Презентация Тригонометриялық теңдеулерді және теңдеулер жүйесін шешу әдістері 10 сынып

1 слайд
Тригонометриялық теңдеулерді және теңдеулер жүйесін шешу әдістері

2 слайд
Ауызша есептеу Теңдеуді шешіңдер:  А) 3 х – 5 = 7  Б) х 2 – 8 х + 15 = 0  В) 4 х 2 – 4 х + 1= 0  Г) х 4 – 5 х 2 + 4 = 0  Д) 3 х 2 – 12 = 0 Жауабы:  4  3; 5  0,5  -2; -1; 1; 2  -2; 2

3 слайд
Ауызша есептеу Өрнектерді ықшамдаңдар:  А ) (sin a – 1) (sin a + 1)  Б ) sin 2 a – 1 + cos 2 a  В ) sin 2 a + tg a ctg a + cos 2 a  Г) Жауаптары:  - cos 2 a  0  2  | 1- tg х | x tg tgx 2 2 1  

4 слайд
Қайталау 1 нұсқа  sin (-π/3)  cos 2π/3  tg π/6  ctg π/4  cos (-π/6)  sin 3 π /4  arcsin √2/2  arccos 1  arcsin (- 1/2 )  arccos (- √3/2 )  arctg √ 3 2 нұсқа  cos (-π/4 )  sin π/3  ctg π/6  tg π/4  sin (-π/6)  cos 5π/6  arccos √2/2  arcsin 1  arccos (- 1 /2)  arcsin (- √ 3 /2)  arctg √ 3 / 3

5 слайд
Қайталау 1 нұсқа жауаптары  - √ 3/2  - 1/2  √ 3/3  1  √ 3/2  √ 2/2  π/4  0  - π/ 6  5 π/ 6  π/ 3 2 нұсқа жауаптары  √ 2/2  √ 3/2  √ 3  1  - 1/2  - √3/2  π/4  π/ 2  2 π/ 3  - π/ 3  π/ 6

6 слайд
Қарапайым тригонометриялық теңдеулердің түбірлерінің формулалары 1 . cost = а , мұндағы | а| ≤ 1 немесе Дербес жағдайлар 1) cost=0 t = +π k‚ k Є Z 2) cost=1 t = 2 π k‚ k Є Z 3) cost = -1 t = π+2π k‚ k Є Z2 Қарапайым тригонометриялық теңдеулердің түбірлерінің формулалары 1 . cost = а , мұндағы | а| ≤ 1

7 слайд
Қарапайым тригонометриялық теңдеулердің түбірлерінің формулалары 2. sint = а , мұндағы | а |≤ 1 немесе Дербес жағдайлар 1) sint=0 t = π k‚ k Є Z 2) sint=1 t = +2π k‚ k Є Z 3) sint = - 1 t = - +2π k‚ k Є Z2  2 Қарапайым тригонометриялық теңдеулердің түбірлерінің формулалары 2. sint = а , мұндағы | а |≤ 1

8 слайд
Қарапайым тригонометриялық теңдеулердің түбірлерінің формулалары 3. tgt = а, а Є R t = arctg а + π k‚ k Є Z 4. ctgt = а, а Є R t = arcctg а + π k‚ k Є ZҚарапайым тригонометриялық теңдеулердің түбірлерінің формулалары 3. tgt = а, а Є R t = arctg а + π k‚ k Є Z 4. ctgt = а, а Є R t = arcctg а + π k‚ k Є Z

9 слайд
Мысалдар: 1) cost= - ; 2) sint = 0; 3) tgt = 1;t= ±arccos(-1/2)+2 π k, k Є Z t= ± + 2 π k, k Є Z Дербес жағдайлар: t = π k, k Є Z t = arctg1+ π k, k Є Z t = + π k, k Є Z. t = arcctg( ) + π k, k Є Z t = + π k, k Є Z.3 2  6 5  4  2 1Мысалдар: 1) cost= - ; 2) sint = 0; 3) tgt = 1; t= ±arccos(-1/2)+2 π k, k Є Z t= ± + 2 π k, k Є Z Дербес жағдайлар: t = π k, k Є Z t = arctg1+ π k, k Є Z t = + π k, k Є Z. t = arcctg( ) + π k, k Є Z t = + π k, k Є Z.

10 слайд
Қарапайым теңдеулерді шешу 1) tg2x = -1 2x = arctg (-1) + π k, k Є Z 2x = - π /4 + π k, k Є Z x = - π /8 + π k/2, k Є Z Жауабы: - π /8 + π k/2, k Є Z . 2) cos(x+ π /3) = ½ x+ π /3 = ±arccos1/2 + 2 π k, k Є Z x+ π /3 = ± π /3 + 2 π k, k Є Z x = - π /3 ± π /3 + 2 π k, k Є Z Жауабы: - π /3 ± π /3 + 2 π k, k Є Z 3) sin( π – x/3) = 0 келтіру формуласы бойынша ықшамдаймыз sin ( x/3 ) = 0 дербес жағдай x/3 = π k, k Є Z x = 3 π k, k Є Z. Жауабы: 3 π k, k Є Z.Қарапайым теңдеулерді шешу 1) tg2x = -1 2x = arctg (-1) + π k, k Є Z 2x = - π /4 + π k, k Є Z x = - π /8 + π k/2, k Є Z Жауабы: - π /8 + π k/2, k Є Z . 2) cos(x+ π /3) = ½ x+ π /3 = ±arccos1/2 + 2 π k, k Є Z x+ π /3 = ± π /3 + 2 π k, k Є Z x = - π /3 ± π /3 + 2 π k, k Є Z Жауабы: - π /3 ± π /3 + 2 π k, k Є Z 3) sin( π – x/3) = 0 келтіру формуласы бойынша ықшамдаймыз sin ( x/3 ) = 0 дербес жағдай x/3 = π k, k Є Z x = 3 π k, k Є Z. Жауабы: 3 π k, k Є Z.

11 слайд
Тригонометриялық теңдеулердің түрлері 1. Алгебралық теңдеулерге келтірілетін жаңа айнымалыны енгізу тәсілімен шешіледі a∙sin²x + b∙sinx + c=0 sinx = p деп белгілейік , мұндағы |p| ≤1 , онда a∙p² + b∙p + c = 0 Түбірлерін тауып, алмастыруға қайтып келіп, қарапайым тригонометриялық теңдеуді шешу. 2sin²x - 3sin x +1=0; Шешуі: sin x = t; 2t²-3t+1 = 0; D= (-3)² - 4·2·2 = 9 + 16 = 25 =5² ; t 1,2 = (3±5)/4; t 1 = 2 ; t 2 =0,5 ; sin x =2 шешімі жоқ, себебі 2 саны [-1;1] кесіндісіне жатпайды. sin x = 0,5 ; x = (-1) arcsin 0,5 + πn , n ЄZ; x = (-1) π/6 + πn , n ЄZ. Жауабы: x = (-1) π /6 + πn , n Є Z .Мысал:Тригонометриялық теңдеулердің түрлері 1. Алгебралық теңдеулерге келтірілетін жаңа айнымалыны енгізу тәсілімен шешіледі a∙sin²x + b∙sinx + c=0 sinx = p деп белгілейік , мұндағы |p| ≤1 , онда a∙p² + b∙p + c = 0 Түбірлерін тауып, алмастыруға қайтып келіп, қарапайым тригонометриялық теңдеуді шешу.

12 слайд
2. Біртекті теңдеулер 1) Бірінші дәрежелі: cos х (немесе sinx ) бөлу арқылы және жаңа айнымалы енгізу арқылы шешіледі . a∙sinx + b∙cosx = 0 Қарапайым теңдеуді аламыз: a∙tgx + b = 0 немесе tgx = mТригонометриялық теңдеулердің түрлері sinx + 2cosx = 0. Шешуі: теңдеудің екі жағын cosx бөлеміз . Жауабы:            k k arctg x tgx tgx x x x x , 2 2 0 2 0 cos cos 2 cos sin      k k arctg , 2 Мысал:2. Біртекті теңдеулер 1) Бірінші дәрежелі: cos х (немесе sinx ) бөлу арқылы және жаңа айнымалы енгізу арқылы шешіледі . a∙sinx + b∙cosx = 0 Қарапайым теңдеуді аламыз: a∙tgx + b = 0 немесе tgx = m Тригонометриялық теңдеулердің түрлері

13 слайд
2) Екінші дәрежелі біртекті теңдеулер: cos х (немесе sinx ) бөлу арқылы және жаңа айнымалы енгізу арқылы шешіледі . a∙sin²x + b∙sinx∙cosx + c∙cos²x = 0 Екі жағын cos²x –ке бөлеміз . Квадрат теңдеу аламыз: a∙tg²x + b∙tgx + c = 0 .Тригонометриялық теңдеулердің түрлері 3sin  2   x  + 4 sin  x  · cos  x  + 5 cos  2  x  = 2.   Шешуі:  3sin  2   x  + 4 sin  x  · cos  x  + 5 cos  2   x  = 2sin  2   x  + 2cos  2   x  ,              sin  2   x  + 4 sin  x  · cos  x  + 3 cos  2   x  = 0 ,             t g 2   x  + 4 t g   x  + 3 = 0 ,  бұдан   y   2  + 4 y  +3 = 0 ,           бұл теңдеудің түбірлері:   y 1  = -1,   y 2  = -3,  бұдан                             1)   t g   x  = –1,  2)   t g   x  = –3, Жауабы:         n n arctg k k , 3 ; , 4   Мысал:2) Екінші дәрежелі біртекті теңдеулер: cos х (немесе sinx ) бөлу арқылы және жаңа айнымалы енгізу арқылы шешіледі . a∙sin²x + b∙sinx∙cosx + c∙cos²x = 0 Екі жағын cos²x –ке бөлеміз . Квадрат теңдеу аламыз: a∙tg²x + b∙tgx + c = 0 . Тригонометриялық теңдеулердің түрлері

14 слайд
3. Тригонометриялық формулаларды түрлендіру жолымен шешілетін тригонометриялық теңдеулер: sin x + cos x = 1 . Ш е ш у і. Барлық мүшелерін сол жаққа ауыстырамыз: sin x + cos x – 1 = 0 ,Тригонометриялық теңдеулердің түрлері немесе Шешімі жоқ t g arct g3. Тригонометриялық формулаларды түрлендіру жолымен шешілетін тригонометриялық теңдеулер: Тригонометриялық теңдеулердің түрлері

15 слайд
4 . Қосымша бұрыш енгізу арқылы шығарылатын тригонометриялық теңдеулер Тригонометриялық теңдеулердің түрлері а sinx + b cosx = c4 . Қосымша бұрыш енгізу арқылы шығарылатын тригонометриялық теңдеулер Тригонометриялық теңдеулердің түрлері

16 слайд

17 слайд
5 . Әмбебап алмастыруды қолдану арқылы шығарылатын тригонометриялық теңдеулер Қосымша аргумент енгізу арқылы шығарылады А sinx + B cosx = C Тексеру Егер , - дұрыс емес, онда , берілген теңдеудің түбірі болмайды Жауабы: Тригонометриялық теңдеулердің түрлері5 . Әмбебап алмастыруды қолдану арқылы шығарылатын тригонометриялық теңдеулер Қосымша аргумент енгізу арқылы шығарылады Тригонометриялық теңдеулердің түрлері

18 слайд

19 слайд
6 . Дәрежені төмендету арқылы шығ арылатын тригонометриялық теңдеулер6 . Дәрежені төмендету арқылы шығ арылатын тригонометриялық теңдеулер

20 слайд
; 2 tg 1 2 x 2tg sinx 2 x   ; 2 tg 1 2 x tg-1 cosx 2 2 x   ; 2 tg 1 2 x 2tg tgx 2 x  Формулалар . ; a 2 2 b С   ; С а ; b С a cosx + b sinx алмастырамыз C sin ( x +  ), мұндағы sin  = cos  =  - қосымша бұрыш (аргумент) .Әмбебап алмастыру. х   + 2  n ; Тексеру міндетті! Дәрежені төмендету. 2 2 cos 1 cos 2 x x   2 2 1 sin 2 x сos x   Қосымша бұрыш енгізу әдісі.

21 слайд
Ереже.  Квадратты көрсең, дәрежесін төмендет.  Көбейтіндіні көрсең, қосындыға келтір.  Қосындыны көрсең, көбейтіндіге келтір.

22 слайд
1-нұсқа. «3»-ке  3 sin x+ 5 cos x = 0  5 sin 2 х - 3 sin х cos х - 2 cos 2 х =0 «4»-ке  3 cos 2 х + 2 sin х cos х =0  5 sin 2 х + 2 sin х cos х - cos 2 х =1 «5»-ке  2 sin x - 5 cos x = 3  1- 4 sin 2 x + 6 cos 2 х = 0 2-нұсқа. «3»-ке  cos x+ 3 sin x = 0  6 sin 2 х - 5 sin х cos х + cos 2 х =0 «4»-ке  2 sin 2 x – sin x cosx =0  4 sin 2 х - 2 sin х cos х – 4 cos 2 х =1 «5»-ке  2 sin x - 3 cos x = 4  2 sin 2 х - 2sin 2х +1 =0