7-9 СЫНЫПТАРДА СЫНЫПТАН ТЫС ЖҰМЫСТАРДЫ ҰЙЫМДАСТЫРУ ЖӘНЕ ӨТКІЗУ ӘДІСТЕМЕСІ

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

М.Әуезов атындағы Оңтүстік Қазақстан Мемлекеттік университеті

ӘОЖ 372.851 Қолжазба құқығында

Зұлпыхар Мұқан Ерғалиұлы

7-9 сЫНЫПТАРДА СЫНЫПТАН ТЫС ЖҰМЫСТАРДЫ ҰЙЫМДАСТЫРУ ЖӘНЕ ӨТКІЗУ ӘДІСТЕМЕСІ

6М010900 – «Математика» мамандығы бойынша педагогикалық ғылымдардың магистрі академиялық дәрежесін ізденуге арналған диссертация

Ғылыми жетекші:

ф.-м.ғ.к., доцент Абжаппаров А.А.

Ш ымкент, 2016

Резюме

Диссертационная работа содержит в основном весь школьный материал программы по элементам теории вероятностей и математической статистики и методические указания для учителей математики по обучению элементов теории вероятностей и математической статистики на основе проектного метода. Она отличается структурой изложения, так как основные понятия и теоремы сгруппированы с учетом специфики усвоения курса. В части теории вероятностей основной упор делается на математические методы построения вероятных моделей и реализацию этих методов на реальных задачах естествознания и практической деятельности. Такой подход обеспечивает неформальное отношение к использованию методов математической статистики, осознанию того, что без построения вероятностной модели не представляется возможным судить о точности и надежности статистического вывода.

Summary

The thesis contains basically the entire school program material on the elements of the theory of probability and mathematical statistics. This paper gives guidelines for mathematics teachers to teach the elements of probability theory and mathematical statistics on the basis of the design method. It is distinguished by the structure of the presentation, as the basic concepts and theorems are grouped based on the specifics of mastering materials Part probability theory focuses on the mathematical methods of constructing models and possible implementation of these methods on real problems of natural science and practice.

This approach provides an informal attitude to the use of methods of mathematical statistics, the realization that without building a probabilistic model is not possible to judge the accuracy and reliability of statistical inference.

Мазмұны

Кіріспе..................................................................................................	4
1-тарау Математикадан 7-9 сыныптарда өткізілетін сыныптан тыс жұмыстардың мақсаты, мазмұны және негізгі түрлері..........	7
1.1.Математикадан сыныптан тыс жүргізілетін жұмыстардың жалпы сипаттамасы...........................................................................	7
1.2.Математикадан сыныптан тыс жүргізілетін жұмыстардың негізгі мақсаты....................................................................................	9
1.3.Математикадан сыныптан тыс жүргізілетін жұмыстардың мазмұны...............................................................................................	11
1.4.Математикадан сыныптан тыс жүргізілетін жұмыстардың негізгі түрлері.....................................................................................	12
2-тарау 7-9 сыныптарда математикадан сыныптан тыс жұмыстарды жүргізудің әдістемесі..................................................	14
2.1. 7-9 сыныптарда жүргізілетін математика үйірмесі жұмыстарының жалпы сипаттамасы...............................................	14
2.2. Математика үйірмесі сабақтарында тарихи – математикалық материалдарды қарастыру тәсілдері.....................	17
2.3. Математикалық олимпиадалар..................................................	32
2.4. Математикалық эстафеталар......................................................	57
2.5. Математикалық апталықтар, кештер және оларды ұйымдастыру, өткізу..........................................................................	60
2.6. Математикалық шығармашылық жұмыстарды ұйымдастыру.......................................................................................	86
Қорытынды..........................................................................................	89
Пайдаланған әдебиеттер....................................................................	90

Кіріспе

Мектепте математика пәнін оқытудың негізгі мақсаты – арнайы педагогикалық әдістерді жүйелі түрде пайдаланып оқушыларға тұлғалық-бағдарлы білім беру, оқушының логикалық ойлауын, ғылыми көзқарасы мен танымдық іс-әрекетінің белсенділігін қалыптастыру, шығармашылық ізденістерге баулу, өз бетімен үздіксіз білім алу дағдыларын дамыту болып отыр. Соңғы жылдары елімізде білім беруді дамыту, оны халықаралық деңгейге жеткізу тұрғысында нақтылы қадамдар жасауда. Оның басты бағыты Қазақстан Республикасының «Білім туралы» Заңында: «білім беру жүйесінің міндеттері –ұлттық және жалпы азаматтық құндылықтар, ғылым мен практика жетістіктері негізінде жеке адамды қалыптастыруға, дамытуға және кәсіптік шыңдауға бағытталған сапалы білім алу үшін қажетті жағдайлар жасау; жеке адамның шығармашылық рухани және күш қуат мүмкіндіктерін дамыту, адамгершілік пен салауаттық өмір салтының берік негіздерін қалыптастыру, даралықты дамыту үшін жағдай жасау арқылы ой-өрісін байыту; белсенді азаматтық ұстаным бар жеке адамды тәрбиелеу; оқытудың жаңа технологияларын енгізу және тиімді пайдалану» - деп көрсетілген [1].

Жұмыстың өзектілігі: Мектеп математикасы бағдарламасында қарастырылған білімдерді игерту мен дағдыларды қалыптастыру жұмыстарымен математиканы оқытудың мақсат-міндеттері бірден жүзеге аса бермейді. Оның басты себебі: оқуды бірдей бағдарламамен бір сыныпта бастаған оқушылардың өзі олардың жеке ерекшеліктеріне байланысты бірінші сыныптан бастап-ақ оқу үлгерімдерінде айырмашылықтар байқала бастайды. Оқушылардың біразы математикалық білімді жоғары қызығушылықпен оқып, жеңіл және табысты игереді. Көпшілік оқушы бағдарламалық материалдарды қиындықсыз меңгерсе, бірнеше оқушы оны қиындықпен, көп еңбектене отырып игеретіні байқалады.

Мектепте математиканы оқыту әдістемесі оқушылардың осы ерекшеліктерін ескере отырып құрылады.

Соның нәтижесінде математиканың сыныптық сабақтарынан бөлек, жекелеген оқушыларымен математикадан сыныптан тыс жұмыстарды жүргізуге тура келеді.

Математикадан сыныптан тыс жүргізілетін жұмыстардың мақсат-міндеттері, түрлері, оларды ұйымдастыру әдістемесі туралы Ю.М.Колягин, В.Я.Саннинский, В.А.Оганесян, Г.Л.Луканкин көптеген зерттеу жұмыстарын жүргізді [2]. Математиканы тереңдете оқыту, математикалық сыныптан тыс жұмыстарды ұйымдастыру мәселесі Ә.Бидосовтың [3], сол сияқты А.Е.Әбілқасымова, А.К.Көбесов, Д.Р.Рахымбек және Ә.С.Кенештердің [4], З.Т.Байжанова [5], Қ.Ғ.Қожабаев [6], Н.Қадыровтың [7] еңбектерінде жан-жақты қарастырылған. Математикадан сыныптан тыс жұмыстарды өткізуге қажетті метериалдар көптеген шетел және қазақ ғалымдарының еңбектерінде жинақталған, оларды жүргізу әдістеме-ұсыныстары жасалған [8-37].

Дегенмен қоғамның, ғылым мен техниканың, оқыту технологияларының өзгерістеріне, қарқынды дамуына байланысты математиканың мектептік бағдарламасы да жиі өзгерістерге ұшырауда. Соның әсерінен кешеге дейін факультатив сабақтарда оқытылып келген материалдар бүгінгі күні мектептік бағдарламаға енгізіліп, олар сыныптық сабақтарда оқытылуда.

Математиканың мектептік бағдарламаларының өзгеруіне байланысты сыныптан тыс жұмыстарда қарастырылатын материалдардың мазмұнына өзгеріс енгізу қажеттігі байқалуда. Ол сыныптан тыс жұмыстарға арналған материалдар жинақтарына талдау жасаған кезімізде анық аңғарылды.

Сонымен қатар математикадан сыныптан тыс жұмыстардың түрлері, оларды өткізудің әдістемесі көпшілік әдебиеттерде толық, жүйелі көрсетілмегені байқалады. Сондықтан 7-9 сыныптарда математикадан сыныптан тыс жұмыстарды жүргізу мәселесін зерттеп, жүйелеу жұмысының өзекті мәселе екені аңғарылады.

Жұмыстың мақсаты. Математикадан сыныптан тыс жүргізілетін жұмыстардың түрлерін толық анықтау. Сыныптан тыс жұмыстардың жоспарын жасаудан бастап, оларды өткізудің әдістемесін жүйелеу. 7-9 сыныптарда өткізілетін сыныптан жұмыстардың әрбір түріне қажетті материалдардың нұсқауларын жинақтау. Сыныптан тыс жұмыстарды өткізудің әдістемесін талдай отырып, оларды жалпы мектеп практикасында қолдану туралы ұсыныс-пікірлер жүйесін жасау.

Жұмыстың міндеті. Сыныптан тыс жұмыстардың әрбір түрінің мәні мен сипатын анықтау. Әрбір жұмыс түрінің өткізілу ерекшеліктерін айқындау. Оқушылардың математикалық сыныптан тыс жұмыстарға қатысуын ұйымдастыру тәсілдерін анықтау. Сыныптан тыс жұмыстар түрлеріне қажетті материалдардың үлгілерін, нұсқаларын дайындау.

Зерттеудің пәні. Математикадан сыныптан тыс жұмыстардың түрлері мен оларды өткізудің тиімді тәсілдерін көрсету.

Зерттеу нысаны. Мектепте математиканы сыныптан тыс оқыту жұмыстары.

Зерттеудің теориялық және әдістемелік негіздері. Практика, психология, дидактика, логика ғылымдарының негіздері, практик-мұғалімдердің іс-тәжірибелері құрайды.

Зерттеудің ғылыми болжамы. Математиканы сыныптан тыс оқыту жұмыстарының түрлері толық анықталып, оларды іске асырудың тиімді әдістемелері қолданылса, оқушылардың математика пәніне, ғылымына қызығушылығы артып, математикалық шығармашылық жұмыстармен айналысудың тәсілдерін үйренеді. Математикалық біліктіліктерінің артуы олардың болашақ мамандықтарын жаңылмай таңдауына әсер етеді. Оқушылардың практикалық есептеу дағдылары дамиды.

Зерттеу көздері. Қазақстан Республикасы «Білім туралы» Заңы, Қазақстан Республикасының 12 жылдық жалпы орта білім беру Тұжырымдамасы, Қазақстан Республикасының жалпы орта білім берудің мемлекеттік жалпыға міндетті стандарттары, математиканың пәндік оқу бағдарламалары, математика оқулықтары, әдістемелік құралдар кешені, ғалымдардың ғылыми зерттеулері мен математика пәні мұғалімдерінің іс-тәжірибелері.

Жұмыстың жаңалығы. Математикадан сыныптан тыс жүргізілетін жұмыстардың түрлері топталып, толықтырылды. Сыныптан тыс жұмыстарда қолданылатын материалдардың мазмұны математиканың қазіргі бағдарламаларына сай жаңартылды.

Жұмыстың практикалық құндылығы. Математикадан сыныптан тыс жүргізілетін жұмыстардың барлық түрлерін барлық жалпы білім беретін мектептерде қолдануға болады. Осында жинақталған материалдарды математика мамандығы бойынша оқып жүрген студенттердің оқып зерттеуіне, мектептің математика пәні мұғалімдерінің мектептегі сыныптан тыс жұмыстарды жүргізу кезінде басшылыққа алуына болады.

Жұмыстың құрылымы: Жұмыс кіріспеден, екі тараудан, қорытындыдан, пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

1-тарау Математикадан 7-9 сыныптарда өткізілетін сыныптан тыс жұмыстардың мақсаты, мазмұны және негізгі түрлері

1.1.Математикадан сыныптан тыс жүргізілетін жұмыстардың жалпы сипаттамасы

Математиканы орта мектепте оқыту бағдарламасы заманауи ғылым дамуына жақындастыру мақсатымен өзгерістерге жиі ұшырауда. Мектеп математикасы курсына бұрынғы факультатив курстарға еніп жүрген көптеген мәселелер, тақырыптар мен тараулар енгізілуде. Осылай бола тұра оларды оқытуға бөлінген сағаттар саны біртіндеп қысқарып келеді. Осының әсерінен әрбір сабақта жаңа материалдар теориялық тұрғыда өтіліп, оқу материалын тиянақтап бекітуге, есептер шығаруға, жаттығу, қайталау жұмыстарын жүргізуге уақыттың жете бермейтіні анық байқалуда.

Математиканы мектепте оқыту бағдарламасындағы және сол бағдарламаға негізделіп жазылған оқулықтар мазмұнындағы өзгерістер оқушылардың бағдарламалық материалдарды игеру деңгейіндегі әр түрлілікке алып келуде. Оған оқушылардың жеке ерекшеліктері де үстеме болады. Сөйтіп бастауыш мектептен бастап – ақ оқушылардың математиканы игеру деңгейлерінің ара жігі ажырай бастайды. Олардың біреулері математиканы қызыға оқып, жоғары табысқа жете, біреулері көп жұмыс істеудің нәтижесінде ғана орташа меңгереді, біразінің түсіне алмаған мәселелері біртіндеп көбейе бастайды.

Оқушылардың осы ерекшеліктері математиканы оқыту нәтижесіне де өзгерістер енгізуге алып келеді. Яғни, сыныпта өткізілетін сабақтармен қатар математикадан сыныптан тыс жүргізілетін жұмыстарды анықтау, олардың тиімділіктерін арттыру әдістерін табуды талап етеді.

Математикадан сыныптан тыс жүргізілетін жұмыс деп мұғалімнің оқушылармен сыныптағы сабақтан басқа уақытта жүргізетін жүйесін айтады.

Математикадан сыныптан тыс жүргізілетін жұмыстар – жалпы білім беретін мектептердегі оқу – тәрбие жұмыстарының өте маңызды құрамдас бөлігі болып табылады.

Математикадан сыныптан тыс жүргізілетін жұмыстар оның мақсатына қарай негізінен екі түрге бөлінеді.

1.Бағдарламалық материалдарды қиындықпен игеретін немесе игере алмайтын, үлгерімі төмен оқушылармен жүргізілетін жұмыстар. Бұл топқа әр түрлі себептермен (ұзақ уақыт ауырып сабаққа қатыса алмаған, бір мектептен екінші мектепке ауысу кезіндегі үзіліс, т.с.с) сабаққа қатыса алмай, осы кездері өтілген материалдарды игере алмай қалған оқушыларды да жатқызуға болады.

2.Математиканы қызыға оқитын, шығармашылықпен жұмыс істеуге бейім оқушылармен жүргізілетін жұмыс. Математикадан сыныптан тыс жүргізілетін жұмыстар оқушылардың бағдарламалық білімін толықтыру, пәнге, ғылымға қызығушылығын ояту, шығармашылыққа баулумен қатар олардың бос уақытын мақсатты пайдаланудың бір жолы болып табылады.

Сыныптан тыс жүргізілетін жұмыстардың сабақтан көптеген айырмашылықтары болады.

1.Оқыту сабақтары барлық оқушылар үшін міндетті болса, сыныптан тыс жұмыс ерікті түрде ұйымдастырылады. Қай үйірмеге қатысатынын оқушылар өзінің қабілеті мен бейініне қарай өздері таңдай алады. Сыныптан тыс атқарылатын жұмыстарды оқушы жеке немесе бірнеше оқушымен орындай алады.

2.Сыныптан тыс жүргізілетін жұмыстар міндетті бағдарлама бойынша жүргізілмейтіндіктен ол жұмыстардың түрлерін, жұмыс мазмұнын оқушылар өздерінің біліктілік деңгейлеріне, ынталары мен қызығушылықтарына, ортаның мүмкіндіктеріне қарай таңдай алады.

Пәндік үйірмелердің, математикалық кештердің, апталықтардың, жарыстар мен экскурциялардың т.с.с жұмыстардың жоспарлары ортаның мүмкіндіктеріне сәйкестендіріліп жасалады.

3.Қосымша сабақтар мен басқа да сыныптан тыс жұмыстарға әр сыныптың оқушылары, әр жастағы балалар қатысатындықтан олардың бір-бірін жақын тануына, мықты ұжымның топтаса түсуіне мүмкіндік туады. Олардың арасындағы жолдастық қарым қатынас нығайып, үлкеннің кішіге қамқорлық жасауы, кішінің үлкенге ізетті болу дағдылары қалыптасады.

4.Сыныптан тыс жұмыстарда оқушылардың өз бетінше жұмыс істеу дағдылары жетіледі, қиялы, ой өрісі ұшталады.

5.Математикалық білімді игеріп, біліктіліктерін арттыру жұмыстарының сыныптан тыс түрлерінің сан салалы болуы оқушыларды жалықтырмай, ынталы жұмыс істеуге жетелейді.

6.Математикалық сыныптан тыс жұмыстарға қатысу оқушылардың алдағы мамандықтарын таңдауына да әсер етуі мүмкін.

Енді үлгерімі төмен оқушылармен жүргізілетін сыныптан тыс жұмыстарға тоқталайық.

Математиканы нашар үлгеретін оқушылар бұрын да болған, қазіргі барлық мектептерде де көптеп кездеседі. Сондықтан бұл математика пәні мұғалімдерін ойландыратын үлкен мәселеге айналып келеді, яғни мұғалімнің олармен қосымша сабақтар өткіуіне тура келуде, қосымша сабақ өткізудегі негізгі мақсат оқушының бағдарламалық біліміндегі олқылықтарды дәл анықтап оны уақытында жою әрекеттерін жасау болып табылады.

Озық тәжірибелі математика пәні мұғалімдерінің ұйғарымдарына қарағанда сабақты нашар үлгеруші оқушылармен сыныптан тыс қосымша сабақтарды ұйымдастырғанда мына ережелердің орындалғаны жақсы натиже береді.

1.Математикадан сыныптан тыс қосымша сабақтарды ұиымдастырғанда оған қатысатын оқушылардың біліміндегі олқылықтардың бірмазмұнды болғанын, оқушылардың оларды игеру қабілеттерінің бірдеңгелес болуын ескеру керек. Сабаққа қатысатын оқушылардың саны 3-4, ары кеткенде 5-6 дан аспағаны дұрыс.

2.Сабаққа қатысушы оқушылармен барынша жеке жұмыс істеу керек.ол үшін олардың әр қасысына алдын –ала даиындалған жеке тапсырмалар беріледі.оқушылардың ол тапсырмаларды орындауы барысында жеке көмек көрсетіледі.

3.Үлгерімі нашар оқушылармен қосымша сабақты аптасына бір не екі рет өткізу, бұл сабақтардағы қарастырылатын материалдарды үй тапсырмаларымен байланыстыра қарастыру.

4.Келесі өткізілген сабақтарда осының алдындағы олқылықтарды қаншалықты игергенін анықтау үшін бақылау жасап отыру.

5.Математикадан өткізілетін қосымша сабақтардың үйретуші мазмұнда ұйымдастырлығаны орынды. Бұндай сабақтарда дидактикалық материалдардан алынған өзіндік және бақылау жұмыстары тапсырмаларын оқулық материалдарын пайлалануға болады.

6.Математика пәні мұғалімі үлгермеуші оқушылардың білім деңгейін күнделікті бақылап, өзгерістерді есепке алып отыруы тиіс. Олардың типтік қателіктерін анықтап оны түзету тәсілін ойластырғанда ғана математикадан сыныптан тыс өткізілген қосымша сабақтардың тиімділігі артады.

1.2.Математикадан сыныптан тыс жүргізілетін жұмыстардың негізгі мақсаты

Математиканы табысты, қиындықсыз игере алатын, оған қызығушылығы жоғары, шығармашылық ойлау қабілеті қалыптаса бастаған оқушылармен жүргізілетін математикадан сыныптан тыс жұмыстар мына мақсаттарды көздейді.

1.Математика мен оны практикада қолдану мәселелеріне оқушылардың тұрақты қызығушылығын ояту және қызығушылықты дамыта түсу.

2.Оқушылардың бағдарламалық материалдарды игеру деңгейін кеңейту және тереңдету.

3.Оқушылардың математикалық қабілеттерін мүмкіндігінше жетілдіру және оқушылардың математикалық ғылыми – зерттеу сипатындағы жұмыс дағдыларын қалыптастыра бастау.

4.Оқушылардың жоғары математикалық ойлау мәдениетін тәрбиелеу, жетілдіріп отыру.

5.Оқушылардың оқулықтармен, ғылыми –көпшілік әдебиеттермен өз бетінше және шығармашылықпен жұмыс істеу дағдыларын қалыптастыру және оны үнемі дамытып отыру.

6.Математика ғылымының техникада және әлеуметтік өмірдің басқа салаларында қолданылуы туралы оқушылардың түсініктерін қалыптастыру және дамыту.

7.Математика ғылымының адамзат өміріндегі мәдени-тарихи құндылықтары туралы түсініктер қалыптастыру. Математиканың қалыптасуы, даму тарихымен, ғылымның дамуына ерекше еңбек еткен математиктер туралы мағлұматтармен таныстырып отыру. Дүниежүзілік математиктермен қатар Қазақстандық математиктердің ғылымға қосқан үлесі туралы әңгіме ету оқушылардың математика ғылымына қызығушылығын оятудың бірден – бір тәсілі болып табылады.

8.Оқушылардың өз бетінше жеке жұмыс істеуімен қатар ұжымдасып, бірге жұмыс істеу дағдысын қалыптастыру.

9.Оқушылар мен мектептің математика пәні мұғалімдерінің арасындағы қызметтік қатынасты жақындастыра түсу. Осының негізінде оқушылардың танымдық қызығушылығын анықтау, оларды қандай мәселелердің толғандыратынын айқындау түсу.

10.Оқушылардың арасынан мектепшілік математикалық ахуалды көтеруге әсер етуші белсенділер тобын құру. Оларды математиканы нашар үлгерушілермен жұмыс жүргізілуде, математиканы оқыту көрнекіліктерін оқу құралы мен дидактикалық материалды дайындау істеріне жұмылдыра білу.

Математикалық сыныптан тыс жұмыстардың осы мақсаттарының дені математика сабақтарында да іске асырылып жатады. Осылай десек те, математика сабағына бөлінетін уақыттың аздығынан, бағдарламалық материалдардың ауқымдылығынан бұл мақсаттар толық орындала бермейді. Сондықтан да оқыту үдерісінің негізгі мақсаттарына жататын бұл істердің барлығын математикадан сыныптан тыс жұмыстарда жүзеге асыруға тура келеді.

Сыныптық сабақ пен сыныптан тыс жүргізілетін жұмыстардың шығармашылығын сезінумен қатар оларды жүргізудің ерекшеліктерін үнемі назарда ұстау керек. Оны педагогикалық энциклопедияда «Сабақта өткізілетін оқу-тәрбие жұмысы мен сыныптан тыс жүргізілетін жұмыстардың арасында тығыз байланыс болады: сыныптағы сабақта оқушылардың білімге құштарлығын дамыту арқылы, сыныптан тыс жұмыстарды өрістетуге, түрлендіріп, қанат жайдыруға болады, және оған керісінше, сыныптан тыс жұмыстарда қалыптасқан оқушылардың білімді практикада қолдана алу, осы білімді кеңейту және тереңдете түсу дағдылары оқушының сабақ үлгерімінің көтерілуіне және білімге қызығушылығын арттыруға көмектеседі. Дегенмен, сыныптан тыс жұмыстар сыныптағы сабақтың қызметін қайталамауы тиіс. Бұл талап орындалмаған жағдайда сыныптан тыс орындалатын жұмыстар жай ғана қосымша сабаққа айналады»- деп, анық көрсеткен.

Математикадан сыныптан тыс жүргізілетін жұмыстардың мақсаты мен оған қойылатын талаптар осылай болғанда, оларды жүзеге асырудың тәсілдері мен әдістері туралы алдағы әңгімелерде толық айтылатын болады.

1.3.Математикадан сыныптан тыс жүргізілетін жұмыстардың мазмұны.

Математикадан сыныптан тыс жүргізілетін жұмыстардың мазмұны мынадай деп шектеп тастауға болмайды. Оны мектептерді мүмкіндігі, оқушылардың біліктілік деңгейіне қарай айқындауға болады.

Сыныптан тыс жұмыстарды жүргізудің көптен қалыптасқан дәстүрі бойынша сыныптан тыс жұмыстардың мазмұны мектептегі сабақтарда оқылатын мәселелердің өзі болмаса да, одан көп ауытып қоймайды. Яғни сыныптан тыс жұмыстарда мектептердегі сабақта оқылатын дүниелермен байланысты үзбей, оны тереңірек, кеңірек ауқымда қарастырады.

Мысалы, натурал сандардың бөлінгіштігі мәселесі математика бағдарламасы бойынша бесінші сыныпта қарастырылады. Дегенмен бұл сабақтарда санның екіге, үшке, онға, беске, тоғызға бөлінгіштік белгілері сөз болады. Ал сыныптан тыс жұмыстар кезінде сандардың төртке, алтыға, он бірге, т.с.с сандарға бөлінгіштік белгілерін үйретіп, оны есептер шығару кезінде пайдаланудың тиімді тәсілдерін көрсетуге болады.

Әдетте 7 сынып бағдарламасы бойынша циркуль мен сызғыштың көмегімен кесіндіні қақ бөлу, берілген қабырғалары бойынша үшбұрыш салу, бұрыштың биссектрисасын жүргізу, түзуге сол түзудің бойында жатқан және ол түзуден тысқары жатқан нүкте арқылы өтетін перпендикуляр жүргізу есептері орындалады. Ал сыныптан тыс жұмыстар кезінде үшбұрышты оның басқа элементтері бойынша, берілген элементтері бойынша трапеция, параллелограмды салу мәселесін қарастыруға болады. Тіпті кейбір салу есептерін циркуль мен сызғышты қолданып емес, жалғыз сызғышпен салу мәселесін сөз етуге болады.

Математикадан сыныптан тыс жүргізілетін жұмыстардың мазмұнына көбіне математика ғылымы тарихы мен математиктердің өмірі мен қызметіне экскурс жасау да еніп жатады. Мұндай жұмыстар, сонымен қатар, сынытан тыс жұмыстардың құрамынан ешуақытта қалмайды да. Өйткені математиканың қалыптасуы, даму тарихы, оған қатысты математиктердің еңбектерімен хабардар ету оқушыларды математика ғылымына қызықтыратын, шығармашылық жұмыстарға шақыратын бірден -бір тиімді жұмыс болып табылады.

Математикадан сыныптан тыс жұмыстарды жүргізгенде математикалық софизмдерді қарастыруды ұмытуға болмайды. Математикалық софизмдер оқушылардың математикаға қызығушылығын оятып ғана қоймайды, математиканың көптеген заңдарының сырын ұғып, оларды есте сақтауды жақсартатын құралдардың қатарына жатады.

Математикадан сыныптан тыс өткізілетін жұмыстардың мамұнына қиындығы жоғары есептерді шешуге қызығу оның келешектемамандығының таңдауына да әсер етіп жатады.

Орта мектептің математика пәні бойынша бағдарламасына кейінгі кездері көптеген өзгерістер енгізілуде. Мысалы, 7-сыныптың алгебра курсында ықтималдықтар теориясының элементтері оқытыла бастады. 9-сыныпта ықтималдықтар теориясымен қатар комбинаторика элементтері, математикалық статистика туралы мағлұматтар оқытылатын болады. Осы себепті 7-9 сынып оқушыларын сыныптан тыс жұмыстарда ықтималдық теориясы, комбинаторика және математикалық статистикаға қатысты мәліметтерді де қарастыруға болады.

Математикадан сыныптан тыс жұмыстардың мазмұнына 7-9 сыныптарда және оның алдындағы сыныптарда қарастырылатын геометриялық ұғымдарды да енгізу қажеттігі туындап отыр. Өйткені 7-9 сыныптарда қолданылып жүрген геометрия оқулықтарында көптеген геометриялық ұғымдар дәл түсіндірілмей, олардың арасындағы байланыс туралы жалған мағлұматтар кездесіп қалады. Олардың қатарына мыналарды жатқызуға болады. Мысалы, 7-8 сыныптарда қарастырылатын үшбұрыш, төртбұрыш, жарты түзу, жарты жазықтық, шеңберге жүргізілген жанама т.с.с бірақ ұғымдардың анықтамалары дәл тұжырымдалмай жүр. Дөңес көпбұрыштар, трапеция сияқты фигуралардың түрлерге жіктелулері де қате орындалады. Осы сияқты кемшіліктерді сабақ үстінде түзету мүмкін бола бермейді. Сондықтан оларды математика үйірмелерінде арнайы мәселе етіп қарастырып, оқушылардың танымын толықтыру қажеттігі туындап отыр.

Сонымен қатар бағдарламада бұрыннан қарастырылып келе датқан бағдарламалық материалдар да сыныптан тыс жүргізілетін жұмыстардың мазмұнынан қажеттілігіне қарай тиісті орын алып отырады.

1.4.Математикадан сыныптан тыс жүргізілетін жұмыстардың негізгі түрлері

Математиканы оқып үйренуге қызығушылығы бар екінші топтағы оқушылармен математикадан сыныптан тыс жұмыстарды жүргізудің мынадай негізгі түрлері қолданылып жүр:

1) математикалық үйірме;

2) математикалық викториналар;

3) математикалық байқаулар, эстафеталар;

4) математикалық олимпиадалар;

5) математикалық апталықтар, математикалық кеш;

6) математикалық экскурсиялар;

7) математикалық әдебиеттерді оқу, математикалық рефераттар мен шығармалар жазу;

8) математикалық қабырға газеттері, бюллетеньдер.

Математикадан сыныптан тыс жүргізілетін жұмыстардың негізгі түрлерін көрсете отырып оларға қысқаша жалпы сипаттама берумен шектелмекшіміз. Ал олардың әрқайсысының ерекшеліктері мен өткізілу әдістеріне жұмыстың 2-бөлімінде жан-жақты тоқталатын боламыз.

Математикадан сыныптан тыс жүргізілетін жұмыстардың барлық түрлері мектепте ұйымдастырылған математика үйірмесінің жұмыс жоспарына сай жүргізіледі. Үйірме жұмысы жоспары әрбір жаңа оқу жылына бөлек жасалады. Математикалық үйірме жұмысын ұйымдастыруды және жүргізуді негізінен мектепте құрылған оқушылардың ғылыми қоғамы іске асырады. Математикадан сыныптан тыс жұмыстардың жүйелі, мақсатты жүргізілуі оқушыларды шығармашылықпен жұмыс істеуге дағдыландырып, жаңашылдыққа баулиды, қиындығы жоғары есептерді шешу тәсілдерін игереді.

Мектепішілік математикалық олимпиадаларды да мектептегі оқушылардың ғылыми қоғамы мүшелері ұйымдастырады. Олар олимпиадаға ұсынылатын есептерді құрастырады. Олимпиада жұмыстарын тексеруге қатысып, жарыстың қорытындысын шығарып, жеңімпаздарды марапаттау жұмыстарын атқарады. Осыдан барып мектептің маттематика пәні мұғалімдері, қоғам жұмысына қатысушы студенттер мен оқушылар арасындағы ынтымақтастық, ұжымдық шығармашылық жұмыс істеу ортасы қалыптасады.

Математикадан сыныптан тыс жүргізілетін жұмыстар ұйымдастырылуы, оларға қатысушылардың мөлшеріне қарай жеке, топтық және бұқаралық жұмыстар болып бөлінеді.

Сыныптан тыс жеке жүргізілетін жұмыстарға оқушының қосымша әдебиеттер бойынша жұмысын жатқызуға болады.

Үйірмедегі сабақтардың барлық түрі сыныптан тыс жүргізілетін топтық жұмыстар болып есептеледі.

Математикалық кештерге дайындық және оларды өткізу жұмыстарының барлығы көпшілік бұқаралық жұмыстарға жатады.

2-тарау 7-9 сыныптарда математикадан сыныптан тыс жұмыстарды жүргізудің әдістемесі

2.1. 7-9 сыныптарда жүргізілетін математика үйірмесі жұмыстарының жалпы сипаттамасы

Тәжірибе көрсетіп жүргендей, математика үйірмесі сыныптан тыс жүргізілетін жұмыстардың ең жиі қолданылатын және ұтымды түрлерінің бірі болып табылады. Үйірме жұмысын ұйымдастыруда басшылыққа алынатын басты қағидат-үйірмеге оқушыларды ерікті түрде қатыстыру. Әдетте математикалық үйірме математика пәндерін жақсы, ең болмағанда орташа үлгеретін оқушылардан құралады. Дегенмен практикада математиканы нашар үлгеретін оқушылардың арасынан да математика үйірмесі сабақтарына қатысуға тілек білдіргендер кездесіп жатады. Мұғалімнің ондай оқушылардың үйірмеге қатысуына шек қоюына мүлдем жол берілмейді. Осындай оқушылардың арасынан да математика үйірмесінің белсенді мүшелері шығып жатады. Мұғалім үйірмеге үлгерімі төмен оқушыларды да қабылдағанымен мұндай оқушылардың үйірме сабақтарындағы іс әрекетін оны игеру мүмкіндіктерін басқалардан да жіті қадағалап отыруы тиіс. Әрине үйірме сабақтарына математикадан да үлгерімі төмен оқушылардың да қатынасуы мұғалімнің жұмысына ауырпалық түсіретіні белгілі. Дегенмен әрбір оқушымен жеке жұмыс істеудің тиімді тәсілдерін қолдана отырып бұл қолайсыздықты да жеңуге болады. Ең бастысы математика үйірмесіне көпшілік оқушылардың ерікті түрде қатысуына мүмкіндік жасау болып табылады.

Математика үйірмесінің алғашқы сабақтарынан бастап – ақ мұғалім оның сыныптағы өткізілетін математика сабақтарының қайталануы немесе қосалқы түрі емес екеніне оқушылардың көзін жеткізе білуі шарт. Жақсы ұйымдастырылған математика үйірмесі оқушыларды математика ғылымына қызықтыра түседі. Олардың шығармашылық жұмыс қабілетін, жалпы математикалық мәдениетін арттырады және математика бағдарламасындағы оқып үйренгенде оқушылардың үлгерімін арттырады.

Математика үйірмесіне оқушыларды таныстырудың әр түрлі жағдайлары болуы мүмкін. Бұл кезде әрбір мектептің ондағы математика пәні мұғалімдерінің, оқушылардың контингентін де ескеріледі. Осыған байланысты математика үйірмесі мүшелері қай сыныптардың оқушыларынан құралатыны ойластырылады. Әдетте бір сыныптың немесе қатар сыныптардың оқушыларынан құралған үйірменің жұмысы ыңғайлы және нәтижелі болады. Оқушыларының саны шағын мектептерде үйірмені қатар екі, тіпті үш сыныптың оқушыларынан құрауға тура келеді.

Математикалық үйірменің жұмысын жоспарлауға математиканың сыныптағы сабақтарын жоспарлағандай жауапкершілікпен қарау керек. Үйірме сабақтарын жоспарлағанда оның құрамындағы оқушылардың жеке және жас ерекшеліктері құрамындағы балалар оқитын сыныптар деңгейі де ескеріледі.

Сонымен қатар үйірме сабақтарын өткізудің әдістемесі де үйірме мүшелерінің құрамына қарай таңдалады. Төменгі сынып оқушыларынан құралған үйірмелерде көбіне қызықты математика материалдары қарастырылса, сыныптар жоғарылаған сайын балаларға қиындығы жоғары есптерді шешу тәсілдері үйретіледі, белгілі бір тақырып бойынша қысқаша баяндама дайындау, реферат жазу жұмыстары тапсырылады.

Математикалық үйірме жұмыстарын ұйымдастырып, жоспарлауда оны жүргізетін математика пәні мұғалімінің де дербестігі сақталады. Оқыту үдерісіндегі математикадан сыныптан тыс жұмыстардың, соның ішіндегі математика үйірмесі сараптаудың алғы шарттары берілмеген. Солай болғанымен математика үйірмелерінің жұмысын жүргізудің бірнеше түрлері қалыптасқан. Математикалық үйірме сабақтарының құрамы негізінен теориялық және практикалық мазмұнды материалдардан құралады. Үйрме жұмысында теориялық және практикалық мәселелердің сабақтастығы, үйлесіміділігі боламаса, оқушылардың үйрме жұмысына қызығушылығы төмендейтіндігі байқалады.

Үйрмедегі теориялық бағыттағы жұмыстарда белгілі бір тақырып бойынша мұғалім немесе оқушы дайындаған әңгіме, баяндама қарастырылады.

Үйірме жұмысының практикалық бағытында негізінен әр түрлі мазмұндағы есептер шығарылады, сыныптар арасындағы жарыстар, эстафеталар өткізіледі. Олимпиадалық есептерді шешуге жаттығады. Математикалық викториналардың жауабын тауып, жұмбақтар шешеді. Математикалық софизмдер мен фокустардың сырын ашуды үйренеді. Үйірме жұмыстары шартты түрде теориялық және практикалық бағыттарға шартты түрде бөлінгенімен бұл бағыттар әрбір үйірме сабағында біріктіріліп қарастырылғаны дұрыс болады. Олай болмағанда оқушылардың жұмыстың бір түрінен тез жалығып, ынталарының түсуі мүмкін.

Математикалық үйірме сабақтарының, бас тақырыптарының білім берушілік және тәрбиелік маңызына ерекше мән беру керек. Үйірме жұмыстарын жүргізудің айнымайтын бір тәсілі жоқ, ал сабақ мазмұнына сай өзгеріп отырады. Дегенмен, үйірме сабақтарында да проблемалық, эвристикалық тәсілдерді жиі қолданған дұрыс. Математикалардың мазмұнына сай ежелгі грек философы Сократтың (б.д.д 466-399) пікір талас тудыру әдісінде де қолдануға болады. Бұл әдістер оқушылардың ойлау қабілетін арттырып, ізденгіштік дағдыларын тәрбеиелуге мүмкіндік береді.

Математикалық үйірме жұмыстарында әр түрлі қосымша әдебиеттерді пайдаланудың үйірме мүшелеріне берері мол. Бұл үшін математиканың мектептік бағдарламасына сәйкес келетін сыныптан тыс оқитын әдебиеттерді өзгертіп, олардың тізімін оқушыларға беріп отыруы керек. Осы жұмыстағы дамыту үшін, әр түрлі кітаптардың, мерзімді басылымдарда жарияланған математикалық материалдардың, осы тақырыпқа қатысты викепидия материалдарының көрмесін ұйымдастырып отыруға болады.

Әдетте әрбір математикалық үйірмеге қатысатын оқушылардың саны 10-15-тен аспағаны жөн. Үйірмеге қатысуға талап білдірушілердің саны көбейіп кеткен жағдайда оларды жас ерекшеліктерімен біліктілігі деңгейіне қарай қайта топтауға болады.

Кейінгі кездері әрбір мектепте оқушылардың ғылыми қоғамы құрылады. Мектептегі барлық сыныптан тыс жұмыстар мен қатар математикадан өткізілетін сыныптан тыс жұмыстарды да осы қоғам ұйымдастырады. Мектептің математика кабинетінде математикадан сыныптық сабақтар үшін жинақталған көрнекіліктер мен дидактикалық материалдар, оқушылар мен бірге сыныптан тыс жұмыстарды пайланылатын материалдар базасы толықытырып отырады.

Математикалық үйірмеге қатысатын оқушылардың ішінен топбасы, оның көмекшісі, қабырға газеттерінің редакциялық алқасы т.б сайланады. Үйірменің алғашқы отырысында үйірме жұмыстарының жылдық жоспары талқыланып бекітіледі. Математикалық үйірме сабақтары аптасына 1 рет өткізіледі. Оның ұзақтығы 1-1,5 сағат болады. Үйірме отырыстары еріктен пікір алмасу жағдайында, белсенді пікір талас түрінде өткізілгені тиімді.

Математикалық үйірменің жылдық жоспарын жасағанда оның әрбір сабағында қарастырылатын мәселелер мазмұны, оның өткізілу мерзімі, өткізуге жауапты кісілер қажетті әдебиеттер тізімі көрсетіледі. Үйірменің әрбір сабағының құрылымы өзгеріп отырылуы мүмкін. Бұлай ету оқушылардың қызығушылығын арттыра түседі.

Енді үйірме сабақтарының кейбіреуінің мазмұнын мысал үшін келтірейік.

1. 1) Теңдеулер туралы ілімнің тарихы

2) Теңдеу құруға берілген есептер

3) Математикалық жұмбақтар

2. 1) Натурал сандардың қасиеттері

2) Сандардың бөлінгіштік қасиеттерін қолдануға берілген есептер.

3) Математикалық ребустар

3. 1) Пифагор және Пифагор теоремасы

2) Пифагор сандарын табудың тәсілдері

3) Математикалық софизмдер

4. 1) Аудандарды өлшеу

2) Геометриялық ұғымдар

3) Логикалық есептерді шешу

5. 1) функция және функция және оның графигі

2) Дәлелдеуге берілген есептер

3) Олимпиадалық есептерді шешу

6. 1) Карл Фридрих Гаусс

2) Сан тізбектеріне берілген есептер

3) Ертедегі есептер

7. 1) Диофант теңдеулер

2) Математикалық эстафета

3) Геометриялық басқатырғыштар.

Математикалық үйірме сабақтарын тура осында көрсетілген мазмұнда өткізу, әрине, міндетті емес. Ал сабақтың негізгі тақырыбы бойынша баяндама немесе әңгімеге дайындалғанда оқушыға мұғалімнің тарапынан көмек көрсетілуі тиіс, оқушы дайындығы сабақтан бұрын тексеріліп, тиісті толықтырулар жасалуы мүмкін. Сабақта шығарылатын кейбір есептердің мазмұны негізгі тақырыпқа қатысты болғаны дұрыс. Ол туралы кезінде әңгіме ететін боламыз.

2.2. Математика үйірмесі сабақтарында тарихи – математикалық материалдарды қарастыру тәсілдері.

Орта мектепте математиканы оқытуға арналған оқулықтардың түрлері көбейіп, оларды жетілдіру жұмысы жалғасып келеді. Ол оқулықтармен оқыған оқушылар математика бағдарламасында қарастырылған білімдерді игереді. Оқулық – сапалы білім, саналы тәрбиенің және дамудың қайнар көзі. Оқулық оқушы үшін ғана жазылады. Онда басқа артық материал болмауы керек. Осылай болса да қазіргі мектеп оқулықтарында пәндерді тереңдетіп оқытамыз деген қарқынмен, жоғары оқу орындарында қарастылылатын материалдардың кездесетіні жасырын емес. Оқулықтарға теориялық материалдарды тықпалай бергеннен оқушылардың оларды толық және терең түсіне қалуы, оны практикада қолдана алу дағдылары жетіле қоймайды.

Өзге пәндермен салыстырғанда математиканың дерексіз жақтары көп, дедукциялық жағы басым. Мектеп оқушысына математиканың қайдан басталғаны, қалай дамығаны, қазір қай деңгейде тұрғаны, қайда бағыт алып бара жатқаны туралы мағлұматтар жеткіліксіз берілуде. Оның басты бір себебі бағдарламалық оқу материалдарының шамадан тыс көбейіп бара жатуы, оған керісінше оқытуға бөлінетін сағат санының жылдан жылға азайтылуы болып отыр.

Оқушылар көпбұрыштың ауданын тауып, теңдеуді шеше алғанымен өздерінің не біліп, қайда қолданылатынын бағдарлай алмауда. Осы себепті көпшілік оқушыларға математика қызықсыз болып көрінеді. Математикалық пәндерден оқушылардың оқу үлгерімінің төмен болуының басты бір себебі осында деп білеміз.

Математика үйірмесінде математика және математиктерге қатысты материалдарды қарастырудың өте қажеттігін М.Ө.Исқақовтың мына сөзінен де толық аңғаруға болады: «Орыс әдебиеттері сабақтарында Пушкиннің, Гогольдің, Толстойдың есімдерін атамай, өмір сүрген замандарын сөз етпей, тек «Евгений Онегин», «Өлі жандар», «Соғыс және бейбітшілік» сияқты шағармаларын ғана талдай берсек, оқушы қанша білім алар еді? Іс жүзінде мектеп математикасы осы жолмен құрылған. Бірақ мектеп математикасын, материалы тым көп болғандықтан, тарихи тұрғыдан, бұрынғыдан соңғысын шолып, сабақ сағаттарында баяндап шығуға болмайды. Оқушылар математикадағы түйінді мәселелер мен тарихи мағлұматтарды сыныптан тыс, өз беттерімен оқып алулары керек. Олар математиканың алтын дәнін, тәтті дәмін, әлеуметтік мәнін сонда ғана көреді.»

Үйірме сабақтарында математика ғылымының тарихындағы алыптарды жан – жақты таныстырып, математиканың қалыптасып, дамуындағы солардың еңбектерін көрсету қажет. Сыныптан тыс үйірме сабақтарында тарихи математикалық мәліметтерді пайдаланатын мұғалім оқушыларға негізгі математикалық ұғымдар мен идеялардың қалай дамығанын көрсетеді, қоршаған ортаны танудағы математиканың маңызын ашады, оларды саналы түрде және терең түсінуге ықпал етеді. Пән және ұғымдардың қалыптасу тарихы бойынша терең білімсіз мұғалімдердің өзіне математиканы оқыту әдістемесін толық меңгеруі мүмкін емес.

Математиканың кейбір жеке тарауларының болсын тарихын білу мұғалімнің кейбір оқушылардың қателіктерін болжауына оны болдырмауына жол ашады. Математиканың тарихын жақсы білу, мұғалімге сыныптан тыс үйірмеде қарастырылып жатқан тақырып пен ұғымдардың орнын біліктілікпен бағалауға, оқушыларға терең білім беруге көмектеседі. Тарихи материалды білу оқушыға математикалық ұғымның даму жолын көруіне мүмкіндік береді, оның басқа ғылымдағы орнын тануға көмектеседі, ең маңыздысы нәтижесінде білім мен тәрбиенің сапасын арттыра түседі.

Оқыту үдерісіндегі ғылымның тарихының маңызы туралы С.П.Капица: «Ғылымды оның тарихына мүлде түспей-ақ оқытуға болатыны жақсы белгілі. Бірақ оның тарихына бармай ғылымның әдісін түсіну қиын және біздің мәдениетімізден алатын орнын дұрыс анықтау мүлде мүмкін емес».

Мектепте оқытылатын математика курсында қарастырылатын ұғымдар, олардың анықтамалары, барлық ережелер, теоремалар, формулалар – адамзаттың мыңдаған жылдарғы еңбегінің жинақталуы. Олар бірден осы қалыпқа түсе қалған жоқ, дүниені тану әрекетімен жинақталып, практикалық тексеруден өткен. Математика тарихынан мәліметтер беру математика ғылымының дамуындағы қозғаушы күш, өндірістік қажеттілік екеніне оқушылардың көзін жеткізеді. Үйірме жұмыстарында орнымен қолданылған математикалық тарихи материалдар оқушыларға патриоттық және интернационалдық тәрбие беру құралы да болып табылады.

Математикалық үйірме сабақтарында математикалық тарихи материалдарды қолданудың әр түрлі тәсілдері болады. Сыныптық сабақтарда тарихи материалдар жаңа сабақты түсіндірудің алдында, сабақтың арасында, сабақты қорытындылау кезінде қолнатыла беретіні белгілі. Үйірме сабақтарында тарихи материалдар көбіне сыныпта өтілген тақырыптарды жинақтау, сыбайластыру, қорытындылау түрінде қолданылады. Тарихи материалдарды белгілі бір тақырып бойынша жинақтап дайындауды мұғалім алдын ала белгілі бір немесе бірнеше оқушыларға тапсыруына да болады. Бұндай жағдайда оқушылар қосымша әдебиеттермен жұмыс істеуді үйренеді, бір – бірінің кемшіліктерін түзетіп, толықтыратын болады. Тарихи материалдар бойынша әңгіменің ақиқаттығын әрине мұғалімнің бақылауында болады. Бір тақырыпты үйірмедегі барлық оқушыға тапсыруға болады, бұл олардың арасындағы бәсекелестікті тудырып, ізденгіштік ынтасын арттырады.

Оқушылардың математикалық тарихи материалдармен жұмыс істеуін ұйымдастырудың да бірнеше тәсілдерін қолдануға болады. Алдымен мұғалім өзі дайындаған мағлұматтарды белгілі бір оқушының хабарлап шығуына береді. Осындай жұмыстан кейін хабарлама жасаған оқушыда математикалық тарихи материалдарды жинақтауға деген қызығушылық пайда бола бастайды.

Үйірмеде қарасырыталатын тарихи материалдарды таңдағанда оның тақырыбының осы үйірмеге қатысып отырған оқушылардың біліктілік деңгейіне сай болуын назарда ұстау керек. Мысалы, Пифагор теоремасы туралы әңгімені 8-сыныптың оқушыларына, қысқаша көбейту формулаларының қорытылып шығарылуының геометриялық тәсілдері туралы 7-сынып оқушыларына айтқан орында болады.

Үйірме сабақтарында ғалымның өмірбаяндық деректерін жинақтағанда мыналарды басшылыққа алған жөн.

1.Ғалымның өмірбаянын ол өмір сүрген кезеңнің сипаттамасымен бірге берген дұрыс. Яғни, оқушыларға ғалым өмір сүрген кезеңдегі қоғамдағы қалыптасқан дәстүрлер, ғылымдағы қиыншылықтар туралы толық мағлұмат берілсе, ғылымға қосылған еңбектің шын бағасы ашыла түседі.

2.Ғалымның математика ғылымындағы алған орнын ашып көрсету, бағасын беру.

3.Ғалым еңбегінің ғылымның басқа мәселелеріне әсері, жалпы ғылымның дамуындағы маңызын көрсету.

4.Ғалымның өмірі мен қызметін оқушыларға үлгі ретінде пайдалану.

Математика үйірмесінде пайдаланатын тарихи материалдарды жаңарту негізінде кейбір үйлесімсіздіктер кездесіп жатуы мүмкін. Ол әсіресе ғалымдардың өмір сүрген кезеңін анықтауда кездесіп жатады. Оған мынадай бір мысал келтірсек те жеткілікті. Ежелгі грек математигі Евклидтің өмір сүрген кезеңі М.О.Искаов пен С.Н.Назаровтың «Математика мен математиктер жайындағы әңгімелер» атты 1-кітабында біздің жыл санауымыздан бұрынғы 330-275 жылдар шамасы делінсе, Г.И.Глейзердің «Мектептегі математика тарихы VII-VIII кл» кітабында біздің заманымызға дейінгі 365-300 жылдар, ал геометрия оқулықтарында көпшілігінде біздің заманымыздан бұрынғы ІІІ ғасыр деп көрсетіліп жүр. Бұны былай қойғанда, Евклидтің орыс тіліндегі «начала» атты еңбегі қазақ тілінде бір жерде «негіздер», енді бір жерде «Бастамалар» аталуы да белгілі, бір денгейде оқушылар арасында қолайсыздықтар тудырады.

Енді 7-9 сынып оқушыларынан құрылған математика үйірмелерінде қарастыруға болатын бірнеше тарихи материалдарды қысқаша түрде келтірейік.

Франсуа Виет 1540 жылы Францияда өмірге келді, негізгі мамандығы заң қызметкері. Ол ұзақ жылдар адвокат, ал 1571-1584 жылдар аралығында Георг ІІІ және Георг IV карольдардың кеңесшісі қызметін атқарды. Осы қызметтерді атқара жүріп, қолы бос кездің бәрінде ол математика мен астрономиямен айналысты. Әсіресе бұл жұмысқа 1584 жылы кароль сарайындағы кеңесшілік қызметтен босаған соң біржола көшті. Виет ежелгі математиктерден бастап сол кездегі математиктердің еңбектерін жан-жақты зерттеді.

Франсуа Виет шындығында жаңа алгебраны жасады. Алгебраға әріпті белгілеулерді енгізді. Оның негізгі идеялары «Аналитикалық өнерге кіріспе» атты еңбегінде баяндалады. Онда ол «Барлық математиктер олардың алгебрасы мен әлмукабалаларында теңдесіз қазына жасырынып жатқанын білді, бірақ олар оны табу жолын білмеді: олар өте күрделі деп санаған есептерді біздің өнердің көмегімен өте оңай шешуге болады» -деді.

Шынында да, квадрат теңдеулердің қазіргі кезде өте оңай шешілетінін баріміз де білеміз. Оны шешудің қазір дайын формуласы бар. Ф.Витке дайын квадрат теңдеуді шешудің сол кездегі ережелері бойынша ұзақ сапар сөзбен жазылатын еді. Тіпті теңдеудің өзі қазіргі қалпында жазылмады, ол да сөзбен баяндалды. Квадрат теңдеулердің тұрақты коэффициенттерін әріптермен белгілеуді білмеді. Тек жекелеген сан коэффициенттері теңдеулер ғана қарастырылды.

Ф. Виет алғашқылардың бірі болып сандарды әріптермен белгілеулерді енгізіп, теңдеулер теориясын едәуір алға дамытты. Виеттің осы жаңалығынан кейін квадрат теңдеудің шешімін формула түрінде жазу мүмкіндігі пайда болды. Дегенмен, Виеттің заманында да дәреженің көрсеткіштері сөзбен берілетін еді. Бұл есептеу жұмыстарын біршама күрделендірді. Виеттің тұсында да теріс сандар қорына қосыла қоймаған болатын.

Виеттің ең құнды жаңалығы натурал көрсеткішті келтірілген теңдеудің түбірлері мен оның коэффициенттері арасындағы байланысты анықтаған болатын. Виет теоремасын қазіргі тілде былай жеткізуге болады. «Келтірілген квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы қарама – қарсы алынған оның екінші коэффициентіне тең, ал түбірлерінің көбейтіндісі бос мүшеге тең». Яғни келтірілген квадрат теңдеуді x²+px+q=0 түрінде өрнектесек x₁+x₂=-p, ал x₁*x₂=q болады.

Бұл теорема квадрат теңдеудің дұрыс шешілгенін ауызша тексеруге мүмкіндік береді. Сонымен қатар кейбір қарапайым квадрат теңдеулердің түбірлерін ауызша табуға да көмектеседі.

Ф. Виет 63 жасында 1603 жылы қайтыс болды.

Рене Декарт 1596 жылы Францияның оңтүстігіндегі Лаэ қаласындағы дворянның отбасында дүниеге келді. Әкесі Ренені офицер етпекші болды, сөйтіп оны 1613 жылы Парижге жіберді. Декарт ұзақ жылдар әскер қатарында қызмет етуіне тура келді.

Дегенмен Рененің аңсары философия, физика және математикаға ауа берді. Әскерде жүрсе де Декарт бос уақытының барлығын математикаға жұмсады. Ол неміс ғылымдарының алгебрасын- француз және грек ғалымдарының математикалық еңбектерін қызығушылықпен оқып үйренді. 1628 жылы Декарт әскерден кетеді.

Декарттың философиялық көзқарастары сол кезде католик шіркеуінің талаптарымен сәйкес келмеді. Сондықтан Голландияға қоныс аударып, онда 1629 - 1649 жылдары өмір сүрді. Бұнда да протестанттық шіркеудің қудалауына ұшырап, 1949 жылы Стокгольмге ауысты. Швецияның қатал климаты Декарт үшін өте жайсыз тиіп, 1650 жылы суық тиюден қайтыс болды.

Рене Декарттың математика саласындағы ең танымал еңбегі «Геометрия» деп аталуы Декарт қазіргі күніне де қолданылып жүрген координаталар жүйесін енгізді. Ол сандар мен кесінділердің арасындағы байланысты қалыптастыра отырып геометриядағы алгебралық әдісті қолданды. Декарттың осы жаңалығы геометрияның, математиканың басқа салаларымен қатар оптиканың да дамуына үлкен әсер етті.

Карл Фридрих Гаусс – ұлы математиктердің бірі. Ол 1777 жылдың 30 сәуірінде немістің Брауншвейг атты шағын қаласында дүниеге келді. Карл атасы шаруа, ал әкесі қаладағы су құбыры жүргізуші болды. Карлдің ойлау қабілетінің жетілуіне шешесінің ағасы Фридрихтің үлкен әсері болды.

Карлдың математикалық қабілеті өте ерте байқалады. Сондықтан да оның мен сөйлеуден бұрын санауды үйрендім деп, осы қасиетін күле отырып, еске алатыны бар. Қала басшыларының таныстыруымен оның әкесі көптеген арифметикалық есептеулер жүргізетін еді. Бірде Карлдің әкесі Герхард Гаусс өзінің есептеулерін ауызша орындап бола бергенде үш жасар баласының: «Әке, есептеуіңіз дұрыс болмады. Дұрысы ...» -деген сөзін естиді». Есептеу қайта жүргізілгенде шынында да Карлдың есептеуінің дұрыс екені белгілі болды.

Баланың қабілетін біле тұра әкесі оны оқытуға қарсы болады. Карлдың шешесі Даратеннің табандылығының арқасында бұл қарсылық жеңіліс табады. Карл математикаға үшінші сыныптан бастап оқытатын мектепке жеті жасында барды. Мектепке баланың математикаға қабілеттілігі бірден байқалады. Бірінші сыныпта жүзге тарта бала болды. Балалар өз беттерінше ойнап, тентектікке салынып кететін. Оларды қандай да бір тапсырманы орындатып, тыныштандыру үшін мұғалім оларға: 81297+81495+81693+...+100899 сандарының, яғни әрбір қосылғыш оның алдындағы саннан 198-ге артық сандардың қосындысын табуды тапсырды. Бұны орындауға біраз уақыт кетеді деп ойлаған мұғалім тапсырманы тақтаға жазып болып басқа жұмыспен айналыса бастағаны сол, Карл өзінің тас қаламмен (грифель) жазатын тақтасын мұғалімнің столына әкеліп қояды. Осыдан кейін бұл мұғалім Карлға еш нәрсе үйрете алмайтынын мойындады. Бұдан былай Карл мен мұғалімнің көмекшісі Бартельс жеке айналысатын болды. Кейінірек Бартельстің өтінуі бойынша қала басшысы Гаусстің оқуына материалдық көмек берді. Герсак бөлдірген осы шәкіртақы Гауссқа докторлық диссертациясын қорғағанға дейін берілді.

1795 жылы Гаусс гимназияны бітіріп, Геттинген университетіне түседі. Ол Ньютон, Лагранж, Эйлер сияқты математиктердің еңбектерін аса зейін қойып өз бетінше оқып шықты. Гаусс студент кезінде-ақ бірнеше жаңалықтар ашты. Соның ішіндегі ең беделді жұмысшының бірі - циркуль мен сызғыштың көмегімен дұрыс 17 - бұрышты салуға болатынын дәлелдеуі (1796 жыл) еді. Гауссқа дейін дұрыс 3,4,5,15-бұрыштарды, сонымен қатар олардың қабырғаларының санын екі еселегенде шығатын көпбұрыштар салынатын.

1797 жыл Гаусс алгебраның негізгі теоремасының алғашқы дәл және толық дәлелдеуін келтірді.

Осы жылдары Гаусс жаңалықты бірінен кейін бірін ашумен болды.

Гаусстың сандар теориясы мен арифметикадағы жұмыстары басқа ғалымдардың жұмыстарының алға жылжуына көмектесті.

К.Гаусс ашық жарқын мінезді болды. Ол физика, әдебиет, саясат, эконмикамен де қызыға айналысты. Бірнеше ежелгі және еуропалық тілдерді жақсы білді. Оның мінезіндегі ерекшелік: мақсатқа талпынушылық пен қайсарлық болатын. Егер ол қандай да бір мәселені немесе есепті шешуге отырса, соны қашан орындағанша қайтпайтын. Бір мәселені шешуде қиындық туып жатса, келесі мәселемен айналысып кете береді, бірақ бұрынғы мәселені далада қалдырмайды, қайта айналып соғады.

Гаусс жеке өзі жұмыс істегенді дұрыс көрді, Оның шәкірттері болмады. Сонымен бірге өзінің идиясымен ешкіммен бөліспейтін. Барлығын соңына деиін өзі жеткізетін. Ол 62 жасында орыс тілін үйренді және Акедемиямен хат жазуды орыс тілінде жүргізді. Ол Пушкинді және орыстың басқа да ақын жазушыларын оқуды ұнатты.

К Гаусс 1855 жылдың 23 ақпанында 78 жасында қайтыс болды. Сол көзінің тірісінде-ақ математиктердің патшасы деп лайықты аталды. Соның еңбектері қазіргі кезде де өзінің құнын жойған жоқ.

Математика үйірмесінде математиктердің өмірбаяны математикаға қосқан қызметін әңгіме етумен қатар, математикадағы белгілі бір ұғымның қалыптасуынан бастап қазіргі түрге келу тарихынан қысқаша мағлұматтарды қарастыруға да болады. Соның бірі ретінде дәрежелі теңдеулер және оларды шешу тәсілдерінің қалыптасу тарихын қысқаша әңгіме етейік.

Қандай ғылым болмасын, соның ішінде математиканың қалыптасуы мен дамуының негізінде адамның күнделікті практикалық іс-әрекеті жатады. Адамзат мәдениетінде, соның бірі ғылымның дамуында жүйелі байланыс, сабақтастық болады. Әр кезеңнің ұшқыр қиялды, дара дарынды, озық ойлы азаматтар ғылымға өзінің үлесін қосады. Олардың ашқан жаңалығы асыл мұра ретінде ұрпақтан-ұрпаққа жетіп, барған сайын кемелденіп, халықтың игілігіне жаратылады.

Математикада теңдеулерді шешу есептері өте ертеде қолға алынды. Сонау ежелгі мысырлықтар (Ніл өзенінің жағалауы) мен вавилондықтар (осы кезгі Ирактың бір бөлігі) бір белгісізі бар бірінші дәрежелі және екінші дәрежелі теңдеулерді шешу ережелерін білді. Бірақ олар мұндай есептерді шешуді өз алдына дербес мәселе етіп қарастырмады, басқа маселелерді шешу құралы ретінде пайдаланды.

Қазіргі біздің бірінші дәрежелі теңдеулердің көмегімен шығаратын есептерімізді египеттіктер қазіргі «ұйғару тәсілі» деп аталатын тәсілмен шығара біл. Есеп шығарудың бұл тәсілі «жалған жору тәсілі» немесе «алдамыш ереже» деген атпен барлық халықтардың арифметикасында XVIII ғасырға дейін қолданылды. Бірінші дәрежелі теңдеулерді шешу теріс сандарды пайдалануға алып келеді. Бірақ XVIII ғасырдың соңғы кезіндегі ірі математиктердің өзінің теріс сандар туралы қазіргідей түсініктері болмады.

Енді орыс математигі Л.Ф.Магицкийдің «Арифметикасында» қарастырған бір есебін «жалған жору тәсілімен» қалай шығарғанын мысалға келтірейік.

Есеп «Біреу: баламды оқуға беретін едім, сыныбыңызда қанша оқушы бар еді?-деп сұрапты мұғалімнен. Мұғалім: сыныбымыздағы бала санына енді осындай, оның жартысындай, төрттен біріндей бала және сіздің балаңыз қосылса, сонда жүз болады деп жауап беріпті. Мұғалімнің қанша оқушысы болған?»

Есептің шешуі: Бірінші ретте класта 24 оқушы бар екен деп жориық. Олай болса, есептің шарты бойынша есептеп 24+24+12+6+1=67 екенін табамыз, яғни оқушы саны есеп шартындағыдан 33-ке кем (100-67=33) болды. Бұл 33санын «Бірінші ауытқу» дейміз.

Екінші ретте класта 32 оқушы бар деп ұйғарайық. Сонда 32+32+16+8+1=89, яғни тиісті саннан 11-і кем болды. (100-89=11) Бұл «екінші ауытқу» болсын.

Екі ұйғаруда да нәтижеде берілген саннан кем сан шыққанда, есепті шешудің мына ережесі қолданылатын болған: «Бірінші ұйғаруды екінші ауытқуға көбейтіп, екінші ұйғаруды бірінші ауытқуға көбейтіп, табылған көбейтінділердің көбінен азын шегеру керек. Бұдан шыққан айырманы ауытқулардың айырмасына бөлу керек».

Осы «ережені» қолданып, есепті шешеміз:

,

яғни класта 36 оқушы болғаны.

Егер есепті шығару кезіндегі екі ұйғаруда да есеп шартындағы саннан артық сан шықса да, осы ереже қолданылады.

Мысалы: Алдымен сыныпта 52 оқушы бар деп ұйғарамыз. Онда 52+52+26+13+1=144, 144-100=44, яғни бірінші ауытқу 44-ке артық болды.

Екінші ұйғаруда 40-ты алайық, 40+40+20+10+1=111. Яғни екінші ауытқу 11-ге артық болды.

Жоғарыдағы ережені пайдаланып есептейміз:

.

Есептеу кезіндегі ауытқудың біреуі осы шартындағы саннан артық, екіншісіндегісі кем болса, жоғарыдағы ереже былай өзгереді: «Бірінші ұйғаруды екінші ауықтуға көбейтіп, екінші ұйғаруды бірінші ауытқуға көбейтіп, табылған көбейтінділерді қосу керек. Қосындыны ауытқулардың қосындысына бөлу керек».

Мысал қарастырайық. Бірінші ұйғару 60 болсын. Онда 60+60+30+15+1=166, яғни бірінші ауытқу 60-ға артық болды.

Екінші үйғару 20 болсын. Есептеп, 20+20+10+5+1=56, екінші ауытқудың 44-ке кем екенін табамыз. Енді екінші ережені қоданып, есептің шешімін табамыз:

.

Бұл ережелердің дұрыстығын алгебраның алғашқы мәліметтерінің көмегімен – ақ дәлелдеуге болады.

ax+b=c (1) теңдеуін шешу керек болсын.

Бірінші ұйғаруда х=х₁ деп алайық, сонда ax₁+b=c₁ (2)

Екінші ұйғаруда х=х₂ деп алсақ, ax₂+b=c₂ (3) болады. Енді (1) теңдеуден (2) және (3) теңдеулерді мүшелеп шегереміз.

Сонда мына теңдіктер шығады: а(х-х₁)=c-c₁=d₁ (бірінші ауытқу), a(x-x₂)=c-c₂=d₂ (екінші ауытқу). Бұлардың алдыңғысын соңғысына мүшелеп бөлсек: болады.

Алгебраның ережелері бойынша түрлендіреміз:

(бірінші ауытқу),

(екінші ауытқу). Бұлардың алдыңғысын соңғысына мүшелеп бөлсек:

, яғни болады.

Алгебраның ережелері бойынша түрлендіреміз:

, ,

, , (4)

Егер және ауытқуларының екеуі де теріс сандар болса, онда (4) теңдіктің оң жағындағы бөлшектің алымының да, бөлімінің де бірінші қосылғыштары теріс сандар болады да, екінші қосылғыштары оң сандар болады. Сөйтіп, келтірілген ереже х-тің мәнін табудың бірінші жағдайындағыдай (яғни ауытқудың екеуінің де оі сан болғанындай) болады. Бұл (4) теңдіктің ауытқуларының екеуі де оң сан немесе екеуі де теріс сан болғандағы «жалған жору» ережесін өрнектейді.

Ал егер, , ал немесе , ал болса, (4) теңдік былай өзгереді:

(5)

Сөйтіп бұл – екі ауытқудың таңбасы екі түрлі болғанда қолданылатын «жалған жору» ережесі болып табылады.

Теңдеулерді шешуде, әсіресе және түріндегі теңдеулерді шешуде үнді математиктері еуропалықтардан бірнеше ғасырға алда болды.

Гректер математиканы сөзі аз, мағынасы терең, дәлдігі жоғары дерексіз теориялық ғылымға айналдырды. Олар теңдеуді шешудің геометриялық әдістерін жақсы меңгереді. Гректер тіпті үшінші дәрежелі теңдеулердің кейбір түрлерін конустық қималардың (шеңбер, эллипс, парабола, гипербола) жәрдемімен шешуді білді. Дегенмен, грек математиктері теңдеулерді шешуді өз алдына дербес мәселе деп қарастырмады. Біздің жыл санауымыздың ғасырларында грек ғылыми тоқырады.

Шығыс халықтары (Индия, Қытай, Орта Азия) математиканы ілгері дамыта түсті.

Солардың ішінде Хорезмдік ғалым Мұхаммед әл-Хорезми (780-847 ж.ж.) арифметика оқулығын жазды. Осы оқулықтың латын тіліндегі аудармасы арқылы еуропа халықтары үнділердің он цифрдың көмегімен жазылатын санау тәсілін үйретеді.

Мұхаммед әл-Хорезми ІХ ғасырдың бас кезінде алгебраның оқулығын жазды. Оның бұл оқулығы бұл ғылымның осы күнгі алып қана қойған жоқ, оған мүлде жаңа сипат берді. Еуропалықтар алгебра оқулықтарын осы оқулықты негізге ала отырып жазды.

Әл-Хорезмидің бұл кітабы шамамен 820 жылдары жазылды. Кітап «Әл-джабр уә әл-мұқабалә» деп аталады. Осындағы «әл-джабр» сөзінен «алгебра» сөзі шыққан.

Кітапта теңдеулерді шешудің екі тәсілі көрсетіледі. «Әл-джабр» тәсілі бойынша теңдеудегі теріс таңбалы мүшені (оны «шегерілетін мүше» деп атаған) жою үшін, теңдеудің екі жағына бірдей сан қосылады. Осы «әл-джабр» тәсілі кейде «толықтыру тәсілі» деп те аталады. Ал «әл-мұқабалә» тәсілі бойынша теңдеуді ықшамдау үшін, теңдеудің екі жағынан да бірдей сан (оны «қосылғыш мүше» деп атаған) игеріледі. «Әл-мұқабалә» тәсілі «қарама-қарсы қою» тәсілі деп те атала береді.

Енді қазіргі белгілеулер қолданылып жазылған теңдеуін осы тәсілдердің көмегімен шешу жолын көрсетейік.

Әл-джабр тәсілі бойынша теңдеудің екі жағына да 4 пен 24 сандарын қосамыз. Сонда шығады. Әл-мұқабалә тәсілі бойынша соңғы теңдеудің екі жағынан да 3х пени 4-ті шегереміз. Сонда , бұдан табылады.

Теңдеудің бұндай тәсілдермен шешілуінің басты себебі ол кезде теріс сандардың теориясының болмауынан еді. Сондықтан әл-Хорезми

- деп есептеуді білмеді.

Қазіргі кезде мұндай теңдеулер өте қарапайым тәсілмен шешіледі: .

Теңдеулерді шешуді әл-Хоерзми жүйелі түрде қарастырды. Ол бірінші және екінші дәрежелі теңдеулерді шешудің толық теориясын жасап, алгебраны математиканың дербес саласына айналдырады. Осының нәтижесінде алгебра жеке пән ретінде қалыптасады.

Әл-Хорезми түбір сөзіне мынадай анықтама берді: «түбір-қандай да бір өзіне - өзі көбейтілген мүлік, бірге тең немесе одан да үлкен сан, немесе бірден кіші бөлшек». Әрине, бұл анықтама қазіргі оқырмандарға түсініксіз болып көрінетіні анық.

Теңдеулерді шешу үшін алдымен ол сызықтық және квадраттық теңдеулерді түрлерге жіктейді. Бұндай жіктеулердің де қазір қажеті болмай қалды.

Дегенмен, әл-Хорезмидің теңдеулерді түрлерге қалай жіктегенін қарастырайық:

1. «Квадраттар түбірлергее тең», ол қазіргі белгілеулер бойынша түрінде жазылады.

2. «Квадраттар санға тең», яғни .

3. «Түбірлер санға тең», немесе .

4. «Квадраттар мен түбірлер санға тең», яғни .

5. «Квадраттар мен сандар түбірлерге тең», яғни .

6. «Түбірлер мен сандар квадратқа тең», яғни .

Теңдеулердің осы алты түріне нақтылы мысалдар қарастырған:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

Берілген теңдеулерді осында қарастырылған теңдеулердің түрлерінің біріне келтіру үшін әл-Хорезми жоғарыда айтылған «әл-джабр» (толықтыру) және «әл-мұқабалә» (қарама-қарсы қою) амалдарын пайдаланады.

Сонымен бірге теңдеудегі бас мүшенің коэффициенттерінің бірге тең болуы талап етілді. Шығыс ғалымдарының еңбектерінде кейіннен бұған қосымша «толықтыру» (әл-такмил) және «келтіру» (әр-рад) амалдары қолданыла бастады. Оның біріншісінде теңдеуіндегі болса, теңдеудің барлық мүшелерін -ға кері санға көбейтетін болды. Ал теңдеудегі болса, теңдеу тағыда -ға кері санға көбейтілді. Бұлармен қатар «әл-хатт» - теңдеудің барлық мүшелерін олардың коэффициенттерінің ортақ көбейтіндісіне бөлу амалы да қолданылады.

Әл-Хорезмидің шығарған бір есебін мысалға келтірейік. Есептің сол кездегі берілуі: «Сен санды екі бөлікке бөлдің, бұдан кейін әрбір бөлікті өз-өзіне көбейттің, бұдан кейін оларды қостың, және оларға көбейтілгенге дейінгі бөліктердің айырмасын қостың, сонда қосынды елу төртке тең болды. Мүлікті тап.». Мұндағы мүлік деп отырғаны – белгісіз шама, яғни теңдеудің шешімі.

Есептің қазіргіше жазылуы: . Оны одан әрі түрлендіргенде шығады.

Енді теңдеудің бас мүшесінің коэффициентін бірге келтіру үшін әл-Хорезми: «Енді квадратқа келтір, яғни сендегі бардың барлығының жартысын ал. Сонда елу бес дирхем мен квадрат 27 дирхем мен он бір мүлікке тең болады» дейді. Яғни, болады. Бұдан кейін: «елу бес дирхемнен жиырма жеті дирхемді шегер, сонда жиырма сегіз дирхем мен квадрат он бір мүлікке тең болады» дейді. Яғни, теңдеу конондық түрге келтіріледі.

Осы мысалда квадраттау барысында бұл теңдеуді шешу қазіргі күнгі қолданылып жүрген белгілеулерсіз қаншалықты қиындық тудыратынын анық байқауға болады. Осыншалықты амалдарды сөзбен жазып отырса да, жаңылыссыз орындай білуі әл-Хорезмидің нағыз ғылымға берілгендігінің айғағы болса керек.

Енді жіктеудегі бесінші түрдегі теңдеуді шешу үшін әл-Хорезми сөзбен жазған жұмысты қазіргі белгілеулерді қолданып, өрнектеп жазайық:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) .

Сөйтіп әл-Хорезми теңдеудің түбірі және болатынын айтады. Сонымен бірге ол болса, есептің шешілмейтінін де айтқан. Өйткені әл-Хорезмидің заманында жорымал сан ұғымы жоқ болатын. Егер болса, теңдеудің бір ғана (еселі) түбірі болады: .

Әл-Хорезми квадрат теңдеудің екі түбірі болатынын теориялық тұрғыда мақұлданғанымен, практикада оның біреуін ғана қарастырды. Сол сияқты түріндегі теңдеудің нөлге тең болатын бір түбірін ІХ ғасырда өмір сүрген әл-Хорезми түгіл, одан көп кейінгі (ХVII ғасырға дейінгі) математиктер де қарастырмады.

Қорыта айтқанда, түріндегі теңдеудің деген түрін мысал ретінде шешеді (белгілеулер қазіргіше):

.

Әл-Хорезми өзі жоғарыда жіктеп көрсеткен алты түрлі теңдеудің де шешу ережесін сөзбен тұжырымдап береді. Сонымен қатар оның 4,5 және 6 – түрлерінің шешу ережелерінің дұрыстығының дәлелдеуін де келтіреді. Әрине, ол дәлелдеулер геометриялық алгебра арқылы жасалынған болатын.

Ол дәлелдеулердің барлығын бұл жерде келтірмей-ақ, қызығушы жекелеген оқушыларға беруге болады.

Әл-Хорезмидің кітабының басты ерекшелігі – оның түсініктілігі, өмірмен, практикамен байланыстылығы. Грек математиктері аз кітаптарын көбіне білімді адамдарға арнап жазатын, тұрмыстық есептерді қарастырмайтын, «өнері жеткендер ғана түсінсін» дейтін. Платонның: «Бұл үйге геометрияны білетіндер ғана кірсін» деп кіреберісіне жазып қоюы сондықтан Үнді ғалымдарының да көпшілігі математиканы өмірден аулақ ұстаған. Олар математикамен шұғылданғанда алдымен жиын-тойларда айтысу, немесе білімді адамдардың тойталасы, ермегі ретінде қарастырған. Ал әл-Хорезми математикаға практика тұрғысынан қарайды. Математиканы еңбекті жеңілдетудің және мәдениетті өркендетудің тапсырмас, сенімді құралы деп есептейді. Теорияны жан-жақты түсіндіріп, оқушысына үнемі қамқорлық жасап отырады. Сондықтан ол математик қана емес, ірі педагог – дарынды мұғалім және тәлімді тәрбиеші.

Математика үйірмесі сабақтарында ежелгі және шетел математиктерімен қатар ғылыми жұмыстарының тікелей мектеп бағдарламасына қатысы болмаса да көрнекі қазақ математиктері туралы да әңгіме етудің орны ерекше болады. Өйткені қазіргі қазақ математиктерінің арасында оқушыға үлгі етерліктей, дүние жүзіне белгілі болған математиктер аз емес. Әрі осы сияқты қазақ математиктерін, олардың математика ғылымына қосқан үлесін таныстыру оқушылардың патриоттық сезімін оятады, математика ғылымына қызығушылығын арттырып, математик ғалым болуға ұмтылысын тудырады.

Белгілі математик – ғалымдардың пікірінше, еліміздегі қазіргі математиктердің арасындағы бірінші математик деп танылып жүрген-Л.Н.Гумилев атындағы Еуразия Ұлттық Унивеситеті Еуразиялық математикалық институтының директоры, Мемлекеттік сыйлықтың лауреаты, профессор – Мұхтарбай Өтелбаев. Жақында ол әлем ғалымдары ғасырға жуық уақыттан бері жауабын таба алмай келген 7 есептің бірін шешкенін жариялады. Бұл есеп сұйықтық пен газдың жылдамдығын анықтауға арналған. Математикалық теңдеу Тайфунь, Цунами секілді жойқын табиғи құбылыстардың пайда болуын, қозғалысы мен жылдамдығын, олардың қай жерден бастау алып, қайда тоқтайтынын анықтауға мүмкіндік береді. Бұл өмір талабына жауап беретін, күнделікті қолданысқа жарайтын есептің бірі. «Новье-Стокс теңдеулерінің мықты шешімінің болуы» деген еңбекті жазуға, аталған есепті шешуге өмірінің 33 жылын жұмсады. М.Өтелбаев бұған дейін де математикада елеуші жаңалықтарды ашып, әйгілі Штурм-Лиувилль операторының әмбебап функциясының шешімін тапқан болатын. Осы арқылы ғылымға « -Өтелбаев функциясы» деген функция енгізілгені белгілі.

Уалбай Ұтмаханбетұлы Өмірбаев Оңтүстік Қазақстан облысы Ордабасы ауданындағы Төрткөл ауылында дүниеге келді. Оқуын ауыл мектептерінде бастаған ол Алматыдағы Ө.Жәутіков атындағы мамандандырылған физика-математика мектебін бітірген. Жоғарғы білімді Ресейдегі Новосібір университетінде алды.

1972 жылы жапонның атақты ғалымы М.Нагата құрастырған есептің жауабын әлемнің «мен» деген талай математиктері 30 жыл бойы іздеді. У.Өмірбаев Нагата есебімен 1980 жылдардан бастап айналыса бастады. Оның шешімін 2001 жылы тапты. Сонымен қатар, осы саладағы зерттеулерін жалғастыра отырып, 2004 жылы Кон есебінің шешімін тапты. 2007 жылы Нагата және Кон есептерінің шешімі туралы еңбектері үшін У.Өмірбаевқа дүниежүзілік математика қоғамының үш жылда бір рет берілетін жоғарғы дәрежелі «Мур» сыйлығы табыс етілді. Бұл сыйлықты «Нобель» сыйлығымен пара-пар бағалайды. «Еркін алгебрадағы автоморфизм және субалгебралар» деп аталатын еңбегі және ғылым мен техника саласындағы ерекше жетістігі үшін Уалбай Өмірбаев Мемлекеттік сыйлықтың лауреаты атанды.

У.Өмірбаев соңғы жылдары келісімшарт бойынша АҚШ-тың Детроид қаласындағы Уейн мемлекеттік университетінде дәріс оқып жүр.

Асқар Жұмаділдаев - 32 жасында докторлық диссертация қорғаған еліміздегі ең жас ғылым докторы. 1956 жылы Қызылорда облысының Шиелі ауданында туған. Алматы қаласындағы О.Жәутіков атындағы арнаулы физика-математика мектебінің алғашқы түлектерінің бірі. М.Ломоносов атындағы Мәскеу мемлкеттік университетінің механика-математика факультетін Лениндік стипендиямен оқып, үздік бітірген. Үшінші курста жазған курстық жұмысы үшін «Петровский» атындағы сыйлық берілген. Негізгі зерттеу жұмысы алгебра саласында. Ашқан жаңалығы «Ли алгебрасы» деп аталады.

Оқушылардың математикаға қызығушылығы ерте ояту, өз бетінше шығармашылықпен жұмыс істеуге баулу үшін математика үйірмесі сабақтарында жастайынан математикаға қабілетті болған математиктер туралы да әңгімелеудің тигізер әсері мол.

Мысалы, 36 жасында КСРО ғылым Академиясының мүшесі болып сайланған орыс математигі А.Н.Колмогоров 5 жасында

т.с.с. заңдылығының орындалатынын байқаған. Мектепке бармай тұрып, өз үйіндегі жекеше мектепте шығарылып тұрған «Көктем қарлығаштары» атты журналға өзі құрастырған есептерін жаздырып тұрған. Жеті жасында Москвадағы жекеменшік гимназияға оқуға барады. Гимназияда оқып жүріп 17 жасында өзінің алғашқы ғылыми баяндамасын жасайды. Осы жылы Москва университетінің математика факултетеріне емтихансыз, ал Менделеев атындағы институттың металлургия факултетіне математикадан емтихан тапсырып оқуға түседі. Оқудың алғашқы айларында-ақ университеттің 1-курсындағы емтихандарды толық тапсырып қояды. Университетте оқи жүріп, осында математика мен физикадан мұғалімдік қызмет атқарады. 18 жасында алғашқы атақты ғылыми жұмысын, 19 жасында екінші ғылыми еңбегінде жазады.

Г.В.Лейбниц 1646 жылы Германиядағы Лейпциг қаласында дүниеге келді. Аса зерек Готфрид 6 жасында университет профессоры-әкесімен тарих жөнінде келелі әңгімелер шертісетін болған. 12 жасында латын тілін еркін меңгеріп, грек тілін үйренуге кіріседі. 14 жасқа келгенде адам ойының әліпесі – логика ғылымы туралы небір қызықты да құнды ойлар жайлы өз бетімен толғана бастайды. Г.В.Лейбниц 14 жасынан бастап университет дәрістеріне қатысқан.

Лейбництің ғылымға қосқан үлестерінің кебірі:

1) Ойлау заңдары туралы ілім-логикаға тұңғыш рет математиканы жақындастырады.

2) Б.Паскальдың арифмометрін жетілдіре түседі.

3) Сандардың екілік жүйесін ашады.

4) Қазіргі математиканың ең сүбелі деген бөлімі боп саналатын математикалық анализдің негізін қалаушы екі ғалымның бірі де Лейбниц (екіншісі – Исаак Ньютон).

Джорж Буль Ирландияның Линкольн деген қаласында етікшінің отбасына 1815 жылы туған. Джорждың мектептен алған бар білімі бастауыш мектеп көлемінде ғана. Біраз уақыт сауда-саттық училищесінде оқығаны бар.

Математиканы, Аристотель мен Лейбництің еңбектерін Джорж Буль тек өз бетімен оқып үйренеді.

Аса дарынды Дж.Буль математикалық ғылымдарды оқып үйренуді ғана місе тұтпай, бұл салада өзінің тың үлестерін қосуға үнемі талпыныс жасайды. Сондағы туындыларының ішіндегі ең айтулысы – «Ойлау заңдары» деген еңбегі. Дж.Бульдың асқан дарыны, математикалық еңбектері өз заманында – ақ зор бағаланады.

Арнайы алған орта не жоғары білімі, немесе ғылыми дәрежесі жоқтығына қарамастан, оның университет профессоры боп тағайындалуы замандас ғалымдар қауымы тарапынан оған деген зор ілтипатты танытса керек.

Қазіргі «Математикалық логика» ғылымының түп негізі «Буль алгебрасында» жатыр.

Көрнекті армян математигі С.Н.Мергелянды да оқушы жастарға үлгі ретінде таныстыруға болады. Оның математикаға қабілеті бастауыш сыныптарда оқып жүргенде байқалады. 8-сыныпта оқып жүріп 10-сыныптың оқушыларының олимпиадасына қатынасып, тапсырмаларды олардың барлығынан бұрын орындап шығады. Бір оқу жылы ішінде 8,9,10 сыныптардың (қазіргі 9,10,11-сыныптар) емтиханын бірден тапсырады. 16 жасында Ереван университетіне оқуға түсіп, бес жылдық оқуды үш жылда бітіреді. Студент бола жүріп, аспирантурада оқиды. 25 жасында ғылым докторы атағын алып, Ереван университетінің профессоры болады.

Математика үйірмесі сабақтарында тарихи материалдарды жай ғана әңгімелеп бермей, бағдарламалық материалдармен үйлестіріп, білім беру және тәрбиелеу мақсатында қолданған орынды болады. Алынған тарихи материал көлемі тым көп болмағаны дұрыс, яғни математикалық сабақты тарих сабағына айналдыруға болмайды. Тарихи-математикалық материалдарды қолданудағы басты мақсаттың оқушының математикалық біліктілігін арттырумен қатар, математикаға деген қызығушылықты тудырып, оны терең түсінуге ықпал етуі тиіс.

Оқушылар өздерінің математикалық қабілеттерін математикалық үйірмелерде анық байқай алады. Математикалық үйірмелерде сонымен қатар математиканың жаратылыстану мен техникада қолданылу жолдарымен және ғылымның күрделі математикалық мәселелерді шешу әдістерімен жақынырақ таныса алады.

2.3 Математикалық олимпиадалар

Математикалық олимпиада – математикалық дайындығы жоғары оқушылардың арасында есеп шығарудан өткізілетін жарыс.

Олимпиадалық ойындар жарысы осыдан 28 ғасыр бұрын көне Грециядағы Олимп қаласында батылдық пен жүйріктік және күш сынасудан өткізілетін болатын. Алғашқы олимпиадалық жарыс б.д.д. 776 жылы басталып, әрбір 1417 күннен соң, яғни төрт жылда бір рет б.д.д. 394 жылға дейін жүйелі өткізіліп келді. Осыдан кейін христиандық ағымның жерімен орнатылған жарыс 1896 жылдан бастап қайта жалғастырылды.

Бұл жарыстар спорттық жарыстар болса оқушылардың арасындағы есеп шығару жарыстары да осы кездері қолға алына бастады. Ең алғашқы математикалық олимпиада 1894 жылы Венгрияда, осы елдің физика-математика қоғамының шешімімен (қоғам президенті белгілі физик Лоренц Этвеги) гимназиялардың бітірушілерінің арасында өткізілді. КСРО-да алғашқы математикалық олимпиада 1934 жылы Ленинградта, 1935 жылы Москвада өткізілді. 1960 жылы қабылдаған олимпиада өткізудің ережесі бойынша жарыс: мектептік, аудандық, облыстық және қорытынды турлардан тұрды. 1967 жылдан бастап Бүкілодақтық математикалық олимпиада өткізіле бастады.

1959 жылдың 23-31 шілдесі аралығында Румынияда І халықаралық математикалық олимпиада болды. Қазақстанда ең бірінші Республикалық математикалық олимпиада 1963 жылы Алматыда өтті. Оңтүстік Қазақстан облысы (сол кездегі Шымкент облысы) бойынша алғашқы математикалық олимпиада 1962 жылы өткізілді. Еліміздің тәуелсіздікке қол жеткізуіне байланысты 1993 жылдан бастап Қазақстан командасы Халықаралық математикалық олимпиада қатысуға мүмкіндік туды.

Соның ішіндегі 2001 жылы Вашингтон қаласында өткен халықаралық математикалық олимпиада қорытындысын мысалға келтіруге болады. 82 елдің командасы қатысқан осы жарыста біздің жас математиктер Қытай, Ресей және АҚШ командаларынан кейінгі 4-орынды иеленді. Осы олимпиадаға қатысқан 6 оқушының 4-еуі алтын (Ә.Алдоңғаров, Б.Бектеміров, И.Ганиев, А.Жұмакешов), 1-еуі күміс (С.Ументаев) медальға ие болды.

Математикалық олимпиадалар өткізудің мақсаты мен міндеттері. Математикалық олимпиадалары өткізудің басты мақсаттарының бірі оқушылардың математикаға қызығушылығын ояту, дамыту, оқушыларды математика үйірмесіне қатысуға тарту. Оқушылардың әсіресе төменгі сыныптарда өз қатарластармен стандартты емес есептерді шешуден жарысқа түсуге қызығушылығы жоғары болады. Өздерінің математикалық біліктіліктерін, есеп шығара алу мүмкіндіктерін байқай алуы үшін олимпиадаға жақсы оқитын оқушылармен бірге үлгерімі орташа оқушылардың қатысуына мүмкіндік берген жөн. Жарысқа қатысуға деген жай құмарлық баланың жасы өскен сайын, өзіне сенімділігі артып, нағыз қызығушылыққа ұласады.

Математиканың сыныптық сабақтарында көбіне белгілі бір тақырыпқа қатысты есептер шығарылатын болса, олимпиадада бұл қалып өзгереді. Олимпиада тапсырмаларына енгізілетін есептердің мазмұнының әр түрлілігі сабақта нашар оқып жүрген кейбір оқушылардың белгілі бір есептің түрін шешуге қабілеттілігін айқындауы мүмкін. Кейбір ойы ұшқыр, өзіндік ерекшелігі бар балалар бұндайда әдеттегі озат оқып жүрген оқушылардың ойына келмейтін тапқырлықтарымен көрініп жатады. Бұндай оқушылар олимпиададан кейін математикамен шындап айналыса бастайтын болады. Мұғалім осы кезеңді қалт жібермей оқушымен сабақ үстінде де, сыныптан тыс жұмыстарда жеке айналысқаны жөн. Оқушының қызығушылығын тудырған есептерге ұқсас, қиындығы жоғары есептерді беріп, өз бетінше оқуға қосымша әдебиеттерді ұсынып отырғаны дұрыс.

Кез келген оқушы математикалық олимпиаданың тапсырмаларын толық орындауға ұмтылатыны анық. Осындай қызығушылық пайда болып тұрған кезде, математика үйірмесі сабақтарында оқушыларды олимпиадалық есептерді шығарумен айналыстыру тиімді болады.

Оқушыларды математикалық олимпиадаға ерте бастан және жүйелі түрде дайындау керек. Егер дайындық нашар болса, оқушының олимпиададағы жұмыс нәтижесі төмен болады. Математикалық жарыстағы жеңіліс оқушының ынтасын төмендетуі мүмкін. Мұндай жағдайды болдырмау үшін оқушылардың жас ерекшеліктерін және білім дәрежесін ескере отырып мұғалім дайындық есептерін құрастырып отырады.

Олимпиада қорытындысы жеңіске жету үшін оқушы есепті ең тиімді тәсілмен шешуге ұмтылады. Есептің шығарылуын талдай білуге жаттығады. Көрсетілген әдебиеттермен жұмыс істейді.

Математикалық олимпиадаға дайындықты жетілдіре түсу үшін алғашқы кезде арнайы тұстақталарға бұрынғы олимпиадаларда қарастырылған есептер мен жаттығулардың мәтіндері ілініп қойылады және сол тапсырмалар бойынша талдау сабақтары өткізіледі.

Математикалық олимпиадалардың кезең-кезеңмен өткізілуі оқушылардың арасындағы математикаға қызығушы және математикалық қабілеті жоғары, қабілеті бар оқушыларды анықтауға мүмкіндік береді. Олимпиаданы жүйелі өткізу және оған қатысушы оқушылар санын арттыра түсу, одан жақсы нәтижелерге қол жеткізу олимпиаданы өткізудің мақсаты мен міндеттерінің орындалуының көрсеткіші болып табылады.

Мектептегі оқыту үдерісінің міндеттерінің бірі оқушылардың келешектегі кәсібін, мамандығын таңдауға бағыт беру, көмектесу. Осы мәселені шешуге математика пәні мұғалімдері де белсенді қатысады. Мектепте өткізілетін математикалық олимпиадалар осы мақсаттағы жұмыстардың құрамына кіреді. Математикалық жарыстарға қатыса отырып оқушы өзінің математикаға қызығушылығын қалыптастырады, сол арқылы математиканың өзінің болашақ мамандығына қатыстылығын ұғына бастайды. Көптеген көрнекті математиктердің осы мамандықты таңдауына математикалық олимпиададағы жетістіктерінің жолбасшы болғанын мысалға келтіруге болады.

Оқушылар арасындағы математикалық олимпиадаларды ұйымдастырып өткізу, басқа да математикалық сыныптан тыс жұмыстарды жүргізу сонымен қатар мектептің математика пәні мұғалімдерінің өздерінің кәсіптік біліктілігінің көтерілуіне, шеберліктерінің шыңдалуына көп әсерін тигізеді. Өйткені оқушыларды математикалық олимпиадаларға дайындау, олимпиада тапсырмаларын құрастыру, олардың шешу жолдарын іздестіру жұмыстарын атқара отырып мұғалім математиканың мектептік бағдарламасынан тыс материалдарды оқып білуіне, жаңа математикалық әдебиеттерді оқып танысуына тура келеді. Математикалық үйірме жұмыстарын жүргізу, оқушыларды математикалық олимпиадаға дайындау, математикалық олимпиадалар үшін тапсырмаларды дайындау жұмыстары математика мұғалімінен жоғары біліктілікті, әдіскерлік шеберлікті талап етеді. Олимпиадаға дайындық сабақтарында қарастырылатын есептерді шешу үшін оқушылардың мектептік бағдарламадағы білімдерін толықтыруға, тіпті бағдарламадан тыс мәселелерді қарастыруға тура келеді. Бұл жұмыстар мұғалімнің жауапкершілігін шыңдай түседі.

Мектепте өткізілетін математикалық олимпиаданың өзін бір оқу жылында 2-3 рет өткізген орынды. Бұл оқушылардың дайындық деңгейін жақсартады, олимпиаданың келесі кезеңдеріне (қалалық, аудандық) жоғары шеберлікпен баруға жол ашады.

Мектепте өткізілген әрбір турдан кейін оның қорытындысы жан-жақты талқылануы тиіс. Оны бірнеше тәсілмен жүргізуге болады. Математика үйірмесі сабақтарында тапсырмалардың орындалуындағы кемшіліктер мен жетістіктер талданады. Осының нәтижесінде арнайы бюллетень шығарылып, оны мектептің барлық оқушыларының оқып, танысуына мүмкіндік жасалады. Оқушылардың жұмыс нәтижесі арнайы хаттамаға түсіріліп, тұстақталарға ілінеді. Ал мектепішілік қорытынды олимпиаданың қорытындысы бойынша жеңімпаз оқушылар мен ерекше көрсеткіштерге қол жеткізген оқушылар мектеп әкімшілігі тарапынан марапатталады.

Математикалық олимпиадаларды өткізу қағидаттары

Біздің елімізде математикалық олимпиадаларды өткізудің төрт кезеңі қарастырылған:

Бірінші кезең – мектептік (20 қарашаға дейін);

Екінші кезең – аудандық, қалалық (15 желтоқсанға дейін);

Үшінші кезең – облыстық (қаңтар айында);

Төртінші кезең – республикалық (наурыз айында) .

Мектепте өткізілетін олимпиада қорытындысы бойынша 9-11 сынып оқушылары арасынан жеңімпаз болып табылған оқушылардан аудандық олимпиадаға қатысатын оқушылар командасы құрылады.

Математикалық олимпиадаларды табысты, нәтижелі өткізу үшін алдымен мына шарттардың орындалуы тиіс:

1. математика пәні бойынша сыныптан тыс жұмыстардың барлық түрін жыл бойына жүйелі жүргізу;

2. математикалық мектепішілік олимпиадаларын жүйелі жүргізілуін қамтамасыз ету;

3. әрбір олимпиаданың өткізілуіне жауапкершілікті, мазмұнды дайындық жұмыстарын жасау;

4. олимпиаданы өткізу талапқа сай ұйымдастыру;

5. олимпиада тапсырмаларының қызғылықты, мазмұнды болуы.

Барлық кезеңдегі олимпиадаларды өткізер алдында оған дайындық жұмыстары жүргізіледі. Сондықтан әрбір мектепте барлық сыныптар бойынша сыныптан тыс математикалық үйірме жұмыстары жүргізіледі. Олимпиаданың аудандық және одан кейінгі кезеңдеріне дайындық жұмыстары аудандық әдістемелік кабинет жанында немесе жоғарғы оқу орындарында ұйымдастырылуы мүмкін.

Облыстық олимпиадаға аудандық олимпиада жеңімпаздарынан құрылған 9-11 сынып оқушыларының командалары қатысады. Алматы және Астана қаласының, темір жол басқармасы мектептерінің, сонымен қатар республикалық дәрежедегі мектептер олимпиадалары, мәртебесі жөнінен облыстық олимпиадаға теңестіріледі.

Математикалық олимпиаданың әрбір кезеңін өткізу үшін ұйымдастыру комитеті мен қазылар алқасы құрылады. Олар олимпиаданы өткізудің барлық дайындық жұмыстарын ұйымдастырады, олимпиаданы өткізуге арналған тапсырмаларды дайындайды, жарыс соңында қатысушылардың жұмыстарын тексереді, жеңімпаздарды анықтайды және оларды марапаттау шараларын атқарады.

Мектепішілік математикалық олимпиадаға ұсынылатын тапсырмаларды осында құрылған қазылар алқасы құрастырады. Ал аудандық олимпиада тапсырмаларын облыстық ұйымдастыру комитеті жіберген есептерден құрастыруға болады. Қажеттілігі болып жатса, ол тапсырмалардың кейбірін аудандық қазылар алқасы өздері құрастырған есептермен ауыстыруына болады. Облыстық математикалық олимпиаданың тапсырмаларын республикалық ұйымдастыру комитеті мен математикалық олимпиаданы өткізуші орталық әдістемелік комиссия дайындайды. Әрине, қажетіне қарай, бұған облыстық ұйымдастыру комитетінің ішінара өзгеріс енгізуіне рұқсат етіледі.

Мектептегі математикалық олимпиаданың әрбір турына есеп құрастырғанда мына қағидаттарды сақтаған дұрыс болады. Жарыс үшін таңдалып алынған 5 есептің 1-2 есебі оқушылардың көпшілігі шығара алатындай қиындықта болғаны жөн. Бұл есептерді ағымдағы бақылау жұмыстарында қарастырылатын күрделірек есептер деңгейінде алуға болады. Осындай есептерді шығара алуы оқушылардың өз біліміне, мүмкіндігіне деген сенімін арттырады, математиканы игеруге болатындығына үміт арттырады. Осыдан соң марапатқа ие бола алмаса да көңілі ортаймайды, шығара алмаған есептерінің шешімін табу жолындағы ізденісін жалғастыра түседі. Ал 2-3 есептің қиындығы жоғары болып келгені дұрыс. Бұндай есептерді жарысқа қатысушылардың барлығы бірдей шығара бермейді. Дегенмен қиындығы жоғары бір есепті тиімді тәсілмен шығара білген оқушының еңбегі аталып, марапатталғаны дұрыс. Ең соңындағы 1-2 тапсырма өзіндік ерекшелігі бар есептерден құралады. Бұл есептер оқушылардан ерекше біліктілікті, жоғары дайындықты, жан-жақты математикалық ойлау қабілетін талап етеді. Оны шешу үшін оқушы стандартты емес есептерді шешуге жан-жақты жаттыққан, математикалық епсекті, икемді болуы тиіс. Бұл тапсырма негізінен жарысқа қатысқан оқушылардың ішінен ең қабілетті, дайындығы жоғары оқушыны анықтап алуға көмектеседі.

Мектепішілік математикалық олимпиада қорытындысы бойынша әсіресе 5-6, 7-9 сынып оқушыларының сәл де болса қол жеткізген жетістігін атап көрсеткен орынды. Дегенмен, әрбір сыныптың ең болмағанда бір оқушысын бірінші жүлдемен марапаттау міндетті деген ұстаным да оқушылар арасында жақсы жағдай қалыптастыра бермейді. Әрбір марапат оқушының еңбегіне, біліктілік деңгейіне сай болғаны дұрыс.

Математикалық олимпиаданың қорытындысы мектептің математика пәні мұғалімдерінің жұмысының нәтижесін де айқындайды. Аудандық олимпиададағы оқушылар көрсеткіштері мектептегі математика пәнінің оқытылу деңгейі туралы мағлұмат беретін болады. Олимпиадалық жұмысқа талдау жасай отырып оқушы біліктілігіндегі олқылықтарды да байқауға болады.

Математикалық олимпиадалардың әрбір турынан соң қазылар алқасы жарыс қорытындысы бойынша құжат толтырады. Сонда олимпиаданың қайда, қай кезеңде, қай сынып оқушыларымен өткізілгені көрсетіледі. Мағлұматтар мына бағандарға жазылады: 1) Қатар саны; 2) оқушының тегі, аты; 3) мектебі; 4) әрбір есеп бойынша алған ұпайлары саны; 5) жалпы ұпай саны; 6) қандай орын, марапат берілді; 7) қандай ұсыным жасалды; 8) пән мұғалімінің тегі, аты.

Құжатқа қазылар алқасының төрағасы мен мүшелері қол қояды. Бұдан осы олимпиадаға ұсынылған тапсырмалар (есептер), олимпиаданың келесі кезеңіне қатысатын оқушылардың тізімі, олардың осы турдағы орындаған жұмыстары қоса тіркеледі.

Математикалық олимпиадаларды өткізу оқушылардың біліктілігін арттырумен қатар, оқушылармен жүргізілетін тәрбие жұмысына да жатады. Осы мақсатта мектепішілік және аудандық олимпиадалар тапсырмаларында, олимпиадаға дайындық кезінде қарастырылған есептер құрамында экономикалық сипаттағы, өндірістің дамуына қатысты мағлұматтарды кірістіріп отыруға болады.

Мектепішілік математикалық олимпиада 5-11 сынып оқушыларымен өткізіледі. Бұл олимпиадаға математика үйірмесіне қатысушы оқушылар және мектептің кез келген, жарысқа қатысқысы келген оқушылары қатыса алады.

Оқушылардың жас ерекшеліктеріне байланысты математикалық олимпиаданы өткізудің түрлерінде әр сыныптарда шамалы өзгерістер болуы мүмкін. Мысалы, 5-6 сынып оқушыларымен өткізілетін олимпиаданың екі түрі болады. Оның бірінші түрін есеп шығарудан командалар арасындағы жарыс, ал екіншісін оқушылар арасындағы есеп шығару байқауы деп атауға болады. Мұның ішіндегі есеп шығару байқауын қысқы каникул кезінде, ал командалар арасындағы жарысты оқу жылының соңына қарай өткізген дұрыс. Ал 7-9 және 10-11 сыныптардағы олимпиада есеп шығару байқауы түрінде өткізіледі.

7 – сынып оқушыларымен өткізілетін олимпиада

7-сынып оқушыларымен өткізілетін олимпиада өзінің мазмұны жөнінен 6-сынып оқушыларымен өткізілетін олимпиададан өзгеше болады. 6-сыныпта математика пәні оқытылса, 7-сыныптан бастап ол алгебра және геометрия пәндеріне бөлініп оқытылады. Дегенмен, оқу жылының бірінші жартысында бұл пәндер бойынша игерген білімдері арқылы аз болғандықтан қысқы олимпиадада осы ерекшелікті ескеру керек болады. Яғни, 7-сыныпта өткізілетін алғашқы олимпиада негізінен 6-сыныпта игерілген және осы оқу жылында математикалық үйірмелерде қарастырылған материалдар негізге алынуы керек.

7-сыныптың алғашқы жартысында өткізілетін есеп шығару байқауына мына мазмұнды есептерді ұсынуға болады. Біз осы жерде олардың шығарылуы туралы да нұсқаулар бере кетпекшіміз.

1. Алдымен себеттегі барлық жұмыртқалардың жартысы алынды. Одан кейін себетте қалған жұмыртқалардың жартысы алынды. Осыдан кейін себетте қалған жұмыртқалардың тағы да жартысы алынды, бұдан соң себеттегі қалдық жұмыртқалардың жартысы алынды, сонда себетте 10 жұмыртқа қалды. Басында себетте қанша жұмыртқа болғанын тап.

Шешуі. Себеттегі барлық жұмыртқаны х деп белгілейік. Бірінші жолы оның жартысы алынады, яғни -бұл себетте қалған жұмыртқа. Одан себетте қалған жұмыртқаның жартысы алынды: -қалған жұмыртқа. Тағы да оның жартысы алынады: . Осы қалдықтан оның жартысын аламыз: . Осы қалдық 10-ға тең, яғни . Бұдан , яғни себеттегі бастапқы жұмыртқа саны 160 екені табылады.

Әрине, бұндай есепті таза логикалық тәсілмен шешетін оқушылар да болады. Есеп шарты бойынша себеттегі жұмыртқа төрт рет екіге бөлінді, сонда себетте қалған жұмыртқа саны 10 болды. Сондықтан қалдық жұмыртқаны төрт рет 2-ге көбейткенде бастапқы жұмыртқа саны табылады. Яғни .

2. Төрт санның қосындысы табу кезінде анық жазбаудың себебінен бірінші санның жүздігіндегі 2 цифры 5 деп, екінші сандағы мыңдық разрядындағы 3 цифры 8 деп, үшінші сандағы бірлік разрядтағы 9 цифры 2 деп, ал төртінші сандағы ондық разрядтағы 7 цифры 4 ретінде алынған. Осының әсерінен қосынды 28975 болып шықты. Қосындыдағы қателікті және шын қосындыны табыңдар.

Шешуі. Қосындыда қаншалықты қате кеткенін табамыз:

Осыдан қосындының шын қосындыдан артып кеткені көрініп тұр. Сондықтан шын қосынды болатыны табылады.

3. теңдеуін шешіңдер.

Шешуі.

.

4. Өрнектің мәнін тап:

.

Шешуі.

.

5. осында келтірілген мысалдарда

әріптермен белгіленген бір таңбалы

сандардың көбейтінділері көрсетілген.

Мұндағы бірдей әріптер бірдей сандарды білдіреді, ал әр түрлі әріптермен әр түрлі сандар белгіленген. Осы әріптермен өрнектелген сандарды табыңдар, оларды табу жолын түсіндіріңдер.

Шешуі. өрнегінен болатыны анықталады. Әрбір әріп бір таңбалы санды өрнектеп тұрғандықтан болады. Онда болғандықтан не болады, ал бола алмайды, бұл есеп шартына қайшы келеді. Есеп шарты бойынша , онда . Дегенмен екені белгілі болады. Онда ал екені табылады. Бұдан болады. болғандықтан теңдігінен болатыны шығады немесе , онда болады.

7-сыныптағы екінші олимпиада оқу жылының соңында өткізіледі. Бұл кезде олимпиада тапсырмалары құрамына 7-сыныпта қарастырылған алгебра және геометрия материалдарына қатысты есептерді толық қамтуға болады. Бұл олимпиаданың командалар арасындағы жарыс түрінде өткізілетініне, олимпиаданы өткізуге арналған уақыттың шектеулі екеніне қарамастан олимпиадаға ұсынылатын есептердің көбіне практикалық мазмұнды болғаны дұрыс. Есептердің басым көпшілігін өрнектерді түрлендіру және геометриялық есептерді шешу тұрғысында қарастыруға болады. Әрине бұл тапсырмалардың құрамында ептілікке берілген есептердің болуы да мүмкін. Дегенмен, бұл жарыс тапсырмаларына орынсыз көп уақытты қажет ететін есептердің орнына, логикалық негіздеуді қажет ететін есептерді қамтыған дұрыс. Командалар арасындағы жарыс түрінде өткізілген олимпиада, байқау түрінде өткен олимпиадаға қарағанда оқушыларды көп қызықтырады, олардың белсенділігін арттыра түседі.

Екінші олимпиадаға ұсынуға болатын тапсырмалардың үлгісін келтірейік.

1. Өрнектердің мәндерін табыңдар.

а) ;

б) .

Шешуі. а) .

Өрнектің мәнін табу үшін алдымен бөлшектерді қысқартып алу тиімді.

.

б) Бұл өрнектің мәнін табуды оңайлату үшін көбейтудің ауыстырымдылық заңын тиімді қолдана білу керек:

.

2. а) Бір ортасында ағайынды екі ұл бар, олардың әрқайсысының екі қарындасы және бір-бірден әкесі болды. Әрбір қызудың бір-бірден жешелері болды. Отбасында барлығы неше адам болды?

б) Сіріңкенің жартыларымен өрнегі жазылды. Бір шырпыны ауыстырып қойып, ақиқат өрнек құрастыр.

Шешуі. а) екі ұл бала, олардың екі қарындасы және әкесі мен жешесі, барлығы алты адам бар.

б) .

3. а)

б) болса, х пен у-ті табыңдар.

Шешуі. а)

.

5) , .

3. Функциялардың графиктерін салыңдар:

а)

б) .

Шешуі: а) , .

Х	0	-4
У	3	-3

б) , , .

Х	0	3
У	4	0

4. а) екімүшесін көбейткіштерге жікте;

б) амалдарды орында және өрнегін көбейткіштерге жікте.

Шешуі: а)

.

5)

.

5. а) Берілген фигураға тең фигураны сал. (Қағазға үшбұрыш немесе төртбұрыш салынған. Столда бұрыштық, сызғыш және циркуль жатыр. Оқушы осы құралдарды пайдаланып, берілген фигураға тең фигураны салуы керек).

б) Тең үшбұрыштарды таңда. Бұл үшбұрыштарды неге тең деп ойлайсың? (Столда нөмірленген бірнеше үшбұрыштар жатыр. Оқушы соның ішіндегі тең үшбұрыштарды табады).

Олимпиадалар үшін қарастырылған бұл тапсырмалар үлгі ретінде беріліп отыр. Жарыс кезінде берілетін есептерді олимпиаданы өткізу үшін арнайы құрылған қазылар алқасы құрастырады және ол тапсырмалар жарыс басталып, оқушыларға берілгенге дейін құпия сақталады.

8-сынып оқушыларымен өткізілетін олимпиада

8-сынып оқушыларымен өткізілетін математикалық олимпиаданы (есептер шығару байқауы) қысқы каникул кезінде, ал есептер шығарудан командалық жарысы оқу жылы соңында өткізген ыңғайлы болады. 7-сыныпта өткізілген алғашқы олимпиадада геометриялық мазмұнды тапсырмалар қарастырылмаған болса, енді оны толық қамтуға болады.

8-сынып оқушыларының геометриялық модельдеуге мүмкіндігі қалыптаса бастайды. Сондықтан математика үйірмесіне қатысатын оқушыларды геометрия курсында оқытылған материалдар бойынша оқушылардың математикалық шығармашылығы көрмесіне қою үшін геометриялық модельдер дайындауға баулу қажет. Ол үшін үйірме сабақтарының бірнешеуін осы мақсаттағы жұмыстарға арнауға болады. Геометриялық модельдер жасау арқылы оқушылар бағдарламалық материалдар бойынша біліктілігін арттырады, геометриялық фигуралардың қасиеттері туралы заңдылықтар естерінде ұзақ сақталатын болады.

Геометриялық модельдеу жұмысына математикалық үлгерімі орташа оқушыларды да таратуға болады. Математикалық көрмеге геометриялық модельдерден басқа да дүниелерді қоюға болады.

8-сынып оқушыларымен өткізілетін олимпиадаға да алдын ала жүйелі дайындық жұмыстарын жүргізу керек. Осы жұмыстарды ұйымдастыруға негізінен 8-сыныптарда сабақ беретін және олармен сыныптан тыс үйірме жұмыстарын жүргізіп жүрген мектептің барлық математика пәні мұғалімдері қатысады.

Енді 8-сынып оқушылары арасында өткізілетін есеп шығару байқауына ұсынуға болатын тапсырмалардың жобасын келтірейік.

1. Теңдеуді шеш:

.

Шешуі.

,

.

2. -рационал сандар жиынындағы кез келген үшін болатынын дәлелде.

Дәлелдеу.

.

3. Биіктігі 5 см, ал бір диагоналы 6 см-ге тең болатын ромб сал.

Салу. Алдымен бір бірінен арақашықтығы 5 см-ге тең екі параллель түзулер жүргіземіз. Оның бірінің бойынан А нүктесін қалауымызша таңдап аламыз. А нүктесін центр етіп алып, радиусы 6 см-ге тең доға жүргіземіз, оның екінші түзумен қиылысу нүктесін С әрпімен белгілейміз. А және С нүктелерін кесіндімен қосамыз. АС кесіндісінің ортасын табамыз, оны О нүктесімен белгілейміз. Осы О нүктесінен өтетін, АС кесіндісіне перпендикуляр түзу жүргіземіз. Осы түзудің берілген түзулермен қиылысу нүктелерін В және Д әріптерімен белгілейміз. Табылған А, В, С және Д нүктелерін кесінділермен қосып АВСД ромбысын саламыз.

4. 99²⁰ және 9999¹⁰ сандарының қайсысы үлкен? Жауабыңды түсіндір.

Шешуі. ,

яғни .

5 .

Шешуі. Көбейтіндінің соңғы цифры 0 болғандықтан бірінші көбейткіштің соңғы цифры 0 не 5 болуы керек. 7 цифры бойынша бірінші көбейткіштің 3 цифрымен басталатынын анықтауға болады. Екінші толымсыз көбейтінді бойынша екінші көбейткіштің екінші цифры 1 екені анықталады, яғни екінші көбейткіш 412 деген сөз. Олай болса, есептің екі шешімі табылады: 1) бірінші көбейткіш - 385, екінші көбейткіш 412, көбейтінді – 158620; 2) бірінші көбейткіш 380, көбейтінді – 156560.

Оқу жылы соңында өткізілетін командалар арасындағы жарысқа ұсынылатын тапсырмалардың үлгісін көрсетейік.

1. Есепте: а) ; б) .

Шешуі: а)

.

б) .

2. Бөлшектерді қысқарт:

а) б) .

Шешуі: а) ,

немесе .

.

. Көбейткіштерге жіктелген өрнектерді орнына қойып, бөлшектерді қысқартамыз:

.

б)

.

3. Теңдеулер жүйесін графиктік тәсілмен шеш:

Шешуі. Жүйедегі теңдеулерді түрлендіреміз, шыққан функциялардың графиктерін бір координаталар жүйесіне саламыз, олардың қиылысу нүктелерін тауып жүйенің шешімдерін табамыз:

Сонымен теңдеулер жүйесінің (0; 0) және (6; 6) деген екі шешімі табылды.

4. теңсіздігін шеш.

Шешуі.

Енді теңсіздіктің сол жағындағы функцияның таңба тұрақтылығы аралықтарын анықтаймыз. Ол үшін интервалдар әдісін қолданамыз

Осы жерден теңсіздіктің шешімі болатыны табылады.

5. Берілген тік төртбұрышқа тең шамалы квадрат сал. (Берілген параққа тік төртбұрыштың сызбасы салынған. Сан оны циркульмен өлшей аласың).

С алу. Квадраттың қабырғасы х болсын. Сонда оның ауданы х² болады. Ал қабырғаларының ұзындығы және болатын тік төртбұрыштың ауданы болатыны белгілі. Тік төртбұрыш пен квадрат тең шамалы болу шартынан , яғни шығады. Ұзындығы кесіндіні және қабырғасы х-ке тең квадратты салу жолы сызбада көрсетіліп отыр. Оны таратып

айтсақ, салу былай орындалады. Алдымен жазықтықта кез келген түзу жүргіземіз. Оның бойына А нүктесін белгілеп, осы нүктеден бастап ұзындығы -ға тең АС кесіндісін, осы С нүктесінен бастап ұзындығы -ға тең СЕ кесіндісін саламыз. Енді АЕ кесіндісінің ортасындағы О нүктесін табамыз. Радиусы АО-ға тең, центрі О нүктесінде болатын доға сызамыз. С нүктесінен өтетін АЕ кесіндісіне перпендикуляр түзу жүргіземіз. Осы перпендикулярдың доғамен қиылысу нүктесін саламыз. КС-ны қабырға етіп квадратын саламыз.

9-сынып оқушыларымен өткізілетін олимпиада

9-сынып оқушылары арасында өткізілетін олимпиада тапсырмалары 8-сыныптың бағдарламалық материалдары және сыныптан тыс үйірме сабақтарында қарастырылған тақырыптар ескеріле отырылып құрастырылады. 9-сыныптың оқушылары да оқушылардың шығармашылық жұмыстары көрмесіне белсенді қатысады. Сондықтан 9-сынып оқушыларын олимпиадаға дейінгі дайындық жұмыстарына жұмылдыра білудің мәні зор. Осы кезде олимпиада кезінде пайдаланылатын дидактикалық материалдар мен көптеген есептердің мазмұнына қатысты сызбаларды салдыру оқушының біліктілігін арттыру үшін де, математика кабинетінің материалдық базасын толықтыра түсу тұрғысынан да тиімді іс болып шығады.

Қысқы каникул кезінде 9-сынып оқушыларымен өткізілетін есептер шешу байқауына мына үлгідегі есептерді ұсынуға болады.

1. Теңдеуді шешіңдер: .

Шешуі. Шаманың модулы ұғымының анықтамасын пайдалансақ, бізге мына екі теңдеуді қарастыруға тура келеді:

1) 2) . Енді осы теңдеулерді шешеміз. 1) . . 2) , , .

Яғни теңдеудің шешімдері: .

2. теңдеулері жүйесінің шешімін табыңдар.

Шешу. Жүйені шешу жаңа белгілеулер енгізіп аламыз: Сонында берілген теңдеулер жүйесі мына түрге ауысады:

Теңдеулер жүйесін шешудің алгебралық қосу тәсілін қолданамыз:

Осындағы теңдеуін шешіп және мәндерін табамыз. Онда мәндері табылады. Енді

1) 2) теңдеулер жүйелерін шешу қалады. Оларды шешкенде бірінші жүйенің нақты сандар жиынында шешімі болмайтыны анықталады. Екінші жүйеден , ал екені табылады. Яғни, жүйенің шешімдері (2; 3) және (3; 2) болады.

3. теңсіздіктерінің шешімдері қандай фигураны құрайды. Жауаптарыңды түсіндіріңдер.

Шешуі. Алдымен радиусы 4-ке тең шеңбер мен түзуін саламыз.

теңсіздігінің шешімі радиусы 4-ке тең дөңгелек болып табылады. Ал теңсіздігінің шешімі түзуі бас түзуі болатын, түзуінің жоғарғы жағында жатқан жарты жазықтық. Осы жарты жазықтық пен дөңгелектің қиылысуы – дөңгелектің сегменті – теңсіздіктер жүйесінің шешімі болып табылады. Ол сегмент суретте екі қайтара штрихталып көрсетіліп отыр.

4. Алғашқы үш мүшесінің қосындысы 10,5-ке, ал бірінші және төртінші мүшелірінің айырмасы 31,5-ке тең болатын геометриялық прогрессияның бірінші мүшесі мен еселігін табыңдар.

Шешуі. Есептегі берілгендері бойынша мынадай теңдеулер жүйелерін құрамыз:

немесе бұдан

Осындағы екінші теңдеуді бірінші теңдеуге мүшелеп бөлсек, , яғни екені табылады. -дің мәнін теңдеуіне қойып екенін табамыз.

5. 9-сыныпта 40 оқушы оқиды. Оның әрқайсысы кем дегенде ағылшын, неміс және француз тілдерінің бірін оқиды. 34 оқушы ең болмағанда ағылшын, неміс тілдерінің бірін оқиды. 25 оқушы ең болмағанда неміс, француз тілдерінің бірін оқиды. 6 оқушы тек неміс тілін оқиды. Ағылшын және неміс тілдерін қатарынан оқитын оқушылар саны. Француз және неміс тілдерін қатарынан оқитын оқушылардан 3-ке артық. Қанша оқушы тек қай бір тілдерді оқиды, қанша оқушы қандай екі тілді қатар оқиды.

Шешу. Есепті шешу үшін мынадай сызба дайындап алайық

Сызбадан тек француз тілін оқитын оқушы екені табылады. Онда неміс тілін оқитындардын жалпы саны екені табылады. Тек неміс тілін оқитындардың саны 6 екені белгілі. Онда неміс және ағылшын немесе неміс және француз тілін оқитындар болып шығады. Француз және неміс тілін оқитындарға қарағанда ағылшын және неміс тілін оқитындардың үшеуі артық болатын. Онда табылады. Яғни неміс және француз тілдерін қатар оқитын оқушылар 5, ал ағылшын және неміс тілдерін қатар оқитындар 8 болғаны. Онда 15 оқушы тек ағылшын тілін оқитын болып шығады.

9-сынып оқушылары жоғары сыныпқа жақын, сондықтан оқу жылы соңындағы олимпиадаға күрделірек есептерді таңдауға болады. Соның кейбір үлгілерін келтірейік.

1. Есептеңдер. а)

б) , мұндағы .

Шешуі.

а)

б)

.

2. 3,7(51) санын жай бөлшек түрінде жазыңдар.

Шешуі.

.

Мұнда қосындысы бірінші мүшесі 1-ге тең, еселігі болатын шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысы. Олай болса, шектеусіз кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысының формуласын қолданып қосындыны табамыз:

.

Сондықтан .

3. Автотұрақта барлығы 75 автомашина мен мотоциклдер тұрды. Мотоциклдердің үшеуінің коляскасы бар, қалғандары коляскасыз. Автотұрақта тұрған көліктердің барлығының дөңгелегі 259. Автотұрақта тұрған автомашина мен коляскасыз мотоциклдердің санын табыңдар.

Шешуі. автомашиналардың санын х-пен, коляскасыз мотоциклдердің санын у-пен белгілеп алайық. Онда немесе болады. Дәл осы сияқты , яғни теңдеулер жүйесі шығады. Оны шешіп екенін табамыз. Яғни автотұрақта 53 автомашина, 19 коляскасыз, 3 коляскалы мотоцикл тұрған болып шығады.

4. және арифметикалық прогрессияның қатар тұрған мүшелері, ал және сандары геометриялық прогрессияның қатар тұрған мүшелері. Осындағы х пен у сандарын табыңдар.

Шешуі. Арифметикалық және геометриялық прогрессиялардың қасиеттері бойынша,

теңдеулер жүйесін құрамыз.

Осындағы бірінші теңдеуді түрлендіре отырып, қатысып табамыз. х-тің осы мәнін екінші теңдеуге қойып мынаны анықтаймыз:

,

.

Егер модул таңбасы ішіндегі тұрған өрнектердің екеуі де оң таңбалы, не теріс таңбалы болса, онда болады. Бұдан табылады. Онда болғаны.

Егер модул таңбасындағы өрнектер әр түрлі таңбалы болса, онда , бұдан немесе табылады.

Тексеріп көру арқылы мәндері есептің шартын қанағаттандыратынын анықтаймыз.

5. Функциялардың графиктерін салыңдар:

а) б) .

Салу. а)

Оқушылардың сыныптан тыс жұмыстары кезінде мектептік бағдарламалық материалдарды толықтыра қарастыруы олардың олимпиадалық тапсырмаларды жақсы орындауына мүмкіндік береді. Олимпиадалық есептерді жеңіл шығара алуы үшін оқушы алдымен осы есепке қатысты математикалық ұғымдарды дұрыс түсініп, ұғымдар арасындағы қатысты, байланысты анықтай алуы керек. Оқушының математика пәні бойынша білімінің сапасы математикалық ұғымдар жүйесін меңгеру дәрежесіне байланысты болады.

Мысалы, трапеция ұғымы және оның түрлері туралы мағлұматтар қазіргі геометрия оқулықтарында оқушыларға жеткілікті түсіндірілмей жүр. Осының әсерінен олимпиадаға ұсынылған мына есепті шығаруда көпшілік оқушылардың қиналғаны айтылады. Есеп. «Трапецияның кіші табанына іргелес бұрыштардың қосындысы үлкен табанына іргелес бұрыштардың қосындысынан артық екенін дәлелдеңдер».

Қазіргі геометрия оқулықтарында трапецияның мына түрлері ғана қарастырылады. Сондықтан оқушылар осы трапециялар

үшін ғана талдау жасайды. а) жағдайда кіші және үлкен табандарындағы бір-бір бұрыш тік бұрыштар, ал қалған бұрыштардың кіші табандағысы доғал, ал үлкен табандағысы сүйір, сондықтан есеп талабы дәлелденді деп көрсетеді. Ал ә) және б) жағдайларында кіші табандағы екі бұрыш та доғал, ал үлкен табандағы бұрыштар сүйір. Олай болса, екі доғал бұрыштың қосындысы әрине екі сүйір бұрыштық қосындысынан артық болады деп қорытынды шығару қиындық туғызбайды. Бірақ бұл жерде оқушылар доғал бұрышты трапецияның болатынын оқып білмегендіктен оны қарастырмайды. Бұл есептің толық шығарылмағандығын көрсетеді. Егер оқулықтарда трапецияның төрт түрі болатыны туралы айтылғанда, онда оқушылар бұл есепті шешудің бұдан басқа тәсілін қарастырған болар еді.

Енді осы есепті толық шешудің жолын көрсетейік.

Трапецияның бүйір қабырғаларын қиылысқанша созамыз. Үшбұрыштың сыртқы бұрышының қасиеті бойынша ВСЕ үшбұырышының сыртқы бұрыштары

.

Оларды мүшелеп қоссақ, болады. Мұндағы , сондықтан екені анықталады. Яғни, тұжырым дәлелденді.

Осы жерде көріп отырғанымыздай трапеция ұғымын оның түрлерін толық білетін 8-сынып оқушысына бұл есепті шығару ешбір қиындық туғызбайды.

Мектептің геометрия оқулықтарында айтылмай жүрген осы мағлұматтарды сыныптан тыс үйірме сабақтарында оқушыларға түсіндіре кетсе болғаны. Трапеция мына түрлерге жіктеледі:

Сыныптан тыс үйірме сабақтарында трапецияны түрлерге жіктеумен қатар оның қарапайым және өте маңызды қасиеттерін де қосымша оқытуға болады. «Трапецияның табандарының қосындысы оның диагональдарының трапецияның үлкен табаны жатқан түзуге түсірілген проекцияларының қосындысына немесе айырмасына тең болады» деген қасиеті мен одан шығатын «Тең бүйірлі трапецияның орта сызығы оның диагоналының үлкен табанға түсірілген проекциясына тең болады» деген салдарды тиімді қолдана алатын оқушы көптеген қиындығы жоғары есептерді өте жеңіл тәсілдермен шығара алатын болады. Оған нақтылы мысалдар келтіру үшін осы қасиеттерді өрнек түрінде жазып алайық.

(1), мұндағы және трапецияның табандары, ал мен - трапецияның және диагональдарының оның үлкен табан жатқан түзуге түсірілген проекциялары. Тең бүйірлі трапецияның диагональдары тең болатындықтан олардың проекциялары да тең болады. Яғни (1) теңдіктен яғни (2) қасиеті белгілі болады. Трапецияның ауданы (3) формуласымен есептелетіні белгілі. Осындағы -нің мәнін (3) теңдікке қойып тең бүйірлі трапецияның ауданын табатын формула табылады: (4), мұндағы -трапецияның диагональының үлкен табанға түсірілген проекциясы, -трапецияның биіктігі.

Бір жылдары облыстық математикалық олимпиадаға 8-сынып оқушыларына «Диагоналы -ға, ал биіктігі -қа тең бүйірлі трапецияның ауданын табыңдар» мазмұнды есеп берілгенін көрдік. Әрине, бұл есеп 8-сынып оқушылары үшін қиындығы жоғары есеп ретінде ұсынылғанын байқаймыз. Дегенмен, «Тең бүйірлі трапецияның ауданы оның диагоналының үлкен табанға түсірілген проекциясы мен биіктігінің көбейтіндісіне тең болатынын» қосымша оқып білген кез келген 8-сынып оқушысы бұл есепті еш қиналмай шығара алатынын көріп жүрміз:

АВСД-тең бүйірлі трапеция.

Табатынымыз: .

Шешуі. -тік бұрышты

үшбұрыш. Осындағы

, яғни .

Осы мәндерді (4) формулаға қойып болатынын табамыз.

Сыныптан тыс үйірме жұмысында трапецияның ауданын табуға арналған формуласының болатынын оқып үйренген 8-9 сыныптың оқушылары кейбір халықаралық олимпиада есептерін шығара алатыны айтылып жүр. Шынында да 1980 жылы сол кездегі 4ССР-де өткен олимпиадаға «Тең бүйірлі трапецияның ең үлкен қабырғасы 13-ке, ал периметрі 28-ге тең. Трапецияның ауданы 27-ге тең болса, оның қабырғаларын табыңдар» мазмұнындағы есеп ұсынылады. Ол есепті шешудің мына тәсілі 8-9 сынып оқушыларына оншалықты қиындық туғызбайды.

Шешуі. Есеп шартындағы ең үлкен қабырға АД деп аламыз. Олай болмай, деп қарастыратын болсақ, есеп шарты бойынша теңдігінен немесе болады. Сонда жоғарыда дәлелденген орта сызығы диагоналының үлкен табанға түсірілген проекциясы -ге тең деген қасиет бойынша болып шығады. Бұндағы болғандықтан, трапецияның ауданы , яғни болып, есеп шартына сәйкес келмей қалады. Сондықтан ең үлкен қабырға деп, ал деп ұйғарамыз. Тең бүйірлі трапециядағы болғандықтан, теңдігі табылады. Бұдан , ал , яғни екені табылады. Тік бұрышты АВЕ үшбұрышынан , яғни мәні табылады.

Осы мәндерді тең бүйірлі трапецияның ауданын табатын (4) формулаға қойып, теңдеуін шығарып аламыз. Соны шешкенде болатыны табылады, яғни болғаны. Егер екенін ескерсек, онда екені табылады.

Оқушыларды олимпиадаға дайындағанда бұрыннан белгілі есептермен қатар соңғы кездері сөз болып жүрген есептерді қарастырудың өзіндік артықшылықтары болады. Мысалы, академик А.Жұмаділовтың оқушыларға ұсынған теңдеуін алайық («Жас Алаш» 16.02.2016). Ғалым осы теңдеудің , және , шешімдерін көрсете отырып, осы теңдеудің үшінші шешімі бар, соны тап. Төртінші шешімі бар ма, жоқ па? Төртінші шешімін тапқан балаға 1000$ сыйақы беремін» дегенді айтады. Сыныптан тыс үйірме сабағында оқушыларға осы есепті ұсындық. Әрине, бұл жерде факториалдық қалай есептелетіні және анықталмаған теңдеуді шешу туралы мағлұматтар берілді. Сабақ үстінде оқушылар бұл теңдеудің үшінші шешімін тапты. Ол үшін теңдеуді түріне келтіріп алып, х-тің 5-тен кейінгі мәндерін таңдап алып шешті. Яғни болғанда . екені табылды. Академик ұсынған заманауи теңдеудің шешімін табуы оқушыларды қуанышқа болып, осы теңдеудің төртінші шешімін табуға қызығушылықтарын тудырды.

2.4. Математикалық эстафеталар

Оқушыларды математикаға қызықтыратын жарыстардың бір түрі – математикалық эстафета. Математикалық эстафета оқушыларды жылдам іс-әрекет жасауға, тез қорытынды жасауға, шапшаң есептеуге дағдйландырады. Математикалық эстафетаны үйірме сабақтарында, математикалық кештерде, математикалық күн мен апталықтарда өткізуге болады. Математикалық эстафета қатар сыныптардың арасында немесе бір сыныптағы оқушылар топтары арасында өткізуге болады. Эстафета екі немесе кейде үш топтың арасында өткізіледі. Оған алдын-ала дайындық жасалады. Мұғалім алдын ала жарысқа қатысатын командалардың санына қарай, оларға берілетін есептердің бірнеше нұсқасын дайындайды. Олар плакаттарға көрнекі етіп жазылады. Әр нұсқадағы есептердің саны бірдей болады. Мысалы жарысқа үш команда қатысатын болса, оларға ұсынылатын әрбір есептің қиындық деңгейі үш команда үшін бірдей етіп құрастырылады. Әр командадағы оқушылардың саны бірдей болуы шарт. Плакаттағы әрбір тапсырманың тұсы ашық қалдырылады.

Жарыстың қорытындысын шығару үшін қазылар алқасы құрылады. Командалардың дайындығы тексеріліп болған соң сағатқа қарап тұрып жарысты бастайды. Ойын басталар кезде әр команданың біріншісінің қолында жалаушасы болады. Ойын басталғандығы хабарлануымен бірге олар жылдам жүрігіп келіп әрқайсысы өздерінің командасына бекітілген плакаттағы бірінші тапсырманы ашып оқып, оның жауабын тапсырма тұсындағы ашық жерге жазады. Есептің шығарылуы, немесе сұрақтың жауабы жазылып болған соң ол оқушы өз командасына қарай жүгіріп келіп, қолындағы жалаушаны өз командасының екінші оқушысын береді. Жалауша қолына тиген оқушы өздеріне берілген екінші тапсырманы тезірек орындауға ұмтылады.

Әрбір топтың оқушылары уақыттарын үнемдей отырып, бірінен соң бірі есепті тез шығаруға ұмтылады. Бұл кезде олар қарсыластарынан уақыттан озуға, тапсырманы қатесіз, дұрыс орындауды ойластырады. Қазылар алқасы әрбір топтың соңғы тапсырманы қашан орындап болғаның есебін алып отырады. Барлық команда тапсырмаларын орындап болған соң олардың тапсырманы орындау сапасы тексеріледі. Бұл кезде есептің дұрыс шығарылуымен қатар оның тиімді тәсілмен шығарылуы да ескеріледі. Осы жағдайлардың барлығын ескере отырып қазылар алқасы жеңімпаз команданы анықтайды. Осы жерде жарысқа қатысқан командалардың жұмыс нәтижесіне талдау жасалынады. Тапсырманы басқалардан ерекше, тиімді тәсілмен орындаған жекелеген оқушылардың жетістігі аталып, марапатталуы мүмкін. Бұл оқушының жетістігі аталып, марапатталуы мүмкін. Бұл оқушының белсенділігін арттырып, математикамен айналысуға деген талпынысын арттыра түседі.

Математикалық эстафетаға ұсынылатын тапсырмалардың аса күрделі, шығарылуына көп уақыт қажет етпейтіндей болғаны жөн. Өйткені оқушы тапсырманы ұзақ уақыт орындап жататын болса, ол жарысты қызықтап отырған көрермендерді жолықтыруы мүмкін.

Енді 7-сынып оқушыларынан қүрылған командалар арасындағы жарысқа ұсынуға болатын тапсырмалардың бір үлгісін келтірейік. Ал екінші және үшінші командаларға берілетін тапсырмалар да осы үлгіде, қиындық деңгейі осымен пара-пар болғаны дұрыс болады.

1. Амалды орында:

2. Теңдеулер жүйесін шеш:

3. Есепте: а) ; ә)

4. Амалдарды орында: а) ; ә) .

5. Көбейткіштерге жікте:

6. Көбейтуді орында: а) , ә) .

7. Көбейткіштерге жікте: а) ; ә)

8. Бөлшекті қысқарт: .

9. Шеңбердің диаметрі 10 см. Шеңбердің радиусын, ұзындығын тап.

10. Үшбұрыштың бұрыштары 62⁰ және 70⁰, үшінші бұрышын және ол бұрышқа іргелсе сыртқы бұрышты тап.

Бұл тапсырмадағы алғашқы екі есеп өткен материалдарды қайталау берілген есептер, ал соңғы екеуі геометрия курсы бойынша алынып отыр. Бұндағы тапсырмалардың саны командадағы оқушы санына байланысты алынады, немесе оқушы саны тапсырмалар санынан аз болған жағдайда, бастапқы оқушылар (немесе команданың ұйғаруды бойынша) екінші рет жауап беруге шыға беруіне болады. Сонымен қатар мұндағы тапсырмалардың мазмұны эстафетаның қай кезде (тоқсан, ай) өткізіліп отырғанына байланысты өзгеріп отыруы мүмкін.

8-сынып оқушылары арасындағы эстафетаға ұсынылатын тапсырмалардың үлгісі:

1. Өрнекті көпмүше түрінде жаз: .

2. Ортақ көбейткішті жақша сыртына шығар: .

3. Бөлшектерді қысқарт: .

4. Есепте: .

5. Түбірдің мәнін тап: .

6. Теңдеудің түбірлерін тап .

7. функциясының графигінің Ох осімен қиылысу нүктелерін (нүктелердің координаталарын) табыңдар.

8. Теңсіздікті шеш: .

9. Қабырғалары 5,6,7 сандарымен өрнектелген тік бұрышты үшбұрыш бола ма? Себебін көрсет.

10. Тік төртбұрыштың бір қабырғасы екіншісінен 2,5 есе үлкен, ал ауданы 250 см². Тік төртбұрыштың қабырғаларын тап.

9-сыныпқа арналған эстафета материалдарының үлгісі:

1. Есепте: .

2. Квадрат үшмүшені көбейткіштерге жікте: .

3. Теңдеулер жүйесін шеш:

4. Теңсіздіктер жүйесін шеш:

5. функциясының анықталу облысын тап.

6. 17,21,25,... арифметикалық прогрессиясының оныншы мүшесін тап.

7. Өрнектің мәнін тап: .

8. Өрнектің мәнін тап: .

9. Дұрыс үшбұрыштың қабырғасы 8 см. Оған сырттай сызылған шеңбердің радиусын тап.

10. Шеңбердің ұзындығы 16 см. Осы шеңбермен шектелген дөңгелектің ауданын тап.

7-9 сынып оқушылары арасында өтетін математикалық эстафета тапсырмалары құрамына логикалық сұрақтар мен логикалық есептерді қосуға болады. Бұндай жағдайда жарысқа қатысушы оқушылардың қызығушылығы бұрынғыдан да арта түседі. Соның арқасында оқушылардың ізденіс ауқымы арта түседі.

2.5. Математикалық апталықтар, кештер және оларды ұйымдастыру, өткізу

Мектептерде өткізілетін кештер, соның ішіндегі математикалық кештер оқушыларды өте қызықтыратын және оларды молынан қамтитын сыныптан тыс жұмыстың түрі болып табылады. Математикалық кеш әдетте математикалық апталықтардың соңында қорытынды шара ретінде өткізіледі. Кейде математикалық кештер математикалық үйірмелердегі өтілген сабақтардың тақырыптарына, немесе атақты математиктердің мерейтойларына да байланысты ұйымдастырылады. Математикалық кеште математикаға қатысты мәселелермен қатар жалпы көпшілікке арналған көркемөнер бөлімдері де болады. Онда математикалық зияткерлік сайыстар мен олимпиадалардың қорытындылары хабарланып, жүлдегерлерді марапаттау шаралары да орын алуы мүмкін. Осы себептер математикалық кешке қатысушыларды барынша молайта түседі.

Математикалық кештердің білім беру, үйрету бағытымен қоса тәрбиелік мәні де ерекше болады. Кеш оқушылардың ғылыми, саяси-идеялық көзқарастарын қалыптастыруға, еңбек сүйгіштікке баулуға ықпал етеді. Кешті өткізуге оқушылардың үлкен ұжымы жұмылдырылады, яғни олар барлығына ортақ бір міндетті атқаруды үйренеді. Осындай ортақ мақсат балалардың бір-бірін жақсы тануына әсер етіп, оларды жақындастыра түседі, бір-біріне деген достық, жолдастық қатынастарының арта түсуіне себепші болады. Ортақ еңбекке әуес үлкен ұжым қалыптасады.

Математикалық кешке дайындалуда оқушылардың өз бетімен қызмет етуіне мүмкіндік беріледі. Алдын ала дайындалған кештің бағдарламасына сай түрлі математикалық есептерді іріктеу, оларды шығарудың тиімді жолдарын табу, баяндамаға өз бетінше дайындалу, белгілі бір құралдардың модельдерінен, көрнекі құралдардан көрме жасау, әрбір сыныптар бойынша қабырға газеттерін шығару, тұстақталарды безендіру жұмыстары орындалады. Осынша жұмыстарды атқару оларды табандылыққа дағдыландыру. Кеш өткізілетін залды жабдықтау, көрмелерді безендіру жұмыстары оқушылардың эстетикалық сезімі мен талғамын ұштайды.

Өткізілетін математикалық кештің негізгі тақырыбы алдын-ала таңдалады. Көптеген тәжірибелі мұғалімдер математикалық кештің тақырыбын алдын-ала бірнешеу етіп дайындайды. Осылардың ішінен кештің тақырыбын нақтылы анықтауды үйірмеге қатысушы оқушылардың еркіне салуға болады. Бірақ бұл кеш тақырыбын оқушы таңдасын деген сөз емес.

Мектепте өткізілетін кештердің тақырыптары оқушыларды қызықтырарлықтай болып, балалардың талабы мен тілектеріне сай келіп жатса, онда қарастырылатын дүниелер 7-9 сынып оқушыладың біліктіліктеріне сәйкес келсе, кештерді өткізу әдістері тиімді болса, кеш мақсатына толық жететін болады.

Мектептерде жинақталған тәжірибелерге талдау жасап қарасақ, мектептерде өткізілетін апталықтар мен кештер көбіне мына мазмұнды өткізілетінін байқауға болады.

1. Математиканың дамуы тарихы негізге алынған кеш. Бұл кештерде математиканың мектеп бағдарламасына қатысты ұғымдары мен олардығ арасындағы қатыстар, заңдылықтар мен ережелердің қалыптасуы тарихы сөз болады. Математиканың ертедегі, орта ғасырлардағы және қазіргі заманғы дамуы кезеңдер бойынша, математиканың дамуына қатысушы елдер бойынша талдау жасалынады. Математиканы датымуға қатысушы математиктер туралы қысқаша мағлұматтар беріледі. Сөз болып отырған мәселлердің 7-9 сынып оқушыларының танымына, түсінігіне сай, қызғылықты баяндалғаны дұрыс.

Кештің келесі бөлімдерінде әдеттегідей математикалық софизмдер мен фокустардың сырын ашуға, математикалық викториналарға жауап беруге математикалық эстафета жарысына қатысуға, математикалық жұмбақтар шешуге, математикалық тақпақтар айтып, өзі құрастырған математикалық өлеңін оқуға, математикалық ертегілер таңдауға, математикалық көрмелерді, диафильмдер мен киноүзінділерді көруге ұласады. Ертегі есептердің сюжетіне құрылған театрланған көріністерді де ұйымдастыра білсе, математикалық кештің қызығы молиғып, тартымдылығы артады.

Кеш соңына қарай осы кештегі жарыстар мен бұрын өткен математикалық зияткерлік сайыстардың, олимпиадалардың жеңімпаздары марапатталады. Бұл шаралар оқушылардың математика ғылымына қызығушылығы, танымдық белсенділігі арта түседі.

2. Тарихи - өмірдеректік кештер. Бұндай кештерде көрнекті математиктердің өмірі, математикалық шығармашылық жұмыстары негізге алынады. Кейде бұл кештер белгілі бір математиктің мерейтойына арналып ұйымдастырылады. Ондай даталар өте сирек кездесетіндіктен ондай кезді күтіп отырудың қажеті шамалы. Математиканың мектептік бағдарламасында қарастырылатын теорияларды қалыптастырған, дамытқан математиктердің қызметін атап айтуға болады. Осы тұрғыдағы жұмыстарды жүргізудің қажетті математика бағдарламаларында да ерекше аталып көрсетілген.

3. Математиканың басқа ғылымдарда, техника мен тұрмыста, күнделікті өмірде қолданылуы туралы кештер.

Бұл мазмұндағы кештерге ыңғайына қарай «Математика және космос», «Математика – ел қорғаны», «Математика-ғылымдар патшасы», «Айналамыздағы математика» сияқты тақырыптар қоюға болады. Бұл кештердің мақсаты: Қазіргі замандағы космосты игеру, елдің қорғанысының күшейту жұмыстарынан бастап, медицина, өнер салалары мен күнделікті тұрмыста математиканың қолданылатынына оқушылардың көзін жеткізу, математиканың мүмкіндіктерін көрсету.

Қоғамның дамуы техниканың дамуынсыз жүзеге аспайтыны белгілі. Ал техниканың математикасыз орнынан қозғалу мүмкіндігі жоқ. Қысқасы қазіргі қоғамда математикасыз өмір сүру мүмкін емес екеніне оқушылардың көзін жеткізу, сенімін қалыптастыру.

4. Қызықты математика кештері. Бұндай кештер әсіресе 5-9 сынып оқушылары арасында өткізіледі. Кеште оқушылардың қызығушылығын арттырумен бірге, ғылыми мәліметтерді уағыздау қатар жүруі тиіс. Қызықты математика кештерінің бағдарламасы әдетте қысқаша хабарламалар, математикалық викториналар мен жұмбақтар шешуге, жарыстар мен айтыстарға, ойындарға молынан орын беріледі. Мұнда да кешке арналған тұстақталар мен қабырға газеттері шығарылады. Кештің қызықты, мазмұнды өтуіне жеткілікті көңіл бөлінеді. Кейде кешті ұйымдастырушылар оны қызықты өткіземіз деп ондағы қарастырылатын материалдарды орынсыз жеңілдетіп, мағынасыз ойындарды көбейтіп жібереді. Бұған жол беруге болмайды. Кеште ұсынылған бастауыш сыныптарға арналған тапсырмалар 7-9 сынып оқушылары үшін қызықсыз болады, математика пәні ойын, қалжыңға құрылғандай әсер қалдырады. Сондықтан мұндай кештерге арналған тапсырмалар мазмұны қызықты болғанымен, баланы ойландырып-толғандыратындай қабілетінен айырылмауы керек.

Кештердің түрлеріне қарай олардың тақырыптары таңдалып алынады. Тақырып таңдалып алынған соң кешке дайындалу жұмысы жүреді. Бұл өте маңызды және жан-жақты ойлануды қажет ететін іс. Кеште қарастырылатын материалдар бұның алдындағы сабақтарда немесе үйірме жұмыстарында қарастырылған дүниелерді қайталамауы тиіс. Сонымен қатар кеште қарастыруға неғұрлым мазмұнды, көңілге қонымды, ешкімге таныс емес материалдар алынғаны жөн.

Математикалық кешке дайындық жұмысын негізінен оқушылардың ғылыми қоғамы атқарғанымен жалпы жауапкершілік математика пәні мұғалімдерінде болады.

Кеште қарастырылатын есептер, жұмбақтар, сайыс материалдары көпшілікке жария болмағанымен кештің тақырыбынан бастап, оның құрылымы туралы хабарландыру мектепте ерте бастан ілінеді. Осының арқасында математикалық кешке қатысқысы келген оқушылардың барлығы көрсетілген тақырып төңірегінде өз бетінше ізденіп дайындалады. Кеште ескі қатар сынып оқушылары білім сайысына түсетіні белгілі болса, сайысқа түседі-ау деген материалдар көлемінде дайындыққа кіріседі. Жоспарда жарысқа түскен командалардың бір-біріне жұмбақ беретінін белгілі болса, қарсыластары таба алмайтын материалдарды іздейді. Математикалық кешті өткізудің мақсаты да оқушыларды өз бетінше ізденуге баулу, білім қорын дамыту, интелектуалдық, шығармашылық белсенділіктерін арттыру істері болатын.

Енді «Пифагор» және «Жүз өгіз» теоремасы» тақырыбында өткізілген кештің жоспары мен оның өткізілу барысы туралы қысқаша түсініктеме берейік.

«Пифагор» және «Жүз өгіз» теоремасы» тақырыбындағы кештің жоспары:

1. Пифагор теоремасы және Пифагордың өмірі және математикалық еңбектері туралы хабарлама-әңгімесі.

2. Залдағы жалпы көрермендермен жұмыс.

3. Қатар екі сынып оқушыларынан құралған «Үшбұрыштар» және «Төртбұрыштар» командаларының арасындағы жарыс.

4. Математикалық викториналар, жұмбақтар.

5. Математикалық фокустар, софизмдер.

6. Көркемөнер бөлімі.

7. Кешті қорытындылау, марапаттаулар.

«Өлең-сөздің патшасы» (Абай) болған соң қай жиын-той, кеш болса да өлеңмен басталғаны тартымды болады. Мысалы, математикалық кештің жүргізушісі жиынды:

«Ғалымдардың патшасы» атанғансың,

Фалес, Пифагор, Евклидтен бата алғансың.

Төзбейтін өтірікке, жалғандыққа,

Жасықтан емессің сен, қаталдансың.

«Ақыл ойды тәртіпке келтіретін,

Нағыз пән-математика атанғансың»-деп ашты.

Басқа да жиындар сияқты математикалық кешті де алдын-ала дайындалған кеш жүргізушілері басқарады. Десек те, олардың барлық іс-әрекетін әңгіме етпей-ақ, кеш барысының математикаға қатысты кейбір сәттерін, ерекше тұстарын қысқаша баяндаймыз.

Мысалы, плакатқа жазылып, кеш өтетін залға ілінген безендірулердің ішіндегі Лаэрти Диогеннің мына бір сөзі кештің мәнін ашып береді:

Талай жыл талмай ойлап, елден бұрын,

Ашқан күні әйгілі сурет сырын,

Пифагор қуанғаннан жүз өгізді,

Құдайға құрбан шалып, жасапты ырым.

Ал баяндамашы оқушы Пифагор туралы мынадай мағлұматтарды келтіруіне болады. Әйгілі Милеттік Фалестен (б.з.д. 624-548) кейін математика саласындағы дәлелдеуді геометрияға жүйелі түрде енгізген Самостық Мнесархұлы Пифагор (б.з.д. 580-500) болды. Пифагор Эгей теңізіндегі Самос аралында дүниеге келген. Оның шешесі сол аралдың бас әкімінің қызы – Пифагор сұлу екен. Пифагор деген есімді өз есіміне ұқсатып анасы қойса керек.

Пифагордың өнерпаздық қабілеті, білімге зеректігі өте ерте танылады. Әсіресе ол ән әуендерін, сурет сырын және есептеу өнерлерін балғын бала кезінен үйреніп, терең ұғына бастайды. Пифагордың 15-17 жастағы кезінде олимпиадалық сайысқа түсіп, «Жұдырықтасу жүлдесінің» (бокс) жеңімпазы атағын алғаны туралы тарихи деректер бар.

Пифагор 20-25 жыл өмірін Мысыр (Египет), Вавилон (Бағдат) елдеріндегі және Грециядағы «Милеттік мектебіндегі» білім мен өнер жетістіктерін игеруге жұмсайды. Кейін, алдымен Самос аралында, сонан соң Оңтүстік Италиядағы Кратон қаласында Пифагор өзінің мектебін ұйымдастырады. Оның мектебін кейіннен шартты түрде «Пифагор мектебі» деп атап, осы мектепте оқыған және Пифагордың идеясын қуаттаушыларды «Пифагорейшілдер» деп атады.

Пифагор заттардың мәні сан деп, ал әлемді сандардың гармониялық жүйесі мен олардың қатынасы деп есептеді. Сол сияқты жұп және тақ, жай және құрама, фигуралық және кемел сандар, арифметикалық және гармониялық пропорциялар мен орта шамалар туралы ілімдер де Пифагордың есімімен тығыз байланысты.

Пифагор тік бұрышты фигуралардың планиметриясын құрды, ұқсастық ілімін жасады, өзінің есімімен аталған теореманы (Пифагор теоремасын) дәлелдеді. Осылай аталғанымен, ол заңдылықты Пифагор өмір сүрген кезде 1200 жылдай бұрын вавилондықтардың қолданғаны белгілі болып отыр.

Ертеден кең тараған аңыз бойынша бұл теореманы алғаш дәлелдеген шақта Пифагор өзінің жүрек жарды қуанышын білдіру үшін құдайға құлшылық жасап, жүз өгіз құрбан шалса керек. Сонымен байланысты Пифагор теоремасына «Жүз өгіз» сөзі тіркеліп айтылады. Қазіргі кезде бұл теореманың екі жүздей дәлелдеу жолы бар дейді. Бұл теореманың осынша көп тәсілмен дәлелденуі сол кезде математик болу үшін осы теореманы әркім өзінше дәлелдей алуы тиіс деген талаптың қойылуынан деген әңгіме де бар.

Ежелгі Мысыр және Вавилон елінде бұл теореманы өлшеу жұмыстарында қолдана білген. Оны әсіресе тік бұрыш шығарып алу үшін жиі қолданған. Қабырғалары 3,4 және 5 бірлікке тең болып келген тік бұрышты үшбұрышты Египет үшбұрышы деп атау қалыптасып кеткен.

Мәндері тік бұрышты үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары болып келетін сандар (мысалы 3,4 және 5) Пифагор сандары деп аталады. Пифагор осындай сандарды табудың әдісін анықтаған. Олар мына өрнектермен анықталады: . Мұндағы тақ бүтін сан. Мысалы болса, ал болады, яғни қатысы орындалатын сандар табылады. Ал осындағы жұп сан болғандағы пифагор сандарын анықтауда Платон (б.з.д. 427-347) өрнектерін пайдаланады. Мысалы болса, сандары табылады. Яғни . Қазіргі кездері пифагор сандарын табудың басқа тәсілдері де қолданылып жүр.

Пифагордың «Жүз өгіз» теоремасын кейбір әзілқойлар «Пифагор шалбары туралы есеп» деп те айтады. Осы теорема туралы Қ.Нұрсұлтанов былай дейді:

Пифагордың шалбары,

Шалбардың тек долбары,

Тік бұрышты-үшкілі,

Үш қабырға – үш түрлі.

Екі шаршы – қос балақ,

Белдігі анау – төрт құрақ.

Балақтарын қосып бақ,

Белдігін біл өлшеп нақ

Салыстырсаң екеуін,

Теңеседі жақпа-жақ.

Бұл есептің жүр шешу – айласы бар,

Шешкенге жүр өткіздік пайдасы бар.

Бір шешімін табам деп ең болмаса,

Ер көңіл есепкерлер, ойласыңдар! (сызба)

Математикалық кеште осы сияқты, айтылар ойдың өлең сөздерімен берілуі оқушыларға жағымды әсер етеді. Осыдан кейін оқушылардың да математикалық ұғымдар мен заңдылықтарға арнап өлеңмен жұмбақтар, сипаттамалар жазып жататын жағдайлары аз кездеспейді. Оған кезінде нақтылы мысалдар келтіретін боламыз.

Оқушының Пифагор және Пифагор теоремасы туралы әңгімесінен соң кешке қатысып отырған жалпы көрермен оқушылардың белсенділігін арттыру үшін 7-9 сынып оқушылардың біліктілігіне лайықты сұрақтарды, есептерді, жұмбақтарды жүргізушілер хабарлап, оларды кімдердің дұрыс тапқанының есебін қазылар алқасы жүргізіп отырады. Жүргізуші қазылар алқасын көпшілікке таныстыру қорытындысында.

Шеберлікті, білімді,

Сараптаңдар, көріңдер,

Қазылардың алқасы,

Әділ баға беріңдер! – деп өлеңдетеді.

Осындай көрермендерге берілетін тапсырмалардың мына мазмұнды болғаны дұрыс.

1. Бір катеті 7-ге тең болатын тік бұрышты үшбұрыштың екінші катеті мен гипотенузасын табыңдар.

Шешуі: .

Жауабы: 24 және 25.

2. Келтірілген квадрат теңдеуді шешу формуласының сөйлемдік тұжырымдамасын жасаған ортаазиялық ғалым?

Жауабы: Әл-Хорезми (ХІІ ғ).

3. Шеңбердің барлық нүктелерінен бірдей қашықтықта жататын нүкте.

Жауабы: шеңбердің центрі.

4. Натурал санның квадраты да, кубы да бола алатын барлық екі таңбалы санды табыңдар.

Шешуі: Натурал санның квадраты болатын ең кіші екі таңбалы сан - - дан басталады: .

Ал натурал санның кубы болатын екі таңбалы сандар: . Бұл сандардың ішіндегі есеп шартын қанағаттандыратын сан 64 екенін табу қиын емес.

Жауабы: .

5. Биіктігі 10 м үйдің іргесінен 4 м жерден қойылған ұзындығы 11 м саты үйдің төбесіне жетеді ме?

Шешуі: .

Жауабы: жетеді.

6. формуласымен қандай шама есептеледі?

Жауабы: Шеңбердің ұзындығы.

7. Торға балапандар мен қояндар қамалған. Олардың бастарының саны 10, аяқтарының саны 24 болса, балапан қанша, қоян қанша?

Жауабы: 2 қоян, 8 балапан.

8. Геометрия жиі пайдаланылатын иррационал сан.

Жауабы: .

9. Математиканың теңдеулерді қарастыратын тарауы.

Жауабы: Алгебра.

10. Соңғы цифрын сызып тастағанда 13 есе кемитін барлық екі таңбалы сандарды табыңдар.

Жауабы: 13, 26, 39.

11. Шеңбердің центрін оның кез келген нүктесімен қосатын кесінді.

Жауабы: радиус.

12. Тік бұрышты координаталар жүйесін енгізген ғалым.

Жауабы: Рене Декарт (1596-1650).

13. Анықталмаған теңдеулерді жүйелі қарастырған грек ғалымы.

Жауабы: ежелгі грек ғалымы Диофант (ІІІ ғ).

14. Жәшікте 100 қара және 100 ақ шар бар. Жәшікке қарамай алғанда кем дегенде ақ түсті 2 шар шығу үшін ең аз дегенде қанша шар алу керек?

Жауабы: 102 шар.

15. -нің қандай натурал мәндерінде саны 5-ке бөлінеді?

Шешуі: -нің соңғы цифры тек 7, 9, 3 және 1 цифрларымен аяқталады. Сонымен бірге ол - ке еселі болғанда ғана 1-мен орындалады. Сондықтан болғанда ғана саны 5-ке бөлінеді.

Жауабы: , .

16. Трапецияның қанша түрін білсең, және олар қалай аталады?

Жауабы: сүйір бұрышты, тік бұрышты, доғал бұрышты және тең бүйірлі, яғни төрт түрі бар.

17. Квадраттарының қосындысы 1-ге тең болатын функциялар.

Жауабы: синус және косинус.

18. саны қандай цифрмен ақталады?

Шешуі: 1982 2 цифрымен 1982² 4 цифрымен, 1982³ 8 цифрымен, 1982⁴ 6 цифрымен, 1982⁵ 2 цифрымен ақталады және ол ары қарай да осы заңдылықпен қайталанады. Сондықтан . Олай болса, санының соңғы цифры 1982² санының соңғы цифрындай болады, яғни ол сан 4 цифрымен аяқталады.

Жауабы: 4 цифрымен.

19. 36978 санын 9-ға бөлгенде қалатын қалдықты тап.

Шешуі: Мұндағы 9-ды, 3-пен 6-ны шығарып тастағанда, 7 мен 8 цифрлары қалады. Ал . Демек, ізделіп отырған қалдық 6-ға тең.

20. Әкесі 32 жаста, баласы 5 жаста. Қанша жылдан кейін әкесінің жасы баласының жасынан 10 есе үлкен болады?

Шешуі: Ізделініп отырған мерзімді х деп белгілесек теңдеуі құрылады. Оны шешіп болатынын табамыз. Яғни, болашақта әкесінің жасы баласының жасынан 10 есе үлкен бола алмайды, ондай қатынас осыдан 2 жыл бұрын орын алды деген сөз.

Енді қатар сыныптар оқушыларынан құралған «Үшбұрыштар» және «Төртбұрыштар» командаларының арасындағы жарыстың басталу сәтінен үзінді келтірейік.

1-бастаушы:

Біреу озса жарыста,

Біреу артта қалады.

Ренжімей тараса,

Озбағандар жарады.

Жарыс заңы ежелден –

Жеңімпазды анықтау.

Жеңімпаз болу шарты сол –

Еңбектену, жалықпау!

Сәт сапар тілеп бәріңе,

Сайыста біздер басталық.

Көрсетіңдер өнерді,

Қалмаңыздар жасқанып.

2-бастаушы:

Үлгі тәртіп, жақсы оқу

Алға қойған мақсаты.

Әрқашанда мектепте,

Шығып жүрген жақсы аты

«Үшбұрыштар» тобын ортаға шақырайық!

3-бастаушы:

Жиналған ылғи дарындар,

Жүректе от, көздеріңде жалын бар.

«Төртбұрыштар» тобын халайық,

Қол соғып қарсы алайық.

Осылай командалар ортаға шақырылған соң олардың әрқайсысы өз командасына аты қойылған фигуралар туралы өлеңмен сипаттама береді, оны таныстырады.

«Үшбұрыштар» командасы:

Мен үшбұрышпен,

Ылғи үштен тұратын,

Үш қабырға үш төбе,

Үш бұрыш болар құрамым.

Қай элементімді санасаң,

Үштен асып көрген жоқ.

Өз алдыма бір елмін,

Ешкімге есе бергем жоқ.

Үшбұрыш деген атадан

Үш ұл туып тарапты.

Әр қабырғалы – тұңғышы,

Тең бүйірлі – ортаншы,

Тең қабырғалы – кенжесі.

Ата салтын, дәстүрлі,

Сақтауға олар жарапты.

Шамасына қарай бұрыштық,

Үшке тағы бөлінем.

Сүйір болып сүйгімді,

Доғал болып добалдау,

Тіп-тік болып әдемі,

Оқушыма көрінем.

Бұрыштарымның қосындысы.

180⁰-қа тең болады.

Бір қабырғамның ұзындығы

Қалған екеуінің ұзындығының

Қосындысынан кем болады.

Біздерді зерттеп ғалымдар,

Ұзақ жылдар тер төкті.

Пифагор, Геронның есімі,

Шарлап кетті жер көкті.

Пифагор атты данышпан,

Өз теоремасын ашқанда,

Жүз өгіз сойып той жасап,

Бар байлығын шашқанда,

Қуаныштан жүрегім.

Жарылып кете жаздаған,

Сырларым көп айтатын,

Әлі ешкім таппаған.

Көп жылдар сол теорема

«Жүз өгіз» боп атанған,

Ауданымды тауып Геронжан,

Озды бір кез қатардан.

Адам баласы ешқашан,

Тоқырауды білмеген.

Синус, косинус арқылы

Жеріне жетіп жүр қазір

Бұрын көріп білмеген.

Жете алмайтын нүктеге,

Меніменен жетті олар.

Көп сөйлемей «ініме»

Сөз бергенім жөн болар.

«Төртбұрыштар» командасы:

Мен төртбқрышпын,

Көпбұрыштың бірімін.

Үшбұрыштан болсам да жас,

Бірақ, одан ірімін.

Қабырғаларымның тұрысынан қарай,

Бір-бірімен жасайтын бұрышына қарай,

Тік тқртбұрыш, параллелограмм, трапеция,

Ромб, шаршы болып бөлінем.

Геометрияны сезбейтіндерге,

Құбыжық болып көрінем.

Бар бұрышым тік болса,

Тік төртбұрыш деп аталам.

Қарама-қарсы қабырғам,

Параллель, әрі тең болса,

Іргелес жатқан бұрыштар,

Бірінен-бірі кем болса,

Қосындысы бірақ та,

180⁰-қа тең болса,

Параллелограмм де аталам.

Бұрыштарымды қоссаңыз,

360⁰-қа тең болады,

Бұл қасиетімді білмейтіндер.

Басқаларға жем болады.

Шаршы атты бауырдың

Бар қабырға, бұрышы

Бір-біріне тең болады.

Ромб атты бауырым,

Бәрінен де сымбатты.

Білімділер кеудеге

Тағады заттай қымбатты.

Трапеция туыстың,

Ашуы мүлде тым қатты.

Параллелограмм бауырын,

Жартылай ғана тыңдапты.

Сондықтан да қос табан,

Параллель болып қалыпты.

Қалған екі қабырға,

Өздерінше орын алыпты.

Команда басшыларының үшбұрыш пен төртбұрышды, олардың түрлері мен кейбір қасиеттерін өлеңмен таныстыра білуі оқушылардың біліктілігіне білім қосып, бұл фигураларды өзгеше бір қырынан тануына мүмкіндік береді, қызығушылықтарын тудырады.

Командалар бір-біріне тапсырмалар беріп, жүргізушілердің олардың екеуіне бірдей берген есептері мен жұмбақтарын шешуден жарысады. Оның қорытындысын әділқазылар шығарады.

Кештің келесі бөлімінде қарастырылатын викториналық сұрақтар мен жұмбақтарға бірнеше мысалдар келтірейік.

Математикалық викторина

Викторина сөзі белгілі бір тақырыпқа арналған сұрақ-жауап ойыны дегенді білдіреді. Математикалық викториналарды әр түрлі нұсқада ұйымдастыруға болады. Әдетте сұрақтарды жүргізуші жалпы көпшілікке арнап қояды. Оған берілген жауаптардың дұрыс-бұрыстығы осы жерде көпшілік талқысына салынады. Бұл сұрақтың дұрыс жауабы туралы келесі бір оқушының пікірі де тыңдалады. Осындай талдау-таразылаудан кейін дұрыс жауап қабылданады. Осының әсерінен бұл сұрақтың дұрыс жауабы оқушылардың естерінде ұзақ сақталатын болады.

Кейбір жағдайда мұндай сұрақтарды өзара жарысушы екі топ бір-біріне қоятын кездер де болады. Бұл жағдайда команда мүшелері қарсыластары жауабын таба алмайтындай сұрақтарды іздестіреді. Яғни, өзбеттерінше ізденуі арқасында көптеген мағлұматтардан хабардар болады.

Ендігі бірде ондай сұрақтарды кешке көрермен ретінде қатысып отырған оқушылардың қойып жататын кездері болады. Бұл математикалық кештің оқушылардың математикаға қызығушылығын оята білгенінің нақты дәлелі болып табылады.

Викторина сұрақтары кейде белгілі бір тақырып аясында қойылса, кейде математиканың барлық саласын қамтып жатады. Бұның оқушылардың жан-жақты білімін толықтыруға әсер ететін тиімділіктері бар.

Енді викториналық сұрақтардың бірнеше мысалын келтірейік.

1. Геометриялық білімдерді жүйелеп алғашқы геометрия оқулығын жазған ғалым.

Жауабы: Пифагордың шәкірті – Хиостан шыққан Гиппократ (дәрігер Гиппократ емес). Евклидтің «Бастамалары» бұдан кейін жазылды.

2. Қазіргі геометрия оқулықтары қай ғалымның, қай еңбегінің негізінде жазылды?

Жауабы: Ежелгі грек геометрі Евклидтің (б.д.д. 365-300) «Бастамалары» негізінде жазылған.

3. теңдеуінің үш шешімін тап.

Жауабы: 1) . 2) . 3) .

4.

....-...- заңдылығын 5-6 жасында байқаған орыс математигі.

Жауабы: А.Н.Колмогоров

5. 1-ден 100-ге дейінгі натурал сандардың қосындысы.

Жауабы: 5050.

6. «Геометрияны білмейтіндер Академияға кірмей-ақ қойсын» дегенді Академияның алдына жаздырып қойған грек ғалымы.

Жауабы: Платон (б.д.д. 427-347).

7. Негізгі мамандығы бойынша заңгер болған француз математигі.

Жауабы: Пьер Перма (1601-1665).

8. Үшбұрыштың ауданын оның қабырғаларының ұзындықтары бойынша табатын Герон формуласына ұқсас, төртбұрыштардың ауданын оның қабырғаларының ұзындықтары бойынша есептейтін формула тапқан үнді математигі.

Жауабы: Брахмагупта (598-660).

9. Пифагор сандарын табудың тағы бір тәсілін анықтаған ежелгі грек ғалымы.

Жауабы: Платон (б.д.д. 427-347).

10. Евклид геометриясынан өзгеше геометрия құрастырған орыс математигі.

Жауабы: Н.И.Лобачевский (1792-1856).

Математикалық жұмбақтар

Профессор С.И.Шатуновский Есеп деп бір-бірмен және берілген нәрселермен көрсетілген қарыс-қатынасындағы басқа «белгісіз нәрселерді», «берілген» нәрселер бойынша «табу» талабын баяндауға ұғады. Бұл пікір есеп ұғымының дәл анықтамасы болмаса да есепте берілген нәрселер бойынша белгісіз нәрселерді табу қажеттігін меңзейді. Жұмбақ сөзі де жасырын құпия жайды ойлап табу, шешу дегенді білдіреді. Қазақ халқында жұмбақтар көбіне қысқаша өлең немесе әңгіме түрінде берілетін болған. Жұмбақты шешу осы жасырылған нәрсені, құпияны табу деген сөз.

Егер есептің мақсаты: «есептеп тап», «ойлап тап», «шешу керек», «шығар» іспеттес «табуды» талап ететін сөздермен берілсе, онда мұндай есептерді табу немесе есептеу есептерді дейміз. Табу есептерінің ең ежелгі және кең тараған танымал түрі жұмбақ-сұрақтар болып табылады. Мұндай жұмбақта қойылған сұрақ-есептің талабы, ал жұмбақтың жауабын сол есептің шешуі деп қарауға болады. Жұмбақ – есептер көбіне өте қызықты, әрі құнды проблемалы – танымдық ойлауға негізделген мәселелерді табу есебі етіп ұсынады.

Математикалық жұмбақтар оқушылардың зеректігін, тапқырлығын жетілдіреді, дүниетанымдық кеңейтеді, сөздік қорын жетілдіріп, сөйлеу мәдениетін дамытады. Қазақ халқы ертеден-ақ жұмбақтардың түр-түрін орынды пайдаланған. Жұмбақты шешу адамзаттың байқампаздығын анықтау үшін емес, даналықтың сарқылмас көзін, идеялар байлығын игеруге баулу мақсатын көздеген.

Математикалық жұмбақтардың педагогикалық құндылығы оның оқушылардың зейінін заттар мен құбылыстарға, олардың айқын белгілерін ажырата алуға жаттықтыруында жатыр. Жұмбақтарды шешу баланың ойлау қабілеті мен қиялдау дағдысын арттыра түседі, баланың іс-әрекетін ынталандырады. Бәрінен бұрын оқушылардың дүниетанымын кеңейтіп, жалпы әлем туралы түсінігін кеңейтеді.

Математикадан сыныптан тыс жұмыстар кезінде пайдаланатын жұмбақтарды таңдауда олардың жүргізіліп отырған жұмыстың тақырыбы мен мақсатына сәйкестігін ескеру, мәтіндік мағынасына назар аудару керек. Жұмбақпен жұмыс істеу тек оларды шешумен шектелмейді. Сонымен қатар оларды сол немесе басқа дидактикалық тапсырмаларды орындау үшін де пайдалануға болады. Көптеген жұмбақтардың мазмұнында шешілетін объектінің белгілері жасырылған. Бұндай жұмбақтар оқушыларды белсенді ой қызметіне тартады, мәселені талқылай отырып, меңгерілетін ұғымның ерекшеліктері мен мәнді белгілерін айқындай білуге жаттықтырады.

Осындай танымдық тақырыпқа арналған жұмбақ-есептің бір тамаша үлгісін ақын Абайдың өлеңінен табамыз:

Алла мықтап жаратқан сегіз батыр,

Баяғыдан соғысып әлі жатыр.

Кезек-кезек жығысып, жатып-тұрып,

Кім жоғары белгісіз түбінде ақыр.

Осы жұмбағының шешуін Абай былай жырлайды:

Мұны тапсам ойланып, ақын деңіз,

Таба алмасам, ақылды болар иеміз?

Қыс пенен жаз, күн мен түн, тақ пенен жұп,

Жақсылық пен жамандық – болды сегіз.

Математикалық жұмбақтарды да осы сияқты өлеңмен құрастырудың оқушылардың қызығушылығын тудыратынын Алматы облысы Іле ауданындағы №8 орта мектептің математика пәні мұғалімі Ахмет Абыханов жан-жақты дәріптей келіп, өзінің «Математикалық жұмбақтар» атты кітабында олардың бірнеше түрлерін келтіреді.

Солардың кейбірі:

Берілген нүктеден бірдей

Қашықтықта жатқан,

Нүктелердің жиыны.

Геометриялық фигура

болғанымен,

Ауданы жоқ қиыны.

Жауабы: Шеңбер.

Шеңбермен шектелген,

Жазықтықтың бөлігі.

Қарағанда шеңберге,

Ауданы бар көрімі.

Диаметрден жартысын,

Айналдырсақ шар шығады.

Бұның қай фигура екенін

Білімі бардың бәрі ұғады.

Жауабы: Дөңгелек.

Түбірлерін қоссаңыз

Жауаптарын тоссаңыз.

Екінші коэффициентке

Қарама-қарсы саналасыз.

Түбірлерін көбейтсең,

Бос мүшеге барасыз.

Айтып жібер, қай теорема?

Сіз білімді баласыз.

Жауабы: Виет теоремасы.

Ол шексіз, периодсыз ондық

бөлшек,

Кез келген шеңбер үшін

тұрақты.

Өзін есептеу үшін оқушыдан,

Шеңбер ұзындығын диаметрге

бөлуін сұрапты.

Жауабы: саны.

Сан тізбегі ол

Заңға қатты бағынады.

Қатар тұрған екі мүшенің

Соңғысынан кейінгісін шегерсең

Айырмасы табылады.

Жауабы: арифметикалық прогрессия.

Жазықтықтың кез келген

нүктесін,

Екі санмен жазасың.

Ғылымда алғаш бұның

Декарт берген бағасын.

Жетер жеріңе солар арқылы

жетесің,

Оның шамасын білмесең,

Адасып та кетесің.

Жауабы: нүктенің координаталары.

Біз санбыз

Сызықпен бөлінген.

Математиканы ұқпас адамға

Құбыжық болып көрінген.

Дұрыс, бұрыс, аралас.

Ондық болып бөлінген.

Жауабы: бөлшек сандар

Математикалық таңба ал,

Білімнің болса табасың.

Теріс сан болса астында,

Мағынасы жоқ деп қашасың.

Жауабы: квадрат түбір таңбасы.

Санға қосып, алсаң,

Сол санның өзі шығады.

Санды оған бөлуге болатынын

Математиктер ұғады.

Көп адамдар ол санға,

Шекесінен қараған.

Сан өсін қақ бөлуге,

Сол саныңыз жараған.

Жауабы:нөл саны.

Математикалық софизмдер

Софизм-бір қарағанда дұрыс болып көрінетін,қағидаға құрылған ой қорытындысы.Ежелгі грацияда өзінің оқушыларын ойлану,шешен сөйлеу және шебер орындауға үйретуші философ мұғалімдерді софисттер деп атады.Олар кейде білімді ортада өз айтқан пікірлерінің жалған екенін білдірмеу үшін,қалайда қарсы пікір айтушыларды жеңіп шығу үшін бір қарағанда дұрыс болып көрінетін,жалған пайымдарды пайдаланып көретін болған.Бұндай «ептіліктер» математикада да пайдаланылады.Енді математикалық софизмдердің бірнешеуін мысалға келтірейік.

Математикалық кеште қарастырылатын софизмдердің неғұрлым қысқа,анық болғаны жөн.

1-мысал. 4=5 болатынын дәлелдеу.

деп алайық. Теңдіктің екі жағын да 5-ке көбейтеміз: . Дәл осы сияқты болады. Осы екі теңдіктің оң жақтарын және сол жақтарын бір біріне қосамыз: . Осы теңдіктің екі жағынан да -ді шегереміз: шығады. Ортақ көбейткіштерді жақша сыртына шығарамыз: . Теңдіктің екі жағын да -ге бөлеміз. Сонда болады.

2-мысал. Барлық сандардың тең екенін дәлелдеу.

Кез келген екі санды алайық. Онда болатындай оң с саны табылады. Осы теңдіктің екі жағын да екімүшелігіне көбейтеміз, түрлендіреміз:

,

,

,

шығады.

Теңдіктің екі жағын да -ға бөлеміз. болады, яғни, кез келген және сандарының тең болатыны дәлелденді.

Бұл екі софизмде де теңдіктің екі жағын да нөлге бөлу амалы орындалды. Ал кез келген шаманы нөлге бөлуге болмайды. Сондықтан қате ұйғарым шын сияқты көрініп отыр.

Математикалық фокустар

Әдетте эстрада әртістері көрермендерді қызықтыру, көңілдендіру үшін бірмезгіл шапшаң, әбәніл қимылдарға негізделген көзбояушылықтар – фокустар жасап жатады. Мектепте, математика үйірмесі сабақтарында, математикалық кештерде де математикалық фокустар жасап, таңқалдыруға болады.

Математикалық фокустар әдетте жұмыстан шаршай бастаған оқушыларды сергіту, назарды жинақтау мақсатында пайдаланылады. Дегенмен, математикалық фокустар оқушылардың осы фокусты жасаған кезде пайдаланып математикалық заңдылықтарды байқап, оларды есте сақтау қабілетін жетілдіру мақсатында қолданылады.

1-фокус. Енді «ойланған санды табу» фокусының орындалу тәртібімен таныстырайық. Фокусшы (дайындалған оқушы) сабаққа немесе кешке қатысып отырған кез келген бір оқушыға да бір үш таңбалы санды ойлауды тапсырып, оны қағазға жаздырады. Фокусшы қағазға жазылған санның жанына сол санды қайталап тіркеп жазып, қағазды екінші оқушыға береді. Бұл оқушы қағаздағы санды 13-ке бөліп, шыққан санды үшінші оқушыға береді. Үшінші оқушы бұл санды 11-ге бөліп, бөлінді санды төртінші оқушыға береді. Төртінші оқушы қағаздағы санды 7-ге бөліп, бөліндіні дауыстап оқиды. Бұл сан міндетті түрде бірінші оқушы ойлаған сан болып шығады.

Бұл фокуста ешқандай кермет, құпия жоқ. Үш таңбалы санның жанына сол санның өзін тіркеп жазғанда, ойланған үш таңбалы сан 1001-ге көбейтілгендей болады. Ал үш оқушы ол санды 13-ке, 11-ге және 7-ге бөлді. Онда алты таңбалы сан 1001-ге бөлінді деген сөз. Өйткені . Қорыта айтқанда ойланған сан алдымен 1001-ге көбейтіліп, көбейтінді қайтадан 1001-ге бөлінгенде, әрине бастапқы ойланған сан шығады.

Енді осы фокусты нақтылы сан ала отырып орындап көрсетейік. Мысалы, 1-оқушы 871 санын ойлады дейік, оған 871 санын тіркеп жазғанда 871871 саны шығады. Осы санды жазылған қағазды 2-оқушыға береді. Екінші оқушы 13-ке бөлгенде бөліндіде 67067 саны шығады, ол оны 3-оқушыға береді. 3-оқушы 67067-ні 11-ге бөліп, одан шыққан сан 6097-ні 4-оқушыға өткізеді. Ол 6097-ні 7-ге бөлгенде бастапқы ойланған сан – 871 шығады.

Бұл фокусты көрсетудегі негзігі мақсат оқушыларға оның сыртын, яғни ойланған санның алдымен 1001-ге көтейтіліп, оның қайтадан 1001-ге бөлініп тұрғанын таптыру болатын. Егер оқушылар оның құпиясын таба алмай жатса, оны тағы бір-екі рет қайталап жіберуге де болады. Сандарды бөлу кезінде әрине оқушылар калькуляторды пайдаланады.

2-фокус. Келесі математикалық фокус «сызылған цифрды табу» деп аталады. Бұл ойынға осында отырған барлық оқушыларды қатыстыруға болады. Фокус жасаушы барлық оқушыға қандай да бір көп таңбалы санды ойлап, оны қағазға жазуды тапсырады. Келесі жолы олардың барлығы ойлаған саннан сол санның цифрларының қосындысын азайтады. Мысалы, ойлаған сан 555 болсын. Оның цифрларының қосындысы: . Бастапқы саннан цифрлардың қосындысын шегереді: . Үшінші жолы осы қалдықтың кез келген бір цифрын сызып тастауды тапсырады. Енді әрбір оқушыдан өзінде қалған санды оқыта отырып, фокусшы ол оқушының қай цифры сызып тастағанын тауып бере алады. Айталық, біздің мысалымыздағы 540 санының оқушы 5 деген цифры сызып тастап, өзінде 40 санының қалғанын хабарлады дейік. Фокусшы оның сызған цифрының 5 екенін былай табады. Қалған сандағы цифрлардың қосындысы . Онда , яғни 5 цифрының сызылғаны табылды.

Келесі бір оқушының ойлаған саны 929 болсын. Онда . Енді табылады. Оқушы 0 цифрын сызды да қалған санның 99 екенін атады. Фокус жасаушы қосындысын табады. болғандықтан деп, сызылған цифрдың 0 екенін табады.

Үшінші оқушы 625 санын ойлайды дейік. Бұндағы . Сан мен цифрлардың қосындысының айырмасы . Ойыншы 1 цифрын сызып, 62 санын оқысын. Осыдан сызылған цифрды табудың заңдылығы мынадай. Кез келген көп таңбалы сан 9-ға бөлінсе, оның цифрларының қосындысы да 9-ға бөлінеді. Мысалдағы 612 саның цифрларының қосындысы , бұл 9-ға бөлінеді. Ал 62 санындағы . Онда . Яғни, сызылған цифр 1 екені табылады.

Осындай бірнеше фокустан кейін де оқушылар оның құпиясын онша алмаса, фокусшы оқушы оның сырын түсіндіріп бере алады.

Айталық оқушы ойлаған сан болсын. Бұл санды қосынды түрінде былай жазуға болады: . Осы сандағы цифрлардың қосындысы болады. Келесі сатыда ойланған саннан оның цифрларының қосындысы азайтылады: . Бұл қалдықты 9-ға еселі сан екені көрініп тұр. Онда қалдықтың цифрларының қосындысы да 9-ға еселі болуы тиіс. Сызылған цифрды табу кезінде осы қасиет қолданылады.

Сызылған цифрды басқаша тәсілмен табуға да болады. Оқушының ойлаған саны 6712 болсын. Оған осы санның бір цифрын сызу тапсырылады. Айталық оқушы 2 цифрын сызсын. Сонда 671 саны қалады. Фокус жасаушы осы қалған саннан алғашқы ойлаған санының цифрларының қосындысын азайтуды тапсырады. Яғни саны табылады және оны дауыстап көпшілікке хабарлайды. Осыдан кейін фокусшы мынадай есептеулер жүргізіп, сызылған цифрдың қанша екенін табады: 655 санынан . Яғни, сызылған цифр 2 болғаны.

3-фокус. Келесі математикалық фокус «санды 11-ге ауызша көбейту» деп аталады. Бұл кезде фокусшы көрермен атаған санды 11-ге ауызша көбейтіп, көпшілікті таң қалдырады. Мысалы, көрермен оқушы 123456 санын 11-ге ауызша көбейтіп беруді тапсырса фокусшы көбейтінді болатынын тез арада есептеп береді. Оның сыры мынада жатыр. Фокусшы алдымен 0123456 санын жазып алады да көбейтіндінің бірлігіне 6 цифрын қойып алады. Көбейтіндінің ондығындағы цифрды табу үшін 6-ға 5-ті қосады, қосынды 11, яғни ондықтағы цифр 1 болғаны. Жүздіктегі цифрды табу үшін 6-ға 5-ті қосады, қосынды 11, яғни ондықтағы цифр 1 болғаны. Жүздіктегі цифрды табу үшін табылады, бұған осының алдында ойға қалдырған 1-ді қосады, , яғни көбейтіндінің жүздігінде 0 тұрады. Мыңдықтағы цифр да дәл осылай табылады: . Он мыңдықтағы цифр , келесі цифр , одан соң табылады. Яғни көбейтінді 1358016 болғаны.

Фокусты толық түсіну үшін тағы бір мысал қарастырайық: . Көбейтіндіні табу жолы. Ең соңғы цифр 1, ары қарай , келесі , яғни 1. Мыңдың цифр , яғни 0. Он мыңдық цифр , жүз мыңдық цифр болады. Сонда болғаны.

4-фокустан «Екі таңбалы санды 99-ға ауызша көбейту». Бұл фокустың сырын табуды үшін мынадай үш мысалды тақтаға жазып қойған дұрыс болады.

,

,

.

Осы мысалдарға талдау жасай отырып оқушылар бұл фокустың сырын аша алады. Егер таба алмаса, оның тәсілін содан кейін үйреткен жөн. Мысалы, 88 бен 99-дың көбейтіндісін табу үшін алдымен берілген сан 88-ді 1-ге кемітіп жазамыз. Енді оған 100 бен 88-дің айырмасы 12-ні тіркеп жазсақ, 8712 көбейтіндісі табылады.

Осы жерде мына нәрсені ескеру керек. Егер 100 бен берілген көбейткіштің айырмасы бір таңбалы сан болып шықса, онда оның алдына 0 цифрын қойып, оны екі таңбалы етіп алу керек. Мысалы, 96-ны 99-ға көбейту керек болсын. 96-дан 1-ге кем сан 95, ал . Онда болады.

5-фокус «Үш таңбалы санды 999-ға көбейту» екі таңбалы санды 99-ға көбейтуге өте ұқсас. Бұл жердегі негізгі айырмашылық: екі таңбалы санды 99-ға көбейткенде 100 бен көбейткіштің айырмасы есептелінетін болса, бұл жолы 1000 мен көбейткіштің айырмасы пайдаланылады. Нақтылы мысал қарастырайық. көбейтіндісін табу керек болсын. Бұл кезде фокус жасаушы есептеулерін жасап болатынын таба қояды.

Арнайы фокус ретінде қарастырып жатпасақ та, көбейту кестесіндегі , болуының заңдылығын оқушыларға үйретіп қою керек. Заңдылықты ұғынған оқушы үшін бұл кестені жаттап жатудың қажеті болмай қалады.

Осындағы екі таңбалы санды 99-ға көбейтудің және үш таңбалы санды 999-ға көбейтудің нәтижесін жалпы түрде өрнектеп көрсетуге де болады. Ол үшін алдымен белгілеуінің ондығы —ға тең, бірлігі -ға тең екі таңбалы санның жалпы жазылуы екенін түсіндіріп алу керек. Бұндағы санның төбесіне қойылған сызық ол өрнектің кһбейтінді емес, бірнеше таңбалы санның жазылуы екенін білдіреді. Мысалы өрнегі және с сандарының көбейтіндісі емес, жүздігі - , ондығы- , бірлігі с-ға тең үш таңбалы сан дегенді білдіреді.

Олай болса екі таңбалы санды 99-ға көбейтуді түрінде жазуға болады. Мысал қарастырайық . Дәл осы сияқты өрнегі арқылы үш таңбалы санның 999-ға көбейтіндісін табуға болады. Мысалы, көбейткіш үшін 678 санын алайық, мұндағы . Сонда болып, оларды өрнектегі орнына қойғанда, көбейтіндісі табылады.

Сандарды көбейтудің осындай оңай тәсілдерін үйрете отырып олардың математикалық есептеулерге қызығушылығын арттыруға болады. Осы заңдылықты игерген оқушылар болатынын өздері анықтай бастайды, яғни ғылыми шығармашылық ізденістер жолына түсе бастайды. Мысалы, табу жолы: есептеулері арқылы көбейтінді табылады.

6-фокус. Асқан шебер-есептеушілер немесе басқаша айтқанда математикалық фокус көрсетушілер көптеген жағдайда онша күрделі емес алгебралық түрлендірулерге сүйеніп, өздерінің есептеу жұмыстарын бірнеше есе оңайлата алады. Соның арқасында ол басқаларға ерекше дарынды, талант, сиқыршы сияқты болып танылады.

Мысалы қосындысын табу оңай шаруа емес. Бірақ оны оңайлатуға болады. ; заңдылықтарынан болатыны табылады. Енді осы теңдіктердің оң жақтарындағы мәндерді бастапқы берілген өрнектегі орындарына қойып есептегенде, қосындыны табудың ешбір қиындығы жоқ екенін аңғаруға болады:

. Дәл осы сияқты қосындысы табылады.

7-фокус. «Туған күнді табу». Фокусшы саған туған күніңді 12-ге, ал туған айының ретін 31-ге көбейтуді ұсынады. Бұдан кейін осы көбейтінділерді қосып, қосындыны хабарлауды тапсырады. Осыдан соң ол сенің туған күніңді (күні мен айын) тауып береді.

Мысалы сен 9 ақпанда туған болсақ, мына есептеулерді орындайсың: . Қосындыда 170 шыққанын хабарлайсың, фокусшы сенің туған күніңді тауып береді. Ол оны қалай табады?

Негізінде бұл мәселе анықталмаған теңдеуін шешуге келіп тіреледі, мұндағы х – айдағы күн саны, ал у айдың рет нөмірі. Сонымен қатар , ал .

Теңдеуден х-ті табамыз: , , , , . Енді өрнегіне у пен -ның табылған мәндерін қойып түрлендіреміз: .

және болғандықтан -дің мәндерінің шекарасын табамыз: . Олай болса , ал болғаны. Яғни, туған күн ақпанның тоғызы болды.

Бұл мәселенің бұдан басқа шешуін үйреніп алуға болады. Туған күнін жасырып отырған оқушы хабарлаған сан болсын, онда . Оны түрлендіріп жазайық: . Мұндағы 12-ге бөлінеді. Сондықтан 7у пен сандары 12-ге бөлгенде шығатын қалдықтары бірдей болады. Енді 7-ге көбейтіп, 49у пен -ны 12-ге бөлгенде шығатын қалдықтардың бірдей болатынын табамыз. , бұндағы 48у 12-ге бөлгендегі шығатын қалдық бірдей болады. Басқаша айтқанда: егер саны 12-ге бөлінбейтін болса, онда у саны санын 12-ге бөлгендегі шығатын қалдыққа тең болады. Ал егер саны 12-ге бөлінсе, онда болады. Сөйтіп у саны (туған айдың нөмері) осылайша толық анықталады. Ал у белгілі болған соң х-табу қиын емес.

Фокус жасаушы осы заңдылықтары бұрыннан біледі. Сондықтан біздің мысалдағы санын 12-ге бөліп көреді. 170 саны 12-ге дәл бөлінбейді. Онда -ны 12-ге бөлгендегі қалдықты табу ғана қалады. . Яғни, туған айдың реті 2. Енді теңдеуінен табылады. Сонда оқушының 9 ақпанда туғаны табылады.

Осы «туған күнді табу» фокусын бұдан да жеңілдетуге болады. Ол үшін жеңілдетуге болады. Ол үшін 7а санының 12-ге бөлгенде шығатын қалдықты тауып жатпай-ақ 170 санын 12-ге бөлгенде шығатын қалдықты табу керек, сонда есептеу жеңілірек болады. , яғни туған айдың реті 2-ге тең болғаны. Ары қарай, теңдеуін шешіп табылады.

Егер оқушы 3 желтоқсан күні туған болса, ол фокусшыға санын хабарлайды. Фокусшы 408-ді 12-ге бөліп көреді. , яғни қалдықсыз бөлінді, онда оқушы желтоқсанда туғаны. Бұдан кейін табылады.

8-фокус. Математикалық заңдылықтарды жақсы игерген фокусшы оны неше түрлі нұсқада қарастыра береді. Енді фокусшы туған күн мен айды ғана емес жасыңды (яғни туған жылыңды) да тауып бере алады. Ол үшін ол сахнаға бірнеше оқушыны шақырып алып, мына тапсырмаларды жасырып түрде (ешкімге жария етпей) орындауды сұрайды. Алдымен оқушылар өздерінің туған айының нөмірін 100-ге көбейтеді. Шыққан көбейтіндіге өзі туған күннің санын қосады. Енді шыққан қосындыны 2-ге көбейтеді, көбейтіндіге 8-ді қосады. Осы қосындыны 5-ке көбейтіп, шыққан көбейтіндіге 4-ті қосады. Соңында шыққан нәтижені 10 есе арттырып, оған 4 санын және оған өзінің толық жасын қосады. Осыдан соң оқушылар өздеріндегі ақтық нәтижені кезегімен айта бастайды, сол бойынша фокусшы оның туған жылын, айын, күнін айтып береді.

Фокусшының оны табу жолын көрсетейік. Айталық оқушының барлық есептеулерді орындағанда шыққан саны 101661 болсын. Фокусшы одан 444 санын ойша шегереді (немесе калькуляторды пайдалануға болады). Шыққан айырма 101217 болады. Осыған қарап тұрып, оқушының жасының 17-де, қазан айының 12-сінде туғанын айтып береді.

Бұның сыры неде екенін оқушылар бірден таба алмай жатады. Ондай жағдайда оны табу үшін талдау, зерттеу жұмысын оқушыға қолы бос уақытында орындауды тапсыруға болады. Бұндай тапсырмалар оқушыны шығармашылық ізденістерге жетелейді.

Математикалық фокустарды ілуде бір болмаса мұғалім емес, оқушының жасағаны әсерлі болып шығады. Бұндай жағдайда мұғалім оқушыны алдын ала жақсы дайындықтан өткізуі керек. Оқушы фокусты жаңылыспай жасап жатқан кезде, көрермен оқушылардың қызығушылығы артып, осы сияқты фокустарды жасауға өзінің де мүмкіндігі болатынына сенеді, соны орындауға талпынады.

Арифметикалық ребустар

Ребус сөзінің мағынасын жұмбақ деп түсінуге де болады. Сөзбен айтылатын жұмбақтан ребустың негізгі айырмашылығы: бұнда ізделініп табылатын сөз, сөйлем, немесе санды табу үшін осында берілген таңбаларды, әріптерді, символдарды пайдаланады. Математикалық есептеулерге қатысты ребустар математикалық ребустар деп аталады, соның ішіндегі арфиметикалық амалдар пайдаланылатындары арифметикалық ребустар деп аталады. Арифметикалық ребусты оқушыларды өте қызықтыратын ойын деп қарастыруға да болады. Ребус ойының негізгі мақсаты оқушыларды осында әріптерімен жасырылған сандарды таба білуге баулу, жолдарын үйрету, шығармашылық ойлау дағдыларын жетілдіру.

Арифметикалық ребуста сақталатынын негізгі ереже:

1. Ребустағы әрбір әріп бір ғана цифрды білдіреді, яғни әріптің бір түрін бір цифр ғана алмастыра алады, бір цифр әртүрлі әріптермен белгілене алмайды.

2. Өрнекте сол жақта тұрған бірінші әріп нөл цифрына тең бола алмайды.

Математикада оң цифр ғана пайдаланылатындықтан әрбір ребуста оннан артық әріп пайдаланылмайды. Арфиметикалық ребуста көбіне мағынасы түсінікті, қысқа сөздер пайдаланылады. Кейбір ребустарда – белгілі бір мағынасы болмайтын сөздер (әріп тіркестері) де қолданыла береді.

Арифметикалық ребустарды шешу арқылы оқушы сандар қолданылатын арифметикалық амалдардың қасиеттерін толық игеруге жаттығады. Сонымен қатар сандарға амалдар қолданып есеп шығарғандағыдай емес, оқушы ребус шешу кезінде ешбір жолықпайды, оларды шешу кезінде оқушылар арасында өзара жарыс пайда болады. Оқушы ребусты шеше отырып, өзінің біліктілігіне, математикалық қабілеттілігіне деген сенімі арта түседі. Үйірме сабақтарында оқушыларға ребусты оңайынан бастап, қиынына қарай безген дұрыс. Кейде кейбір ребустардың бірнеше шешімі болатын жағдайлар да кездеседі. Бұндай ребустарды беру арқылы оқушылардың бір мәселені бірнеше нұсқада шеше білу дағдылары жетілдіреді.

1. Алдымен бірнеше шешімі бар, оңай арифметикалық ребустарға бірнеше мысал келтірейік.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

2. Мына ребустардың кейбірінің екі, кейбірінің үш шешімі бар.

1. 2. 3. 4.

Енді тек сандардан құралған бірнеше ребусты қарастырайық:

1. 2. 3. 4.

Бұл ребустардағы * таңбасының орнына кез келген цифрларды қойып, теңдік орындай етіп ребусты шешуге болады.

3 . Енді мына ребустардың шешімдерімен берейік.

1. Бірінші қосылғышты тап.

Шешуі: 21332.

2 . Екінші қосылғышты тап.

Шешуі: 6791.

3. Шешуі:

3. Ш ешуі:

Математикалық кештің көркемөнер бөлімін дайындауға да жауапкершілікпен қараған орынды. Мұнда ән шырқап, өлең оқып, есептер мазмұны бойынша көріністер құруға да болады. Математика жайлы тақпақ, өлең оқу оңай дүние емес. Дегенмен көптің ішінен ондай қабілеті бар балалар да табылып жатады. Оған дәлел ретінде А.Абыхановтың «Математикалық жұмбақтар» кітабынан оқушы жазған «Тригонометрия» өлеңін айтуға болады:

Ғылымда алтау,

Мектепте төртеу,

Жалғыздық көрер жайым жоқ.

Қатары кеңіп,

Қиындықты жеңіп,

Математикада уайым жоқ.

Біздерді оқып,

Миына тоқып,

Коперник пен Галилей,

Ақырын жүріп,

Жерде-ақ тұрып,

Ай картасын жасаған.

Оқысаң мені,

Өсірем сені,

Ғылымға бейім жас адам.

Қасиетімді зерттеп,

Ат қылып ерттеп,

Өткелсіз жерден өте алған.

Бұрышты өлшеп,

Сызбасын сызып,

Мақсатты нүктеге жете алған.

Математикадан шығып,

Басқалар ұғып,

Тригонометрия болып аталған.

Ғылымсыз өмір қараң ғой

Осыны бәрің ойлап қой.

Осы өлеңді жазуы арқылы оқушы тригонометрияның мәнін ашып көрсеткісі келгені байқалады.

Математикалық кештің қорытынды бөлімінде қазылар алқасы кеш барысын талдау жасауына болады. Берілген жауаптардың кемшіліктері болса, көрсетіліп толықтырылады. Жеңімпаз оқушылар марапатталады.

2.6. Математикалық шығармашылық жұмыстарды ұйымдастыру

Математикадан сыныптан тыс жұмыстардың үлгірімі төмен оқушылармен олардың біліміндегі олқылықтарды толықтыру және көпшілік, оқушыларды математикаға қызықтыру, біліктілігін арттыру жұмыстары жүргізілетінін айттық. Оқушылардың құрамында математикаға қабілеті жоғары, ерекше қызығушылығы байқалатын оқушылармен мұғалімнің жеке жұмыс жүргізуіне тура келеді. Математикадан сыныптан тыс жүргізілетін бұндай жұмыстың негізгі мақсаты – математикаға бейімі бар, ерекше қабілетті, ынталы оқушылардың шығармашылық қабілеттерін ұштау, дамыту, тәрбиелеу. Бұл істе оқушылардың өз бетінше оқулықтардан тыс қосымша әдебиеттерді оқу, зерттеушілік іскерліктері мен машықтарын шыңдауға зор мән беріледі.

Мектептегі бағдарламалық сабақтарда оқушының кең көлемді шығармашылық жұмысын ұйымдастыруға мүмкіндік бола бермейді, уақыт өлшеулі. Ал сыныптан тыс жұмыстарда оқушылардың шығармашылық іс-әрекетін қолдап, олардың жүйелі жұмыс істеуін ұйымдастыруға, тақырып таңдап, оы мәселе бойынша тереңірек оқып үйренуіне жағдай туғызуға мүмкіндік мол. Зерттеу жұмысы ұзақ ізденуді, зор табандылық пен қажырлылықты қажет етеді.

Оқушы белгілі бір мәселе бойынша зерттеу жұмысын жүргізуі үшін алдымен оған шығармашылық жұмыс істеудің мән-мағынасын ұғындыру керек. Мысалы, оқушы «зерттеу» дегенді дұрыс қабылдап, оны жүзеге асырудың тәсілдерін игеруі тиіс. Зерттеу деген бірден жаңалық ашу емес. Алдымен осы мәселедегі білетіндері мен білмейтіндерін айқындау. Қосымша әдебиеттерді оқу арқылы осы мәселе туралы мағлұматтарды жинақтау, оларды жүйелеу, саралау тәсілдерін үйрену. Ақпарат кездерімен жұмыс істей білудің жолдарын тану. Жинақталған ақпараттардың тиімділіктеріне талдау жасалады. Оларды жүйелеп жазудың мәдениетін игереді.

Оқушылардың шығармашылық жұмысқа деген белсенділігі олардың білім деңгейіне байланысты. Сондықтан бұндай оқушылардың әрқайсысымен жеке жұмыс жүргізіледі. Қалай болғанда да жұмыстың тақырыбы мектептің бағдарламалық материалдарымен сабақтасып жатуы тиіс.

Зерттеуге алынған мәселені алдымен мұғалім «ұсақ» мәселелерге бөлшектеп, оларды бірте-бірте шешуді тапсырады. Күрделі мәселені бірден қарастыру оқушы үшін қиындық туғызып, оның өз мүмкіндігіне, шамасын сенімсіздікпен қарауына жетелеуі мүмкін. Қарастырылатын тақырып әрбір оқушының біліктілігіне, мүмкіндігіне, мүддесіне сай келіп жатса, жұмысқа құлшынысы артады.

Белгілі бір тақырып бойынша зерттеу жұмысын жүргізетін оқушыға мына бағытта нұсқау беруге болады. Алдымен оқушы әр түрлі материалдарды оқып, сұрау сала отырып өз тақырыбына қатысы бар, ұқсас мәселелерді анықтайды. Ол мәселенің өзектілігін негіздейді. Келесі сатыда оқушы өзі айналысып жүрген тақырып – мәселемен айналысып жүрген немесе айналысқан ұжымдар мен жеке мамандарды анықтау. Олардың жұмыстарымен танысу. Тақырыпқа сай келетін ақпараттарды әр түрлі басылым беттерінен, оқулықтар мен әдебиеттерден жинақтау.

Оқушыларды жинақталған материалдар бойынша талдау жасау және мәселені шешу жолдарын қарастыруға баулу. Бұл мәселе басқа жерлерде қалай шешіліп жатқанын хабардар болу. Мәселе оларда қалай шешілуде, қателіктердің себебі неде екенін анықтау. Зерттеу барысында жинақталған материалдардан портфолио дайындау.

Жинақталған материалдар белгілі болғанда ғылыми жобаны баяндап жазады. Онда алдымен жұмыстың тақырыбы көрсетіледі. Арнайы үлгіде титул парағы толтырылады. Келесі бетте жұмыстың мазмұны көрсетіледі. Аннотация екі тілде (қазақ және ағылшын) дайындалады. Жалпы жоба жұмысы кіріспе, зерттеу және қорытынды бөлімдерінен тұрады. Жұмыста зерттеудің мақсаты, яғни осы тақырыпты зерттеу арқылы не мәселені шешу көзделгені көрсетіледі. Осы тақырыптың өзектілігі себебін дәлелдеу. Жұмыс барысында қандай жаңалыққа қол жеткенін көрсету. Немесе оны жалғастыратын болса қандай жетістікке жететінін тұжырымдайды.

Математикадан сыныптан тыс жұмыстың жеке қабілетті оқушылармен жүрігізілетін түрінде оқушылардың математика бойынша теориялық білімдерін және практикалық іс-әрекеттері мен машықтарын тереңдету мен кеңейту, олардың пәнге ықыласы мен қабілетін қалыптастыру және дамыту, ғылыми зерттеу машықтарын, шығармашылық қызмет дербестігін тәрбиелеу, математикалық білімді уақытдауға баулу, мамандық таңдауға көмектесу жүзеге асады.

Қорытынды

Мектепте оқушыларға толымды математикалық білім беру ісі мектеп бағдарламасына сай сыныптық сабақ өткізу, факультативтік сабақтар өту және сыныптан тыс жұмыстарды кешенді түрде жүргізу арқылы жүзеге асады. Олардың ішіндегі математикадан сыныптан тыс жүрігізілетін жұмыстардың орны ерекше. Өйткені сыныптан тыс жұмыстардың өткізілуінің бірнеше өзіндік ерекшеліктері бар, сыныптық сабақтардан мүмкіншіліктер мол.

Сыныптық сабақтар бекітілген, өзгертуге болмайтын бағдарламамен өткізіледі және оған сыныптағы барлық оқушы міндетті түрде қатысады. Сыныптық сабақтарға уақыт шектеулі болғандықтан бағдарламалық материалдардан тыс мәселелерді қарастыруға мүмкіндік болмайды. Ал сыныптан тыс жұмыстарға оқушылар өз еркімен қатысады. Ең бастысы сыныптан тыс жұмыстардың алуан түрде өткізілуінде болып отыр. Үйірме сабақтарында бағдарламалық материалдар бойынша оқушылардың біліктілігін арттырады. Математика және математиктер туралы тарихи материалдармен танысады. Әр түрлі математикалық ойындар ойнап, жұмбақтар шешу оқушылардың математикаға қызығушылығын арттырады. Математикалық эстафеталарға қатыса отырып, оқушылардың ұжымдасып жұмыс істеуін, бір-біріне алдын ала көмектесіп, дайындалу дағдыларын қалыптастырады. Математикалық олимпиадаларға қатыса отырып есептерді шешудің жаңа, тиімді тәсілдерін үйренеді. Математикалық ойындар ойнап, ребус, жұмбақ шешу, өзара жарыс жұмыстарын математикалық шығармашылық ізденістерге жалғастыруға мүмкіндік туады. Математикадағы белгілі тақырып бойынша ғылыми жобалар жазып, ғылыми тұжырымдар жасауды үйренеді. Математикаға қызығушылығының артуы, білім қорының кеңеюі оқушының болашақ мамандығын таңдауға игілікті әсер етеді.

Математикдан 7-9 сынып оқушылармен жүргізілетін сыныптан тыс жұмыстардың бұлардан басқа сыныптардағы түрлері мен оларды өткізудің ерекшеліктерін зерттеп, жалпы қорытынды жасау қажеттігі байқалады. Сондықтан математикадан сыныптан тыс жүргізілетін жұмыстарды теориялық және практикалық тұрғыда зерттеу жұмыстарын жалғастыруға болады.

Пайдаланған әдебиеттер тізімі

1. Қазақстан Республикасындағы білім туралы заңнама, Заң актілерінің жиынтығы. – Алматы: Юрист, 2007.-192б.

2. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. Учеб.пособие для студентов физ.-мат. фак.пед.институтов. М., «Просвещение», 1975.-462с.

3. Бидосов Ә. Орта мектепте математиканы оқыту методикасы. Пед.инс.физ.-мат. фак.студенттеріне арналған оқу құралы. – Алматы, «Мектеп» 1989.-224бет.

4. Әбілқасымова А.Е., Көбесов А.К., Рахымбек Д., Кенеш Ә.С. Математиканы оқытудың теориясы мен әдістемесі. Жоғары оқу орындарының студенттеріне арналған оқу құралы. – Алматы: Білім, 1998.-208 бет.

5. Байжанова З.Т. Жалпы педагогика: Оқу құралы.-Алматы: «Тоймас» баспа үйі. 2008.-168 бет.

6. Қожабаев Қ.Ғ. Математиканы тәрбиелей-дамыта оқыту: ғылыми-әдістемелік негізі, тәжірибе. Оқу құралы.-Көкшетау, КМУ баспасы, 2008,-203 бет.

7. Кадыров Н. Взаимосвязь внеклассных и факультативных знятий по математике: Кн.для учителя. – М.: Просвещение, 1983.-64с.

8. Исқақов М.Ө., Назаров С.Н. Математика мен математиктер жайындағы әңгімелер. Бірінші кітап.-Алматы. «Мектеп» баспасы. 1967-268б.

9. Глейзер Г.И. История математики в школе VII-VIII кл. Пособие для учителей.-М.:Просвещение, 1982-240с.

10. Петраков И.С. Математические кружки в 8-10 классах: Кн.для учителя.-М.:Просвещение, 1987.-224с.

11. Абжаппаров А.А., Зұлпыхар М.Е. 7-9 сыныптардағы математикалық үйірмелерді ұйымдастырудың талаптары, әдістері. /«Математика дидактикасы» журналы. №2-4, 2015 ж.

12. Зарубежные математические олимпиады. /Конягин С.В., Тоноян Г.А., Шарыгин И.Ф., и др.-М.:Наука. 1987.-416с.

13. 5-11 класс оқушыларының Қазақстандық математика олимпиадасына арналған жаттығу есептерінің жинағы. –Алматы. 1964-82б.

14. Петраков И.С. Математические олимпиады школьников. Пособие для учителей. Москва «Просвещение» 1982-96с.

15. Жаратылыстану-математика пәндері бойынша мектептік, аудандық олимпиадалары ұйымдастыру мен өткізуге арналған әдістемелік нұсқаулар. Алматы, 1999-109 бет.

16. Бейсеков Ж., Шарипов Т.А. Из опыта проведения школьных математических олимпиад в Чимкентской области. Чимкент. 1991.

17. Колмогоров А.Н. Математик мамандығы туралы. Орыс тілінде үшінші болуынан аударған М.Ө.Исқақов. Алматы «Мектеп» баспасы. 1966.-64б.

18. Ізтілеуұлы Қ. Трапецияны мектепте оқытудың мәселелері. /«Математика дидактикасы» журналы. №2-4, 2015 ж.

19. Перельман Я.И. Қызықты алгебра. – Алматы «Мектеп» 1986.-190 бет.

20. Перельман Я.И. Жанды математика. – Алматы «Мектеп» баспасы. 1978.-184 бет.

21. Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.А. Математикадан кластан тыс жұмыс 6-8 кластарға арналған. Алматы «Мектеп» 1986-296б.

22. Колосов А.А. Книга для внеклассного чтения по математике для учащихся VIII класса. Москва Учпедгиз 1958.

23. Игнатьев Г.И. В царстве смекалки. Москва «Наука» 1978.

24. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. Математические фокусы и головоломки. / Перевод В.С.Бермана. Москва «Наука» 1978.

25. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся. М.Просвещение, 1984.

26. Лоповок Л.М. Математика на досуге: Кн.для учащихся сред. школьного возраста. – М.: Просвещение. 1981-158 с.

27. Кордемский Б.А. Очерки о математических задачах на смекалку./Пособие для учителей. Москва. 1958.

28. Шпорер З. Ох, эта математика! : Перевод с хорватско-сервского Д.П.Мансфельда.-М.:Педагогика. 1985-128с.

29. Коваль С. От развлечения к знаниями. Математическая смесь. Перевод с польского Ольгерд Унгурян. Warszawa 1975.

30. Абдуллаева И.М., Көкенова Ж. ІV-VІІ кластарда математикадан жүргізілетін кластан тыс жұмыстар/Мұғалімдерге арналған көмекші құрал. Алматы «Мектеп» 1974.

31. Қырық қазына. Қазақ халқының ауызша есептері. Алматы «Мектеп» 1987.

32. Хамитов А. Ертегі есептер. Қызықты аңыз-ертегілерге құрылған есептер. Алматы 1997.

33. Нұрсұлтанов Қ. Ертегі есептер. – Алматы «Таймас» баспа үйі, 2008.-72 бет.

34. Нұрсұлтанов Қ., Нақышбекова Г. Жүлдегерлік жүз есеп. – Алматы. «Таймас» баспа үйі, 2009-104 бет.

35. Абыханов А. Математикалық жұмбақтар. – Алматы 2004.

36. Логикалық сұрақтар, есептер, ойындар мен құрастырмалар./Құраст. Рамазан Омаров, -Алматы: Өлке. – 2012.-320 бет.

37. Интернет желісі.