Авторлық бағдарлама "Математикалық сауаттылық негіздері"

3

ТҮСІНІК ХАТ

Қазіргі таңдағы білім беру саласындағы ең өзекті мәселелердің бірі –ол
оқушының алған білімін күнделікті өмірде тиімді пайдалана алуы. Осы
тұрғыдан қарағанда математикалық сауаттылық есептерінің орны ерекше деп
ойлаймын.
Математикалық сауаттылық – математиканың әлемдегі рөлін анықтау
және түсіну, әр түрлі формада берілген сандық ақпараттарды оқу, талдау,
түсіндіріп беру, дұрыс негізделген математикалық пайымдаулар айту, есептерді
шығарудың тиімді тәсілдерін табу, орындау, өзін-өзі тексеру, өмірмен
байланыстыру, математикалық білімді өмірлік жағдаяттарда кездесетін түрлі
мәселелелерді шешуде еркін қолдану болып табылады.
Курс мазмұны қазіргі таңдағы еліміздегі өзгерістер, тұрақты дамудың жаңа
стратегиялық бағыттары және қоғамның ашықтығы, оның жедел ақпараттануы,
қарқындылығы білім беруге қойылатын талаптарды түбегейлі өзгертті. Білім
берудің жаңа үлгісін ендіру тұлғаны дамыту үдерісі ретінде тәрбиеге басты
назар аударылуда. Оқушылардың мектепте алған білімдері мен тәжірибелерін
өмірде қолдана ала ма?- деген сұраққа жауап іздеу.
10-11сынып оқушыларына ұсынылып отырған бағдарламада білім
саласының жаңаша міндеттері айқын көрініс тауып, атап айтқанда, мектеп
оқушыларының функционалдық сауаттылығы оқушының пәнді терең түсіну
қабілетін дамытуға, алған білімін сыныптан тыс жерде, кез келген жағдайда
тиімді пайдалана білуін қамтамасыз етуге, яғни, оқушылардың мектепте алған
білімдерін өмірде тиімді қолдануына үйретуге бағытталады.
Курста қарастырылатын сұрақтар негізгі курспен тығыз жанасады және
оқушылардың танымдық белсенділігін қанағаттандыруға мүмкіндік береді.
Сонымен қатар, аталмыш таңдау курсы мектеп бағдарламасында көрсетілген
маңызды математикалық білім мен дағдыларын жетілдіруге және дамытуға
әсер етеді, математикадан мүмкіндіктерін бағалауға және болашақтағы оқу
бейінін дұрыс сезініп таңдауға көмектеседі.
Ұсынылып отырған бағдарлама математикадан негізгі базалық білімі
қалыптасқан жалпы білім беретін мектептердің 10-11 сынып оқушыларына
толық білім беруді көздейді.

4

Курстың мақсаты:

Жаңартылған білім беру аясында оқушлыардың математикалық
сауаттылық есептерін өмірмен байланыстыра отырып, тиімді тәсілдермен
шығару арқылы танымдық-шығармашылық қабілеттерін арттыру.

Курстың міндеті:

- Оқушылардың теоиялық білімдерін логикамен ұштастыру .
- Логикалық ойлау қабілеттерін дамыту.
- Алған білімдерін күнделікті өмірде тиімді пайдалану.
- Есеп шығаруда тиімді жағын көруге баулу.
- Баспасөз материалдарымен, терминдермен жұмыс жасау.

Күтілетін нәтиже:

- Оқушылардың теоиялық білімдерін логикамен ұштастыра біледі.
- Есеп шығаруда тиімді жағын көре біледі.
- Алған білімдерін күнделікті өмірде тиімді пайдалана алады.
- Баспасөз материалдарымен, терминдермен жұмыс жасай алады.

Қолданылатын технология:
Сыни тұрғыдан ойлау, жобалау, Шаталовтың тірек – сызбалары.

5

БАҒДАРЛАМАНЫҢ МАЗМҰНЫ
(Барлығы – 34 сағат, аптасына – 1 сағат)

Оқытылатын курс бағдарламасы

Логикалық есептер ( 10сағ)

Заңдылықты анытқау (келесі қандай сан?) есептері, сандардың
бөлінгіштігіне берілген есептер, логикалық амалдар арқылы шығарылатын
есептер, ұлттық мазмұндағы логикалық есептер, ребус түріндегі логикалық
есептер, санды және сиқырлы шаршылармен берілген логикалық есептер,
дәреженің соңғы цифран анықтау есептері, газет және кітап беттерін
нөмірлеуге арналған есептер.

Пропорция және пайыз (8 сағ)

Пропорция қасиеттері арқылы шығарылатын сауаттылық есептері ,
Пайызбен берілген сауаттылық есептері,банкке салынған қаржының күрделі
проценттік өсу формуласы арқылы шығарылатын есептер, геометриялық
фигуралардың боялған және боялмаған бөліктерінің пайызын табуға арналған
сауаттылық есептері, концентрация мен пайыздық қатынасқа берілген
есептер,шамаларды пайыздық салыстыру есептері.
Мәтінді есептер (7 сағ)

Қозғалысқа берілген есептер ,бірлесіп жұмыс істеуге берілген есептер,
сандарға байланысты берілген мәтінді есептер,Статистикалық деректер және
олардың сипаттамаларына берілген мәтінді есептер , адамның жасын есептеуге
арналған есептер,экономикалық мазмұндағы мәтінді есептер.
Комбинаторика есептері және ықтималдық (9 сағ)

Элементар оқиғалар кеңістігі ,кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы және
оның қасиеттері , геометриялық ықтималдық , ойын сүйегі мен тиынды
лақтыруға байланысты ықтималдық есептері, оқиғаларды Эйлер
диаграммасында бейнелеуге арналған есептер, комбинаторика формулаларын
оқиғалардың ықтималдықтарын есептеуге қолдану.

6

БАҒДАРЛАМАНЫҢ КҮНТІЗБЕЛІК ЖОСПАРЫ

№ МАЗМҰНЫ Сағат
саны
Логикалық есептер (10 сағат)
1 Кіріспе.Математикалық сауаттылық негіздері 1
2 Заңдылықты анытқау (келесі қандай сан?) есептері 1
3 сандардың бөлінгіштігіне берілген есептер 1
4 Логикалық амалдар арқылы шығарылатын есептер 1
5 Ұлттық мазмұндағы логикалық есептер 1
6 Ребус түріндегі логикалық есептер 1
7 Санды және сиқырлы шаршылармен берілген логикалық есептер 1
8 Дәреженің соңғы цифрын анықтау есептері 1
9 Газет және кітап беттерін нөмірлеуге арналған есептер. 1
10 Тест тапсырмалары 1
Пропорция және пайыз (8 сағ)
11 Пропорция қасиеттері арқылы шығарылатын сауаттылық есептері 1
12 Пайызбен берілген сауаттылық есептері 1
13 Банкке салынған қаржының күрделі проценттік өсу формуласы арқылы
шығарылатын есептер
1
14 Геометриялық фигуралардың боялған және боялмаған бөліктерінің
пайызын табуға арналған сауаттылық есептері
1
15 Концентрация мен пайыздық қатынасқа берілген есептер 1
16 Шамаларды пайыздық салыстыру есептері. 1
17 Тест тапсырмалары 1
18 Жоба қорғау 1
Мәтінді есептер ( 7 сағ)
19 Қозғалысқа берілген есептер 1
20 Бірлесіп жұмыс істеуге берілген есептер 1
21 сандарға байланысты берілген мәтінді есептер 1
22 Статистикалық деректер және олардыңсипаттамаларына берілген
мәтінді есептер
1
23 Адамның жасын есептеуге арналған есептер 1
24 Экономикалық мазмұндағы мәтінді есептер 1
25 Тест тапсырмалары 1
Комбинаторика есептері және ықтималдық (9 сағат)
26 Элементар оқиғалар кеңістігі 1
27-28 Кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы және оның қасиеттері 2
29 Ойын сүйегі мен тиынды лақтыруға байланысты ықтималдық есептері 1
30 Оқиғаларды Эйлер диаграммасында бейнелеуге арналған есептер 1
31-32 Комбинаторика формулаларын оқиғалардың ықтималдықтарын
есептеуге қолдану
2

33 Тест тапсырмалары 2
34 Жоба қорғау 1

7

Заңдылықты анытқау (келесі қандай сан?) есептері

Бұл тақырыпқа берілген есептер белгілі бір заңдылық негізінде құрылады
және сол заңдылықты сақтай отырып, келесі санды табу талап етіледі.
Есептердің бір саласы- арифметикалық және геометриялық прогрессия
есептері болып келеді. Көптеген есептердің заңдылықтары қандай да бір
мазмұнға бағынбайды. Мұндай есептерді тез шығару үшін заңдылықтарды әр
қырынан жылдам ойлануға дағдылану керек. Төменде осы тақырыпқа есептер
қарастырайық.

1-есеп. сандар тізбегі белгілі бір заңдылықпен орналасқан. Сұрақ
белгісінің орнындағы санды табыңыз?
2; 8; 18; 32;50; ?.
Шешуі: Бұл сандар тізбегінің заңдылығы- натурал сандарды (1,2,3,4,...)
квадраттап, 2 санына көбейткенге тең.
1
2
∙2=2
2
2
∙2=8
3
2
∙2=18
4
2
∙2=32
5
2
∙2=50
6
2
∙2=72
Жауабы: 72

2-есеп. сандар белгілі бір заңдылық негізінде құрылған. Сұрақ белгісінің
орныдағы санды табыңыз.
7; 2; 4; 6; 1; 2; ?
Шешуі: сандар тізбегі бірнеше арифметикалық амалдардың қайталанбалы
орындалуы нәтижесінде құрылған.

Демек, 2+2=4
Жауабы: 4

3-есеп. Сұрақ белгісінің орнындағы санды табыңыз?
60; 120; 60; 180; 90; 360; 180; 900; ?; ...

8

Шешуі: 60*2=120
120:2=60
60∙3=180
180:2=90
90∙4=360
360:2=180
180∙5=900
900:2=450
Берілген сандар тізбегіндегі тақ орындағы сандарды ретімен 2; 3; 4; 5;...
сандарына көбейтеміз, ал жұп орындағы сандарды 2-ге бөлеміз.
Жауабы: 450

4-есеп. Сандар белгілі бір заңдылықпен берілген. Жетінші санды
табыңыз? 12; 1112; 3112; 132112; 312213;...
Шешуі: Тізбектегі бірінші санның цифрларын пайдаланып екінші санды
табамыз, екінші санның цифрларын пайдаланып үшінші санды табамыз,
осылай заңдылықты жалғастыра келе жетінші санды табамыз. Нақтырақ
айтатын болсақ, бірінші 12 санында бір 1 және бір 2 бар, яғни 1112. Екінші
1112 санында үш 1 және бір 2 бар, яғни, 3112 саны шығады. Жетінші орындағы
санды табу үшін алтыншы орындағы санды табу керек. Бесінші орындағы
312213 санында екі 1, екі 2 және екі 3 бар, демек, 212223 саны алтыншы
орындағы сан болып табылады. Ал 212223 санында бір 1, төрт 2 және бір 3 бар.
Демек жетініші орындағы санымыз 114213 болады.
Жауабы: 114213
5-есеп. Суреттегі сандар белгілі бір заңдылық негізінде құрылған.
өрнегінің мәнін табыңыз.


Шешуі: бірінші сызбадағы заңдылықты анықтап екінші және үшінші
сызбадағы х пен у-тің мәндерін табамыз. Бірінші сызбада оң және сол
қанаттағы сандар төменнен жоғарыға қарай 3 есе кемиді. Соңында оң және сол
қанаттағы жоғарғы екі сан өзара көбейтіледі.

9

Сол қанатта: 144:3=48 оң қанатта: 180:3=60
48:3=16 60:3=20
16∙20=320
Осы заңдылық бойынша екінші сызбадан: 90:3=30
30:3=10
Демек, х=10 болады.
Үшінші сызба бойынша, 81:3=27
y=27
енді
жауабы:

Тапсырма №1

1. Сұрақ белгісінің орнындағы санды табыңыз. 2; -5; 1 ; 3; -4; 2; 6; ?; ....
А) 2 В) 0 С) 3 D) -1 E) -2
2. Сұрақ белгісінің орнындағы санды табыңыз. -2 ; 1; 6; 13; 22; ? ....
А) 25 В) 33 С) 30 D) 32 E) 40
3. Сұрақ белгісінің орнындағы санды табыңыз. 5; 15; 13; 52; 48; 240; ?; ...
А)246В) 288 С) 190 D) 234 E) 144
4. Сұрақ белгісінің орнындағы санды табыңыз. 1; 2; 6; 24; 120; ?; ...
А)360 В) 720 С) 480 D) 240 E) 144
5. Сұрақ белгісінің орнындағы санды табыңыз. 35; 33; 29; ?; 15; 5;...
А)23 В) 25 С) 20 D) 22 E) 24
6. Сұрақ белгісінің орнындағы санды табыңыз. 4; 20; 80; 240; ?; 480;...
А)360 В) 420С) 480 D) 380 E) 400
7. Сұрақ белгісінің орнындағы санды табыңыз.1296;?; 144; 72; 36; 12;4;...
А)648 В) 324 С) 972 D) 432 E) 216
8. Сұрақ белгісінің орнындағы санды табыңыз.15;18;14;17;13; ?; ?; 15;11;...
А)16; 12 В) 16; 20 С) 18; 16 D) 12; 10 E) 14; 12
9. Төмендегі сандарда белгілі бір математикалық заңдылық бар. Қай сан сол
заң сәйкес келмейді.
A) 84129B) 32418C) 47632D) 36119E) 67626
10. сандар белгілі бір заңдылықпен берілген. Жетінші санды табыңыз?
12; 102; 1002; 10002; ...
А) 112 В) 100002 С) 1000002 D) 10000002 E) 10000012
11. Сұрақ белгісінің орнындағы сандарды табыңыз.
І. 5; 10; 50; 500.

10

ІІ. 3; 6; 18; 108.
ІІІ. 4; 8; 32; 256.
ІҮ. 1; ?; ?; ?.
А) 2; 4; 6 В) 2; 10; 100 С) 2; 2; 4 D) 2; 4; 8 E) 2; 6; 12
12. Сандар тізбегі белгілі бір заңдылыққа бағынады. Қате берілген санды тап.
Сан тізбегі: 5; 7; 12; 18; 31; 50
А) 5 В) 7 С) 12 D) 18 E) 31
13. Суреттегі сандар белгілі бір заңдылық негізінде құрылған. өрнегінің
мәнін табыңыз.


А) В) С) D) 2 E)
14. Заңдылықты бұзып тұрған санды анықтаңыз: 4; 9; 16; 25; 37; 49; 64; 81.
А) 4 В) 9 С) 37 D) 49 Е) 81
15. Төменде берілген сандар белгілі бір заңдылықпен орналасқан. Сұрақ
белгісінің орнына сәйкес келетін санды табыңыз
16; ? ; 10 ; -1 ; -2 ; -13;...
А) 12 В) 5С) 1 D) -5Е) 6
16. Сұрақ белгісінің орнына сәйкес келетін санды табыңыз.
1; 4; 12; 15; ?; 48; 144; ...
А) 18 В) 45С) 30 D) 50Е) 60
17. Сандар тізбегі белгілі бір заңдылыққа бағынады. Қате берілген санды
табыңыз. 8; 24; 10; 36; 18; 54; 27.
А) 8 В) 24 С) 10 D) 36 Е) 18
18. Төмендегі берілген сандардың ішінен сұрақ белгісінің орнына сәйкес
келетін санды табыңыз:

11

А) 67 В) 51 С) 84 D) 47 Е) 61
19. Сандар тізбегі белгілі бір ережеге сәйкес қойылған. Сұрақ белгісінің
орнына сәйкес келетін сан:
А) В) С) D) Е)
20. Сұрақ белігісінің орнындағы санды табыңыз.


A) 46 B) 47 C)48 D) 49 E)50
21. Сұрақ белгісінің орнындағы санды табыңыз.

A) 17 B) 18 C)19 D) 20 E)21
22. Сұрақ белгісінің орнындағы санды табыңыз.


A) 35 B) 36 C)37 D) 38 E)39
23. Алғашқы фигураларда көрсетілген заңдылықты қолдана отырып, сұрақ
белгісінің орнына сәйкес келетін санды табыңыз?

А) 49 B) 36 C) 18 D) 64 E) 81
24. Сұрақ белгісінің орнындағы санды табыңыз.

12


A) 1 B) 3 C) 2 D) 6 E)4
25.Заңдылықты анықтап, х-тің мәнін табыңыз.


A)11 B) 8 C) 7 D)10 E) 6
26.Заңдылықты анықтап, х-тің мәнін табыңыз.
.

A)8 B) 3 C) 7 D)14 E) 12
27. Сұрақ белгісінің орнындағы санды табыңыз.


A) 4 B) 3 C) 6 D) 2 E) 5
28.Заңдылықты анықтап, х-тің мәнін табыңыз.


A)32 B) 31 C)35 D) 33 E) 37

13

Сандардың бөлінгіштігіне берілген есептер

Сандардың бөлінгіштік қасиеттері көп жағдайда натурал сандар үшін
айтылады. Натурал сандардың бөлінгіштік белгілері туралы 5 сынып
математикасынан білеміз. Математикалық сауаттылық есептерінің кейбірі осы
натурал сандардың бөлінгіштік қасиеттерін пайдаланып шығарылатын есептер
болып келеді. Төменде осы натурал сандар және олардың шартты белгілермен
белгіленуі туралы мазмұнға тоқталамыз және осыған қатысты тапсырмалар
орындаймыз.
1. Натурал сандар –n
2. Жұп сандар- 2n
3. Тақ сандар- (2n-1)
4. 2-ге еселік сандар (2-ге бөлінетін сандар)- 2n
5. 3-ке еселік сандар- 3n
6. 4-ке еселік сандар- 4n
7. 5-ке еселік сандар- 5n
... (осылай кез- келген натурал санға еселік санның жалпы формуласын жазуға
болады)
8. 5-ке бөлгенде 1 қалдық қалатын сандар – 5n+1
9. 5-ке бөлгенде 2 қалдық қалатын сандар – 5n+2
10. 5-ке бөлгенде 3 қалдық қалатын сандар – 5n+3
11. 5-ке бөлгенде 4 қалдық қалатын сандар – 5n+4
(кез-келген натурал санды 5-ке бөлгенде қалдық 1,2,3,4 сандардының біреуі
болады. Ал 7-ге бөлгендегі қалдық 1-ден 6-ға дейінгі сандардың біреуі
болады)
12. 2-ге бөлінетін сандар- жұп сандар.
13. 3-ке бөлінетін сандар –цифрларының қосындысы 3-ке бөлінетін сандар.
14. 4-ке бөлінетін сандар- соңғы екі орынды саны 4-ке бөлінетін сандар.
Мысалы, 116 саны 4-ке бөлінеді себебі, соңғы екі орынды 16 саны 4-ке
бөлінеді.
15. 5-ке бөлінетін сандар- 0 немесе 5 цифрымен аяқталатын сандар.
16. 6-ға бөлінетін сандар- 2 мен 3-ке бірдей бөлінетін сандар.
17. 7 сиқырлы сан деп есептелген . Оған бөлінгіштік белгісі осы күнге дейін
нақтылы анықталмаған. Себебі 7 – ге бөлінгіштіктің біраз ұсынылған белгілері
көптеген есептеу жұмысын жүргізуді қажет етеді, одан гөрі 7 – нің өзіне бөлу
жеңілірек. Мысалға, өткен ғасырдың орта кезінен 7 – ге бөлінгіштіктің мынадай
белгісін білеміз. Ол былай есептеледі : берілген санның соңғы цифрын сызып
тастап, сол сызылған санды екі еселеп берілген саннан азайтамыз. Осы әдісті ең

14

соңында бір орынды сан қалғанға дейін жалғастырамыз. Егер осы бір орынды
сан 7 – ге бөлінсе, онда берілген сан 7 – ге бөлінеді.
18. 8-ге бөлінетін сандар- егер берілген санның соңғы үш орынды саны 8 – ге
бөлінсе, ол сан 8 – ге бөлінеді.Мысалы, 12356 саны 8-ге бүтін бөлінбейді,
себебі, берілген санның соңғы үш орынды саны 356 саны 8-ге бөлінбейді.
12256 саны 8-ге бөлінеді, себебі, 256 саны 8-ге бөлінеді.
19. 9-ға бөлінетін сандар- цифрларының қосындысы 9-ға бөлінетін сандар.
20. 10-ға бөлінетін сандар- 0 цифрымен аяқталатын сандар.
21. 11-ге бөлінетін сандар- берілген сан 11 – ге бөліну үшін ол санның жұп
орындағы цифрларының қосындысы мен тақ орындағы цифрларының
қосындысының айырмасы не нөл немесе 11 – ге бөлінетін сан болуы керек.

Мысалы, 123456 тексеріп көрейік.

1+3+5 = 9,
2+4+6 = 12,
12 – 9 = 3
демек, бұл сан 11 – ге қалдықсыз бөлінбейді.
Сол сияқты 135894 санын тексерсек
1+5+9 = 15
3+8+4 = 15
15-15= 0
Ендеше, 135894 саны 11-ге қалдықсыз бөлінеді.
22. 13-ке бөлінетін сандар-берілген санды солдан оңға қарай сызықшамен
үш орынды сандарға бөлеміз. Бірінші, үшінші, бесінші орындағы бөліктердің
қосындысын, содан соң екінші, төртінші, т. с. с. орындағылардың қосындысын
тауып, сол қосындылардың айырмасы 13-ке бөлінсе, онда берілген санда 13-ке
бөлінеді.
Мысалы, 32125468 санын тексерейік, 321|254|68 , бұдан
321 + 68=389, 389 - 254 = 135, 135 саны 13-ке бөлінбейді, ендеше, 32125468
саны да 13-ке бөлінбейді.
23. 19-ге бөлінетін сандар-сан 19-ға бөлінуі үшін сол санның ондықтары мен
екі еселенген бірліктерінің қосындысы 19 -ға бөлінуі керек.
Мысалы, 361 саны 19-ға бөлінеді, себебі, 2∙1+36=38, 38 саны 19-ға
бөлінетіндіктен 361 саны да 19-ға бөлінеді.
24. 25-ке бөлінетін сандар- сан 25 – ке бөлу үшін , ол 00, 25, 50, 75
сандарының бірімен аяқталуы керек.
25. Кемел сандар – өзінен басқа бөлгіштерінің қосындысы сол санның өзіне
тең болатын натурал сандар. Мысалы, 6 саны кемел санға жатады, өйткені , 6

15

санының бөлігіштері-1; 2; 3; 6. Осы бөлгіштерінің 6-дан басқасының
қосындысы 6-ға тең (1+2+3=6).
26. Жай сандар- тек 1 мен өзіне ғана бөлінетін сандар немесе 2 бөлгіші ғана
бар сандар.
27. Құрама сандар – екінден көп бөлгіші болатын сандар.
28. ЕҮОБ- берілген натурал сандардың барлығына бөлгіш болатын ең үлкен
сан.
29. ЕКОЕ- берілген натурал сандардың барлығына еселік болатын ең кіші
сан.
30. 1 саны жай сан да, құрама сан да емес, себебі 1 санының бір ғана бөлгіші
бар.

1-есеп. 25-ке дегйінгі жай сандардың қосындысын табыңыз.
Шешуі: жай сандардың тек екі бөлгіші болатындықтан ең алдымен 25-ке
дейінгі жай сандарды анықтап аламыз.
Жай сандар: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23.
Енді осы сандардың қосындысын табамыз.
2+3+5+7+11+13+17+19+23=100
Жауабы: 100

2-есеп. 880943 санының 7 – ге бөлінгіштігін тексерейік.
Шешуі.
88094
- 6
8808
- 16
879
- 4
87
- 10
7
-14
-7

Мұнда ең соңғы бір орынды сан – (-7), ол 7 – ге бөлінеді, ендеше
берілген сан 880943 де 7 – ге бөлінеді.

3-есеп. 1234567 санының 7 – ге бөлінгіштігін тексерейік.
Шешуі:

16

123456
-14
12344
- 4
1234
- 0
123
- 8
11
- 10
1
- 14
8959
- 18
877
- 14
73
- 6
1
Енді 1234567 санын тексергенде соңғы сан 1-ге тең болып шықты. Ол 7 –
ге бөлінбейді, олай болса 1234567 саны да 7 – ге бөлінбейді.

4 –есеп. х бүтін санын 8-ге бөлгенде 3 қалдық болса, онда х
2
+3х өрнегін
8-ге бөлгендегі қалдықты табыңыз.
Шешуі: 8-ге бөлгенде 3 қалдық қалатын сандардың жалпы формуласы
8n+3 өрнегі арқылы анықталады. n=1болғанда өрнектің мәні 11-ге тең. Осы 11
санын берілген өрнекке қойып, өрнектің мәнін табамыз.
х
2
+3х=11
2
+3∙11=121+33=154
енді 154 санын 8-ге бөлеміз.
154:8=19 ( 2 қалдық)
Жауабы: 2

17

Тапсырма №2

1. 3-ке бөлгенде 1 қалдық қалатын сандардың жалпы формуласын табыңыз.
А) 3n В) 3n-1 С) 3n+1 D) 3n-2 E) 3(n+1)
2. Төмендегі сандардан 3-ке бөлінетіндері.
А) 13356; 6540 В) 3548; 8791 С) 32547; 98213 D) 51234; 8741 E) 521; 6542
3. 3 және 4 санына еселік болатын , 12<x<69 теңсіздігін қанағаттандыратын х-
тің неше мәні бар екенін анықтаңыз.
А) 4 В) 6 С) 5 D)7 Е) 8
4. 3 пен 7-ге бөлгенде 1 қалдық қалатын екітаңбалы ең үлкен натурал санды
табыңыз.
А) 22 В) 98 С) 88 D)64 Е) 85
5. х бүтін санын 7-ге бөлгенде 2 қалдық қалатын болса, онда х
2
+3 өрнегін 7-ге
бөлгендегі қалдықты табыңыз.
А) 0 В) 1 С) 2D)3 Е) 4
6. 952* санындағы жұлдызшаның орнына қандай цифрды қойғанда, пайда
болған сан 4-ке қалдықсыз бөлінетін болады?
А) 4 ;8 ; 12 В) 0; 10 С) 2; 6D)0; 4 ; 8Е) Кез келген цифр
7. 2-ге, 3-ке, 4-ке, 5-ке, 6-ға бөлгенде 1 қалдық қалатын 7-ге қалдықсыз
бөлінетін ең кіші натурал санды табыңыз.
А) 151В) 281С) 301D) 421Е) 241
8. мәліметтер бойынша бағандарды салыстырыңыз.
А бағаны В бағаны
50-дің бөлгіштерінің саны 50-дің 490-нан кіші еселіктерініңсаны
А) А>B В) A=B С) 2A=BD)A<B Е) 3A-B=0
9. 4921508 санында кейбір цифрларды өшіргенде ең кіші үштаңбалы сан шығуы
тиіс. Өшіруге болатын төрт цифрды көрсетіңіз. (Берілген сандағы цифрлар реті
өзгермейді)
A) 1, 5,0, 8 B) 4, 9,2, 5 C) 4, 2, 1,0D) 4, 9,5 8 E) 4, 9, 2,1
10. Берілген k бүтін оң сан болсын. Төмендегі сан тізбегінде неше жұп
сан бар:
2k+1, 2k+2,..., 2k+16,2k+17?
А) 6 В) 18С)16 D) 8 Е)17
11. Егер а+1 жұп сан болса, онда төмендегі сандардың ішінен тақ емес санды
табыңыз.

18

А) (а+1)
2
-1 В)а С) (4а-3)
2
D) а
3
+4 Е)а+5
12.Төмендегілердің қайсысы кез келген натурал m үшін тақ сан болады?
А)2017m В)m
2
+2017 С)m
3
D) m+2018 Е) 2m
2
+2017
13.Егер a-саны тақ сан болса, төмендегілердің қайсысы жұп болады?
А) а
5
+а
3
+1 В)а
6
–а
2
-1 С) а+2D) а
7
-а
3
Е)а
3
+10
14.m-натурал сан. Төмендегі сандардың ішінен жұп санды анықтаңыз.
А) m
6
+m
4
+3 В) m
3
+m+1 С) 2m
3
+3m
2
D)m
7
-m
4
+4 Е) 4m
3
+3
15. Тізбектес үш натурал сан қосындысы у-ке тең болса, одан кейінгі үш
натурал санның қосындысын табыңыз.
A)3*у B)у+3 C)у+9 D) у+6 E)у+4
16.Тізбектес бес натурал санның қосындысы N-ге тең. Олардан кейінгі бес
тізбектес натурал сандардың қосындыс негетең?
A) N+5 B) N+10 C)N+15 D)N+25 E)N+30
17.Тізбектелген 6 жұп санның қосындысы 210 шығады. Олардың соңғы
үшеуінің қосындысын тап?
A) 108 B) 105 C) 114 D) 120 E)102
18. Егер х санын 6-ға бөлсек 3 қалдық қалады. Ал 3х санын 6-ға бөлсек қандай
сан шығады?
A)4 B)3 C) 2 D)1 E) 0
19. Гүл сатушы әкелген гүлдерден гүл шоқтарын даярлауға кірісті. Ол гүл
шоқтарын әрқайсысында 3 гүлден немесе 5 гүлден, немесе 7 гүлден даярласа,
барлық жағдайда да 2 гүл артылып қалады. Гүл сатушы кем дегенде неше
гүләкелген?
A) 107 B) 105 C) 93 D) 37 E) 23
20. Көлде 7 балықшы балық аулады. Біріншісі – күнде, екіншісі – күнара,
үшіншісі – екі күннен кейін және т.с.с. жетіншісі – алты күннен кейін келеді.
Бүгін барлық балықшылар бірге балық аулауда болды. Жеті балықшы түгел
қанша күннен кейін көлде бас қосады?
А) 120 В)210 С) 420 D) 60 E) 180


Логикалық амалдар арқылы шығарылатын есептер

Логикалық амалдар арқылы шығарылатын сауаттылық есептері шартты
белгілер арқылы беріледі. Бұл жердегі шартты белгі белгілі бір арифметикалық
амалдарды білдіреді және есеп құрамындағы бірдей шартты белгілер бірдей
заңдыдылыққа бағынады. Төменде жаңа логикалық амалдар арқылы
шығарылатын есептерді қарастырайық.

19


1- есеп. Сұрақ белгісінің орнындағы санды табыңыз?
Ω 1235=30
Ω 2012=0
Ω 1121=2
Ω 4125=?
Шешуі: Ω белгісі жаңа логикалық амал деп аталады. Ол бірдей таңбалар
бірдей заңдылыққа бағынады дегенді білдіреді. Сонымен бастапқы үш
теңдіктен заңдылықты анықтап, соңғы теңдіктегі сұрақ белігісінің орнындағы
санды табамыз.
1∙2∙3∙5=30
2∙0∙1∙2=0
1∙1∙2∙1=2
4∙1∙2∙5=40
Жауабы: 40

2-есеп. амалы кез-келген х пен у үшін орындалады.
Төмендегі ұйғарымдардың қайсысы дұрыс.

№ Ұйғарым
1

2

3

4

Шешуі: & белгісі логикалық амалды білдіреді. Есеп шарытна сай
әрбір теңдікті тексеріп көрейік.
1) (дұрыс)
2) Теңдіктің оң жағы:
Теңдіктің сол жағы:
2≠3 (дұрыс емес)
3)

20


=(дұрыс)
4)


≠ (дұрыс емес)
Жауабы: №1 және №3 тұжырымдар дұрыс

3-есеп. Жаңа логикалық амал ⧇ келесі өрнекпен анықталған.
болса, онда (7⧇6)⧇8 мәнін есептеңіз.
Шешуі:1) (7⧇6)= .
2) (13⧇8)=
Жауабы: 189

Тапсырма №3

1. Жаңа логикалық амал ∎анықталған. &#3627408466;∎&#3627408467;= 3(4&#3627408466;−&#3627408467;)болса,7∎18 өрнегінің
мәнін табыңыз.
A) 30 B)28 C)33 D) 35 E)24
2. &#3627408485;⋈&#3627408486;=&#3627408485;
2
−&#3627408486;болса, онда (4⋈11)⋈13 өрнегінің мәнін табыңыз.
A)25 B) 16 C)24 D)12 E) 1
3. Сұрақ белгісінің орнына сәйкес келетін санды табыңыз.«85»=6425, «92»=814,
«31»=91, «17»=149 болса «37»=?
А) 21 В) 349 С) 97 D)949 Е) 9049
4. І. 16Ω6=52
II. 5Ω8=69
III. 6Ω7=55
IV. 13Ω5=?
А) 36 В) 38 С) 40 D) 42 Е) 44
5 . І. ⌂ 4654=19
II. ⌂ 6872=23
III. ⌂ 9653=23
IV. ⌂ 5168=?
А) 18 В) 20 С) 22 D) 24 Е) 26

21

6 . І. 11 § 13=8
II. 9 § 6=5
III. 17 § 4=7
IV. 13 § 5=?
А) 6 В) 7 С) 8 D) 9 Е) 10
7 . І. 32 § 4=16
II. 54 § 9=12
III. 18 § 6=6
IV. 42 § 7=?
А) 4 В) 6 С) 8 D) 10 Е) 12
8. Сұрақ белгісінің орнындағы санды табыңыз.
I. 12● 8 = 6, 4, 4
II. 18 ● 12 =9, 6, 6
III. 16 ● 6 = 8, 3, 10
IV. 12 ● 10 = ?, ?, ?
A) 6, 6, 6 B) 6,5,3 C) 6, 4, 6 D) 6, 5, 2 E) 6, 2,5
9. болса, онда өрнегінің мәнін табыңыз.
А) 1В) 0С) 24D) 12Е)
10. болса, онда өрнегінің мәнін есепте.
А) 1 В) 2 С) 5 D) 3 E) 4
11. Сұрақ белгісінің орнындағы санды табыңыз.
(63)□5=10
(8□3)4= 6
(62)□7=21
(7□4)2= ?
A) 12B) 13 C)15 D) 10 E)14
12.Егер 7 ☼ 3 = 30, 8 ☼ 7 = 45 және 5 ☼ 9 = 42 болса, онда 7 ☼ 4 өрнегінің мәні
нешеге тең?
A) 32B) 33 C)35 D) 30 E)34
13. Сұрақ белгісінің орнындағы санды табыңыз?
¥ 1235=11
¥ 2012=5
¥ 1121=5
¥ 4125=?
А) 9 В) 10 С) 11 D) 12 E) 13
14.

22


амалы кез-келген x≠y≠0 үшін орындалады. Егер a≠b≠0 болса, төмендегі амалды
орындаңыз.

А) 0 В) С) 1 D) E)
15. амалы кез-келген a пен b үшін орындалады. Төмендегі
ұйғарымдардың қайсысы дұрыс.
№ Ұйғарым
1

2

3

4

A) №3,№2 B) №1,№2 C) №4,№2 D) №1,№3 E) №1, №4



Газет және кітап беттерін нөмірлеуге арналған есептер


1. Цифрлар саны арқылы бет санын табу. N –цифрлар саны, n- бет саны
болсын.
9<N≤189
n=
189<N≤2889
n=
2889<N≤39996
n=

23

2. Бет саны арқылы цифрлар санын анықтау.

Екітаңбалы сан N=2n-9
Үштаңбалы сан N=3n-108
Төрттаңбалы сан N=4n-1107

Төменде осы мазмұнға есептер қарастырайық.

1-есеп. 29 цифр пайдаланған кітапта неше бет бар?
Шешуі.
1-тәсіл. Цифрлар саны 9<N≤189 аралығында болғандықтан n= формуласын
пайдаланамыз.
n=
2-тәсіл. 1-9 дейін 9 цифр 9 бет болады, ары қарай екітаңбалы сандар
болғандықтан,
(29-9):2=10
Жалпы бет саны 9+10=19
Жауабы: 19 бет

2-есеп. Кітапта 156 бет бар. Барлық беттерді нөмірлеп шығу үшін неше
цифр қолданылады?
Шешуі:
1-тәсіл.
Форумула бойынша бет саны үштаңбалы болғандықтан
N=3n-108=3∙156-108=360
2-тәсіл.
1-9 дейін бір таңбалы сандар- 9 цифр
10-99 дейін екітаңбалы сандар- 90∙2=180 цифр
100-156 дейін үштаңбалы сандар- 57∙3=171 цифр
Барлығын қоссақ 9+180+171=360
Жауабы: 360 бет.

3-есеп. Кітаптың бір бетін ашқанда оң және сол жақ беттің нөмірленген
сандарының қосындысы 54< x<57 аралығында болса, онда олардың
көбейтіндісін табыңыз.

24

Шешуі: кітаптың кез келген бетін ашсақ оның оң және сол жақ бетіндегі
нөмірленген сандардың бірі жұп болса, екіншісі тақ сан болатындығы ақиқат.
Олай болса, жұп сан мен тақ санның қосындысы әрқашан тақ сан
болатындығын ескерсек, олардың қосындысы 55 болатындығын білеміз.
Себебі, 54< x<57 аралығында тек 55 пен 56 сандары бар. Кітаптың оң және сол
жақ беттеріндегі сандардың көршілес сандар екенін ескеріп, 55=27+28 екенін
білу қиын емес. Олардың көбейтіндісін тапсақ, 27∙28=756
Жауабы: 756

4-есеп. Бір газет парағында 4 бет болады. Егер газеттің бір парағында 7-ші
және 22-ші беттер нөмірленсе, онда жалпы газет неше беттен тұратынын
табыңыз.
Шешуі: Газетті 1-ден бастап нөмірлейді. Егер 7-ге дейін қанша бет болса,
онда 22-ші беттен кейін де сонша бет болады. демек, 22+6=28
Жауабы: 28 бет.

5-есеп. Кітап беттері 427 цифрмен нөмірленген. Егер кітап беттері оның
үшінші бетінен бастап нөмірленсе, онда кітапта барлығы неше бет болғанын
табыңыз.
Шешуі:
1-тәсіл. Формула бойынша, 427 саны 189<N≤2889 аралығында
болғандықтан n= формуласы арқылы бет саны табылады. Алайда кітап
үшінші бетінен бастап нөмірленгендіктен цифрлар санына 2-ны қосамыз.
n= = =179
2-тәсіл. Кітап үшінші бетінен бастап нөмірленгендіктен,
Бір таңбалы сандар: 7 цифр, 7 бет болады
Екітаңбалы сандар: 10-99 аралығында 90 сан екі цифрдан, 90∙=180 цифр,
90 бет.
Үштаңбалы сандар: (427-187):3=80 , 240 цифр, 80 бет.
7+90+80=177 бет.
Енді осыған бастапқы нөмірленбеген 2 бетті қосатын болсақ,
177+2=179 бет.
жауабы: 179 бет.

25

Тапсырма №4

1. 31 цифр пайдаланған кітапта неше бет бар?
А) 16 B) 17 C) 18 D) 19E) 20
2. Кітаптың беттерін нөмірлеу үшін 513 цифр пайдаланды осы кітапта барлығы
неше бет екенін анықтаңыз.
А) 203 B) 204 C) 205 D) 206 E) 207
3. Марат 1-ден 150-ге дейінгі сандарды жазып шықты. Ол қанша цифр
пайдаланғанын табыңыз.
А) 342 B) 343 C) 344 D) 345 E) 346
4. Кітаптың белгілі бір беттері түсіп қалды. Оның бірінші беті 328 номірден, ал
соңғы беті сол цифрлармен кандай да бір ретпен орналасқан. Оның канша беті
түсіп калған?
А) 161 B) 162 C) 163 D) 164 E) 165
5. Кітап беттері 601 цифрмен нөмірленген. Егер кітап беттері оның үшінші
бетінен бастап нөмірленсе, онда кітапта барлығы неше бет болғанын табыңыз.
А) 234 B) 235 C) 236D) 237 E) 238
6. Бір газет парағында 4 бет болады. Егер газеттің бір парағында 21-ші және 52-
ші беттер нөмірленсе, онда жалпы газет неше беттен тұратынын табыңыз.
А) 72 B) 73 C) 74 D) 75 E) 76
7.Оқушы 5-тен бастап 34-ке дейін натурал сандарды тізбектеп жазып
шығып,цифрларын санады. Оқушы барлығы неше цифр санады ?
А) 51 B) 52 C) 53 D) 54E) 55
8. Кітап 700 беттен тұратыны белгелі болса , кітаптың үштаңбалы беттерін
нөмірлеуге неше цифр қолданылды
А)1202 В)1803 С)1800 D)2103 Е)2100
9. 2020 жылы күнтізбедегі қаңтар айының күндерін (1,2,3 ...) жазу үшін неше
цифр қажет ?
А)31В)30С)62D)53E)60
10. Кітапты нөмірлеу 1-беттен басталса , 100 беттен тұратын кітапты нөмірлеу
үшін неше цифр қолданылады ?
А) 191 В) 192 С) 193 D) 194 E) 195
11. Кітаптың бір бетін ашқанда оң және сол жақ беттің нөмір ленген
сандарының қосындысы 60< x<63 аралығында болса, онда олардың
көбейтіндісін табыңыз.
А) 930 В) 931 С) 932 D) 933 E) 934
12. Бір газет парағында 4 бет болды.Өткенде газеттің бір парағында 6-шы және
19-шы беттерінің болғанын көрдім. Газетте неше бет бар ?
А) 25 В) 19 С) 15 D) 23 E) 24

26

13. Жолда бір журналдың екі бетін тауып алдық .Оң жағында 41-бет,сол
жағында 12-бет жазылған.Журнал неше беттен тұрады?
А) 41 В) 43 С) 53 D) 45 E) 52
14. Көркем әдебиет кітабынің парағын нөмірлеу үшін 181 цифр қолданылды.
Кітаптағы беттер санын анықтаңыз.
А) 80 В) 95 С) 105 D) 85 Е) 100
15. Кітаптың беттерін нөмірлеу кезінде 7 цифры 27 рет қолданылған болса, осы
кітапта ең көп неше бет болуы мүмкін.
А) 166 В) 167 С) 169 D) 170 Е) 171
16. Нағима кітапты ашып, кітаптің оң және сол жақ беттеріндегі нөмірлерінің
қосындысы 37-ге тең екенін көрді. Осы нөмірлердің көбейтіндісі неге тең?
А) 148 В) 136 С) 412 D) 342 Е) 159


Дәреженің соңғы цифрын анықтау есептері

a
n 1 2 3 4 5 6 7 8 …
1 1 1 1 1 1 1 1 1 …
2 2 4 8 16 32 64 128 256 …
3 3 9 27 81 243 729 2187 6561 …
4 4 16 64 256 1024 4096 16384 65536 …
5 5 25 125 625 3125 15625 78125 390625 …
6 6 36 216 1296 7776 46656 279936 1679616 …
7 7 49 343 2401 16807 117649 823543 5764801 …
8 8 64 512 4096 32768 262144 2097152 16777216 …
9 9 81 729 6561 59049 531441 4782969 43046721 …
0 0 0 0 0 0 0 0 0 …

Жоғарыдағы кестеге назар аударатын болсақ, a
n
– кез келген натурал
санның натурал дәрежесі.
1) 0 ; 1; 5; 6 цифрларымен аяқталатын сандардың кез келген дәрежесі
сәйкесінше 0; 1; 5; 6 цифрларымен аяқталады;
2) 4 санының тақ дәрежесі 4-пен, ал жұп дәрежесі 6 цифрымен аяқталады;
3) 9 санының тақ дәрежесі 9-бен, ал жұп дәрежесі 1 цифрымен аяқталады;
4) 2; 3; 7; 8 цифрларымен аяқталатын сандардың натурал дәрежелерінің
соңғы цифрларыпериодты түрде әрбір 4-ші дәрежеден кейін қайталанып келіп
отырады. 2; 3; 7; 8 цифрларымен аяқталатын сандардың дәрежелерін 4-ке
бөлгенде, егер қалдық 1 қалса, 1-ші дәреженсінің соңғы цифрымен, 2 қалдық
қалса, 2-ші дәрежесінің соңғы цифрымен, 3 қалдық қалса, 3-ші дәрежесінің

27

соңғы цифрымен аяқаталды. Егер қалдық қалмаса 4-ші дәрежесінің соңғы
цифрымен аяқталады.

1-есеп. 2546
13327
саны қандай цифрмен аяқталатынын табыңыз.
Шешуі: a
n
бойынша кестеге салатын болсақ, a=2546, n=13327.
Бұл дәреженің негізі 6 цифрымен аяқталып тұр. 6 цифрымен аяқталатын
сандардың қез келген дәрежесі 6 цифрымен аяқталады. Демек, 2546
13327
саны 6
цифрымен аяқталады.

2-есеп. 25424
6528
саны қандай цифрмен аяқталатынын табыңыз.
Шешуі: дәреженің негізі 4 цифрымен аяқталып тұр. 4 санының жұп
дәрежесі болғандықтан 6 цифрымен аяқталады. Ендеше 25424
6528
саны 6
цифрымен аяқталады.

3-есеп. 5245878
524687
саны қандай цифрмен аяқталатынын табыңыз.
Шешуі: дәреженің негізі 8 цифрымен аяқталып тұр. Сондықтан дәрежесін
4-ке бөлеміз. 52687:4=13171(3 қалдық). Ереже бойынша егер қалдық 3 –ке тең
болса, онда 8 санының 3-ші дәрежесі 2 цифрымен аяқталады. Демек,
5245878
524687
саны 2 цифрымен аяқталады.
4-есеп. Марат машиналарды бояғанда келесі ретпен бояды: көк, жасыл,
қызыл, қара және сары. Онда 129-шы машинаның түсін анықтаңыз.
Шешуі: 129-шы машинаның түсін анықтау үшін дәреженің соңғы цифрын
анықтау ережесін қолданамыз. Бұл жерде түстер саны-5. 129 санын 5-ке
бөлеміз. Егер 1 қалдық қалса көк түс, 2 қалдық қалса жасыл түс, 3 қалдық қалса
қызыл түс, 4 қалдық қалса қара түс, ал қалдық қалмаса сары түс болады.
Сонымен 129:5=25 (4 қалдық). Демек, қара түс.
Жауабы: қара
5-есеп. Бір қатарға қара, ақ, көк, сары, жасыл, қызыл, қара, ақ, көк, …
шарлар ретімен қойылған. 2017 орында қандай шар?
Шешуі: түстер саны -6. 2017 санын 6-ға бөлеміз. 1-5 дейінгі қалдық
қалады. 1 қалдық қалса, қара шар, 2 қалдық қалса, ақ шар , 3 қалдық қасла, көк
шар, 4 қалдық қалса, сары шар, 5 қалдық қалса, жасыл шар, ал қалдық қалмаса,
қызыл шар болады. 2017:6=336 (1 қалдық).

Жауабы: қара шар
6-есеп. 5429
875
+25400
1000
мына қосынды қандай цифрмен аяқталады?

28

Шешуі: қосындының қандай цифрмен аяқталатынын табу үшін әрқайсы
қосылғыштың қандай цифрмен аяқталатынын анықтап алу керек.
Бірінші қосылғыш: . 8799
653
саны 9 санының тақ дәрежесі бойынша 9
цифрымен аяқталады.
Екінші қосылғыш: 0 санының кез келген дәрежесі 0 цифрымен
аяқталатындықтан 25400
1000
дәрежесінің соңғы цифры 0 болады.
Ендеше, 5429
875
+25400
1000
қосындысы 9 цифрымен аяқталады. Себебі, екі
қосылғыштың соңғы цифрларын қоссақ, 9+0=9 болады.
Жауабы: 9

7-есеп. 1-ден 50-ге дейінгі сандардың көбейтіндісі неше нөлмен
аяқталатынын табыңыз.
Шешуі: 1-ден 50-ге дейінгі сандардың көбейтіндісі неше нөлмен
аяқталатынын табу үшін осы 1-50 аралғындағы сандардың жай көбейткішке
жіктелуіндегі 5 цифрларының санын анықтаса жеткілікті. 5 цифрын пайда
қылатын сандар 5-тің еселіктері болып келеді. Олар: 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35;
40; 45; 50 .
Бұл жерде ескеретін жағдай кейбір көбейткіштердің жай көбейткішке
жіктелуінде бірнеше 5 цифры пайда болуы мүмкін. Мысалы, 25=5
2
, 50=2∙5
2
.
енді 5 цифрларының санын табамыз. 5-тің еселіктерінде барлығы 5 цифрынан
12-сі болғандықтан көбейтінді 12 нөлмен аяқталады.
Жауабы: 12

8-есеп. Алғашқы 1000 жай санның көбейтіндісі қандай цифрмен
аяқталатынын табыңыз.
Шешуі. Жай сандар тек 1 мен өзіне ғана бөлінетін сандар. Бұл есепті
шығару үшін ең алдымен көбейткіштердің құрамында 0 санын пайда қылатын
5-тің еселіктерінің бар немесе жоқтығын тексереміз. 5 санының еселіктерінің
ішінде тек 5 сана ғана жай сан, қалғаны құрама сандар. Көбейтккіштердің
құрамында 5 саны болғандықтан көбейтінді 0 цифрымен аяқталады.
Жауабы: 0

Тапсырма №5

1. 542
521
саны қандай цифрмен аяқталатынын табыңыз.
А) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8
2. 2500
5879
саны қандай цифрмен аяқталатынын табыңыз.
А) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 0
3. 652445
620
саны қандай цифрмен аяқталатынын табыңыз.

29

А) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
4. 210511
20121
саны қандай цифрмен аяқталатынын табыңыз.
А) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
5. 257
542
саны қандай цифрмен аяқталатынын табыңыз.
А) 1 B) 5 C) 3 D) 7 E) 9
6. 123
546
+3215
545
мына қосынды қандай цифрмен аяқталады?
А) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 9
7. 25465
100
+700
875
+253
123
мына қосынды қандай цифрмен аяқталады?
А) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
8. 1-ден 60-қа дейінгі сандардың көбейтіндісі неше нөлмен аяқталатынын
табыңыз.
А) 10 B) 11 C) 12D) 13 E) 14
9. 20! Саны неше нөлмен аяқталатынын табыңыз.
А) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
10. Алғашқы 1000 жай санның көбейтіндісі неше нөлмен аяқталатынын
табыңыз.
А) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
11. Марат машиналарды бояғанда келесі ретпен бояды: көк, жасыл, қызыл, қара
және сары. Онда 116-шы машинаның түсін анықтаңыз.
А) көк B) жасыл C) қызыл D) қара E) сары
12. 00001,0001,0
2 саны неше таңбалы сан екенін табыңыз.
А) 7 В) 6 С) 8 D) 9 Е) 10


Ұлттық мазмұндағы логикалық есептер

Ұлттық мазмұндағы логикалық есептер шығару- оқушыларды
математикаға қызықтырудың негізгі бір жолы деп қарастыруға болады. Ғылым
мен техника ұшқан құстай дамыған қазіргі таңда да өз құндылығын
жоғалтпаған, өткен мен бүгінді байланыстыратын, салыстыратын ұлттық
мазұндағы есептеріміз ата-бабаларымыздан бізге жеткен асыл қазынамыз.
Талай – талай ғұлама абыздардың ойына түйін, тіліне тиек болған бұл есептер
аса математикалық ойды өмірмен байланыстырып, қысқа да бейнелі тілмен
жеткізудің нәтижесінде ұмытылмай есте сақталып келеді.Ұлттық мазмқндағы
есептер оқушыларды аңғарымпаздыққа, алғырлыққа, ой ұшқырлыққа
тәрбиелейді.

30

1-есеп. «Алты қанат киіз үйге екі мысық келіп кірді де, бірінші керегенің
түбіне екеуі балалап, әрқайсасы алтыдан балалады. Олардың бәріде мысық
болып өсті де, тағыда алты- алтыдан балалады, т.с.с. осылайша әр керегенің
түбіне барып балалап шықты».Сонда киіз үйден неше мысық өсіп шығады?
Шешуі: Алты қанат киіз үйде 6 кереге болатынын білеміз. Әр мысық әр
керегенің түбіне алтыдан балалайтынын ескеріп, жалпы киіз үйден неше мысық
өсіп шығатынын табамыз.
1-керегенің түбінде: 2∙6=12
2-керегенің түбінде: 12∙6=72
3-керегенің түбінде: 72∙6=432
4-керегенің түбінде: 432∙6=2592
5-керегенің түбінде: 2592∙6=15552
6-керегенің түбінде: 15552∙6=93312
Енді барлығын қосамыз.
12+72+432+2592+15552+93312=111 972
Жауабы: 111 972 мысық.
2-есеп. Алдар көсе бір байдың үйіне жұмысқа жалданады. Бір жылдық
жұмыс істегені үшін 1 жылқы мен 100 000 теңге алуы керек болатын, бірақ ол 7
айдан кейін жұмыс істегісі келмей, жұмыстан кетті. Өзімен 1 жылқы және 20
000 теңге алып кетеді. 1 жылқының құны қанша?
Шешуі: бір жылда 12 ай бар. Алдар көсе бір жылдық жалақысы үшін 1
жылқы мен 100 000 теңге алуы керек. Алайда ол 7 ай істеген соң жұмыстан
кетті. Осы 7 ай үшін 1 жылқы мен 20 000 теңге алды. Сонда 80 000 теңге
қалған 5 айдың жалақысы болып тұр. 80 000:5=16 000 тг. Демек, Алдар көсенің
1 айлық жалақсы теңгемен есептегенде 16 000 теңге болады. Енді Алдар
көсенің 12 айдағы жалақысын теңгемен есептеп көрейік.
12∙16000=192000 тг.
Осы 192 000 теңгенің 100 000 теңгесін ақшалай алады да, қалған 92 000
теңгесінің орнына 1 жылқы алады. Ендеше, 1 жылқының құны 92 000 тг.
3-есеп.
Базарға алып келді қой мен тауық,
Сатпақшы баға келсе ебін тауып.

31

46 аяқ, 16 бас болса егер,
Неше қой, неше тауық көрші тауып.
А) 6 қой, 7 тауық B) 7 қой, 8 тауық C) 7 қой , 9 тауық D) 8 қой, 9
тауық E) 10 қой, 6 тауық
Шешуі: Қойда 4 аяқ, тауықта 2 аяқ болатынын білеміз. Бұл есепті
шығарудың 2 түрлі тәсілін қарастыайық.
1-тәсіл. Тест түрінде берілгендіктен әрйне жауаптарын орнына қойып тексерген
оңай болады және уақыттан ұтамыз.
Есептің шарты бойынша жауаптарына талдау жүргізетін болсақ, 16 бас болатын
нұсқалар: С) мен Е) нұсқалары. Қалған нұсқалар сәйкес келмейді. Осы екі
нұсқадан аяқтарының саны тура келетін нұсқаны таңдайміз. С) нұсқасын
тексерсек, 7∙4+9 =46
Демек, дұрыс жауабы С) нұсқасы болады.
2-тәсіл. Теңдеулер жүйесін құру арқылы шығару.
х- қой, у- тауық деп алсақ,

Осы теңдеулер жүйесін шешетін болсақ, x=7; y=9 шығады.
Жауабы: 7 қой, 9 тауық.

4-есеп. Бір кісі өмірін әлемдік саяхатпен өткізгісі келді де, әйеліне өсиет
қалдырды: егер ұлым дүниеге келсе, оған мүлкімнің бөлігін, ал анасына
бөлігін беремін деді. Ал қыз болса, онда оған анасына бөлігін
беремін деді. Алайда оның әйелі ұл мен қыз босанды. Бұл үшеуіне мүлікті
өсиеттің шартын сақтай отырып қалай бөліп беруге болатынын табыңыз.
Шешуі: есептің шарты бойынша ұлына анасына қарағанда 2 есе көп бөлігін
қалдыратынын, ал қызына анасынаа қарағанда 2 есе кем бөлігін қалдыратынын
айтты. Осы шартты қатынас түрінде жазатын болсақ, қызына мүліктің 1 бөлігі,
анасына 2 бөлігі және ұлына 4 бөлігі тиеселі болады. яғни,
1:2:4 қатынасындай бөлінеді. Сонда жалпы мүлікті 7 бөлікке бөлсек, оның -і
қызына, -сі анасына, -і ұлына қалатын болады.

32

Жауабы: мүліктің -і қызына, -сі анасына, -і ұлына қалатын болады.

Тапсырма №6
1. Әкесі үш ұлына мұраға 2 үйді қалдырып, оны тең бөліп алуды
тапсырады.
2 үйді үлкен ұлы мен ортаншы ұлы алып, ең кіші ұлына олардың әрқайсысы
500 динардан ақша береді. Үйдің бағасы неше динар тұрады?
A)1500 B)1200 C)1000D)500 E)300
2.Көрші үш үйдің біріншісі 5 қап ұн, екіншісі 3 қап ұн сатып алды. Осы ұнды 3
үй тең бөліп алды. Үшінші үй иесі 7200 теңгені бірінші үй мен екінші үй
иелеріне алған мөлшеріне қарай бөліп берді. Бірінші үй иесі неше теңге
ақшаалады?
A)6300 B)5400 C)2700 D)1800 E)900
3. Малшы сиыр мен балапандар өсірді. Егер жалпы малдың 9 басы мен 26 аяғы
болса, сиырларының саны қанша болғанын табыңыз.
А) 3 В) 5 С) 4 D) 6 E) 7
4. Тасбақа өзенге дейін 4 сағат жорғалап барды. Сол 4 сағаттыңәрбір келесі
сағатында алдыңғы жүрген жолындағыдан 2 есе аз жорғалап барады. Егер
оның барлық жүрген жолы 90м болса, онда ол алғашқы сағатында қанша жол
жүрген?
А) 45 В) 50 С) 44 D) 48 E) 46
5. Шегіртке ағашқа қарай бір алға бір артқа секіріп барады. Алға секіргенде
3метр алға, артқа секіргенде 1 метр артқа жүреді. Бастаған жерден ағашқа
дейінгі қашықтық 21 метр болса , сол жерге жету үшін неше рет секіруі керек?
А) 7 В) 8 С) 10 D) 11 E) 12
6. Құсбегі бір көгершінді 4000 теңгеге сатып алды, содан кейін оны 4500
теңгеге сатты. Кейінірек өкініп сол көгершінді 5000 теңге беріп қайтадан сатып
алады. Екі күннен кейін қайтадан көгершінді 5500 теңгеге сатты. Құсбегі осы
саудада неше теңге пайда тапты немесе неше теңге шығынкетірді?
A) 1000 теңге пайда тапты B) 1000 теңге шығын кетірді C) не пайда таппады, не
шығын кетпеді D) 500 теңге пайда тапты E) 500 теңге шығын кетірді.
7. Есепке құмар бір кісі қыңырдан:
- Жасың нешеде? – деп сұрапты. Сонда ол:
- Менің 3 жылдан кейінгі жасымда үш еселеңіз, содан соң 3 жыл
бұрынғы жасымды үш еселеңіз. Алғашқы көбейтіндіден соңғы нәтижені
шегеріңіз. Сонда менің жасымды табасыз. Ол кісі нешеде?