Айналу эллипсоиды

Айналу эллипсоиды

эллипсоид ОУ осінен айналып шыққан, айналу эллипс сызығының теңдеуін жазыңыздар.

Шешуі: Айналу бетінің теңдеуін табу ережесіне сәйкес эллипс сызығының теңдеуіндегі Нәтижесінде берілген эллипстің теңдеуіндегі х-тың орнына қойылады.Сонда

+ немесе теңдеуіне айналады.

Демек, айналу эллипс сызығының теңдеуі алынады. 39

Жарты осьтері 5 пен 3 болатын эллипс, өзінің үлкен осіның бойына айналады. Үлкен осі ОУ осінде, ал эллипс центрі координаталары системасының бас нүктесінде орналасқан.Осы эллипстің ОУ осіне айналу кезіндегі бетінің теңдеуін табыңыздар.

Шешуі: Берілуі бойынша в және уо жазықтығында жатыр. Оның теңдеуі

Берілгені бойынша қисықтың теңдеуі уо жазықтығында жатыр.Ал қисық ОУ осінен айналған кезде пайда болатын бетті алу үшін Сонда қисықтың теңдеуі

немесе түрінде жазылады.

Демек, алынған ізделінді теңдеу болады.

х-2у , айналғанда алынатын айналу бетінің теңдеуін табыңыздар.

Шешуі: М нүктесі сызығының төбесі дейік. Оның координатасы (4; 0;0) болады. Осы конустың кез келген А нүктесінің координатасы десек, оның сәйкес негізін В (х,у,о) нүктесі болады.А мен В ның координаталары А ( В(х,у,о) болады, сонда А мен В координата нүктесінің әртүрлі нүктесі, ал В (х,у,о) координатасында болады. Сонда у^{2 2.} Ал бұдан Х у болады.

Сонда айналу бетінің ауданы

Х+ -4

Х+ -4

( )²

4( 16+8 ²

4( (

Демек, 4( ( айналу беті болып табылады.

№5 .х² теңдеуі қандай бетті анықтайды?

Шешуі: Координаталық осьтерді ОХ осінің айналасында бұрышқа бұрайық. Мұнда ОУ осінен ОХ осіне қажет нақты бағытта бұрылады. Сонда х ¹, у ^{1 1} , ¹ + ¹ .Сондықтан

, онда

х ¹ , у ( ¹- ¹), ( ¹- ¹)

Осы мәндерді беттің теңдеулеріне қоямыз, сонда

- немесе + 0

Демек, конустың төбесі координаталар басында, ал координаталар осі болып табылады.

№6

²) параболасы о осінің бойынан бұрылады (вращается). Теңдеуді анықтаңыздар.

Шешуі: Берілген мысал о*у жазықтығында F(х,у ) теңдеуімен берілген. Парабола осінің бетінен айналады. Бұл жағдайда х ¹, у теңдігінен және мына теңдеулермен F( ) болады. Осы теңдік ізделінген теңдікті анықтайды.

№7

- ОУ осі бойымен айналады. Алынған екінші ретті беттің типін анықтаңыздар.

Шешуі: Берілген бет ОХУ жазықтығында, ОУ осінің бойында айнала алады. Гипербола осінен айналу кезінде у у теңдігі орындалады. Айналған кезде

F( ) орындалады.

Берілген есептің шарты бойынша

яғни, - теңдеуі алынады.

Сонда, - алынады. Демек, бұл теңдеу бірқуысты гипербола. 42

№9 х түзуі ОƵ осі бойымен айналады. Айналу бетінің теңдеуін табыңыздар.

90⁰

Шешуі: х түзуінің ОƵ осі бойымен айналуын табайық. х түзуі ХоƵ жазықтығында ОƵ осі бойымен айналғанда Ƶ өзгеріссіз қалады.Себебі, ол ОƵ осіне байланысты.Ал екінші айнымалысы Х айналған кезде оның таңбасы оң және теріс болып қалған Х пен У –тен квадрат түбір табу керек, яғни сонда (1) түрінде жазуға болады. Бұл теңдікті квадраттасақ, онда теңдеу немесе түрінде жазылады.

Демек, конустың теңдеуі болады. 43

№8 х түзуі ОƵ осін айналады. Айналу бетінің теңдеуін табыңыздар.

Шешуі: х жазықтықта Х пен Ƶ теңдеуге енген. Берілген теңдеуде Ƶ айнымалысы өзгеріссіз қалады. Есепте берілуі бойынша ОƵ осі бойымен айналу осі болып тұр. Ал теңдеудегі екінші айнымалы Х-тің өзі айнымалысымен алмасып жазылуы керек. Сонда берілген теңдеу мынадай түрінде жазылады:

Бұл теңдеудің екі жағын квадраттау арқылы теңдеуі алынады. Теңдеуді түрінде жазуға болады. Бұл кезде теңдеудің төбесі координаталар сақинасының бас нүктесінде, ал Х Ƶ теңдеуі Ƶ бұрышының биссектрисасы болады. Мұндағы у дегеніміз конус.... тең конустық биссектрисасы болады.

Бұл конустың осі 6 болады.

Демек, айналу бетінің теңдеуі, нәтижесінде конус алынады.

№10 теңдеуімен берілген параболаның ОƵ осі бойымен айналуынан пайда болған беттің теңдеуін табыңыз.

Шешуі: ху бетті табу үшін теңдеудегі х-тың орнына табу керек. . Бұл түзуден 4х²+4у².

Демек, ізделінде теңдеу - 4х²+4у² болады. 44

№11 Гиперболаның ОƵ осі бойымен айналуынан алынған бірқуысты гиперболоидтың теңдеуін құрыңыздар.

Шешуі: Гиперболаның жорамал осін айналу арқылы алынған гиперболоидты табу керек. Сонымен ОƵ осін гиперболаның осі болса, онда гиперболаның теңдеуі

болады. Осы теңдеуде х-ті -қа ауыстырсақ, онда бірқуысты гиперболоидтың теңдеуі

немесе + болады.

Демек, Гиперболаны ОƵ осі бойымен айналдырғанда, шыққан бірқуысты гиперболоидтың теңдеуі

+ алынады. 45