Айнымалыны ауыстыру әдісі

Практика
№1. ∫(2? + 1)???3???=*

Белгілеулер енгіземіз:
?=2x+1 ⇒ d? =2dx,
1

d?=???3??? ⇒ ? = − 3 ???3?.
1

1

1

2

*=(2x+1) (− 3 ???3?) − ∫(− 3 ???3?)2??= - 3 (2? + 1)???3? + 9 ???3? + ?
1

2

Жауабы: - 3 (2? + 1)???3? + 9 ???3? + ?
№2. ∫ 3????2???=*

?=3x ⇒ d? =3dx,
1

d?=???2??? ⇒ ? = 2 ???2?.
1

1

*=3x(2 ???2?) − ∫ 2 ???2? · 3??=
3

3
2

3

????2? + 4 ???2? + ?

3

Жауабы: 2 ????2? + 4 ???2? + ?
№3. ∫ ? 2 ??????
? = ? 2 , ?? = 2???
?? = ??????, ? = −????
∫ ? 2 ?????? = ? 2 (−????) − ∫(−????)2??? = − ? 2 ???? + 2 ∫ ? ?????? + ?
Тағы да бөліктеп интегралдау әдісін қолданайық ∫ ? ?????? = ????? − ∫ ???? ?? = ????? + ????
Демек,
∫ ? 2 ??????=−? 2 ???? + 2(????? + ????) + ? = −? 2 ???? + 2????? + 2???? + ?
№4.

 (х

2

 2 x) cos 2 xdx .

Белгілеулер енгіземіз: u  x 2  2 x, du  (2 x  2)dx;

dv  cos 2 xdx, v   cos 2 xdx 

1
sin 2 x;
2

Формулаға қоямыз:

 (х


2

1
1
1
1
 2 x) cos 2 xdx  ( x 2  2 x)  sin 2 x   (2 x  2)  sin 2 xdx   ( x 2  2 x) sin 2 x   2( x  1)  sin 2 xdx 
2
2
2
2

1 2
( x  2 x) sin 2 x   ( x  1) sin 2 xdx .
2

Пайда болған интегралға тағы да бөліктеп интегралдау әдісін қолданамыз:
u  x  1, du  dx;
1
dv  sin 2 xdx, v   sin 2 xdx   cos 2 x;
2
1
1
1
2
2
 ( х  2 x) cos 2 xdx  2 ( x  2 x) sin 2 x  (( x  1)( 2 cos 2 x)   ( 2 ) cos 2 xdx) 
1
1
1
1
1
1
 ( x 2  2 x) sin 2 x  ( x  1) cos 2 x   cos 2 xdx  ( x 2  2 x) sin 2 x  ( x  1) cos 2 x  sin 2 x  C
2
2
2
2
2
4

Білімдерін бекіту үшін

?
?. ∫ ? ??? ??
?
Шешуі:

?

?=?

?

?? = cos ? ??

∫ ???? ? ?? = |
?? = ??
?

?

? = 2??? ?

?

|=

?

?

?

?

=2???? ? − 2 ∫ ??? ? ?? = 2???? ? − 2 ∙ (−2)cos ? + ? = 2???? ? + 4cos ? + ?
?. ∫(?? + ?? − ?) ???????
Шешуі:
∫

(? 2

? = ? 2 + 7? − 5
+ 7? − 5)???2??? = |
?? = (2? + 7)??

?? = cos2???
1
|=
? = 2 ???2?

? = 2? + 7 ?? = ???2???
1
1
= 2 (? 2 + 7? − 5)???2? − 2 ∫ ???2? ∙ (2? + 7)?? + ? = | ?? = 2?? ? = − 1 ???2? |=
2
1

1

1

1

= 2 (? 2 + 7? − 5)???2? − 2 (− 2 (2? + 7)???2? − ∫(− 2 ???2?)2?? + ? =
=

1 2
1
1
(? + 7? − 5)???2? + (2? + 7)???2? − ???2? + ?
2
4
4

?
?. ∫(?? + ?)??? ??
?
Шешуі:
? = ?2 + 2
?
2
∫(? + 2)cos ?? = |
5
?? = 2???
?

?
?? = cos ??
5 |=
?
? = 5???
5

?

=5(? 2 + 2) ∙ ??? 5 − ∫ 5??? 5 ∙ 2???=
?

?

=5(? 2 + 2)??? − 10 ∫ ??? ∙ ???=
5

=|

5

?

?=?

?? = sin 5 ??

?? = ??

? = −5??? 5

?

|=

?

?

?

=5(? 2 + 2)??? 5 − 10 (−5???? 5 − ∫(−5??? 5) ?? + ?=
?

?

?

= 5(? 2 + 2)??? 5 + 50???? 5 − 250??? 5 + ?

?. ∫ ?? ???????
? = ?2
Шешуі:∫ ? ???3??? = |
?? = 2???
2

?? = ???3???
1
|=
? = − ???3?
3

1
1
1
2
= − ? 2 ???3? − ∫ − ???3? ∙ 2??? = − ? 2 ???3? + ∫ ???3? ∙ ??? =
3
3
3
3
?=?
?? = ???3???
1 2
2 1
1
1
= |?? = ??
? = 3 ???3? | = − 3 ? ???3? + 3 (3 ????3? − 3 ∫ ???3??? + ?=
=−

1
3

2

2

? 2 ???3? + 9 ????3? + 27 ???3? + ?
? = 12? 2

?. ∫ ???? (? + ??)? ?? = |
?? = 24???
= 12? 2 ∙

=|

?? = (3 + 2?)5 ??
1
|=
(3 + 2?)6
?=
12

1
1
(3 + 2?)6 − ∫ (3 + 2?)6 ∙ 24??? = ? 2 ∙ (3 + 2?)6 − ∫ 2?(3 + 2?)6 ?? =
12
12

? = 2?
?? = 2??

?? = (3 + 2?)6 ??
1
1
| = ? 2 ∙ (3 + 2?)6 − 2? ∙ 14 (3 + 2?)7 +∫ 14 (3 + 2?)7 ∙ 2??=
1
7
? = (3 + 2?)
14

?
1 1
?
= ? 2 ∙ (3 + 2?)6 − (3 + 2?)7 + ∙ (3 + 2?)8 +? = ? 2 ∙ (3 + 2?)6 − (3 + 2?)7
7
7 16
7
1
8
(3 + 2?) + ?
+
112

Үй жұмысы
?. ∫ ?? ???????? ??=∫ ?????????
1
Шешуі: ? = 3? ⇒ ?? = 3??, ?? = ???2??? ⇒ ? = − 2 ???2?
1

1

3

3

∫ 3????2??? = 3x(− 2 ???2?) − ∫(− 2 ???2?)3?? + ? = − 2 ????2? + 4 ???2? + ?·
?
?. ∫(х − ?)??? ??
?
?

?

Шешуі: ? = ? − 6 ⇒ ?? = ??, ?? = ??? 2 ?? ⇒ ? = −2??? 2
?

?

?

?

?

∫(х − 6)??? 2 ?? = (? − 6)( − 2??? 2) − ∫(−2??? 2)?? + ? = (12 − 2?)??? 2 + 4??? 2 + ?·

3.∫(?? + ?) ????? ??
1
Шешуі: ? = 5? + 1 ⇒ ?? = 5??, ?? = ???2??? ⇒ ? = 2 ???2?
1

1

1

5

∫(5? + 1) ???2? ??=(5? + 1) 2 ???2? − ∫ 2 ???2? ∙ 5?? + ? = 2 (5? + 1)???2? + 4 ???2? + ?·

?. ∫ ?? ???????
? = ?2
Шешуі:∫ ? ???3??? = |
?? = 2???

?? = с??3???
1
|=
? = ???3?

2

=

3

?=?
1 2
1
? ???3? − ∫ ???3? ∙ 2??? = |
?? = ??
3
3
1

2

1

2

1

1

?? = ???3???
1
|
? = − ???3?
3

= 3 ? 2 ???3? − 3 (− 3 ????3? − ∫ (− 3 ???3?) ?? + ?=
2

= 3 ? 2 ???3? + 9 ????3? − 27 ???3? + ?
1

2

2

Жауабы: 3 ? 2 ???3? + 9 ????3? − 27 ???3? + ?