Бастауыш сынып оқушыларына арналған логикалық есептер жинағы

1

1.ӨРНЕКТЕРДІ ЫҚШАМДАУ, ЕСЕПТЕ У

№ 1. .
25
3
:0345,025,6
125
16
55,0175,0
5
3
40
29
A

 А санының жай бӛлгіштерін табыңыз.
№ 2. Амалдар орындаңыз: .216,00004,05
3
1


№ 3. Ӛрнекті ықшамдаңыз: ,
3
5
60)35(
2
x
x
xx



мұндағы ).6,0;0(x
№ 4. Бӛлшекті қысқартыңыз: .
1
3
3


ab
abab


№ 5. Ӛрнекті ықшамдаңыз: .
2
3
yx
yxx
yx
yx







№ 6. Ӛрнекті ықшамдаңыз: .
22
x
xa
xaxa
xaxa 





№ 7. Ӛрнекті ықшамдаңыз: 16
11
:xxxxx


№ 8. Есептеңіз: 53
340112
361033
3





№ 9. Ӛрнекті ықшамдаңыз: .5,0log3log225,0log3log
35,0
4
3
4
5,0 

№ 10. Ӛрнекті ықшамдаңыз: .2log2log
64
1
log)12log3(log6
3
2
3392


№ 11. Ӛрнекті ықшамдаңыз: .
3log3log
3log3log
5
115
5
115




№ 12. Ӛрнекті ықшамдаңыз: .
7log
147log
7log
21log
3
7
21
7



№ 13. Есептеңіз: .7log6log5log4log
8765


№ 14. Есептеңіз: .31036
36log2lg15log
96



№ 15. Есептеңіз: .41036
49log4lg15log
46




№ 16. 3183
2log3
1
3log2
1
1
94



ӛрнегін ықшамдаңыз.

2

№ 17. Ӛрнекті ықшамдаңыз:
).102(log)102(log3)102(log)102(log
410410 
№ 171. Ӛрнекті ықшамдаңыз:
.281log
2
1
33log18log
)3(loglog32
4
)13(loglog
22
25,023


№ 18. Егер m9log
18

және n7log
18

болса, онда 72log
441

ӛрнегінің
мәнін табыңыз.


№ 19. x5log
3

және y6log
3

болса, онда 8log
15

ӛрнегінің мәнін
табыңыз.

№ 20. a5lg

және b3lg

болса, онда 8log
30

ӛрнегінің мәнін
табыңыз.

№ 21. Есептеңіз: .
2log
5log
2lg
40log
80
22



№ 22. Егер 2
sin2cos3
sin3cos2




 болса, 2sin табыңыз.
№ 23. Есептеңіз: .70cos470
00
ctg

№ 231. Ӛрнекті ықшамдаңыз: .
sin1
cos1
2sincos2
2sinsin2











ҚОСЫМША ЕСЕПТЕР
№ 24. 3x болғанда 
x
x
xx
3
123
2

 ӛрнегін ықшамдаңыз.
№ 25. 0,
4
5
2
2
 b
b
b ӛрнегін ықшамдап, коэффициентін табыңыз.
№ 26. cb
a
ac
3
8
3
12

ӛрнегін ықшамдаңыз, мұндағы 0,0,0  cba
№ 27.  2cos22cos24cos
2
 ӛрнегін ықшамдаңыз.
№ 28. ЕҮОБ(38; b)=2, ЕКОЕ(38; b)=1216, b -ның мәнін табыңыз.
№ 29. Қосындыны есептеңіз: ...
6
sin
6
sin1
2


№ 30. Егер 5
1
cossin  болса, онда ctg

мәнін есептеңіз.
№ 31. Ӛрнектің ең үлкен мәнін табыңыз: .422
22
bbaab 

№ 32. Ӛрнектің ең кіші мәнін табыңыз: ).43(3)12)(12( abbaa 

№ 33. Егер 4a

болса, 1684513
22
 aaaa

ӛрнегін
ықшамдаңыз.

3

№ 34. Есептеңіз: .324
8
3
364
3
2
2
1










№ 35. Есептеңіз: .24923013 



1.1. Ш Е Ш І М Д Е Р І
№ 1. Шешуі: .4
5125,0
05,2
2875,08,0
05,2
250115,005,016
725,06,0725,0
25
3
:0345,025,6
125
16
55,0175,0
5
3
40
29








.4A
4 санының бӛлгіштері: 1; 2; 4. Жай бӛлгіші: 2.

Жауабы: 2.

№ 2. Шешуі: 

3
1
216,00004,05 
3
1
2
216,0
1
02,05 .
6
1
6,0
1,0
6,0
1
02,05
3
1
3




Жауабы: 6
1 .

№ 3. Шешуі: .0353,350,
5
3
0  xxx

Бӛлшектің бӛлімін
ортақ бӛлімге келтіреміз, 222
2)( bababa  формулаларын және
модуль анықтамасын қолданамыз: 


x
x
xx
3
5
60)35(
2 


x
x
xxx
35
6093025
2
35
93025
2



x
xxx 



35
)35(
2
x
xx 


35
35
x
xx .
35
)35(
x
x
xx





Жауабы: .x

№ 4. Шешуі: ))((
22
bababa  формуласын қолданамыз:



1
3
3
ab
abab 



1
3
3
3
3
ab
abab 









1
1
3
2
33
ab
abab
  



1
11
3
333
ab
ababab
 abab 1
33
 .
33 22
abba


Жауабы: .
33 22
abba

№ 5. Шешуі: Бӛлшектерді ортақ бӛлімге келтіреміз, ))((
22
bababa 
формуласын қолданамыз:






yx
yxx
yx
yx
2
3 





))(( yxyx
yyxx
yx
yx

4
))((
))((
yxyx
yyxxyxyx


 



))(( yxyx
yyxxyyyxxyxx


))(( yxyx
yxxy


 



))((
)(
yxyx
yxxy .
yx
xy

Ж: .
yx
xy


№ 6. Шешуі: Бӛлшектерді ортақ бӛлімге келтіреміз, ,2)(
222
bababa 
))((
22
bababa  формулаларын қолдана-
мыз, бірінші бӛлшектің бӛліміндегі иррационалдықтан құтылу үшін
алымын да, бӛлімін де бӛліміндегі ӛрнектің түйіндесіне кӛбейтеміз:





x
xa
xaxa
xaxa
22  





x
xa
xaxaxaxa
xaxa
22
2
))((

x
xa
xaxa
xaxaxa
2222
2 



 




x
xa
x
xaa
2222
2
22
.
2222
x
a
x
xaxaa



Жауабы: .
x
a

№ 7. Шешуі: Түбірдің ,0, aaa
nknk

және дәреженің ,
qpqp
aaa


qp
q
p
a
a
a



қасиеттерін қолданамыз:
16
11
:xxxxx 
16
11
16
1
8
1
4
1
2
1
:xxxxx


.
4
1
16
4
16
1115
16
111248
16
11
16
1
8
1
4
1
2
1
xxxxx 



Жауабы: .
4
1
x
№ 8. Шешуі: ,33)(
32233
babbaaba  222
2)( bababa 
қысқаша кӛбейту формулаларын қолданамыз:





53
340112
361033
3 



53
)3210(
)31(33
2
3 3 



53
3210
3133
n
k
nk
aa

5

.13213
53
)53(2
324 



Жауабы: .13

№ 9. Шешуі: Логарифмнің



қасиетін
және арифметикалық түбірдің aa
2

анықтамасын, ,03log
5,0 05,0log
3


екенін қолданамыз:  5,0log3log225,0log3log
35,0
4
3
4
5,0
 5,0log3log2)5,0log3(log
35,0
22
3
2
5,0
 5,0log3log25,0log3log
35,0
2
3
2
5,0
 5,0log3log)5,0log3(log
35,0
2
35,0
 5,0log3log5,0log3log
35,035,0
 5,0log3log5,0log3log
35,035,0 ).5,0log3(log2
35,0



Жауабы: ).5,0log3(log2
35,0

№ 10. Шешуі: Логарифмнің
Rxxx
aa
 

 ,0,0,log
1
log
,
,

қасиеттерін
қолданамыз:  2log2log
64
1
log)12log3(log6
3
2
3392

 2log2log
2
1
log)12log3(log6
3
2
36332
2









2log2log2log12log3log
2
1
6
3
2
3
6
332







 2log2log2log61
2
1
6
3
2
33  2log2log2log6
2
3
6
3
2
33

 2log2log2log69
3
2
33  2log)2log3(
3
2
3 .32log2log3
33



Жауабы: 3.

№ 11. Шешуі: Логарифмнің a
b
b
a
log
1
log , 1,0,
log
1
log  bb
a
b
b
a 0,loglog  xxkx
a
k
a 1,0,
log
1
log  bb
a
b
b
a

6
 ,logloglog yxxy
aaa



қасиеттерін
қолданамыз: 


3log3log
3log3log
5
115
5
115 


5
1
log
1
15log
1
5
1
log15log
1
3
3
33 



5
1
log15log
15log
5
1
log
5
1
log15log
1
33
33
33 
15log
5
1
log
1
33










15
5
1
log
1
3 .1
1
1
3log
1
3


Жауабы: 1.

№ 12. Шешуі: Логарифмнің a
b
b
a
log
1
log ,  ,logloglog yxxy
aaa




қасиеттерін қолданамыз:
7log
147log
7log
21log
3
7
21
7
  3log147log21log21log
7777
   3log)493(log)73(log
77
2
7  3log)49log3(log)3log1(
777
2
7

.13log23log3log3log21
7
2
7
3
77 
Жауабы: 1.

№ 13. Шешуі: Логарифмнің 1,0,
log
log
log  cc
a
b
b
c
c
a

қасиеті
бойынша

ӛрнектегі логарифмдерді негізі бірдей болатын логарифм
арқылы жазамыз: 7log6log5log4log
8765 
8log
7log
7log
6log
6log
5log
4log
5
5
5
5
5
5
5



8log
4log
5
5
.
3
2
2log3
2log2
5
5

Жауабы: .
3
2


№ 14. Шешуі: - негізгі логарифмдік тепе-теңдікті
және логарифмнің , bb
a
n
a
n loglog , bb
a
n
a
n loglog 

қасиеттерінен:

 36log2lg15log
96
31036 
36log2lg
5log
9
2
2
6
3101036


6log25log
336
321036 .3962025  Жауабы: 39. 0,loglog  xxkx
a
k
a 0,loglog  xxkx
a
k
a 0,
log
 xxa
x
a 0,loglog  xxkx
a
k
a

7

№ 15. Шешуі: - негізгі логарифмдік тепе-теңдікті және
логарифмнің , bb
a
n
a
n loglog

және дәреженің q
p
qp
a
a
a



қасиеттерінен: 
 49log4lg15log
46
41036  49
10
10
36
4lg
5log
2
2
6

.5,21495,22549
4
10
36
25log
36
 Жауабы: -21,5.
№ 16. Шешуі: - негізгі логарифмдік тепе-теңдікті және
логарифмнің , және
дәреженің qpqp
aaa 


қасиеттерінен: 3183
2log3
1
3log2
1
1
94

  31833
3
9log
2
4log
23



31233
3
9log
3
2
2log
2
2
3


31233
9log2
2log2
2
3

.13431631923  Жауабы: 1.
№ 17. Шешуі: - негізгі логарифмдік тепе-теңдікті және
логарифмнің , bb
a
n
a
n loglog

қасиеттерінен:
 )102(log)102(log3)102(log)102(log
410410
 )102(log)102(log3)102(log)102(log
22
210210
 )102(log)102(log
2
3
)102(log
2
1
)102(log
210210 
2
1
1010 10log2log










2
1
22 10log2log
2
1 


















2
1
22
2
1
1010 10log2log10log2log
2
3






 10log
2
1
1
2
1
2
1
2log
210 











 10log
2
1
1
2
1
2log
2
3
210
0,
log
 xxa
x
a 0,loglog  xxkx
a
k
a 0,
log
 xxa
x
a 0,loglog  xxkx
a
k
a 1,0,
log
1
log  bb
a
b
b
a 0,
log
 xxa
x
a 0,loglog  xxkx
a
k
a

8
 10log
4
1
2
1
2
1
2log
210 





 10log
4
1
10log2log
2
1
2
1
2log
2
3
221010
 10log
4
1
12log
210  10log
8
3
2
3
2log
2
3
210 
2
1
10log
8
1
2log
2
1
210









 2
2lg2
1
2lg2
4
1 








 2
4lg
1
4lg
4
1 .
4lg
1
4lg
4
1
2










Жауабы: ;2
4lg
1
4lg
4
1









.
4lg
1
4lg
4
1
2










Ескерту:
)102(log)102(log3)102(log)102(log
410410 
болғанда
жауабы ;2
4lg
1
4lg
4
1









.
4lg
1
4lg
4
1
2









Егер де ӛрнек )102(log)102(log3)102(log)102(log
410410 

түрінде
берілсе, онда жауабы: .12
2lg
5
2lg4
8
1











№ 171. Шешуі: - негізгі логарифмдік тепе-теңдікті және
логарифмнің , bb
aaloglog

қасиеттерінен:

 )3(loglog32
4
)13(loglog
22
25,023
281log
2
1
33log18log
  
 )3(loglog)1(3
2
4222
22
281log
2
1
)13(log3log)92(log   
)3(loglog3
2
2
22
2
2
2
22
22
23log
2
1
3log3log3log2log
  
3
22
)3(loglog
2
22
2
22 23log2
2
1
3log3log3log21
 3log3log
2
4
3log3log31
3
2
2
2
2
22  3log3log23log3log31
3
2
2
2
2
22  3log3log33log31
3
2
2
22

 
3
23log1   .6log3log2log
3
2
3
22  Жауабы: .6log
3
2 0,
log
 xxa
x
a 0,loglog  xxkx
a
k
a

9

№ 18. Шешуі:

Логарифмнің ,  ,logloglog yxxy
aaa


және
қасиеттері бойынша түрлендіріп, ықшамдайық: 
441log
72log
72log
18
18
441 


)499(log
)29(log
18
3
18 


2
1818
1818
7log9log
2log39log



7log2
9
18
log3
18
18
m
m
.
2
23
2
33
2
)9log18(log3
1818
nm
m
nm
mm
nm
m










Жауабы: .
2
23
nm
m



№ 19. Шешуі:

Логарифмнің ,  ,logloglog yxxy
aaa


және
қасиеттері бойынша түрлендіріп, ықшамдайық: 8log
15 
15log
8log
3
3 
)53(log
2log
3
3
3 
5log3log
2log3
33
3

x1
3
6
log3
3 


x1
)3log6(log3
33
.
1
)1(3
x
y




Жауабы: .
1
)1(3
x
y



№ 20. Шешуі:

Логарифмнің ,  ,logloglog yxxy
aaa


және
қасиеттері бойынша түрлендіріп, ықшамдайық:
8log
30 
30lg
8lg 
)103lg(
2lg
3 
10lg3lg
2lg3 
1
5
10
lg3
b 


b1
)5lg10(lg3 .
1
)1(3
b
a




Жауабы: .
1
)1(3
b
a



№ 21. Шешуі: Логарифмнің a
b
b
a
log
1
log ,  ,logloglog yxxy
aaa




қасиеттерін қолданамыз: 
2log
5log
2lg
40log
80
22
 80log5log10log40log
2222

1,0,
log
log
log  cc
a
b
b
c
c
a 0,0,logloglog  yxyx
y
x
aaa 0,loglog  xxkx
a
k
a 1,0,
log
log
log  cc
a
b
b
c
c
a 0,0,logloglog  yxyx
y
x
aaa 0,loglog  xxkx
a
k
a 1,0,
log
log
log  cc
a
b
b
c
c
a 0,0,logloglog  yxyx
y
x
aaa 0,loglog  xxkx
a
k
a 0,loglog  xxkx
a
k
a

10
 )165(log5log)25(log)85(log
2222

 )16log5(log5log)2log5(log)8log5(log
2222222

 )45(log5log)15(log)35(log
2222


.35log45log35log5log35log
2
2
222
2
2 
Жауабы: 3.

№ 22. Шешуі: Теңдіктің сол жағындағы бӛлшектің алымын да, бӛлімін
де cos -ге бӛлеміз:





sin2cos3
sin3cos2 ,
23
32
cos
sin2
cos
cos3
cos
sin3
cos
cos2










tg
tg






сонда ,2
23
32





tg
tg
,8,4632   tgtgtg
.
65
16
641
16
1
2
2sin
2








tg
tg

Жауабы: 65
16 .
2-ші әдіс: ,sin4cos6sin3cos2,2
sin2cos3
sin3cos2






,cos2cos6sin4sin3  
,cos8sin  ,8tg .
65
16
641
16
1
2
2sin
2








tg
tg

№ 23. Шешуі: ,
sin
cos


ctg
 cossin22sin
, 2
cos
2
sin2sinsin




, келтіру формулаларын қолдaнамыз:

00
70cos470ctg 
0
0
0
70cos4
70sin
70cos


0
000
70sin
70cos70sin470cos




0
00
70sin
140sin270cos 

0
0000
70sin
40sin40sin)2090cos(

11

0
000
70sin
40sin40sin20sin 
 


0
000
70sin
40sin10cos30sin2 



)2090sin(
40sin)8090cos(
2
1
2
00
000 

0
00
20cos
40sin80sin

.3
2
3
260sin2
20cos
20cos60sin2
0
0
00



Жауабы: .3
№ 231. Шешуі: 









sin1
cos1
2sincos2
2sinsin2 









sin1
cos1
cossin2cos2
cossin2sin2 
















2
2
sin1
cos1
sin1
cos1
)sin1(cos2
)cos1(sin2
tg 



2
2
cos
sin
tg .
32
 tgtgtg 

Ж: .
3
tg

ҚОСЫМША ЕСЕПТЕР
№ 24. Шешуі: 0x болу керек: 



x
x
xx
3
123
2 


x
x
xxx
3
1296
2





x
x
xx
3
96
2 .
3
)3(
3
3
3
)3(
2
x
x
xx
x
xx
x
xx









Жауабы: .x
№ 25. Шешуі: .10
2
5
2
5
4
5
22
2
2
b
b
b
b
b
b
b 

 Жауабы: -10.
№ 26. Шешуі: 
cb
a
ac
3
8
3
12 
bc
a
b
ac
bc
a
b
ac
2
36
2
3
2
1
12




22
63
2
236
b
abca
cb
bcaac 3
63









b
a
c .2
33
3
2
bca
b

Жауабы: ;
63
2
b
abca
3
63









b
a
c
; .2
33
3
2
bca
b

№ 27. Шешуі: Қос аргументтің косинусының және дәрежені тӛмендету
формуласын қолданамыз:   2cos22cos212cos22cos22cos24cos
222
12cos22cos
2
  .sin4)sin2()2cos1(
4222
 
Жауабы: .sin4
4


12

№ 28. Шешуі: Екі санның ең үлкен ортақ бӛлгіші мен ең кіші ортақ
еселігінің кӛбейтіндісі осы сандардың кӛбейтіндісіне тең, онда екінші
сан

.64
19
1216
38
12162


b


Жауабы: 64.
№ 29. Шешуі: Шексіз кемімелі геометриялық прогрессия, еселігі
.5,0
2
1
6
sin 

q

Онда прогрессия қосындысы:
.2
5,0
1
5,01
1
1
1





q
b
S
Жауабы: 2.

№ 30. Шешуі: 5
1
cossin  ӛрнегінің екі жағын да квадраттаймыз: ,
25
1
coscossin2sin
22
 
,
25
1
2sin1  ,1
25
1
2sin 
.
25
24
2sin 



2sin
2cos1
ctg
формуласын қолданамыз. ;
625
49
625
576625
625
576
12sin12cos
22


 
.
25
7
625
49
2cos 

Сонда ;
3
4
24
32
25
24
25
7
1
2sin
2cos1








ctg
.
4
3
24
18
25
24
25
7
1



ctg

Жауабы: .
4
3
;
3
4



№ 31. Шешуі: Толық квадратты бӛліп алатындай, қосылғыштарды
топтастырамыз: .)2()(44)44()2(422
2222222
 bbabbbababbaabA

0)2()(
22
 bba
екенін ескерсек, онда .4,4)2()(4
22
 AbbaA
Eң үлкен мәні 4-ке тең. Жауабы: 4.
№ 32. Шешуі: Жақшаларды ашып, толық квадратты бӛлеміз:
 abbaabbaaA 12914)43(3)12)(12(
22  19124
22
baba

13

.1)32(
2
 ba
,0)32(
2
ba
онда .11)32(
2
 baA
Ӛрнектің ең кіші мәні: -1. Жауабы: -1.
№ 33. Шешуі: 222
2)( bababa 

қысқаша кӛбейту формуласын және 





0,
,0,
2
aa
aa
aa

арифметикалық түбір анықтамасын және
07,04  aa екенін қолданамыз: 1684513
22
 aaaa 
22
)4(4513 aaa
 44513
2
aaa  )4(4513
2
aaa  4914
2
aa

.77)7(
2
aaa 
Жауабы: .7a
№ 34. Шешуі: 







324
8
3
364
3
2
2
1 








2
3
2
2
1
2
18
8
27
8 





 18
27
8
8
3
2 












 2
3
2
3
3
2
18818
3
2
8 .64416
9
4
188 

№ 35. Шешуі:  24923013 
2
)122(23013 12223013 
2233013  
2
)12(3013
 )12(3013
.235)235(23043
2

Мұндай есептерді шығарғанда күрделі радикалдар формуласын
қолдануға болады: .
22
22
baabaa
ba





Мысалы: 




2
4943
2
1800184943
18004323043 .2351825
2
36
2
50
2
743
2
4943






14

2. М Ә С Е Л Е Е С Е П Т Е Р
№ 1. 300 г 50 %-тік және 100 г 30 %-тік қышқыл ерітінділері
араластырылды. Пайда болған қоспадағы қышқылдың проценттік
құрамын анықтаңыз.
№ 2. Бірінші сан 0,5, ал екінші сан 0,3. Екінші сан бірінші және екінші
сандардың айырмасының қанша процентін құрайды?
№ 3. Үш таңбалы санның цифрлары әртүрлі және жұп, оның
цифрларын кері жазып, оны берілген санмен қосқанда қосынды
1252 - ге тең болды. Берілген санның цифрларының кӛбейтіндісін
табыңыз.
№ 4. Үш бӛлшектің алымдары 1; 2; 5 сандарына пропорционал, ал
бӛлімдері сәйкес 1; 3; 7 сандарына пропорционал. Осы бӛлшектердің
арифметикалық ортасы 
441
200 ге тең. Осы бӛлшектерді табыңыз.
№ 5. Үш бӛлшектің алымдары 1; 2; 5 сандарына пропорционал, ал
бӛлімдері сәйкес 1; 3; 13 сандарына пропорционал. Осы бӛлшектердің
арифметикалық ортасы 
351
160 ге тең. Осы бӛлшектердің ең кішісін тап.
№ 6. Пойыз 840 км жол жүру керек. Жолдың ортасында ол 30 мин
кідіріп қалды және сол себепті уақытында келіп жету үшін
жылдамдығын 2 км/сағ арттырды. Пойыз барлық жолға қанша уақыт
жұмсады?
№ 7. Пойыз бірқалыпты 60 км/сағ жылдамдықпен жүре отырып,
ұзындығы 200 метр жыраның жанынан 0,3 минут аралығында ӛтті.
Пойыздың ұзындығын табыңыз.
№ 8. Екі дене бір бағытқа қарай шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалып
келеді. Бірінші дене екінші денеге қарағанда шеңберді 3 сек жылдам
айналып ӛтеді және әрбір бір жарым минут сайын екінші денені қуып
жетеді. Әрбір дене шеңберді қандай уақыт ішінде айналып ӛтеді?
№ 9. Пойыз жолда 6 мин кідіріп қалып, кесте бойынша жоспарланған
жылдамдықтан 10 км/ сағ артық жылдамдықпен ӛткен соң, 20 км
арақашықтықта кешігуді жойды. Кесте бойынша осы арақашықтықтағы

15

пойыздың жылдамдығын анықтаңыз.
№ 10. Ӛзен бойындағы екі кемежайдың арасы 80 км. Қайық барып,
қайтқанға 8 сағ 20 мин уақыт жұмсады. Ӛзен ағысының жылдамдығы
4 км/сағ , тынық судағы қайықтың жылдамдығын табыңыз.
№ 101. Моторлы қайық ағысқа қарсы 77 км жүзіп барып, кері қайтты.
Кері жолға барғандағы уақытқа қарағанда 4 сағ кем уақыт жұмсады.
Ағыстың жылдамдығы 2 км/сағ болса, моторлы қайықтың меншікті
жылдамдығын табыңыз.
№ 11. Тынық судағы жылдамдығы 15 км/сағ катер, ӛзен айлағынан
ӛзен ағысымен тӛмен қарай 36 км ӛткенде, катердің жӛнелтілуіне
10 сағ қалғанда сол ӛзен айлағынан шыққан салды қуып жетті. Ӛзен
ағысының жылдамдығын табыңыз.
№ 12. Арақашықтығы 600 км болатын А және В қалаларынан
2 мотоциклші бір уақытта бір-біріне қарама-қарсы шықты. Бірінші
мотоциклші 250 км жүргенде екінші мотоциклші 200 км жол жүрді.
Бірінші мотоциклші В қаласына екінші мотоциклші А қаласына
жеткеннен 3 сағат бұрын жетті. Екінші мотоциклшінің жылдамдығын
табыңыз.
№ 13. Велосипедші тұрақты жылдамдықпен А қаласынан 110 км
жердегі В қаласына барды. Келесі күні жылдамдығын 1 км/сағ -қа
арттырып кері қайтты. Жолда 1 сағат аялдады. Нәтижесінде кері
қайтқандағы жолға кеткен уақыт барғандағы уақытпен бірдей болды.
Велосипедші А қаласынан В қаласына барған жылдамдығын табыңыз.
№ 14. Бірінші құбырдан екінші құбырға қарағанда минутына 2 л су кем
ағады. Екінші құбыр 396 литрлік ыдысты бірінші құбыр 440 литрлік
ыдысты толтыруға қарағанда 4 минут жылдам толтырады. Екінші
құбырдан бір минутта ағатын су мӛлшерін табыңыз.
№ 15. Екі құбыр бассейнді 10 сағат ішінде толтырады. Егер екіншіге
қарағанда бірінші құбырдан судың 2 есе кем ағатыны белгілі болса, әр
құбыр жеке бассейнді қанша уақытта толтыратынын табыңыз.
№ 16. Екі жұмысшы белгілі бір тапсырманы бірге орындаса, оны
12 күнде бітіре алады. Егер алдымен олардың біреуі ғана жұмыс

16

жасап, ол жұмыстың жартысын орындап болған соң, оны екінші
жұмысшы алмастыратын болса, тапсырма 25 күн ішінде бітеді. Әр
жұмысшы жеке барлық тапсырманы қанша күн ішінде орындай алады?
№ 17. Екі жұмысшы бір ауысым ішінде 72 бӛлшек дайындайтын.
Бірінші жұмысшы еңбек ӛнімділігін 15 %, ал екіншісі 25 %
жоғарылатқан соң, олар бірге бір ауысым ішінде 86 бӛлшек дайындай
бастады. Еңбек ӛнімділігін жоғарылатқан соң әр жұмысшы бір ауысым
ішінде қанша бӛлшек дайындайды?
№ 18. Екі жұмысшы бір ауысым ішінде 62 деталь дайындайтын.
Бірінші жұмысшы еңбек ӛнімділ ігін 20 %, ал екіншісі 25 %
арттырғаннан кейін олар бірге 76 деталь дайындай бастады. Еңбек
ӛнімділігін арттырғанға дейін әр жұмысшы бір ауысым ішінде қанша
деталь дайындайды?
№ 19. Шебер үш күнде 48 бӛлшек жасады, оның бірінші, екінші және
үшінші күні жасаған бӛлшектерінің саны 5; 4 және 3 сандарына
пропорционал. Алғашқы екі күнде ол қанша бӛлшек жасады?
№ 20. А қаласынан бір уақытта екі автокӛлік шығып, В қаласына бір
уақытта жетті. Бірінші автокӛлік барлық жолды тұрақты
жылдамдықпен жүріп ӛтті. Екінші автокӛлік жолдың бірінші жартысын
бірінші автокӛліктің жылдамдығына қарағанда 15 км/сағ кем
жылдамдықпен, ал екінші жартысын 90 км/сағ жылдамдықпен жүрді.
Бірінші автокӛліктің жылдамдығы 54 км/сағаттан артық екені белгілі
болса,онда оның жылдамдығын табыңыз.
№ 201. Ғимараттың айналасына үйеңкі және қарағай ағаштары
отырғызылған. Олардың саны 14 -тен артық. Егер үйеңкілердің
сандарын екі есе арттырса, ал қарағайлардың санын 18-ге арттырса,
онда қарағайлардың саны үйеңкілердің санынан артық болады. Егер
қарағайлардың санын екі есе арттырса, ал үйеңкілердің санын
ӛзгертпесе, онда үйеңкілердің саны қарағайлардың санынан артық
болады. Отырғызылған үйеңкі ағаштарының санын табыңыз.
№ 21. Саяхатшы қайықпен 8.00-де А айлағынан 30 км жердегі
В айлағына қарай шықты. В айлағында 1,5 сағат болып, кері қайтты.
А айлағына 22.00-де жетті. Қайықтың меншікті жылдамдығы 5 км/сағ

17

болса, ағыс жылдамдығын табыңыз.
№ 211. Шебердің 399 тетікті жасауға жұмсаған уақыты шәкірті 420 тетік-
ті жасауға жұмсаған уақытына қарағанда 2 сағатқа кем. Шебер 1 сағат-
та шәкіртіне қарағанда бір тетік артық жасайды. Шебердің 1 сағатта
жасайтын тетіктер санын табыңыз.
№ 212. Үш таңбалы санға осы үш таңбалы санның цифрлары кері
ретпен жазылған үш таңбалы санды қосс а, қосындысы 1252. Үш
таңбалы санның цифрларының қосындысы 14 -ке, ал цифрларының
квадраттарының қосындысы 84 -ке тең. Осы үш таңбалы санның
цифрларының кӛбейтіндісін табыңыз.
№ 213. Егер екі екітаңбалы санның үлкенінің оң жағына 0-ді, одан кейін
кіші санды тіркеп жазса, ал кіші санның оң жағына үлкен санды, одан
кейін 0-ді тіркеп жазса, онда пайда болған бірінші бес таңбалы санды
екінші бес таңбалы санға бӛлсе, толымсыз бӛлінді 2, қалдық 59
болады. Екі еселенген үлкен екі таңбалы сан мен үш еселенген кіші екі
таңбалы санның қосындысы 72-ге тең. Үлкен екі таңбалы санды
табыңыз.

ҚОСЫМША ЕСЕПТЕР
№ 22. А және В пункттерінен бір мезгілде бір-біріне қарама - қарсы
мотоцилші мен велосипедші шықты. Олар В пунктінен 4 км
қашықтықта кездесті. Ал мотоциклші В пунктіне жеткен кезде
велосипедші А пунктінен 15 км қашықтықта еді. А мен В пункттерінің
арақашықтығын табыңыз.
№ 23. Ұзындығы 100 м-ге тең шеңбер бойымен екі дене қозғалып
келеді. Олар бір бағытта және тура солай қозғалып, әрбір 20 сек сайын
кездеседі және әрбір 4 секундтан соң қарама -қарсы бағыттарда
қозғалады. Әрбір дененің бір секундтағы жылдамдығын табыңыз.
№ 24. 30 %-тік 18 л тұз ерітіндісін 16 %-тік 24 л тұз ерітіндісімен
араластырылды. Жаңа ерітіндінің проценттік концентрациясын
табыңыз.
№ 25. 132 кг мыс пен мырыш қорытпасында 30 % мыс бар. Қанша мыс
қосқанда 45 % -і мыс болатын қорытпа аламыз?
№ 26. Екі түрлі қорытпа бар. Олардың құрамында сәйкес 20 % және
35 % мыс бар. Құрамында 25 %-і мыс болатын 126 кг қорытпа алу

18

үшін әрбір қорытпадан қаншадан алу керек?
№ 27. Екі таңбалы санның цифрларының қосындысы 13 -ке тең. Егер
екі таңбалы санның цифрларының орнын ауыстырса, берілген саннан
45-ке артық сан шығады. Берілген санды және оның шыққан санмен
қосындысын табыңыз.

№ 28. Берілген тӛрт санның алғашқы үшеуі 5-ке, 3-ке, 20-ға
пропорционал, ал тӛртінші сан үшіншісінің 15 %-іне тең. Ал егер
тӛртінші сан қалғандарының қосындысынан 375-ке кем болса, алғашқы
үш санды табыңыз.
№ 29. Үш бригадада 125 адам бар. Екінші бригададағы адамдар саны
бірінші бригадағы адамдардың 75 %-і, ал үшінші бригадағы адамдар
санынан 5 адам кем болса, бірінші, екінші және үшінші бригададағы
адамдар санын табыңыз.
№ 30. А мен В пункттерінің арасы 48 км. Моторлы қайық А-дан В-ға
ӛзенмен жүзіп барып және қайтуға 7 сағат жұмсады. Ӛзен ағысының
жылдамдығы 2 км/сағ болса, моторлы қайықтың меншікті
жылдамдығын табыңыз.

№ 31. Арақашықтығы 84 км болатын А пунктінен В пунктіне
велосипедші шықты, ал 2 сағаттан соң оған қарама-қарсы мотоциклші
В пунктінен А пунктіне қарай шықты. Мотоциклшінің жылдамдығы
велосипедшінің жылдамдығынан 48 км/сағ артық. Олардың кездесу
мезгілінде велосипедшінің мотоциклшіден 16 км кем жүргені белгілі
болса, онда әрқайсысының жылдамдығын табыңыз.
№ 32. Бір уақытта ашылған екі құбыр бассейннің бӛлігін 18 минутта
толтырады. Егер оның біреуі екіншісіне қарағанда бассейнді 18 мин
тезірек толтыратын болса, онда әр құбыр жеке-жеке бассейнді қанша
уақытта толтыра алады?
№ 33. Қайық кӛлде жүзіп, 3 сағатта қандай қашықтыққа барса, ӛзенде
ағыспен 2 сағатта сондай қашықтыққа барады. Сал ӛзенде бір сағатта
осы қашықтықтың қандай бӛлігін жүзеді?
№ 34. Арақашықтықтары 400 метр болатын екі адам құмның үстінде, 6
5

19

бірінен соң бірі 2 км/сағ жылдамдықпен келе жатты. Біраз уақыт ӛткен
соң бірінші адам тас жолға шықты да әрі қарай 5 км/сағ жылдамдықпен
жүрді. Сәлден соң екінші адам тас жолға шығып, біріншінің соңынан
4 км/сағ жылдамдықпен жүрді. Екінші адам тас жолмен 45 минут
жүргеннен кейін адамдардың арақашықтығы қанша болды?
№ 35. Аулада 40 балапан жүр. Бірінші балапан 10 бидай, екіншісі
20 бидай дәнін жеді. Егер әрбір келесі балапан алдыңғы барлық
балапандар жеген бидай дәндерінің арифметикалық ортасына те ң
болатын бидай жесе, соңғы балапан неше бидай дәнін жеген?
№ 36. Екі таңбалы сан ӛзінің цифрларының қосындысынан 6 есе
артық. Егер осы саннан оның цифрларының кӛбейтіндісін алып
тастасақ, онда 34 шығады. Алғашқы санды табыңыз.

2.1. Ш Е Ш І М Д Е Р І
№ 1. Шешуі: Пайда болған қоспадағы
қышқылдың проценттік құрамы х % болсын.
Пропорция : ,
100
300
50
30



x
x x - 30=3(50 - x),
x - 30=150 - 3x, 4x=180; x=180 : 4=45 %.
Жауабы: 45 %.
2-ші тәсіл: Кесте құрамыз:
Ерітінді Ерітінді массасы, г Қышқыл, %-і Ерітіндідегі қышқыл
массасы, г
1-ші ерітінді 300 50 300∙0,5=150
2-ші ерітінді 100 30 100∙0,3=30
Қоспа ерітінді 400 x 400x : 100=4x
Теңдеу құрамыз, ерітінділердегі тұз массаларының қосындысы:
4х = 150+30; 4х = 180, x=180 : 4=45 % .
№ 2. Шешуі: Бірінші және екінші сандардың айырмасы: 0,5 – 0,3=0,2.
0,2 саны 100 % болса, онда екінші 0,3 саны 0,2 санының 150 %-і
болады, себебі 0,3 саны 0,2 санынан 1,5 есе артық. Жауабы: 150 %.

20

№ 3. Шешуі: Үш таңбалы сан abc болсын, цифрлары кері ретпен
жазылғанда cba болады. ,1252cbaabc
,12521010010100  abccba
,125220101101  bca ,401210120)(101  bca
себебі 20 - ны бір таңбалы санға кӛбейткенде соңғы цифры 0 болады,
қосындының соңғы цифры 2 болу керек, онда 101 санын 12 кӛбейту
керек. ,120212101 ,12ca

онда
.2b
Сонымен сан
ca2
түрінде.
12ca болатын жұп цифрлар, олар 4 және 8. Берілген санның
цифрларының кӛбейтіндісі: 4∙2∙8=64. Жауабы: 64.
№ 4. Шешуі: Бірінші бӛлшек b
a

болсын, онда екінші бӛлшек ,
3
2
b
a

үшінші бӛлшек b
a
7
5 . Олардың арифметикалық ортасы 
441
200 ге тең,
теңдеу құрамыз:
,
441
200
3:
7
5
3
2







b
a
b
a
b
a
,
441
3200
7
5
3
2 

b
a
b
a
b
a
,
147
200
21
151421


b
aaa
,
147
200
21
50

b
a ,
7
4
50147
21200




b
a ,
21
8
73
42
3
2




b
a
.
49
20
77
45
7
5




b
a
Жауабы: .
49
20
;
21
8
;
7
4
№ 5. Шешуі: Бірінші бӛлшек b
a

болсын, онда екінші бӛлшек ,
3
2
b
a


үшінші бӛлшек b
a
13
5 . Олардың арифметикалық ортасы 
351
160 ге тең,
теңдеу құрамыз: ,
351
160
3:
13
5
3
2







b
a
b
a
b
a
,
351
3160
13
5
3
2 

b
a
b
a
b
a ,
117
160
39
152639


b
aaa

21

,
117
160
39
80

b
a ,
3
2
80117
39160




b
a ,
9
4
33
22
3
2




b
a
.
39
10
313
25
13
5




b
a
Табылған бӛлшектерді салыстырсақ,
онда .
39
10
9
4
3
2


Eң кішісі:
.
39
10


Жауабы: .
39
10
№ 6. Шешуі: Пойыздың бастапқы жылдамдығы х км/сағ болсын.
Онда тоқтағаннан кейінгі пойыз жылдамдығы (х+2) км/сағ болады.
Тоқтағанға дейінгі жүрген уақыты: x
420

сағ, тоқтағаннан кейінгі жүрген
уақыты: 2
420
x

сағ, олардың айырмашылығы 2
1
60
30
30 сагмин

сағ.

Теңдеу құрамыз: .
2
1
2
420420



xx

,2840)2(840
2
xxxx  ,28401680840
2
xxxx 
,016802
2
xx


,41168116801
2
1 D
40411
1 x км/сағ.
Пойыз барлық жолға 215,0105,10
2
1
42
420
40
420


сағат уақыт жұмсады.
Жауабы: 21 сағ.
2-ші әдіс: Пойыздың бастапқыда 2х сағатта жүруді жоспарласын,
жартысын х сағатта, ал 2-ші жартысын (х - 0,5) сағатта жүріп ӛтті,
себебі жарты жолда 30 минутқа немесе жарты сағатқа кідірді.
Тоқтағанға дейінгі жылдамдығы: x
420

км/сағ, тоқтағаннан кейінгі
жылдамдығы: 5,0
420
x

км/сағ, олардың айырмашылығы 2 км/сағ.

Теңдеу құрамыз: .2
420
05
420

 xx
,1
210
5,0
210

 xx ,5,0105210210
2
xxxx 
,01055,0
2
xx


,5,2025,42042025,0
2
D
5,10
2
21
2
5,205,0
1 

x сағ. Пойыз барлық
жолға 215,102 

сағат уақыт жұмсады. Жауабы: 21 сағ.

22

№ 7. Шешуі: Пойыздың ұзындығы х м болсын. Онда жыраның
қасынан ӛткенде (х+200) метр ұзындықты минмминмсагкм /1000/
60
1000
60/60 

жылдамдықпен 0,3 минутта жүріп ӛтті. Теңдеу құрамыз: .3,01000200 x
100,100200300,300200  xxx
м.
Жауабы: 100 м.

№ 8. Шешуі: Бірінші дене шеңберді х секундта айналып ӛтсін, онда
екінші дене шеңберді (х+3) секундта айналып ӛтеді.
Шеңбер ұзындығы у м болсын, онда бірінші дене шеңберді x
y м/с
жылдамдықпен, ал екінші дене шеңберді 3x
y м/с жылдамдықпен
айналып ӛтеді. Бірінші дене 1,5 минут = 90 с сайын екінші денені
қуып жетеді. Теңдеу құрамыз: .90
3



x
y
x
y
y

Сонда ,90
3
11
1



xx
,90
)3(
3
1



xx
xx ,90
3
)3(

xx ,02703
2
xx
,33108910809
2
D
,15
2
333


x 15x
c,
x+3=15+3=18 c. Бірінші дене шеңберді 15 секундта, ал екінші дене
18 секундта айналып ӛтеді. Жауабы: 15 с; 18с.
№ 9. Шешуі: Пойыздың кесте бойынша осы арақашықтықтағы
жылдамдығы х км/сағ болсын. Онда кідіргеннен кейінгі 20 км
арақашықтықтағы пойыз жылдамдығы (х+10) км/сағ болады.
Кесте бойынша 20 км жолды жүру уақыты: x
20

сағ, кідіргеннен
кейінгі 20 км жолды жүрген уақыты: 10
20
x

сағ.
Олардың айырмашылығы 10
1
60
6
6 сагмин

сағ.

23


Теңдеу құрамыз: .
10
1
10
2020



xx
,10200)10(200
2
xxxx 
,102002000200
2
xxxx 
,0200010
2
xx
,452025200025
2
1 D
40455
1 x км/сағ.
Жауабы: 40 км/сағ.
№ 10. Шешуі: Тынық судағы қайықтың жылдамдығы х км/сағ болсын,
қайықтың ағыспен жылдамдығы (х+4) км/сағ, ағысқа қарсы
жылдамдығы (х - 4) км/сағ болады. 3
25
3
1
8
60
20
8208  сагсагминсаг

сағ.

Теңдеу құрамыз: .
3
25
4
80
4
80



хx Алымдарын 5-ке қысқартайық:
,
3
5
4
16
4
16



хx
),16(5)4(48)4(48
2
 xxx
,8051924819248
2
 xxx
,080965
2
xx

,522704400230440048
22
1 D
20
5
100
5
5248
1 

x
км/сағ.
Жауабы: 20 км/сағ.
№ 101. Шешуі: Моторлы қайықтың меншікті жылдамдығы х км/сағ
болсын, қайықтың ағыспен жылдамдығы (х+2) км/сағ, ағысқа қарсы
жылдамдығы (х - 2) км/сағ болады.
Теңдеу құрамыз: .4
2
77
2
77



хx
),4(4)2(77)2(77
2
 xxx ,1641547715477
2
 xxx
,3244
2
x ,81
2
x


9x
км/сағ.
Жауабы: 9 км/сағ.
№ 11. Шешуі: Ӛзен ағысының жылдамдығы х км/сағ болсын, катердің
ағыспен жылдамдығы (15+х) км/сағ болады. Сал ӛзен ағысының
жылдамдығымен жүзеді, салдың ӛзінің жылдамдығы жоқ.
Теңдеу құрамыз: .10
15
3636



хx
Алымдарын 2-ге қысқартайық: ,5
15
1818



хx

),15(518)15(18  xxxx
,7551827018
2
xxxx 

,0270755
2
xx
,05415
2
xx
,21441216225
2
D

24

3
2
6
2
2115
1 

x
км/сағ. Жауабы : 3 км/сағ.
№ 12. Шешуі: Жылдамдықтары 1v км/сағ және 2v км/сағ болсын.
Арақашықтық жылдамдыққа тура пропорционал, онда олардың
жылдамдықтарының қатынасы 8,0
5
4
250
200
1
2
1
2

S
S
v
v
. 128,0vv км/сағ.

Теңдеу құрамыз: ,3
600600
12

vv
.3
600
8,0
600
11

vv

Алымдарын 3-ке қысқартайық: ,1
200
8,0
200
11

vv
,8,0160200
1v

50
8,0
40
1 v
км/сағ. 40508,0
2 v км/сағ. Жауабы: 40 км/сағ.
№ 13. Шешуі: Велосипедшінің А қаласынан В қаласына барған
жылдамдығы х км/сағ болсын, онда қайтардағы жылдамдығы
(х+1) км/сағ. Барғандағы уақыты: x
110 сағ, қайтқандағы уақыты: 1
110
x
сағ, айырмасы 1 сағат. Теңдеу құрамыз: ,1
1
110110



xx

,110110110
2
xxxx 
,214414401,0110
22
 Dxx


10
2
211


x
км/сағ. Жауабы: 10 км/сағ.
№ 14. Шешуі: Екінші құбырдан минутына х л су ақсын, онда бірінші
құбырдан (х – 2) л су ағады.
Екінші құбыр 396 литрлік ыдысты x
396

минутта, ал бірінші құбыр
440 литрлік ыдысты 2
440
x

минутта толтырады, айырмасы 4 минут.
Теңдеу құрамыз: .4
396
2
440

 xx

,1
99
2
110

 xx ),2()2(99110  xxxx ,219899110
2
xxxx 

,019813
2
xx

,31961792169
2
D

22
2
44
2
3113


x
л.

25

Жауабы: 22 л.

№ 15. Шешуі: Екінші құбыр бассейнді х сағатта толтырса, онда
бірінші құбыр 2х сағатта толтырады. 1 сағатта бірінші құбыр
бассейннің x
1

бӛлігін, ал екінші құбыр бассейннің x2
1

бӛлігін, екеуі
бірге бассейннің 10
1

бӛлігін толтырады.
Теңдеу құрамыз: .
10
1
2
11

xx
15,302,
10
1
2
12


xx
x
сағ.

Бірінші құбыр бассейнді 30 сағатта , екінші құбыр 15 сағатта
толтырады.


Жауабы: 30 сағ; 15 сағ.

№ 16. Шешуі: Егер олар жеке істегенде олардың орындайтын
күндерінің қосындысы 25∙2=50 –ге тең болады, себебі олар жеке
тапсырманың жартысын орындағанда тапсырма 25 күнде бітті. Бірінші
жұмысшы жеке барлық тапсырманы х күн ішінде орындасын, онда
екінші жұмысшы жеке барлық тапсырманы (50 – х) күнде орындайды.
1 күнде бірінші жұмысшы жеке тапсырманың x
1

бӛлігін, ал екінші
жұмысшы жеке тапсырманың x50
1

бӛлігін, екеуі бірге
тапсырманың
12
1
бӛлігін орындайды.
Теңдеу құрамыз: .
12
1
50
11



xx


),50(12)50(12 xxxx 
,501212600
2
xxxx 
,060050
2
xx

,525600625
2
1 D
30525
1 x
күн; 50 – 30=20 күн. Жауабы: 30 күн; 20 күн.
№ 17. Шешуі: Еңбек ӛнімділігін жоғарылатқанға дейін бір ауысым
ішінде бірінші жұмысшы х бӛлшек дайындасын, онда екінші жұмысшы
(72 – х) бӛлшек дайындаған. Еңбек ӛнімділігін жоғарылатқан соң екеуі
бірге бір ауысымда 86 – 72=14 бӛлшек артық дайындаған. Бірінші
жұмысшы 0,15х бӛлшек, ал екінші жұмысшы 0,25(72-х) бӛлшек артық
дайындады. Теңдеу құрамыз: .14)72(25,015,0  xx

26
,1425,01815,0  xx
.404686,464015,0,40,41,0  xx

Еңбек ӛнімділігін жоғарылатқан соң бірінші жұмысшы бір ауысым
ішінде 46 бӛлшек, ал екінші жұмысшы 40 бӛлшек дайындады.
Жауабы: 46; 40.

№ 18. Шешуі: Еңбек ӛнімділігін арттырғанға дейін бір ауысым ішінде
бірінші жұмысшы х деталь дайындасын, онда екінші жұмысшы (62 – х)
деталь дайындаған. Еңбек ӛнімділігін арттырғаннан соң екеуі бірге бір
ауысымда 76 – 62=14 деталь артық дайындаған. Бірінші жұмысшы
0,2х деталь, ал екінші жұмысшы 0,25∙(62-х) деталь артық дайындады.
Теңдеу құрамыз: .14)62(25,02,0  xx ,1425,05,152,0  xx
.323062,30
05,0
5,1
,5,105,0  xx
Еңбек ӛнімділігін арттырғанға дейін бірінші жұмысшы бір ауысым
ішінде 30 деталь, ал екінші жұмысшы 32 деталь дайындады.
Жауабы: 30; 32.

№ 19. Шешуі: Сонда үш күнде жасаған бӛлшектерінің бӛліктерінің
қосындысы 5+4+3=12 –ге тең, бір бӛлік 48 : 12=4 бӛлшектен болады.
Алғашқы екі күнде 5+4=9 бӛлік яғни 9∙4=36 бӛлшек жасады.
Жауабы: 36.
№ 20. Шешуі: А мен В пункттерінің арақашықтығы S км болсын.
Бірінші автокӛлік жылдамдығы х км/сағ, x>54 болсын. Онда екінші
автокӛлік жолдың жартысын (х - 15) км/сағ , ал екінші жартысын
90 км/сағ жылдамдықпен жүрген. Теңдеу құрамыз: ,
902)15(2 



S
x
S
x
S
,
902
1
)15(2
11




xx ,3021806090360
2
xxxx 
,054002102
2
xx
,2251080011025,02700105
2
 Dxx
60
2
15105
1 

x км/сағ. 45
2
15105
2 

x
км/сағ
Екінші түбір 45 км/сағ жарамайды. Жауабы: 60 км/сағ.
№ 201. Шешуі: Қарағай ағаштары х, үйеңкі ағаштары у болсын. .14yx
.2,182 yxxy 
Соңғы екі теңсіздікті қоссақ, сонда ,18,1822  yxyxyx
отырғызылған ағаштар саны .1814 yx

27
.6,183,184,1824  xxxxxyx
Онда .12y

Қарағай ағашы
үйеңкі ағашының жартысынан аз. Есеп шартын үйеңкі 11-ге тең
болғанда қанағаттандырады. Қарағай ағашы тӛртеу. Жауабы: 11.
№ 21. Шешуі: Ағыс жылдамдығы х

км/сағ болсын, онда қайықтың
ағыспен жылдамдығы (5+х) км/сағ, ағысқа қарсы жылдамдығы
(5 – х) км/сағ. Сағат 8.00- ден 22.00-ге дейінгі аралық 14 сағатқа тең,
саяхатшы барлығына 14 сағат жіберген, бірақ 1,5 сағат айлақта болды,
онда барлық жолды 14 – 1,5=12,5 сағатта жүріп ӛтті.
Теңдеу құрамыз: ,
2
25
5
30
5
30



 xx
,
2
5
5
6
5
6



 xx ),25(5)5(12)5(12
2
xxx 
,512512601260
2
xxx 
1,1,55
22
 xxx

км/сағ . Жауабы: 1 км/сағ.
№ 211. Шешуі: Шебердің 1 сағатта жасайтын тетіктер саны х болсын,
онда шәкірті 1 сағатта х-1 тетік жасайды.
Шебер 399 тетікті жасауға жұмсаған уақыты x
399 сағ, ал шәкірті
420 тетікті 1
420
x

сағатта жасайды. Теңдеу құрамыз:
,2
399
1
420

 xx
,22399399420
2
xxxx  ,0399232
2
xx .21
4
84
4
6123
,6137213192529
2
1 

 xD

Жауабы: 21.

№ 212. Шешуі: Үш таңбалы сан cab болсын. Онда есеп шарты
бойынша 







.84
,14
,1252
222
cba
cba
cbaabc

Сонда 







84
,14
,12521010010100
222
cba
cba
abccba 







84
,14
,125220)(101
222
cba
cba
bca
,401212401210120)(101  bca
сонда 2,12 bca
болу керек. 










84
,14
,12
,2
222
cba
cba
ca
b 







842)12(
,12
,2
222
cc
сa
b үшінші
теңдеуді шешеміз: ,084424144
22
 ccc
,064242
2
cc ,03212
2
cc
,43236
1 D .426,826
21  cc

28
.8412,4812
21  aa

Бастапқы сан: 428 немесе 824,
цифрларының кӛбейтіндісі: .64428 

Жауабы: 64.
№ 213. Шешуі: Екі таңбалы санды және ab

деп алайық, abxy
болсын. ,0abxy
.0abxy
Онда есеп шарты бойынша 






.7232
,59020
abxy
abxyabxy
Жүйенің бірінші теңдеуінен b саны не 9-ға,
немесе 0-ге тең болады. Ал екінші теңдеуден ab

саны жұп сан болуы
шығады, демек b =0. Ал а цифры 2-ге те4 болмайды, 2-ге тең болса,
онда abxy шарты орындалмайды. Демек .10ab

,721032 xy ,422xy
.21xy Жауабы: 21.

ҚОСЫМША ЕСЕПТЕР
№ 22. Шешуі: А мен В пункттерінің арақашықтығы х км болсын. Онда
велосипедші 4 км жүрген уақытта, мотоцилші (х - 4) км жүреді. Ал
мотоцилші 4 км жүрген уақытта, велосипедші
(х – 4 - 15) = (x – 19) км жүреді. Пропорция құрамыз: ,1676194,16)19)(4(,
4
19
4
4
2




xxxxx
x
x
. 20
2
1723
,289240529,06023
2


 xDxx
км.
Екінші түбір 3 км жарамайды. Жауабы: 20 км.
№ 23. Шешуі: Бірінші дененің жылдамдығы х м/с, екінші дененің
жылдамдығы у м/с болсын. Денелер бір бағытта шеңбер бойымен
қозғалғанда шеңбер ұзындығын жылдамдықтарының айырмасына
бӛлеміз, ал қарама –қарсы бағытта қозғалғанда шеңбер ұзындығын
жылдамдықтарының қосындысына бӛлеміз. Шыққан бӛліндінің мәні
олардың кездесу уақытына тең болады.











,4
100
,20
100
yx
yx 15,302
,25
,5






xx
yx
yx

м/с ; y=25 – 15=10 м/с.
Жауабы: 15 м/с; 10 м/с.
№ 24. Шешуі. Концентрациясы х % болсын. ху

29

Пропорция құрамыз: ,
24
18
30
16



x
x ,
4
3
30
16



x
x
Бұдан ,390644 xх  ,1547х %.22
7
154
х

2-ші әдіс: Кесте құрып, теңдеу аламыз:
Ерітінді Концентрация, % Масса Тұз мөлшері
Бірінші 30 18 0,3 18=5,4
Екінші 16 24 0,16 24=3,84
Жаңа х 42 0,42 х

0,42∙х= 5,4+3,84 ; 0,42∙х=9,24 ; х=9,24 : 0,42=22 %.
Жауабы: 22 %.
№ 25. Шешуі. х кг мыс қосайық . Таза мыс
қосатындықтан оны 100% деп аламыз, сонда келесі
схеманы аламыз.
Пропорция құрамыз: ,
15
55132

х ,
3
11132

х

бұдан
36312
11
3132


х кг мыс қосу керек.

Жауабы: 36 кг.
№ 26. Шешуі. Берілгендер бойынша схема
құрамыз, сонда екі қорытпаның массаларының
қатынасы 10 : 5 қатынасындай немесе 2 : 1
қатынасындай болу керек.
2+1=3, онда 42
3
126


кг - бір бӛліктің массасы, онда
бірінші қорытпадан 84422 кг, ал екіншіден 42 кг алу керек.
Жауабы: 84 кг; 42 кг.
№ 27. Шешуі: Екі таңбалы санды деп алайық, онда есеп шарты
бойынша

қосу әдісімен шешеміз:
ху 




,45
13
хуух
ух 




,451010
13
ухху
ух 




,4599
13
ху
ух 




,5
13
ху
ух .491313.9,182  ухуу

30

Берілген сан 49, ал шыққан сан 94. Қосындысы: 49+94=143.
Жауабы: 143.
№ 28. Шешуі: Сандар болсын. Сонда


Бірінші және екінші санды үшінші сан арқылы ӛрнектейік:



Сонда алғашқы үш санның қосындысы:





Ізделінді сандар: 75; 45; 300. Жауабы: 75; 45; 300.
№ 29. Шешуі: Есеп шарты бойынша кесте құрайық, бірінші бригадада
х адам болсын, сонда
Бригада І ІІ ІІІ Барлығы
Адам х 0,75х 0,75х+5 125
Теңдеу құрамыз:

Екінші бригададағы адамдар саны:
Үшінші бригададағы адамдар саны: Жауабы: 48; 36; 41.
№ 30. Шешуі: Моторлы қайықтың меншікті жылдамдығы х км/сағ
болсын.
Ағыс бағыты S, км V, км/сағ t, сағ
Ӛзен ағысымен 48 x+2

Ӛзен ағысына қарсы 48 x-2

Теңдеу құрамыз:
dcba,,, .15,0,20:3:5:: cdcba  .25,0
20
5
,20:5: c
c
aca  .15,0
20
3
,20:3: c
c
bcb  .4,115,025,0 cccccba  ,37525,1,37515,04,1,375  cccdcba .300
125
37500
25,1
375
c .7530025,025,0 ca .4530015,015,0 cb .4530015,0 d ,125575,075,0  ххх .48
25
1200
5,2
120
,1205,2  хх .364875,075,0 х .41536 2
48
х 2
48
х .7
2
48
2
48



хх