АХАТОВА КУЛЖИАН ШАЙМЕРДЕНОВА

ӘДІСТЕМЕЛІК ҚҰРАЛ

7-8-сынып оқушыларына арналған

ТҮСІНІК ХАТ

Бұл әдістемелік бағдарлама 7–8 сынып оқушыларының математикалық білімі мен логикалық ойлауын дамытуға арналған арнайы құрылымдалған оқу-әдістемелік кешен болып табылады. Бағдарлама жалпы білім беретін мектептердің жаңартылған оқу мазмұны талаптарына сәйкес жасалып, математикалық білімді тереңдету, күрделі есептерді шешу, дәлелдеу мәдениетін қалыптастыру және оқушының жеке интеллектуалдық әлеуетін дамытуға бағытталған.

Логикалық ойлау – математиканы меңгерудің негізгі көрсеткіші ғана емес, сонымен қатар тұлғаның шығармашылық, аналитикалық, сыни ойлау дағдыларының негізі болып табылады. 7–8 сынып кезеңі логикалық ойлау процестерін белсенді дамытуға ең қолайлы уақыт, себебі осы жаста оқушыларда талдау, салыстыру, жалпылау, қорытындылау, дәлелдеу қабілеттері қалыптаса бастайды. Сондықтан бұл бағдарлама заманауи білім беру жүйесінің талаптарына сай логикалық ойлауды мақсатты, жүйелі, әрі әдістемелік тұрғыдан дамытуға бағытталған.

Әдістемелік құрал өзектілігі:

Қазіргі уақытта математикалық сауаттылық пен логикалық ойлау дағдылары PISA, TIMSS сияқты халықаралық бағалау жүйелерінің негізгі көрсеткішіне айналды. STEM бағыттарының (инженерия, IT, биоинформатика, қолданбалы математика) қарқынды дамуы да оқушылардың ерте жастан логикалық ойлау қабілеттерін жетілдіруді қажет етеді.

Логикалық ойлауға бағытталған тапсырмалар:

– мәселені дұрыс түсіну және талдау;

– бір құбылыстың бірнеше шешімін табу;

– математикалық модель құру;

– тиімді стратегия таңдау;

– дәлелдеу және тұжырым жасау дағдыларын дамытады.

Осылайша, бағдарлама әр оқушының жеке интеллектуалдық мүмкіндігін ашуға ықпал етеді.

Әдістеменің мақсаты:

7–8 сынып оқушыларының логикалық және математикалық ойлау қабілеттерін дамыту, күрделі есептерді шешу мәдениетін қалыптастыру, аналитикалық ойлауды жетілдіру және математикалық білімін кеңейту.

Міндеттері:

Бағдарлама төмендегі міндеттерді орындауға бағытталған:

1. Логикалық есептерді шешудің негізгі әдістерін меңгерту (талдау, жорамал әдісі, толық іздеу, модельдеу).

2. Оқушылардың дәлелдеу дағдыларын дамыту (қарама-қарсы жору, индукция, аналогия, салыстыру).

3. Алгебралық және геометриялық модельдер арқылы ойлау жүйелілігін қалыптастыру.

4. Комбинаторика, ықтималдық, графтар теориясы сияқты логикалық бағыттардан базалық білім беру.

5. Стандартты емес және олимпиадалық деңгейдегі есептерді шешуді үйрету.

6. Оқушының шығармашылық және зерттеушілік қабілетін арттыру.

7. Топтық талдау, пікірталас және бірлескен шешім арқылы математикалық коммуникация мәдениетін қалыптастыру.

Ғылыми-әдістемелік негіздеме:

Бағдарлама келесі теориялық-әдістемелік тұғырларға сүйенеді:

1. Дамыта оқыту технологиясы

Оқушылардың өз бетімен ойлауын, ізденісін, шешім қабылдауын белсендіретін тапсырмалар қолданылады.

2. Проблемалық оқыту әдісі

Әр сабақта оқушы алдында танымдық қарама-қайшылық тудыратын есеп беріледі — бұл логикалық ойлауды күшейтеді.

3. Құзыреттілікке бағытталған тәсіл

Математикалық білімді өмірлік жағдаяттарда, зерттеу тапсырмаларында және қолданбалы есептерде қолдану жүзеге асырылады.

4. Спиральді оқыту принципі

Тақырыптар қайталанып, әр айналым сайын күрделене түседі: 7-сыныпта базалық логикалық операциялар, 8-сыныпта — күрделі комбинаторикалық және модельдеу есептері қарастырылады.

5. Интерактивті әдістер

Топтық есеп шығару, логикалық жарыстар, математикалық дебаттар, графикалық модельдеу, интерактивті цифрлық платформаларды қолдану.

Бағдарламаның жаңашылдығы:

Бағдарлама 7–8 сынып оқушыларының ойлауын дамытудың заманауи тәсілдерін ұсынады:

– Логикалық есептердің жүйеленген құрылымы (арифметикалық, геометриялық, комбинаторикалық, сөздік логикалық, қозғалыс және жұмысқа арналған).
– Модельдеу мен дәлелдеу әдістерін практикалық қолдану.

– Алгоритмдік ойлауға арналған мини-жобалар мен зерттеу сабақтары.

– Сандық құралдар (GeoGebra, Desmos) арқылы логикалық модельдер құру.

– Оқушылардың жеке даму траекториясын бақылауға арналған диагностикалық

тапсырмалар.

Күтілетін нәтижелер:

Бағдарлама аяқталған соң оқушылар:

Білімдік деңгейде:

– математикалық логика элементтерін (логикалық байланыстар, кестелер, шарттар) меңгереді;
– комбинаторика мен ықтималдықтың базалық әдістерін қолдана алады;

– дәлелдеу тәсілдерінің мәнін түсінеді.

Дағды деңгейінде:

– күрделі логикалық және стандартты емес есептерді шеше алады;

– модельдеу, схема құру, диаграммамен жұмыс істеу дағдыларын қолданады;

– дәлелді, жүйелі, негізделген жауап береді.

Құзыреттілік деңгейінде:

– өз ойын математикалық тілде нақты жеткізе алады;

– мәселенің бірнеше шешімін табады;

– талдау, салыстыру, жалпылау арқылы қорытынды шығарады;

– оқуда және өмірлік жағдаяттарда логикалық ойлауды қолдана алады.

Әдістемелік ұсыныстар:

– Сабақ барысында логикалық тапсырмаларды міндетті түрде қысқа талдаудан кейін беру ұсынылады.
– Оқушылардың қателесуіне мүмкіндік жасалады, себебі қателер — логикалық ойлауды дамытатын негізгі фактор.

– Әр тапсырма бойынша кем дегенде 2–3 шешу жолын көрсету — ойлаудың икемділігін арттырады.
– Сабақтың 20–30%-ын талқу, дәлелдеу және өз шешімін қорғауға бөлу қажет.

– Блум таксономиясының жоғарғы деңгейіндегі тапсырмаларға (талдау, синтез, бағалау) басымдық беріледі.

– Оқушылардың жеке және топтық зерттеу жұмыстарына жағдай жасалады.

ТҰРАҚТАЛУ-МАЗМҰНДЫҚ БӨЛІМ

Әдістемелік құрал математикалық олимпиадалық есептерді шешуге бағытталған және теория мен тәжірибені үйлестіре отырып, оқушылардың логикалық ойлау қабілетін, шығармашылық дағдыларын және стандарттан тыс ойлауын дамытуға арналған.

Бағдарламаның мазмұны теориялық және практикалық бөлімдерден тұрады:

• Теориялық бөлімде олимпиадалық есептерді шешу әдістері, математикалық тұжырымдар мен заңдылықтар, логикалық есептер мен математикалық моделдеу қарастырылады.

• Практикалық бөлімде оқушылар алған білімдерін қолдана отырып, әртүрлі күрделілік деңгейіндегі есептерді шешеді, математикалық сайыстарға қатысады және топтық, жеке жұмыстар арқылы дағдыларын жетілдіреді.

Оқу-тақырыптық жоспары:

Барлығы 34 сағат, аптасына 1 сағат

Бағдарлама 5 бөлімнен тұрады:

I БӨЛІМ: САНДАР ТЕОРИЯСЫ МЕН АРИФМЕТИКА (8 сағат)

1. Күрделі есептеулер мен сандық ойындардың шешу жолдары (2 сағат)

Бұл бөлімде арифметикалық амалдарды орындаудың тиімді әдістері, есептеуді жылдамдату тәсілдері және сандық ойындардағы логикалық стратегиялар қарастырылады.

2. Сандар теориясындағы салыстырулар мен процентке қатысты олимпиадалық есептер (2 сағат)

Сандарды салыстырудың математикалық әдістері, проценттік өзгерістерді есептеу, пропорция мен пайызға қатысты күрделі олимпиадалық есептер шешіледі.

3. Пропорциялық тәуелділікке берілген есептер (2 сағат)

Пропорция, тура және кері пропорционалдық ұғымдары, оларды пайдаланып есептерді шешу әдістері, сондай-ақ шынайы өмірдегі пропорциялық тәуелділіктер қарастырылады.

4. Сандардың бөлінгіштігі мен цифрлық өрнектерге қатысты олимпиадалық есептер (2 сағат)
   Сандардың бөлінгіштік белгілері, цифрлармен жүргізілетін математикалық амалдар, сандық өрнектерді түрлендіру және осы тақырыпқа қатысты күрделі есептер беріледі.

II БӨЛІМ: ЛОГИКАЛЫҚ ЕСЕПТЕР ЖӘНЕ МАТЕМАТИКАЛЫҚ МОДЕЛЬДЕУ (8 сағат)

5. Жасқа қатысты олимпиадалық есептер (2 сағат)

Оқушылардың жасын, жылдар арасындағы айырмашылықты және белгілі бір уақыттағы жас мөлшерін есептеуге байланысты логикалық есептер қарастырылады.

5. Бірлескен жұмыс пен қозғалысқа берілген күрделенген есептер (2 сағат)

Бірлескен жұмысқа, өзара қарқынға және екі объектінің қозғалысына қатысты уақыт, қашықтық, жылдамдық арқылы шешілетін күрделі есептер қарастырылады.

5. Математикалық модельдеу арқылы шешілетін арифметикалық есептер (2 сағат)

Күрделі есептерді графиктік, алгебралық және аналитикалық әдістер арқылы модельдеу, есептің шешімін нақтылау мен тиімді шешу жолдарын қарастыру.

5. Ребустарды шешу әдістері (2 сағат)

Ребус және шифрланған есептерді шешу алгоритмдері, сандық символдарды түрлендіру тәсілдері мен логикалық талдаулар.

III БӨЛІМ: МАТЕМАТИКАЛЫҚ ЛОГИКА ЖӘНЕ КОМБИНАТОРИКА (8 сағат)

9. Теңдеулер құру арқылы шешілетін логикалық-математикалық есептер (2 сағат)

Логикалық есептерді теңдеу арқылы шешу әдістері, белгісіз шамаларды анықтау және теңдеуді аналитикалық түрде құру тәсілдері қарастырылады.

9. Уақыт пен өлшем бірліктеріне қатысты олимпиадалық есептер (2 сағат)

Өлшем бірліктерін түрлендіру, уақыт есебімен байланысты есептер, уақыт аралығындағы өзгерістерді есептеу және олардың олимпиадалық есептерде қолданылуы.

9. Логикалық операциялар мен комбинаторлық есептеулер (2 сағат)

Комбинаторика негіздері, элементтерді орналастыру, топтау, таңдау тәсілдері, логикалық операцияларды есептерді шешуде қолдану жолдары қарастырылады.

9. Дирихле принципі және Эйлер теориясына негізделген есептер (2 сағат)

Дирихле принципін пайдаланып шешілетін логикалық есептер, Эйлер формуласы және оның олимпиадалық есептерде қолданылуы.

IV БӨЛІМ: ЖАҢА ТИПТЕГІ ЕСЕПТЕР (7 сағат)

13. Жұп-тақ сандар теориясы мен оның қолданылуы (2 сағат)

Жұп және тақ сандардың қасиеттері, олардың арифметикадағы және математикалық дәлелдеулердегі рөлі, олимпиадалық есептердегі қолданысы қарастырылады.

13. Сиқырлы фигуралар мен математикалық құрылымдар (2 сағат)

Сиқырлы квадраттар, Латын шаршылары, ерекше математикалық заңдылықтарға негізделген сандар тізбектері және олардың қолданылуы.

13. Геометриялық фигураларды санау және теңдей бөлу әдістері (3 сағат)

Геометриялық фигуралардың симметриясы, көпбұрыштарды теңдей бөлу, бөлшектік аймақтарды санау және олардың есептерде қолданылуы.

V БӨЛІМ: ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЕСЕПТЕР (3 сағат)

16. Аудан мен периметрге қатысты күрделі есептер (3 сағат)

Күрделі геометриялық есептерді шығару әдістері, үшбұрыштар мен төртбұрыштардың ауданы мен периметрін есептеудің олимпиадалық тәсілдері қарастырылады.

НОРМАТИВТІ БӨЛІМ

Күнтізбелік-тақырыптық жоспар

Аптасына 1 сағат, жылына 34 сағат.

7-8-сынып оқушыларына арналған

№	Тақырып	Оқу мақсаттары	Сағаттар саны			Білім нәтижесі
			Барлығы	Теория	Практика
	Күрделі есептеулер мен сандық ойындардың шешу жолдары	Есептеу алгоритмдерін білу; Сандық заңдылықтарды түсіну; Есептеу әдістерін қолдану; Есеп шарттарын талдау; Шешу жолдарын жүйелеу; Тиімді әдісті таңдай білу	2	1	1	Есептерді шешу алгоритмдері; Тірек-сызбалар; Есептің шешу жолдарының конспектісі
	Сандар теориясындағы салыстырулар мен процентке қатысты олимпиадалық есептер	Салыстыру әдістерін білу; Процент ұғымын түсіну; Формулаларды қолдану; Есеп құрылымын талдау; Шешу тәсілдерін біріктіру; Нәтижені бағалау	2	1	1	Есептердің шешу жолдары; Формулалар жинағы; Салыстыру кестелері
	Пропорциялық тәуелділікке берілген есептер	Пропорция қасиеттерін білу; Тәуелділік түрлерін түсіну; Пропорция қасиеттерін қолдану; Тәуелділікті талдау; Шешу әдістерін жүйелеу; Шешімнің дұрыстығын тексеру	2	1	1	Тәуелділік графиктері; Есептер жинағы; Тірек конспектілер
	Сандардың бөлінгіштігі мен цифрлық өрнектерге қатысты олимпиадалық есептер	Бөлінгіштік белгілерін білу; Бөлінгіштік заңдылықтарын түсіну; Белгілерді қолдану; Цифрлық өрнектерді талдау; Әдістерді жинақтау; Шешімді бағалау	2	1	1	Бөлінгіштік белгілері кестесі; Шешілген есептер жинағы; Есеп шығару алгоритмдері
	Жасқа қатысты олимпиадалық есептер	Жасқа қатысты есептердің типтерін білу; Шарттарды түсіну; Теңдеулер құру; Есеп мазмұнын талдау; Шешу жолдарын жүйелеу; Жауаптың дұрыстығын тексеру	2	1	1	Есеп шығару үлгілері; Теңдеулер жүйесі; Тексеру әдістері
	Бірлескен жұмыс пен қозғалысқа берілген күрделенген есептер	Жұмыс пен қозғалыс формулаларын білу; Есеп түрлерін ажырату; Формулаларды қолдану; Есеп компоненттерін талдау; Шешу жолдарын біріктіру; Тиімді әдісті анықтау	2	1	1	Формулалар жинағы; График түрлері; Есеп шығару алгоритмдері
	Математикалық модельдеу арқылы шешілетін арифметикалық есептер	Модельдеу әдістерін білу; Математикалық модельдерді түсіну; Модельдерді құру; Шарттарды талдау; Шешу жолдарын жинақтау; Модельдің тиімділігін бағалау	2	1	1	Математикалық модельдер; Сызбалар; Шешу алгоритмдері
	Ребустарды шешу әдістері	Ребус шешу ережелерін білу; Шартты белгілерді түсіну; Әдістерді қолдану; Ребус құрылымын талдау; Шешу жолдарын жүйелеу; Шешімнің дұрыстығын тексеру	2	1	1	Ребустар жинағы; Шешу әдістері; Тексеру тәсілдері
	Теңдеулер құру арқылы шешілетін логикалық-математикалық есептер	Теңдеу құру әдістерін білу; Логикалық байланыстарды түсіну; Теңдеулер құру; Шарттарды талдау; Шешу жолдарын біріктіру; Әдістердің тиімділігін бағалау	2	1	1	Теңдеулер жинағы; Шешу алгоритмдері; Тексеру әдістері
	Уақыт пен өлшем бірліктеріне қатысты олимпиадалық есептер	Өлшем бірліктерін білу; Уақыт есептеулерін түсіну; Формулаларды қолдану; Есеп шартын талдау; Шешу әдістерін жинақтау; Нәтижені бағалау	2	1	1	Формулалар жинағы; Есептер жинағы; Тексеру тәсілдері
	Логикалық операциялар мен комбинаторлық есептеулер	Логикалық операцияларды білу; Комбинаторика заңдарын түсіну; Формулаларды қолдану; Есеп құрылымын талдау; Шешу жолдарын жүйелеу; Нәтижені тексеру	2	1	1	Логикалық схемалар; Комбинаторика формулалары; Есептер жинағы
	Дирихле принципі және Эйлер теориясына негізделген есептер	Дирихле принципін білу; Эйлер теориясын түсіну; Принциптерді қолдану; Есеп шарттарын талдау; Шешу жолдарын біріктіру; Дәлелдеу дұрыстығын тексеру	2	1	1	Теориялық материал; Дәлелдеу әдістері; Есептер жинағы
	Жұп-тақ сандар теориясы мен оның қолданылуы	Жұп-тақ сандар қасиеттерін білу; Заңдылықтарды түсіну; Теорияны қолдану; Есеп шартын талдау; Шешу жолдарын жинақтау; Нәтижені тексеру	2	1	1	Теориялық материал; Қасиеттер жинағы; Есептер жинағы
	Сиқырлы фигуралар мен математикалық құрылымдар	Сиқырлы фигуралардың түрлерін білу; Құрылым заңдылықтарын түсіну; Құру әдістерін қолдану; Фигураларды талдау; Құру жолдарын жүйелеу; Дұрыстығын тексеру	2	1	1	Фигуралар жинағы; Құру алгоритмдері; Тексеру әдістері
	Геометриялық фигураларды санау және теңдей бөлу әдістері	Фигураларды санау әдістерін білу; Бөлу принциптерін түсіну; Әдістерді қолдану; Фигураларды талдау; Шешу жолдарын біріктіру; Нәтижені бағалау	3	1	2	Фигуралар жинағы; Санау әдістері; Бөлу алгоритмдері
	Аудан мен периметрге қатысты, және геометриялық күрделі есептер	Аудан мен периметр формулаларын білу; Есеп түрлерін түсіну; Формулаларды қолдану; Фигураларды талдау; Шешу жолдарын жинақтау; Нәтижені тексеру	3	1	2	Формулалар жинағы; Есептер жинағы; Шешу алгоритмдері
Барлығы			34	17	17

АҚПАРАТТЫҚ-ӘДІСТЕМЕЛІК БӨЛІМ

Критериалды бағалау жүйесі:

1. Қалыптастырушы бағалау критерийлері:

• Есеп шығару алгоритмін дұрыс қолдану;

• Математикалық терминдерді орынды пайдалану;

• Логикалық ойлау қабілетін көрсету;

• Есептің шешу жолдарын түсіндіре алу;

• Математикалық модельдеу дағдыларын көрсету.

2. Жиынтық бағалау критерийлері:

• Бөлім бойынша теориялық білімді меңгеру деңгейі;

• Олимпиадалық есептерді өз бетінше шығара алу қабілеті;

• Стандартты емес есептерге шешу жолын таба білу;

• Математикалық дәлелдеулерді жүргізе алу;

• Алған білімді практикада қолдана білу.

Оқу жетістіктерін бағалау формалары:

1. Теориялық білімді бағалау:

• Ауызша сұрау;

• Тест тапсырмалары;

• Математикалық диктант;

• Терминологиялық диктант.

2. Практикалық дағдыларды бағалау:

• Өзіндік жұмыстар;

• Бақылау жұмыстары;

• Олимпиадалық есептер шығару;

• Зерттеу жұмыстары;

• Жобалық жұмыстар.

Оқушының меңгеруі тиіс құзыреттіліктер:

1. Білім деңгейінде:

• Математикалық терминдер мен ұғымдарды білу;

• Есеп шығарудың негізгі әдістерін білу;

• Математикалық заңдылықтарды білу.

2. Түсіну деңгейінде:

• Есеп шарттарын талдай алу;

• Математикалық модельдерді түсіну;

• Есеп шығару алгоритмдерін түсіну.

3. Қолдану деңгейінде:

• Алған білімді жаңа жағдайда қолдана білу;

• Есептерді өз бетінше шығара алу;

• Математикалық дәлелдеулер жүргізе алу.

Оқу нәтижелерін бағалау құралдары:

1. Бақылау жұмыстары;

2. Тест тапсырмалары;

3. Олимпиадалық есептер жинағы;

4. Зерттеу жұмыстарының тақырыптары;

5. Жобалық жұмыстар тақырыптары;

6. Өзіндік жұмыс тапсырмалары.

Бағалау қағидаттары:

• Жүйелілік;

• Дәйектілік;

• Объективтілік;

• Ашықтық;

• Өзектілік;

• Шынайылық.

Күтілетін нәтижелер:

1. Оқушылардың математикалық сауаттылығының артуы;

2. Логикалық ойлау қабілетінің дамуы;

3. Олимпиадалық есептерді шығару дағдысының қалыптасуы;

4. Математикалық білімді практикада қолдана білу;

5. Зерттеушілік дағдылардың дамуы.

ОҚЫТУДЫ ҰЙЫМДАСТЫРУҒА АРНАЛҒАН ӘДІСТЕМЕЛІК НҰСҚАУЛАР

Есеп үлгілері:

1. ЛОГИКАЛЫҚ ЕСЕП:

Бес дос - Асан, Үсен, Сәкен, Мақсат және Дәулет - әртүрлі жастарда: 11, 12, 13, 14 және 15 жаста. Асан Үсеннен үлкен, бірақ Сәкеннен кіші. Мақсат ең кіші емес. Дәулет ең үлкен емес. Әркімнің жасын анықтаңыз.

Шешімі:

1. Асан Үсеннен үлкен, Сәкеннен кіші → Сәкен > Асан > Үсен

2. Мақсат ең кіші емес → Мақсат ≠ 11

3. Дәулет ең үлкен емес → Дәулет ≠ 15

4. Сәкен ең үлкен → Сәкен = 15

5. Асан одан кіші → Асан = 14

6. Үсен одан кіші → Үсен = 12

7. Дәулет = 11

8. Мақсат = 13

Жауабы: Сәкен - 15, Асан - 14, Мақсат - 13, Үсен - 12, Дәулет - 11.

2. САНДАР ТЕОРИЯСЫ:

Екі санның қосындысы 52, ал айырымы 12. Осы сандарды тап.

Шешімі:

1. x + y = 52

2. x - y = 12

3. (x + y) + (x - y) = 52 + 12

4. 2x = 64

5. x = 32

6. 32 + y = 52

7. y = 20

Жауабы: 32 және 20.

3. ПРОПОРЦИЯ:

Саудагер алманың 1 кг-ын 200 теңгеден алып, 240 теңгеден сатты. Егер ол 150 кг алма сатса, қанша пайда табады?

Шешімі:

1. Сату бағасы: 240 × 150 = 36000 теңге

2. Алу бағасы: 200 × 150 = 30000 теңге

3. Пайда: 36000 - 30000 = 6000 теңге

Жауабы: 6000 теңге.

4. БӨЛІНГІШТІК:

1-ден 100-ге дейінгі сандар ішінде 3-ке де, 5-ке де бөлінетін неше сан бар?

Шешімі:

1. 3-ке және 5-ке бөлінетін сан 15-ке бөлінеді

2. 100 ÷ 15 = 6 қалдығы 10

3. 15, 30, 45, 60, 75, 90 - барлығы 6 сан

Жауабы: 6 сан.

5. ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЕСЕП:

Төртбұрышты қағазды екі рет бүктеп, бір рет қайшымен қиды. Ең көбі неше төртбұрыш пайда болуы мүмкін?

Шешімі:

1. Бір бүктеуден 2 бөлік

2. Екінші бүктеуден 4 бөлік

3. Бір қиюдан әр бөлік 2-ге бөлінеді

4. 4 × 2 = 8 төртбұрыш

Жауабы: 8 төртбұрыш.

6. РЕБУС:

КӨШ + КӨШ = ӨӨС (әр әріп әртүрлі цифрды білдіреді)

Шешімі:

1. КӨШ + КӨШ = 2 × КӨШ = ӨӨС

2. К = 4 (басқа мүмкіндік жоқ)

3. Ө = 9

4. З = 5

5. Р = 9

6. У = 0

Жауабы: 495 + 495 = 990.

7. КОМБИНАТОРИКА:

Үш достың әрқайсысында 2 қалам бар. Олар қаламдарын алмастыра алады. Неше түрлі алмастыру мүмкін?

Шешімі:

1. Әр баланың 2 қаламнан 3 бала = 6 қалам

2. 6 қаламды 6 орынға орналастыру = 6! = 720

3. Бірақ әр баладағы 2 қаламның орын ауыстыруы есепке алынбайды

4. 720 ÷ (2 × 2 × 2) = 90

Жауабы: 90 түрлі алмастыру.

8. УАҚЫТҚА БАЙЛАНЫСТЫ ЕСЕП:

Сағат 2-ден 3-ке дейін минуттық және сағаттық тілдер неше рет бір сызықта болады?

Шешімі:

1. Әрбір сағатта сағат тілі жылжиды.

2. Минут тілі 360° жылжиды.

3. Минут тілі сағат тілін қуып жету үшін 330° жүруі керек.

4. Минут тілі сағат тілінен 11 есе жылдам жүреді.

5. Сағат 2:00-де минут тілі сағат тіліне жету үшін:

   • 2:14 шамасында бірінші кез келеді

Жауабы: 1 рет (2:14 шамасында)

Түсіндірме:

• Сағат 2:00-де тілдер арасы 60°

• Минут тілі толық айналым жасағанша, сағат тілі де қозғалып отырады

• 1 сағатта екі тіл тек бір рет қиылысады

• Екінші қиылысу 3:00-ден кейін болады

9. ҚОЗҒАЛЫС ЕСЕБІ:

Велосипедші А қаласынан Б қаласына 15 км/сағ жылдамдықпен барды, ал кері 10 км/сағ жылдамдықпен қайтты. Орташа жылдамдығын тап.

Шешімі:

1. Орташа жылдамдық = (2 × v1 × v2) ÷ (v1 + v2)

2. = (2 × 15 × 10) ÷ (15 + 10)

3. = 300 ÷ 25 = 12

Жауабы: 12 км/сағ.

10.Бөлінгіштік:

9-ға бөлгенде қалдығы 7-ге тең болатын ең кіші екі таңбалы санды табыңдар.

Шешімі:

1. Біз іздеп отырған санды n деп белгілейік

2. Есеп шарты бойынша: n = 9k + 7, мұндағы k - бүтін сан n - екі таңбалы сан, яғни 10 ≤ n ≤ 99

3. k = 1 болғанда: n = 9×1 + 7 = 16

4. k = 2 болғанда: n = 9×2 + 7 = 25

5. k = 3 болғанда: n = 9×3 + 7 = 34

6. k = 4 болғанда: n = 9×4 + 7 = 43

7. k = 5 болғанда: n = 9×5 + 7 = 52

8. k = 6 болғанда: n = 9×6 + 7 = 61

9. k = 7 болғанда: n = 9×7 + 7 = 70

10. k = 8 болғанда: n = 9×8 + 7 = 79

11. k = 9 болғанда: n = 9×9 + 7 = 88

12. k = 10 болғанда: n = 9×10 + 7 = 97

Жауабы: 16

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

Ұстаздарға арналған әдебиеттер:

1. Әбілқасымова А.Е. Математиканы оқытудың теориясы мен әдістемесі: Оқулық. – Алматы: Мектеп, 2014. – 224 б.

2. Нұрғалиев Р.Н., Нұрғалиева Н.С. "Математикалық анализдің есептер жинағы". - Алматы: ҚазҰТУ, 2015. - 276 б.

3. Солтан Г.Н., Солтан А.Г. "Математикадан олимпиада есептерінің шығарылу жолдары". - Алматы, 2017. - 148 б.

4. Бекболғанов Е.Д. "Математика сабақтарында оқушылардың шығармашылық қабілетін дамыту". - Алматы: РБК, 2016. - 186 б.

5. Қаңлыбаев Қ.И. "Математиканы оқыту әдістемесі". - Алматы: Эверо, 2018. - 264 б.

Оқушыларға арналған әдебиеттер:

1. Шыныбеков Ә.Н. Математика: Жалпы білім беретін мектептің 5-сыныбына арналған оқулық. – Алматы: Атамұра, 2017. – 288 б.

2. Шыныбеков Ә.Н. Математика: Жалпы білім беретін мектептің 6-сыныбына арналған оқулық. – Алматы: Атамұра, 2018. – 296 б.

3. Әбілқасымова А., Кучер Т. "Математикадан олимпиада есептері". 5-8 сыныптар. - Алматы: Мектеп, 2016. - 144 б.

4. Құлманова Г. "Математикадан қызықты есептер". - Алматы: Мектеп, 2015. - 96 б.

5. Тұяқов Е.А. "Математикалық сауаттылық". - Астана: Арман-ПВ, 2019. - 120 б.

Ата-аналарға арналған әдебиеттер:

1. Нұғысова А. "Бала тәрбиесіндегі математиканың рөлі". - Алматы: РБК, 2017. - 86 б.

2. Рысбаева А. "Қазіргі білім беру жүйесі". - Алматы: Ғылым, 2016. - 124 б.

3. Балаева Ж. "Оқушының математикалық сауаттылығы". - Алматы: Білім, 2018. - 92 б.

4. "Баланың логикалық ойлауын дамыту" // "Қазақстан мектебі" журналы, №5, 2019.

5. "Математиканы оқытудағы жаңа әдіс-тәсілдер" // "Математика және физика" журналы, №3, 2020.

1-2 сабақ

Күрделі есептеулер мен сандық ойындардың шешу жолдары

Оқу мақсаты:

• Есептеу алгоритмдерін білу;

• Сандық заңдылықтарды түсіну;

• Есептеу әдістерін қолдану;

• Есеп шарттарын талдау;

• Шешу жолдарын жүйелеу;

• Тиімді әдісті таңдай білу

Күрделі есептеулер

Мысалдар:

1-мысал. Мына қатарды есептеңіз:

Шешуі:

Жауабы:

2-мысал. Келесі өрнекті есептеңіз:

Шешуі:

Жауабы:

3-мысал. Берілген өрнекті ықшамдаңыз:

Шешуі:

Жауабы:

4-мысал. Өрнектің мәнін табыңдар:

Шешуі:

Жауабы: 90

5-мысал. Есептеңдер:

Шешуі:

Жауабы:

6-мысал. Есептеңдер:

Шешуі:

Жауабы:

7-мысал. Есептеңдер:

Шешуі:

8-мысал. Теңдеуден y-ті табыңдар:

Шешуі: Есептің шарты бойынша

Сонда 255 = 85·3 және 340 = 85·4 болатындықтан,

Ендеше, y = 425

Жауабы: y = 425

9-мысал. Қосындының мәні неге тең?

Шешуі: Берілген қосындыны түрлендіріп табатынымыз:

Жауабы:

10-мысал. Қосындының мәні неге тең?

Шешуі: Берілген қосындыны түрлендіріп табатынымыз:

Демек, берілген қосындының мәні -ге тең.

Жауабы:

Сандық ойындар

Мысалдар:

1-мысал. Үстелде екі қорап жатыр. Бір оқушы бірінші қораптан бір карточка алады, онда 1-ден 5-ке дейінгі сандардың бірі жазылған. Екінші қораптан тағы бір карточка алады, онда да 1-ден 5-ке дейінгі сандардың бірі жазылған. Егер екі санның көбейтіндісі 12-ден үлкен болса, оқушы ұтады. Ойынды ұту үшін бірінші қораптан қандай санды алу керек?

Шешуі: Оқушы бірінші қораптан 4 немесе 5 санын алуы керек. Себебі:

• 

• 

2-мысал.Екі оқушы ойын ойнайды. Біріншісі 1-ден 10-ға дейінгі сандардың бірін таңдап алады, екіншісі оған 3-тен 5-ке дейінгі сандардың біреуін қосып, сол қосындыны айтады. Егер қосынды 11-ден үлкен болса, бірінші оқушы жеңіске жетеді, ал егер 11-ден кіші немесе тең болса, екінші оқушы жеңеді. Бірінші оқушы жеңіске жету үшін қандай санды таңдауы керек?

Шешуі: Екінші оқушы 3-тен 5-ке дейінгі кез-келген санды қоса алады. Бірінші оқушы жеңу үшін, қандай сан қосылса да қосынды 11-ден үлкен болуы керек. Тексереміз:

• 9 санын таңдаса: 9+3=12 9+5=14

• 10 санын таңдаса: 10+3=13 10+4=14 10+5=15 10+4=14 10+5=15

Жауабы: Бірінші оқушы 9 санын таңдауы керек.

3-мысал. Екі оқушы екі түрлі түсті (қызыл және көк) шарлардан алады. Олардың әрқайсысы кезекпен бір-бір шардан алады. Соңында қызыл шарлардың саны көк шарлардан көп болса, бірінші оқушы жеңеді. Алғашқы шарды кім бұрын алса, сол жеңіске жетеді. Ойынды қалай ойнаған оқушы жеңіске жетеді?

Шешуі: Егер қызыл шарлар көк шарлардан көп болса, бірінші оқушы жеңеді. Сондықтан бірінші оқушы алғашқы жүрісінде қызыл шарды алуы керек. Кейін екінші оқушы қандай түсті шар алса да, бірінші оқушы қарама-қарсы түсті таңдай алады.

Жауабы: Бірінші болып жүретін оқушы жеңеді.

4-мысал. Ойыншы 1 мен 50 арасындағы сандардан бір санды таңдайды. Екінші ойыншы одан кейін бір санды таңдайды. Егер екі санның қосындысы 60-тан кіші болса және екі санның айырмашылығы 20-дан үлкен болса, бірінші ойыншы жеңеді. Бірінші ойыншы жеңу үшін қандай санды таңдауы керек?

Шешуі:

• Қосынды 60-тан кіші болуы керек

• Айырмашылық 20-дан үлкен болуы керек

• Бірінші ойыншы 45 санын таңдауы керек, себебі:

  • Егер екінші ойыншы 15-тен кіші сан таңдаса, айырмашылық 30-дан үлкен болады

  • Егер екінші ойыншы 15-тен үлкен сан таңдаса, қосынды 60-тан үлкен болып кетеді

  • 45 пен 15 арасындағы айырмашылық 30, бұл 20-дан үлкен

  • 45 + 15 = 60, бұл шартқа сай келеді

Жауабы: Бірінші ойыншы 45 санын таңдауы керек.

5-мысал. Үстелде 40 тас жатыр. Екі ойыншы оған кезектесіп, 1-ден 8-ге дейінгі кез келген тасты қосады. Тастардың саны біріншіге келгенде 80-нен асып кетсе, екінші ойыншы жеңеді. Бұл жағдайда кім жеңіске жетеді?

Шешуі: Соңынан бастап талдайық. Бірінші ойыншыға 75-77 аралығындағы сан келмеуі керек. Егер екінші ойыншы соңғы жүрісте 7 немесе 8 тасты қосса, бірінші ойыншы жеңіліске ұшырайды. Сондықтан, екінші ойыншы әрқашан тастарды дұрыс таңдап, жеңіске жете алады.

Жауабы: Екінші ойыншы жеңеді.

6-мысал. Арман мен Болат мынадай ойын ойнайды. Бірінші жүрісте Арман 1-ден 5-ке дейінгі кез келген санды айтады. Келесі жүрісте Болат осы санды 2-ге немесе 3-ке көбейтеді. Содан кейін Арман бұл санды тағы 2-ге немесе 3-ке көбейтеді. Егер соңғы сан 45-тен асып кетсе, Болат жеңеді. Ойынды кім жеңе алады?

Шешуі:

• Арман бірінші айтқан санды:

  • Болат 2-ге көбейтсе: 2×5=10

  • Болат 3-ке көбейтсе: 3×5=15

• Келесі жүрісте:

  • 10×2=20 немесе 10×3=30

  • 15×2=30 немесе 15×3=45 Арман 2 санын таңдаса, ешқандай жағдайда 45-тен аспайды.

Жауабы: Арман дұрыс ойнаса, жеңеді.

Өз бетінше шығару есептері:

1. Қосындыны табыңдар: 2+4+6+...+100

2. Есептеңдер:

3. Мына сандар тізбегінің 1+3+5+...+97+99 қосындысы неге тең?

4. Есептеңдер:

5. Қосындыны табыңдар:

6. Көбейтіндіні есептеңдер:

7. Есептеңдер: 2025-2024+2023-2022+2021-2020+2019

8. Қосындыны табыңдар:

9. Есептеңдер:

10. Мына сандар қосындысын табыңдар

11. Екі оқушы "Санды тап" ойынын ойнады. Ойынды бастаушы 1, 2, 3, 5 сандарының бірін айтады. Екінші ойыншы осы санға 1, 2, 3, 5 сандарының біреуін қосып, қосындыны айтады. Сонан соң бірінші ойыншы да осылай жасайды және т.с.с. Кім бірінші 35 санын айтса, сол жеңімпаз болады. Осы ойынды ойнағанда кім жеңіске жетеді?

12. Үстелде 25 тас жатыр. Екі ойыншы осы тастарды кезектесіп, қалаған екі бөлігіне бөлуге болады. Үлкендегі тастар саны кішкентайдан көп болуы керек. Ойынды дұрыс ойнаса ойыншының қайсысы жеңеді?

13. "Жұптас" ойыны. Екі адам кезектесіп сандарды айтады. Бірінші ойыншы 1-ден 4-ке дейінгі кез келген санды айтады, екінші ойыншы 1-ден 4-ке дейінгі басқа санды айтып, оларды көбейтеді. Көбейтінді 10-нан асса, соңғы айтқан ойыншы жеңеді. Ойынды кім бастаса сол жеңе ме?

14. "Үштік" ойыны. Ойыншы 1-ден 9-ға дейінгі үш санды таңдайды. Қарсыласы сол сандардың кез келгенін алып тастап, оның орнына 1-ден 9-ға дейінгі жаңа санды қояды. Осылай кезектесіп отырады. Үш санның қосындысы 20-дан асқан ойыншы жеңіледі. Бірінші ойыншы қалай ойнауы керек?

15. "Бөлшек" ойыны. Екі ойыншы кезектесіп 1-ден 5-ке дейінгі сандарды айтады. Айтылған сандардың алдыңғысын кейінгісіне бөлу керек. Бөлінді 2-ден үлкен болса, соңғы айтқан ойыншы жеңеді. Ойынды қалай ойнау керек?

3-4 сабақ

Сандар теориясындағы салыстырулар мен процентке қатысты олимпиадалық есептер

Оқу мақсаты:

• Салыстыру әдістерін білу;

• Процент ұғымын түсіну;

• Формулаларды қолдану;

• Есеп құрылымын талдау;

• Шешу тәсілдерін біріктіру;

• Нәтижені бағалау

Мысал 1: Бөлшекті салыстырыңдар:

Шешуі: Бұл бөлшектерді салыстыру үшін оларды ортақ бөлімге келтіреміз. бөлшегін 185-ке көбейтеміз:

Енді және бөлшектерін салыстырамыз:

Сондықтан, бұл бөлшектер тең.

Жауабы:

Мысал 2: Мына сандарды кему ретімен орналастырыңдар:

Шешуі: Әрбір бөлшектің 1-ден айырмасын табамыз:

Бұл айырмаларды салыстырғанда:

Демек, бастапқы бөлшектердің кему реті келесідей болады:

Жауабы:

Мысал 3: Егер x санының 17,5% - проценті y санының 15% - процентінен көп болса, онда x және y сандарын салыстырыңыздар.

Шешуі: Есептің шарты бойынша теңдеу құрамыз: 17,5x = 15y Бұл теңдеуді қарапайым түрге келтіреміз: 7x = 6y

Енді үш жағдайды қарастырамыз:

1. Егер x және y оң сандар болса, 7x > 6y болғандықтан, x > y.

2. Егер x = 0 және y = 0 болса, онда x = y.

3. Егер x және y теріс сандар болса, 7x < 6y болғандықтан, x < y.

Жауабы: Егер x және y оң сандар болса, онда x > y; егер x = 0 және y = 0 болса, онда x = y; егер x және y теріс сандар болса, онда x < y болады.

Мысал 4: Мына сандарды кему ретімен орналастырыңыздар:

Шешуі: Әрбір бөлшектің 1-ге дейінгі толықтауышын табамыз:

Енді осы толықтауыштарды өзара салыстырамыз:

Сондықтан, бастапқы бөлшектердің кему реті келесідей болады:

Жауабы:

Мысал 5: Төмендегі сандардың арасынан ең үлкенін табыңыз:

Шешуі: Берілген сандарды мына түрде жазуға болатындығын айқын:

Бұл сандардың бірінші қосылғыштары бірдей, ал екінші қосылғыштарының ішіндегі ең үлкені . Сондықтан бұл сандардың ішіндегі ең үлкені болады.

Жауабы:

Мысал 6: Мына бөлшектердің қайсысы үлкен?

Шешуі: Алдымен берілген бөлшектерді ықшамдап алайық:

Енді берілген бөлшектердің әрқайсысының 1-ге дейінгі толықтауышын тауып, оларды өзара салыстырайық:

Сонда болатындықтан, берілген бөлшектердің ең үлкені болады.

Жауабы:

Мысал 7: Ыдыстағы судың 2%-ы буланды. Бір күннен кейін қалған судың 15%-ы қосымша буланды. Бастапқыда ыдыста 200 литр су болса, қанша литр су қалды?

Шешуі:

1. 200 * 0,02 = 4 л - алғашқы буланған су мөлшері.

2. 200 - 4 = 196 л - бір күннен кейінгі су мөлшері.

3. 196 * 0,15 = 29,4 л - екінші рет буланған су мөлшері.

4. 196 - 29,4 = 166,6 л - қалған су мөлшері.

Жауабы: 166,6 л.

Мысал 8:

Егер жұмысшының жалақысының 20%-ы салыққа кетсе, ал қалған ақшасының 30%-ын ол пәтерақыға төлесе, оның қолында 3360 теңге қалады. Жұмысшының бастапқы жалақысы қанша?

Шешуі: x - бастапқы жалақы болсын.

1. - салықтан кейінгі қалған ақша.

2. - пәтерақыдан кейін қалған ақша.

3. 

4. 

Жауабы: 6000 теңге.

Мысал 9:

Дүкенде тауардың бағасы 15%-ға көтерілді. Бір аптадан кейін баға тағы 10%-ға өсті. Егер тауардың соңғы бағасы 5060 теңге болса, оның бастапқы бағасы қанша болған?

Шешуі: x - бастапқы баға болсын.

1. - алғашқы баға өсімінен кейінгі баға.

2. - екінші баға өсімінен кейінгі баға.

3. 

4. 

Жауабы: 4000 теңге.

Мысал 10:

Спорттық жарысқа екі команда қатысқан барлық спортшылар келді. Бірінші команданың үлесі 55%, ал екіншісінде 70% болатын. Кездесуге әкелдерге қарағанда әйелдер аз екендігін дәлелдеңіз.

Шешуі: Бірінші командаға а адам, ал екінші командаға b адам қатысқан болсын. Онда бірінші командаға 0,55а еркек және 0,45а әйелдер, ал екіншісінде - 0,70b еркек және 0,30b әйелдер қатысқан болады. Сонда әйелдердің саны 0,45a+0,30b-дан аспайды, ал еркектердің саны 0,55a және 0,70b сандарының ең үлкені болады. Айталық, 0,55a > 0,70b болсын. Сонда: 0,55a > 0,45a + 0,30b (өйткені 0,55a > 0,70b). 0,55a-ның ең үлкен болатын жағдайы осылайша қарастырылады.

Сонымен, есептің тұжырымы дәлелденді.

Мысал 11:

Мектеп пен гимназия балалары 87%-ке дейін математикалық олимпиадаға қатысады. Үйірме мүшелерінің мүмкін болатын ең кіші санын анықтаңдар.

Шешуі: x- үйірме мүшелерінің саны, ал y - үйірмеге қатысушылардың саны болсын. Сонда есептің шарты бойынша 0,87x > y немесе 87x > 100y, мұндағы x және y натурал сандар. Есепті таңдап алу әдісімен шешіп, оның мүмкін болатын ең кіші шешімін y=2 болғанда x=3-тен болатын көреміз. Сонымен, үйірме қатысушылардың саны 3-тен кем емес.

Жауабы: 3-тен кем емес.

Мысал 12:

Жаңа шыққан телефонның алғашқы сапасы - 97%, ал бір жылдан кейінгі сапасы - 96%. Қолданыстан кейін телефонның сапасы қалай өзгерді?

Шешуі: Жаңа шыққан телефонның сапасы 100x кг болсын, онда ондағы ақаулы бөліктің сапасы x кг болады. Бір жылдан кейін ақаулы бөліктің сапасы белгілі өзгертілмеген және телефон сапасының 4%-ін (алудан бір бөлігін) құраған. Ақаулы телефондардың сапасы - 50x кг, демек ол екі есе азайған.

Жауабы: 2 есе азайған.

Мысал 13:

Дүкенге кіру төлемі 200 теңге болатын. Төлемнің құны арзандаған соң келушілердің саны 60%-ке артты да, ал одан түсетін пайда 30%-ке артты. Төлем құны қанша процентке арзандады?

Шешуі: x және y деп сәйкесінше дүкенге алғашқы келушілердің саны мен жаңа төлемнің құнын белгілейік. Онда төлемнің құны арзандаған соң келушілердің саны 1,6x, ал олардан жиналған ақша 1,3xy болады. Сонда алғашқы кезде 200x теңге жиналғандықтан, ал одан түскен пайда 30%-ке артқандықтан, есептің шарты бойынша мынадай теңдеу шығады: 1,6xy = 1,3·200x. Теңдеуді шешіп табатынымыз: y=162,5 (т), яғни төлемнің құны 20 теңгеге арзандаған.

Жауабы: 20 теңгеге арзандаған.

Мысал 14:

30 т мыс рудасын қорытқанда 8% қоспасы бар Zn болды. Рудадан қоспа қанша процент құрайды?

Шешуі:

1. 30:100·8=2,4 (т) - мыс рудасындағы қоспаның салмағы;

2. 2,4:1,2=2 (т) - таза болатын салмағы;

3. 30-2=28 (т) - мыс рудасындағы қоспаның салмағы;

4. 28:30·100%=93% - мыс рудасындағы қоспаның проценті. Демек, мыс рудасындағы қоспа 93%-ке тең.

Жауабы: 93%.

Мысал 15:

25 т темір рудасын қорытқанда 5% қоспасы бар Al болды. Рудадан қоспа қанша процент құрайды?

Шешуі:

1. 25:100·5=1,25 (т) - темір рудасындағы қоспаның салмағы;

2. 1,25:1,5=0,83 (т) - таза болатын салмағы;

3. 25-0,83=24,17 (т) - темір рудасындағы қоспаның салмағы;

4. 24,17:25·100%=97% - темір рудасындағы қоспаның проценті. Демек, темір рудасындағы қоспа 97%-ке тең.

Жауабы: 97%.

Өз бетінше шығару есептері:

1. Айдана дүкеннен 6 қызыл және 8 жасыл қарындаш сатып алды. Сәуле дүкеннен 4 қызыл және 5 жасыл қарындаш сатып алды. Қайсысы көп қарындаш сатып алды: Айдана ма немесе Сәуле ме?

2. Асхат, Мақсат және Дәурен футбол добымен ойнады. Асхаттың добы Мақсатқа, Мақсаттың добы Дәуренге берілді. Дәуреннің добы Асхатқа берілді. Әр баланың бастапқы добы қайда?

3. Бір қорапта 15 ақ және 12 қара түсті шарлар бар. Екінші қорапта 13 ақ және 10 қара түсті шарлар бар. Қай қорапта шарлар көп: біріншіде ме әлде екіншіде ме?

4. 5 кг алмұрт пен 3 кг шабдалы 4200 теңге тұрады, ал 3 кг алмұрт пен 4 кг шабдалы 3800 теңге тұрады. Қай жеміс қымбатырақ: алмұрт па немесе шабдалы ма?

5. 8 оқушы математика үйірмесіне, 12 оқушы ағылшын тілі үйірмесіне қатысады. 5 оқушы екі үйірмеге де қатысады. Барлығы қанша оқушы үйірмелерге қатысады?

6. Дүкендегі киімнің бағасы алдымен 25%-ке көтеріліп, кейін 15%-ке төмендеді. Киімнің бағасы қалай өзгерді?

7. Спортшының салмағы алғашқы айда 5%-ке азайды, ал келесі айда тағы да 8%-ке азайды. Спортшының салмағы қанша пайызға азайды?

8. Егер тікбұрышты үшбұрыштың бір катеті 20%-ке ұзарса, ал екінші катеті 15%-ке қысқарса, оның ауданы қалай өзгереді?

9. Қала тұрғындарының саны бірінші жылы 12%-ке өсті, келесі жылы тағы 8%-ке өсті. Екі жылда қала тұрғындарының саны қанша пайызға артты?

10. Сүттің құрамындағы майдың мөлшері 30%-ті құрайды. Егер сүтке су қосып, майдың мөлшерін 20%-ке дейін азайтқысы келсе, қанша пайызға су қосу керек?

5-6 сабақ

Пропорциялық тәуелділікке берілген есептер

Оқу мақсаты:

• Пропорция қасиеттерін білу;

• Тәуелділік түрлерін түсіну;

• Пропорция қасиеттерін қолдану;

• Тәуелділікті талдау;

• Шешу әдістерін жүйелеу;

• Шешімнің дұрыстығын тексеру

1-мысал. 840 санын 2:4:3:1 сандарына кері пропорционал болатындай етіп бөліңдер.

Шешуі:

1. Берілген сандарды кері сандармен алмастырамыз:

2. Осы сандардың қатынасын құрамыз:

3. Қатынастарды бүтін сандармен алмастырамыз, ол үшін қатынастың әрбір мүшесін олардың ең кіші ортақ еселігі 12-ге көбейтеміз: 6:3:4:12

4. Қатынастарды әрбір мүшесін пропорционалдық коэффициентке көбейтіп, олардың мәндерін табамыз: 6k + 3k + 4k + 12k = 840, бұдан k=33.

5. Іздейтін сандарды табамыз: 6k = 198; 3k = 99; 4k = 132; 12k = 411.

6. Тексеру: 198 + 99 + 132 + 411 = 840

Жауабы: 198; 99; 132; 411

2-мысал. 250-ті бірінші мен екіншісінің қатынасы 3:4 қатынасындай, екіншісінің үшіншісіне қатынасы 4:5 қатынасындай, ал үшіншісінің төртіншісіне қатынасы 5:3 қатынасындай болып төрт бөлікке бөліңдер.

Шешуі:

1. Берілген сандар x₁, x₂, x₃, x₄ болсын, онда мынаны аламыз: x₁:x₂ = 3:4, x₂:x₃ = 4:5, x₃:x₄ = 5:3, бұдан x₁:x₂:x₃:x₄ = 3:4:5:3

2. Демек, 250 саны 3+4+5+3=15 тен бөлікпен құралған, бұдан

Жауабы: x₁ = 50; x₂ = 66.67; x₃ = 83.33; x₄ = 50

3-мысал. Бір қоспа 3:4 қатынасында болып келетін екі сұйықтықтан тұрады, ал екінші қоспа сол сұйықтықтар 2:5 қатынасында енеді. Сол сұйықтықтар 13:22 қатынасында болатын жаңа қоспа жасау үшін осы екі қоспадан қанша қатынаста алу керек?

Шешуі: Есептің шартын таблица түрінде жазайық: 1 қоспа: x және 2 қоспа: 2y және 5y Жаңа қоспа: x+2y және +5y

Есептің шартының шығатыны: (x+2y)/( +5y) = 3y=8x бұдан x:y = 3:8 болатындықтан, қоспаны 3:8 қатынасында алу керек.

Жауабы: 3:8

4-мысал. 18000 теңгені екі бөлікке бөлу керек, бірінші бөлігінің 6%-і екінші бөлігінің 8%-іне тең болатындай етіп.

Шешуі: Айталық, бірінші бөлік x теңге болсын, онда екінші бөлігі (18000-x) теңге. Есептің шарты бойынша:

0.06x = 0.08(18000-x)

0.06x = 1440 - 0.08x

0.14x = 1440 x = 10285.7

18000 - 10285.7 = 7714.3

Жауабы: 10286 теңге және 7714 теңге

5-мысал. Массасы 2 кг болатын қорытпаның бірінші бөлігінде 40% мыс, ал екінші бөлігінде 70% мыс бар. Осы екі бөлікті қосқанда шығатын қорытпаның мысының проценті 50% болатындай етіп бөліктерді анықтаңдар.

Шешуі: x кг - бірінші бөлік

(2-x) кг - екінші бөлік

0.4x + 0.7(2-x) = 0.5·2

0.4x + 1.4 - 0.7x = 1

-0.3x = -0.4 x = 1.33

Жауабы: 1.33 кг және 0.67 кг

6-мысал. Үш санның бірінші екеуінің қатынасы 2:3, екінші және үшінші сандардың қатынасы 3:4 болса, және олардың қосындысы 180-ге тең болса, сол сандарды табыңдар.

Шешуі:

x:y = 2:3,

y:z = 3:4 болса, онда x:y:z = 2:3:4

2k + 3k + 4k = 180

9k = 180

k = 20

x = 40, y = 60, z = 80

Жауабы: 40, 60, 80

7-мысал. 50 банан кез келген екеуінің алған банандарының саны әртүрлі болатындай етіп, үш маймылға үлестіріп беруге бола ма?

Шешуі: Маймылдардың алатын бананы ең аз дегенде 0+1+2+...+n формуласы бойынша болу керек.

n² + n - 100 = 0

n = 9 Демек, бірінші маймыл - 13, екінші - 16, үшінші - 21 банан алады.

Жауабы: Болады (13, 16, 21)

8-мысал. Егер 3x = 4y = 6z және болса, y-тің мәні неге тең?

Шешуі: Берілген тең қатынастарды 3x = 4y = 6z = k деп белгілесек, онда

болады да, есептің шартынан мынау шығады: => 3k + 4k + 6k = 2, бұдан

Демек, , y =

Жауабы:

9-мысал. Егер x, y, z сандары 3, 5 және 6 сандарына кері пропорционал және x + y + z = 60 болса, x-тің мәні неге тең?

Шешуі:
Есептің шарты бойынша анықтайтынымыз: x : y : z = = 10 : 6 : 5

Олай болса, x = 10k, y = 6k, z = 5k

x + y + z = 60 => 10k + 6k + 5k = 60 => 21k = 60 => k =

x = 10k =

Жауабы:

10-мысал. Егер 4x = 2y = 6z және болса, y-тің мәні неге тең?

Шешуі: Айталық 4x = 2y = 6z = k болсын. Сонда болады. Есептің шарты бойынша: => => => k = 4 Бұдан y =

Жауабы: 2

11-мысал. Егер ax = by = cz = 6 және x + y + z = 30 болса, өрнегінің мәні неге тең?

Шешуі: Есептің шарты бойынша табатынымыз: ax = by = cz = 6 => Сонда

x + y + z = 30 => =>

Жауабы: 5

12-мысал. xy = 12 және yz = 18 болса, (x+y)/z өрнегінің мәні неге тең?

Шешуі: Есептің шарты бойынша табатынымыз:

xy = 12

yz = 18 => y = 18/z

Олай болса, Сонда

Жауабы: 11/3

13-мысал. Егер және болса, өрнегінің мәні неге тең?

Шешуі: Есептің шарты бойынша анықтайтынымыз: => + 1 = =>

=> - 1 = => ... (2)

Енді (1) және (2) теңдікті өзара мүшелеп көбейтсек:

Жауабы:

14-мысал. а санының b санына қатынасы -ке тең. Егер а санын 20%-ке арттырып, b санын 10%-ке кемітсек, сандардың қатынасы неге тең болады?

Шешуі: Есептің шарты бойынша табатынымыз:

Сонда

Демек, іздейтін қатынас -ке тең.

Жауабы:

Өз бетінше шығару есептері:

1. Екі санның қатынасы 2:5-ке тең. Егер бірінші санға 15-ті қоссақ, онда олардың қатынасы 3:4-ке тең болады. Осы сандарды табыңдар.

2. Екі санның қатынасы 1:4. Екінші санды қандай санға бөлгенде, олардың қатынасы 1:2 тең болады?

3. Тоғандағы суда аққулар жүзеді. Егер тоғандағы су деңгейі күніне 2 метрге төмендесе, онда қанша күнде тоғандағы су толық кетеді?

4. Бір наубайшы 6 сағатта 48 нан пісіреді. Екі наубайшы 3 сағатта қанша нан пісіреді?

5. 4 жұмысшы бір жұмысты 8 күнде бітіреді. Сол жұмысты 2 жұмысшы қанша күнде бітіреді?

6. 5 сыныптың 25 оқушысы кітапханаға барды. Егер әр сыныптан бірдей оқушы барса, бір сыныптан қанша оқушы барған?

7. 2 кг 450 пробалы алтын мен 3 кг 375 пробалы алтынды араластырып қорытқан. Қандай пробалы қоспа шыққан?

8. Бір автобус 4 сағатта 280 км жүреді. Сол автобус 7 сағатта қанша километр жүреді?

9. Егер сыныптағы ұлдардың санының қыздардың санына қатынасы 5:7-ге тең болса, сыныпта ең аз дегенде қанша оқушы бар?

10. Өлшемдері 3×3×3 болатын текшені бояу үшін 3 грамм бояу қажет. Өлшемдері 9×9×9 болатын текшені бояу үшін қанша бояу қажет?

7-8 сабақ

Сандардың бөлінгіштігі мен цифрлық өрнектерге қатысты олимпиадалық есептер

Оқу мақсаты:

• Бөлінгіштік белгілерін білу;

• Бөлінгіштік заңдылықтарын түсіну;

• Белгілерді қолдану;

• Цифрлық өрнектерді талдау;

• Әдістерді жинақтау;

• Шешімді бағалау

1-мысал. 2025 санының оң жағына қандай екі цифрды жазғанда шыққан алты таңбалы сан 83-ке бөлінеді?

Шешуі: Берілген 2025 санының оң жағына екі нөлді тіркеп жазайық. Сонда 202500 саны шығады. Егер бұл санды 83-ке бөлсек, онда бөліндіде 2440 және қалдықпен 20 саны шығады, яғни 202500 = 83·2440 + 20. Олай болса, іздейміз санның соңғы екі цифры 2 және 0 болады.

Жауабы: 2 және 0.

2-мысал. Егер үш таңбалы санның шеткі орнында тұрған цифрларының қосындысы ортадағы цифрға тең болса, онда ол сан 13-ке бөлінетінін дәлелдеңдер.

Шешуі: Кез келген үш таңбалы санды мына түрде жазуға болады:

abc = 100a + 10b + c, мұндағы a – жүздіктердің, b – ондықтардың, c – бірліктердің цифрлары. Есептің шарты бойынша a+c=b, сонда алатынымыз:

100a + 10(a+c) + c = 100a + 10a + 10c + c = 110a + 11c = 11(10a + c)

Сонымен, есептің тұжырымы дәлелденді.

3-мысал. 143 санының ішінен айырымы 100-ге бөлгенде қалдықтары бірдей болатын екі сан табылатындығын дәлелдеңдер.

Шешуі: Санды 100-ге бөлгенде мынадай қалдықтар шығады: 0, 1, 2, 3, ..., 99. Сондықтан 143 санының ішінде 100-ге бөлгенде қалдықтары бірдей болатын екі сан табылады. Олай болса, олардың айырымы 100-ге бөлінеді.

Сонымен, есептің тұжырымы дәлелденді.

4-мысал. Мына сан 12·22·32·42·52 – 1 15-ке бөліне ме?

Шешуі: Жоқ, бұл айырма 15-ке бөлінбейді, өйткені кез-келген көбейтіндінің соңғы цифры 2-ге, ал айырманың соңғы цифры бірмен аяқталады.

Жауабы: Жоқ, бөлінбейді.

5-мысал. Кез келген жеті бүтін санның ішінде айырымы 6-ға еселік болатын екі санның табылатынын дәлелдеңдер.

Шешуі: Санды 6-ға бөлгенде 6 қалдық шығады: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Сонда жеті санның ішінде міндетті түрде қалдықтары бірдей болатын екі сан табылады. Егер біз олардың айырымын 6-ға бөлсек, онда қалдық нөлге тең болады, яғни 6-ға бөлінеді.

Сонымен, есептің тұжырымы дәлелденді.

6-мысал. 9-ға бөлгенде бөліндісі де, қалдығы да бірдей болатын барлық сандарды табыңдар.

Шешуі: Санды 9-ға бөлгенде шығатын қалдық 8-ден артпайды, сондықтан іздейміз санды мына түрде жазуға болады: 9+a=9a, мұндағы a=1, 2, ..., 8. Демек, іздейміз сандар мынаған тең: 10, 18, 27, 36, 45, 54.

Жауабы: 10, 18, 27, 36, 45, 54.

7-мысал. 1-ден 200-ге дейінгі натурал сандардың барлығын көбейткенде шығатын сан неше нөлмен аяқталады?

Шешуі: N = 1·2·3·...·200. Бұл көбейтіндідегі нөлдер саны оның оңға еселік көбейткіштерінің санына тең. Ал 10 = 2·5, сондықтан көбейтіндінің соңындағы нөлдер саны 2 және 5 пар көбейткіштер санына тең болады. 2-ге барлық жұп сандар бөлінеді, ал 5-ке 5-пен және 0-мен аяқталатын сандар ғана бөлінеді. Бізде 5-ке еселік көбейткіштер саны 40, одан басқа 25-ке, яғни 5²-ға, еселік көбейткіштер саны 8. Барлығы 48 пар 2·5 көбейткіштер бар.

Жауабы: Сан 48 нөлмен аяқталады.

8-мысал. Мына қосынды 131⁴+345⁶+17⁸ қандай цифрмен аяқталады?

Шешуі: 131-дің кез келген дәрежесі 1-мен, 345-тің 6 мен, ал 17-тің дәрежелері 7-мен, жұп дәрежелері - 9 мен аяқталады. Олай болса, берілген қосынды 4 цифрмен аяқталады.

Жауабы: 4.

9-мысал. 44⁴⁴ саны қандай цифрмен аяқталады?

Шешуі: 4-тің дәреже көрсеткішінің соңғы цифры 6 қадамнан кейін қайталанып отырады: 4, 6, 4, 6, 4, ... Сондықтан 44⁴⁴ санының соңғы цифры 44⁶ саны сияқты 4 цифрмен аяқталады.

Жауабы: 4.

10-мысал. Мына сандар 2025²⁰²⁵ және 2025²⁰²⁶ қандай цифрмен аяқталады?

Шешуі: Берілген сандардың соңғы цифрларын анықтау үшін 2025²⁰²⁵ және 2025²⁰²⁶ сандарының соңғы цифрларын анықтау жеткілікті. 2025 саны дәрежеге шығарғанда оның соңғы цифры екі нұсқамен анықталады: егер тақ дәреже болса, онда 5 цифрымен, ал жұп дәреже болса, онда 5 цифрмен аяқталады. Олай болса, 2025²⁰²⁵ санының соңғы цифры 5-пен, ал 2025²⁰²⁶ санының соңғы цифры 5-пен аяқталады.

Жауабы: а) 5; б) 5.

11-мысал. 2020·2021·2022·2023·2024 + 2025²·2026² санының соңғы цифрын анықтаңдар.

Шешуі: Берілген санның соңғы цифры берілген санның жазылуына енетін сандардың соңғы цифрына ғана тәуелді болатындығын айқын. Олай болса, іздейміз цифр мына санын соңғы цифры болады: 0·1·2·3·4 + 5²·6² = 900. Демек, берілген санның соңғы цифры 0-ге тең.

Жауабы: 0.

12-мысал. санының ондық санау жүйесіндегі 2025-ші орнында тұрған цифрын анықтаңдар.

Шешуі: 1-ді 13-ке «бөлгенде» мен бөлсек, онда болып шығады. 2025-ші 6-ға бөлгенде 3 қалдық қалады (2025=337·6+3). Демек, 2025-ші орында тұрған цифр 9-ға тең.

Жауабы: 9 цифры тұр.

13-мысал. Барлық натурал сандар жазылған: 123456789101112... 2030-шы орында тұрған цифрды анықтаңдар.

Шешуі: Цифрларды санай бастайық. 1-ден 9-ға дейін тоғыз цифр; 10-нан 99-ға дейін - 180; 2030-180=1850 қалады. Одан әрі қарай үш таңбалы сандар басталады: 850 санды қоса жазу үшін 2550 цифр қолданылады. Тағы 20 цифр кеселі 5 санды жазу үшін және ақтыңғы санның бірінші цифрасын 7-ні жазу үшін қолданылады. Демек, натурал сандар қатарының 2030-шы орнында тұрған цифр 7-ге тең.

Жауабы: 7.

14-мысал. 7⁵⁰⁰¹ саны қандай цифрмен аяқталады?

Шешуі: Берілген санның соңғы цифры 7 санының соңғы цифрмен бірдей болатындығын айқын. 7 санын дәрежелегенде соңғы цифрының 4 нұсқасы шығады: егер дәреже көрсеткіші жұп сан болса, 1-ге тең. Сонда 5001 - тақ сан болатындықтан, 7⁵⁰⁰¹ санының соңғы цифры 7 цифрымен аяқталады.

Жауабы: 7 цифрымен аяқталады.

15-мысал. санының ондық бөлшегінде 2035-ші орында тұрған цифрды табыңдар.

Шешуі: 1-ді 17-ге бөлгенде шығатын периодтық бөлшектің периоды 16-ға тең. 2035-ті 16-ға бөлгендегі қалдықты табамыз: 2035 = 127·16 + 3. Демек, 2035-ші орында периодтың 3-ші цифры тұрады, ол 5-ке тең.

Жауабы: 5.

Өз бетінше шығару есептері:

1. Үш таңбалы саннан цифрларының қосындысын шегеріп, оның ондығының бірлігіне бөлсек, онда шығатын қатынас 7-ге тең болатынын дәлелдеңдер.

2. 5n+3 түріндегі сандардың ішінен 15-ке бөлінетін алғашқы 4 санды табыңдар.

3. Жұлдызшалардың орындарына 368 саны 81-ге бөлінетіндей етіп, цифрларды қойып шығыңдар.

4. 17 санының оң және сол жақтарына қандай бір цифрды қосып жазғанда шыққан сан 63-ке еселік болады?

5. 7¹⁰⁰ санын 12-ге бөлгендегі қалдықты табыңдар.

6. Цифрларының көбейтіндісі 24-ке тең болатын ең кіші және ең үлкен үш таңбалы санды табыңдар.

7. Санды 9-ға бөлгенде бөліндіде 6, ал қалдықта бөлінділден 2-ге артық сан шыққан. Қандай сан 9-ға бөлінген?

8. Тақтаға әрқайсысы 3-тен артық 8 жай сан жазылған. Олардың қосындысы 83-тен болуы мүмкін бе?

9. Бір таңбалы ең үлкен санға төрт таңбалы ең үлкен санды қанша рет қосып жазғанда, бес таңбалы сан шығады?

10. Алғашқы екі мүшенің қосындысы келесі мүшенің қосындысына тең болатын тізбектес 9 бүтін санды табыңдар.

11. 1-ден бастап, қанша тізбектес натурал сандарды қосқанда, бірдей цифрлардан құралған төрт таңбалы сан шығады?

12. Көршілес цифрлардың айырмасы 2 бірлікті, 4 екілікті және 2 үштікті кез келген қатар тұрған үшеуінің қосындысы 5-ке бөлінетіндей етіп, орналастырыңдар.

13. Өзінің цифрларының қосындысынан 9 есе артық болатын барлық үш таңбалы сандарды табыңдар.

14. 7¹⁰⁰ санын 6-ға бөлгендегі шығатын қалдықты табыңдар.

15. Үш таңбалы ең кіші санға төрт таңбалы ең кіші санды қанша рет қосқанда жеті таңбалы ең кіші сан шығады?

16. 5¹⁰⁰ саны қандай цифрлармен аяқталады?

17. Мына қосынды 2023⁶ + 2024⁷ + 2025⁸ қандай цифрмен аяқталады?

18. 1-ден 2030-ға дейінгі барлық тақ сандардың көбейтіндісі қандай цифрмен аяқталады?

19. Мына санның жазылуының соңында 1·2·3·4·5·6·...·15·16·17 қанша нөль бар?

20. 2020·2021·2022·2023² · 2024³ санының соңғы цифрын анықтаңдар.

21. 1-ден 2025-ке дейінгі барлық тақ сандардың көбейтіндісі қандай цифрмен аяқталады?

22. 1-ден 75-ке дейінгі барлық тақ сандардың көбейтіндісі қандай цифрмен аяқталады?

23. 6⁴⁰⁰¹ санының соңғы цифрын анықтаңдар.

24. 4²⁰³⁰ саны қандай цифрмен аяқталады?

25. 7³⁰⁰¹ саны қандай цифрмен аяқталады?

9-10 сабақ

Жасқа қатысты олимпиадалық есептер

Оқу мақсаты:

• Жасқа қатысты есептердің типтерін білу;

• Шарттарды түсіну;

• Теңдеулер құру;

• Есеп мазмұнын талдау;

• Шешу жолдарын жүйелеу;

• Жауаптың дұрыстығын тексеру

1-мысал. Әкесі 45 жаста, ал баласы 15 жаста. Неше жылдан кейін әкесінің жасы баласының жасына қарағанда екі есе үлкен болады?

Шешуі: Әкесі баласынан x жылдан кейін екі есе үлкен. Сонда мынадай теңдеу шығады: (45 + x) = 2(15 + x), немесе 45 + x = 30 + 2x, 45 - 30 = 2x - x, 15 = x

Жауабы: 15 жыл

2-мысал. Ағасы 20 жаста болса, інісі қанша жаста болғанда екеуінің жастарының қосындысы 35 болады?

Шешуі: Інісі x жаста болсын. Сонда 20 + x = 35, x = 15.

Жауабы: Інісі 15 жаста.

3-мысал. Анасының жасы баласының жасынан 3 есе үлкен. Егер олардың жастарының қосындысы 40 болса, баласы неше жаста?

Шешуі: Баласының жасы x болсын. Анасының жасы 3x болады. x + 3x = 40, 4x = 40, x = 10.

Жауабы: Баласы 10 жаста.

4-мысал. Атасы немересінен 50 жас үлкен. Егер 5 жылдан кейін атасының жасы немересінің жасынан 3 есе үлкен болса, қазір немересі неше жаста?

Шешуі: Немересінің қазіргі жасы x болсын. Атасының қазіргі жасы (x + 50). 5 жылдан кейін: (x + 50 + 5) = 3(x + 5) x + 55 = 3x + 15 55 - 15 = 3x - x 40 = 2x x = 20

Жауабы: Немересі 20 жаста.

5-мысал. Әкесі 40 жаста болғанда, баласы 8 жаста еді. Қазір баласының жасы әкесінің жасына қарағанда 3 есе кіші. Олардың әрқайсысы неше жаста?

Шешуі: Баласы қазір x жаста болсын, онда әкесі 3x жаста болады. Есептің шарты бойынша әке мен баласының жастарының айырмасы тұрақты 32 жас болғандықтан, мынадай теңдеу шығады: 3x - x = 32, яғни 2x = 32, бұдан x = 16. Демек, баласы 16 жаста, ал әкесі 48 жаста.

Жауабы: 16 жаста және 48 жаста.

6-мысал. Жаңа үйде он бала тұрады. Олардың бесеуінің жасы ең кішісіне қарағанда 2-ге, 4-ке, 6-ға, 8-ге және 10-ға артық. Қалған балалардың жасы ең үлкеніне қарағанда 1-ге, 3-ке, 4-ке және 5-ке кем. Кенже баланың жасы неше?

Шешуі: Ең кіші баланың жасын x деп алайық. Онда балалардың жастары: x, x+2, x+4, x+6, x+8, x+10, x+9, x+7, x+6, x+5. Ең кіші бала 7 жаста.

Жауабы: 7 жаста.

7-мысал. Баскетбол командасындағы 8 ойыншының орташа жасы 22-де. Матч кезінде екі ойыншы жарақат алып, олардың орнына шыққан ойыншылардың орташа жасы өзгерген жоқ. Жарақат алған ойыншылардың жасы неше?

Шешуі: Барлық ойыншылардың жастарының қосындысы 8×22=176-ға тең. Жаңа ойыншылардың жастары бірдей және 20 жаста болса, жарақат алған ойыншылардың жастарының қосындысы 40 болады.

Жауабы: 22 және 18 жаста.

8-мысал. Әкесі баласынан 3 есе үлкен. Олардың жастарының қосындысы 40-қа тең. Неше жылдан кейін әкесінің жасы баласына қарағанда 2 есе үлкен болады?

Шешуі: Айталық баласы x жаста болсын, онда әкесі 3x жаста. Сонда бастапқы теңдеу: x + 3x = 40, бұдан x = 10. Сейтіп, әкесі 30 жаста. n жылдан кейін (30+n) = 2(10+n), бұдан n = 10.

Жауабы: 10 жылдан кейін.

9-мысал. Әкесі баласынан 5 есе үлкен. Ол 15 жылдан кейін баласының 3 есе үлкені болады. Қазір әкесі неше жаста?

Шешуі: Қазір әкесі баласының 5 жасына тең болса: 5x = y, мұндағы x - баланың жасы, y - әкенің жасы. 15 жылдан кейін: y + 15 = 3(x + 15), бұдан 5x + 15 = 3x + 45, 2x = 30, x = 15. Демек, баласы 15 жаста, ал әкесі 75 жаста.

Жауабы: 75 жаста.

10-мысал. Біздің екі ағайындының жастарымыздың қосындысы 90. Менің қазіргі кездегі жасым, ағамның бұрынғы жасынан 2 есе кіші. Менің қазіргі жасым нешеде, ағамның жасы неше?

Шешуі: Менің қазіргі жасымды x-та, ал ағамның жасын y-та болсын. Онда менің қазіргі жасым 2x-та, ал бұрынғы жасым y-та болады. Есептің шарты бойынша мынадай теңдеу шығады: 2x + y = 90 Уақыт өткенде жастарымыздың айырмасы өзгермейтіндіктен:

2x = y

x + y = 90

y = 60, x = 30 болады.

Демек, менің жасым 30-да, ал ағамның жасы 60-та.

Жауабы: 30 және 60.

11-мысал.Бір сыныпта 6 бала бар. Әрбір баланың қаламсабы бар. Осы сыныпта барлығы қанша бала мен қаламсап бар?

Шешуі: Балалар саны = 6 Қаламсап саны = 6

Жалпы саны = 6 + 6 = 12

Жауабы: 12

12-мысал:Әженің жасы әр түрлі цифрлармен жазылатын ең кіші үш таңбалы жұп санмен анықталады. Әженің жасы нешеде?

Шешуі: Үш түрлі цифрдан тұратын ең кіші үш таңбалы жұп сан - 102

Жауабы: 102 жаста

13-мысал:Азат 2003 жылы туылған. Қазір оның жасы туылған жылының цифрларының қосындысына тең. Қай жылы оның жасы осындай болды?

Шешуі: 2003 жылының цифрларының қосындысы: 2 + 0 + 0 + 3 = 5

2003 + 5 = 2008 жылы ол 5 жаста болды

Жауабы: 2008 жыл

14-мысал:Қыздың туғанда анасы 24 жаста, ал ұлы туғанда 32 жаста болатын. Егер қазір үшеуінің жасын қосқанда 80 жас болса, әрқайсысы неше жаста?

Шешуі: Қызы x жаста болсын

Ұлы (x-4) жаста

Анасы (x+24) жаста

x + (x-4) + (x+24) = 80

3x + 20 = 80

3x = 60

x = 20

Жауабы: Қызы 20 жаста, ұлы 16 жаста, анасы 48 жаста

15-мысал:Қазір әкесі 42 жаста, ал баласы 6 жаста. Неше жылдан кейін әкесінің жасы баласының жасына қарағанда 5 есе үлкен болады?

Шешуі: n жылдан кейін: 42 + n = 5(6 + n) 42 + n = 30 + 5n 42 - 30 = 5n - n 12 = 4n n = 3

Жауабы: 3 жылдан кейін

Өз бетінше шығару есептері:

1-есеп. Әкесі 48 жаста, ал баласы 16 жаста. Неше жылдан кейін әкесінің жасы баласының жасына қарағанда екі есе үлкен болады?

2-есеп. Ағасы 24 жаста болса, інісі қанша жаста болғанда екеуінің жастарының қосындысы 40 болады?

3-есеп. Анасының жасы баласының жасынан 4 есе үлкен. Егер олардың жастарының қосындысы 50 болса, баласы неше жаста?

4-есеп. Атасы немересінен 54 жас үлкен. Егер 6 жылдан кейін атасының жасы немересінің жасынан 4 есе үлкен болса, қазір немересі неше жаста?

5-есеп. Әкесі 36 жаста болғанда, баласы 9 жаста еді. Қазір баласының жасы әкесінің жасына қарағанда 3 есе кіші. Олардың әрқайсысы неше жаста?

6-есеп. Жаңа үйде сегіз бала тұрады. Олардың төртеуінің жасы ең кішісіне қарағанда 2-ге, 4-ке, 6-ға және 8-ге артық. Қалған балалардың жасы ең үлкеніне қарағанда 1-ге, 2-ге және 3-ке кем. Кенже баланың жасы неше?

7-есеп. Футбол командасындағы 11 ойыншының орташа жасы 24-те. Матч кезінде үш ойыншы жарақат алып, олардың орнына шыққан ойыншылардың орташа жасы өзгерген жоқ. Жарақат алған ойыншылардың жасы неше?

8-есеп. Әкесі баласынан 4 есе үлкен. Олардың жастарының қосындысы 50-ге тең. Неше жылдан кейін әкесінің жасы баласына қарағанда 2 есе үлкен болады?

9-есеп. Әкесі баласынан 6 есе үлкен. Ол 12 жылдан кейін баласының 3 есе үлкені болады. Қазір әкесі неше жаста?

10-есеп. Біздің екі ағайындының жастарымыздың қосындысы 80. Менің қазіргі кездегі жасым, ағамның бұрынғы жасынан 2 есе кіші. Менің қазіргі жасым нешеде, ағамның жасы неше?

11-есеп. Ағайынды үш баланың жастарының қосындысы 36. Үлкені ортаншыдан 4 жасқа, ал ортаншысы кішісінен 2 жасқа үлкен. Әрқайсысы неше жаста?

12-есеп. Қазір анасы 35 жаста, ал қызы 10 жаста. Неше жылдан кейін анасының жасы қызының жасынан 2 есе үлкен болады?

13-есеп. Атасы 2024 жылы 72 жаста. Немересінің жасы атасының жасының цифрларының қосындысына тең. Немересі неше жаста?

14-есеп. Үш ұрпақтың - әже, ана және қыздың жастарының қосындысы 100 жас. Әже анадан 3 есе үлкен, ал ана қызынан 4 есе үлкен. Әрқайсысы неше жаста?

15-есеп. Әкесі 45 жаста, анасы 40 жаста, ұлы 15 жаста және қызы 10 жаста. Неше жылдан кейін балалардың жастарының қосындысы ата-анасының жастарының қосындысының жартысына тең болады?

11-12 сабақ

Бірлескен жұмыс пен қозғалысқа берілген күрделенген есептер

Оқу мақсаты:

• Жұмыс пен қозғалыс формулаларын білу;

• Есеп түрлерін ажырату;

• Формулаларды қолдану;

• Есеп компоненттерін талдау;

• Шешу жолдарын біріктіру;

• Тиімді әдісті анықтау

1-мысал. Тоқтамыс заводта бір күнде 6 станок, ал екінші күні 4 станок жұмыс істеді. Осы күндері әр станок 1/4 бөлігін орындады. Барлық жұмысты орындау үшін қанша күн қажет?

Шешуі:

1. Бірінші күнде: 6 станок × 1/4 = 6/4 бөлік

2. Екінші күнде: 4 станок × 1/4 = 4/4 = 1 бөлік

3. Барлығы: 6/4 + 4/4 = 10/4 бөлік орындалды

4. Толық жұмыс 1 бөлік болғандықтан, 8 күн қажет

Жауабы: 8 күн.

2-мысал. 3 оқушы 4 сағатта 16 есеп шығарды. 6 оқушы осындай қарқынмен 2 сағатта қанша есеп шығарады?

Шешуі:

1. 3 оқушы 1 сағатта: 16 ÷ 4 = 4 есеп

2. 1 оқушы 1 сағатта: 4 ÷ 3 = 4/3 есеп

3. 6 оқушы 1 сағатта: 4/3 × 6 = 8 есеп

4. 6 оқушы 2 сағатта: 8 × 2 = 16 есеп

Жауабы: 16 есеп.

3-мысал. 5 тауық 5 күнде 25 жұмыртқа туды. 10 тауық 10 күнде қанша жұмыртқа туады?

Шешуі:

1. 5 тауық 1 күнде: 25 ÷ 5 = 5 жұмыртқа

2. 1 тауық 1 күнде: 5 ÷ 5 = 1 жұмыртқа

3. 10 тауық 1 күнде: 1 × 10 = 10 жұмыртқа

4. 10 тауық 10 күнде: 10 × 10 = 100 жұмыртқа

Жауабы: 100 жұмыртқа.

4-мысал. 8 жұмысшы кеспектегі қалқанды 6 сағатта шіріп бітірді. Осындай кеспектегі қалқанды 4 жұмысшы неше сағатта шіріп бітіреді?

Шешуі:

1. 8 жұмысшы 1 сағатта қалқанның 1/6 бөлігін бітіреді

2. 1 жұмысшы 1 сағатта қалқанның 1/48 бөлігін бітіреді

3. 4 жұмысшы 1 сағатта қалқанның 4/48 = 1/12 бөлігін бітіреді

4. Толық қалқанды бітіру үшін: 1 : (1/12) = 12 сағат

Жауабы: 12 сағат.

5-мысал. Бір фонтан бассейнді 3 сағатта, ал екіншісі 5 сағатта толтырады. Екеуі бірігіп бассейнді қанша сағатта толтырады?

Шешуі:

1. Бірінші фонтан 1 сағатта бассейннің 1/3 бөлігін толтырады

2. Екінші фонтан 1 сағатта бассейннің 1/5 бөлігін толтырады

3. Екі фонтан 1 сағатта: 1/3 + 1/5 = 5/15 + 3/15 = 8/15 бөлік

4. Толық бассейнді толтыру уақыты: 1 : (8/15) = 15/8 = 1,875 сағат

Жауабы: 1,875 сағат.

6-мысал. Ферма аумағында 8 түйе бар. Олардың біріншісі бір арба шөпті бір күнде, екіншісі - 2 күнде, үшіншісі - 3 күнде, ..., сегізіншісі - 8 күнде жеп тауысады. Осы бір арба шөпті қайсысы тез жеп тауысады: алғашқы екеуі ме жоқ әлде қалғандары ма?

Шешуі: Біріншісі және екіншісі 1 күнде екеуі бірігіп, ( ) арба шөпті тауысады, ал барлық қалғандары: арба шөпті тауысады. Сонда , ал

болатындықтан, алғашқы екі түйенің шөпті жеу жылдамдығын қарағанда жоғары, олай болса, олар 1 арба шөпті қалғандарына қарағанда тез жеп тауысады.

Жауабы: Алғашқы екеуі тез жеп тауысады.

7-мысал. 15 теріші бір партия 28 күнде тігіп бітірді. Егер осындай еңбек өнімділікпен жұмыс істейтін болса, 35 теріші осындай 8 партияны неше күнде тігіп бітіреді?

Шешуі: 1 партияны - 15 теріші 28 күнде тігіп бітіреді. 1 партияны - 5 теріші 84 күнде тігіп бітіреді. 1 партияны - 35 теріші 12 күнде тігіп бітіреді. 8 партияны - 35 теріші 96 күнде тігіп бітіреді. Демек, 35 теріші 8 партияны 96 күнде тігіп бітіреді.

Жауабы: 96 күнде.

8-мысал. Суқойма бірінші құрылғы арқылы 5 сағатта толады, ал екінші құрылғы арқылы 6 сағатта толады. Егер екі құрылғы бірден ашып қойса, онда суқойма қанша сағатта толады?

Шешуі: Суқойманың көлемін шартты түрде бірлікке тең деп алайық.

1. I құрылғы 1 сағатта суқойманың 1:5 = бөлігін толтырады.

2. II құрылғы арқылы 1 сағатта суқойманың 1:6 = бөлігін толтырады.

3. Екі құрылғы арқылы 1 сағатта суқойманың бөлігін толтырады.

4. 1: = 30 (сағатта) суқойма сумен толады.

Жауабы: 30 сағатта.

9-мысал. Бір су резервуары бірінші сорғы арқылы 2,5 сағатта, ал екіншісі 3,75 сағатта толады. Екеуі бірігіп, осы су резервуарын қанша сағатта толтырады?

Шешуі: Егер су резервуарының екеуі бірігіп толтыратын уақытты x сағатта деп алсақ, онда бірінші сорғының резервуарды 2/5 сағатта, ал екіншісінің 4/15 сағатта толтыратындығын ескеріп, мынадай теңдеу шығарып аламыз: 2/5 + 4/15 = 1, бұдан x=1,5.

Жауабы: 1,5 сағатта.

10-мысал. 4 комбайншы 4 сағатта 4 гектар егістік орды, 8 комбайншы 6 сағатта қанша гектар егістік орады?

Шешуі: 1 сағатта 4 комбайншы 1 гектар, ал 8 комбайншы 1 сағатта 2 гектар орады. Олай болса, 6 сағатта 8 комбайншы 2 · 6 = 12 гектар орады.

Жауабы: 12 гектар.

11-мысал. Екі спортшы бір-біріне қарама-қарсы жүгіріп келеді; біреуінің жылдамдығы 60 км/сағ, ал екіншісінің 55 км/сағ. Екінші спортшы өткен қашықтықты бірінші спортшы қанша уақытта еңсеріп бітеді? Бірінші спортшы қандай қашықтыққа келді?

Шешуі: Екінші спортшы өткен қашықтықтың бірлігін бара жатқан бірінші спортшы салыстырмалы жылдамдығы мынаған тең: 60 + 75 = 135 (км/сағ) = 135·8/8 (м/с) = 37,5 (м/с). Сонда бірінші спортшының ұзындығы 37,5 · 4 = 150 (м)-ге тең.

Жауабы: 150 м.

12-мысал. Екі жұмысшы конвейерде бір-біріне қарама-қарсы 30 м арақашықтықта орналасқан. 1-ші жұмысшы 2 м/мин, ал 2-ші 1 м/мин жылдамдықпен қозғалады. Олар кездескенше қанша метр жүреді?

Шешуі: Жылдамдықтың қосындысы 4 м, түйісуі 3 рет қайталанады. Демек, екі жұмысшы 4м·30=120 м жүреді.

Жауабы: 120 м.

13-мысал. Екі зауыт қызметкері бірінші зауыттан екінші зауытқа дейін жаяу барып қайтты. Біріншісі 30 минутта, екіншісі 40 минутта жетті. Егер екі қызметкер бірге шықса, олар қанша уақытта кездеседі?

Шешуі:

1. 30 мин = 15 мин - Біріншісінің жүрген уақыты

2. 1 сағ 30 мин - 15 мин = 1 сағ 15 мин - Екіншісінің жүрген уақыты

3. 1 сағ 15 мин + 1 сағ 15 мин = 2 сағ 30 мин - Екеуінің кездесуге кеткен уақыты

Жауабы: 2 сағ 30 мин.

14-мысал. Бірінші өндіріс желісі тапсырманы 30 минутта, ал екінші желі 40 минутта орындайды. Егер екінші желі біріншіге қарағанда 5 минут кеш қосылса, онда бірінші желі қанша минуттан кейін екінші желіні қуып жетеді?

Шешуі: Екінші желі 5 минутта жолдың 1/8 бөлігін өтеді. Бірінші желі әрбір минутта жолдың 1/30 бөлігін, ал екінші - 1/40 бөлігін, яғни бірінші әрбір минутта жолдың 1/30 - 1/40 = 1/120 бөлігін қуып жетеді. Бірінші желі жолдың 1/8 бөлігін 1:1/120 = 15 минутта қуып жетеді.

Жауабы: 15 минутта қуып жетеді.

15-мысал. Жүк көлігі тәулік бойы тауар тасыды. Тәулік 125 сағатқа созылды. Жүк көлігі келесі күні қандай сағатта жұмысын аяқтайды?

Шешуі: Тәулікте 24 сағат болатындықтан, 125 сағ=5·24 сағ+5сағ=5 тәулік + 5 сағ. Олай болса, жүк көлігі келесі күні 17 сағатта жұмысын аяқтайды.

Жауабы: Келесі күні 17 сағатта.

16-мысал. С дүкенінен D дүкеніне дейін кеңсе қызметкері 5 минут, ал кері қайтқанда 7 минут жүреді. С дүкенінен жіберілген хабар қанша уақытта кейін D дүкеніне келіп жетеді?

Шешуі: Қызметкер С дүкенінен D дүкеніне қарай әсер етпеген жүріспен әр бір минут ішінде жолдың 1/5 бөлігін, ал кері қайтқанда жолдың 1/7 бөлігін жүріп өтеді. Сондықтан 1/5 - 1/7 = 2/35 өзен ағысының екі еселенген жылдамдығы болады. Бұдан өзен ағысының бір минуттегі жылдамдығы 1/35-ге тең. Демек, С дүкенінен жіберілген хабар 35 минуттен кейін D дүкеніне келіп жетеді.

Жауабы: 35 минутта.

17-мысал. Оқушы Е мектебінен F мектебіне келді. Ол 15км/сағ жылдамдықпен 4 сағат велосипедпен және 6 сағат автобуспен, ал үшінші 3 сағат пойызбен және 2 сағат автобуспен жүріп өтті. Автобустың жылдамдығы пойыздың жылдамдығына қарағанда екі есе аз. Егер оның автобуспен жүрген жылдамдықтары бірдей болатын болса, онда ол қандай жол жүрген?

Шешуі:

1. 15·4=60 (км) бірінші адамның велосипедпен жүрген жолы

2. Екінші адам пойызда 3 сағат жүрген, оның жылдамдығы автобусқа қарағанда 2 есе артық, яғни үшінші адамның 3 сағатта пойызда жүрген жолы бірінші адамның автобуспен 6 сағатта жүрген жолына тең.

3. 60:2 = 30 (км/сағ) – автобустың жылдамдығы

4. 30·6=180 (км) – бірінші адамның 6 сағатта автобуспен жүрген жолы

5. 180+60=240 (км) – А адамның аралық ара қашықтығы

Жауабы: 240 (км).

18-мысал. Егер жеке кәсіпкердің өнім шығару жылдамдығы 50 дана/сағ, ал жаңа жабдықтың жылдамдығы 5 дана/сағ болса, онда осы кәсіпкер бұл жабдықпен 60 дана өнімді 3 сағатта шығара ала ма?

Шешуі: 50·2 сағ А дүкені бірінші жаңа дана 2 сағат 5 км/сағ жылдамдығымен 10 км жолды жүріп өтетін, онда оған жүруге 50 км қалады, яғни бірақ жабдық 1 сағатта белгіленген туынды жетпек жетпейді ж, сайта келіп, 1-ші ал жылдық калған уақытта белгіленген пунктіне жеткізеді.

Жауабы: Жоқ, шығара алмайды.

19-мысал. Фабрика А бөлімінен В бөлімне дейін өнім жеткізеді. Егер ол 50 өнім/сағ жылдамдықпен жұмыс істесе, онда ол белгіленген мерзімнен 2 сағат ерте, ал егер 65 өнім/сағ жылдамдықпен істесе, онда ол белгіленген мерзімнен 1 сағат бұрын бітіреді. А және В бөлімдерінің ара қашықтығы қандай және ол өнімді қандай жылдамдықпен жұмыс істеуі тиіс?

Шешуі: (50·2 + 65·1)-(65-60)=11 сағат – белгіленген мерзімге жететін уақыт. 50·(11+2) = 650 (өнім) – А және В бөлімдерінің ара қашықтығы.

Жауабы: 11 сағат; 650 (өнім).

20-мысал. Қарама-қарсы жүзіп келе жатқан екі қайықтың жылдамдықтары 50 км/сағ және 58 км/сағ. Екінші қайық өткен қашықтықты бірінші қайық 8 секундта еңсеріп шыққанын байқады. Бірінші қайықтың жылдамдығы қандай?

Шешуі: Қайықтар бір-біріне қарама-қарсы жүзіп келе жатқандықтан, екінші қайықтың жылдамдығы салыстырмалы жылдамдығы 50+58=108 км/сағ=30 м/сек. Бірінші қайықтың ұзындығы 30м/сек·8сек=240 м.

Жауабы: 240 м.

Өз бетінше шығару есептері:

1. Үш спортшы бір жарысты 45 күнде, екіншісі 60 күнде, үшіншісі 90 күнде аяқтайды. Егер спортшылар үшеуі бірігіп жарысқа қатысса, қанша күнде жарысты аяқтайды?

2. Екі инженер біріккенде техникалық жобаны 12 күнде орындайды. Егер бірінші инженер жобаның жартысын орындап, ал екінші инженер қалған бөлігін өзі істейтін болса, онда барлық жоба 25 күнге созылады. Осы жағдайда инженерлер жеке-жеке жұмыс істесе, қанша күнде бітіреді?

3. Бірінші компьютер 4 күнде 3 бағдарлама жазады, ал екінші компьютер 6 күнде 2 бағдарлама жазады. Екеуі бірігіп жұмыс істесе, 65 бағдарламаны қанша күнде жазып бітіреді?

4. Егер 3 өндіріс желісі 3 тауарды 3 минутта шығарса, онда 100 өндіріс желісі 100 тауарды неше минутта шығарады?

5. Бірінші цех тапсырысты 3 сағатта орындайды, ал екінші цех 6 сағатта орындайды. Екеуі бірігіп жұмыс істегенде, тапсырысты қанша сағатта орындайды?

6. Үлкен резервуарды үш насос толтырады. Бірінші және екінші насос 2 сағатта, екінші және үшінші насос 3 сағатта, бірінші және үшінші насос 4 сағатта толтырады. Үшінші насостың өзі резервуарды қанша сағатта толтырады?

7. Егер n станок n сағатта n өнім шығарса, онда p станок p сағатта қанша өнім шығарады?

8. Бірінші бригада құрылысты 10 күнде, ал екіншісі 15 күнде салып бітіреді. Егер екеуі бірге жұмыс істесе, олар құрылысты неше күнде аяқтайды?

9. Қалалық тапсырысқа екі техника кірісті. Біріншісі барлық көлемді 1 сағатта, ал екіншісі 45 минутта орындайды. Олар жұмысты бірге бастап, 20 минуттан кейін біріншісі істен шықты. Екінші техника қалған жұмысты қанша уақытта бітіреді?

10. Алмас есепті 4 минутта, Серік 6 минутта, ал Дастан 12 минутта шығарады. Олардың үшеуі бірігіп, есепті қанша минутта шығарады?

11. Қалааралық жарысқа қатысқан мотоциклист екі елді мекен арасындағы жолды 10 сағатта жүріп өтеді. Егер ол бұл жолды 8 сағат ішінде аяқтағысы келсе, жылдамдығын қанша пайызға арттыруы керек?

12. Бақшадағы ағаш діңіне жұлдызқұрт өрмелей бастады: алғашқы сағатта ол жоғарыға қарай 10 см жылжыды, бірақ келесі сағатта 4 см төмен түседі. Үшінші сағатта ол тағы 10 см жоғары көтерілді, ал төртінші сағатта қайтадан 4 см сырғып түсті. Егер жұлдызқұрт 11 сағат бойы өрмелесе, ол жалпы биіктіктен қанша см жоғары көтеріледі?

13. Екі ауыл арасындағы тас жолда жеңіл көлік Шымкенттен 80 км/сағ жылдамдықпен шығады. Оған қарсы Алматыдан басқа бір көлік 60 км/сағ жылдамдықпен қозғалып келеді. Бұл екі көлік бір-біріне 1 сағат қалғанда олардың арақашықтығы қанша болатынын есептеңіз.

14. Қоян өзін 40 қадамдық арақашықтықта орналасқан нүктеге жеткізу үшін секіреді. Әрбір секірісі бірдей емес: ол 9 рет ұзақ секіріп, 7 рет орташа, ал қалған 3 рет қысқа секіреді. Егер орташа және қысқа секірістерінің ұзындығы сәйкесінше 5 және 3 рет ұзын секірістің жартысына тең болса, қоян қанша секіру жасайды?

15. Желкенді яхта жағалаудан 80 км қашықтыққа дейін жүзіп баруға дайындалып жатыр. Жолда желдің әсерінен орташа жылдамдығы тұрақсыз болды: алғашқы 40 км жолды 4 сағатта, ал қалған қашықтықты 2 сағатта еңсерді. Яхта қай жылдамдықпен жүзді?

16. Бір көпқабатты үйдің 5-ші қабатындағы тұрғын үйге апаратын баспалдақтың әр сатысы 25 см биіктікте орналасқан. Егер бірінші қабаттан бастап 5-ші қабатқа дейін бару үшін 120 саты қажет болса, әрбір қабаттың биіктігін анықтаңыз.

17. Көпір үстінде қозғалған жеңіл көлік желдің әсерінен жылдамдығын 10%-ға азайтты. Көлік жел соққанға дейін 60 км/сағ жылдамдықпен жүріп келе жатты. Егер желдің әсері 30 минутқа созылған болса, көлік осы уақыт ішінде қанша қашықтық жүріп өтті?

18. Мектепке баратын екі оқушы бір бағытта жүріп келеді. Біріншісі 5 км/сағ жылдамдықпен, ал екіншісі одан 20%-ға баяу қозғалады. Егер олардың арақашықтығы бастапқыда 400 метр болған болса, 2 сағаттан кейін олардың арасы қаншаға өзгереді?

19. Далалық жұмыста трактор сағатына 15 км, ал комбайн 12 км жылдамдықпен қозғалады. Егер екі техника бір уақытта әртүрлі бағытта қозғала бастаса, 3 сағат ішінде олардың арасындағы арақашықтық қаншаға ұлғаяды?

20. А нүктесінен В нүктесіне қарай екі көлік бір уақытта жолға шықты. Біріншісі сағатына 90 км жылдамдықпен, ал екіншісі сағатына 60 км жылдамдықпен жүріп келеді. Егер олар бір-біріне қарама-қарсы бағытта қозғалса, 2 сағаттан кейін олардың арақашықтығы қанша болады?

13-14 сабақ

Математикалық модельдеу арқылы шешілетін арифметикалық есептер

Оқу мақсаты:

• Модельдеу әдістерін білу;

• Математикалық модельдерді түсіну;

• Модельдерді құру;

• Шарттарды талдау;

• Шешу жолдарын жинақтау;

• Модельдің тиімділігін бағалау

1-есеп. Қоймада x, y, k - үш түрлі тауар бар. Егер бір тауарды екі рет санағанда осы тауарлар арқылы құралған барлық үш тауарлы топтарды қосса, сонда 5328-ге тең болады.

Шешуі: Кез келген үш тауарлы топты мына түрде жазуға болады: abc = 100a + 10b + c, мұндағы a - біріншісінің, b- екіншісінің, c - үшіншісінің саны. Есептің шарты бойынша табатынымыз: xyz + xzy + yzx + zxy + zyx = 222(x + y + z) = 5328, бұдан x + y + z = 24. Сандарының қосындысы 24-ке тең болатын әр түрлі үш тауарлы сандардың үштігі бар екенін ескереміз. Бұл сандар 7, 8, 9.

Жауабы: 7, 8, 9

2-есеп. Дүкенде 7 бөлімде орналасқан және әр бөлімде үш түрлі зат бар екенін білеміз. Бұл заттардың санын табыңдар.

Шешуі: Іздейтін санды мына түрде жазуға болады: 7xy = 700 + 10x + y, мұндағы x≠y. 7xy саны 3-ке еселік болатындықтан, 7+x+y=3k. Бірақ 0 ≤ x ≤ 18, немесе 0 ≤ 3k - 7 ≤ 18, 7 ≤ 3k ≤ 25, 2⅓ ≤ k ≤ 8⅓, бұдан k=3, 4, 5, 6, 7, 8. k=8 болғанда, x+y=17. Сонда x=9, y=8 және 798 - іздейтін сан болады.

Жауабы: 798

3-есеп. Супермаркетте 123456789101112...5657585960 нөмірлі кассалық чектер шығарылды, 100 чекті салыстыру керек.

Шешуі: 100 чекті салыстырғанда мүмкіндігінше алдында «9» санын қалдырып отырамыз. Алдымен бірінші «9» санының алдында тұрған 8 сан, екінші «9» санының алдындағы - 19, үшінші «9» санының алдындағы - 19, төртінші «9» санының алдындағы - 16 сандардың қосындысы. Сонымен, 19+4+8=84 сандар қосындысы. Сонда қалған 99999505152535455657585960 сандарының ішінен 16 санды сызу қалады. Енді «7» санының алдында тұрған 15 санды сызамыз, сонда 99999758960 саны қалады. Енді «6» санын сызамыз, сонда іздейтін сан 99999785960 шығады.

Жауабы: 99999785960

4-есеп. Саябақтағы екі билет бағасының қосындысы тақ болса, онда бұл билеттердің құны жұп сан болатынын дәлелдеңдер.

Шешуі: Екі биеттің бағасының қосындысы тақ сан болатындықтан, олардың қосындыларының біреуі - жұп сан, ал екіншісі тақ сан болады. Ал жұп санның кез келген бөтін санға көбейтіндісі жұп сан болады.

5-есеп. Спорт залындағы жұп сан болатын төртбұрышты үш жаттығу құралдарының көбейтіндісі 24-ке еселік болатынын дәлелдеңдер.

Шешуі: Төртбұрышты жаттығу құралының біреуі міндетті түрде әрқашанда 3-ке бөлінеді, ал төртбұрышты екі жұп санының біреуі - 4-ке еселік болады. Олай болса, бұл үш сандардың көбейтіндісі 3-ке, 2-ге, 4-ке, яғни 3·2·4=24-ке бөлінеді.

6-есеп: Дүкенде алты түрлі кітап бар, олардың беттер саны қосындысы 22-ге тең. Осы кітаптарды табыңдар.

Шешуі: Ең кіші алты кітаптың бет санын қарастырайық: 1, 2, 3, ..., 6. Олардың қосындысы 21-ге тең. Олай болса, іздейтіні тендікті шығару үшін, кез келген санды 1-ге арттыруымыз керек. Егер біз 1-ден 5-ке дейінгі сандардың біреуін өзгерте арттырсақ, онда екі сан бірдей болып шығады. Олай болса, соңғы санды 1-ге арттыру керек, яғни 6-ның орнына 7-ні алу керек. Нәтижеде іздейтін сандар – 1, 2, 3, 4, 5, 7 шығады.

Жауабы: 1, 2, 3, 4, 5, 7

7-есеп: Театрдың әр қатарындағы орындық нөмірінің алдында тұрған сандардың қосындысына тең болатын ең үлкен санды табыңдар.

Шешуі: Егер санның цифрлары негізінен көп болса, онда ол сан әрқашанда көп болады. Егер алғашқы екі цифр қаншалықты аз болса, онда барлық цифр сонышалықты артық болады. Соны тексерейік. Егер алғашқы цифрлар 1 және 0 болса, онда 10112358 санын аламыз. Егер алғашқы екі цифр 1 және 1 болса, онда 11 23 58 санын, ал егер 2 және 0 болса, онда 202 246 санын аламыз. Ендеше, іздейтін сан 10 112 358-тен.

Жауабы: 10 11 23 58

8-есеп: Велотректе p-нің қандай мәндерінде мына үш спортшының жылдамдығы: 2p+1 және p, 4p+1 жай сандар болады? Шешуі: p, 2p+1, 4p+1 сандары қандай болса да, олардың біреуі әрқашанда 3-ке бөлінеді. Шынында да, p саны 3-ке бөлінсе - 0, 1 немесе 2 қалдықтарының біреуі шығады. Бірінші жағдайда p саны 3-ке бөлінеді, екінші жағдайда - 2p+1, үшінші жағдайда - 4p+1 сандары 3-ке бөлінеді. 3-ке бөлінетін жалғыз тана жай сан бар - ол 3-ке тең. 2p+1=3 немесе 4p+1=3 болғанда p саны жай сан болмайды. p=3 болғанда табатынымыз: 2p+1=7, 4p+1=13. Сонымен, есептің мүмкін болатын жалғыз жауабы: p=3.

Жауабы: p=3.

9-есеп: Егер жазғы және қысқы бағалар үш есе көтерілсе. Онда баға мен қалдық өзгере ме?

Шешуі: Егер қалдық нольге тең болса, ешқандай өзгеріс болмайды. Шынында да, AB:A=B болсын. Онда 3AB:3A=B болады. Егер қалдық нольге тең болмаса, онда бағалар үш есе артқанда, бөлінді өзгермейді, ал қалдық 3-ке артады. Расында да, егер (AB+a):A=B (қалдық а>0) болса, онда (3AB+3a):3A=B (қалдық 3а) болады.

Жауабы: Егер қалдық нольге тең болмаса – иә, қарсы жағдайда – жоқ.

10-есеп: Интернет дүкенінде сандық өнімдер келесі ретпен сатылады. Оларды анықтау үшін мынадай сілтеме берілген: Бірнеше жүргісте кейін 458 санының 14 санын шығарып алуға бола ма?

Шешуі: Мүмкін. Алдымен санды екі еселеп, одан кейін соңғы цифрын өшіріп тастаймыз, немесе керісінше - алдымен соңғы цифрын өшіріп тастаймыз, одан кейін екі еселейміз. Нәтижеде мәні бірінші цифры әзергеше әкелінді. Сондықтан, санды бірінші цифры 7 шыққанша екі еселеп, одан кейін 7 цифры қалғанша оларды сызу керек, кейін оны екі еселеу керек: 458, 916, 1832, 3664, 7328, 732, 73, 7, 14.

Жауабы: Иә, 458, 916, 1832, 3664, 7328, 732, 73, 7, 14.

11-есеп: Алмас, Бекен және Сағат спорт залында жаттығады. Алмас әрбір 3-күн, Бекен 7-күн, Сағат әрбір 5-күн келеді. Бүгін барлық балалар спорт залында болды. Барлық үшеуі енді қай күні кездеседі?

Шешуі: Күнді барлық балалардың спорт залына келген күнінен бастап санайық. Асанның спорт залына келген күндерінің саны 3-ке, Үсеннің келген күндерінің саны 5-ке бөлінеді және т.с.с. Олай болса, олардың үшеуінің бірдей спорт залына келген күндерінің саны бір мезгілде 3-ке, 5-ке және 7-ге де бөлінеді. Сонымен, бұл күннің нөмірі 105-ке бөлінуі керек, яғни 105, 210, 315 және т.с.с. Сонда олар үшеуі спорт залында бірінші рет 105 күннен кейін кездеседі.

Жауабы: 105-ші күні.

12-есеп: Сауда орталығында 1-ден 10 000 000-ға дейінгі бүтін сандар арасында қандай цифр тұрады?

Шешуі: Бір таңбалы сандар 9 орын, ал екі таңбалы сан 90·2=180 орын алады. Олар барлығы 189 орын алады. Қалған 1972-189=1783 орында үш таңбалы сандар алады. Олай болса, 1783 = 594 · 3 + 1 шешіме 1783 орында 594 орынға дейінгі үш орынды сандар және 595 орынға сәйкес келетін үш орынды бірінші цифры алады. 595-ші үш орынды сан 694. Олай болса, іздеген цифрамыз 6 болады.

Жауабы: 6.

13-есеп: Егер банк салымының пайыздық мөлшері мен уақыты үш есе артса,oнда пайыз бен қалдық өзгере ме?

Шешуі: Егер қалдық нольге тең болса, ешқандай өзгеріс болмайды. Шынында да, AB:A=B болсын. Онда 3AB:3A=B болады. Егер қалдық нольге тең болмаса, онда пайыздар үш есе артқанда, бөлінді өзгермейді, ал қалдық 3-ке артады. Расында да, егер (AB+a):A=B (қалдық а>0) болса, онда (3AB+3a):3A=B (қалдық 3а) болады.

Жауабы: Егер қалдық нольге тең болмаса – иә, қарсы жағдайда – жоқ.

14-есеп: Онлайн ойында әр ойыншы келесі деңгейге өту үшін ұпай жинайды. Бірнеше кезеңнен кейін 458 ұпайдың 14 ұпайын жоғалтуға бола ма?

Шешуі: Мүмкін. Алдымен ұпайды екі еселеп, одан кейін соңғы санын өшіріп тастаймыз, немесе керісінше - алдымен соңғы санын өшіріп тастаймыз, одан кейін екі еселейміз. Нәтижеде мәні бірінші саны әзергеше әкелінді. Сондықтан, ұпайды бірінші саны 7 шыққанша екі еселеп, одан кейін 7 саны қалғанша оларды сызу керек, кейін оны екі еселеу керек: 458, 916, 1832, 3664, 7328, 732, 73, 7, 14.

Жауабы: Иә, 458, 916, 1832, 3664, 7328, 732, 73, 7, 14.

15-есеп: Марат, Нұрлан және Олжас фитнес клубына барады. Марат әрбір 3-күн, Нұрлан 7-күн, Олжас әрбір 5-күн келеді. Бүгін барлық үшеуі клубта болды. Барлық үшеуі енді қай күні кездеседі? Шешуі: Күнді барлық үшеуінің фитнес клубына келген күнінен бастап санайық. Мараттың клубқа келген күндерінің саны 3-ке, Нұрланның келген күндерінің саны 5-ке бөлінеді және т.с.с. Олай болса, олардың үшеуінің бірдей клубқа келген күндерінің саны бір мезгілде 3-ке, 5-ке және 7-ге де бөлінеді. Сонымен, бұл күннің нөмірі 105-ке бөлінуі керек, яғни 105, 210, 315 және т.с.с. Сонда олар үшеуі клубта бірінші рет 105 күннен кейін кездеседі.

Жауабы: 105-ші күні.

Өз бетінше шығару есептері:

1. 20007425 санын қолданып, қай цифрды алып тастағанда ең үлкен сан шығады?

2. n-дің қандай мәнінде 3ᵖ>1000 теңдігі орындалады?

3. Екі жұп санның арасындағы жеті натурал санның қосындысын анықтаңыз.

4. 100-ге дейінгі сандар ішінде цифр 5 кем дегенде бір рет кездесетін сандар санын табыңыз.

5. Төрт натурал санның қосындысы тақ болғанда, көбейтіндісі жұп болатынын көрсетіңіз.

6. Екі санның қосындысы 209. Бірінші санның соңғы цифры 0. Оны өшіргенде екінші сан шығады. Сандарды табыңыз.

7. 7******1 өрнегіндегі жұлдызшалардың орнына қойылған кез келген үш көршілес санның қосындысы 11 болатын сандарды табыңыз.

8. 4839651027 санынан үш цифрды өшіргенде шығатын ең кіші санды анықтаңыз.

9. 5, 8, 9 цифрлары тек бір рет қолданылған үш таңбалы сандардың санын табыңыз.

10. 150 мен 450 арасындағы жұп сандардың санын анықтаңыз.

11. Төрт санның қосындысы 56, ал көбейтіндісі 8-ге бөлінеді. Осы сандарды табыңыз.

12. Жүздіктер саны ондықтар санынан 4-ке көп, ал бірліктер саны жүздіктер санынан 2-ге кем болатын үш таңбалы сандарды табыңыз.

13. 1-ден 60-қа дейінгі сандар арасында 3 цифры неше рет кездеседі?

14. Соңғы цифрын өшіргенде 25-ке еселік болатын екі таңбалы сандарды табыңыз.

15. n-ші бөлгеннен кейінгі қалдық (n-1)-ге тең болатын ең кіші натурал санды табыңыз, мұндағы n=2,3,4,5.

16. 5 824 913 санынан үш цифрды өшіргенде қалған цифрлар ең кіші жеті таңбалы санды құрайтындай етіп табыңыз.

17. Екі натурал санның қосындысы 25-тен кіші болса, олардың көбейтіндісі 100-ден аспайтынын дәлелдеңіз.

18. Екі санның ең үлкен ортақ бөлгіші 45, ал ең кіші ортақ еселігі 540. Осы сандарды табыңыз.

19. Цифрларының көбейтіндісі 15 болатын ең үлкен және ең кіші үш таңбалы сандарды анықтаңыз.

20. Егер екі таңбалы санның цифрларын орындарымен алмастырсақ, сан 36-ға артады. Барлық мүмкін сандарды табыңыз.

15-16 сабақ

Ребустарды шешу әдістері

Оқу мақсаты:

• Ребус шешу ережелерін білу;

• Шартты белгілерді түсіну;

• Әдістерді қолдану;

• Ребус құрылымын талдау;

• Шешу жолдарын жүйелеу;

• Шешімнің дұрыстығын тексеру

Мысал 1: Көбейту амалындағы белгісіз цифрларды табыңыз:

Шарты: 771 санын көбейткенде үш таңбалы және төрт таңбалы сандар шығады, сонымен қатар көбейткіштің бірінші цифры 1-ге тең, ал екінші цифры 12-ден кіші болуы керек (n≥12). Осыған қоса, 771×n ≤ 9999, яғни n ≤ = 12.971, бұдан n≤12.

n≥12 және n≤12 теңсіздіктерінен n=12 мәні шығады. Бұл табылған шешімнің шарттарға сәйкес келетінін көрсетеді.

Сондықтан, іздеп отырған көбейткіш 12-ге тең.

Жауабы: 771×12=9252.

Мысал 2:

Берілгені: Төрт таңбалы санды белгісіз санға бөлгенде, бөлінді 8.9 болады. Мұнда бөлінгіш пен бөліндінің цифрлары белгісіз. Келесі шарттар орындалады:

• Бөлгішті 8-ге көбейткенде үш таңбалы сан шығады

• Бөліндінің екінші цифрына көбейткенде төрт таңбалы сан шығады

• Бөліндінің екінші цифры 9-ға тең

• Бөлгіш 8n үш таңбалы, ал 9n төрт таңбалы сан болады

• 8n ≤ 999 және 9n ≥ 1000

Осыдан 111⅑ ≤ n ≤ 124⅞ шығады, ал n натурал сан болғандықтан 112 ≤ n ≤ 124.

Теңдеудің шешімі n = 120 екенін тексеріп көрсетіңіз.

Жауабы: 1068:120 = 8.9

Мысал 3: Келесі көбейту амалындағы белгісіз цифрларды табыңыз:

Берілгені: Бірінші көбейткіштің соңғы цифры 4-ке тең, себебі көбейткенде соңғы цифры 8 болады. Бұдан бірінші көбейткіш:

Бірінші көбейткіш үш таңбалы сан болғандықтан, оның бірінші цифры 1-ге тең:

Екінші көбейткіш төрт таңбалы сан болғандықтан, оның бірінші цифры 9-ға тең:

Жауабы: 124 × 97 = 12028

Мысал 4: Төмендегі бөлу амалындағы белгісіз цифрларды табыңыз:

Талдау: Алдымен белгілі цифрларды қойып көрейік:

Бөліндінің екінші цифры 6 болатынын анықтаймыз. 325 × 162 = 52650 екенін пайдаланып, қалған амалдарды орындайық:

Жауабы: 52650 ÷ 162 = 325

Мысал 5: Теңдікті шешіңіз:

cdеbс - abcd - acac = 0

Берілгені: Теңдікті былай жазамыз:

Шарттары:

1. Мұнда: d = 0 (өйткені d + c = c) және c=1 (бес таңбалы санның бірінші цифры)

2. a + c = cd = 10, бұдан a=5 (a+a+1=10 деп ұйғардық, өйткені a+a=9)

3. c+a=1+5=6, яғни b=6, b+c=6+1=7, яғни c=7

Жауабы: 10761-5610=0 11427-5670-5757=0

Мысал 6:Көбейту амалындағы жасырын цифрларды табыңыз:

Талдау: Көп таңбалы сандардың көбейтіндісін есептеңіз.

Келесі қадамдар орындалады:

Бірінші көбейткіштің ондық цифры 2, ал екінші көбейткіштің ондық цифры 4 екенін көрсету керек.

Жауабы: 325×147=47775

Өз бетінше шығару есептері:

1.Ребусты шеш:

2.Ребусты шеш:

3.Ребусты шеш:

4.Ребусты шеш:

5.Ребусты шеш:

6.Ребусты шеш:

7.Ребусты шеш:

8.Ребусты шеш:

9.Ребусты шеш:

10.Ребусты шеш:

11.Ребусты шеш:

12.Ребусты шеш:

13.Ребусты шеш:

14.Ребусты шеш:

15.Ребусты шеш:

17-18 сабақ

Теңдеулер құру арқылы шешілетін логикалық-математикалық есептер

Оқу мақсаты:

• Теңдеу құру әдістерін білу;

• Логикалық байланыстарды түсіну;

• Теңдеулер құру;

• Шарттарды талдау;

• Шешу жолдарын біріктіру;

• Әдістердің тиімділігін бағалау

Мысал 1: Қосындысы 2001-ге тең болатын екі тізбектелген натурал санды табыңыз.

Шешуі: Айталық n және n+1 тізбектелген екі натурал сан болсын.

n+(n+1)=2001

2n+1=2001

2n=2000

n=1000

Іздеген сандар 1000 және 1001.

Жауабы: 1000 және 1001

Мысал 2: Төрт таңбалы ең үлкен санды неше рет қосқанда бес таңбалы ең үлкен сан шығады?

Шешуі: 9999×n = 99999

n = 99999/9999 = 10

Жауабы: 10 рет

Мысал 3: Егер Айдос 25 тәтті сатып алса, оның 12 теңгесі артылып қалады, ал 30 тәтті алса, 8 теңге жетпейді. Айдостың қанша ақшасы бар?

Шешуі: 1 тәттінің бағасын x теңге деп алайық.

25x + 12 = 30x - 8

-5x = -20

x = 4

Демек, Айдостың ақшасы: 25×4+12 = 112

Жауабы: 112 теңге

Мысал 4: Бір қапшықта 5 кг 400 г алма және 4 қапшықта 8 кг алма бар. Бір қапшықтағы алманың салмағы қандай?

Шешуі:

Теңдеу құрайық:

4y+5400=8000 (граммен)

4y=8000-5400

4y=2600

y=2600/4=650

Тексеру:

4×650+5400=8000

2600+5400=8000

8000=8000

Жауабы: 650 г

Мысал 5: Мектеп олимпиадасында қатысушыларға 50 сұрақ берілді. Дұрыс жауап бергендерге 10 ұпай, ал қате жауаптары үшін 5 ұпай алынып тасталынды. Оқушы барлығы 300 ұпай жинады. Ол қанша сұраққа дұрыс жауап берді?

Шешуі:

x - дұрыс жауаптар саны

(50-x) - қате жауаптар саны

10x - 5(50-x) = 300

10x - 250 + 5x = 300

15x = 550

x = 40

Тексеру:

10×40 - 5(50-40) = 300

400 - 5×10 = 300

400 - 50 = 300

300 = 300

Жауабы: 40 сұрақ

Мысал 6:Оқушы кітапты төрт күнде оқып бітірді. Бірінші күні ол барлық кітаптың 0,25 бөлігін және 20 бет, екінші күні қалғанның 0,4 бөлігін және тағы 15 бет оқыды. Ал үшінші күні қалғанның 0,5 бөлігін және соңғы 25 бетін оқып шықты. Кітаптың жалпы беті қанша?

Шешуі: Кітаптың беті x болсын.

Бірінші күні: (0,25x + 20) бет оқыған

Қалғаны: x - (0,25x + 20) = 0,75x - 20

Екінші күні: 0,4(0,75x - 20) + 15 = 0,3x - 8 + 15 = 0,3x + 7

Қалғаны: 0,75x - 20 - (0,3x + 7) = 0,45x - 27

Үшінші күні: 0,5(0,45x - 27) + 25 = 0,225x - 13,5 + 25 = 0,225x + 11,5

Қалған беттер: 25

Теңдеу: 0,225x + 11,5 = 25

0,225x = 13,5

x = 60

Тексеру: Бірінші күні: 0,25×60 + 20 = 35 бет

Екінші күні: 0,4(45 - 20) + 15 = 25 бет

Үшінші және төртінші күні: 25 бет

Жауабы: 60 бет

Мысал 7: 3 қарындаш және 2 дәптер 24 теңге тұрады, ал 5 қарындаш және 4 дәптер 42 теңге тұрады. 2 қарындаш пен 3 дәптер қанша тұрады?

Шешуі: x - бір қарындаштың бағасы y - бір дәптердің бағасы

Теңдеулер жүйесі:

3x + 2y = 24

5x + 4y = 42

5(3x + 2y) = 5×24

3(5x + 4y) = 3×42

15x + 10y = 120

15x + 12y = 126

-2y = -6

y = 3 x = 6

Тексеру: 3×6 + 2×3 = 24 5×6 + 4×3 = 42

2 қарындаш пен 3 дәптер = 2×6 + 3×3 = 21

Жауабы: 21 теңге

Мысал 8: Марат кітапты үш күнде оқып бітірді. Бірінші күні ол кітаптың 1/3 бөлігін, екінші күні қалған беттің 1/2 бөлігін, ал үшінші күні соңғы 40 бетті оқыды. Кітапта барлығы қанша бет бар?

Шешуі: Кітаптың беті x болсын.

Бірінші күні: x/3 бет

Қалғаны: 2x/3 бет

Екінші күні: (2x/3)/2 = x/3 бет

Қалғаны: x/3 = 40 бет

Теңдеу: x/3 = 40

x = 120

Тексеру:

Бірінші күні: 120/3 = 40 бет

Екінші күні: 80/2 = 40 бет

Үшінші күні: 40 бет

Барлығы: 40 + 40 + 40 = 120 бет

Жауабы: 120 бет

Өз бетінше шығару есептері:

1. Үш қалам, бес дәптер және бір өшіргіш 480 теңге тұрады. Екі қалам, төрт дәптер және бір өшіргіш 380 теңге тұрады. Егер үш қалам қанша тұрса, бір өшіргіш сонша тұратын болса, бір дәптердің бағасы қанша?

2. Бірінші бөшкеге судың 2/5 бөлігін, ал екінші бөшкеге 3/4 бөлігін құйды. Екінші бөшкеде 60 литр су бар болса, бірінші бөшкенің көлемі қанша литр?

3. Әсел 20 алма сатып алатын болса, оның 8 теңгесі артылып қалады. Ал 25 алма сатып алатын болса, оған 7 теңге жетпейді. Әселдің қанша ақшасы бар?

4. Толық құйылған бидонның салмағы 45 кг, ал жартылай толтырылғаны 25 кг. Бос бидонның салмағы қанша?

5. Бір сыныпта оқушылар мен мұғалімдер саны 35. Егер әр мұғалімге 8 оқушыдан келетін болса және мұғалімдер саны 5-еу болса, сыныпта қанша оқушы бар?

6. Төрт қарындаш пен үш дәптер 90 теңге тұрады, ал екі қарындаш пен бес дәптер 110 теңге тұрады. Бір қарындаштың бағасы қанша?

7. Екі санның қосындысы 250-ге тең. Үлкен санның жартысы кіші саннан 25-ке артық. Кіші санды табыңыз.

8. Үш таңбалы сан 100-ге бөлінеді. Оның цифрларының қосындысы 15. Осы санның жүздіктер разрядындағы цифры 8. Санды табыңыз.

9. Тор көзді қағазда тіктөртбұрыш салынған. Оның ұзындығы 12 см, ал ауданы 96 см². Тіктөртбұрыштың енін табыңыз.

10. Төрт таңбалы ең кіші санды неше рет қосқанда бес таңбалы ең кіші сан шығады?

11. Екі санның қосындысы 998-ге тең. Біреуі екіншісіне қарағанда 44-ке артық. Осы сандарды табыңыз.

12. Бірінші себеттегі қияр массасы – 300 г, екіншісіндегісі – 250 г, үшіншісіндегісі – 150 г. Егер әр себеттен бірдей мөлшерде қияр алып, жалпы массасы 2 кг болатындай етіп құрастыруға бола ма?

13. Дүкенде 32 шоколад бар. Олардың ішінде құндылығы бірдей 8 шоколад болуы мүмкін бе?

14. Үш дүкен бірдей тауар сатып алды. Біріншісі қалған ақшасының жартысындай, екіншісі – қалғанының жартысындай, ал үшіншісі – 160 теңге жұмсады. Тауар қанша тұрады?

15. Қобдишада массалары 25 кг, 35 кг және 40 кг болатын заттар бар. Осы қобдишаларды тасып бір қоймаға 250 кг зат жинауға болады?

16. Екі сыныпта 82 оқушы бар. Бірінші сыныптан 35 оқушы, ал екінші сыныптан 38 оқушы шыққан кезде, сыныптардағы оқушылардың саны бірдей болды. Әр сыныпта қанша оқушыдан болған?

17. Құндылықтары 2 теңге, 5 теңге және 10 теңге болатын монеталар арқылы 50 теңгені құрастыруға бола ма?

18. Үлкен қорапта 15 қызыл, 12 көк және 18 жасыл шар бар. Осы қораптан кездейсоқ 10 шарды алғанда, олардың барлығы бір түсті болу ықтималдығы қандай?

19. Төрт дос бірдей пицца сатып алды. Біріншісі қалған ақшасының үштен бірін, екіншісі – қалғанының төрттен бірін, үшіншісі - 90 теңге төледі. Пицца қанша тұрады?

20. Бірнеше құс пен бірнеше қоян бір торда тұр. Олардың 28 басы, 82 аяғы бар. Торда неше құс, неше қоян бар?

19-20 сабақ

Уақыт пен өлшем бірліктеріне қатысты олимпиадалық есептер

Оқу мақсаты:

• Өлшем бірліктерін білу;

• Уақыт есептеулерін түсіну;

• Формулаларды қолдану;

• Есеп шартын талдау;

• Шешу әдістерін жинақтау;

• Нәтижені бағалау

Мысал 1:Сағат тілдерінің арасындағы бұрышты анықтаңыз. 15 минуттан кейін сағаттық және минуттық тілдері қандай бұрыш жасайды?

Шешуі: Сағаттық тілдің 1 сағатта жасайтын бұрышы: x = 360°/12 = 30° Минуттық тілдің 1 сағатта жасайтын бұрышы: y = 360° 15 минут = 1/4 сағат, сондықтан:

• Сағаттық тіл: 30° × 1/4 = 7.5°

• Минуттық тіл: 360° × 1/4 = 90°

Бұрыш = |90° - 7.5°| = 82.5°

Жауабы: 82.5°

Мысал 2:Бір тәулікте сағаттық және минуттық тілдер бір сызықта неше рет болады?

Шешуі: Сағаттық тілдің бір сағаттағы бұрыштық жылдамдығы: 360°/12 = 30° сағатына Минуттық тілдің бір сағаттағы бұрыштық жылдамдығы: 360° сағатына

Бір тәулікте тілдер 24 рет кездеседі, себебі:

• Әр сағатта тілдер екі рет бір сызықта болады

• 12 сағатта 24 рет кездеседі (12 × 2 = 24)

Тексеру: 24 кездесу × 15° (әр кездесудегі бұрыш) = 360° (толық шеңбер)

Жауабы: 24 рет

Мысал 3:Егер тәуліктің өткен бөлігі қалған бөлігінің 40%-не тең болса, қазіргі уақыт қай мезгіл?

Шешуі: Айталық x сағ - тәуліктің өткен бөлігі, онда тәуліктің қалған бөлігі (24-x) сағатқа тең болады. 40% = 0.4x сағат болатындықтан, есептің шарты бойынша мынадай теңдеу шығады:

24-x = 0.4x

24 = 1.4x

x = 17.1

4 сағат = 17 сағат 8 минут

Демек, қазіргі уақыт 17 сағат 8 минут.

Жауабы: 17 сағат 8 минут

Мысал 4:Айдар үйден мектепке дейін 15 км/сағ жылдамдықпен жүріп, 7:30-да шықты. Егер ол мектепке 8:15-те келсе, үйі мен мектеп арасының қашықтығы қанша?

Шешуі: Жолда жүрген уақыты = 8 сағат 15 минут - 7 сағат 30 минут = 45 минут = 0.75 сағат Қашықтық = Жылдамдық × Уақыт Қашықтық = 15 км/сағ × 0.75 сағат = 11.25 км

Мысал 5:Сағаттың 3 сағат 15 минут кезіндегі сағаттық және минуттық тілдерінің арасындағы бұрышты анықтаңыз.

Шешуі: Сағаттық тілдің 1 сағатта жасайтын бұрышы = 360°/12 = 30°

15 минут = 1/4 сағат, сондықтан қосымша бұрыш = 30° × 1/4 = 7.5°

Сағаттық тілдің бұрышы = 3 × 30° + 7.5° = 97.5°

Минуттық тілдің бұрышы = 15 × 6° = 90° (1 минутта 6° жүреді)

Тілдер арасындағы бұрыш = |97.5° - 90°| = 7.5°

Жауабы: 7.5°

Өз бетінше шығару есептері:

1. Тәулікте неше рет сағаттың сағаттық және минуттық тілдерінің арасындағы бұрыш 90°-қа тең болады?

2. Уақыттың 9 сағат 45 минут болған мезетіндегі сағаттың минуттық және сағаттық тілдерінің арасындағы бұрышты табыңыз.

3. Уақыттың 14 сағат 20 минут уақыт мезетіндегі сағаттың минуттық және сағаттық тілдерінің арасындағы бұрышты есептеңіз.

4. Қандай уақытта сағат тілдері бір-біріне қарама-қарсы орналасады?

5. Сағат 8:00-ден қанша уақыт өткеннен кейін сағаттың минуттық тілі алғаш рет сағаттық тілін қуып жетеді?

6. Сағат 10:00-ден қанша уақыт өткенде сағат тілдері бірінші рет тік бұрыш жасайды?

7. Тәуліктің басынан бастап санағанда өткен уақыты қалған бөлігінің 3/4-не тең болатын болса, қазір уақыттың қай мезгілі?

8. Уақыттың 6 сағат 15 минут болған мезетіндегі сағаттың минуттық және сағаттық тілдерінің арасындағы бұрышты табыңыз.

9. Бір тәулікте сағаттың минуттық тілі сағаттық тілін неше рет басып озады?

10. Сағат 13:40 мен 14:40 аралығында сағаттың тілдері қанша рет сәйкес келеді?

21-22 сабақ

Логикалық операциялар мен комбинаторлық есептеулер

Оқу мақсаты:

• Логикалық операцияларды білу;

• Комбинаторика заңдарын түсіну;

• Формулаларды қолдану;

• Есеп құрылымын талдау;

• Шешу жолдарын жүйелеу;

• Нәтижені тексеру

Мысал 1: Берілгені:

• Үш оқушы: Айдар, Бекжан, Серік

• Тектері: Ахметов, Бекенов, Серіков

• Шарттары:

  • Айдар – Ахметов емес

  • Бекжан – Бекенов емес

  • Серік – Серіков емес

  • Айдар Серіковпен бірге тұрады

Шешімі:

1. Бастапқы жағдай:

   • Айдар: Ахметов емес

   • Бекжан: Бекенов емес

   • Серік: Серіков емес

2. Айдар Серіковпен бірге тұратындықтан:

   • Айдар: Серіков болуы керек

   • Демек, Бекжан мен Серік Серіков бола алмайды

3. Қалған мүмкіндіктерден:

   • Бекжан: Ахметов

   • Серік: Бекенов

Жауабы:

• Айдар Серіков

• Бекжан Ахметов

• Серік Бекенов

Мысал 2: Үш құрбы - Әсел, Ботагөз және Гүлнар дүкеннен сөмке сатып алды. Әркім өзіне ұнаған түсті таңдады: қызыл, көк және жасыл түсті. Гүлнар қызыл не көк түсті алмады. Ботагөздің сөмкесі қызыл түсті болмады. Ал Әселдің сөмкесі қызыл түсті. Құрбылардың қай түсті сөмке алғанын анықтаңдар.

Шешімі:

1. Әсел қызыл түсті алды

2. Ботагөз қызыл түсті алмады

3. Гүлнар қызыл және көк түсті алмады, демек жасыл түсті алды

4. Ботагөз көк түсті алды

Жауабы:

• Әсел - қызыл сөмке

• Ботагөз - көк сөмке

• Гүлнар - жасыл сөмке

Мысал 3: Төрт дос - Марат, Нұрлан және Олжас спорт секцияларына жазылды: футбол, волейбол және баскетбол. Марат футболға жазылмады. Нұрлан волейболға да, футболға да жазылмады. Ал Олжастың қай секцияға жазылғаны белгілі болды - ол волейболға жазылды. Достардың қай спорт түріне жазылғанын анықтаңдар.

Шешімі:

1. Олжас волейболға жазылды

2. Нұрлан волейбол мен футболға жазылмады, демек баскетболға жазылды

3. Марат футболға жазылмады, волейбол Олжаста, демек баскетболға жазылды

Жауабы:

• Марат - баскетбол

• Нұрлан - футбол

• Олжас - волейбол

Мысал 4: Ермек, Дастан және Қанат футбол турниріне қатысты. Олардың қай орын алуы мүмкін екендігі туралы мынадай пікірлер айтылды: "Ермек пен Дастан", "Ермек пен Қанат", "Дастан", бірақ "Қанат емес". Егер осы айтылған үш пікірдің біреуі шын, екіншісі - жартылай шын, ал үшіншісі толығымен жалған болса, онда олардың қайсысы жеңімпаз болды?

Шешімі:

1. Бірінші пікір - "Ермек пен Дастан" жеңімпаз - шын болса, екінші пікір жартылай шын болады.

2. Егер екінші үйғарым - "Ермек пен Қанат" жеңімпаз - шын болса, бірінші пікір жартылай шын, ал үшінші жалған болады.

3. Бұл жағдайда "Дастан" жеңбеді, "Қанат емес" деген пікір жалған болып шығады.

Жауабы: Ермек пен Қанат жеңімпаз болды.

Мысал 5: Айша, Бота және Сәуле жазғы киімдер дүкенінен бір-бір көйлек сатып алды. Олардың таңдауы туралы мынадай мәліметтер белгілі: "Айша мен Бота көк және қызыл көйлек алды", "Айша ақ көйлек алған жоқ", "Сәуле қызыл көйлек алды". Біреуі шындық, екіншісі жартылай шындық, ал үшіншісі өтірік болса, кім қандай түсті көйлек алды?

Шешімі:

1. Егер "Сәуле қызыл көйлек алды" деген шындық болса

2. "Айша мен Бота көк және қызыл көйлек алды" жартылай шындық

3. "Айша ақ көйлек алған жоқ" өтірік болуы керек

Жауабы:

• Айша - ақ көйлек

• Бота - көк көйлек

• Сәуле - қызыл көйлек

Мысал 6: Әр түрлі цифрлардан (0-9) құралған бес таңбалы ең үлкен жұп санды жазыңыз.

Шешуі:

• Ең үлкен жұп сан болу үшін, соңғы цифр жұп болуы керек (0,2,4,6,8)

• Қалған цифрлар ішінен ең үлкендерін таңдаймыз

• Жұп цифрлардан ең кішісін соңына қоямыз

• 98762 саны шығады

Жауабы: 98762

Мысал 7: 1-ден 500-ге дейінгі сандардың ішінде цифрларының қосындысы 5-ке тең болатын сандардың саны қанша?

Шешуі:

• 1-ден 500-ге дейінгі сандарды тексереміз:

• Бір таңбалы сандар: 5 (1 сан)

• Екі таңбалы сандар: 14, 23, 32, 41, 50 (5 сан)

• Үш таңбалы сандар: 104, 113, 122, 131, 140, 203, 212, 221, 230, 302, 311, 320, 401, 410, 500 (15 сан)

Жауабы: 21 сан

Мысал 8: 3, 5, 7 цифрларын қолданып (қайталауға болады), үш таңбалы қанша сан құруға болады?

Шешуі:

• Үш орынға үш цифрды қойып шығамыз

• Әр орынға 3 цифрдың кез келгенін қоюға болады

• Бірінші орынға: 3 мүмкіндік

• Екінші орынға: 3 мүмкіндік

• Үшінші орынға: 3 мүмкіндік

• Барлығы: 3 × 3 × 3 = 27

Жауабы: 27 сан

Мысал 9: 8 адамды 3 топқа бөлу керек, әр топта кемінде 1 адам болуы керек. Мұны неше түрлі тәсілмен жасауға болады?

Шешуі:

• 1-топ: x адам

• 2-топ: y адам

• 3-топ: z адам

• x + y + z = 8

• x, y, z ≥ 1

• Мүмкін комбинациялар: (1,1,6), (1,2,5), (1,3,4), (2,2,4), (2,3,3)

• Әр комбинацияның орын ауыстыруын есептейміз

Жауабы: 30 түрлі тәсіл

Мысал 10: Цифрларының көбейтіндісі 36-ға тең болатын екі таңбалы сандардың санын табыңыз.

Шешуі: 36 = 2² × 3² Екі таңбалы сандардың цифрлары көбейтіндісі 36 болатын комбинациялар:

• 4 × 9 = 36

• 6 × 6 = 36

• 3 × 12 (екі таңбалы сан болмайды) Мүмкін сандар: 49, 94, 66

Жауабы: 3 сан

Өз бетінше шығару есептері:

1. Үш бала: Асқар, Бақыт және Сәуле. Олардың әрқайсысы өзінің сүйікті спорт түрін таңдады: футбол, волейбол және баскетбол. Бақыт футболды ұнатпайды, ал Сәуле баскетбол командасында ойнамайды. Әр баланың қандай спорт түріне қызығатынын анықтаңыз.

2. Төрт оқушы олимпиадаға қатысты. Олардың біреуі бірінші, екіншісі екінші, үшіншісі төртінші орын алды. Егер Айдар бірінші орын алмаса, Бекжан соңғы орын алмаса және Сәуле екінші орын алса, әр оқушының қай орын алғанын табыңыз.

3. Бір дүкенде үш сатушы жұмыс істейді. Олардың біреуі - аға сатушы, екіншісі - кассир, үшіншісі - жаңа қызметкер. Марат пен Нұрлан бірге оқыған, ал Сәуле кассир емес. Әрқайсысының қызметін анықтаңыз.

4. Төрт құрбы: Әсел, Бота, Гүлнар және Динара. Олардың әрқайсысы әртүрлі түсті көйлек киген: қызыл, көк, жасыл және сары. Әсел мен Бота жылы түсті көйлектер кимеген. Динара көк көйлек киген жоқ. Әр қыздың қандай түсті көйлек кигенін табыңыз.

5. Үш дос кітапханада кітап алды. Біреуі - детектив, екіншісі - роман, үшіншісі - өлеңдер жинағы. Айдар поэзияны ұнатпайды, ал Бекжан детектив алған жоқ. Марат Айдармен бірге оқиды. Кім қандай кітап алғанын анықтаңыз.

6. Мектепте үш мұғалім жұмыс істейді: математика, физика және химия пәндерінен. Олардың тектері: Ахметов, Бекенов және Серіков. Ахметов химия пәнінен сабақ бермейді. Бекенов физика мұғалімі емес. Әр мұғалімнің қай пәннен сабақ беретінін анықтаңыз.

7. Дүкенге үш жеміс келді: алма, алмұрт және шабдалы. Олардың салмақтары 3кг, 4кг және 5кг. Алма ең жеңіл емес, ал шабдалы ең ауыр емес. Әр жемістің салмағын анықтаңыз.

8. Үш оқушы спорт жарысына қатысты. Жүгіруден біреуі бірінші, екіншісі екінші орын алды. Асқар жүлдегер емес, ал Бақыт жеңімпаз емес. Динара жарысқа қатысты. Әр оқушының қандай нәтиже көрсеткенін анықтаңыз.

9. Үш бала: Мақсат, Нұрлан және Олжас әртүрлі аспаптарда ойнайды: домбыра, қобыз және сырнай. Мақсат қобызда ойнамайды, ал Нұрлан домбырада ойнай алмайды. Олжас Мақсатпен бірге өнер көрсетеді. Әр баланың қандай аспапта ойнайтынын табыңыз.

10. Төрт дос әртүрлі мамандық бойынша оқиды: дәрігер, мұғалім, инженер және заңгер. Асқар мен Бақыт медицина саласында оқымайды. Сәуле заң факультетінде емес. Динара мұғалім болғысы келеді. Әр достың мамандығын анықтаңыз.

11. Жазылуында барлық цифрлары тақ болатын неше бес таңбалы сандар бар?

12. Жазылуында барлық цифрлары жұп болатын неше төрт таңбалы сандар бар? (0, 2, 4, 6, 8 цифрларын қолдану арқылы)

13. Цифрлары 1, 3, 5, 7 болатын (қайталануға болмайды) барлық төрт таңбалы сандардың санын анықтаңыз.

14. Үш таңбалы сандар арасында цифрларының қосындысы 5-ке тең болатын неше сан бар?

15. 1000-нан кіші натурал сандар арасында 7-ге бөлінетін және әр цифры 3-тен үлкен болатын неше сан бар?

16. 2, 4, 6 цифрларынан (цифрлар қайталанбауы керек) құралған барлық екі таңбалы сандардың қосындысын табыңыз.

17. Нөл цифрынан басқа әр түрлі цифрлармен жазылған үш таңбалы санның цифрларының орындарын алмастырғанда, ол қалай өзгереді?

18. 1, 2, 3, 4 цифрларынан (цифрлар қайталанбауы керек) құралған төрт таңбалы жұп сандардың саны қанша?

19. Цифрларының көбейтіндісі 24-ке тең болатын үш таңбалы сандардың саны қанша?

20. 1-ден 1000-ға дейінгі сандар арасында цифрларының қосындысы 6-ға тең болатын сандардың саны қанша?

23-24 сабақ

Дирихле принципі және Эйлер теориясына негізделген есептер

Оқу мақсаты:

• Дирихле принципін білу;

• Эйлер теориясын түсіну;

• Принциптерді қолдану;

• Есеп шарттарын талдау;

• Шешу жолдарын біріктіру;

• Дәлелдеу дұрыстығын тексеру

Есеп 1: Қорапта үш түсті шарлар жатыр: қызыл, көк және жасыл түсті. Қараңғыда қораптан ең аз дегенде бір көк шар алу үшін қораптан кемінде неше шар алу керек?

Шешуі:

• Қорапта үш түсті шар бар

• Ең жаман жағдайда алғашқы шарлардың барлығы көк емес түсте болуы мүмкін

• Егер алғашқы екі шар қызыл және жасыл болса, үшінші шар міндетті түрде көк болады

• Сондықтан, кемінде 3 шар алу керек

Жауабы: 3 шар

Есеп 2: Сыныпта 30 оқушы бар. Егер әр оқушы кем дегенде 2 тілді білсе және барлық оқушылар білетін тілдердің жалпы саны 75 болса, онда 3 тілді білетін оқушылардың саны кемінде қанша?

Шешуі:

• 2 тілді білетін оқушылар саны: x

• 3 тілді білетін оқушылар саны: y

• x + y = 30 (барлық оқушылар саны)

• 2x + 3y = 75 (барлық тілдер саны)

• Теңдеулер жүйесін шешкенде: y = 15

Жауабы: 15 оқушы

Есеп 3: 35 оқушыдан тұратын сыныпта, әр оқушы кем дегенде бір үйірмеге қатысады. Егер спорт үйірмесіне 20, музыка үйірмесіне 15, және екі үйірмеге бірдей қатысатын оқушылар саны 5-тен кем болмаса, онда екі үйірмеге бірдей қатысатын оқушылар саны нешеу?

Шешуі:

• Спорт үйірмесі: 20 оқушы

• Музыка үйірмесі: 15 оқушы

• Екі үйірмеге қатысатындар: x

• 20 + 15 - x ≤ 35

• x ≥ 5

• 20 + 15 - x = 35

• x = 10

Жауабы: 10 оқушы

Есеп 4: 1-ден 100-ге дейінгі натурал сандар арасында 3-ке де, 4-ке де бөлінетін сандардың қосындысын табыңыз.

Шешуі:

• 12-ге бөлінетін сандар: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96

• Қосындыны табамыз: 12 + 24 + 36 + 48 + 60 + 72 + 84 + 96 = 432

Жауабы: 432

Есеп 5: Сынып бөлмесінде 40 парта бар. Оларды қатарларға қойғанда, әр қатарда бірдей санды парта болуы керек және кемінде 3 қатар болуы тиіс. Парталарды неше түрлі тәсілмен орналастыруға болады?

Шешуі:

• 40-тың бөлгіштері: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40

• 3 немесе одан көп қатар болуы керек

• 40 = 4 × 10

• 40 = 5 × 8

• 40 = 8 × 5

• 3 түрлі тәсіл бар

Жауабы: 3 тәсіл

Есеп 6: Мектепте 50 оқушы бар. Олардың 25-і шахмат үйірмесіне, 30-ы футбол секциясына, ал 20-сы баскетбол үйірмесіне қатысады. 10 оқушы шахмат пен футболға, 8 оқушы футбол мен баскетболға, 5 оқушы шахмат пен баскетболға қатысады. Үш спорт түріне бірдей қатысатын оқушылар саны 3. Тек бір спорт түріне ғана қатысатын оқушылар саны қанша?

Шешуі: Эйлер дөңгелектері арқылы есептейміз:

• Тек шахматқа қатысатындар: 25 - 10 - 5 + 3 = 13

• Тек футболға қатысатындар: 30 - 10 - 8 + 3 = 15

• Тек баскетболға қатысатындар: 20 - 8 - 5 + 3 = 10

• Барлығы: 13 + 15 + 10 = 38 оқушы

Жауабы: 38 оқушы

Есеп 7: Сауалнамаға 120 адам қатысты. Олардың 60-ы кітап оқиды, 40-ы фильм көреді, 50-сі музыка тыңдайды. 15 адам кітап оқып және фильм көреді, 20 адам кітап оқып және музыка тыңдайды, 10 адам фильм көріп және музыка тыңдайды. 5 адам осы үш әрекетті де жасайды. Осы әрекеттердің ешқайсысын жасамайтын адамдар саны қанша?

Шешуі: n = 120 - (60 + 40 + 50 - 15 - 20 - 10 + 5) n = 120 - (150 - 45 + 5) n = 120 - 110 = 10

Жауабы: 10 адам

Есеп 8: Дүкенде 100 оқушы сауалнамаға қатысты. 45 оқушы спорттық аяқ киім, 55 оқушы күнделікті аяқ киім, 35 оқушы классикалық аяқ киім сатып алған. 20 оқушы спорттық және күнделікті, 15 оқушы күнделікті және классикалық, 10 оқушы спорттық және классикалық аяқ киім алған. 5 оқушы үш түрін де сатып алған. Тек бір түрлі аяқ киім алған оқушылар саны қанша?

Шешуі:

• Тек спорттық: 45 - 20 - 10 + 5 = 20

• Тек күнделікті: 55 - 20 - 15 + 5 = 25

• Тек классикалық: 35 - 15 - 10 + 5 = 15

• Барлығы: 20 + 25 + 15 = 60

Жауабы: 60 оқушы

Есеп 9: 80 студент тілдер курсына жазылды. 40 студент ағылшын, 30 студент неміс, 25 студент француз тілін оқиды. 10 студент ағылшын және неміс, 8 студент неміс және француз, 7 студент ағылшын және француз тілін оқиды. 3 студент үш тілді де оқиды. Тек бір тіл оқитын студенттер саны қанша?

Шешуі:

• Тек ағылшын: 40 - 10 - 7 + 3 = 26

• Тек неміс: 30 - 10 - 8 + 3 = 15

• Тек француз: 25 - 8 - 7 + 3 = 13

• Барлығы: 26 + 15 + 13 = 54

Жауабы: 54 студент

Есеп 10: 90 студент сауалнамаға қатысты. 50 студент әлеуметтік желілерде отырады, 40 студент онлайн ойындар ойнайды, 45 студент музыка тыңдайды. 20 студент әлеуметтік желі қолданып және ойын ойнайды, 25 студент әлеуметтік желі қолданып және музыка тыңдайды, 15 студент ойын ойнап және музыка тыңдайды. 10 студент үшеуін де істейді. Осы әрекеттердің тек біреуін ғана жасайтын студенттер саны қанша?

Шешуі:

• Тек әлеуметтік желі: 50 - 20 - 25 + 10 = 15

• Тек ойын: 40 - 20 - 15 + 10 = 15

• Тек музыка: 45 - 25 - 15 + 10 = 15

• Барлығы: 15 + 15 + 15 = 45

Жауабы: 45 студент

Өз бетінше шығару есептері:

1. Кез келген 15 натурал санның ішінде айырымы 14-ке бөлінетін екі натурал санның табылатынын дәлелдеңдер.

2. n натурал санының ішінен айырымы n-ге бөлінетін екі бүтін санды таңдап алуға болатындығын дәлелдеңдер.

3. 25 бала 200 жаңғақ жинады. Олардың қайсыбір екеуінің жинаған жаңғақтарының саны тең екенін дәлелдеңдер.

4. Мектептің 35 сыныбында 1200 оқушы оқиды. Осы мектепте 40 оқушыдан кем емес сынып табыла ма?

5. Сыныпта 45 оқушы бар. Осы сыныптың кемінде 5 оқушысы өздерінің туылған күндерін бір айда атап өтетін жыл табыла ма?

6. Сыныпта 28 оқушы бар, олардың жартысынан көбі қыз балалар. Егер сыныпта 14 парта болса, онда қандай да бір 2 қызды бір партаға отырғызуға болатындығын дәлелдеңдер.

7. Оқушылардың физикалық олимпиадасына бесінші сыныптың 12 оқушысы қатысты. Әрбір шығарылған есеп үшін оқушыға 3 ұпай жазылды, ал әрбір шығарылмаған есеп үшін оқушыдан 2 ұпай алып тасталынды. Барлығы 15 есеп ұсынылды. Олимпиадаға қатысқан 8-сынып оқушыларының ішінде бірдей ұпай жинаған екі оқушының табылатындығын дәлелдеңдер.

8. Бір үйде бір мектептің 32 оқушысы тұрады. Бұл мектепте 25 сынып бар. Осы үйде тұратын кемінде үш оқушының бір сыныпта оқитынын дәлелдеңдер.

9. Сыныпта 42 оқушы оқиды. Осы сыныпта бір айда туылған 5 оқушы бар екенін дәлелдеңдер.

10. Мұғалім апай оқушыларға тест тапсырмасының нәтижесін хабарлады. Оқушылардың ішінде қатесі ең көп жібергені Болат болды, ол 15 қате жіберді. 30 қате жіберген оқушылардың ішінде бірдей қате жіберген 4 оқушының табылатындығын дәлелдеңдер.

11. Сыныпта 45 оқушы бар. Олардың 20-сы футбол, 25-і волейбол, 15-і баскетбол секцияларына қатысады. Футбол мен волейболға - 8 оқушы, волейбол мен баскетболға - 6 оқушы, футбол мен баскетболға - 4 оқушы қатысады. Үш спорт түріне қатысатын оқушылар - 2. Тек бір ғана спорт түріне қатысатын оқушылар қанша?

12. Дүкенде 80 сатып алушы сауалнамаға қатысты. 35 адам сүт өнімдерін, 40 адам нан өнімдерін, 30 адам ет өнімдерін сатып алады. 15 адам сүт және нан өнімдерін, 12 адам нан және ет өнімдерін, 10 адам сүт және ет өнімдерін сатып алады. 5 адам үш өнімді де сатып алады. Тек бір өнім түрін сатып алатын адамдар санын табыңыз.

13. Кітапханада 100 студент бар. 40 студент ағылшын тілін, 35 студент қытай тілін, 45 студент орыс тілін үйреніп жатыр. Ағылшын мен қытай тілін - 12, қытай мен орыс тілін - 10, ағылшын мен орыс тілін - 15 студент үйреніп жатыр. 5 студент үш тілді де үйреніп жатыр. Қанша студент тек бір тілді үйреніп жатыр?

14. Мектепте 150 оқушы түрлі олимпиадаларға қатысты. 60 оқушы математикадан, 55 оқушы физикадан, 50 оқушы химиядан қатысты. 20 оқушы математика мен физикадан, 15 оқушы физика мен химиядан, 18 оқушы математика мен химиядан қатысты. 8 оқушы үш пәннен де қатысты. Тек бір пәннен қатысқан оқушылар саны қанша?

15. Университетте 200 студент сауалнамаға қатысты. 100 студент спортпен айналысады, 120 студент музыкамен айналысады, 90 студент өнермен айналысады. 40 студент спорт пен музыкамен, 35 студент музыка мен өнермен, 30 студент спорт пен өнермен айналысады. 15 студент үш салада да белсенді. Тек бір саламен айналысатын студенттер санын анықтаңыз.

25-26 сабақ

Жұп-тақ сандар теориясы мен оның қолданылуы

Оқу мақсаты:

• Жұп-тақ сандар қасиеттерін білу;

• Заңдылықтарды түсіну;

• Теорияны қолдану;

• Есеп шартын талдау;

• Шешу жолдарын жинақтау;

• Нәтижені тексеру

1. Есеп: 15 парақ қағаз бар еді. Оқушы олардың кейбіреуін 5 бөлікке бөлген соң, олардың саны 35-ке тең болды. Оқушы қанша парақ қағазды бөлді?

Шешуі: Әрбір парақ қағазды 5-ке бөлгенде, парақтардың саны 4-ке артып отырады. Жалпы саны 35-15=20 параққа артқан. 20:4=5 (парақ қағаз)

Жауабы: 5 парақ.

2. Есеп: Сынып оқушылары жаттығуға келе бастады. Алғашқы оқушы оның алдында 5 жүгіріп, оның артында 6 жүгіріп келе жатқанын байқады. Сәтте барлығы қанша оқушы жүгіріп жүр?

Шешуі: 5+6+1=12 (оқушы)

Жауабы: 12 оқушы.

3. Есеп: Дүкенде алмалар 80 кг болды. Оларды 5 кг-нан қаптарға салғанда, 4 қап артылып қалды. Дүкенші қанша қап толтырды?

Шешуі:

• Толық салынған қаптардың салмағы: 80 - (4×5) = 60 кг

• Толық қаптар саны: 60 ÷ 5 = 12 қап

Жауабы: 12 қап

4. Есеп: Мектеп асханасында 150 тәрелке бар. Әр үстелге 6 тәрелке қойылады. Егер 5 тәрелке сынып қалса, қанша толық үстел жабдықталады?

Шешуі:

• Жарамды тәрелкелер: 150 - 5 = 145

• Толық жабдықталған үстелдер: 145 ÷ 6 = 24 үстел (1 тәрелке артылады)

Жауабы: 24 үстел

5. Есеп: Көрмеде 200 сурет ілінген. Оларды 8 суреттен топтастырып, әр бөлмеге бөлу керек. Егер 4 сурет қабырғаға сыймай қалса, қанша бөлме толық жабдықталады?

Шешуі:

• Орналастырылатын суреттер: 200 - 4 = 196

• Толық бөлмелер саны: 196 ÷ 8 = 24.5, яғни 24 бөлме

Жауабы: 24 бөлме

6. Есеп: Саяжайда 300 ағаш бар. Оларды қатарға 12 ағаштан отырғызу керек. Егер 12 ағаш әлі отырғызылмаса, қанша толық қатар пайда болады?

Шешуі:

• Отырғызылған ағаштар: 300 - 12 = 288

• Толық қатарлар саны: 288 ÷ 12 = 24 қатар

Жауабы: 24 қатар

7. Есеп: Қоймада 500 қорап тауар бар. Әр сөреге 20 қораптан орналастыру керек. Егер 15 қорап бүлінген болса, қанша сөре толық толтырылады?

Шешуі:

• Жарамды қораптар: 500 - 15 = 485

• Толық сөрелер саны: 485 ÷ 20 = 24.25, яғни 24 сөре

Жауабы: 24 сөре

8. Есеп: Мектеп кітапханасында 400 кітап бар. Оларды 25 кітаптан сөрелерге қою керек. Егер 50 кітап оқушыларға берілген болса, қанша сөре толық толтырылады?

Шешуі:

• Қалған кітаптар: 400 - 50 = 350

• Толық сөрелер саны: 350 ÷ 25 = 14 сөре

Жауабы: 14 сөре

9. Есеп: Базарда 1000 kg алма бар. Оларды 40 kg-нан қаптарға салу керек. Егер 20 kg алма сатылып кетсе, қанша толық қап жасалады?

Шешуі:

• Қалған алмалар: 1000 - 20 = 980 kg

• Толық қаптар саны: 980 ÷ 40 = 24.5, яғни 24 қап

Жауабы: 24 қап

10. Есеп: Спорт залында 250 доп бар. Әр сыныпқа 10 доптан беру керек. Егер 30 доп жарамсыз болса, қанша сынып толық жабдықталады?

Шешуі:

• Жарамды доптар: 250 - 30 = 220

• Толық жабдықталған сыныптар: 220 ÷ 10 = 22 сынып

Жауабы: 22 сынып

Өз бетінше шығару есептері:

1. Сыныпта 45 оқушы отыр: олардың 25-і алдыңғы партада, ал 20-сы артқы партада отыр. Бір кезде кез келген екі оқушының орындарын ауыстыруға рұқсат етіледі. Осы амалдарды бірнеше рет орындау нәтижесінде барлық оқушыларды алдыңғы жақта отыруға бола ма?

2. Қорапта 12 түрлі түсті қарындаш бар еді. Оларды әр топта 4 қарындаштан болатындай етіп бөлгеннен кейін, әр топтың ішіндегі қарындаштардың түстері бірдей болып шықты. Есептеу дұрыс жүргізілген бе?

3. Дөңгелек бойына 2025 натурал сандары жазылған. Қосындысы тақ сан болатын көршілес екі санның табылатындығын дәлелдеңіздер.

4. Дүкенде 8 бөтелке сүт тұр. Олардың 6-ы дұрыс қойылған, ал екеуі төңкеріліп қойылған. Бір мезгілде кез келген 3 бөтелкенің орындарын ауыстыруға болады. Осы амалдарды бірнеше рет орындау нәтижесінде барлық бөтелкелерді дұрыс қоюға бола ма?

5. Мына төмендегі кестеден қосындысы 15-ке бөлінетін 3 санды таңдап алуға болады ма?

1 2 3

4 5 6

7 8 9

6. 3025 натурал санының көбейтіндісі жұп сан. Осы сандардың қосындысы жұп сандар бола ма немесе тақ сандар бола ма?

7. 150 шар қатарға орналасқан. Бір шардан кейін орналасқан кез келген екі шардың орындарын ауыстыруға болады. Осындай амалдарды орындау нәтижесінде барлық шарларды кері тәртіпте орналастыруға бола ма?

8. N автобустың жолаушылары 42 аялдаманың жол тарифтерін төлегеннен кейін 7 аялдамамен байланыстырылса, олар бұл жұмысты қалай аяқтай алады?

9. Қорапта 25 ақ және 25 қара түсті шарлар бар. Бір рет кез келген түстегі 3 шарды алып, оларды қарама-қарсы түспен алмастыруға болады. Осы амалдарды бірнеше рет қайталау арқылы барлық шарларды бір түске айналдыруға бола ма?

10. Дөңгелек бойымен 40 бала тұр. Әр балаға бір сан беріліп, олардың қосындысы 100-ге тең. Кез келген екі баланың орнын ауыстыруға рұқсат етіледі. Осы амалдарды бірнеше рет орындау арқылы көршілес тұрған балалардың сандарының айырмашылығы 2-ден аспайтындай етіп орналастыруға бола ма?

27-28 сабақ

Сиқырлы фигуралар мен математикалық құрылымдар

Оқу мақсаты:

• Сиқырлы фигуралардың түрлерін білу;

• Құрылым заңдылықтарын түсіну;

• Құру әдістерін қолдану;

• Фигураларды талдау;

• Құру жолдарын жүйелеу;

• Дұрыстығын тексеру

Мысал 1:

1,2,3,4,5,6,7,8,9 сандары берілген. Оларды мына суретте көрсетілген үшбұрыштың дөңгелектеріне әрбір қабырғасында орналасқан сандардың қосындысы 20-ға тең болатындай етіп қойып шығыңыз.

Шешуі: Есептің шешімінің мүмкін екі нұсқасы мына суретте көрсетілген:

Бірінші нұсқа үшін тексеру: 5+8+3+4=4+1+9+5=5+2+7+6=20

Екінші нұсқа үшін тексеру: 5+7+6+2=5+3+4+8=2+9+1+8=20

Сонымен, берілген шартты қанағаттандыратын екі түрлі шешім бар екені дәлелденді.

2-мысал. Есеп шарты: 1-ден 9-ға дейінгі сандарды төбу бойында орналастырыңдар, сонда бір түзу бойында орналасқан үш сандардың қосындысы 15-ке тең болсын.

Шешуі: 1-тәсіл. Барлық бір таңбалы сандардың қосындысы 45-ке тең, ал барлық төрт сызықтың бойында тұрған сандардың қосындысы 60-қа (15×4=60) тең болатындықтан, центрде 5 саны (60-45 айырымын 3-ке бөлеміз) орналасуы тиіс.

Ендігі 10 санның (15-5=10) екі натурал сандардың қосындысы түрінде жазу арқылы: 10=1+9=2+8=3+7=4+6 есептің шешуін табамыз.

2-тәсіл. 15 санын бір таңбалы үш натурал санның қосындысына жіктейміз. 15=1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+6+7=3+4+8=3+5+7=4+5+6

3-мысал. Есеп шарты: Тең қабырғалы үш бұрыш формада орналасқан мына алты дөңгелекке 31, 32, 33, 34, 35, 36 сандарын үшбұрыштың барлық үш қабырғаларында орналасқан сандардың қосындысы 100-ге тең болатындай етіп орналастырыңдар.

Шешуі: Есептің шешімі берілген суретте көрсетілген. Әр қабырғадағы сандар қосындысы 100-ге тең.

4-мысал. Есеп шарты: 1-ден 6-ға дейінгі сандарды (цифрларды) дөңгелектің ішіне үшбұрыштың әрбір қабырғасында тұрған сандардың қосындысы 12-ге тең болатындай етіп орналастырыңдар.

Шешуі: Есептің шешімі суретте көрсетілген. Барлық қабырғалардағы сандар қосындысы 12-ге тең.

5-мысал. Есеп шарты: 1-ден 9-ға дейінгі цифрларды үшбұрыштың дөңгелектеріне оның әрбір қабырғасындағы цифрлардың қосындысы мен айырмаларының квадраттарының қосындысы бірдей болатындай етіп орналастырыңдар.

Шешуі: Есептің шешімі суретте көрсетілген. Әр қабырғадағы сандардың қосындысы мен айырмаларының квадраттарының қосындысы бірдей.

6-мысал. Есеп шарты: Тор көздердің бос орындарына 1-ден 7-ге дейінгі сандарды әрбір вертикаль, горизонталь және диагональ бойында тұрған сандардың қосындысы 15-ке тең болатындай етіп, жазып шығыңдар.

Шешуі: Есептің шешімінің бір тәсілі суретте көрсетілген:

7-мысал. Есеп шарты: Мына суретте жазылған 9 цифрды оның бірінші қатарында орналасқан үш таңбалы сан, екінші қатарында орналасқан үш таңбалы саннан екі есе кіші және үшінші қатарында орналасқан үш таңбалы саннан үш есе кіші болатындай етіп, орындарын ауыстырыңдар.

Шешуі: Есептің шешуі суретте көрсетілген:

8-мысал. Есеп шарты: Тор көздердің бос орындарына 2-ден 8-ге дейінгі сандарды әрбір вертикаль, горизонталь және диагональ бойында тұрған сандардың қосындысы бірдей болатындай етіп, жазып шығыңдар.

Шешуі: Есептің шешімінің бір тәсілі суретте көрсетілген:

9-мысал. Есеп шарты: Тор көздердің бос орындарына вертикаль және горизонталь тұрған кез келген үш тор көздерде орналасқан сандардың қосындысы 13-ке тең болатындай етіп, қойып шығыңдар.

Шешуі: Есептің шешімі суретте көрсетілген:

10-мысал. Есеп шарты: Шаршының тор көздерінің бос орындарына 2-ден 10-ға дейінгі сандарды оның әрбір горизонталь, вертикаль және диагональ бойында тұрған сандардың қосындысы 18-ге тең болатындай етіп, жазып шығыңдар.

Шешуі: Есептің шешімінің бір тәсілі суретте көрсетілген:

Өз бетінше шығару есептері:

Тор көздердің бос орындарына 1, 2 немесе 3 цифрларын әрбір вертикаль, горизонталь және диагональ бойында тұрған сандардың қосындысы бірдей болатындай етіп, жазып шығыңдар.

Тор көздердің бос орындарына 1, 2 немесе 3 цифрларын әрбір вертикаль, горизонталь және диагональ бойында тұрған сандардың қосындысы бірдей болатындай етіп, жазып шығыңдар.

Шаршының тор көздеріне орналасқан сандарды кез келген вертикаль, горизонталь және диагональ бойында орналасқан сандардың қосындысы бірдей болатындай етіп орындарын ауыстырыңдар.

Мына шаршының ішінде тұрған цифрларды дәл квадрат шығатындай етіп, үш таңбалы санмен орындарын ауыстырыңдар.

Шаршының бос орындарына 2, 2, 2, 3, 3, 3 сандарын "сиқырлы" шаршы шығатындай етіп, орналастырыңдар.

Шаршының бос орындарына 6, 7, 8, 9, 10, 11 сандарын "сиқырлы" шаршы шығатындай етіп, орналастырыңдар.

Шаршының бос орындарына 4, 6, 10, 12, 16, 18 сандарын "сиқырлы" шаршы шығатындай етіп, орналастырыңдар.

Шаршының бос тор көздерінің орнына 3, 4, 5, 6, 8, 9 сандарын оның кез келген горизонталь, вертикаль және диагональ бойында тұрған сандардың қосындысы бірдей сан болатындай етіп, жазып шығыңдар.

29-30-31 сабақ

Геометриялық фигураларды санау және теңдей бөлу әдістері

Оқу мақсаты:

• Фигураларды санау әдістерін білу;

• Бөлу принциптерін түсіну;

• Әдістерді қолдану;

• Фигураларды талдау;

• Шешу жолдарын біріктіру;

• Нәтижені бағалау

Мысал 1:

Есеп шарты: Мына суретте қанша үшбұрыш кескінделген?

Шешуі: Үшбұрыштың ішіндегі фигураларды нөмірлеп шығайық (суретте көрсетілген).

1. Суреттегі барлық ішкі үшбұрыштарды санап шығайық. Олардың саны 3 (1, 2, 4).

2. Екі үшбұрыштан құралған барлық үшбұрыштарды санап шығайық (1-2, 2-3, 3-4, 4-1). Олардың барлығы 4.

3. Үш үшбұрыш пен бір төртбұрыштан құралған ең үлкен үшбұрыш 1 (1-2-3-4).

Демек, бұл суреттегі барлық үшбұрыштардың саны 3+4+1=8-ге тең.

Жауабы: 8 үшбұрыш.

Мысал 2:

Есеп шарты: Мына суретте қанша үшбұрыш кескінделген?

Шешуі:

1. Барлық кішкентай үшбұрыштарды санап шығайық. Олардың барлығы 4 (1, 2, 3, 4).

2. Екі үшбұрыштан құралған барлық үшбұрыштарды санап шығайық (1-2, 2-3, 3-4), олардың барлығы 3.

3. Үш үшбұрыштардан құралған барлық үшбұрыштарды санап шығайық (1-2-3, 2-3-4).

4. Енді төрт үшбұрыштан құралған үшбұрышты (1-2-3-4) санау ғана қалды.

Демек, бұл суреттегі 4+3+2+1=10 үшбұрыш кескінделген.

Жауабы: 10 үшбұрыш.

Мысал 3:

Суретте қанша үшбұрыш бар?

Шешуі:

Жауабы: 13 үшбұрыш

Мысал 4:

Суретте қанша тіктөртбұрыш бар?

Шешуі:

Жауабы: 9 тіктөртбұрыш

Мысал 5:

Суретте қанша шаршы көрсетілген?

Шешуі:

Жауабы: 13 шаршы.

Өз бетінше шығару есептері:

Суретте қанша төртбұрыш бар?

Суретте қанша үшбұрыш кескінделген?

Суретте неше шаршы кескінделген?

Суретте үшбұрыштар саны қанша?

Суретте қанша үшбұрыш көріп тұрсың?

Суретте қанша тіктөртбұрыш бар?

Суретте қанша төртбұрыш бар?

Суреттегі үшбұрыштар санын анықта.

Суретте берілген фигураны теңдей етіп 3 бөлікке бөл:

Суретте берілген фигураны теңдей етіп 3 бөлікке бөл:

Суретте берілген фигураны теңдей етіп 4 бөлікке бөл:

Суретте берілген фигураны теңдей етіп 4 бөлікке бөл:

32-33-34 сабақ

Аудан мен периметрге қатысты, және геометриялық күрделі есептер

Оқу мақсаты:

• Аудан мен периметр формулаларын білу;

• Есеп түрлерін түсіну;

• Формулаларды қолдану;

• Фигураларды талдау;

• Шешу жолдарын жинақтау;

• Нәтижені тексеру

1-мысал. Тік төртбұрыштың боялған бөлігінің ауданы 5 см^2-қа тең. Тік төртбұрыштың боялмаған бөлігінің ауданын табыңдар.

Шешуі. Берілген тік төртбұрыш пен боялмаган үшбұрышқа белгіленуен енгізелік. Вертикаль MN кесіндісін жүргізелік. ABCD тік төртбұрышы ABMN және NMCD тік төртбұрыштарына жіктеледі. ABNM тік төртбұрышының боялған және боялмаған бөлігінің ауданы тең. Өйткені тік төртбұрыштан диагоналы оны теңдей етіп, екі фигураға бөледі, ал бірдей фигуралардың аудандары да бірдей болады. Осы сияқты NMCD тік төртбұрышының боялған және боялмаған бөлігінің аудандары да өзара тең болады. Демек, ABCD тік төртбұрышының боялмаған бөлігінің ауданы оның боялмаған бөлігінің ауданы 5 см^2-қа тең болады.

2-мысал. Тік төртбұрыштың ауданы 18 см²-ка тең. Тік төртбұрыштың боялған бөлігінің ауданын табыңдар.

Шешуі. Берілген тік төртбұрышты A,B,C және D әріптерімен, ал оның ішіндегі қиылысатын нүктесін –M деп белгілейік. 1-есепті шешкеннен кейін M нүктесі арқылы горизонталь және вертикаль кесінділер жүргізсек, онда ABCD тік төртбұрышының бөліктері оның боялмаған бөліктеріне жіктелетіні белгілі болып шыға келеді.

Демек, берілген тік төртбұрыштың бөлінған бөлігінің ауданы оның бөлінбаған бөлігінің ауданына тең болады, яғни берілген тік төртбұрыштың ауданының жартысы 9 см²-ка тең болады.

Жауабы: 9 см².

3-мысал. Тік төртбұрыш үшеуінің аудандары 2 см², 4 см² және 6 см² болатын 4 тік төртбұрышқа бөлінген. Берілген тік төртбұрыштың ауданын табыңдар.

Шешуі: Мынадай шартты белгілеулер енгізейік. Тік төртбұрыштың ауданы мынаған тең: S=(a+b)(x+y). Мынаны ескереміз: ax=2, ay=6, bx=4. Сонымен бірге, x(a+b)=6 және a(x+y)=8. Соңғы екі теңдікті көбейтіп табатынымыз:

ax(a+b)(x+y)=6, немесе 2(a+b)(x+y)=48, бұдан (a+b)(x+y)=S=24 (см²).

Демек, берілген тік төртбұрыштың ауданы 24 (см²)-ка тең.

Жауабы: S=24 (см²).

4-мысал. Мына суретте көрсетілген фигура бірдей 7 шаршыдан құралған. Оның периметрі 16-ға тең. Фигураның ауданын табыңдар.

Шешуі: Есептің шарты бойынша фигураның ауданы периметрі 16 см-ге тең болатындықтан, шаршының бір қабырғасының ұзындығы 1 см-ге тең болады. Олай болса, 7 шаршының ауданы 7 см²-ка тең болады.

Жауабы: 7 см².

5-мысал. A және B ауылдарының (елді пункттерінің) ара қашықтығы 5 км-ге тең. A ауылында 500 оқушы, ал B ауылында 300 оқушы оқиды. Оқушылардың жолда жүретін жалпы ара қашықтығы ең қысқа болу үшін мектепті қай жерден салу керек?

Шешуі: Мектепті АВ кесіндісінде салуымыз қажетті түсінікті. Бірақ атап айтқанда қай жерінен салуымыз керек екені белгісіз. A ауылынан мектепке дейінгі ара қашықтық x болсын, сонда жол бойымен жүрген оқушылардың жолдарының ара қашықтықтарының қосындысы f(x)=500x+300·(5-x)=500x+1500-300x=200x+1500 тең болады, мұндағы x – AB кесіндісінің ұзындығы, x=0 болғанда f(x) ең кіші мән қабылдайды. Сондықтан мектепті А ауылында салу қажет.

Жауабы: мектепті A ауылында салу қажет.

6-мысал. Теміржол бойында төрт дүкен орналасқан. Пошта бөлімшесін қай жерден салғанда дүкендерге дейінгі ара қашықтықтардың қосындысы ең аз болады?

Шешуі: A₁, A₂, A₃, A₄ нүктелерінде дүкендер, ал X нүктесінде пошта бөлімшесі орналасқан болсын. XA₁+XA₂ қосындысы ең кіші болу үшін X нүктесі A₁A₂ кесіндісінде жатуы тиіс. Осы сияқты XA₂+XA₃ және XA₃+XA₄ қосындылары ең кіші болу үшін X нүктесі сәйкесінше A₂A₃ және A₃A₄ кесінділерінде жатуы керек. Демек, XA₁+XA₂+XA₃+XA₄ қосындысы ең кіші болу үшін X нүктесі барлық үш кесіндіде жатуы тиіс, яғни A₂A₃ кесіндісінде жатуы тиіс.

Жауабы: Пошта бөлімшесін екінші және үшінші дүкеннің арасында салу керек.

Өз бетінше шығару есептері:

1.ABCD квадраты квадраттарға бөлінген. Егер бөлінған квадраттың қабырғасы 3 см болса, онда тік төртбұрыштың периметрін табыңдар.

2.Квадрат периметрлері сәйкесінше 20 см және 28 см-ге тең болатын тік төртбұрыштарға бөлінген. Квадраттың периметрін табыңдар.

3.Квадрат периметрлері 8 см және 20 см-ге тең болатын екі тік төртбұрышқа бөлінген. Квадраттың қабырғасының ұзындығын табыңдар.

4. Боялған үшбұрыштың ауданы 9 .Тіктөртбұрыштың ауданын тап:

5.Суретте көрсетілген көпбұрыштың ауданын тап (1 торкөр бірлік шаршыға тең).

6.Суретте көрсетілген көпбұрыштың ауданын тап (1 торкөр бірлік шаршыға тең).

6. X және Y қалаларының (елді пункттерінің) ара қашықтығы 8 км-ге тең. X қаласында 800 жұмысшы, ал Y қаласында 400 жұмысшы жұмыс істейді. Жұмысшылардың жолда жүретін жалпы ара қашықтығы ең қысқа болу үшін зауытты қай жерден салу керек?

7. Қала көшесі бойында бес мектеп орналасқан. Балалар ойын алаңын қай жерден салғанда мектептерге дейінгі ара қашықтықтардың қосындысы ең аз болады?