Алғашқы функция және интеграл

Пәні: Алгебра және анализ бастамалары

Класы:11

Тақырыбы: Алғашқы функция және интеграл.

Cабақ мақсаты: Алғашқы функция және интеграл тақырыптары бойынша алған білімдерін практикамен ұштастыру, есептерді шығару дағдыларын жетілдіру, жинақтау, жаңаша бағалау негізінде оқушыларды әділдік қасиетке, өзара сыйлауға, іздемпаздыққа тәрбиелеу.

Сабақтың түрі: Сайыс сабақ.

Сабақтың әдіс-тәсілдері: Сұрақ-жауап, топтық жұмыс, жеке жұмыс, өзін-өзі бағалау әдісі, сын тұрғысынан ойлау әдісі, тест тапсырмалары, АҚТ.

Пәнаралық байланыс: Информатика.   

Сабақтың барысы:

І Ұйымдастыру кезеңі

а) Оқушыларды сабаққа бағыттау.

б) Оқушыларды топқа бөлу. Шаттық шеңбер.

І топ -  Туынды, ІІ топ - Интеграл, ІІІ топ – Алғашқы функция

ІІ Өтілген өтілген тақырыптарды қайталау, пысықтау.

Әр оқушының жинаған ұпайы бағалау парағына жазылып отырады.

Сайыстың І бөлімі Біліктілік сайысы деп аталады.

Бүгінгі күн сайыста,

Сен ешкімнен қалыспа

Біліміңді көрсетер,

Сұрақтарға жауап бер –

деген сыртында алатын ұпайы жазылған ұяшық сұрақтарына әр топтан оқушылар жауап береді. Жауап бере алмай қалған оқушы үшін ұпай жойылып, сол топтағы басқа оқушы жауап береді, ол да жауап бере алмаса, қарсыластары жауап берулеріне болады. Бұл кезде, ұпай солардың есебіне кетеді.

Сұрақтар:

1. Алғашқы функция ұғымы. (4 ұпай)

Анықтама: Егер берілген аралықта F′(х) =  (х) теңдігі орындалатын болса, онда осы аралықта F(х) функциясын (х) функциясы үшін алғашқы функция деп атайды.

1-мысал: (х)=3х², хR функциясы үшін алғашқы функция F(x)=x³ болады, себебі F' (x)= 3х² = (х), әрбір хR функциясы үшін.

2-мысал: F(x)=х³/3 функциясы F(x)=х² функция үшін (-; +) интервалында алғашқы функция болады, өйткені барлық х  (- ; +) үшін

F' (x)= ( х³ / 3 )' = 1 / 3 (х³) ' =1 / 3 ∙ 3х² = x² =  (х).

2. Алғашқы функцияның негізгі қасиеті (4 ұпай)

Белгілі бір I аралықта (х) функциясы үшін алғашқы функциялардың кез-келгенін мына түрде жазып көрсетуге болады,

F (x) + С (1)

мұндағы С – кез келген тұрақты шама, ал F(x)+С I аралығында (х) функциясы үшін алғашқы функция болып табылады.

егер у = x², онда у' = 2x

егер у = x⁷ +84, онда у'=7

егер у = x²-13, онда у'=2x

3. Алғашқы функцияны табудың үш ережесі (5 ұпай)

Бұл ережелер дифференциалдаудың сәйкес ережелеріне ұқсас.

1–ереже. Егер  үшін алғашқы функция F, ал g үшін алғашқы функция G болса ,

 + g үшін алғашқы функция F + G болады .

Шынында да, F =  және G = g болатындықтан, қосындының туындысын есептеу ережесі бойынша:

(F + G) = F + G =  + g

2–ереже. Егер  үшін алғашқы функция F, ал k – тұрақты шама болса, онда k үшін алғашқы функция k F болады.

Шынында да, тұрақты көбейткішті туынды таңбасының алдына шығаруға болады, сондықтан

(kF) = kF = k

3–ереже. Егер F(x) функциясы  (x) үшін алғашқы функция, ал k мен b – тұрақты шамалар болып, k  0 болса, онда  (kx + b) функциясы үшін алғашқы функция

F (kx + b) болады.

Шынында да, күрделі функцияның туындысын есептеу ережесі бойынша

(F (kx + b))  = F (kx + b)(kx+b) = (kx + b)

4. Функцияның тұрақтылық белгісі (3 ұпай)

Функцияның тұрақтылық белгісі. Егер қандай да бір I аралықта

F' (x)=0 болса, онда F функциясы осы аралықта тұрақты шама болады.

5. Анықталмаған интеграл дегеніміз не? (4 ұпай)

Анықтама: Берілген аралықтағы ¦(х) функциясының алғашқы функциясы осы аралықтағы ¦(х) функциясының анықталмаған интегралы деп аталады.

Белгіленуі:  ¦(х)dx (икстен эф де икс функциясының анықталмаған интегралы деп оқылады)

Анықтамаға сәйкес: ¦(х)dx=F(x)+C

Мұндағы:  - интеграл таңбасы

¦(х) – интеграл астындағы функция

¦(х) dx – интеграл астындағы өрнек

х- интегралдау айнымалысы

C- кез келген тұрақты шама

6. Интегралдау ережелері (4 ұпай )

Алғашқы функцияны табудың ережелерін анықталмаған интеграл белгісінің көмегі арқылы жазған ыңғайлы.

1. ∫ [¦ (x) g (x)]dx =∫ ¦(x)dx ∫ g (x)dx

2. ∫ k¦ (x)dx = k∫ ¦ (x)dx, k- const

3. ∫ ¦ (kx+b)dx = (kx+b)+C, k0

7. Анықталмаған интеграл қасиеттері (5 ұпай)

Анықталмаған интеграл қасиеттері:

 ( ∫ ¦ (x)dx) = ¦(x)

 d ( ∫¦ (x)dx) = ¦(x)∙dx

 ∫ ¦ (x)dx = ¦ (x)+C

 ∫ d ¦ (x) = ¦ (x) + C

 ∫ k¦ (x)dx = k∫ ¦ (x)dx

 ∫ [ ¦ (x)+ g (x) - h (x)]dx =∫ ¦(x)dx +∫ g (x)dx - ∫ h (x)dx

8. Анықталған интеграл қасиеттері: (5 ұпай)

a

 ∫ ¦ (x)dx = 0

а

b a

 ∫ ¦ (x)dx = - ∫ ¦ (x)dx

a b

b c b

 ò¦(x) dx =∫ ¦(x)dx +∫ ¦ (x)dx

a a c

b b b

 ∫ [ ¦ (x) g (x) ]dx =∫ ¦(x)dx ∫ g (x)dx

a a a

b b

 ∫ k¦ (x)dx = k∫ ¦ (x)dx, k- const

a a

9. Анықталған интеграл мен алғашқы функцияның арасындағы байланыс (Ньютон-Лейбниц формуласы) ( 4 ұпай)

b b

ò ¦(x) dx= F (x) = F (b) - F (a) (1)

a a

(1) формула Ньютон – Лейбниц формуласы деп аталады.

Бұл формула a;b кесіндісінде үзіліссіз, кез-келген ¦ функциясы үшін тура.

ІІІ Сайыстың II бөлімі «Тапқырлық» сайысы деп аталады.

Лайықтап жазылған ұпайлары,

Интегралға есеп бар мұнда тағы

Алғашқы функциясын табарсың қателеспей,

Жетерлік болса егер білім жағы, –

деп мұнда сыртына ұпайы жазылған есептер шығарылады. Есептер кеспе қағаздар арқылы таратылады.

F(х) функциясының f(х) функциясы үшін көрсетілген аралықта алғашқы функция болатынын дәлелде:

1. F(х)=sin²x, f(x)= sin2x , xR (3 ұпай)

Шешуі: F(х)=(sin²x)= 2 sinx (sinx)= 2 sinx cosx= sin2x

2. F(х)= cos 2x, f(x)= sin2x, xR (3 ұпай)

Шешуі: F(х)=( cos 2x)= (- sin2x)(2x)= - sin2x

3. F(х)=sin 3x, f(x)=3cos3x, xR (3 ұпай)

Шешуі: F(х)= (sin 3x)=cos3x (3x)= 3cos3x

Анықталмаған интегралды табыңыз:

4. ò7х dx = 7òх dx= + C (4 ұпай)

5. ò(3х²-1) dx = ò3х² dx- òdx=3 - x+C= x³- x+ C (4 ұпай)

6. ò = ò x ^-5 dx= + C= + C= - + C (4 ұпай)

Қалған оқушылар үшін интерактивті тақтада жазылған есептерді шешу ұсынылады. Әрбір есеп 5 ұпай.

1. Қисықтармен шектелген y=x+2, x=-1, x=2, у=0 фигураның ауданын есепте.

2 ²

S= ∫ (x+2)dx =( +2x)= ( +22)-( + 2 (-1))= 7

-1 -1

2. у= 4-x², x=-1 және х осімен шектелген фигураның ауданы неге тең?

2 2

S= ∫ (4-x²)dx =(4x - )= [4 – )] -[4 – )]=8-2 +4- =9

-1 -1

3. y = ln x, y=1, y=5 және y осімен шектелген фигураның ауданын есепте.

y=ln x, x=e^y

^{5 5}

∫ e^ydy =( e^y) = e⁵ - e

1 1

Әр топтың ұпайлары анықталады. Орнында отырып шығарған есептер тексеріліп, ұпайлар бағалау парағына белгіленеді.

ІV Сайыстың III бөлімі - Кім жылдам? . Бұл бөлімде оқушылардан тест алынады.

V Сабақты қорытындылау.

Функцияның туындысын табу мен алғашқы функциясын табу арасындағы ұқсастығы мен айырмашылығы қандай? Венн диаграммасында кескіндеу.

VI Оқушыларды бағалау.

1. Топ басшыларының бағалауы.

2. Оқушыларды  бағалау кестесінде  жинаған ұпайлары бойынша және мұғалімнің бағалауымен бағалау.

VIІ Үйге тапсырма: №15, 16, қосымша есептер.