Дәреженің қасиеттеріне жаңа ғылыми-әдістемелерді енгізу-оқушылардың ойлау қабілеттерін дамытудың кепілі

Дәреженің қасиеттеріне жаңа ғылыми-әдістемелерді енгізу-оқушылардың ойлау қабілеттерін дамытудың кепілі

Қазіргі уақытта орта мектептердің негізгі міндеттерінің бірі - оқушылардың шығармашылық ойлау қабілеттерін анықтау және оларды дамыту проблемаларын шешу болып табылады.

Оқушылардың жоғары математикалық мәдениетін қалыптастырудың негізгі жолы – әр түрлі есептерді шығару кезінде ұйымдастыра білу.

Оқушылардың математикалық ой-µрісінің дамуы, олардың есеп шығара білуінен анық байалатыны рас. Қиын да, қызықты да есептерді шығара білу - оқушылардан талмас еңбекті, зор күш пен табандылықты қажет етеді. Міне, осындай қасиеттердің барлығы да оқушылардың бойында есепке деген ынтасы оянғанда ғана күшейе және арта түседі.

Демек, оқушылардың математикаға деген ойлау қабілеттерін арттыру үшін біз ең алдымен оқушылардың қабілеттеріне қарай қызығып шығаратын есептерді ептілікпен таңдап алуымыз қажет. Егер есеп, олардың қабілеттеріне сай емес, шамадан тыс қиындығы жоғары болса, онда оқушылардың есепке деген құштарлығы тµмендеп, ары қарай есеп үйренуіне тежеу жасап, ынтасын қайтарады.

Кез - келген жағдайда есептің шешімін болжау үшін есепке мұқият талдау жасалады. Біріншіден есепке керекті негізгі қасиеттерін, фигуралардың кеңістікте орналасуын, олардың ерекшеліктерін, ұқсас белгілерін т.б. ажырата білу керек. Оқушылардың математикалық ойлау қабілетін арттырудың ең тиімді әдісі - оларды анализ және синтез, салыстыру және ұқсастыру т.б. арқылы маңызды тәсілдермен қаруландыру болып табылады. Сондай тәсілдердің бірі – стандарт (үйреншікті) есептер мен стандарт емес есептерді салыстыра отырып шешу болып табылады.

Стандарт емес есептер оқушылардың ойлау қабілетін дамытады, ды ойлауға жетелейді және де есепке деген ынтасын, қызығушылығын арттырады.

Стандарт емес есептер оқушылардың үйреншікті жолмен шығара салуына мүмкіндік бермейді. Демек, стандарт емес есептер оқушылардың математикалық ойлау қабілетін дамытудың негізгі құралы болып табылады.

1) 2²*2 2) 3³*3 3) 5ⁿ*5ⁿ т.с.с. мұнда қарастырылған есептердің барлығы

да бір сарынды есептер. Дәреженің қасиеттерін толық меңгерген оқушыларға бұл есептердің ешқандай қиындығы жоқ, жаттанды түрде шығара береді. Мұнда оқушы қосу, азайту амалын білсе болғаны... Мұндай үйреншікті есептер оқушылардың ары қарай ойлауына, математикалық ой - өрісінің дамуына, есепке деген ынтасының артуына ешқандай ықпалын тигізбейді. Мұнда біз, бір сарынды есептер “ойлауды қажет етпейді” деген ойдан аулақпыз. Әрине, ойлауды қажет етеді, бірақ белгілі бір деңгейде.

Міне, бір сарынды есептер оқушылардың ойлау қабілеттерін шектейді, белгілі бір деңгейде ұстап тұрады, деңгейден шығуына мүмкіндік туғызбайды. Жоғарыда айтылғандай, сыныптағы оқушылардың қабілеттері де қабілеттері орташа, баяу (біртіндеп) дамитындар да - бәрі де сол деңгейде қалып қояды. Сол деңгейден (шекарадан) “саңылау” тауып, қабілетті (қалқада қалып қойған алтындарға) оқушыларға жол ашу, біздердің қолымызда екенін ұмытпауымыз керек! Ол үшін не істеуіміз керек?! Жауап берейік.

Ол үшін бірінші тақырыбымыз – дәреженің қасиеттеріне арналған стандарт емес есептерді құрастырудың әдістемелеріне көшейік:

1) стандарт емес есептер қалай құрастырылады?

2) стандарт (үйреншікті) және стандарт емес есептердің бір-бірінен айырмашылығы неде?

3) стандарт емес есептердің оқушылардың математикалық ойлау қабілеттерін дамытуға тигізетін әсері бар ма?

Бұл сұрақтарға жауап беру үшін, біз, әуелі (С.А.Теляковский.7-сынып алгебра оқулығындағы) №454 есептің төңірегінде ғана әңгіме қозғайық.Есеп былай берілген:

Егер а² = m болса, онда а⁶ = ?

Біз осы есепті шығарту алдында қандай тәсілмен оқушыларды ойландыруға және қалай тестілеуге үйретуге болады? Стандарт емес есеп арқылы оқушылардың ойлау қабілеттерін дамыту үшін біз алдымен есептің бес жауабын, оның ішінде біреуін “шын”, ал қалғандарын “жалған” етіп қоямыз.

Сөйтіп, осы есеп арқылы оқушылардың ойлау қабілеттерін арттыруға толық мүмкіндік жасауға әрекет жасаймыз. Енді есепті шешіп көрейік. Берілгені:

Егер а² = m болса, онда а⁶ = ? (Мұнда ізделінді а⁶ = ? )

а) m³ b) -m³ c) m² d) 3 e) 1

Есептің бес жауабы берілген, оның ішінде біреуі “шын”. Оқушы “шын” жауабын таба бастайды. Оқушы ол үшін а⁶–тың дәрежесін (a²)³ –түріне келтіріп, а² мәнін орнына қояды. Сонда а⁶ = (а²)³ = m³ екендігі шығады. Демек, оқушы есептің жауабы а) екендігін анықтап, астын сызады. Жауабы:а.

Біз, тағы да есептің шартын өзгертпей, ізділіндісін өзгерту арқылы оқушының ойлау әрекетін әр түрлі бағыттаудың бар мүмкіндігін туғызуға күш жұмсаймыз. Мысалы,

Егер а² = m болса, онда а^-2 = ? (ізделінді а^-2 дәрежесі)

a) 1/m b) m c) m² d) 2 e) -1

Mұнда дәреженің қасиетін жақсы білетін оқушы бірден “жауабы а” дейді. Өйткені, а^-2 = 1 / a² = 1 / m болады. Яғни, жауабы а.

Сонымен, ізделіндіні таңдап алуымызға байланысты, оқушылардың ойлау әрекетін әр түрлі бағыттарға мүмкіндіктер туғызатынымызға көз жеткіземіз.

Ал, енді керісінше, ізделіндіні таңдап алу арқылы емес, есептің “шын” жауабын басқаша түрде беру арқылы да оқушылардың ой-өрісін әрі қарай бағыттауға болатындығын байқаймыз. Мысалы, алдыңғы есепті қарастырайық:

Егер а² = m болса, онда а^-2 = ? (Ізделінді а^-2 -дәрежесі)

a) m² b) m c) m^-1 d) 2 e) 1

Мұнда, біз есептің “шын” жауабы 1 / m –нің орнына, оны өзгертіп m^-1 түрінде беріп отырмыз.

Бұл жағдайда кейбір оқушылар есептің “шын жауабы жоқ” деп жауап беруі мүмкін. Өйткені, олардың есепті шығару бойынша 1 / m ал, жауабында 1 / m жоқ, бірақ, бұл есептің “шын жауабы ” басқаша түрде (m^-1) беріліп тұр. Қабілетті оқушы есептің жауабын бірден с) деп жауап береді. Өйткені m^-1=1 / m болады. Жауабы: с.

Жоғарыда біз, алгебра оқулығындағы дәреженің қасиетіне байланысты бір стандарт емес есептің төңірегінде талдау жасадық.

Енді осы стандарт емес есептің төңірегінде бірнеше стандарт емес есептер қарастырайық. Стандарт емес есептерді құрастыру алдында, оқушыларға бірден қиындығы жоғары есептер беруге асықпауымыз керек! Алдымен жеңілдеу, оларды толық меңгергеннен кейін біртіндеп стандарт емес есептерді қиындата беруімізге жол ашыла бастайды.

Мысалы:

Егер 2ⁿ = a болса, онда 2²ⁿ = ?

a) a⁵ b) a⁴ c) a³ d) a² e) 1

Шешуі: Ізделіндіні 2²ⁿ дәрежесін, 2ⁿ дәрежесімен байланыстырамыз. Сонда 2²ⁿ = (2ⁿ)² = a² болады.

Жауабы: d.

Немесе, шын жауабын өзгертетін болсақ, онда

a) a⁵ b) a⁴ c) a³ d) 1/a^-2 e) 1

болады.

Mұнда “шын” жауабының орнында 1/а^-2 тұр. Осылайша, ізделіндіні де, шын жауабын да өзгерту арқылы да көптеген әдістемелер қолдануымызға болады.

Мысалы:

Егер 2^-m+1 = b болса, онда 2^m = ?

a) 2/b b) 5m c) 2b d) 7 e) 1

Шешуі: 2^-m+1 = b 2^-m*2 = b 2^-m = b/2 2^m = 2/b

Жауабы: а.

Мұнда ізделінді 2^-m+1, 8^-m, (1/ 2)^m , (1/ 2)^-m , (1/ 2)^-m+a тағы сол сияқты өзгерте беруімізге болады.

Тағы да қиындығы жоғары стандарт емес есептерге мысалдар келтірейік. Мысалы:

Егер 2ⁿ = 27 және 2^m = 3 болса, онда m/n = ?

a) 1 b) 1/2 c) 1/3 d)1/4 e) 1

Шешуі: 1) 2ⁿ = 3³, 2) 2^m = 3. Енді 2-теңдіктің екі жағын 3-ші дәрежеге шығарсақ, онда 2^3m = 3³ (3) болады. (1) және (3)-теңдіктердің оң жақтары тең болғандықтан, 2ⁿ = 2^3m n = 3m m/n = 1/3 болады.

Жауабы: с.

1) 4^х = 125 және 8 ^y = 5 болса, онда

а) –8; в) 1; с) 8; d) –1; e) y.

Осы жауаптардың ішінде біреуі дұрыс екені бізге белгілі. Есепті шешейік. Мұндағы ең назар аударатынымыз 4^х = 125 пен 8^y = 5 -ті байланыстыру.

Шешуі: 4^х = 5³ десек, 5-тің орнына 8^у -қоямыз. Сонда 4^x = (8^y)³ болады. Бұдан 2^{2 х} = 2 ^{9 y} шығады. Демек, 2х = 9y. Енді ізделіндіге қоятын болсақ, онда . Яғни, жауабы с.

2) 2ⁿ = a, 5ⁿ = b болса, онда 20ⁿ = ?

а) а³b; b) аb²; с) а²b³; d) a²b; e) ab

Шешуі: Мақсат, тек біреу 2ⁿ = а пен 5ⁿ = b –ны 20ⁿ мен байланыстыруда.

Демек, 20ⁿ = (4·5)ⁿ = 4ⁿ·5ⁿ = a²· b болады.

Жауабы d.

3) a^3b = 8 , a^2b = 3x-11 болса, онда a^bx = ?

а) 16; в)24; с) 32; d) 36; e)y.

Шешуі: а^3b = 8 a^b = 2 болады. Ал, a^2b = (a^b)² = 4

Яғни, а^2в - нің орнына қоятын болсақ, онда 4 = 3x-11 шығады. Бұдан x=5. Демек, a^bx = (a^b)^x = 2⁵ = 32.

Жауабы с.

Есептерді әр түрлі етіп құрастыра беруге болады. Ол өзіміздің ізденуімізге байланысты деп ойлаймын. Мұндағы ең негізгі мақсат оқушылардың ойлау қабілетін дамыту болып табылады.

Төмендегі есептерді қарастырайық:

4) Егер 125 ^2а = m³, 25^3b = m² болса, онда (немесе ізделіндіні өздеріңіздің қалауларыңыз бойынша ab^-1 = ?, , ba^-1 = ?, өзгерте беруге болады.

Ал, ізделіндіге байланысты есептің жауаптары өзгеретіні белгілі.

a) 1/3; b) 2/3; c) 3/2; d) 1; e) 3.

Шешуі: 125^2a = m³ 5^2a = m , ал 25^3b = m² 5^3b = m болады

5 ^2a = 5^3b 2a = 3b шығады.

Демек,

Жауабы: с)

5) Егер x = 2001 болса, онда

a) (2001²⁰⁰²)^-1; b) 2002-2001; c) 2001-2002; d) 2 ^x; e) 2 ^y.

Бұл есепті ойлау қабілеті күшті оқушы бірден есептейді де, ал, ойлау қабілеті төмен оқушылар х пен у – тің мәндерін қойып, микрокалькулярмен есептеймін деп, уақытын өткізіп отыра беретіні рас.

Шешуі: . Яғни, жауабы: с).

Оқушылардың ойлау қабілетін дамыту бізге байланысты екені рас, ақиқат.

Демек, бізге ең қажетті нәрсе белгілі тақырыпты өткенде, тек жана оқулықпен шектеліп қоймай, сол тапқырып төңірегінде кенейтіп беру, біз үшін парыз! Өйткені, ұшқыр ойлы оқушылардың алдындағы біздің аса зор боршымыз деп бағалаймыз.

6) Егер a^b = 2 болса, онда a^5b – 12 = ?

a) 20; b) 21; c) 23; d) 24; e) 0.

Шешуі: a^5b – 12 = (a^b)⁵ – 12 = 2⁵ – 12 = 32 – 12 = 20.

Жауабы: а

7) Егер 3ⁿ = 4 болса, онда 2ⁿ = ?

a) ; b) n²; c) n³; d) 3; e) 1.

Шешуі: 3ⁿ = 4 3ⁿ = 2² 3^n/2 = 2 болады.

Енді соңғы теңдіктің екі жағын n дәрежемен шығаратын болсақ, онда

Жауабы: а

8) Егер 3^x = 2 және 3^у = 16 болса, онда

a)-5/3; b)5/3; c) 5; d) 3; e) -1.

Шешуі: 3^y=16 3^y=2⁴ 3^y/4=2. Енді 3^х=2 теңдігіндегі 2-нің орнына 3^y/4-ті

қоямыз. Сонда 3^х=3^y/4 болады. Бұдан x=y/4 y=4x. Енді ізделіндідегі y – тің орнына 4х-ті қойсақ, онда ізделінді болады.

Жауабы: а.

Сөйтіп, біз дәрежесінің қасиеттеріне байланысты стандарт емес есептерді құрастырдық. Стандарт емес есептер оқушылардың математикалық ойлау қабілетін дамытудың бірден-бір құралы деп есептеймін. Себебі, үйреншікті есептер қабілеті жоғары оқушыларды қызықтырмайды. Мұнда, біз тек бір ғана тақырыптың төңерегінде аз ғана есеп беріп отырмыз. Енді оқулықтағы дәреженің қасиеттерін ары қарай кеңейте түсейік...

1⁰ Негіздері де, дәреже көрсеткіштері де әр түрлі дәрежелер тең болады, егер олардың дәреже көрсеткіштері 0-ге тең болса. ( aⁿ= b^m, (n=0, m=0) немесе (a=b, n= m)).

Мысалы 1: Егер (x^x)⁵· (5^x)⁵=27 болса, онда x²=? (мұндағы ізделінді өзгерту арқылы оқушалардың ойлау қабілетін әр түрлі бағыттауға болады).

a) 3; b) 1/3; c) 9/25; d) 1/9; e) 1.

Шешуі: (x^x)⁵· (5^x)⁵ = 27 x^5x· 5^5x=27 (5x)^5x=3³

5 x=3 . Ал ,

Жауабы: с)

Мысалы 2: 5^x+y-3=7^x-y+5 болса, онда x=? y=? (ізделінді x және y)

Шешуі:1⁰-қасиет бойынша

Яғни, х=-1, y=4 болады.

Ал, енді есептің шартын да, ізделіндіні де өзгерту арқылы бірнеше есептер құрастыра беруге болады. Есептің шартын өзгертпей ізделіндіні (x^y=?, y^x=?, x\y=?, x·y=?, x^-1y=?, x-2y=?, 2y^-1=? т.с.с.) өзгерту арқылы да оқушыларға ой туғызуға болады.

5^х+у-3=7^x-y+5, x^y=?

a)1; b)2; c)3; d)4; e)-1.

Шешуі: x=-1, y=4 болады. Ал, екіншіде ізделіндідегі х-пен у-тің мәндерін орындарына қоятын болсақ x^y =(-1)⁴ =1, болады. Яғни, жауабы а.

Оқушы а-ның астын сызады. Ал енді шын жауабын өзгерту арқылы да оқушыға ой туғызамыз. Мысылы, шын жауабы а-ның орнына, яғни 1-дің орнына (x)⁰, (3\4)⁰, (z)⁰ –x\-x, т.с.с. Ал, есептің жауабында 1 саны жоқ, бірақ басқаша түрде. Міне осындай әдістемелерді көптеп қолдануымызға болады.

Мысалы: Егер 3^х+2=5^у болса, онда у – х=?

a) -2; b) 2; c) –1; d)1.

Шешуі: 1⁰-қасиет бойынша Яғни, жауабы b.

Тағы сол сияқты көптеген есептер құрастыра беруге болады.

2⁰. Негіздері әр түрлі тең тақ көрсеткішті дәрежелер a^2n-1=b^2n-1 тең болады, егер a=b болса, n z.

Мысалы: 1) (x+3)³=(2x-1)³, x=? (x^-2=? x²=? 3x-1=? т.с.с.)

a) 1; b) 2; c) 3; d) 4; e) 5.

Шешуі: 2⁰-бойынша x+3=2x-1 болады. Бұдан х=4, жауабы d.

Ал, егер ізделінді х^-2 дәрежесі болса, онда жауабы 4^-2=1/16 болады.

Мысалы: 1) (x+1)¹⁰=(x²+2)⁵, x=?

Шешуі: [(x+1)²]⁵=(x²+2)⁵ (x+1)²= x²+2 x²+2x+1=x²+2 2x=1 x=1/2

a) 2^-1; b) 2; c) 3; d) (1/4)^-1; e) 5.

Жауабы: а.

3⁰. Негіздері әр түрлі тең жүп көрсеткішті дәрежелер a²ⁿ= b²ⁿ тең болады, егер |a|=|b| болса.

Мысалы: 1) x²=4, x=?

Шешуі: x²=4 x²=2² |x|=2 x=-2; x=2

Mысалы: 2) (x²-8)⁶=x¹²

Ш ешуі: (x²-8)⁶=x¹² (x²-8)⁶= (x²)⁶ |x²-8|⁶= |x²|

1 ) x²-8=x² шешімі жоқ

2) x²-8=-x² 2x²=8 x²= 4 x=-2; x=2

Жауабы: х=-2; х=2 болады.

4⁰ aⁿ=1 болады, егер төмендегі үш шарт орындалатын болса:

1. a≠0, n=0,

2) a=1, n кез-келген сан,

3) a=-1, n- жұп болса.

Мысалы: (x-2)^x-5=1, x=?

Шешуі: 1) x-2≠0, және x-5=0. Бұдан x≠2 және x=5. Жауабы x=5

2) x-2=1 Бұдан x=3. Жауабы x=3

3) x-2=-1 x=1. Ал, x=1 болғанда x-5=1-5=-4 жұп болады.

Сонда, берілген мысалдың үш шешімі бар (х=5, х=3, х=1).

Міне, сөйтіп оқушыларға дәреженің қасиеттері туралы кең ұғым беруге болады. Мұндағы ең негізгі мақсаттарымыздың бірі – берілген тақырып бойынша оқушылардың ойлау қабілетін дамытуға арналған есеп құрастыра алатынымызда!

Сөйтіп, жоғарыдағы есептердің төңірегінде олардың шарттарын немесе ізделінділерін өзгерту арқылы бірнеше есептер құрастыруға, қаншама әдіс-тәсілдерді өзіміз таңдап алуымызға толық мүмкіндігіміздің бар екеніне көз жеткіздік.

Қорыта айтқанда, оқушылардың математикалық ойлау қабілетін дамытудың бірден-бір жолы - өзіміздің тікелей ізденуімізге байланысты екені рас. ”Бала, губка сияқты таза су құйсаң да сіңіріп алады, лай су құйсаң да сіңіріп алады” демекші, балаға не берсең де соны алады.

Кітап – ғылымға бағыт берудің негізгі құралы, ал оны жаңартып,

толықтырып отыру қазіргі уақыттың талабы. Ол баршамызға ортақ, борышты ісіміз деп есептеймін.

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі

1. Мұхамбетжанов С. Математика 5-сынып, Атамұра, 2001 ж

2. Алдамұратов Т. А. Математика 6-сынып, Атамұра, 2002 ж

3. Әбілқасымова А. Е., Алгебра 7-сынып, Мектеп, 2005 ж

4. Теляковский С. А. Алгебра 7-сынып, Атамұра, 2004 ж

5. Баймұханов Б.,Медеуов Е., Базаров Қ. Алгебра 8-сынып, Атамұра, 2004 ж

6. Әбілқасымова А. Е., Шойынбеков К. Д., Есенов М. И. Алгебра, 2004 ж

7. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Алгебра 9-сынып, 1997 ж