Алғашқы функция. Анықталмаған интеграл және оның қасиеттері

Жоспар:

1. Анықталмаған интеграл

2. Анықталған интеграл

3. Анықталған интегралдың қолданулары

4. Меншіксіз интегралдар

Әр сұрақтың қысқаша мазмұны

Алғашқы функция, анықталмаған интеграл ұғымы: Егер бір Х аралығының әрбір нүктесінде F(x) функциясы үшін немесе теңдігі орындалса, онда F(x) функциясы осы аралықта үшін алғашқы функция болады.

Мысалы функциясы функциясының алғашқы функциясы болады.

Теорема Егер функциясы Х аралығында үшін алғашқы функциясы болса, онда функциясы да (С-кез келген тұрақты) үшін осы аралықта алғашқы функция болады.

Анықтама Егер функциясы -тің алғашқы функциясы болса, онда оның барлық алғашқы функцияларының жиынын, яғни өрнегін -тің анықталмаған интегралы деп атайды және былай белгілейді:

Бұл өрнектегі -интеграл астындағы өрнек, ал х-интегралдау айнымалысы деп аталады. -интеграл белгісі.

Интегралдаудың негізгі ережелері:

1 Егер болса, онда , мұндағы

2 , демек тұрақты шаманы интеграл сыртына шығаруға болады.

3

4 Егер және болса, онда болады. Демек анықталмаған интеграл пішіні интегралдау айнымалысынан тәуелсіз.

Мысалы, деп алсақ

,

Жиі қолданылатын интегралдар кестесі:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Интеграл астындағы функцияны ықшамдау арқылы кейбір анықталмаған интегралдар 1-18 кестелік интегралды қолданып есептеледі.

Дифференциал белгісінің астына кіргізу арқылы интегралдау:

4 ереже бойынша

және мұндағы . Бұл түрлендіру функциясын дифференциал белгісінің астына кіргізу деп аталады.

Интегралдаудың негізгі әдістері

Бөліктеп интегралдау әдіс: Бөліктеп интегралдау формуласы деп келесі теңдікті айтамыз.

(1)

Бөліктеп интегралдау формуласы бір интегралды екінші интеграл арқылы өрнектейді. Бұл формула екінші интегралды есептеу мүмкіндігі болған жағдайда қолданылады. Кей жағдайда соңғы нәтижені алу үшін бөліктеп интегралдау әдісін қайталап қолдануға тура келеді.

1) - түрдегі интеграл

Егер, -п-дәрежелі көпмүшелік болып, келесі , k=Const, функциялардың бірі болса, онда деп алып, бөліктеп интегралданады. Бұл жағдайда бөліктеп интегралдау п рет қайталанады.

2) -түріндегі интеграл

Егер -п дәрежелі көпмүшелік, ал -келесі функциялардың бірі болса , онда . Деп алып, бөліктеп интегралданады.

3) түріндегі интегралдар, мұндағы , a,b- тұрақты сандар.

Бұл интегралдар айналымды интеграл деп аталады және екі рет бөліктеп интегралдау арқылы алғашқы интегралы бар теңдеуге келеміз. Интеграл осы теңдеуді шешу арқылы есептеледі.

Алмастыру тәсілін пайдаланып интегралдау:

Көп жағдайда тәуелсіз х айнымалысын алмастыру арқылы интегралын есептеуге болады.

1 Анықталмаған интегралдың айнымалысын екі түрлі тәсілмен алмастыруға болады.

а) мұндағы -монотоннды үзіліссіз дифференциалданатын функция. Бұл жағдайдағы айнымалыны алмастыру формуласы.

Тригонометриялық алмастырулар

а) Егер интегралда түріндегі өрнек кездессе, деп алынады да, , болады;

ә) Егер интегралда түріндегі өрнек кездессе, деп алынады да, , болады;

б) Егер интегралда түріндегі өрнек кездессе, деп алынады да, , болады;

Бөлшек-рационал функцияларды интегралдау

Екі көпмүшеліктің қатынасы ретінде өрнектелетін R(x) функциясын рационал функция деп атайды.

(1)

мұндағы m, n –теріс емес бүтін сандар.

Егер n<m болса, онда R(x) дұрыс бөлшек деп, ал болса, бұрыс бөлшек деп аталады.

Келесі төрт түрде берілген бөлшектерді жай бөлшектер деп атайды.

мұндағы a, A, N, M, p, q тұрақты, ал k- бүтін сан, .

Рационал функцияларды интегралдағанда оларды дұрыс бөлшекке келтіріп, дұрыс бөлшекті жай бөлшектердің қосынды түрінде жазамыз.

Жоғары алгебра пәнінде, коэффициенттері нақты сан болатын m дәрежелі көпмүшелік төмендегі канондық түрде жіктелетіні дәлелденген

(2)

Мұндағы және

Егер бұрыс рационал бөлшек болса , онда оны, көпмүшелікті көпмүшелікке бөлу арқылы бөлщектің бүтін бөлімін анықтап,

түріне келтіреміз. Мұндағы , демек дұрыс бөлшек. Ал кез келген дұрыс бөлшек жай бөлшектердің қосындысына төмендегі түрде жіктеледі:

(4)

Бұл тепе- теңдік. Сондықтан анықталмаған

А₁, А₂,...,А_k1, B₁,C₁,B₂,C₂,…,B_e1,C_e1,… коэффициентерді, бөлшектерді ортақ бөлімге келтіріп алымдарын теңестіру арқылы есептеледі.

Иррационал функцияларды интегралдау

1 түріндегі интеграл. Мұндағы, R-рационал функция, m,n,r,s –бүтін сандар. Егер бөлшектерінің ортақ бөлімі к болса, онда алмастыру арқылы интеграл астындағы функция z –тен тәуелді рационал функцияға келтіріледі: . Мұндағы R(z) рационал функция.

2 түрдегі интеграл, m-натурал сан, a,b,c,d-тұрақты сандар және ad-cb≠0.

бөлшек-сызықтық иррационал функция деп аталады.

Бұл функция

алмастыруы арқылы бұл интеграл рационал функциядан алынатын интегарға келтіріледі

3 - түрдегі интеграл, мұндағы

квадраттық иррационал функция деп аталады. A,B,C=тұрақты шамалар. Егер теңдеуінің шешімдері нақты сандар болса, онда бұл интеграл 2 пункттегі иррационал функцияға келтіріледі.

Егер теңдеуінің нақты шешімі болмаса, онда алмастыруы арқылы келесі интегралдардың біріне келеді. Мұндағы бірінші интеграл , екіншісі интеграл , үшінші интеграл алмастыруы арқылы рационал функциядан алынатын интегралға келтіріледі.

4 Эйлер алмастыруы

а) Егер А>0 болса, онда алмастыруы ал A<0 болып C>0 болса алмастыруы орындалады. Бұл алмастырулар Эйлердің бірінші және екінші алмастырулары деп аталады.

Тригонометриялық функцияларды интегралдау: , m,n бүтін (нақты) сандар. Интеграл астындағы функция мына жағдайларда рационалданады:

а) Егер болса, t=cosx алмастыруы, ал болса t=sinx алмастыруы арқылы:

ә) m, n-жұп және нөлден үлкен немесе нөлге тең болса, онда дәреже төмендететін келесі формулалар пайдаланылады:

б) Егер m мен n-сандары жұп болып,және біреуі теріс немесе m+n нөлден кіші жұп болса, онда келесі алмастырулар қолданылады.

2 түріндегі интеграл, мұндағы R-интеграл астындағы рационал функция. Бұл функция

алмастыруы арқылы рационалданады. Бұл алмастыру

формулалары арқылы sinx пен cosx –тен тәуелді рационал функцияны z-тен тәуелді рационал функцияға келтіреді. Осы мағынада бұл алмастыру универсал алмастыру деп аталады.

Ескерту: Кей жағдайда орнына алмастыруы пайдаланылуы мүмкін.

3 , , -түріндегі интегралдар.

формулалар арқылы есептеледі.

Гиперболалық функцияларды интегралдау:

Негізгі формулалар: