Беттегі қисықтар және тамаша торлар

Кіріспе

Қарастырылып отырылған дипломдық жұмысым беттегі қисықтар теориясына арналған. Беттегі қисықтың ілеспелі үшжағының инфинитезимальды ығысуының формуласын қорытып шығаруға арналды. Бұл формулаларды қорыту үшін аналитикалық геометрия курсынан координаттар системасын түрлендіру формулалары (координаттар жүйесін параллель көшіру және координаттар жүйесін бұру) қарастырылды. Осы формулалардың нәтижесінде беттің ілеспелі үшжағының инфинитезимальды ығысудың формулалары алынды.Үш өлшемді Евклидтік кеңістікте өзарар ортогональ үшжақтардың жиыны алты параметрге тәуелді.

Мысалы бесінші параграфта параметр ретінде доғаның ұзындығы қабылданды және бұл параметр қисықтың натурал параметрі деп аталады. Беттегі қисықтың теңдеуінен натурал параметр бойынша алынған туынды дәстүрлі туындыдан айырмашылығы бар. Дәстүрлі туынды штрих арқылы белгіленсе, ал натурал параметр бойынша алынған туынды нүкте арқылы белгіленеді. Келесі параграфта беттің ілеспелі үшжағының формуласы қорытып шығарылды.Мынаны атап өтеміз: ілеспелі үшжақ беттің серіктес үшжағы деп немесе қисықтың негізгі үшжағы деп аталады. Мен негізінен, алғашқы терминге тоқталдым. Беттің ілеспелі үшжағының инфинитезимальды формулаларын қорытып шығару үшін мен алдын ала беттің жанама бірлік векторының дифференциалын қарастырдым. Мысалы векторын қарастырсақ бұл вектор мына векторына ортогональ, сонда мынаны қорытып шығардық:

.

Бұл формуланы қолданғанда ілеспелі үшжақтың векторы мен векторының арасындағы бұрыш, ал перпендикуляр жанама вектор, ал ілеспелі үшжақтың айналым коэффициенті екенін ескеру қажет.

Негізгі мақсат-

Жұмыста осы мәселе қарастырылып, ол толығымен орындалған.

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі диплом соңында әдебиеттер тізімінде келтірілген.

1. Скаляр аргументті вектор – функция. Ұзындығы тұрақты вектор-функцияның және бағыты тұрақты вектор-функцияның туындысы.

Скаляр аргументті вектор функция ұғымын енгіземіз. евклидтік векторлық кеңістік,ал қандай да бір интервал болсын. Егер интервалынан қандай да бір болмасын санына векторлық кеңістігінің белгілі бір векторы сәйкес болса, онда бұл векторды арқылы белгілеп және интервалындағы скаляр аргументінің вектор-функциясы деп атаймыз.Скаляр айнымалыға тәуелді вектор-функцияны физикадан, механикадан көптеп кездестіруге болады. Мәселен, егер векторы қозғалыстағы нүктесінің радиус-векторы болса, онда бұл векторы уақытқа яғни скаляр шамаға байланысты өзгеріп отырады. cкаляр аргументіне тәуелді вектор-функцияны былайша жазып көрсетеміз:

(1)

1- сурет 2-сурет

векторлық кеңістігінің базисі болсын,сонда векторын анықтау үшін, бұл вектордың координаталарын осы аргументінің функциясы ретінде анықтауымыз керек, олай болса, векторы

базисі бойынша былай жіктеледі:

(2)

Бұл теңдікпен берілген вектор-функциясы скаляр аргументіне тәуелді келесі үш теңдеудің берілуімен пара-пар:

(3)

1-лемма. Ұзындығы тұрақты вектор-функциядан алынған туынды вектор-функция берілген вектор-функцияға ортогональ.

Дәлелдеу. Ұзындығы тұрақты векторы берілсін, демек векторының бағыты өзгергенде

болсын. Бұдан

Сол және оң жақтарын аргументі бойынша дифференциалдаймыз:

Екі вектордың скаляр көбейтіндісінің қасиеті бойынша және векторы нольдік вектордан өзгеше болғандықтан:

Демек, векторы векторына ортогональ.Лемма дәлелденді.

2-лемма. вектор-функциясының бағыты тұрақты болуы үшін вектор-функциясымен оның туынды вектор-функциясының коллинеар болуы қажетті және жеткілікті.

Дәлелдеу. Қажеттілігі. Егер векторының ұзындығы өзгергенде, оның бағыты тұрақты болса, онда мұндай векторды былайша жазуға болады:

(1)

мұнда , ал векторы вектор-функциясының бірлік векторы: теңдікті дифференциалдаймыз, сонда

(2)

теңдіктен

(3)

теңдеулерден алатынымыз:

Егер деп белгілесек, онда соңғы теңдеуден :

(4)

Бұл теңдік вектор-функцияларының коллинеар болатынын көрсетеді.

Жеткіліктігі. векторлары коллинеар болсын, онда формула орындалады.теңдеуді векторының бағыты тұрақты емес деп ұйғарып дифференциалдаймыз:

векторының мәнін формула бойынша қойсақ:

бұдан векторының мәнін формула бойынша қойып алатынымыз:

Бұл теңдеудің оң және сол жақтарын векторына скаляр көбейтеміз:

Алдыңғы лемма бойынша және векторлары ортогональ, олай болса, сондықтан соңғы теңдіктен табатынымыз:

Олай болса, , демек, вектор-функциясының бағыты тұрақты.Лемма дәлелденді.

2.Жазық қисық туралы ұғым.Қисыққа жанама түзу.

Қисық ұғымы −дифференциалдық геометрияда бір мәнді анықтала бермейтін күрделі ұғымдардың бірі. Қисықты біз интуитивті түрде шексіз аз аймақта түзуге ұқсас деп түсінеміз.

3-сурет

Мәселен, қисығының шексіз өзара жақын және нүктелерінің аралығындағы нүктелер жиыны түзудің бөлігіне ұқсас (3-сурет).

Жазықтықта тік бұрышты координаталар системасы берілсін. Аналитикалық геометрия және математикалық анализ курсынан:

(1)

теңдеуін қанағаттандыратын жазықтықтың нүктелерінің жиыны белгілі бір фигураны, жазықтықта қандай да бір болмасын қисықты анықтайтыны белгілі. Дифференциалдық геометрияның әдісі дифференциалдауға тәуелді болғандықтан, қарастырылатын функциялар бір мәнді және қанша рет қажет болса, сонша рет дифференциалданады (туынды табылады) деп ұйғарамыз.

Элементтері нүктелер болатын және жиындарын қарастырамыз. Егер жиынының шексіз жақындайтын нүктелеріне жиынының шексіз жақындайтын нүктелері сәйкес келетіндей биекция (өзара бірмәнді сәйкестік) берілсе, онда мұндай сәйкестік топологиялық не үздіксіз сәйкестік деп, ал бұл екі жиынды топологиялы эквивалентті деп атаймыз (4-сурет).

4-сурет

Анықтама бойынша, егер болса, онда , мұнда шексіз аз шамалар. Бұл анықтаманы қисыққа байланысты айталық.

Егер түзудің бөлігіне (кесіндісіне) қандай да бір жиын топологиялы эквивалентті болса, онда ол қарапайым доға деп аталады. Мәселен, 5-суретте жиыны қарапайым доға.

5-сурет 6-сурет

Өзара бірімен бірі жалғасатын шектеулі және санаулы қарапайым доғалардан тұратын жиынды қисық деп айтамыз. Біз, әдетте, геометриялық объектілерді − қисықтар мен беттерді шексіз аз аймақта қарастырамыз, бұл дифференциалдық геометрияның әдісі және мұндай микроскопиялық зерттеу қисық пен беттің кейбір ортақ заңдылықтарын байқауға мүмкіндік береді.

доғасы түзудің кесіндісіне топологиялы бейнеленді және доғаның бір нүктесіне кесіндінің бір нүктесі сәйкестендірілді деп ұйғарайық. Егер доғаның нүктелерін кесіндінің нүктелеріне бейнелейтін заңдылық белгілі болса, онда кесіндідегі нүктесінің t абсциссасы нүктесінің орнын анықтап қана қоймай, қисықтағы нүктесінің де орналасуын анықтайды (6-сурет).

6-сурет

Доғаның нүктелері мен сан өсіндегі кесіндісінің сандарының арасындағы cәйкестік бір мәнді және үздіксіз. Егер осындай, доғаның нүктелері мен түзудегі (кесіндідегі) сандардың арасында сәйкестік жүзеге асырылса, онда доға параметрленді деп, ал t параметрі өзіне сәйкес нүктесінің параметрі деп аталады. Кез келген доғаны берілген кесіндіге шексіз көп әдістермен топологиялы бейнелеуге болады, сонда әрбір әдіске доғаның осы әдіске сай белгілі бір параметрленуі сәйкес болады.

Қисыққа жанама түзу. қандай да бір қисық, ал нүктесі қисығына тиісті нүкте болсын. қисығынан нүктесінен өзге нүктесін алып қиюшы түзуін жүргіземіз (7-сурет).

7-сурет

нүктесі қисықтың бойымен жылжып, нүктесіне ұмтылғанда қиюшы түзуінің шектік -дағы түзуі қисығына нүктесінде жүргізілген жанама деп аталады.Егер түзуі нүктесінде жүргізілген жанама болса, онда нүктесі нүктесіне ұмтылғанда түзуі мен жанама түзуінің арасындағы бұрыштың шамасы нольге ұмтылады. Осы айтылғандарды математикалық белгілеулермен былайша жазамыз:

немесе

Бұл анықтамадан жанама түзу бар болса, оның тек жалғыз болатынын көреміз.

Қисық параметрлік теңдеуімен берілсін:

(1)

қисығының және нүктелеріне аргументтің және мәндері сәйкес келіп, бұл нүктелердің радиус-векторлары және болсын, сонда

векторы қиюшы түзуінің бағыттаушы векторы.Егер болса, онда және векторлары бағыттас, ал болса, онда бұл векторлардың бағыттары қарсы болады. Егер нүктесі қисық бойымен жылжып, нүктесіне ұмтылса, онда өсімшесі нольге ұмтылады және

(2)

Соңғы теңдік математикалық анализ курсынан белгілі. Олай болса векторы жанама түзуінің бағыттаушы векторы.

Біз бұдан мынадай қорытындыға келеміз: параметрлік теңдеумен берілген қисықтың нүктесінің радиус-векторынан параметрі бойынша алынған туынды векторы жанама түзуінің бағыттаушы векторы болады. Жанама түзуінің теңдеуін қорытып шығару үшін кеңістікте тік бұрышты декарт координаталар системасын енгіземіз.

векторын базистік векторлар бойынша жіктеп жазайық:

сонда жанама түзуінің бағыттаушы векторы былайша жазылады:

8-cурет

нүктесі арқылы өтетін, бағыттаушы векторы болатын жанама түзуінің канондық теңдеуі келесі түрде жазылады:

С нүктесі жанама түзуінің ағымды нүктесі, ал бұл нүктесінің радиус-векторы болсын. және коллинеар болғандықтан, нақты сандар жиынында жататын саны табылып, мына теңдік орындалады (екі вектордың коллинеарлық шарты):

aл

(4)

радиус-векторларын және теңдікті ескеріп, алдыңғы теңдіктен алатынымыз:

(5)

теңдеу қисықтың жанaма түзуінің векторлық (параметрлік) теңдеуі деп аталады.

Жазықтықтағы қисық үшін (3) теңдеу былайша жазылады:

(6)

Егер қисық айқын теңдеуімен берілсе, онда параметрі ретінде -ті қабылдаймыз, сонда:

(6) теңдеу мына түрге келтіріледі:

(7)

Егер қисықтың параметріне сай векторының туынды векторы нольдік вектор болса, онда жанаманың теңдеуін жоғарыда айтылған әдіспен анықтауға болмайды. Алдағы кезде қажет болатын бірнеше анықтамаларды берейік.

радиус-вектордың туынды векторы нольдік вектор болатын нүктелер қисықтың ерекше нүктелері деп аталады. Ерекше нүктенің радиус-векторы осы нүктенің маңайында Тейлор формуласына жіктелсе, онда мұндай нүкте елеусіз нүкте деп аталады.Тейлор формуласы вектор функция үшін былай жазылады:

мұндағы қалдық мүше:

Нүктелер шексіз жақындағанда қиюшы вектордың шектік орналасуы жанама түзудің бағытын анықтайды, сонымен:

векторы елеусіз нүктедегі жанаманың бағыттаушы векторы, олай болса, жанаманың (3) канондық теңдеуі былай жазылады:

(8)

Жанаманың басқа теңдеулерін алу үшін векторларды координаталары арқылы базистік {} векторлары бойынша жіктеп жазайық:

(9)

(10)

теңдіктерден:

(11)

теңдеулер қисықтың нүктесіндегі жанаманың параметрлік теңдеулері деп аталады. теңдеулерден параметрін шығарып, жанаманың түрдегі канондық формуласын аламыз.

Жазық қисық (жазықтықтағы қисық)

(12)

параметрлік теңдеуімен берілсін. теңдеулерден параметрін шығарып тастап, қисықтың

(13)

түріндегі айқындалмаған теңдеуін аламыз. болғандықтан, қисық жазықтығында жатыр). теңдеудегі пен -тің мәнін теңдеуге қойып, параметрінің кез-келген мәнінде орындалатын

тепе-теңдігін аламыз.Тәуелсіз параметрі бойынша дифференциалдаймыз:

(14)

Соңғы теңдеудегі дербес туындылардың ең болмағанда біреуі нольге тең емес деп ұйғарып, жанаманың

теңдеуін былайша жазамыз:

(15)

теңдеуден . Бұл мәнді соңғы теңдеуге қойып, қисық айқындалмаған теңдеумен берілгендегі нүктесінде жүргізілген жанаманың теңдеуін аламыз:

(16)

Қисықтың берілген нүктесіндегі нормалі деп осы нүктесі арқылы өтіп, осы нүктеде жанамаға жүргізілген перпендикуляр түзуді айтамыз.

Жазық қисықтың нормалі деп осы жазықтықта жататын және жанасу нүктесінде жанамаға перпендикуляр түзуді айтамыз.

Аналитикалық геометриядан нормаль түзудің бұрыштық коэффициенті шамасы бойынша жанаманың коэффициенттеріне кері, ал таңбасы бойынша қарама қарсы екендігі белгіді. және теңдеулер мына түрлерге келтіріледі:

(17)

Нормаль түзулердің теңдеулері төмендегідей болады:

немесе

Соңғы теңдеуді жазықтықтағы түзудің канондық теңдеуімен салыстырып, векторы нормалдің яғни жазық қисықтың бағыттаушы векторы болатынын көреміз (9 сурет).

9-сурет

3.Параметр ретінде доғаның ұзындығын қабылдау

Қисықтың қасиеттерін зерттеу үшін біз қисықтың қандай да бір болмасын теңдеуін қарастырамыз, ал қисықтың теңдеуін зерттегенде бұл теңдеу қайсыбір (аффиндік, тік бұрышты немесе поляр координаталар және т.б. системаға) координаталар системасына тәуелді екенін байқаймыз, сонымен қатар қисықтың теңдеуі бойынша қисықтың қасиеттерін атап, қайсыбір пайымдауларға, нәтижеге келеміз.

Енді қисықтың координаталар системасынан тәуелсіз теңдеу арқылы анықтап зерттеуге бола ма, демек, қисықтың теңдеуі қисықтың тек қана геометриялық формасына тәуелді яғни қисықтың геометриялық формасымен анықтауға бола ма деген сұрақ туындауы орынды.

Біз бұл тармақта қисықтың мұндай теңдеуін құруға болатынын көрсетеміз. Қисық параметрлік теңдеуімен берілсін. Қисықтан параметріне сай нүктесін таңдап алып, оны қисықтың бастапқы нүктесі деп шартты атайық.Басы , ұшы кез келген нүктесінде болатын доғасының ұзындығы мына формула бойынша есептеледі:

(1)

Бұдан:

Демек, доғаның ұзындығы параметріне тәуелді, өссе, доғаның ұзындығы өсіп, кемісе, доғаның ұзындығы кемиді және параметрінің белгілі бір мәніне доғасының бір ғана мәні сәйкес келеді, басқаша айтқанда (1) формула қисықтың доғасының ұзындығы параметрі бойынша дифференциалданатын бірмәнді функция ретінде анықтайды.

(2) формуладан шамасы әр уақытта оң және параметрдің мәні өскенде бұл функция монотонды өспелі екендігін байқаймыз, демек, қисықтың нүктесі мен доғаның ұзындығының арасында бір мәнді үздіксіз сәйкестік бар. Қисықтың бастапқы нүктесінің әр түрлі жақтарында жатқан нүктелер үшін параметрдің әр түрлі мәндері сәйкес. Осы себепті шамасын доғаның парметрі ретінде қабылдауға болады және бұл қисықтың табиғи (натурал) параметрі деп аталады. Кез келген параметр бойынша алынған туындыданайырмашылық болу үшін, табиғи параметр бойынша алынған туындыны нүктемен белгілейміз, сонымен:

(2) формуладан:

Бұдан

(3)

немесе

(4)

Тұжырым: Қисықтың нүктесінің радиус-векторынан натурал параметрі бойынша алынған бірінші туынды-вектор жанама түзу бойынша бағытталған бірлік вектор болады (12-сурет).

12-сурет

параметрі бойынша екінші туындыны табамыз:

Кеңістіктегі қисықтың жанамасына жанасу нүктесіндегі кез-келген перпендикуляр түзу қисықтың нормаль түзуі, қысқаша нормалі деп аталады.

Вектор бірлік-вектор (4) формуласына қараңыз, демек, бірлік векторының ұзындығы тұрақты, олай болса, бірінші лемма бойынша векторы векторына ортогональ:

яғни векторы қисықтың қайсыбір нормаль түзуінің бойымен бағытталған, бұл түзу қисықтың бас нормалі деп аталады.

3.1. Жанасушы жазықтық. Қисықтың серіктес үшжағы (ілеспелі үшжағы)

Анықтама. Кеңістікте қисықтың жанама түзуі арқылы өтетін кез келген жазықтық оның жанама жазықтығы деп аталады.

Анықтама. Бас нормаль арқылы өтетін жанама жазықтық жанасушы жазықтық деп аталады.

Параметрлік теңдеумен берілген қисықтың жанасушы жазықтығын табу үшін, радиус-вектордың параметрінен параметріне көшу (түрлендіру) формуласын қарастырамыз:

(1)

(2)

(3)

Біз (3) формуладан векторы және векторлары анықтайтын жазықтыққа тиісті екендігін байқаймыз,олай болса және векторлары жанасушы жазықтыққа тиісті.

13-cурет

векторы жанасушы жазықтыққа перпендикуляр екендігі анық, себебі векторлардың векторлық көбейтіндісінің анықтамасы бойынша:

Жанасушы жазықтықтың теңдеуін табамыз. Егер векторы жанасушы жазықтықтың ағымды нүктесінің радиус-векторы болса, ондa векторы жанасушы жазықтыққа тиісті екендігі түсінікті, олай болса, векторлары компланар, демек, бұл векторлардың аралас көбейтіндісі нольге тең:

(4)

(4) формула жанасушы жазықтықтың теңдеуі. Егер векторының координаталары болса, онда үш вектордың компланарлық шартын, демек, (4) формуланы координаталар арқылы былайша жазамыз:

(5)

(5) не болмаса (4) формула болатын қисықтың нүктелері үшін мәнін жояды. Қисықтың мұндай нүктелері түзелуші нүктелер деп аталады. Түзелуші нүктелерде жанасушы жазықтық анықталмайды.

Мысал. Винттік сызығының жанасушы жазықтығының теңдеуін жазайық.

Винттік сызықтық теңдеуінен:

(2) формулада айнымалыларының орнына айнымалыларын енгізсек, (2) формула былай жазылады:

бұдан

Қисықтың ілеспелі үшжағы.

Анықтама. Жанасушы жазықтыққа перпендикуляр түзу қисықтың бинормалі деп аталады.

Жанама, бас нормаль, бинормаль қисықтың кез келген нүктесінде өзара перпендикуляр болатын үш жақты анықтайды, осы жазықтықтарды жеке-жеке сипаттайық.

Анықтама. Жанасушы, нормаль және түзелуші жазықтықтарынан тұратын үш жақ қисықтың негізгі үш жағы немесе ілеспеліүш жағы, немесе серіктес үшжағы деп, ал берілген нүктеде осы үшжақ бұрыш үшэдр деп аталады.

Қазіргі геометрияда ілеспелі үшжақ қозғалмалы үшжақ деп те аталады.

Айталық, қисық

натурал теңдеуімен берілсін.

1. векторы жанаманың бойымен бағытталған, әрі бірлік вектор. Осы себепті жанаманың (абсцисса осінің) бірлік векторын арқылы белгілейміз, демек:

2. Бас нормаль векторымен анықталған , бұл векторының бірлік векторын арқылы белгілейміз, сонда

Олай болса, бірлік векторы бас нормаль түзуінің бойымен бағытталған бірлік вектор.

3. Енді бірлік векторын былай анықтаймыз. Ол үшін векторын үштігі оң