Бір қуысты гиперболоид

Бір қуысты гиперболоид

Бір қуысты гиперболоидтың канондық теңдеуі

+

түзуінде жатады. Нақты осьтері абциссалар мен ординаталар осьтерінің координаталар осі жорамал беттерінде жатады. а, в,с - бір қуысты гиперболоидтың жарты осьтері деп аталады.

Бір қуысты гиперболоидтың координаталар жазықтықтарымен қиса, онда төменгі сызықтар пайда болады.

Егер ХОУ жазықтықтарымен қиса, онда

+ эллипсі шығады.

Егер ХОƵ жазықтықтарымен қиса, онда

+ гиперболасы шығады.

Егер уоƵ жазықтықтарымен қиса, онда

+ гиперболасы пайда болады.

Бір қуысты гиперболоидты және координаталар жазықтықтарымен қиғанда

, ,

теңдеулері алынады. 58

Гиперболоноид

теңдеуіндегі ОƵ осі бойымен айналдыра отырып гиперболоидтың теңдеуін құрыңыздар.

Шешуі: Гиперболоид теңдеуін түрлендірейік. Бірінші теңдеуінен х² тауып, оны екінші теңдеудің квадратынан мына теңдеулер алынады.

алынады. Енді бұл теңдеуді мынадай

- немесе +

түрінде жазылған гиперболоидтың теңдеуі алынады.

Демек,

+

бір қуысты гиперболоидтың теңдеуі болып табылады.

№12

х²+2у²+3 +2х+8у+18 54 қандай теңдеу екенін табыңдар

Шешуі: Теңдеудегі х,у, тердің толық квадраттарын бөлсек, онда

х²+2у²+3 +2х+8у+18 54

(х²+2у²+1)-1+2(у²+4у+4)-8-3(

(х²+1)2+2(у+2)²-36 -3)² -1-8+27-54

(х²+1)2+2(у+2)²-36 -3)²

......... 36 –ға бөлсек, онда

+

Бұл түзудің центрі (-1;-2; 5) нүктесінде орналасқан. Енді тік бұрыштар координаталар сақинасын х+1, у-2, -3 формулалары арқылы ауыстырсақ, онда + - болып, гиперболоидтың теңдеуіне ауысады.

Демек, берілген бет бір қуысты гиперболоидты анықтайды

М (-6; 2; 4) нүктелері арқылы өтетін және жазықтықтың

+ түзу сызықты айналушысы арқылы өтетін түзу сызықтарын жазыңыздар.

Шешуі: (-6; 2; 4)нүктелері берілген жазықтықта жатсын делік, онда

+ 4-1-4

Бір қуысты гиперболоидтың әрбір нүктесі арқылы оның екі түзуі өтеді.

Бір қуысты гиперболоид түзуі үшін төмендегі теңдікті жазуға болады:

немесе + - - +

Осыдан кейін екі системаны құрайық:

М нүктесі арқылы өтетіндіктен, k және l нүктелерін табамыз.

Алдымен k параметрін табамыз.

-6; у мәндерін қойсақ, онда

-2+1

-2

k

Енді канон мәнін (2)-ге қойсақ, онда оның сол жағы

-2-1

-3

түрінде жазылады. Енді (1), (2)-ге қойсақ,

онда 61

Ал бұдан алынады.

Енді параметр l-ды табайық. Ол үшін (3)пен (4)-тен

Бұл теңдеуден х,у, мәндерін қояйық.

Сонда

l -1 болады. Сондықтан екінші схемасы мынадай болады:

Бұдан:

Демек, М (-6; 2; 4) нүктелерінен өтетін және гиперболоидтық түзусызықтың жолаушылары

және болады.

теңдеуімен берілген беттің А (6;2;8) нүктесінен болған беттің тіксызықты жасаушыларын табыңыздар.

Шешуі: Бір қуысты гиперболоидтың

теңдеуі берілген.

Ол бір қуысты гиперболоидтың тік түзуін жасаушылары.

,

деп анықталады, мұнда - кез келген нақты сандар келтірілгенін пайдаланып, мынадай теңдеулер жазамыз:

,

А нүктесінің координаталары (6; 2; 8)-де келтірілген системасының орнына қою арқылы

,

Бірінші системадан , екінші системадан - болады.Осы параллельдердің мәндерін қою арқылы келесі системалар

шығады. Демек, бұлар беттің тіксызықты жасаушыларын анықтайды. 63

- + гиперболоидтың координаталық жасаушыларын және жазықтықтарының қиылысу сызықтарын табыңыздар.

Шешуі: Берілген бір қуысты гиперболоидтың ХОУ координаталық жасаушыларының қиылысу сызығы

- ,

ХОУ жазықтығындағы эллипс бетін табыңыз.

Бір қуысты гиперболоидтың УОƵ координаталық жазықтығының қиылысу сызығы

-

жазықтығымен анықталады. Бұл теңдеулермен УОƵ жазықтығындағы гипербола анықталады.

ХОƵ координаталық жазықтығында бір қуысты гиперболоид

- у

жазықтығымен анықталады. Бұл ХОƵ координаталық жазықтығында гиперболаны анықтайды. Гиперболамен жазықтықтарының қиылысу сызықтары

болады. Мұнда эллипс жазықтығында жатады.

Бір қуысты гиперболоидпен х жазықтығы

-

Мұнда гипербола жазықтығында жатады. Егер бір қуысты гиперболоидтың координаталық жазықтықтармен, және жазықтықтарының қиылысу сызықтары көрсетілген. 64

............-16х-34у-2х- теңдеуі қандай бетті анықтайды?

Шешуі: Теңдеуді түрлендірейік:

4х²-9у²+36 ²-16х-54у-72 -65

4(х²-4х+4)-9(у²+6у+9)+36( ²-27+1)-16+81-16-65

4(х-4х) ²-9(у+3)²+36( ²

- + (1)

Енді х-2 ; у+3 ; алмастыруын жасасақ, онда (1) теңдеуі

- +

теңдеуі пайда болады. Осындай бетті қию әдісімен қарастрайық.

Бетті ОХУ қимасымен қисақ, онда

- гиперболасы шығады.

Егер бетті ОУƵ жазықтықтарымен қиса, онда

+ ,

ОХ жазықтықтарымен қиса, онда

+ гиперболасы пайда болады.

ОХУ жазықтығына параллель жазықтықпен қиса, онда гипербола болады.

- - , қияды.

Ал ОУ жазықтық бойынша

- + , эллипспен қияды.

Ал ОХ жазықтығы

- + + , эллипс бойынша қияды.

Демек, берілген теңдеу бір қуысты гиперболаны анықтайды. 65

1. 2х²-6у²+5 -12 -24у-24 теңдеуімен берілген бір қуысты гиперболаны анықтаңыздар.

Шешуі: Теңдеуді түрлендірейік:

2х²-6у²+5 -12 -24у-24

2(х²-6 -18+24-48

2(х+3)²-6(у-2)²-3( )² болады.

+ + теңдеуі алынады.

Енді х+3 ; у-2 ; белгілеуін енгізсек, онда

- +

ОХУ қимасынан жүргізсек, онда гипербола

- теңдеуі алынады. Егер ОУ қимасынан жүргізсек, онда эллипс

- + теңдеуі алынады.

ОХУ жазықтығына параллель жазықтық

- - , гиперболла бойынша, ОУ жазықтығына параллель жазықтық

- + , гиперболла бойынша, анықтайды.

Ал ОХ жазықтығы

- + + , эллипс бойынша қияды.

Демек, аталған эллипстерді қарастырып, берілген теңдеу бір қуысты гиперболаның теңдігін анықтайды. 66

-1 жазықтығы - + бір қуысты гипербола бойынша қияды.Гиперболаның жартысының төбелерін анықтаңыздар.

Шешуі: -1 теңдеуін -1 деп жазуға болады, осы -1 қиылысу сызығын табу үшін, -1 теңдеуіне ауыстырсақ, онда

- , - , - теңдеуі шығады. Алынған теңдеуде а² а , в² 9, в . Оның төбелері А(4; 0; -1) және В(-4; 0, -1) нүктелерінде орналасқан.

Демек, эллипстің жарты осьтері а , в және төбелері А(4; 0; -1), В(-4; 0, -1) нүктелерінде орналасқан.

№9

- , у гиперболаны О осіне бұру және ОХ жазықтығына бір мәнді қылу арқылы - теңдеуімен анықталатын бір қуысты гиперболоидты алу үшін қажетті басымдығын дәлелдеңіздер.

Шешуі: Гиперболаның О осінен айналуынан шыққан айналу бетінің мәні теңдеуімен

алынады. ОХ жазықтығына сығылу коэффициенті k= болса, онда беттің кез келген М (Х,У, М (Х¹,У¹, ¹) нүктесіне көшеді. Бұл жағдайда

немесе

болады. Алынған теңдеуді (1) ге қоссақ, онда

алынады.

Демек, берілген теңдеу бір қуысты гиперболаның теңдеуін анықтайды.

Егер бір қуысты гиперболаның беті ОХУ жазықтығын кеседі, ал ОХ жазықтығын гипербола бойынша қияды. Сонда бір қуысты гиперболаның канондық теңдеуін табыңдар.

Шешуі: Бір қуысты гиперболаның теңдеуі

Егер бір қуысты гиперболоидты ОХУ жазықтығы шеңбер бойымен есептеуі бойынша , яғни 9.

Ал, ОХ жазқтығымен қиылысу сызығы

гипербола болады.Бұл есептің гиперболалық теңдеуі

түрінде берілген. Мұнда 10

Демек, бір қуысты гиперболаның теңдеуі

0 түрінде жазылады.

, у 0 гиперболасының О осінен айналуынан біртіндеп ОХ жазықтығына кеңістіктің бір мәнді сығылу арқасында айқындалатынын көрсетіңіздер.

Шешуі: , у 0 гиперболасының О осінен айналғанда мынадай теңдеумен

шығады.Осы формуланы пайдаланып, системаны былайша құрамыз.

, , 68

Енді айналу беті ОХ жазқтығына айналу коэффициенті бойынша айналады. Осы ОХ жазықтығына айналу бетінің М (Х,У, М (Х¹,У¹, ¹) нүктесіне көшеді. Бұл жағдайда

немесе

болады. Осы алынған теңдеуді (1) ге қоссақ,

теңдеуі алынады.

Демек, алынған теңдеу бір қуысты гиперболаның теңдеуі.

х²+2у²-4 -8 теңдеуі тік бұрыштың декарт координаталары айнымалысында қарастырып, екінші ретті беттік теңдеуін қиылысатын әдіспен зерттеңіздер .

Шешуі: Берілген теңдеудің толық квадратын бөліп жазсақ, онда

х²+2у²-4 -8

- ²

1. Осы бетке теңдеуін қойсақ, онда

+ ²

-тың орнына ху-тегі мәнін қойсақ, онда қисық

теңдеуі пайда болады.

2. Кеңістікті х кесіндісімен қисақ, онда

+ + ², ²

а) болса, онда

–

Бұл гипербола болады, мұнда О нақты ось, ОУ-жанама ось.

б) болса, онда

–

Мұнда жалған нүкте анықталынады.

в) болса, онда

–

Мұндай жағдайда гипербола алынады,ОУ-нақты ось, ОУ-жанама ось.

3.Осы бетті у жазықтығымен қиысса, онда

²

анықталған жағдайлар екінші жағдайларға ұқсас. Демек, алынған бет

²

теңдігін анықтайтын бір қуысты гиперболоид,оның центрі (0;-0;-1) нүктесінде, ал осьтері а в , с болады.

№13. бір қуысты гиперболоидты, (0;-0;-1) нүктесінен оның жазықтығын қиған кезде болатын қиманың теңдеуін табыңдар.

Шешуі: (0;-0;-1) нүктесінен өтетін жазықтықтың теңдеуі болады.Осы теңдеуді бір қуысты гиперболоидтың теңдеуіне қойсақ, онда

немесе

Енді алынған теңдеу эллипсті анықтайды. Бір қуысты гиперболоидтың (0;-0;-1) нүктесінен эллипс өтеді.

Демек, бір қуысты гиперболоидтың түзуі мына теңдеуге ауысады. Бұл теңдеу эллипсті анықтайды. 70

14. бір қуысты гиперболоидтың қиындысының ОХУ жазықтығына пропорциясын табыңдар.

Шешуі: Бір қуысты гиперболоидтың теңдеуіне х 2 теңдеуін қосса,

х ,

Бұл теңдеуде у у шешулері болады.

Демек, у-4 у+4 жазықтықтары ОХУ жазықтықтарындағы шешулері болады.

№15 Бір қуысты гиперболоидтың теңдеулері, егер ОХУ жазықтықтарында х²+у шеңбер бойынша, ал ОХƵ жазықтығын жазықтығы бойынша қиса, ол қандай канондық теңдеумен анықталатындығын көрсетіңдер.

Шешуі: Бір қуысты гиперболоидтың теңдеулері - түрінде жазылады.Сол бойынша ОХУ қиылысында қимада шеңбер х²+у² Сонымен ОХУ теңдеуінен қиған кезде гипербола нәтижесі - .Бұл теңдеуге а қоссақ, онда

-

теңдеуі алынады. Бұдан а^{2 2}

Демек, -

№16 + беттің тік сызықты жасаушыларының ішінен (6;2;9) нүктесінен өтетінін табыңыздар.

Шешуі: Беттің тік сызықты жасаушыларының теңдеуін жазсақ, онда

(1)

Гипероидтың координаталарын (6; 2;8) системалардың әрқайсысына қойсақ, онда алынады. 71

Бірінші системада ал екінші системада аламыз:

, шығады.

Демек, есептің шарты системаны қанағаттандырады:

, және

+ теңдеуінен ОƵ осына координаталар нақты , бір қуысты гиперболоидтың тік сызықты жасаушыларын табыңыз.

Шешуі: Бір қуысты гиперболоидтың + теңдеуіне белгісіз осы бір қуысты гиперболоидтың жасаушысының теңдеуі

теңдеуі шығады. Осы системаның ашып жазсақ, онда:

немесе

Берілген жасаушының бағыттаушы векторын жазайық:

Енді векторы ОХ осіне перпендикуляр болуы тиіс, яғни

=0

Мұнда = . Осыдан 3 ( . Сондықтан теңдеуі алынады. Сонымен , Осы мәндерді (1) системаға қойсақ, онда

(2)

(3)

теңдеуі алынады. Осылай жазуымызға болады. Бұл жазықтықта екі түзу салынады. Сонымен, бірінші жазықтық екінші жазықтықта қиылысады.

у+6 жазықтығы гиперболоидтық параболоидты - парабола бойынша қиылысуын көрсетіңіздер.

Оның периметрін және төбесін табыңыздар.

у+6 теңдеуін у -6 түрінде жазайық. Осы мәнді - шықса, онда бұдан - , х²-45 30 , х² +45, х² +45) мәні алынады. Бұл теңдеуде х² +22,5). Мұнда Р төбесі .....

№.. +1 жазықтығы, бір қуысты гиперболоидтың + гипербола бойынша қиятындығын көрсетіңіздер. Оның жарты беттерін және төбесін табыңыздар.

Шешуі: Бір қуысты гиперболоидтың теңдеуімен жазықтықтың теңдеуінен схема құрайық.

шығады. Екінші теңдеуді біріншісіне қоссақ, онда

; ;

Осындай гипербола болады. Бұл гиперболаның теңдеуінде а тең екендігі шығады. Бұдан А₁(-4;0; -1), А₂(4;0; -1). Демек, гиперболаның төбесі А_1, А₂ нүктесінде, ал тармақтары гиперболамен сәйкестенеді.

Екі қуысты гиперболоид.

Екі қуысты гиперболоидтың канондық теңдеуі - (1)

түрінде жазылады. Екі қуысты гиперболоидтың екі төбесі С₁(0;0; -0), С₁(0;0; -1) төбесі бар. Екі гиперболоидты ХОУ жазықтығымен қиса,

нағыз осі О осінде, жанама осі ОХ осінде жататын гипербола алынады, ал уо жазықтығын қиса,

нағыз осі О осінде орналасқан, жанама осі ОУ осінде жататын гипербола алынады.

Гипербола өзінің нақты осін айналатын болса, онда одан екі бөлек айналатын беттері алынады және оларды екі қуысты гиперболоид деп атайды.

- , у гиперболоиды ОХ осінен алынған екі қуысты гиперболоидтың теңдеуін алыңыздар.

Шешуі: Гиперболаның - , у теңдеуінен мына теңдеулерді

х² а²(-1+ , у²

аламыз. Енді осыған екі теңдеуді қоссақ, онда (-1+ . Осы теңдеуден -1+ -1

Демек, -1

Теңдеу о осінен айналғанда алынатын екі қуысты гиперболоидтың теңдеуі болып табылады.

№2 Екі қуысты гиперболоидтың +

координаталық жазықтықтарына параллель жазықтықта теңдеуін табыңыздар.

Шешуі: Берілген екі қуысты гиперболоидты уо , х жазықтықтарымен қосқанда

- немесе + қисыны алынады. Сондықтан, ХОУ жазықтығында осьтері 26 (нақты осі) және 2с (жанама осі) болатын гиперболоиды алынады.

Енді бетті ХоƵ, у жазықтығымен қисақ, онда

+

алынады. Сондықтан, бұл қисық жорымал шеңбер болады. Мұнда нақты қисық жоқ.

Бетті енді ХОУ, жазықтықпен қисақ, онда

немесе

қисығы алынады. Бұл қисық ХОУ жазықтығында осьтері 26 (нақты осі) және 2а (жанама осі) болатын гиперболоиды анықтайды.

Енді екі қуысты гиперболоидты жазықтықтарына параллель, яғни ………………… 77

+ , ,

- , -

Сонда

теңдеуі алынады. Мұнда

в¹ , а¹ ,

2 в¹ 2 а¹ .

Есептің шартына сәйкес

2 в¹ (2в) немесе в¹ 2в, 2а¹ 2 а немесе а¹

Енді а мен в орнына қойсақ, онда

Осы теңдеуді шеше отырып, ты табайық:

24,

Табылған мәні а¹ 2 а болатындығын көрсетеді:

а¹

Сонымен, хоу жазықтықтарына параллель, теңдеулері болатын екі жазықтық бар. Берілген гиперболаны қиып өтетін, онда уо жазықтықтарына параллель жазықтықпен қиылысса, онда х жазықтығын аламыз. Сонымен

+ , - +1, -

- , - 1

Нәтижесінде

79

Жазықтықтағы теңдеуден х у ........

- - + немесе (-1)-ге көбейтсек, - - -

теңдеуі алынады. Бұл теңдеу екі қуысты гиперболоидтың теңдеуі болып табылады.

Екі қуысты гиперболоидтың тік бұрышты координаталар аймағында А (3;1;0), В(2; 3) және С(6; ) нүктелері берілген. Екі қуысты гиперболоидтың теңдеуін табыңыздар.

Шешуі: А нүктесі екі қуысты гиперболоидтың нүктесі болады. Сондықтан бұл нүктенің координаталарын екі қуысты гиперболоидтың нүктесіне қоссақ, онда

+

Дәл осындай тәсілмен В мен С нүктелерінің координатасын қоссақ, онда

болады. Сонда

Егер бірінші теңдеуді 4-ке көбейтіп, үшінші теңдеуді (-1)-көбейтіп алсақ, онда

Егер теңдеуді мен ке қоссақ, онда а² в² , с² болады. Бұдан х²+2х²-3 +1 теңдеуі алынады.

Демек, екі қуысты гиперболоидтың теңдеуі х²+2х²-3 +1 болады.

2 в¹¹ , 2 ¹¹

Есептің шартына сәйкес, 2 в¹¹ немесе в¹¹

2 с¹¹ немесе с¹¹

в¹¹ мәндерін қойып, алынған теңдеуді шешу арқылы в табылса, онда

2 , , 12+ ,

дің алынған мәні ¹¹ с теңдеуінде қанағаттандырады, яғни ¹¹

Дәл осындай әдіспен, х теңдеуін қанағаттандыратын екі жазықтықтарда бір мәнін көруге болады.

Демек, есептің х , түбірлері болады.

№3 3х²-4у^у-6 ²+24х+8ху-36

Шешуі: Беттің теңдеуін түрлендірейік:

3х²-4у²-6 ²+24х+8ху-36

3(х²+8+16)-4(у²-2у-1)+6( ²-6 +9)-48+4-54+122

3(х²-4у²)-4(у-1)²+6( -3)²

Теңдеудің екі жағын да 24-ке бөлсек, онда

+

Егер мынадай белгілеулер

, , енгізілсе, онда мынадай теңдеу алынады:

- +

Демек, бір түзу екі қуысты гиперболоидты анықтайды.

№4 х²-2у²+3 ²-4х+4у-24 0 беттің канондық теңдеуін анықтаңыздар.

Шешуі: Беттің теңдеуін төмендегіше түрлендірсек, онда

-(х²+4х+4)+2(у²+2у) 0

-(х²+2х+4)+4+2(у²+2у+1)-2+3( 0

-(х²+2х)+2(у+1)²+3( -4)²+6 0

-(х²-1)²+2(у+1)²+3( -4)² -6

+ 80

№5 4х²+4у²- ²-16у+20 0 теңдеуінен берілген екінші реттік беттің түрін анықтаңыздар. Оның кескінін салыңыздар.

Шешуі: Берілген теңдеуді төмендегіше түрлендірсек, онда

4х²+4у²- ²-16у+20 0

4х²+у+4у² -16у- ²+20 0

4х²+4(у²-4у) ²+20 0

4х²+4(у-2) ²+4 0

4х²+(у-2)² -1

Координата сақинасының бас нүктесін 0(0;2;0) нүктесіне көшірсек, онда

Енді теңдеу мынадай түрге

-1

көшеді.Бұл теңдеу екі қуысты гиперболоид болады.