10 сынып математика пәні олимпиадасы жауаптарымен І, ІІ нұсқа

10 сынып

1. 3р⁴+5q⁴+15=13p ²q² теңдігі орындалатын p және q жай сандарын тап.

2.Дұрыс па? =2000;

3. ABCD шаршысының A төбесі және CD қабырғасының ортасы l түзуіне қарағанда симметриялы. l түзуі ABCD шаршысының бөлген бөліктердің аудандарының қатнасын табыңыз.

4. 2015 санын қандай санға көбейткенде, сол санның бөлгіштерінің саны дәл 12-ге ( бір мен сол санның өзін қоса есептегенде) тең болады?

5. АВСД дөңес төртбұрышы берілген. Сонда , ал Ғ нүктесі АД кесіндінің ортасы. ВҒ түзуі АС түзуімен Р нүктесінде қиылысады және ВС=СР екенін дәлелде.

6. Теңдеулер жүйесін шешіңіз:

7. Егер 2tg²α+tgα-3=0 болып π/2<α<π аралығында болса sin2α-ны тап.

10 сынып

1. және сандары бүтін сан болу үшін натурал а және в

жұптарын тап.

2. 13!-11! Өрнегі 31-ге еселік екенін дәлелде.

3. а, в, с>0 болса, теңсіздігін дәлелде

4. Ықшамда: ;

5. Дұрыс жетібұрыштың неше диагоналі бар?

6. а, в, с және x, y, z -оң нақты сандар болып, a+x=b+y=c+z=1 болса, онда

(abc+xyz) теңсіздігін дәлелде.

7. О центрлі шеңбердің АС және ВД хордалары К нүктесіндеқиылысады. М және Н ΔАВК және ΔСДК-ға сырттай сызылған шеңберлердіңцентрі болса, онда ОМ=КН екенін дәлелде

10 сынып

1. 3р⁴+5q⁴+15=13p ²q²теңдігі орындалатын p және q жай сандарын тап.

Шешуі : p және q тақ болса , онда сол жағы модулі 4 бойынша 3-ке тең, оң жағымодулі 4 бойынша 1-тең,бұл жағдай болмайды.Ендеше p= q=2 есеп шартына қанағаттандырылмайды p=2 болса q=3 болады, ал q=2 болса

p болмайды.

Жауабы: p= 2 ; q=3

2.Дұрыс па? =2000;

Сол жағын түрлендіреміз:

= =

= = =2000; 2000 = 2000Жауабы:дұрыс.

3. ABCD шаршысының A төбесі және CD қабырғасының ортасы l түзуіне қарағанда симметриялы. l түзуі ABCD шаршысының бөлген бөліктердің аудандарының қатнасын табыңыз.

Шешуі:AB=a, BN=x, DM=y деп белгілейміз.

болғандықтан MA=ME=a–y

тікбұрышты ұшбұрыш сондықтан

болғандықтан AN=EN

тікбұрышты үшбұрыш сондықтан

тікбұрышты үшбұрыш сондықтан

AN=EN болғандықтан

ABNM трапецияның ауданы

DMNC трапецияның ауданы

Жауабы: .

4. 2015 санын қандай санға көбейткенде, сол санның бөлгіштерінің саны дәл 12-ге ( бір мен сол санның өзін қоса есептегенде) тең болады?

Шешуі:2015 санын көбейткіштерге жіктейміз. 2015=5·13·31

2015-тің бөлгіштері сегіз: 1, 5, 13, 31, 5·13, 5·31, 13·31, 5·13·31

Егер 2015 санын оның жай көбейткіштерінен басқа кез-келген бір жай санға көбейтсек, мысалы: 3-ке, 2015·3=3·5·13·31

2015·3санының бөлгіштері:1, 3, 5, 13, 31,

бөлгіштерінің саны 15-ке тең болады.

Демек өзінің жай көбейткіштерінен басқа келкелген санға көбейткенде оның бөлгіштерінің саны 12-ден артық болады.

Енді 2015 санының жай көбейткіштеріне көбейтсек бөлгіштерінің саны дәл 12-ге тең болады.

2015·5=5·5·13·312015·5саныныңбөлгіштері: 1,5,13,31,5·5,5·13,5·31,13·31,5·5·13,5·5·31,5·13·31,5·5·13·31 саны 12-ге тең болды.

Демек, 2015 санының жай көбейткіштерінің біріне көбейтсек ол санның бөлгіштері дәл 12-ге тең болады.

Жауабы: 5, 13, 31

5. АВСД дөңес төртбұрышы берілген. Сонда , ал Ғ нүктесі АД кесіндінің ортасы. ВҒ түзуі АС түзуімен Р нүктесінде қиылысады және ВС=СР екенін дәлелде.

Шешуі: А,В,С және F нүктелерінің бір шеңберге тиіс екенін дәлелдеу керек.

ΔАВF=ΔАСF =ᴪ, бұдан Δ СBL=90°-ᴪ.

6. Теңдеулер жүйесін шешіңіз:

Шешуі:

1-ші әдісі:

Соңғы жүйедегі теңдеулерді өзара көбейтсек: болып шығады. Осы теңдеуді соңғы жүйенің бірінші теңдеуіне бөлсек

Тура осыған ұқсас жолмен шығады.

Жауабы: және

2-шіәдісі:

теңдеуінің шешімі .

теңдеуіне x-ті қойып,

теңдеуіне z-ті қойып,

Жауабы: және

7 . Егер 2tg²α+tgα-3=0 болып π/2<α<π аралығында болса sin2α-ны тап.

Шешуі :

10 сынып

1. және сандары бүтін сан болу үшін натурал а және в

жұптарын тап.

Шешуі : (2;2),(3;3),(1;2),(2;1),(2;3),(3;2).

а≥в. Егер а>в+1 болса , онда а(а-1)>в(в+1) және а ²-в>а+в ²

бұл орындалмайды.Ендеше а=в немесе а=в +1.

а=в (2;2)(3;3) болады.

Ал а=в +1 болса , бүтін сан боладыв≥6 в ² -в-1>4в+2, 1≤в≤5 , онда тексер.

2. 13!-11! Өрнегі 31-ге еселік екенін дәлелде.

Шешуі:5) 13! =1*2*3*....*13=1*2*3*....*11(12*13) =11!*12*13.

Ендеше 13!-11! =11!(12*13-1) =11!*155=11!*31*5.31-ге еселік болады.

3. а, в, с>0 болса, теңсіздігін дәлелде.

Шешуі: Теңсіздіктің арифметикалық және гармониялық оң сан үшін қолданыпшығатыны:

; Бұдан кейін теңсіздікті шеш.

4. Ықшамда: ;

Шешуі :

;

5. Дұрыс жетібұрыштың неше диагоналі бар?

Шешуі : Әрбір төбеден 4 диагональ жүргізуге болады, бірақ 2 диагональ үйлеседі,ендеше 14 диагональ жүргізуге болады.

Жауабы:14 диагональ.

6. а, в, с және x, y, z -оң нақты сандар болып, a+x=b+y=c+z=1 болса, онда

(abc+xyz) теңсіздігін дәлелде.

Шешуі :Жақшаны ашып, сол жақтың екенін көрсетіп арықарай ,мұндағы m;n>0 қолдану жеткілікті.

7. О центрлі шеңбердің АС және ВД хордалары К нүктесіндеқиылысады. М және Н ΔАВК және ΔСДК-ға сырттай сызылған шеңберлердіңцентрі болса, онда ОМ=КН екенін дәлелде.

Шешуі : ОМ АВ орта перпендикуляр болғандықтан АВ-ға , НК-ның созындысы АВ мен Р нүктесінде қиылысады.