 4)(х + 3) Көпмүшені көбейткішке жіктеу х 3 − 3х 2 − 10х + 24 Бос мүшенің бөлгіштерін іздейміз 24: ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24. р(1) = 12 ≠ 0, р(−1) = 30 ≠ 0, р(2) = 0. демек х = 2 –р(х) көпмүшесінің түбірі . Горнер схемасы бойынша q(x) ті іздейміз: 1 −3 −10 24 2 1 1 21+ (−3)−1 2(−1)−10 −12 2(−12)+24 0

43 слайд

#44 слайд
х 2 – у 2 = (х – у)(х + у) х 3 – у 3 = (х – у)(х 2 + ху + у 2 ) x 4 – у 4 = (x – y)(x 3 + x 2 у + xy 2 + у З ) x 5 – у 5 = (x – y)(х 4 + х з y + х 2 y 2 + хy 3 + y 4 ) … x n – у n = (x – y)(х n−1 + х n−2 y + х n−3 y 2 + … + + х 2 y n−3 + xy n−2 + y n−1 )

44 слайд

#45 слайд
Бірнеше айнымалысы бар көпмүше х 3 + у 3 = (х + у)(х 2 – ху + у 2 ) x 5 + у 5 = (x + y)(х 4 – х 3 y + х 2 y 2 – хy 3 + y 4 ) … x 2n+1 + у 2n+1 = (x + y)(х 2n – х 2n−1 y + х 2n−2 y 2 – – х 2n−3 y 3 + … + x 2 y 2n−2 – xy 2n−1 + y 2n )

45 слайд

#46 слайд
Жоғары дәрежелі теңдеулер х 3 + 2х 2 – 7х – 12 = 0 Бос мүшенің бөлгіштері12: ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12. Р(х) = х 3 + 2х 2 – 7х – 12 болсын, онда Р(1) = −16, Р(−1) = −4, Р(2) = −10, Р(−2) = 2, Р(3) = 12, Р(−3) = 0. демек х = −3 –Р(х) көпмүшесінің түірі. Теорема. Егер бүтін коэффициенттері бар келтірілген теңдеудің рационал түбірі болса, онда бұл түбір міндетті түрде бүтін сан болады.. Мысал 9

46 слайд

#47 слайд

47 слайд