Назар аударыңыз. Бұл материалды сайт қолданушысы жариялаған. Егер материал сіздің авторлық құқығыңызды бұзса, осында жазыңыз. Біз ең жылдам уақытта материалды сайттан өшіреміз
Шағым жылдам қаралу үшін барынша толық ақпарат жіберіңіз
Сіздің сұранысыңыз сәтті жіберілді!
Жақын арада сайт әкімшілігі сізбен хабарласады
1 бонус = 1 теңге
Бонусты сайттағы қызметтерге жұмсай аласыз. Мысалы келесі материалды жеңілдікпен алуға болады
Бонусты жинап картаңызға (kaspi Gold, Halyk bank) шығарып аласыз
Түсінікті
Материалдар / Алғашқы функция. Анықталмаған интеграл және оның қасиеттері
2024-2025 оқу жылына арналған
қысқа мерзімді сабақ жоспарларын
Жүктеп алғыңыз келеді ме?
ҚР Білім және Ғылым министірлігінің стандартымен жасалған
Алғашқы функция. Анықталмаған интеграл және оның қасиеттері
Бұл бетте материалдың қысқаша нұсқасы ұсынылған. Материалдың толық нұсқасын жүктеп алып, көруге болады
Материалдың толық нұсқасын жүктеп алып көруге болады
Алғашқы функция.
Анықталмаған интеграл және оның
қасиеттері
Жоспар:
1.
Анықталмаған
интеграл
2. Анықталған
интеграл
3. Анықталған
интегралдың қолданулары
4. Меншіксіз
интегралдар
Әр сұрақтың
қысқаша мазмұны
Алғашқы функция,
анықталмаған интеграл ұғымы:Егер бір Х аралығының әрбір
нүктесіндеF(x)функциясы
үшіннемесетеңдігі орындалса,
ондаF(x)функциясы осы
аралықтаүшіналғашқы
функцияболады.
Мысалы функциясы функциясының алғашқы функциясы
болады.
Теорема Егер функциясы Х
аралығында үшін алғашқы функциясы болса, онда
функциясы да
(С-кез келген тұрақты) үшін осы аралықта
алғашқы функция болады.
Анықтама Егер функциясы -тің алғашқы функциясы болса, онда оның барлық
алғашқы функцияларының жиынын, яғни өрнегін -тің анықталмаған интегралы
деп атайды және былай
белгілейді:
Бұл
өрнектегі -интеграл астындағы өрнек, ал
х-интегралдауайнымалысы деп
аталады. -интеграл
белгісі.
Интегралдаудың негізгі
ережелері:
1 Егер болса, онда , мұндағы
2 , демек тұрақты шаманы интеграл сыртына шығаруға
болады.
3
4 Егер және болса, онда
болады. Демек
анықталмаған интеграл пішіні интегралдау айнымалысынан
тәуелсіз.
Мысалы, деп алсақ
,
Жиі қолданылатын интегралдар
кестесі:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Интеграл астындағы функцияны ықшамдау
арқылы кейбір анықталмаған интегралдар 1-18 кестелік интегралды
қолданып есептеледі.
Дифференциал белгісінің астына кіргізу арқылы
интегралдау:
4
ереже бойынша
және мұндағы . Бұл түрлендіру функциясын дифференциал белгісінің астына кіргізу
деп аталады.
Интегралдаудың негізгі
әдістері
Бөліктеп интегралдау әдіс:
Бөліктеп интегралдау формуласы деп келесі
теңдікті айтамыз.
(1)
Бөліктеп интегралдау
формуласы бір интегралды екінші интеграл арқылы өрнектейді. Бұл
формула екінші интегралды есептеу мүмкіндігі болған жағдайда
қолданылады. Кей жағдайда соңғы нәтижені алу үшін бөліктеп
интегралдау әдісін қайталап қолдануға тура келеді.
1)- түрдегі
интеграл
Егер,-п-дәрежелі көпмүшелік болып,
келесі,k=Const,функциялардың бірі болса,
ондадеп алып, бөліктеп
интегралданады. Бұл жағдайда бөліктеп
интегралдаупрет
қайталанады.
2) -түріндегі интеграл
Егер -п дәрежелі көпмүшелік, ал -келесі функциялардың бірі болса , онда . Деп алып, бөліктеп
интегралданады.
3) түріндегі интегралдар, мұндағы , a,b- тұрақты
сандар.
Бұл интегралдар айналымды интеграл деп аталады
және екі рет бөліктеп интегралдау арқылы алғашқы интегралы бар
теңдеуге келеміз. Интеграл осы теңдеуді шешу арқылы есептеледі.
Алмастыру тәсілін
пайдаланып интегралдау:
Көп жағдайда
тәуелсізхайнымалысын алмастыру
арқылыинтегралын есептеуге
болады.
1 Анықталмаған
интегралдың айнымалысын екі түрлі тәсілмен алмастыруға
болады.
а) мұндағы -монотоннды үзіліссіз дифференциалданатын
функция. Бұл жағдайдағы айнымалыны алмастыру
формуласы.
Тригонометриялық
алмастырулар
а) Егер интегралда
түріндегі өрнек кездессе,
деп алынады да, , болады;
ә)
Егер интегралда түріндегі өрнек кездессе, деп алынады да, , болады;
б) Егер интегралда
түріндегі өрнек кездессе,
деп алынады да, , болады;
Бөлшек-рационал функцияларды
интегралдау
Екі көпмүшеліктің қатынасы ретінде
өрнектелетін R(x) функциясын рационал функция деп
атайды.
(1)
мұндағыm, n–теріс емес бүтін
сандар.
Егерn<mболса, онда
R(x)дұрыс
бөлшекдеп, алболса,бұрысбөлшекдеп
аталады.
Келесі төрт түрде берілген бөлшектерді жай
бөлшектер деп атайды.
мұндағы a,
A, N, M, p, q тұрақты, ал k- бүтін сан, .
Рационал функцияларды интегралдағанда оларды
дұрыс бөлшекке келтіріп, дұрыс бөлшекті жай бөлшектердің қосынды
түрінде жазамыз.
Жоғары алгебра пәнінде, коэффициенттері нақты сан
болатын m дәрежелі көпмүшелік төмендегі канондық түрде
жіктелетіні дәлелденген
(2)
Мұндағы және
Егер бұрыс рационал бөлшек болса
, онда оны, көпмүшелікті көпмүшелікке бөлу
арқылы бөлщектің бүтін бөлімін
анықтап,
түріне келтіреміз. Мұндағы
, демек дұрыс бөлшек. Ал кез келген дұрыс бөлшек жай
бөлшектердің қосындысына төмендегі түрде
жіктеледі:
(4)
Бұл
тепе- теңдік. Сондықтан
анықталмаған
А1,
А2,...,Аk1,
B1,C1,B2,C2,…,Be1,Ce1,… коэффициентерді, бөлшектерді ортақ бөлімге
келтіріп алымдарын теңестіру арқылы
есептеледі.
Иррационал функцияларды
интегралдау
1 түріндегі интеграл. Мұндағы,
R-рационал функция, m,n,r,s –бүтін сандар. Егер бөлшектерінің ортақ бөлімі
к болса, онда алмастыру арқылы интеграл астындағы
функция z –тен тәуелді рационал функцияға
келтіріледі: . Мұндағы R(z) рационал функция.
2 түрдегі интеграл, m-натурал сан,
a,b,c,d-тұрақты сандар және ad-cb≠0.
бөлшек-сызықтық иррационал функция деп
аталады.
Бұл
функция
алмастыруы арқылы бұл интеграл рационал
функциядан алынатын интегарға келтіріледі
3 - түрдегі интеграл,
мұндағы
квадраттық иррационал функция деп
аталады. A,B,C=тұрақты шамалар. Егер теңдеуінің шешімдері нақты сандар болса, онда бұл
интеграл 2 пункттегі иррационал функцияға
келтіріледі.
Егер теңдеуінің нақты шешімі болмаса,
онда алмастыруы арқылы келесі интегралдардың біріне
келеді. Мұндағы бірінші интеграл , екіншісі интеграл , үшінші интеграл алмастыруы арқылы рационал функциядан алынатын
интегралға келтіріледі.
4 Эйлер
алмастыруы
а)
Егер А>0 болса, онда алмастыруы ал A<0 болып C>0 болса алмастыруы орындалады. Бұл алмастырулар Эйлердің
бірінші және екінші алмастырулары деп
аталады.
Тригонометриялық функцияларды
интегралдау: , m,n бүтін (нақты) сандар. Интеграл астындағы функция
мына жағдайларда рационалданады:
а) Егер болса, t=cosx алмастыруы, ал болса t=sinx алмастыруы
арқылы:
ә) m,
n-жұп және нөлден үлкен немесе нөлге тең
болса, онда дәреже төмендететін келесі формулалар
пайдаланылады:
770 ₸ - Сатып алу
Материал ұнаса әріптестеріңізбен бөлісіңіз
Ашық сабақ, ҚМЖ, көрнекілік, презентация
жариялап табыс табыңыз!
Материалдарыңызды сатып, ақша табыңыз.
(kaspi Gold, Halyk bank)
Соңғы бір жылда:
45 000 000 ₸
Авторлар тапқан ақша
Ресми байқаулар тізімі
Республикалық байқауларға қатысып жарамды дипломдар алып санатыңызды көтеріңіз!
Материал іздеу
Сіз үшін 400 000 ұстаздардың еңбегі мен тәжірибесін біріктіріп, ең үлкен материалдар базасын жасадық. Төменде пәніңізді белгілеп, керек материалды алып сабағыңызға қолдана аласыз
Барлығы 663 959 материал жиналған
Жүктелуде...
Жүктелуде...
Жүктелуде...
Осы аптаның ең үздік материалдары
Педагогтардың біліктілігін арттыру курстары
Аттестацияда (ПББ) 100% келетін тақырыптармен дайындаймыз
Аттестацияда (ПББ) келетін тақырыптар бойынша жасалған тесттермен дайындалып, бізбен бірге тестілеуден оңай өтесіз
Өткен жылы бізбен дайындалған ұстаздар 50/50 жинап рекорд жасады