Балалардың математикалық ойлау қабілетін дамытудағы стандарт емес есептің рөлі

Балалардың математикалық ойлау қабілетін дамытудағы стандарт емес есептің рөлі

Аннотация: Бұл мақалада математикалық ойлау қабілет және оны дамытудағы стандарт емес есептер жайлы қарастырылады. Балалардың математикалық ойлау қабілетін дамытудың маңызы, математикалық ойлау мен сыни тұрғыдан ойлаудың байланысы түсіндіріледі. Жалпы мақала математика мамандығын оқып жатқан студенттерге, оқушыларға пайдалы болмақ.

Кілт сөздер: Математикалық ойлау, сыни ойлау, стандарт емес есептер, ойлау процесі, шығармашылық қабілет, логикалық ойлау.

Математикалық ойлау ұғымы

Математика – оқушылардың ой-өрісін, шығармашылық қабілеттерін дамытуда мақсатты жұмыстар жүргізетін пән. Шындығында, мектеп оқушыларының ойлауын дамыту олардың оқу іс-әрекеті процесінде ойлау әдістерін қалыптастырумен тығыз байланысты. Бұл ойлау әдістері (анализ, синтез, жалпылау, абстракциялау және т.б.) математиканы оқыту кезінде және, атап айтар болсақ, есептерді шешу барысында айқын байқалатын ғылыми зерттеудің нақты әдістері ретінде әрекет етеді. Белгілі бір заңдылықтарға бағынатын білім беру жүйесі мен оқушылардың психикалық даму барысы арасында өзара тығыз байланыс бар екені анық, оны іздеу қазіргі кезде педагогиканың басты мәселелерінің бірі болып табылады.

Математикалық ойлау, ең алдымен, нақты ғылым – математиканы меңгеру процесінде ойлаудың көрінетін формасы деп есептеледі. Математикалық ойлаудың өз ерекшеліктері мен белгілері бар, олар зерттелетін объектілердің ерекшеліктерімен және оларды зерттеу әдістерінің ерекшеліктерімен анықталады.

Оқушылардың математикалық ойлау қабілетін дамытудың маңызы

Мектеп оқушыларының математикалық ойлауын дамыту мәселелерін қарастыратын әдістемелік-математикалық еңбектерде математикалық ойлау және оның басқа да түрлерін білдіретін терминдер бар. Мысалы, мектеп оқушыларында логикалық, функционалдық ойлауды, кеңістіктік қиялды және т.б. дамыту қажеттілігі туралы жиі айтылады.

«Интуитивті ойлау» терминін әдістемелік және математикалық әдебиеттерде көп кездестіре бермейміз. Алайда, тәжірибелі педагог әрқашан оқушылардың интеллектісі мен болжау қабілетін дамытуға аса назар аударады. Бұл мақсатқа қол жеткізу үшін оқытудың басқа әдістері мен элементтерін үйлестіре пайдалану қажет.

Баланың қабілеті оқу процесінде меңгерген материалдық мәдениеттің, ғылымның, өнердің, техниканың мазмұнын меңгеру арқылы қалыптасады. Қабілеттердің дамуының маңызды алғы шарты - баланың бойындағы тума дарыны. Алайда адамның биологиялық тұқым қуалайтын қасиеттері оның бүкіл қабілетінің көрінісі емес. Адам миында тек оларды дамыту қабілеті бар.

Дарынды мектеп оқушыларына есептің ең қолайлы жолын табу, тапсырманың дұрыс әрі жеңіл жолын іздеу тән. Математикаға қабілетті оқушылар қарапайым оқушылардан ойлау процесінің бағытын жылдам қайта құру қабілетімен және ой қорытудың шапшаңдығымен ерекшеленеді.

Жиі дарынды оқушылар белгілі бір уақытта шешкен мәселесінің түрін, іс-әрекеттердің жалпы сипатын ұзақ уақыт есте сақтағанымен тапсырмаға байланысты нақты мәліметтерді жадында сақтай алмайды.

Стандарт емес тапсырмалардың оқушылардың математикалық ойлауын дамыту барысында ең нәтижелі және ең тиімді құралы екенін ескерген жөн.

Математикалық ойлау мен шығармашылық қабілеттерді дамыту мектеп оқушыларының есептерді шығару барысында жүзеге асады. Математика пәнін оқытуда мектеп оқушыларының есептерді шешудегі өз бетінше қабылдаған шешімдері мен әрекеті ерекше орын алады. Есептерді шығара білу математика пәнін меңгерудегі ең басты критерий болып есептеледі.

Оқыту теориясында арифметикалық есептердің маңыздылығы өте зор. Кез келген математикалық тапсырма қандай да бір оқу тізбегінде орындалады, дегенмен оның басты мақсаты – оқушылардың шығармашылық және математикалық ойлауын дамыту және математика пәніне деген қызығушылықтарын арттыру. Арифметикалық есептерді шығаруға үйрету барысында оқушылардың логикалық ойлауы дамиды, математикалық аппаратты қолдана білу дағдылары артады.

Математикалық ойлау мен сыни тұрғыдан ойлаудың байланысы

Зерттеу нәтижелерінде математикалық ойлауды дамыту концептуалды түсінудің дамуына және математикалық білімді әртүрлі ситуацияларда қолдануға көмектеседі.

Қазіргі заманда 21 ғасыр талаптарына сай білім беру тәжірибесі талап етіледі. Мектеп оқушылары қоғамда болып жатқан күрделі мәселелерді шешуге қабілетті болу үшін тиісті дағдыларға ие болуы керектігі анық. Мысалы, маңызды ақпаратты жалған ақпараттан ажырату үшін оларда сыни ойлау дағдылары болуы қажет. Жаңа заман технологиялардың эволюциясы, сонымен бірге мектеп оқушыларының сыни тұрғыдан ойлау қабілеттерін дамытуға ықпал ететін математиканы оқытуда жаңа дем берумен қатар жүреді.

Математикалық ойлау - мектеп оқушыларының сыни тұрғыдан ойлауына елеулі үлес қосатын дағдылардың бірі. Математикалық ойлау сыныпта немесе сыныптан тыс күрделі мәселелерге кез болғанда олардың логикалық ойлауына мүмкіндік береді. Бұл математикалық ойлауды дамытуға аса назар аудару оқыту тәжірибесіндегі үлкен қажеттіліктердің бірі екенін айқын көрсетеді. Ал, бұл мектеп оқушыларының математика саласымен терең және интеллектуалды деңгейде айналысуға мүмкіндік береді.

Стандарт емес есептер туралы жалпы түсінік және оларға қарапайым мысалдар

Стандарт емес есептер деп – математика курсында оларды шешудің нақты бағдарламасын анықтайтын жалпы ережелері жоқ тапсырмаларды айтады. Сонымен қатар, стандарт емес есептерді шешудің жалпы ережелері жоқ. Сол себепті, мұндай есептер стандарт емес деп аталады. Дегенмен, көрнекті математиктер мен мұғалімдер (С.А.Яновская, Л.М. Фридман, Е.Н. Балаян) стандарт емес тапсырмаларды шешу барысында ұстануға болатын бірқатар нұсқаулықтар мен ережелерді атап өткен. Бұл нұсқаулықтар әдетте эвристикалық ережелер немесе жай ғана эвристика деп аталады. «Эвристика» сөзі грек тілінен аударғанда “шындықты табу өнері” дегенді білдіреді.

Математикадағы ережелерден айырмашылығы, эвристика факультативтік ұсыныстар, кеңестер сипатында болады.

Кеңес математигі, математикалық логика және математика философиясының маманы С.А. Яновская тұжырымдамасына сәйкес кез келген стандарт емес тапсырманы шешу процесі екі кезеңнен тұрады:

1. Стандарт емес тапсырманы басқа, оған ұқсас, алайда стандарт тапсырмаға түрлендіру арқылы қысқарту;

2. Стандарт емес тапсырманы бірнеше стандартты қосалқы тапсырмаларға бөліп қарастыру;

Стандарт емес тапсырманы стандарт тапсырмаға дейін қысқартудың белгілі бір ережелері жоқ. Дегенмен, егер кез келген тапсырманы мұқият, ойланып талдап, шешіп, шешімді қай әдісті қолданып және қандай әдістермен есептің шешімі табылғанын есте сақтау арқылы шеберлік арттыруға мүмкіндік туады.

Мектеп оқушыларына математикалық тапсырмаларды алдын ала белгіленген принциптер мен ережелер бойынша шешуге ғана жаттықтырумен шектелмеу тиіс. Бұл тапсырмалар оқушылардың есептің шешімін табуға қызықтырып, ынталандыратындай етіп жасалуы қажет. Мақсат балаларға математикалық тапсырмаларды өз бетінше шешу қабілетін дамыту.

Стандарт емес тапсырмалармен жұмыс істеудің маңызы – оқушылардың математика пәніне ынтасын мен қызығушылығын ояту. Мотивациялық кезеңде педагог оқушыларға тапсырманы қызықты формада ұсынып, тақырыптың маңыздылығымен таныстыру керек. Осы кезең сәтті өткен жағдайда, мұғалім оқу процесіндегі қажетті басқа да бөлімдерге назарын аудартуы қажет.

Математикадағы стандарт емес тапсырмаларды шешудің бірнеше ережелерін қарастырайық:

1. «Оңай» ережесі: ең оңай тапсырманы назардан тыс қалдырмау қажет.

Көп жағдайда қарапайым тапсырмалар еленбей қалып жатады. Керісінше осыдан бастау керек.

2. «Келесі» ережесі: мүмкіндігінше, шарттарды бір-бірден өзгерту қажет. Шарттардың саны шектеулі болғандықтан қиындық тудырмайды.

3. «Белгісіз» ережесі: белгілі бір шартты өзгерткеннен кейін, осы шартпен байланысты екіншісін х арқылы белгілеп, осыдан кейін оны көмекші есеп берілген мәнде шешілетіндей етіп таңдау қажет.

3. «Қызықты» ережесі: есептің шартын қызықтырақ ету.

4. «Уақытша» ережесі: егер тапсырмада белгілі бір процесс орындалып жатса және соңғы күй бастапқыға қарағанда нақтырақ болса, уақытты қарама-қарсы бағытта бастаған жөн.

Мысал 1 Бес дос ойнап жүріп, 9 саңырауқұлақ тауып алды. Олардың ішінде кем дегенде екеуі бірдей саңырауқұлақтарды тапқанын дәлелдеңіз.

1-қадам. Балалардың саны көп. Келесі есепте олар 2-ге кем болсын делік: Үш бала х саңырауқұлақ тауып алды. Олардың кем дегенде екеуі бірдей саңырауқұлақтарды тапқанын дәлелдеңіз.

Мұны дәлелдеу үшін қай есептің x шешімі бар екенін анықтайық. x=0, x=1, x=2 үшін есептің шешімі бар, x=3 үшін есептің шешімі жоқ. Осыған ұқсас есеп құрастырайық.

Үш дос 2 саңырауқұлақ тауып алды. Олардың кем дегенде екеуі бірдей саңырауқұлақтарды тапқанын дәлелдеңіз.

Үш бала да саңырауқұлақтардың әртүрлі санын тапты деп ұйғарайық. Сонда саңырауқұлақтардың ең аз саны 3-ке тең, өйткені 3=0+1+2. Бірақ шарт бойынша саңырауқұлақтардың саны 3-тен аз, сол себепті 3 ұлдың екеуі бірдей саңырауқұлақтарды тапқан.

Түпнұсқа есепті шешкенде де дәлелдеу дәл солай болады. Бес баланың барлығы саңырауқұлақтардың әртүрлі санын тапсын. Саңырауқұлақтардың ең аз саны 10 болуы қажет (10=0+1+2+3+4). Алайда шарт бойынша саңырауқұлақтардың саны 10-ға жетпейді, сондықтан екі бала бірдей саңырауқұлақтарды тапқан. Есепті шешу кезінде «белгісіз» ережесі қолданылды.

Мысал 2 Ұста бір тағаны 15 минутта жасайды. 10 жылқыға таға жасау үшін 8 ұста қанша уақыт керек?

1-қадам. Жылқылар мен ұсталар көп болғандықтан, есепті шығару барысында, олардың санын пропорционалды түрде азайтайық. Ұста бір тағаны 5 минутта жасайды. Бес атқа таға жасау үшін төрт ұстаға қанша уақыт қажет?

Ең аз мүмкін болатын уақыт 25 минут екені белгілі, алайда оған жету мүмкін бе? Ұсталардың жұмысын тоқтаусыз ұйымдастыру керек. Симметрияны бұзбай әрекет етейік. Бес атты шеңберге орналастыр. Төрт ұста бір аттың тағасын жасап болған соң, ұсталар бір атты шеңбер бойымен жылжытады. Толық шеңберді айналып өту үшін 5 минуттық жұмыстың бес циклі керек. Төрт айналымда әр аттың тағасы жасалып, бір айналым тынығады. Нәтижесінде бүкіл аттыкі 25 минутта жасалады.

2 қадам. Алғашқы есепке оралсақ, 8=2*4 және 10=2*5 екенін ескеріңіз. Содан соң 8 ұстаны екі бригадаға бөлу керек. Әрқайсысы 4 адам, ал жылқы - әрқайсысы 5 жылқыдан. 25 минуттан кейін ұсталардың бірінші бригадасы бірінші үйірді, ал екіншісі - екіншісін соғады.

Шешу кезінде «келесі» ережесі қолданылды.

Әлбетте, жоғарыда аталған ережелердің ешқайсысын қолдануға келмейтін тапсырмалар болуы әбден мүмкін. Сондықтан, ол тапсырманы шешудің арнайы әдісін ойлап табу қажет болады.

Стандарт емес есептерді шешу - есептерді шешуге арналған әрекеттерді әрқашан интроспекциялау нәтижесінде ғана игерілетін өнер екенін естен шығармаған жөн.

Математикалық ойлауды қалыптастырудағы стандарт емес тапсырмалардың рөлі

Қазіргі кезде білім берудегі математиканы оқытудың құрамдас бөлігіне тапсырмаларды оқушылардың өз бетінше орындауы жатады. Бұл, ең бірінші, оқытудың дамытушылық функцияларын арттыруға бағытталған талаптардың күшеюімен түсіндіріледі.

“Стандарт емес тапсырмалар” ұғымын көптеген әдіскерлер пайдаланады. Осылайша, Ю.М.Колягинбұл ұғымды былайша кеңейтеді: стандарт емес тапсырма, оқушылар оны шешу жолын да, ол шешімнің қандай оқу материалдарына негізделгенін де бастапқыда білмейді.

Математиканы оқытуда стандарт емес тапсырмаларды қолданудың теориясы мен тәжірибесін талдау негізінде олардың жалпы және арнайы рөлі белгіленген.

Стандартты емес тапсырмалар:

Олар балаларды тек дайын алгоритмдерді ғана емес, сонымен қатар есептерді шешудің жаңа жолдарын өз бетінше табуға үйретеді, яғни есептерді шешудің өзіндік жолдарын табуына ықпал етеді;

Оқушылардың тапқырлығының, логикасының дамуына көмектеседі;

Оқушылардың білімдері мен дағдыларындағы қате байланыстарды жою, алгоритмдік әдістерді меңгеруді ғана емес, білімдегі жаңа байланыстарды табуды, ақыл-ой әрекетінің әртүрлі әдістерін меңгеру;

Олар оқушылардың білімінің күші мен тереңдігін арттыруға қолайлы жағдай жасайды, математикалық ұғымдарды саналы түрде меңгеруді қамтамасыз етеді.

Қорытынды: Стандарт емес есептер шығару оқушылардың математикалық ойлауы мен шығармашылық белсенділігін дамытуға ықпал ететіні дәлелденген. Белгілі стандартқа (алгоритмге) сәйкес шешілмеген тапсырма оқушының шығармашылық қабілеті мен өзіндік ерекшелігін талап етеді, ал стандарт тапсырма мұндай қабілеттерді аса талап етпейді. Дей тұрғанмен, “стандарт емес” ұғымының салыстырмалы екенін айта кету керек. Оқушының осы типтегі есепті шығару жолын білуіне немесе білмеуіне байланысты бір есеп стандарт немесе стандартты емес болуы мүмкін.

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі

1. Reboot Foundation, Обучение математическому рассуждению: критическое математическое мышление посредством решения проблем и моделирования, 2022. Руководство для учителей

2. М. Аскью, Определение эффективного преподавания математики: некоторые вопросы для исследования, Афр. Дж. Рез. Математика. наук. Технол. Образование. 24 (2020) 1–10

3. Ж. Мата-Перейра, Ж. П. да Понте, Совершенствование математических рассуждений учащихся в классе: действия учителя, способствующие обобщению и обоснованию, Образование. Стад. Математика. 96 (2017) 169–186.

4. Мюллер М., Янкелевиц Д., Махер К. Учителя, способствующие математическому рассуждению учащихся, Расследование. Математика. Учиться. 7 (2014) 1–20