Бернулли формуласы мен Байес формулалары

Бернулли формуласы

Формула мұндағы р-орындалу ықтималдығы, орындалмау ықтималдығы.

1. Садақ жарысында мергеннің дәл тигізу .

1. Мергеннің екі рет атқандағы дәл тигізу ықтималдығы қандай?

Шешуі: .

2. Мергеннің төрт рет атқанда екі рет дәл тигізу ықтималдығы қандай?

Шешуі: .

3. Мергеннің төрт рет атқанда кемінде үш рет дәл тигізу ықтималдығы қандай?

Шешуі: .

4. Мергеннің 10 рет атқанда дәл тигізу ықтималдығы қандай?

Шешуі: .

2. Жәшікте барлығы 20 шар бар. Олардың 15 ақ және 5 қара. Қатарынан 5 шар алынды. Алынған 5 шардың 2 ақ болу ықтималдығы қандай?

Шешуі: ; ; .

3. Тиынды 8 рет лақтыру нәтижесінде «герб» жағы 4 рет түсу ықтималдығы қандай?

Шешуі: ; ; .

4. Финалға шыққан екі жас ақынның әрқайсысының жақсы жыр айту ықтималдығы біріншісінікі 0,7, ал екіншісінікі 0,5. Кемінде бір жас ақынның жақсы жыр айту ықтималдығы қандай?

Шешуі:

1 тәсіл: ;

2 тәсіл: ;

5. Қорапта 3 көк және 2 қызыл шар бар. Қораптан екі шар алынған. Алынған екі шардың:

1. Біреуі көк түсті

2. Екеуі де көк түсті

3. Ең болмағанда біреуі көк түсті болуының ықтималдығын табыңыз?

Шешуі:

1) ;

2) ;

3)

6. Тиын және ойын сүйегі лақтырылды. Лақтыру барысында:

1) тиын ‘’елтаңба’’ жағымен, ал ойын сүйегінде 4 деген ұпайдың;

2) тиында ‘’цифр’’ жағының, ал ойын сүйегінде тақ санның түсуінің ықтималдығын табыңыз?

Шешуі:

1) ;

2) ;

7. 0; 1; 2; 3; 4 цифрларынан екі таңбалы сан құрастырылды. Құрастырылған сан:

1) жұп;

2) тақ

3) 5- ке бөлінетін

4) 4-ке бөлінетін сан болуының ықтималдығын табыңыз?

Шешуі:

1) (0; 2; 4 аяқталу қажет) ;

2) ;

3)

4) (12, 20, 24, 32, 40, 44)

8. Құралдардың бір тобында ақауы бар құралдар 3 % ды, екінші тобында 4 % ды құрайды. Әр топтан бір құралдан алынған. Алынған екі құрал ақауы бар құрал болуының ықтималдығын табыңыз?

Шешуі:

;

9. Тиынды 8 рет лақтырғанда «сан» жағының 8 рет түсу ықтималдығын табыңыз.

Жауабы:

Толық ықтималдық. Байес формуласы.

1. Фабриканың барлық бұйымының 25 %-ын бірінші машина, 35 %-ын екінші және 40%-ын үшінші машина өндіреді. Бұйымдардың сәйкесінше 5%, 4 % және 3 % жарамсыз. Кездейсоқ алынған бұйымның жарамсыз болу ықтималдығын табыңыз.

Шешуі: кездейсоқ алыған бұйымның қай машинадан алынғандығының ықтималдығы.

2. Үш аңшы аюды бір уақытта атты. Сөйтіп олар аюды бір оқпен атып алды. Аңшылардың оғының тию ықтималдығы 0,3; 0,4; 0,5 болса, онда аюды бірінші аңшы атып алу ықтималдығын табыңыз.

Шешуі: аңшылардың оғының тию ықтималдығы.

( аңшылардың оғының тимеуінің ықтималдығы. )

а) Оқ атылмай тұрғандағы біздің жорамалымыз былай болсын: әрбір аңшының аюға дәл тигізу - болсын, оқ атылмай тұрғандағы олардың дәл тигізу ықтималдығы тең екенін байқауға болады

оқ атылғаннан кейінгі, бірінші аңшының оғы тию ықтималдығы.

оқ атылғаннан кейінгі, екінші аңшының оғы тию ықтималдығы.

оқ атылғаннан кейінгі, үшінші аңшының оғы тию ықтималдығы.

оқиға орындалып біткеннен кейінгі, аюды бірінші аңшының атып алу ықтималдығы Байес формуласы бойынша есептеледі.

Жауабы:

Мысал 3.

350 бұйымдардың 160 – бірінші сортқа, 110 – екінші сортқа, 80 – үшінші сортқа жатады. Бірінші сортқа жататын бұйымдардың ішінде сапасыз бұйым болуының ықтималдығы 0,01, екінші сортқа жататындардың арасында – 0,02, үшінші сортқа жататындардың арасында – 0,04 тең. Кез-келген бір бұйым алынған. Алынған бұйымның сапалы екенінің ықтималдығын табу керек.

Шешуі: Белгілеу енгізелік.

А – алынған бұйым сапалы;

- алынған бұйым бірінші сортқа жатады;

- алынған бұйым екінші сортқа жатады;

- алынған бұйым үшінші сортқа жатады;

Сонда

оқиғалары үйлесімсіз. Расында, айталық оқиғасы пайда болды дедік, яғни алынған бір бұйым үшінші сортқа жатады, олай болса оқиғасы оқиғасымен бірге пайда бола алмайды деген сөз. Себебі алынған бір бұйым бір уақытта әрі үшінші, әрі екінші, әрі бірінші сортқа жатуы мүмкін емес қой.

Сондай-ақ оқиғалары толық группа құрайды

Олай болса (1.3.1.) формуласын қолданып,

Мысал 4. Бірдей үш қорапқа бірдей өлшемді шарлар салынған. Бірінші қорапта 10 ақ, 5 қара, 3 қызыл, екінші қорапта 9 ақ, 16 қара, 11 қызыл, үшінші қорапта 7 ақ, 4 қара, 1 қызыл шарлар бар. Кез келген қораптан кез келген шар алынды. Алынған шардың қара шар болуының ықтималдығы қандай?

Шешуі: Мына оқиғаларды қарастырайық:

- алынған шардың түсі қара;

- шар бірінші қораптан алынды;

- шар екінші қораптан алынды;

- шар үшінші қораптан алынды.

Қарастырып отырған оқиғалар үйлесімсіз. Расында, егер, айталық, шар екінші қораптан алынса, онда оқиғасы пайда болады да, оқиғалары пайда бола алмайды. Ойымызды осылай жалғастырып оқиғаларының үйлесімсіз екеніне көз жеткізуге болады. Ал А оқиғасы оқиғаларына тәуелді. Енді үш қораптың бірдей екенін ескеріп:

Осыдан .

Мысал 5

Бірінші урнаға 1 ақ, 3 қара, ал екінші урнаға 4 ақ, 6 қара бірдей шарлар салынған. Бірінші урнадан бір шар алынып екінші урнаға салынды. Содан кейін екінші урнадан шар алынды. Екінші урнадан алынған шардың түсі қара болуының ықтималдығы қандай?

Шешуі: Мыны оқиғаларды қарастырайық. - бірінші урнадан ақ шар алынды. - бірінші урнадан қара шар алынды, А – екінші урнадан қара шар алынды.

Бұл жерде оқиғаларын қарастыру себебі, ол әуелі бірінші урнадан қандай түсті шар алуға байланысты. Бұл екі оқиға үйлесімсіз және толық группа құрайды. Енді

Сонда толық ықтималдықтың формуласы бойынша

Енді осы есептің шарты орындалсын. Сонда екінші урнадан алынған қара шар бастапқыды бірінші урнадан алынғандығының ықтималдығын табайық:

10. Үш қорапта шарлар бар. Бірінші қорапта 4 қызыл және 3 сары, екінші қорапта 5 қызыл және 2 сары, үшінші қорапта 2 қызыл және 5 сары шарлар бар. Кездейсоқ бір қорап таңдап алынады да, таңдап алынған қораптан кездейсоқ бір шар алынады.

1. Алынған шардың қызыл болуының

2. Қызыл шардың екінші қораптан алынуының ықтималдығын табыңыз?

Шешуі:

1. ; 2) Жауабы:

11. Оқ ату жарысына үш атқыш қатысады. Нысанаға оқты бірінші атқыштың тигізу ықтималдығы 0,3, екінші атқыштың тигізу ықтималдығы 0,8, үшінші атқыштың тигізу ықтималдығы 0,5. Егер үшеуінің біреуі атып, нысанаға тигізгені белгілі болса, онда оқты үшінші атқыштың тигізу ықтималдығы қандай?

Шешуі:

; Жауабы:

12. Оператор бір- біріне тәуелсіз үш станокпен жұмыс істейді. 1 сағат ішінде станоктардың оператордың қызметін қажет етпеу ықтималдықтары сәйкесінше біріншісі 0,9 тең, екіншісі 0,8, үшіншісі 0,8 тең. Бір сағат ішінде:

1) бірде -бір станок оператордың қызметін қажет етпеу;

2) кем дегенде бір станоктың оператор қызметін қажет етпеу ықтималдығын табыңыз.

Шешуі:

1. ;

2. 

Жауабы: ;

13. Құрылғы жасауға қажет тетіктер екі цехтан: бірінші цехтан 70%, екінші цехтан 30% тасымалданады. Бірінші цехта дайындалған тетіктердің 10% жарамсыз, екінші цехта дайындалған тетіктердің 20% жарамсыз болып табылады. Егер кездейсоқ алынған тетіктің іске жарамды екені белгілі болса, онда алынған тетіктің бірінші цехта дайындалуының ықтималдығын табыңыз.

Шешуі:

Жауабы:

14. Құрылғы дайындауға қажет тетіктер үш автоматта дайындалады: бірінші автомат дайындаған тетіктердің 3 % жарамсыз, екінші автомат дайындаған тетіктердің 2 % жарамсыз, үшінші автомат дайындаған тетіктердің 4 % жарамсыз. Егер бірінші автоматтан 100, екінші автоматтан 200, үшінші автоматтан 250 тетік алынған болса, онда құрылғыны дайындау кезінде жарамсыз тетіктің бар болу ықтималдығын табыңыз.

Шешуі:

Жауабы: