10
сынып
1.
3р4+5q4+15=13p
2q2
теңдігі орындалатын p және q
жай сандарын тап.
2.Дұрыс
па?
=2000;
3. ABCD шаршысының A төбесі
және CD қабырғасының ортасы
l түзуіне қарағанда
симметриялы. l түзуі ABCD шаршысының бөлген
бөліктердің аудандарының қатнасын
табыңыз.

4. 2015 санын қандай санға
көбейткенде, сол санның бөлгіштерінің саны дәл 12-ге ( бір мен сол
санның өзін қоса есептегенде) тең
болады?
5. АВСД дөңес төртбұрышы
берілген. Сонда
, ал Ғ нүктесі АД кесіндінің
ортасы. ВҒ түзуі АС түзуімен Р нүктесінде қиылысады және ВС=СР
екенін дәлелде.
6. Теңдеулер жүйесін
шешіңіз:

7. Егер
2tg2α+tgα-3=0
болып π/2<α<π аралығында болса
sin2α-ны
тап.
10
сынып
1.
және
сандары бүтін сан болу үшін натурал а және
в
жұптарын тап.
2. 13!-11! Өрнегі 31-ге еселік
екенін дәлелде.
3. а, в, с>0 болса,
теңсіздігін дәлелде
4.
Ықшамда:
;
5. Дұрыс жетібұрыштың неше
диагоналі бар?
6.
а, в, с және x, y, z -оң нақты сандар болып, a+x=b+y=c+z=1 болса,
онда
(abc+xyz)
теңсіздігін дәлелде.
7. О
центрлі шеңбердің АС және ВД хордалары К нүктесіндеқиылысады. М
және Н ΔАВК және ΔСДК-ға сырттай сызылған шеңберлердіңцентрі болса,
онда ОМ=КН екенін дәлелде
10
сынып
1.
3р4+5q4+15=13p
2q2теңдігі орындалатын p және q
жай сандарын тап.
Шешуі
: p және q тақ болса , онда сол
жағы модулі 4 бойынша 3-ке тең, оң жағымодулі 4 бойынша 1-тең,бұл
жағдай болмайды.Ендеше p= q=2 есеп шартына қанағаттандырылмайды p=2
болса q=3 болады, ал q=2 болса
p
болмайды.
Жауабы: p= 2 ;
q=3
2.Дұрыс
па?
=2000;
Сол жағын
түрлендіреміз:
=
=
=
=
=2000; 2000 =
2000Жауабы:дұрыс.
3. ABCD шаршысының A төбесі
және CD қабырғасының ортасы
l түзуіне қарағанда
симметриялы. l түзуі ABCD шаршысының бөлген
бөліктердің аудандарының қатнасын
табыңыз.
Шешуі:AB=a, BN=x,
DM=y деп
белгілейміз.
болғандықтан
MA=ME=a–y
тікбұрышты ұшбұрыш
сондықтан




болғандықтан AN=EN
тікбұрышты үшбұрыш сондықтан

тікбұрышты үшбұрыш сондықтан

AN=EN болғандықтан



ABNM трапецияның ауданы 
DMNC трапецияның ауданы 
Жауабы:
.
4. 2015 санын қандай санға
көбейткенде, сол санның бөлгіштерінің саны дәл 12-ге ( бір мен сол
санның өзін қоса есептегенде) тең
болады?
Шешуі:2015 санын көбейткіштерге
жіктейміз. 2015=5·13·31
2015-тің бөлгіштері
сегіз: 1, 5, 13, 31, 5·13, 5·31,
13·31, 5·13·31
Егер 2015 санын оның жай
көбейткіштерінен басқа кез-келген бір жай санға көбейтсек, мысалы:
3-ке, 2015·3=3·5·13·31
2015·3санының бөлгіштері:1, 3, 5,
13, 31, 
бөлгіштерінің саны 15-ке тең
болады.
Демек өзінің жай
көбейткіштерінен басқа келкелген санға көбейткенде оның
бөлгіштерінің саны 12-ден артық
болады.
Енді 2015 санының жай
көбейткіштеріне көбейтсек бөлгіштерінің саны дәл 12-ге тең
болады.
2015·5=5·5·13·312015·5саныныңбөлгіштері: 1,5,13,31,5·5,5·13,5·31,13·31,5·5·13,5·5·31,5·13·31,5·5·13·31
саны 12-ге тең болды.
Демек, 2015 санының жай
көбейткіштерінің біріне көбейтсек ол санның бөлгіштері дәл 12-ге
тең болады.
Жауабы: 5, 13,
31
5. АВСД дөңес төртбұрышы
берілген. Сонда
, ал Ғ нүктесі АД кесіндінің
ортасы. ВҒ түзуі АС түзуімен Р нүктесінде қиылысады және ВС=СР
екенін дәлелде.
Шешуі: А,В,С және F нүктелерінің бір
шеңберге тиіс екенін дәлелдеу керек.
ΔАВF=ΔАСF =ᴪ,
бұдан Δ СBL=90°-ᴪ.
6. Теңдеулер жүйесін
шешіңіз: 
Шешуі:
1-ші
әдісі:

Соңғы жүйедегі теңдеулерді
өзара көбейтсек:
болып
шығады. Осы теңдеуді соңғы
жүйенің бірінші теңдеуіне бөлсек

Тура осыған ұқсас жолмен
шығады.
Жауабы:
және 
2-шіәдісі:




теңдеуінің
шешімі
.
теңдеуіне x-ті
қойып, 
теңдеуіне z-ті
қойып, 
Жауабы:
және 
7 . Егер
2tg2α+tgα-3=0
болып π/2<α<π аралығында болса
sin2α-ны
тап.
Шешуі :

10
сынып
1.
және
сандары бүтін сан болу үшін натурал а және
в
жұптарын тап.
Шешуі
: (2;2),(3;3),(1;2),(2;1),(2;3),(3;2).
а≥в. Егер а>в+1 болса , онда а(а-1)>в(в+1)
және а 2-в>а+в 2
бұл
орындалмайды.Ендеше а=в немесе а=в +1.
а=в
(2;2)(3;3) болады.
Ал
а=в +1 болса , бүтін сан
боладыв≥6 в 2
-в-1>4в+2,
1≤в≤5 , онда тексер.
2.
13!-11! Өрнегі 31-ге еселік екенін
дәлелде.
Шешуі:5)
13! =1*2*3*....*13=1*2*3*....*11(12*13)
=11!*12*13.
Ендеше 13!-11! =11!(12*13-1)
=11!*155=11!*31*5.31-ге еселік болады.
3.
а, в, с>0 болса,
теңсіздігін дәлелде.
Шешуі: Теңсіздіктің арифметикалық
және гармониялық оң сан үшін
қолданыпшығатыны:
; Бұдан кейін теңсіздікті
шеш.
4.
Ықшамда:
;
Шешуі
:
;
5. Дұрыс жетібұрыштың неше
диагоналі бар?
Шешуі
: Әрбір төбеден 4 диагональ
жүргізуге болады, бірақ 2 диагональ үйлеседі,ендеше 14 диагональ
жүргізуге болады.
Жауабы:14
диагональ.
6.
а, в, с және x, y, z -оң нақты сандар болып, a+x=b+y=c+z=1 болса,
онда
(abc+xyz)
теңсіздігін дәлелде.
Шешуі :Жақшаны ашып, сол жақтың
екенін көрсетіп арықарай
,мұндағы m;n>0 қолдану
жеткілікті.
7. О
центрлі шеңбердің АС және ВД хордалары К нүктесіндеқиылысады. М
және Н ΔАВК және ΔСДК-ға сырттай сызылған шеңберлердіңцентрі болса,
онда ОМ=КН екенін дәлелде.
Шешуі
: ОМ
АВ орта перпендикуляр
болғандықтан АВ-ға , НК-ның созындысы АВ мен Р нүктесінде
қиылысады.