Алтын қима мен Фибоначчи тізбегі арасындағы байланыс

Алтын қима – ұзын кесіндіні екіге бөлгенде үлкен бөліктің кіші бөлікке қатынасы бүкіл кесіндінің үлкен бөлікке қатынасына тең пропорция. Фибоначчи сандары осы алтын қимамен тығыз байланысты математикадағы ерекше реттік заңдылықтардың бірі. Яғни тізбектегі бір санды алдындағысына бөлгенде шыққан бөлшек алтын қимаға жақындай береді. Бұл сандар тізбегі табиғаттағы үйлесім мен гармонияны түсіндіруде маңызды орын алады. Әрбір сан алдыңғы екі санның қосындысынан тұратын бұл тізбек тек математикада ғана емес, өнерде, сәулетте және биологияда да көрініс табады. Табиғаттағы көптеген құбылыстар мен нысандардың құрылымы осы заңдылықпен сәйкес келетіні ғылыми тұрғыда дәлелденген. Мысалы, күнбағыстың тұқымдарының орналасуы, ананас қабығының өрнектері, ұлу қабыршағының спираль пішіні – барлығы да Фибоначчи сандарына негізделген. Бұл құбылыс табиғи симметрия мен пропорцияның сұлулығын айқындайды. Фибоначчи сандары – әрбір келесі мүшесі алдыңғы екі мүшесінің қосындысына тең болатын 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … қайталама сан тізбегінің (Фибоначчи қатары) элементтері. Фибоначчи сандарының рекурренттік қатынастары �0=0,�1=1,��=��−1+��−2,�⩾2.арқылы беріледі. Фибоначчи сандарын 1202 жылы италиялық математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи) тапқан. Сонымен қатар, алтын қима ұғымы да осы тізбекпен тығыз байланысты, ол адам көзінің эстетикалық қабылдауына әсер етіп, үйлесімділік пен сұлулықты айқын көрсетеді. Ғалымдар табиғаттағы құрылымдардың Фибоначчи заңдылығына сәйкес келуі оның энергияны тиімді пайдалану және кеңістікті үнемдеу қасиеттерімен түсіндіріледі деп есептейді. Осы тұрғыдан алғанда, Фибоначчи сандары тек математикалық ұғым емес, бүкіл тірі табиғаттағы үйлесім мен тәртіптің кілті болып табылады. Зерттеу бұл заңдылықтың адам өмірінде, ғылым мен өнерде қолданылу аясын кеңейтудің өзектілігін айқындайды Жобаның өзектілігі: Фибоначчи сандары тек математикалық тізбек ретінде ғана емес, табиғаттағы үйлесім мен сұлулықты түсіндіретін әмбебап заңдылық болып табылады. Табиғаттағы гүл күлтелерінің саны, ұлу қабыршағының спиралі, күнбағыстың тұқым өрнегі – барлығы осы тізбекпен байланысты. Бұл құбылыстарды мектеп оқушыларының ғылыми тұрғыдан зерттеуі олардың танымдық қабілетін арттырып, математика мен биология арасындағы байланысты түсінуге мүмкіндік береді.Фибоначчи сандарының табиғаттағы көріністерін анықтап, олардың үйлесімділік пен сұлулықтағы рөлін зерттеу.Фибоначчи тізбегінің математикалық ерекшеліктерін талдау. Математика пәнінде кездесетін үлкен немесе өте кіші сандар, формулалар, дифференциал, интеграл, эллипс ... және басқада ұғымдар сыртқы дүниеден қараған кезде үлкен бір тосықтармен бөлінгендей сияқты болып көрінеді. Бұл үлкен тосық артында не болып жатқанын математикадан хабары болмағандар үшін жасырын болып, бұл «бетперде» ашылғанда өзінің ішкі заңдарымен өмір сүретін «жансыз сандар» әлемін кездестіреді. Егер «жансыз сандар» ынтамен зерттелсе, олар «ғажайып сандарға» айналады. Ерте заманда өмір сүрген ұлы математиктердің өз кезінде жеткен жетістіктері қазіргі таңда адамдарды тән қалдырады. Математикамен айналысқан кез келген адам үшін Евклид, Архимед, Пифагор, Герон сияқты есімдер таныс. Ұлы неміс ғалымы К.Гаусс (1777-1855) арифметиканы «математиканың патшайымы» деп атаған. Математикада және ерекше арифметикада құрылымы жағынан оңай, шешімі жағынан болса өте күрделі болған мәселелер кездеседі. Мұндай мәселелер екі топқа бөлінеді. Бірінші топқа шешілу әдісі анық, бірақ үлкен есептеуді қажет ететін мәселелер кіреді. Мұндай есептеулерге өте ұзақ уақыт қажет, кейде қазіргі заман электронды есептеу құралдары да көмек бере алмайды. Мысал ретінде 2 101 -1 санының жай немесе құрама сандығын анықтау талап етілсін. Бұның үшін берілген сан 2-ден бастап 2 101 -1 дейінгі жай сандарды зерттеп көру қажет. Бұл тапсырманы қарапайым тәсілмен және электронды есептегіш мәшина көмегімен есептей алмаймыз. Математиканың басқа әдістерімен 2 101 -1 құрама күрделі сан анықталған. Ғажайыбы сол сандардың бір және өзінен басқа ешқандай бөліндісі қазірге дейін анықталған емес. Екінші топ мәселелеріне қазірге дейін анықталмаған және анықтау жолы белгісіз болған мәселелер жатады. Мысалы, ?! + 1 (? - натурал сан) түріндегі сандар ішінде кейбірі жай, кейбірі болса құрама сандар: ? = 2 болғанда 2!+1 = 3 жай сан, ? = 3 болғанда 3!+1 = 7 жай сан, ? = 4 болғанда 4! + 1 = 25 − құрама сан. Сол себепті ?! + 1 түріндегі жай сандар қандай жиынды (шекті немесе шексіз жиын) құрайды деген сұрақтар туындайды. Бұл сұраққа қазіргі уақытқа дейін анық жауап берілмеген. 11!+1 дің жай сандығы өте күрделі шешілген. 27!+1 дің жай сан әлде құрама сандығы анықталмаған. 6 Бірақта ?! + 1 түріндегі сандар ішінде шексіз көп құрама сандар кездесетіні дәлелденген. Математика дами келе екінші топ мәселелері өз шешімін табатынын айту маңызды. 1845 жылы француз математигі Ж.Бертран (1822-1900) төмендегі мәселені баяндады: ? > 1 болғанда натурал ? және 2? сандар арасында кемінде біреу жай сан бар (бұл мәселе туралы алдында тоқталамыз). Бұл тұжырымның дурыс екендігін ұлы орыс математигі П.Л.Чебишев (1824-1894) жоғары математика көмегімен көрсетті. 1930 жылға келіп поляк математигі Ю.Серпинский жағынан бұл мәселенің қарапайым (комплекс айнымалы функциялар теориясын қолданбастан) дәлелі берілді. Бірақ бұл дәлел өте күрделі екендігін айтып өткеніміз жөн. І ғасырда өмір сүрген математик Н.Гезанский төмендегі сөздерді айтқан болатын: «Ғажайып сандар өте әдемі. Бырақта , әдемі заттар кем кездесетіні белгілі». Осы әдемі сандарды барлық сандар әлемінен бөлектеп алып оларды көріктілікпен оқушыларға түсіндіруде математика мұғалімдері шеберлігі ерекше маңызды. Ю.Серпинский Рейн университетінде «Кейбір арифметикалық проблемалар» туралы жасаған баяндамасында төмендегілерді айтты. «Арифметиканың қазіргі уақытқа дейін шешімі табылмаған мәселелері көп. Мұндай мәселелердің саны артып баруды. Туындаған мәселелердің шешімін табу жаңа мәселелердің пайда болуына қатысты өте баяу. Бір қиыншылықтың шешімін іздеу барысында оннан артық жаңа қиыншылықтар туындайды. Кейбір шешімі жоқ мәселелер 100 жылдан көп тарихқа ие. Бірақ адам өмірде шексіз жалғасатын болса, шешілмеген қиындықтардың артып баруына қарамастан шешімін табатынына сенімдіміз». Осы бағыт бойынша көп жылдардан бері жалпы орта мектептер сыныптан тыс жұмыстар барысында керемет тәжірибелер жинаған. Математика оқытушылары бұл тәжірибелердің алдыңғы қатарында тұрады. Оқушылармен бірге түрлі формадағы қосымша математика жаттығуларының өткізілуі жас математиктер мектептерінің пайда болуына , сонымен бірге, орта мектептерде факультатив курстарының жария болуына алып келді. Бірақ факультатив жаттығуларының жария етілуі мектепте математикадан өткізілетін сыныптан тыс іс-шараның рөлін және маңыздылығын жоғалтпайды. Керісінше әр бір математика оқытушысы үшін оқушылардың математикалық белсенділігін одан әрі күшті дамытады және математика пәніне деген қызығушылықты одан әрі арттырып үлкен мүмкіндіктерге жол ашады. Математикадан сыныптан тыс іс-шаралар оқушылардың білімдерінің терең болуына, ғылыми қызығушылығын арттыруына, білім деңгейінің 7 кеңейуіне, тәрбие мәселелеріне қатысты болған істерді шешуге қарастырылған. Табиғаттағы мысалдардан Фибоначчи заңдылығын табу (өсімдіктер, жануарлар, табиғи құрылымдар).Жиналған деректерді кесте, диаграмма, суреттер арқылы көрсету.Фибоначчи сандарын оқушылардың танымдық деңгейін арттыру мақсатында қолдану жолдарын ұсыну.Фибоначчи сандары мен олардың табиғаттағы көріністері. Өсімдіктердің жапырақ орналасуы, гүл күлтелерінің саны, ұлу қабыршағы, күнбағыс тұқым өрнегі, табиғаттағы симметрия мен үйлесім. Жоба барысында Фибоначчи заңдылығы тек өсімдіктерде ғана емес, ұлттық ою-өрнектер мен өнер туындыларында да байқалатыны көрсетіледі. Бұл ғылым мен мәдениеттің байланысын айқындайды.Егер табиғаттағы үйлесім құбылыстарын Фибоначчи сандары арқылы талдау жүргізілсе, онда оқушылардың математика мен жаратылыстану ғылымдарына деген қызығушылығы артады және ғылыми дүниетанымы кеңейеді.: Зерттеу жұмыстары 2024 жылдың қыркүйектен 2025 жылдың тамыз айларының аралығында жүргізілді. Зерттеу жұмысы екі кезеңнен тұрады: теориялық және практикалық.Зерттеу жұмысының дереккөздері: Математика ғалымдардың әдіскерлік еңбектері, ғаламтор сайттары, мақалалар.Жоба барысында табиғаттағы көптеген құбылыстардың Фибоначчи заңдылығына сәйкес келетіні дәлелденді. Күнбағыс тұқымдарының орналасуы, ананас қабығының өрнектері, ұлу қабыршағының спиралі мен өсімдіктердің жапырақтарының сабаққа орналасуы – барлығы Фибоначчи тізбегін қайталайтыны анықталды. Сонымен қатар, қазақтың дәстүрлі ою-өрнектерінде де осы үйлесімнің ізі байқалатыны көрсетілді.Фибоначчи сандары — математика тарихындағы ең әйгілі тізбектердің бірі. Бұл сандардың ерекшелігі — олардың табиғаттағы, ғылымдағы және өнердегі үйлесім құбылыстарымен тығыз байланысты болуы. Тізбектің шығу тарихын зерттеу бізді ортағасырлық Еуропаға, дәлірек айтсақ, XII–XIII ғасырлардағы Италияға алып барады. Шығу тарихы: Фибоначчи сандарының аты итальян математигі Леонардо Пизанскийдің (1180–1250) есімімен байланысты. Ол «Фибоначчи» деген лақап атпен тарихқа енген. 1202 жылы жарық көрген «Liber Abaci» («Есеп кітабы») атты еңбегінде ол Еуропаға араб математикалық жүйесін (ондық санау жүйесін, нөл ұғымын) енгізді. Осы еңбектің ішінде ол атақты тізбекті мысал ретінде қарастырған. Бұл сандардың ерекшелігі — олардың табиғаттағы көптеген құбылыстарға сәйкес келуі. Ерекшеліктері: Фибоначчи тізбегінің ең маңызды ерекшелігі — ол алтын қимаға (φ ≈ 1,618) жақындайды. Тізбектің кез келген екі қатар тұрған мүшесінбір-біріне бөлгенде, алынған бөлшек шексіздікке ұмтылған сайын алтын қиманың мәніне жуықтайды. Бұл көрсеткіш табиғаттағы үйлесімнің математикалық негізі ретінде қарастырылады. Сонымен қатар, Фибоначчи сандары тек өсімдік жапырақтарының орналасуында ғана емес, жануарлар әлемінде де кездеседі. Мысалы, ұлу қабыршағындағы спираль, ананас қабығының өрнектері, күнбағыстың тұқымдары — барлығы осы тізбекке сәйкес келеді.Фибоначчи сандарының алғашқы мәндері мен олардың алтын қимаға жуықтауыКестеден көрініп тұрғандай, тізбек ұлғайған сайын қатынас алтын қиманың нақты мәніне жақындай береді. Фибоначчи тізбегінің қолданылуы:Табиғатта: өсімдіктердің жапырақтарының сабаққа орналасуы, гүл күлтелерінің саны, тұқымдардың орналасу тәртібі. Өнерде: сәулет өнерінде, сурет салуда, музыкада үйлесімділікке жету үшін қолданылады.Информатикада: алгоритмдерде, мәліметтер құрылымында, іздеу әдістерінде.Қаржы саласында: акция бағаларының өзгерісін талдауда «Фибоначчи деңгейлері» қолданылады. Фибоначчи тізбегі — қарапайым қояндар есебінен бастау алғанымен, бүгінде бүкіл ғылым әлемінде әмбебап заңдылық ретінде қабылданған ерекше құбылыс. Оның ерекшелігі — табиғаттағы сұлулық пен үйлесімділікті түсіндіруге мүмкіндік беруінде. Фибоначчи сандарының алтын қимаға жуықтауы бұл тізбекті математиканың ғана емес, өнер мен өмірдің ажырамас бөлігіне айналдырды. Алтын қиманың мәні: Алтын қима (лат. sectio aurea – «алтын бөлік», грек. φ – фи саны) — геометриядағы ерекше қатынас. Оның мәні шамамен 1,618033... болып, иррационал санға жатады. Алтын қиманы мынадай қарапайым анықтамамен түсіндіруге болады: бір кесіндіні екі бөлікке бөлгенде, үлкен бөліктің кішісіне қатынасы, бүкіл кесіндінің үлкен бөлікке қатынасына тең болса, бұл алтын қима деп аталады. Алтын қима ұғымы ежелгі дәуірден белгілі. Пифагоршылар, кейінірек Евклид геометриясында бұл қатынас гармониялық тепе-теңдік пен сұлулықтың өлшемі ретінде қарастырылды. Алтын қиманың ерекшелігі: Алтын қима тек математикада ғана емес, табиғатта, өнерде, сәулетте, адам дене құрылымында, тіпті экономика мен ақпараттық технологияларда кездеседі. Бұл қатынас адам көзі үшін үйлесімділік пен симметрияның көрінісі ретінде қабылданады. Алтын қима Фибоначчи тізбегімен де тығыз байланысты. Фибоначчи сандарының әрбір келесі мүшесін алдыңғысына бөлгенде, олардың қатынасы алтын қимаға жақындай береді. Бұл екі ұғымның байланысы математиканың әмбебап заңдылығын дәлелдейді. Алтын қиманың ғылымдағы қолданысы:. Геометрия және математика: Алтын қима Евклидтің «Бастамаларында» ерекше орын алған. Кейінгі ғасырларда математиктер бұл ұғымды көпқырлы фигураларды зерттеуде, спираль құбылыстарын түсіндіруде қолданды. Мысалы, логарифмдік спиральдің теңдеуі алтын қимаға негізделеді. Биология және табиғат: Өсімдіктердің жапырақтарының сабаққа орналасуы, гүл күлтелерінің саны, ананас пен күнбағыс тұқымдарының өрнегі алтын қимамен сәйкес келеді. Табиғаттағы бұл заңдылық жарықты тиімді пайдалану мен кеңістікті үнемдеу мақсатында қалыптасқан. Анатомия және медицина: Адам денесінің пропорциялары да алтын қимамен байланысты. Мысалы, адамның бойының кіндікке дейінгі бөлігі мен жалпы бойының қатынасы, бет құрылымындағы көз, мұрын, ерін арақашықтықтары үйлесімділікке жақын келеді. Медицинада бұл көрсеткіш кейде диагностикалық әдіс ретінде қолданылады.Өнер және сәулет: Ежелгі гректердің Парфенон ғимаратында, Мысыр пирамидаларында, Ренессанс дәуіріндегі Леонардо да Винчидің еңбектерінде алтын қима принципі кеңінен пайдаланылған. «Витрувиан адамы» суретінде адам денесінің пропорциялары алтын қимамен берілген. Қазіргі сәулетте де үйлесімділікке жету үшін φ қатынасы қолданылады.Физика және космология: Кейбір ғалымдар алтын қиманы табиғи тұрақтылармен байланыстырады. Мысалы, планеталардың орбиталық қозғалысында, галактикалардың спираль құрылымында φ қатынасына ұқсас заңдылықтар байқалады. Информатика және техника: Алгоритмдер құруда, деректерді қысу әдістерінде, дизайнда алтын қима принциптері қолданылады. Мысалы, веб-беттер мен интерфейстерді жобалауда экрандағы элементтердің үйлесімін қамтамасыз ету үшін φ коэффициенті пайдаланылады. Натурал ? санын ? = 30? + ? түрінде жазуға болады. Мұнда ? = 0, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28 болғанда ? құрама сан болып, ? = 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 болғанда ? жай сан болуы мүмкін. Эйлер кестені төмендегідей құрастыр. Қаржы нарығын талдауда «Фибоначчи деңгейлері» деген ұғым қолданылады. Бұл деңгейлер алтын қимаға негізделген және акция бағаларының қозғалысын болжауда аналитикалық құрал ретінде тиімді.Алтын қима — адамзат тарихындағы ең көне әрі ең әмбебап математикалық заңдылықтардың бірі. Оның ерекшелігі — ғылым мен табиғаттағы түрлі құбылыстардың ортақ үйлесімін түсіндіруінде. Жапырақтың сабаққа орналасуынан бастап, сәулет өнері мен заманауи технологияларға дейін алтын қиманың ізі байқалады. Бұл заңдылық ғылымдағы «әмбебап гармония» ұғымын айқындайды.Фибоначчи сандары – тек математикалық тізбек емес, табиғаттағы үйлесім мен тепе-теңдіктің бейнесі. Әрбір келесі саны алдыңғы екі санның қосындысынан тұратын бұл тізбек адамзат тарихында көптеген салаларда қолданылып келеді. Дегенмен, оның ең айқын көріністерін табиғаттан, атап айтқанда өсімдіктер мен жануарлар әлемінен кездестіреміз. Өсімдіктердің жапырақтары мен гүл күлтелерінің орналасуынан бастап, теңіз жануарларының қабыршақтарына дейінгі құбылыстардың бәрінде Фибоначчи заңдылығы бар.Жапырақтардың орналасуы: Өсімдіктердің жапырақтары сабаққа спираль бойымен орналасады. Бұл өсімдікке күн сәулесін барынша тиімді сіңіруге мүмкіндік береді. Жапырақтардың бұрыштық айырмашылығы көбіне 137,5° болады. Бұл бұрыш — «алтын бұрыш» деп аталады және ол Фибоначчи тізбегімен байланысты. СалаМысалдарЕрекшелігі Мүсін өнері Поликлеттің «Каноны», Леонардо да Винчи Адам денесінің пропорциялары алтын қимаға сәйкес Живопись «Мона Лиза», «Құпия кешкі асы» Композициядағы үйлесімділік Музыка Бах пен Моцарт шығармаларыӘуен ырғақтарының Фибоначчи заңдылығына сай құрылуы Ежелгі архитектура Мысыр пирамидалары, Парфенон Пропорция мен өлшемдердің алтын қимамен сәйкестігі Орта ғасыр Готикалық соборлар. Аркалар мен витраждардың симметриясы Қазіргі архитектура Лувр пирамидасы, БҰҰ ғимараты Заманауи дизайндағы үйлесімділік. Гүл күлтелері: Көптеген гүлдердегі күлтелер саны Фибоначчи сандарына сәйкес келеді. Бұл заңдылық кездейсоқ емес, эволюция барысында өсімдіктердің жарық пен кеңістікті тиімді пайдалануы үшін қалыптасқан. Жемістер мен тұқымдар: Ананас қабығындағы ромбтәрізді өрнектер, күнбағыс тұқымдарының спираль пішіні, шырынды өсімдіктердегі өрнектер — барлығы да Фибоначчи тізбегімен сәйкес келеді. Бұл құрылым тұқымдардың тығыз орналасуын қамтамасыз етеді. Қабыршақтар мен ұлулар: Ұлу қабыршағының спираль пішіні Фибоначчи сандарына сәйкес келеді. Мұндай спиральдің формуласы логарифмдік спираль деп аталады және ол табиғатта жиі кездеседі. Дене құрылымындағы үйлесім: Көптеген жәндіктердің дене сегменттері, ара ұясының алтыбұрышты пішіні, қояндар мен балықтардың көбею үлгілері Фибоначчи заңдылығын көрсетеді. Леонардо Пизанский алғаш рет қояндардың көбеюін модельдеу арқылы бұл тізбекті сипаттаған еді. Теңіз жұлдыздары мен жануарлардың мүйіздері: Теңіз жұлдызының бес бұтағы, жануарлардың мүйіздерінің спиральді өсу формасы, тіпті жыртқыш құстардың тұмсық пішіні де осы заңдылықпен байланыстырылады.Фибоначчи заңдылығы — табиғаттың үйлесімділік пен тиімділікке ұмтылуының дәлелі. Өсімдіктердің жапырақтары күн сәулесін барынша сіңіру үшін спираль бойымен орналасады, гүлдер күлтелері мен тұқым өрнектері кеңістікті тиімді пайдаланады. Жануарлар әлемінде де спиральді пішіндер, дене құрылымындағы симметрия, көбею үлгілері осы заңдылықты қайталайды. Бұл құбылыстар Фибоначчи сандарының тек математикалық формула емес, бүкіл табиғаттағы гармония мен тепе-теңдіктің кілті екенін дәлелдейді.Адамзат тарихында өнер мен архитектура әрқашан табиғаттан шабыт алып, үйлесім мен сұлулықты іздеумен ерекшеленді. Табиғаттағы реттілік, симметрия, пропорция заңдылықтары адам еңбегінде қайталанып отырды. Соның ішінде Фибоначчи тізбегі мен алтын қима принциптері өнер туындыларында да, сәулет ғимараттарында да кең қолданыс тапты. Бұл заңдылықтар адам көзінің эстетикалық қабылдауына сәйкес келіп, көркемдік үйлесімді қамтамасыз етеді. Фибоначчи сандары мен алтын қима ұғымы – математикадағы ерекше заңдылықтардың бірі болып қана қоймай, табиғаттағы үйлесімнің әмбебап көрінісін сипаттайды. Зерттеу барысында бұл тізбектің өсімдіктердің жапырақтарының орналасуынан бастап, жануарлар денесінің құрылымына дейін, сондай-ақ өнер мен архитектурадағы эстетикалық композицияларда да кеңінен көрініс табатыны анықталды. Өсімдіктер әлемінде күнбағыстың тұқымдарының орналасу реті, ананас қабығындағы өрнектер мен гүл күлтелерінің саны Фибоначчи заңдылығына сәйкес келетіні байқалды. Жануарлар әлемінде ұлу қабыршағының спиралі, теңіз жұлдыздарының пішіні және жануарлардың мүйіздерінің өсу формасы осы тізбектің нақты мысалдары болып табылады. Ал өнер мен сәулетте ежелгі Парфеноннан бастап, қазіргі Лувр пирамидасына дейінгі ғимараттарда алтын қиманың принциптері пайдаланылған. Бұл заңдылықтың ерекшелігі – адамзат тарихындағы ғылым мен өнердің, табиғат пен мәдениеттің өзара тығыз байланысын дәлелдеуі. Фибоначчи тізбегі – үйлесім мен әсемдіктің математикалық негізі. Ол жас ұрпаққа ғылыми таным мен эстетикалық талғамды қатар дамытуға мүмкіндік береді. Сондықтан да бұл тақырыпты мектеп деңгейінде қарастыру оқушылардың ой-өрісін кеңейтіп, ғылымға деген қызығушылығын арттырудың тиімді жолы болып табылады. Өнердегі табиғи үйлесім көріністері: Ежелгі дәуірден бастап суретшілер мен мүсіншілер табиғаттағы үйлесімді пропорцияларды өз еңбектерінде қолданған. Грек мүсіншісі Поликлеттің «Канонында» адам денесінің мүшелері арасындағы өлшемдер алтын қимаға сәйкес бейнеленген. Кейінгі дәуірде Леонардо да Винчидің «Витрувиан адамы» суреті адам денесінің пропорциясын математикалық дәлдікпен көрсетіп, ғылым мен өнерді біріктірген туынды болды. Живопись саласында Ренессанс дәуірінің суретшілері алтын қиманы композициялық тепе-теңдікті сақтау үшін пайдаланды. Мысалы, Леонардо да Винчидің «Мона Лиза» картинасының құрылымында басты бейненің орналасуы осы пропорцияға сәйкес келеді. Сонымен қатар, Сальвадор Далидің «Құпия кешкі асы» атты шығармасында алтын тікбұрыш айқын байқалады. Музыка өнерінде де Фибоначчи заңдылығы қолданылды. Иоганн Себастьян Бах пен Вольфганг Амадей Моцарттың кейбір шығармаларында әуеннің ырғақтық құрылымы осы сандарға негізделіп құрылған. Фибоначчи тізбегі бойынша әуеннің толқуы мен дамуы адамның психологиялық қабылдауына үйлесімді әсер етеді. Архитектурадағы табиғи үйлесім көріністері: Архитектура – пропорция мен үйлесімділікті ең көбірек қажет ететін сала. Ежелгі мысырлық пирамидалардың құрылысында да алтын қиманың заңдылықтары пайдаланылған деген ғылыми деректер бар. Әсіресе, Гиза пирамидаларының биіктігі мен табанының қатынасы φ санына өте жақын. Антикалық дәуірдегі Афиныдағы Парфенон ғимараты алтын қима принципін айқын көрсетеді. Оның бағаналарының арақашықтығы, фронтон мен негізгі бөліктерінің пропорциялары алтын қатынаспен есептелген. Орта ғасырдағы готикалық соборларда да табиғи үйлесім заңдылығы пайдаланылды. Аркалардың иіні, витражды терезелердің орналасуы, мұнаралардың биіктігі мен негізі арасындағы қатынас – бәрі симметрия мен гармонияға сүйенді. Қайта өрлеу дәуірінде сәулетшілер, әсіресе Брунеллески мен Альберти еңбектерінде алтын қиманы саналы түрде қолданды. Бұл дәуірдегі ғимараттар үйлесімділігімен ғана емес, беріктігімен де ерекшеленді. Қазіргі заман архитектурасында да табиғи үйлесім қағидасы сақталып келеді. Париждегі Лувр мұражайының шыны пирамидасы, Нью-Йорктегі БҰҰ ғимараты, тіпті заманауи көпқабатты үйлердің жобаларында φ пропорциясы көрініс табады. Компьютерлік дизайн мен урбанистикада да алтын қиматепе-теңдік пен әсемдікті қамтамасыз ету үшін қолданылады. Өнер мен архитектурадағы табиғи үйлесім көріністері – адамзаттың табиғаттан үйренген ең басты заңдылығы. Фибоначчи тізбегі мен алтын қима принциптері тек сұлулықтың ғана емес, ғылыми дәлдіктің де көрсеткіші. Осы заңдылықтарға негізделген мүсіндер, картиналар мен ғимараттар ғасырлар өтсе де эстетикалық әсерін жоғалтпай, әлі күнге дейін адамзат мәдениетінің асыл мұрасына айналып отыр. Бұл құбылыс ғылым мен өнердің, табиғат пен мәдениеттің өзара байланысын айқын дәлелдейді. Бұдан 100 жыл бұрын англия математигі Джевенс 8 616 460 799 саны қандай сандардың көбейтіндісі деген сұрақ қойған болатын. Кейінрек, электронды есептеуіш құрылғысының көмегімен 96079 және 89681 сандарының көбейтіндісі болатынын анықтады. Кейбір натурал сандардың жай немесе құрама сандар болатыны қазіргі таңда да белгісіз.