Асамбаев информатика

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
ПАВЛОДАР МЕМЛЕКЕТТІК ПЕДАГОГИКАЛЫҚ ИНСТИТУТЫ

А.Ж. Асамбаев

ИНФОРМАТИКАНЫҢ ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ.
ПРАКТИКУМ

Павлодар
2014

УДК 519.862.5 (075)
ББК 32.973
А 87
Баспаға Павлодар мемлекеттік педагогикалық институтының
Ғылыми кеңесі шешімімен ұсынылған
Пікір жазғандар:
техника ғылымының кандидаты, профессор – А.Д. Тастенов
физика-математика ғылымының кандидаты, профессор – А.Т. Тоқметов

А 87

А.Ж. Асамбаев Информатиканың теориялық негіздері. Практикум. Оқу құралы. –
Павлодар, 2014. – 70 б.

ISBN 978-601-267-295-4
Оқу құралында «Информатиканың теориялық негіздері. Практикум» пәні
тәжірибелік курсы ұсынылған. Оқу құралы 5В011100 Информатика мамандығына
және Қазақстан Республикасының мемлекеттік білім беру стандартының
құрастырылды.
Оқу құралы «Информатика» мамандығының күндізгі және сыртқы оқу
студенттері үшін арналған.

бойынша
арналған
негізінде
бөлімінің

ISBN 978-601-267-295-4

© А.Ж. Асамбаев, 2014.
© Павлодар мемлекеттік педагогикалық институты, 2014.
2

МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ ......................................................................................................................................... 4
1 АҚПАРАТ ЖӘНЕ ОНЫҢ ҚАСИЕТТЕРІ .......................................................................... 5
1.1 Теңықтималды мүмкіндіктері бар есептерді шешу ............................................................. 5
1.2 Теңықтималды емес мүмкіндіктері бар есептерді шешу .................................................... 6
1.3 Алфавит көлемін өлшеу туралы есептерді шешу ................................................................ 6
ӨЗІНДІК ЖҰМЫС ТАПСЫРМАЛАРЫ .................................................................................... 8
2 САНДЫҚ АҚПАРАТТЫ БЕЙНЕЛЕУ ................................................................................ 9
2.1 Санау жүйелері ........................................................................................................................ 9
2.2 Бүтін ондық сандарды басқа санау жүйелеріне ауыстыру ............................................... 11
2.3 Бөлшек ондық сандарды басқа санау жүйелеріне ауыстыру............................................ 12
2.4 Екілік сандарды 2n негізі бар санау жүйелеріне ауыстыру ............................................... 13
2.5 Сандарды қосу ....................................................................................................................... 14
ӨЗІНДІК ЖҰМЫС ТАПСЫРМАЛАРЫ .................................................................................. 16
2.6 Символдық ақпаратты ұсыну............................................................................................... 16
ӨЗІНДІК ЖҰМЫС ТАПСЫРМАЛАРЫ .................................................................................. 19
2.7 Графикалық ақпаратты ұсыну ............................................................................................. 20
ӨЗІНДІК ЖҰМЫС ТАПСЫРМАЛАРЫ .................................................................................. 21
3 ЛОГИКА АЛГЕБРАСЫНЫҢ НЕГІЗГІ ҰҒЫМДАРЫ .................................................. 22
3.1 Логикалық өрнектерді оңайлату.......................................................................................... 23
3.2 Ақиқаттық кестелерді құрастыру ........................................................................................ 25
3.3 Логикалық сұлбаны құрастыру ........................................................................................... 26
ӨЗІНДІК ЖҰМЫС ТАПСЫРМАЛАРЫ .................................................................................. 28
3.4 Бақылау тест тапсырмалары ................................................................................................ 30
4 АҚПАРАТТЫҚ ҮДЕРІСТЕРДІ АВТОМАТТАНДЫРУ
АБСТРАКТІЛІ АВТОМАТТАР ............................................................................................. 34
4.1 Тьюринг машинасы............................................................................................................... 34
4.2 Пост машинасы ..................................................................................................................... 37
4.3 Тьюринг және Пост машинасы көмегімен «алгоритм» ұғымын анықтау ....................... 38
4.4 Марковтың нормальды алгоритмдері ................................................................................. 39
4.5 Бақылау тест тапсырмалары ................................................................................................ 41
5 АЛГОРИТМДЕР ТЕОРИЯСЫНЫҢ НЕГІЗГІ ҰҒЫМДАРЫ ...................................... 45
5.1 Алгоритмнің қасиеттері........................................................................................................ 45
5.2 Алгоритмді жазу тәсілдері ................................................................................................... 45
5.3 Блок – схемалар ..................................................................................................................... 47
5.4 Алгоритм құрылыстары ....................................................................................................... 51
ӨЗІНДІК ЖҰМЫС ТАПСЫРМАЛАРЫ .................................................................................. 57
6 АҚПАРАТТЫҚ МОДЕЛЬДЕУ ........................................................................................... 60
6.1 Модельдерді әр түрлі белгілеріне қатысты топтастыру ................................................... 60
6.2 Компьютерлік модельдеудің кезеңдері............................................................................... 62
ӨЗІНДІК ЖҰМЫС ТАПСЫРМАЛАРЫ .................................................................................. 68
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ....................................................................................... 69

3

КІРІСПЕ
Теориялық информатика – математикалық ғылым. Ол математиканың
бірнеше бөлімдеріне негізделген: автоматтар мен алгоритмдер теориясы,
математикалық логика, формалды тілдердің және грамматикалардың теориясы,
ақпарат теориясы және т.б. Теориялық информатика ақпаратты сақтау және
өндеу кезінде пайда болатын негізгі сұрақтарға дәл талдау әдістері арқылы
жауап беруге тырысады, мысалы, кейбір ақпараттық жүйеде жинақталған
ақпарат саны неге тең, сақтау немесе іздеу үшін ақпаратты тиімді
ұйымдастыру, сонымен қатар ақпаратты түрлендіру алгоритмдердің бар болу
және қасиеттер туралы. Ай сайын деректерді сақтауға арналған ең үлкен көлемі
бар жаңа құрылғылар пайда болуда, бұл ақпарат теориясы мен кодтау
теориясының дамуымен түсіндіріледі. Қолданбалы есептерді шешу үшін жақсы
программалар бар, бірақ сауатты түрде қолданбалы есепті қою үшін, оны
компьютерге түсінікті түрге келтіру үшін ақпараттық және математикалық
модельдеу негіздерін және т.б. білу керек. Информатиканың тек осы бөлімдерін
меңгере отырып, өзіңізді осы ғылымның маманы деп есептей аласыз.
Информатиканың
теориялық
негіздері
курсы
информатиканың
фундаментальді ұғымдары: ақпараттар теориясының негізі, сандық автоматтар
теориясы, алгоритмдер теориясы, алгоритмдер тиімділігінің анализі, ақпараттық
модельдеу және информатиканың семантикалық негізі туралы түсінікті
қалыптастыру және машықтандыру; логикалық айнымалылар және арифметикалық
амалдардың моделі және ЭЕМ-нің элементтік базасын ықшамдау; салыстыру
операцияларын және арифметикалық операцияларды танып-білу; берілген
алфавиттер мен сандарды кодтау, алгоритмді іздеу және таңдау, алгоритмдердің
тиімділігі мен күрделілігіне анализ жасау, сұрыптауды түсіндіру; көпіршік
сұрыптауды түсіндіріп, анализ жасау және пирамидалық сұрыптаудың
тиімділігі мен күрделілігіне анализ жасау мәселелерін қамтиды.

4

1 АҚПАРАТ ЖӘНЕ ОНЫҢ ҚАСИЕТТЕРІ
Ақпаратты алғаннан кейін жоғалатын белгісіздік дәрежесі – бұл
ақпараттың сандық сипаттамасы болып табылады және оны ақпарат мөлшері
деп атайды. Хабардағы ақпарат мөлшерін өлшеу және бағалау үшін әр түрлі
әдістер пайдаланылады. Олардың арасында статистикалық пен алфавитті
әдістерді белгілеуге болады.
Статистикалық әдістеме. Белгісіздікті немесе Н энтропияны сандық
бағалау үшін американ инженеры Р.Хартли мына формуланы ұсынды, бұл
формулаға N теңықтималды мүмкіндетердің логарифмы кіреді:
H = log2N,
(1.1)
оны келесі түрде жазуға болады:
2H = N,
(1.2)
мұнда Н — ақпарат мөлшері.
Бит деп аталатын ақпарат мөлшерінің ең кіші бірлігі екі мүмкіндіктен
таңдауды орындайды.
Егер теңықтималды емес таңдау мүмкіндетері орын алса, онда i нөмірі бар
таңдаудын Рi меншік ықтималдығына тәуелді hi ақпарат мөлшері К.Шеннон
формуласы арықылы есептеледі
hi = log2(1/Pi),
(1.3)
оны мына түрге өзгертуге болады
2hi = (1/Pi).
(1.4)
Ақпарат мөлшерінің өлшем ретінде hi мәнінің орнына ақпарат мөлшерінің
орта мәнің пайдалану ыңғайлы
.
(1.5)
Алфавиттық әдістеме мәтіндік ақпараттың санын анықтауға мүмкіндік
береді. Әрбір символ алатын ақпарат мөлшері мына формула арқылы
есептеледі
i = log2N,
(1.6)
мұнда N — алфавит қуаты, ол алфавит ішіндегі символдар санына тең.
К символы бар мәтіннің ақпарат көлемі тең болады
I = Ki.
(1.7)
N қуаты бар алфавит көмегімен m әріптен тұратың максимал сөздер саның
L былайша анықтауға болады
L = Nm.
(1.8)
1.1 Теңықтималды мүмкіндіктері бар есептерді шешу
М 1.1. 32 әр түрлі картасы бар карт колодасы болсын. Бір картаны таңдау
үшін 32 мүмкіндік бар. Колодадан қиық королі алынғаны қанша ақпарат алады?
Шешім. Мүмкіндіктер саның N = 32 (1.1) формулаға қойғанда ақпарат
мөлшерін береді Н = 5(2H = 25).

5

М 1.2. Ақша мәнетін лақтырғанда бір нәтиженің таңдауы (мысалы, бүктің
түсуі) бір бит ақпарат алады, себебі теңықтималды мүмкіндіктер саны N = 2
(бүк немесе шік). Шік түскені деген хабарда ақпарат мөлшерін анықтаңыз.
Шешім. N = 2 (1.1) формулаға қойып, аламыз Н = 1 бит.
М 1.3. Белгісіздікті 4 есе азайтатын хабарда қандай ақпарат көлемі бар?
Шешім. Білімнің белгісіздігі 4 есе азаяды, сондықтан ол 4-ке тең болды,
яғни 4 теңықтималды оқиға болған деп айтуға болады. Осылардың біреуі орын
алғаны 2 бит ақапарат әкеледі (4 = 22).
М 1.4. Қорапта 16 кубик жатыр. Барлық кубиктардың түсі әр түрлі.
Қораптан қызыл кубик алынды деген хабарда қанша ақпарат бар?
Шешім. 16 теңықтималды оқиғалардан біреуін таңдап алу керек. Сондықтан
N = 16, осыдан Н = 4 (16 = 24).
М 1.5. Сіздің досыңыз 10-шы қабатта тұрады деген хабарда 4 бит ақпарат
бар. Бұл үйде неше қабат бар?
Шешім. N = 24 = 16 қабат.
1.2 Теңықтималды емес мүмкіндіктері бар есептерді шешу
М 1.6. Себетте Nқ = 8 қара шар және Nа = 24 ақ шар жатыр. Себеттен қара
шар алынды деген хабарда қанша Нқ ақпарат бар?
Шешім. 1) N = 8 + 24 = 32 шар барлығы;
2) Рқ = 8/32 = 1/4 - қара шарды алу ықтималдығы;
3) Нқ = log2(l/(l/4)) = 2 бит.
М 1.7. Қорапта N = 64 түрлі түсті қарындаш жатыр. Ақ қарындаш алынды
деген хабарда На = 4 бит ақпараты бар. Қорапта неше Nа ақ қарындаш бар
болған?
Шешім. 1) На = log2(l/Pа); 4 = log2(l/Pа); 1/Ра = 16; Ра = 1/16 - ақ қарындашты
алу ықтималдығы;
2) Ра = Nа/N; l/16 = Nа/64; Nа = 64/16 = 4 ақ қарындаш.
М 1.8. Себетте ақ және қара шарлар жатыр. Олардың арасында Nа = 18
қара шар. Себеттен ақ шар алынды деген хабарда На = 2 бит ақпарат бар.
Себетте барлығы неше N шар бар?
Шешім. 1) 1/Ра = 2На, 1/Ра = 22 = 4, Ра = 1/4 - ақ шарды алу ықтималдығы;
2) Ра = Nа/N = Nа/(Nа + Nқ), 1/4 = Nа/(Nа + 18), Nа + 18 = 4Nа, 18 = 3Nа, Nа = 6
ақ шар;
3) N = Nа + Nқ = 18 + 6 = 24 шар себетте болған.
1.3 Алфавит көлемін өлшеу туралы есептерді шешу
М 1.9. Алфавиті N = 128 символдан тұратын тілде жазылған мәтіннің Нм
көлемін анықтаңыз. Хабарда К = 2000 символ бар.
6

Шешім. 1) Н = log2N = log2128 = 7 бит — бір символдың көлемі;
2) Нм = Н  К = 7  2000 = 14 000 бит — хабардың көлемі.
М 1.10. Кейбір тілдің алфавитінде барлығы N = 2 әріп бар, тілдегі әрбір сөз
дәл m = 7 әріптен тұрады. Тілдегі ең үлкен сөздер қоры қанша болады?
Шешім. Егер алфавит қуаты N, ал осы алфавит көмегімен жазылған сөздегі
максимал әріптер саны m болса, онда мүмкін болатын ең үлкен сөздер саны
(1.8) формула арқылы анықталады, осыдан N = 27, сондықтан, N = 128.
М 1.11. Шахмат тақтасы 64 өрістен тұрады: 8 баған және 8 жол. Бір
шахмат өрістің координатасын кодтау үшін қанша ең аз бит қажет болады?
Шешім.
Шахмат өрісінің 64 торын ажырату үшін екілік кодтың 64 мәні қажет
болады. 64=26 болғандықтан, екілік кодта алты разряд қажетті.

7

ӨЗІНДІК ЖҰМЫС ТАПСЫРМАЛАРЫ
1.1. Бүтін санды кейбір диапазонда ойлап тапқан кезде 8 бит ақпарат
алынған болатын. Осы диапазонда неше сан бар?
1.2. Мектеп кітапханасында 16 стеллаж кітап бар. Әрбір стеллаждың
8 сөресі бар. Қайрат өзіне қажетті кітап бесінші стеллажда үстінен санағанда
үшінші сөреде жатыр деп кітапханашыдан естіді. Қайратқа кітапханашы қанша
ақпарат берді?
1.3. Бүтін санды 1 ден N–ға дейін диапазонда ойлап тапқан кезде 9 бит
ақпарат алынған болатын. N неге тең болады?
1.4. Топта N = 30 студент оқиды. Математикадан бақылау жұмыс бойынша
мынадай бағалар алынды: N5 = 15 бес баға, N4 = 6 төрт баға, N3 = 8 үш баға
және N2 = 1 екі. Мұқанов бес алды деген хабарда қанша Н5 ақпарат мөлшері
бар?
1.5. Семестр бойынша студент N = 100 баға алды. Ол бес алды деген
хабарда Н5 = 2 бит ақпарат мөлшері бар. Семестр бойынша студент қанша
N5 бес баға алды?
1.6. Жәшікте қолғаптар (ақ және қара түсті) жатыр. Олардың ішінде Nқ = 2
қос қара қолғап бар. Жәшіктен екі қара қолғап алынды деген хабарда Нқ = 4 бит
ақпарат мөлшері бар. Жәшікте неше Nа қос ақ қолғаптар болды?
1.7. Бөлмені жөндеу үшін ақ, көк және қоныр бояулар пайдаланды. Ақ пен
көк бояулар банкісі бірдей жұмсалды Nа = Nк. Ақ бояу банкісі бітті деген
хабарда На = 2 бит ақпарат мөлшері бар. Көк бояудың шығыны Nк = 8 банкі.
Бөлмені жөндеуге қоңыр бояудың Nк неше банкісі жұмсалды?
1.8. Аялдамада әртүрлі нөмірлері бар трамвай тоқтайды. Аялдамаға нөмірі
Nl трамвай келді деген хабарда HNl = 4 бит ақпарат мөлшері бар. Аялдамаға
нөмірі N2 трамвай келетін ықтималдығы нөмірі Nl трамвай келетін
ықтималдығынан екі есе аз (PN1 = 2РN2). Аялдамаға нөмірі N2 трамвай келді
деген хабарда қанша HN2 ақпарат мөлшері бар?
1.9. Мәтінді жазу үшін 256-символды алфавит пайдаланды. Әрбір парақта
30 жолы және әрбір жолда 70 символы бар. Мәтіннің 5 парағында қанша
ақпарат көлемі бар?
1.10. Кейбір тілдің алфавитінде екі әріп қана бар: А мен Б. Осы тілде
жазылған барлық сөздер 11 әріптен тұрады. Осы тілдің максимал сөздер қоры
қанша болу мүмкін?

8

2 САНДЫҚ АҚПАРАТТЫ БЕЙНЕЛЕУ
2.1 Санау жүйелері
Сандарды бейнелеу әдісін және оған сәйкес сандарға қолданылатын
ережелер жинағы санау жүйесі деп аталады. Барлық санау жүйелері позициялы
және позициясыз болып екіге бөлінеді. Сандарды бейнелеуге қолданылатын
таңбалар цифрлар деп аталады.
Позициясыз санау жүйесінде сандардың көлемі берілген санның жазылу
орнына байланыссыз. Мысалы, римдік санау жүйесінде цифрлар ретінде латын
әріптері қолданылады:
I
1

V
5

X
10

С
100

L
50

D
500

М
1000

М 2.1. CCXXXII саны екі жүздіктен, үш ондықтан және екі бірліктен
құралады. Рим сандарында цифрлар солдан оңға қарай кему тәртібімен
жазылады. Бұл жағдайда олардың мәндері қосылады. Егер де сол жақта кіші цифр
жазылып, оң жақта үлкен цифр жазылса, бұлардың мәндері кемиді, мысалы:
VI = 5 + 1 = 6, IV = 5 - 1 = 4.
М 2.2. Рим саның MCMXCVIII ондық жуйесінде жазыңыз.
MCMXCVIII = 1000 + (-100 + 1000) + (-10 + 100) +5+1+1+1= 1998.
Позициялы санау жүйесінде бір ғана берілген цифр санның жазылуындағы
орнына байланысты әр түрлі мәнді анықтайды. Қолданылатын цифрлардың саны
позициялық санау жүйесінің негізі деп аталады.
Қазіргі математикада ондық позиция жүйесі кең тараған. Оның негізі болып
он саны алынады, себебі кез келген санды осы он цифрлар арқылы жаза
аламыз: 0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9.
Бұл жүйенің позициялық сипатын келесі мысал жақсы көрсетеді. 333 деген
санның жазылуында сол жақтағы бірінші “3” цифры – үш жүздікті, екінші “3”
цифры - үш ондықты, үшінші “3” цифры – үш бірлікті белгілейді.
Позициялық жүйеде n – негізді санды жазу үшін n цифрдан тұратын
алфавит керек. n – оннан кіші болған жағдайда (n<10), көбінесе, бірінші он араб
цифрларын қолданады, ал n – оннан үлкен болғанда (n>10), он араб цифрларына
әріптерді қосып қолданады. Кейбір жүйелердің алфавиттер мысалдары 2.1кестеде көрсетілген.
Жүйенің негізін көрсету қажет болса, онда ол берілген санның төменгі
индексі ретінде жазылады. Мысалы: 1011012, 36718, 3B8F16.
2.1-кесте
Негізі
n=2
n=3
n=8
n = 16

Атауы
екілік
үштік
сегіздік
он алтылық

Алфавит
0, 1
0, 1, 2
0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7
0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
9

Кез келген q негізді санау жүйесінде разряд бірліктері ретінде q
санының тізбектелген көрсеткіштері қолданылады. q негізді санау жүйесінде
сандарды жазу үшін 0,1,. . . q-1 сандарын бейнелейтін әр түрлі q белгісі қажет.
Берілген санды төмендегідей өрнектеуге болады, бұл - санды жазудың
жайылған түрі деп аталады
Aq = (an-1 qn-1 + an-2 qn-2 +…+ a0 q0 + a-1 q-1 +…+ a –m q-m).
Мұндағы Aq - берілген сан, q - санау жүйесінің негізі, аі - санау
жүйесіндегі цифрлар, n - бүтін бөліктегі разрядтар саны, m - бөлшек бөліктегі
разрядтар саны.
Мына түрдегі санның жазылуы оралған түрі деп аталады
Aq = an-1an-2…a1a0a-1…a –m,
Ол кәдімгі жағдайда қолданылады.
М 2.3. А10 = 4718,63 санды жайылған түрде жазыңыз.
Шешім.
А10 = 4103 + 7102 + 1101 + 8100 + 610-1 + 310-2.
М 2.4. A8 = 7764,1 санды жайылған түрде жазыңыз.
Шешім. A8 = 783 + 782 + 681 + 480 + 18-1.
М 2.5. А16 = 3AF санды жайылған түрде жазыңыз.
Шешім. А16 = 3163 + 10161 + 15160.
М 2.6. Мына барлық сандарды 1123, 1011012, 15FC16, 101,112 ондық
жүйеге ауыстырыңыз.
Шешім.
1123 = 132 + 131 + 230 = 9 + 3 + 2 = 1410,
1011012 = 125 + 024 + 123 + 122 + 021 + 120 = 32 + 8 + 4 + 1 = 4510,
15FC16 = 1163 + 5162 + 15161 + 12 = 4096 + 1280 + 240 + 12 = 562810,
101,112 = 122 + 021 + 120 + 12-1 + 12-2 = 4 + 1 + 1/2 + 1/4 = 5 + 0,5 + 0,25 = 5,7510.
М 2.7. Ондық емес ауылдың тұрғындарында 120 бас ірі мал бар, олардың
ішінде 53 сиыр және 34 бұқа бар. Ауыл тұрғындары қандай санау жүйесін
пайдаланады: негізі 4, 5, 6 немесе 7?
Шешім. Берілген сандарда ең үлкен цифр – 5. Сондықтан ол анықталатын
санау жүйесінің алфавитіне кіріп отыр. Онда санау жүйесінің негізі 5-тен артық
болу керек. Есепті 6 мен 7 негізін ауыстырып қою әдісі арқылы немесе
математикалық түрде шешуге болады.
Анықталатын санау жүйесінің негізін х деп алып келесі теңдікті жазамыз:
120x = 53x + 34х.
10

Оң және сол жақтағы сандарды ондық санау жүйесіне ауыстырғаннан
кейін мына теңдікті аламыз х2 + 2х = 5х + 3 + 3х + 4. Өзгерістерді жүргізіп х2 6х - 7 = 0 теңдеуді аламыз, оның түбірі х = 7.
2.2 Бүтін ондық сандарды басқа санау жүйелеріне ауыстыру
1. Берілген санды және толымсыз бөлшектерді біртіндеп жаңа санау
жүйесінің негізіне бөлу қажет. Бұл амалдарды бөлгіштен (жаңа санау жүйесінің
негізінен) кіші толымсыз бөлшек шыққанша орындау қажет.
2. Алынған қалдықтар берілген санның жаңа санау жүйесіндегі түрін құрайды.
3. Соңғы бөлшектен бастап, жаңа санау жүйесіндегі санды жазу керек.
М 2.8. 3710 санды екілік санау жүйесіне ауыстырыңыз, ал 31510 санды сегіздік және он алтылық санау жүйесіне.
Шешім.

Осыдан шығады 3710 = 1001012, 31510 = 4738 = 13В16.
М 2.9. 32510 = 1010001012
Шешім.
325 2
-324 162 2
1
81 2
162
0 -80
40 2
1 -40
20 2
0 -20
10 2
0 -10
5 2
0
-4
2 2
1 -2 1
М 2.10. 2510 саны екілік санау жүйесінде қалай жазылады?
Шешім.

2510=100112.

25 2
24
12 2
1 -12
6 2
0
-6
3 2
0
-2
1
1
11

2.3 Бөлшек ондық сандарды басқа санау жүйелеріне ауыстыру
1. Берілген санды көбейтіндінің бөлшек бөлігінің разрядтарының мәндері
нөлге тең болғанша (берілген дәлдік алынғанша) бірнеше рет жаңа санау
жүйесінің негізіне көбейту керек.
2. Алынған көбейтінділердің бүтін бөліктері берілген санның жаңа санау
жүйесіндегі түрін құрайды.
3. Жаңа санау жүйесіндегі санның дұрыс бөлшегінің разряд мәндері
ретінде ең бірінші шыққан бүтін бөліктен бастап соңғы шыққан бүтін бөлікке
дейін алу керек.
М2.13.
0,710 ≈ х 2

М2.11. 0,562510 = 0,10012.
Шешім.
0,
х
1
х
0
х
0
х
1

Шешім.

5625
2
1250
2
2500
2
5000
2
0000

0,
х
1
х
0
х
1
х
1
х

Әрине бұл процесті шексіз жалғастыра
беруге болады. Процесті қажетті есептеу
дәлдігін (үтірден кейін таңбалар саны)
алынған кезде аяқтайды).
0,710 ≈ 0,10110 2

0
…

7
2
4
2
8
2
6
2
2
2
4

М 2.12. Бөлшек ондық санды 0,1875 екілік, сегіздік және он алтылық
санау жүйесіне ауыстырыңыз.
Шешім.

Мұнда вертикаль сызық санның бүтін бөлігін бөлшек бөлігінен
ажыратады. Осыдан 0,187510 = 0,00112 = 0,148 = 0,316.
12

Аралас сандардың өрнектеуі екі сатыдан тұрады. Бастапқы санның бүтін
және бөлшек бөліктері жеке-жеке сәйкес алгоритмдер арқылы өрнектеледі.
Нәтижеде, жаңа санау жүйесіндегі санның бөліктері үтір арқылы ажыратылады.
Мысалы, 315,1875 сегіздік және он алтылық санау жүйесіне ауыстырғанда,
бүтін жағын 315 (М 2.8 сәйкес) және бөлшек жағын 0,1875 (М 2.12 сәйкес) жеке
ауыстырамыз. Аламыз 315,187510 = 473,148 = 13В,316.
2.4 Екілік сандарды 2n негізі бар санау жүйелеріне ауыстыру
Екілік бүтін санды q=2n (4, 8, 16 және т.с.с.) негізді санау жүйесінде
өрнектеу үшін мына жұмыс түрлерін орындау керек:
1) берілген екілік санын он жақтан сол жаққа қарай n цифрдан тұратын
топтарға бөлу керек;
2) егер сол жақтағы соңғы топтағы цифрлар саны n-нен аз болса, санның
орны сол жағынан нөлдермен толықтырылады;
3) әрбір топ n-разрядтық екілік сан ретінде қарастырылып, q=2n негізді
санау жүйесіндегі сәйкес санмен белгіленеді.
М 2.14. 11001010011010101112 санды сегіздік санау жүйесіне ауыстырыңыз.
Шешім. Санды оң жағынан бастап үш цифрлы топтарға (триадаға)
бөлеміз (себебі q = 8, 8 = 2n, n = 3). Сәйкес сегіздік цифрларды жазамыз:
001
1

100
4

101
5

001
1

101
5

010
2

111
7

және аламыз 11001010011010101112 = 14515278.
М 2.15. 11001010011010101112 санды он алтылық санау жүйесіне
ауыстырыңыз.
Шешім. Санды оң жағынан бастап төрт цифрлы топтарға (тетрадаға)
бөлеміз (себебі q = 16, 16 = 2n, n = 4). Сәйкес он алтылық цифрларды жазамыз:
0110
6

0101
5

0011
3

0101
5

0111
7

және аламыз 11001010011010101112 = 6535716.
М 2.16. Егер осындай теңдік 175x = 7D16 орын алса, санау жүйесінің
негізінің х мәні канша болады?
Шешім. 175x және 7D16 сандарды ондық санау жүйесінде жазамыз:
175x = x2 + 7х + 5, 7D16 = 716 + 13 = 125.
Осы сандар тең болғандықтан, онда x2 + 7х + 5 = 125.

13

Алынған квадраттық теңдеудің түбірлері: х = 8 және х = -15 (бұл түбір
келмейді, өйткені санау жүйесінің негізі теріс шама болмайды). Сондықтан
санау жүйесінің негізі 8-ге тең.
q = 2n негізі бар санау жүйесіндегі кез келген санды екілік санау жүйесіне
өрнектеу үшін, осы санның әрбір цифрын екілік санау жүйесіндегі n-разрядтық
эквивалентімен ауыстыру қажет.
Компьютерлік ақпарат үшін жиі қолданылады 8 (сегіздік) немесе 16 (он
алтылық) негізі бар жүйелер.
М 2.17. Екілік санды
1101111010111011112
он алтылық санау жүйесіне ауыстырыңыз.
Шешім. Берілген санды оң жағынан бастап төрт цифрлы топтарға
бөлеміз. Егер сол жақтағы соңғы топтағы цифрлар саны төртен кем болса, онда
оны нөлдермен толтырамыз:
0011 0111 1010 1110 1111.
Енді нөлден және бірден тұратын әрбір екілік топты сәйкес он алтылық
цифрымен ауыстырамыз: 3 7 А Е F.
Сонымен, 1101111010111011112 = 37AEF16.
2.5 Сандарды қосу
Әр түрлі санау жүйеде жазылған сандарды қосқанда оларды бір санау
жүйесіне ауыстыру керек (нәтижесінің санау жүйесіне аустырған ыңғайлы).
М 2.18. Ондық санау жүйесінде қосындының мәнін табыңыз:
102+108+1016 = ?10
Шешім.
Барлық сандарды ондық санау жүйесіне ауыстырамыз:
102+108+1016 = (1*21+0*20) + (1*81+0*80) + (1*161+0*160) = 2+8+16=2610.
М 2.19. x+y қосындыны табыңыз, егер x=11101012 , y=10110112. Жауапты
сегіздік санау жүйесінде беріңіз.
Шешім.
Кесте көмегімен қосындыны табамыз: 11101012 + 10110112 :
Бірлікті толықтырып жазу
Бірінші қосылғыш
Екінші қосылғыш
Қосынды
11101012 + 10110112 = 110100002
14

1
1
1
1 1

1
1
0
0

1
1
1
1

1
0
1
0

1
1
0
0

1
0 1
1 1
0 0

Алынған санды екілік санау жүйесінен сегіздік санау жүйесіне
ауыстырамыз:
11 010 000 → 3208.
3

2

0

М 2.20. Кейбір негізі бар санау жүйесінде 12 саны 110 түрде жазылады.
Осы негізін табыңыз.
Шешім.
Қажетті негізін n деп белгілейік. Позициялық санауда сандарды жазу
ережесі бойынша 110n=n2+n1+0. Теңдеу құрастырамыз: n2+n=12, түбірлерін
табамыз: n1=-4, n2=3. n1=-4 түбірі келмейді, өйткені санау жүйесінің негізі
бірден үлкен натурал сан. Екінші түбірдің n=3 келетінін тексереміз:
1103=1*32+1*31+0=9+3=1210
Жауап: 3.
М 2.21. Класта 11112 қыз және 11002 ұл бала оқиды. Класта неше оқушы бар?
Шешім.
11112=1*23+1*22+1*21+1*20→8+4+2+1=1510.
11002=1*23+1*22+0*21+0*20→8+4=1210
1510+1210=2710
Жауап: класта 27 оқушы.
М 2.22. 17 санының жазуы 2-ге аяқталатын санау жүйелерінің негізін өсу
ретімен жазыңыз.
Шешім.
Санның жазуында соңғы цифр - бұл санау жүйесінің негізіне бөлудің
қалдығы. 17-2=15 болғандықтан, ізделіп отырған санау жүйелерінің негіздері
15-тің бөлгіші болып табылады, бұл: 3, 5, 15.
17-ні сәйкес санау жүйелерінде жазып жауапты тексерейік:
17 3
5 2
15
2 -4
2 2
1 -2 1
0

17
15
2

1710 = 10123

1710 = 1125

Жауап: 3, 5, 15.

15

5
3
-2
1

2
1

17 15
- 1
15
2

1710 = 1215

ӨЗІНДІК ЖҰМЫС ТАПСЫРМАЛАРЫ
Ондық санды Х10 екілік санға Y2 ауыстырыңыз (Х10  Y2), екілік санды Х2
сегіздік санға Y8 ауыстырыңыз (Х2  Y8), ондық санды Y10 (Х2  Y10) он
алтылық санға Y16 ауыстырыңыз (Х2  Y16).
2.1. Х10 = 35,2510, Х2 = 101011012.
2.2. Х10 = 22,37510, Х2 = 1111010102.
2.3. Х10 = 39,7510,

Х2 = 1101010112.

2.4. Х10 = 18,62510, Х2 = 1101011012.
2.5. Х10= 17,37510, Х2 = 1101101112.
2.6. Х10 = 28,510,

Х2 = 1001011012.

2.7. Х10 = 30,7510,

Х2 = 1010101112.

2.8. Х10 = 21,2510,

Х2 = 1101010112.

2.9. Х10 = 24,12510, Х2 = 11010110012.
2.10. Х10 = 44,12510, Х2 = 110101112.
2.6 Символдық ақпаратты ұсыну
Символдық ақпаратты (алфавит әріптері және басқа символдар) ұсыну
ережесінің мағынасы мынадай – компьютерде әрбір символға екілік код (нөль
мен бірдің жиынтығы) сәйкестендіріледі.
Мысалы, 1 бит (0, 1 мәнің алатын) 2 символды кодтай алады, 2 бит (00,
01, 10, 11) – 4 символды, 3 бит (000, 001, 010,100, 011,101,110,111) – 8
символды, және n бит - 2n символды. N символды кодтау үшін минимал бит
саны n мына формула арқылы анықталады
N  2n.

(2.1)

Символды мәліметтермен келесі амалдар жүргізуге болады: екілік
кодтарды салыстыру (>, <, =, ), мәтінді қосылу және жеке символдарға
немесе символдар тобына бөлу.
Символдық (мәтіндік) ақпаратты компьютер ішінде ұсыну үшін 256
символы бар алфавит пайдаланады. Осындай алфавиттің бір символы жадта 8
бит немесе 1 байт алады.
Символдар мен және олардың компьютер алфавитіндегі рет санының
арасындағы сәйкестікті анықтайтын кесте кодтау кестесі деп аталады.
16

Компьютер алфавитінің барлық символдары 0 ден 255-ке дейін
нөмірленген. Әрбір нөмірге 8-разрядты екілік коды сәйкес: 00000000 ден
11111111-ге дейін. Дербес компьютерлер үшін халықаралық стандарт ретінде
ASCII (American Standard Code for Information Interchange) - Ақпараттық
алмасу үшін Америкалық стандартты код деп аталатын кодтау кестесі болды.
Бұл кестеде стандартты тек алғашқы 128 символ болады, яғни нөмірлері
нөлден (екілік код 00000000) 127-ге (01111111) дейін символдар. Мұнда кіреді
латын алфавиттың әріптері, цифрлер, тыныс белгілері, жақшалар және кейбір
басқа символдар. Қалған 128 код, 128-ден (екілік код 10000000) бастап 255-пен
аяқталатын (11111111), ұлттық алфавиттерді (мысалы, кестенің осы бөлімінде
қазақ алфавиттің әріптері орналасады), псевдографика символдарды және ғылыми
символдарды (мысалы, >, < немесе  символдар) кодтау үшін пайдаланады.
Алфавитті тізбектік (жүйелі) кодтау принципы: ASCII кодтық кестеде
латын әріптері (бас және кіші әріптер) алфавит ретімен орналасады. Цифрлер де
мәндері өсу бойынша реттелген. Бұл ереже басқа кодтау кестелерде де орын
алады. Сондықтан, символдық ақпарат үшін машиналық ұсынуда да «алфавит
реті» деген ұғым сақталынады.
Қазір көбінесе жаңа стандарт пайдаланады – Unicode. Бұл стандарт әрбір
символдың кодтауын екі байтпен анықтайды.
М 2.24. 33 кіші және бас әріпті кодтау үшін қанша бит саны қажетті.
Шешім. Барлығы кодтау керек N = 66 әріп, ол үшін (2.1) теңсіздікке
сәйкес
66  27
n = 7 бит қажет болады.
М 2.25. ABBA сөзді екілік, ондық және он алтылық кодпен кодтаңыз.
Шешім. 1) екілік кодта:
АВВА2 = 01000001 01000010 01000010 01000001;
2) ондық кодта:
А10 = 027 + 126 + 025 + 024 + 023 + 022 + 021 + 120 = 65,
В10 = 027 + 126 + 025 + 024 + 023 + 022 + 121 + 020 = 66,
АВВА10 = 65666665;
3) он алтылық кодта:
А16 = 41, В16 = 42,
АВВА16 = 41424241.
М 2.26. Кодтық кестеде максимал символдар саны қанша болу мүмкін,
егер сақтаған кезде осы кестенің бір символы жадтың 10 битын алатын болса?
Шешім. Мына формуланы пайдаланамыз 2i = N, мұнда i = 10 бит. Сонда
N = 210 = 1024 - кодтық кестедегі символдар саны.
17

М 2.27. Берілген сөздерден ASCII кодтау кестедегі ең үлкен символдар
кодтарының қосындысын алатын сөзді таңдап алыңыз: окно; кино; ника; конь;
ночь.
Шешім. Осы есепті шешкен кезде алфавитті тізбектік (жүйелі) кодтау
принципі пайдаланады. Кодтау кестеде әріптер алфавит ретімен орналасады.
Сондықтан әрбір әріптің кодын білмесе де болады. Мысалы, «кино» және
«ника» сөздерін салыстырайық. Олар тек бір әріппен айрықша болады. «о»
әріптің коды (нөмірі) «а» әріптің кодынан үлкен. Осыдан «кино» сөздің
символдар кодының қосындысы үлкенірек болады. Осылай басқа сөздерді де
талдауға болады. Ең үлкен кодтар қосындысы «ночь» сөзінде болады.
М 2.28. Микропроцессор деген сөз компьютер жадының қанша битын
алады?
Шешім. Сөз 14 әріптен тұрады. Әрбір әріп компьютер алфавитінің
символы болып табылады және 1 байт жадын алады. Сөз жадынан 14 байт =
112 бит алады, өйткені 1 байт = 8 бит.
М 2.29. Кодтау кестеде i әріптің ондық коды 105. Ондық кодтар
жүйелілікпен 108 105 110 107 не шифрланған?
Шешім. Берілген жүйелілікті ашып оқығанда символдарды кодтау кестені
пайдаланбаса да болады. Алфавитті тізбектік кодтау принципін және латын
алфавитіндегі әріптер ретін еске алу керек: i, j, k, l, m, n, о және т.б. j әріптің
коды 106, k - коды 107 және т.б. Демек, кодталған сөз link.
М 2.30. Ондық кодтар 99 111 109 112 117 116 101 114 тізбегі көмегімен
computer сөзі шифрланған. Егер бұл сөз бас әріптер арқылы жазылса, ондық
кодтар тізбегі қандай болады?
Шешім. Сөзді шифрланған кезде символдар кодтау кестесін пайдаланбаса
да болады. Тек кіші әріптің ондық кодының және оған сәйкес бас әріптің ондық
кодының арасындағы айырмашылық 32-ге тең болғаның ұмытпау керек. Егер с
әріпке 99 коды сәйкес болса, онда С бас әріптің ондық коды 67 = 99 - 32.
Сондықтан COMPUTER сөзіне сәйкес болатын кодтар тізбегі
67 79 77 80 85 84 69 82.
М 2.31. Екілік кодтар тізбегі 01110011 01110100 01101111 01110000 stop
сөзге сәйкес. Осы сөздің ішкі он алтылық ұсынуын құрыңыз.
Шешім. Әрбір он алтылық цифрды төрт таңбалы екілік санмен көрсетуге
болатынын еске алу керек, яғни 01110011 екілік кодқа екі он алтылық цифр
сәйкес болады: 7 (0111) және 3 (0011). Сондықтан он алтылық кодтың түрі
73 74 6F 70.

18

ӨЗІНДІК ЖҰМЫС ТАПСЫРМАЛАРЫ
2.11. Мәтін компьютер жадының 0,25 Кбайт алады. Бұл мәтінде қанша
символ бар?
2.12. ASCII символдар кодтау кестесінде е әріптің ондық коды (нөмірі)
тең 101. Ондық кодтардың қандай тізбегі мына сөздерге сәйкес болады: 1) file;
2) help?
2.13. ASCII символдар кодтау кестесінде о әріптің ондық коды (нөмірі)
тең 111. Ондық кодтар тізбегі көмегімен не шифрланған:
1) 115 112 111 114 116; 2) 109 111 117 115 101?
2.14. ASCII символдар кодтау кестесінде i әріптің ондық коды (нөмірі)
тең 105. Бас әріптермен жазылған INFORMATION сөзге қандай ондық кодтар
тізбегі сәйкес болады?
2.15. Ондық кодтар тізбегі көмегімен
66 65 83 73 67
BASIC сөзі шифрланған. Кіші әріптермен жазылған осы сөзге қандай ондық
кодтар тізбегі сәйкес болады?
2.16. ASCII кестеде ең кіші кодтар қосындысын алатын мәтін фрагментін
таңдап алыңыз: 2b2d; файл; file; 1999; 2001.
2.17. ASCII символдар кодтау кестесін пайдаланып, он алтылық кодтар
көмегімен келесі сөздерді кодтаңыз: 1) Norton; 2) Manager.
2.l8. ASCII символдар кодтау кестесін пайдаланып, символдардың он
алтылық кодтар түрінде жазылған мәтінді ашып оқыңыз:
1) 57 69 6Е 64 6F 77 73 2D 39 35;
2) 63 6F 6D 65 2D 4F 4Е 2D 6С 69 6Е 65.
2.19. ASCII символдар кодтау кестесін пайдаланып, екілік кодтар
көмегімен келесі сөздерді кодтаңыз: 1) EXCEL; 2) Word.
2.20. Он алтылық коды бойынша екілік кодты қалпына келтіріңіз және
символдар кодтау кестесін пайдаланып мына сөздерді ашып оқыңыз:
1) 42 61 73 69 63;

2) 50 61 73 63 61 6С.
19

2.7 Графикалық ақпаратты ұсыну
Графикалық ақпарат бұл пиксел деп аталатын нүктелерден жасалынған
бейне. Бейненің сапасы бейнені құрайтын нүктелер мен түстер санына тәуелді.
Пиксель — экрандағы (экрандағы нүкте) бейненің ең кіші элементі.
Растр — экрандағы тікбұрышты пикселдер торы.
Экранның аыйру қабілеті — растр торының мөлшері, ол көбейтінді
түрінде беріледі MN, мұндағы М — горизонтал бойынша нүктелер саны, N —
вертикал (жолдар саны) бойынша нүктелер саны. Айыру қабілетінің негізгі
мәндері: 640x480, 800x600, 1024x768, 1280x1024.
Видеоақпарат — компьютер экранына шығатын бейне туралы ақпарат,
компьютерлік жадында сақталынады.
Видеожад — бейнені экранға шығарған кезде видеоақпаратты сақтайтын
жедел жад.
Графикалық файл — бұл графикалық ақпаратты сақтайтын файл.
Нүктенің түсін кодтау үшін бит саны биттік түс тереңдігі деп аталады.
Биттік түс тереңдігінің ең жиі таралған мәндері 4, 8, 16 және 24 бит бір
нүктеге. Түстер санын мына формула арқылы есептеуге болады N = 2i, мұндағы
i — биттік түс тереңдігі.
Түсті кодтау кезінде көбінесе екі түс моделі пайдаланылады: RGB (R, Red
— қызыл; G, Green — жасыл; В, Blue — көк) және CMYK (С, Cyan — көк; М,
Magenta — қызылкүрен; Y, Yellow — сары; К, Black — қара).
М 2.32. Бейненің төрт парағын сақтау үшін видеожадының қандай көлемі
қажет? Дисплейдің айыру қабілеті 640x480 нүкте, пайдаланатын түстер саны — 32.
Шешім. 1) N = 2i, 32 = 2i, i = 5 бит — түс тереңдігі;
2) 64048054 = 6144000 = 750 Кбайт — видеожад көлемі.
М 2.33. Видеожад көлемі 1875 Кбайт және ол екі параққа бөлінген. Егер
монитор экранының айыру қабілеті 800x600 болса, қанша ең үлкен түстер
санын пайдалануға болады?
Шешім. 1) 187510248 = 30720000 бит — видеожад көлемі;
2) 30720000 : 800 : 600 : 2 = 16 бит — түс тереңдігі;
3) N = 2i = 216 = 65536 — ең үлкен түстер саны.
М 2.34. 265-түсті суретте 1 Кбайт ақпарат бар. Бұл сурет неше нүктеден
тұрады?
Шешім. 1) N = 2i, 256 = 2i, i = 8 бит — бір нүктенің ақпараттық көлемі;
2) 10248 = 8192 бит — бейне көлемі;
3) 8192 : 8 = 1024 нүкте — бейнедегі.
М 2.35. Графикалық бейнені өзгерткеннен кейін түстер саны 256-дан
32-ге дейін азайды. Орын алатын жад көлемі неше есе азайды?
Шешім. 1) N1 = 2i, 256 = 2i, i1 = 8;
2) N2 = 2i, 32 = 2i, i2 = 5;
3) i1/i2 = 8/5 = 1,6 есе.
20

ӨЗІНДІК ЖҰМЫС ТАПСЫРМАЛАРЫ
2.21. Егер дисплейдің айыру қабілеті 640x350 пиксел, ал пайдаланатын
түстер саны – 16 болса, бейненің екі парағын сақтау үшін видеожадының
қандай көлемі қажет?
2.22. Егер дисплейдің айыру қабілеті 800x600 пиксел, ал биттік тереңдігі
24 болса, бейненің төрт парағын сақтау үшін видеожадының қандай көлемі
қажет?
2.23. Егер видеожад екі параққа бөлінсе, видеожад көлемі 1 Мбайт.
Дисплейдің аыйру қабілеті – 800x600. Қанша ең үлкен түстер саның
пайдалануға болады?
2.24. Биттік тереңдігі 32, видеожад екі параққа бөлінеді, дисплейдің
айыру қабілеті – 800x600. Видеожад көлемін есептеңіз.
2.25. Егер 256-түсті палитраны пайдаланатын болсақ, видеожад көлемінде
мөлшері 640x480 пиксел 4-түсті бейне сақталыну мүмкін. Осы видеожад
көлемінде қандай мөлшерді бейнені сақтауға болады?
2.26. Монитор экранында 1024 сұр түстің реңктерін алу қажет. Түс
тереңдігі қандай болу керек?
2.27. егер видеожад екі параққа бөлінсе, видеожад көлемі – 2 Мбайт,
дисплейдің айыру қабілеті 800x600. Экранда сұр түстің қанша реңктерін алуға
болады?
2.28. Видеожад көлемі тең 2,5 Мбайт, түс тереңдігі – 16, монитор
экранының айыру қабілеті – 640x480 нүкте. Осы жағдайда пайдалануға
болатын ең үлкен парақтар санын табыңыз.
2.29. Егер 512-түсті палитраны пайдаланатын болсақ, видеожад көлемінде
мөлшері 640x350 нүкте 8-түсті бейне сақталыну мүмкін. Осы видеожад
көлемінде қандай мөлшері бар бейнені сақтауға болады?
2.30. Графикалық бейнені өзгерткеннен кейін түстер саны 256-дан 65536ға дейін өсті. Орын алатын жад көлемі неше есе көбейді?

21

3 ЛОГИКА АЛГЕБРАСЫНЫҢ НЕГІЗГІ ҰҒЫМДАРЫ
Логикалық мәліметтерді компьютерде ұсыну үшін буль алгебрасы
пайдалынады – бұл формалды математикалық жүйеге элементтер, олармен
жүргізілетін амалдар және логика заңдары кіреді. Буль алгебрасының
элементтер жиыны бинарлық болып алынады: {0, 1}. 0 немесе 1 мәнін алатын
айнымалыларды бульдік деп атаймыз және латын алфавитінің бас әріптерімен
белгілейміз А, В, С,..., X, Y, Z. Буль алгебрасының негізгі амалдары:
1. Логикалық көбейту — конъюнкция (, , •, ЖӘНЕ (И), AND).
2. Логикалық қосу — дизъюнкция (, +, НЕМЕСЕ (ИЛИ), OR).
3. Логикалық терістеу — инверсия (, , ЕМЕС (НЕ), NOT).
3.1-кесте
X
1
1
0
0

Y
1
0
1
0

XY
1
0
0
0

XY
1
1
1
0

X
0
0
1
1

XY
0
1
1
0

XY
1
0
1
1

XY
1
0
0
1

3.2-кесте
Өрнек
1. А  В = В  А
2. A  В = В  А
3. А  (В  С) = (А  В)  С
4. A  (В  С) = (A  В)  С
5. A  (В  C) = (A  В)  (A  С)
6. А  (В  С) = (А  В)  (А  С)
7. А  А = А
8. A  А = А
9. А  0 = 0
10. А  1 = А
11. A  0 = А
12. A  1 = 1
13. 1 = 0
14. 0 = 1<