10-дәріс

Күрделі функция туындысы. Кері функцияның туындысы. Логарифмдік дифференциалдау. Параметрге байланысты функцияның туындысы.

Күрделі функцияның туындысы.

Егер функциясының нүктесінде туындысы бар болса, ал функциясының нүктесінде туындысы бар болса, онда күрделі функциясының нүктесінде туындысы бар және

, немесе .

күрделі функциясының дифференциалын қарастырайық:

теңдігін және екендігін ескеріп,

тәуелсіз айнымалыны басқа айнымалымен ауыстырсақ та, дифференциал түрінің өзгермейтін қасиетін дифференциал түрінің инварианттығы деп атайды.

_{Мысал 1} .

.

Кері функцияның туындысы.

функциясы нүктесінде үзіліссіз, қатаң монотонды болсын және нүктесінде 0-ден өзгеше туындысы бар болсын, яғни, . Онда кері функциясының нүктесінде туындысы бар:

.

Яғни, кері функцияның туындысы берілген функция туындысының кері мәніне тең.

Айқын емес(жабық) функцияның туындысы.

Дифференциалданатын функциясы теңдеуімен айқын емес түрде берілсін. Онда күрделі функция ретінде дифференциалдап, туындысын табуға болады.

Мысал 2. функциясының туындысын тап.

Функцияның логарифмдік туындысы

функциясының екі жағын логарифмдеп, , дифференциалдасақ, онда туындысы логарифмдік туынды деп аталады. Логарифмдік туындыны қолданып, дәрежелік-көрсеткіштік функциясының туындысын анықтайық:

екі жағын дифференциалдап, теңдігін аламыз. теңдігі берілген функцияның туындысын анықтайды.

Параметрлік түрде берілген функцияның туындысы

айнымалысына тәуелді функциясы параметрлік түрде берілсін

.

функциясының кері функциясы бар болып, және функциялары дифференциалданатын функциялар, сонымен қатар, болсын. Онда

.

Мысал 3. тап.