
Бонусты жинап картаңызға (kaspi Gold, Halyk bank) шығарып аласыз
10 сынып математика пәні олимпиадасы жауаптарымен І, ІІ нұсқа
10 сынып
1. 3р4+5q4+15=13p 2q2 теңдігі орындалатын p және q жай сандарын тап.
2.Дұрыс
па? =2000;
3. ABCD шаршысының A төбесі және CD қабырғасының ортасы l түзуіне қарағанда симметриялы. l түзуі ABCD шаршысының бөлген бөліктердің аудандарының қатнасын табыңыз.
4. 2015 санын қандай санға көбейткенде, сол санның бөлгіштерінің саны дәл 12-ге ( бір мен сол санның өзін қоса есептегенде) тең болады?
5. АВСД дөңес төртбұрышы
берілген. Сонда , ал Ғ нүктесі АД кесіндінің
ортасы. ВҒ түзуі АС түзуімен Р нүктесінде қиылысады және ВС=СР
екенін дәлелде.
6. Теңдеулер жүйесін шешіңіз:
7. Егер 2tg2α+tgα-3=0 болып π/2<α<π аралығында болса sin2α-ны тап.
10 сынып
1. және
сандары бүтін сан болу үшін натурал а және
в
жұптарын тап.
2. 13!-11! Өрнегі 31-ге еселік екенін дәлелде.
3. а, в, с>0 болса,
теңсіздігін дәлелде
4.
Ықшамда: ;
5. Дұрыс жетібұрыштың неше диагоналі бар?
6. а, в, с және x, y, z -оң нақты сандар болып, a+x=b+y=c+z=1 болса, онда
(abc+xyz) теңсіздігін дәлелде.
7. О центрлі шеңбердің АС және ВД хордалары К нүктесіндеқиылысады. М және Н ΔАВК және ΔСДК-ға сырттай сызылған шеңберлердіңцентрі болса, онда ОМ=КН екенін дәлелде
10 сынып
1. 3р4+5q4+15=13p 2q2теңдігі орындалатын p және q жай сандарын тап.
Шешуі : p және q тақ болса , онда сол жағы модулі 4 бойынша 3-ке тең, оң жағымодулі 4 бойынша 1-тең,бұл жағдай болмайды.Ендеше p= q=2 есеп шартына қанағаттандырылмайды p=2 болса q=3 болады, ал q=2 болса
p болмайды.
Жауабы: p= 2 ; q=3
2.Дұрыс
па? =2000;
Сол жағын
түрлендіреміз:
=
=
= =
=2000; 2000 =
2000Жауабы:дұрыс.
3. ABCD шаршысының A төбесі және CD қабырғасының ортасы l түзуіне қарағанда симметриялы. l түзуі ABCD шаршысының бөлген бөліктердің аудандарының қатнасын табыңыз.
Шешуі:AB=a, BN=x, DM=y деп белгілейміз.
болғандықтан
MA=ME=a–y
тікбұрышты ұшбұрыш
сондықтан
болғандықтан AN=EN
тікбұрышты үшбұрыш сондықтан
тікбұрышты үшбұрыш сондықтан
AN=EN болғандықтан
ABNM трапецияның ауданы
DMNC трапецияның ауданы
Жауабы:
.
4. 2015 санын қандай санға көбейткенде, сол санның бөлгіштерінің саны дәл 12-ге ( бір мен сол санның өзін қоса есептегенде) тең болады?
Шешуі:2015 санын көбейткіштерге жіктейміз. 2015=5·13·31
2015-тің бөлгіштері сегіз: 1, 5, 13, 31, 5·13, 5·31, 13·31, 5·13·31
Егер 2015 санын оның жай көбейткіштерінен басқа кез-келген бір жай санға көбейтсек, мысалы: 3-ке, 2015·3=3·5·13·31
2015·3санының бөлгіштері:1, 3, 5,
13, 31,
бөлгіштерінің саны 15-ке тең
болады.
Демек өзінің жай көбейткіштерінен басқа келкелген санға көбейткенде оның бөлгіштерінің саны 12-ден артық болады.
Енді 2015 санының жай көбейткіштеріне көбейтсек бөлгіштерінің саны дәл 12-ге тең болады.
2015·5=5·5·13·312015·5саныныңбөлгіштері: 1,5,13,31,5·5,5·13,5·31,13·31,5·5·13,5·5·31,5·13·31,5·5·13·31 саны 12-ге тең болды.
Демек, 2015 санының жай көбейткіштерінің біріне көбейтсек ол санның бөлгіштері дәл 12-ге тең болады.
Жауабы: 5, 13, 31
5. АВСД дөңес төртбұрышы
берілген. Сонда , ал Ғ нүктесі АД кесіндінің
ортасы. ВҒ түзуі АС түзуімен Р нүктесінде қиылысады және ВС=СР
екенін дәлелде.
Шешуі: А,В,С және F нүктелерінің бір шеңберге тиіс екенін дәлелдеу керек.
ΔАВF=ΔАСF =ᴪ, бұдан Δ СBL=90°-ᴪ.
6. Теңдеулер жүйесін
шешіңіз:
Шешуі:
1-ші әдісі:
Соңғы жүйедегі теңдеулерді
өзара көбейтсек: болып
шығады. Осы теңдеуді соңғы
жүйенің бірінші теңдеуіне бөлсек
Тура осыған ұқсас жолмен
шығады.
Жауабы: және
2-шіәдісі:
теңдеуінің
шешімі
.
теңдеуіне x-ті
қойып,
теңдеуіне z-ті
қойып,
Жауабы: және
7 . Егер 2tg2α+tgα-3=0 болып π/2<α<π аралығында болса sin2α-ны тап.
Шешуі :
10 сынып
1. және
сандары бүтін сан болу үшін натурал а және
в
жұптарын тап.
Шешуі : (2;2),(3;3),(1;2),(2;1),(2;3),(3;2).
а≥в. Егер а>в+1 болса , онда а(а-1)>в(в+1) және а 2-в>а+в 2
бұл орындалмайды.Ендеше а=в немесе а=в +1.
а=в (2;2)(3;3) болады.
Ал
а=в +1 болса , бүтін сан боладыв≥6 в 2
-в-1>4в+2,
1≤в≤5 , онда тексер.
2. 13!-11! Өрнегі 31-ге еселік екенін дәлелде.
Шешуі:5) 13! =1*2*3*....*13=1*2*3*....*11(12*13) =11!*12*13.
Ендеше 13!-11! =11!(12*13-1) =11!*155=11!*31*5.31-ге еселік болады.
3.
а, в, с>0 болса,
теңсіздігін дәлелде.
Шешуі: Теңсіздіктің арифметикалық және гармониялық оң сан үшін қолданыпшығатыны:
; Бұдан кейін теңсіздікті
шеш.
4.
Ықшамда: ;
Шешуі
:
;
5. Дұрыс жетібұрыштың неше диагоналі бар?
Шешуі : Әрбір төбеден 4 диагональ жүргізуге болады, бірақ 2 диагональ үйлеседі,ендеше 14 диагональ жүргізуге болады.
Жауабы:14 диагональ.
6. а, в, с және x, y, z -оң нақты сандар болып, a+x=b+y=c+z=1 болса, онда
(abc+xyz) теңсіздігін дәлелде.
Шешуі :Жақшаны ашып, сол жақтың екенін көрсетіп арықарай
,мұндағы m;n>0 қолдану
жеткілікті.
7. О центрлі шеңбердің АС және ВД хордалары К нүктесіндеқиылысады. М және Н ΔАВК және ΔСДК-ға сырттай сызылған шеңберлердіңцентрі болса, онда ОМ=КН екенін дәлелде.
Шешуі
: ОМ АВ орта перпендикуляр
болғандықтан АВ-ға , НК-ның созындысы АВ мен Р нүктесінде
қиылысады.
700 ₸ - Сатып алу

