Дифференциялдау

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ

1. Алғашқы мәліметтер.

1. Полиномиалды бейнелеу.

2. Дифференциялдаулар.

3. Экспоненциялды дифференциялдаулар.

4. Локальді-нильпотентті дифференциялдаулар.

5. Көпмүшеліктер сақинасының қолды автоморфизмдер группасы.

2. Екі айнымалылы көпмүшеліктер сақинасының қолды автоморфизмдері.

3. 11-сынып оқушыларына арналған факультатив сабақ жоспары.

ҚОРЫТЫНДЫ

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

КІРІСПЕ

Жұмыстың өзектілігі. Автоморфизмдердің ролі жақсы белгілі. Табиғаты алгебралық, геометриялық немесе тіпті математикалық емес көптеген арнайы математикалық құрылымдарды зерттегенде маңызды роль ойнайтын әр түрлі симметриялар кездеседі. Осы симметриялардың бәрі автоморфизмдер тілінде есепке алынады және сипатталынады. Сондықтан математикалық құрылымдарының автоморфизмдері құрылым ішіндегі жағдайды анықтайды. Автоморфизмдер группасы әр түрлі математикалық объектілерді классификациялауға және жүйелеуге қолданылатыны жалпыға мәлім.

Алгебралардың автоморфизмдер группасына қатысты жаңа нәтижелерді алу қызығушылық тудырады.

Қолды және жабайы автоморфизмдер мәселелерін математиктер XIX ғасырдан бері зерттеп келеді.

1918 жылы Ж. Нильсен [8] ақырлы рангті группаның автоморфизмдерінің қолды болатынын дәлелдеді. Сонымен қатар, қатысты еркін группалардың автоморфизмдерін В.А. Романьков [9] зерттеген.

Көпмүшеліктер алгебрасының автоморфизмдерін зерттеу заманауи алгебраның ең қүрделі және шиеленісті мәселелерінің бірі болып табылады. Көпмүшеліктер алгебрасының автоморфизмдеріне қатысты алғашқы маңызды нәтижені 1942 жылы Г. Юнг [1] алды. Ол характеристикасы ноль өрісінде екі айнымалылы көпмүшеліктер алгебрасының автоморфизмдері қолды болатындығын дәлелдеді. Характеристикасы кез келген өрісі үшін осы теореманың аналогын 1953 жылы Ван дер Калк [10] дәлелдеді. 1968 жылы Р. Рентшлер [6] характеристикасы ноль өрісінде екі айнымалылы көпмүшеліктер алгебрасының локальды-нильпотентті дифференциялдаулардың триангулярланатын болатынын дәлелдеді. Осы нәтижені пайдаланып, Р. Рентшлер екі айнымалылы көпмүшеліктер алгебрасының автоморфизмдері туралы Юнг теоремасынының жаңа дәлелдемесін берді.

Үш айнымалылы көпмүшеліктер алгебрасы жағдайында жабайы автоморфизмдердің бар болу мәселесі Филдс сыйлығының лауреаты Нагата мәселесі атында танымал болды.

1972 жылы Нагата характеристикасы ноль өрісінде k[x,y,z] үш айнымалылы көпмүшеліктер алгебрасында

автоморфизмын құрастырды және бұл автоморфизм қолдық автоморфизм болмайды, яғни жабайы автоморфизм болады деп жорамалдады. 2001 жылы И.П. Шестаков және Ө.У. Өмірбаев Пуассон жақшасы әдісін, дәрежені шектеуді және әлсіз редукцияны қолданып, Нагата автоморфизмі шыныменде жабайы болатындығын дәлелдеді. Сонымен қоса, 2002 жылы олар Нагата автоморфизмінің алғашқы екі кооринатасы үш айнымалылы көпмүшеліктер алгебрасының ешқандай қолды автоморфизмдерінің координаталары бола алмайтындығын дәлелдеді.

Дипломдық жұмыстың зерттеу объектісі екі айнымалылы көпмүшеліктер сақинасының автоморфизмдері.

Жұмыстың мақсаттары.

1. Екі айнымалылы көпмүшеліктер сақинасының автоморфизмдері тақырыбына қатысты мәліметтерді талдау.

2. R тұтастық облысында тұрғызылған R[X,Y] екі айнымалылы көпмүшеліктер сақинасының F эндоморфизмінің қолды автоморфизм болатынын дәлелдеу.

3. R тұтастық облысында тұрғызылған R[X,Y] екі айнымалылы көпмүшеліктер сақинасының және эндоморфизмдерінің композициясының қолды автоморфизм болатынын дәлелдеу.

4. 11-сынып оқушыларына арналған «Коэффиценттері нақты сан екі айнымалылы көпмүшеліктер жиынының автоморфизмдері» тақырыбында факультатив сабақ жоспарын құрастырып, факультатив сабағын өткізу.

Дипломдық жумыстың бірінші бөлімінде екі айнымалылы көпмүшеліктер сақинасының автоморфизмдері тақырыбына қатысты негізгі анықтамалар мен тұжырымдар келтірілген.

Көпмүшеліктер сақинасының автоморфизмдеріне қатысты кейбір негізгі анықтамалар мен тұжырымдарды атап өтейік.

Айталық R – тұтастық облыс (нолдің бөлгіштері жоқ сақина) және R[X]=R [ ,..., ] R сақинасында тұрғызылған n айнымалылы көпмүшеліктер сақинасы. F=( ,..., ) автоморфизм аффинді деп аталынады, егер барлық үшін болса. F автоморфизм элементар деп аталынады, егер

болса, мұндағы және . Қолды автоморфизм деп аффинді және элементар автоморфизмдермен туындалатын кез келген автоморфизмді айтамыз. Қолды емес автоморфизм – жабайы автоморфизм.

F= ( ), ),…, )

түрдегі F автоморфизмді Джонкерс автоморфизмі деп атайды, мұндағы R*, барлық үшін және .

Салдар 1.3 [7] Айталық R[X,Y] – R тұтастық облысында тұрғызылған екі айнымалылы көпмүшеліктер сақинасы, онда R[X,Y] көпмүшеліктер сақинасының T(R,2) қолды автоморфизмдер группасы Aff(R,2) аффинді автоморфизмдер және J(R,2) Джонкерс автоморфизмдер группаларымен туындалады.

Айталық A – кез келген сақина. A сақинасының дифференциялдауы деп Лейбниц ережесін қанағаттандыратын аддитивті бейнелеуін айтамыз, яғни

,

барлық үшін.

А сақинасының D дифференциялдауы локальді-нильпотентті деп аталынады, егер кез келген үшін болатындай n бүтін оң саны табылса.

Тұжырым 1.6 [7] Егер D - А сақинасының локальді-нильпотентті дифференциялдауы болса, онда = expD A сақинаның автоморфизмі болады, мұндағы

барлық үшін.

Жоғарыдағы тұжырымдарды және қолды автоморфизмдерді танып білу алгоритмін қолданып, екінші бөлімде біз келесіні дәлелдедік

Тұжырым 2.1 Айталық R[X,Y] - R тұтастық облысында тұрғызылған екі айнымалылы көпмүшеліктер сақинасы. R[X,Y] көпмүшеліктер сақинасының F эндоморфизмі қолды автоморфизм болады.

Тұжырым 2.2 Айталық R[X,Y] - R тұтастық облысында тұрғызылған екі айнымалылы көпмүшеліктер сақинасы. R[X,Y] көпмүшеліктер сақинасының және эндоморфизмдерінің композициясы қолды автоморфизм болады.

Үшінші бөлімде 11-сынып оқушыларына арналған «Коэффиценттері нақты сан екі айнымалылы көпмүшеліктер жиынының автоморфизмдері» тақырыбында факультатив сабақ жоспары құрастырылды және осы жоспар бойынша Астана қаласының Ж.Жабаев атындағы №4 мектеп-гимназиясының 11“a”-сынып оқушыларына факультатив сабақ өткізілді. Сабақтың негізгі мақсаты коэффиценттері нақты сан екі айнымалылы көпмүшеліктер сақинасының қолды және жабайы автоморфизмдер ұғымдарын енгізіп, оларды зерттеген шет елдік және қазақстандық ғалымдардың ғылыми нәтижелері туралы айтып, оқушылардың математика ғылымына деген қызығушылықтарын арттыру.

Сабақтың қысқаша мазмұны:

1. Ұйымдастыру кезеңі (2 минут).

2. Бір айнымалы көпмүшеліктерді еске түсіру (3 минут).

3. Коэффиценттері нақты сан екі айнымалылы көпмүшеліктер жиыны ұғымын енгізу және екі айнымалылы көпмүшеліктерге мысалдар келтіру (8 минут).

4. R[X,Y] жиынының F= түрлендіруі ұғымын енгізу және оған мысалдар келтіру (8 минут).

5. Түрлендірулердің композициясы ұғымын енгізу және оған мысалдар келтіру (8 минут).

6. R[X,Y] жиынының автоморфизмдері, қолды және жабайы автоморфизмдері ұғымдарын енгізу және оларға мысалдар келтіру (8 минут).

7. Көпмүшеліктер сақиналарының автоморфизмдерін зерттеген шет елдік және қазақстандық ғалымдардың ғылыми нәтижелері туралы айту. Кейбір ашық мәселелерді атап өту. (5 минут).

8. Сабақты қорытындылау (3 минут).

Жұмыстың құрылымы. Дипломдық жұмыс кіріспеден, үш бөлімнен, қорытындыдан, пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

Дипломдық жұмыстың материалдарын көпмүшеліктер сақинасының автоморфизмдер теориясының арнайы курстарын оқығанда, сонымен қатар, мектепте жоғары сынып оқушыларына арналған факультатив сабақтарды жүргізгенде және оқушылардың ғылыми жобаларын жазғанда қолдануға болады.

1. Алғашқы мәліметтер

1.1 Полиномиалды бейнелеу

Айталық k кез келген өріс және арқылы k өрісінде

айнымалылы көпмүшеліктер сақинасын белгілейік. Әрбір үшін түрде болатын

бейнелеуі полиномиалды бейнелеу деп аталады. Егер бaрлық үшін

болатындай

полиномиалды бейнелеуі бар болса, онда F – қайтымды полиномиалды бейнелеу деп аталады.

түрде берілген қайтымды полиномиалды бейнелеуі k[X] көпмүшеліктер сақинасының автоморфизмдерімен бір мәнді сәйкес келеді. Сонымен, -нан -ға қайтымды полиномиалды бейнелеулерді зерттеу k[X] көпмүшеліктер сақинасының автоморфизмдерін зерттеумен сәйкес. k[X] көпмүшеліктер сақинасында k автоморфизмдер тобын арқылы белгілейді. Егер қайтымды полиномиалды бейнелеу болса, онда жүйесін k[X] көпмүшеліктер сақинасында координаталық жүйе деп атаймыз. Сонымен қатар, егер k[X] көпмүшеліктер сақинасында координаталық жүйе болатындай табылатын болса, онда көпмүшелік координата деп аталады.

Лемма 1.1 Айталық полиномиалды бейнелеу. Онда қайтымды болады сонда тек қана сонда егер болса.

Дәлелдеуі: Егер F қайтымды және кері бейнелеуі болса, онда (анықтама бойынша) әрбір үшін. Сонымен әрбір үшін, онда . Және керісінше, егер , онда әрбір үшін, онда кейбір үшін. Сондықтан F қайтымды полиномиалды бейнелеу. □

Мысал 1.1 Айталық және

(мұндағы дегеніміз -ші айнымалыны алып тастауды білдіреді). Онда Лемма1.1 бойынша полиномиалды бейнелеу

(1.1)

Қайтымды полиномиалды бейнелеу, себебі Е-нің компоненттері k[X] көпмүшеліктер сақинасын тудырады. Бұл бейнелеудің кері бейнелеуі

болады. (1.1) түрдегі бейнелеу элементар полиномиалды бейнелеу деп аталады. Барлық үшін болатындай автоморфизмдер тобы Aff(k,n) аффинді автоморфизмдер деп белгіленеді. Элементар бейнелеулердің және аффинді ішкі топ элементтерінің ақырлы композициясы қолды автоморфизмдер деп аталады. Қолды автоморфизмдерден тұратын -тың ішкі тобы T(k,n) деп белгіленеді.

Айталық R кез келген коммутативті сақина, (0-дік элементтері жоқ) оның ішкі бөлімдерінің тобы және R[[X]] R-да n айнымалылы формальды дәрежелі қатарлар сақинасы. m арқылы R[[X]] формальды дәрежелі қатарлар сақинасында арқылы туындалған идеалды белгілейміз. Егер болса, біз былай жаза аламыз

мұндағы және әрбір -ші дәрежелі -да біртекті көпмүшелік болады. Сондықтан, егер болса, онда - ға тиісті, бірақ - ге тиісті емес. Сондай-ақ, -ға тиісті бірақ - ге тиісті емес. Демек,

(1.2)

Соңында, егер және болса, яғни барлық үшін және болса, онда болатын композициясы анықталады.

Теорема 1.1 Айталық F(0)=0, және Онда болатындай табылады және болады. Сонымен қатар мұндай G жалғыз болады және теңдігін қанағаттандырады.

Тұжырым 1.1 Егер қайтымды поиномиалды бейнелеу болса, онда бірмәнді және теңдігін қанағаттандырады.

2. Дифференциялдаулар

Айталық A – кез келген сақина. A сақинасының дифференциялдауы деп Лейбниц ережесін қанағаттандыратын аддитивті бейнелеуін айтамыз, яғни

,

барлық үшін.

Мысал 1.2 Айталық . Онда қарапайым дербес туынды A сақинасының дифференциялдауы болады. Лейбниц заңы бойынша келесіні аламыз

барлық және үшін. A сақинасының барлық дифференциялдаулар жиынын арқылы белгілейміз. Сонымен қатар, егер A сақина гомоморфизмі арқылы R-алгебра болса, онда D R-дифференциялдау болады дейміз, егер болса. A сақинасының барлық R дифференциялдаулар жиынын арқылы белгілейміз. Сонымен 1.1=1 біз аламыз D(1)=D(1)+D(1), сондықтан барлық үшін D(1)=0. Осылай, A сақинаны Z-алгебра ретінде қарастыра отырып, теңдігін аламыз. Егер D және жататын болса, онда (Ли) кронштейні де

-да жататындығын оңай тексеруге болады, және шынымен де осы кронштейнмен Ли алгебрасын құрайды.

Лемма 1.2 Айталық G R-алгебрадағы A үшін туындаушы жиын және . Онда D толығымен болатын D(g) элементтері арқылы анықталады.

Тұжырым 1.2 Айталық . Онда базисінде бос R[X]-модуль болады және кез келген үшін болады, мұндағы бойынша дербес туындыларды білдіреді.

2. Экспоненциялды дифференциялдаулар

Айталық А – Q-алгебра. Дифференциялдауларды зерттеуде дифференциялдауға қатысты “Экспоненциялды бейнелеу” ұғымы маңызды құралдардың бірі болып табылады. Айталық D – A-ның дифференциялдауы және A-ның T айнымалылы A[[T]] формальды дәрежелі қатарлар сақинасын қарастырамыз. A[[T]]-да D-ны -ға дейін кеңейту келесі формуламен беріледі

Біз тағы да -ның орнына D-ны жазамыз. Енді формула бойынша expTD: A[[T]] A[[T]] анықтаймыз

барлық g A[[T]] үшін. Келесілерді оңай тексеруге болады, барлық үшін

(expTD(a))=expTD(Da) (1.3)

(1.4)

expTD бейнелеудің маңыздылығы келесі тұжырымнан шығады

Тұжырым 1.3 expTD: A[[T]] A[[T]] сақина афтоморфизмі болады.

Дәлелдеуі: i)Әрбір үшін үстеме бейнелеу, сонымен қоса expTD болады.

ii) Айталық ,g A[[T]], онда

iii) Соңында, дәлелдемені қорытындылайтын A[[T]] формальды дәрежелі қатарлар сақинасы exp(-TD)exp(TD) үйлесімді бейнелеу болатындығын оңай тексеруге болады. □

1.4 Локальді-нильпотентті дифференциялдаулар

Айталық А R-алгебра, мұндағы R кез келген коммутативті сақина және A-ның D дифференциялдауын локальді-нильпотентті деп айтамыз, егер әрбір үшін болатындай n бүтін оң саны табылса.

Мысал 1.3 R[X] сақинада дифференциялдау локальді-нильпотентті болады.

Тұжырым 1.4 Айталық A кейбір G және D жиындары арқылы R-алгебрадан алынған A-ның R-дифференциялдауы. Онда D локальді-нильпотентті болады , сонда тек қана сонда егер әрбір үшін болатын табылса.

Бұл нәтиженің салдары ретінде R[X] сақинаның локальді-нильпотентті дифференциялдаулардың үлкен класын аламыз, ал дәлірек

Салдар 1.1 Айталық D R[X] сақинаның үшбұрышты дифференциялдауы деп аталатын дифференциялдау, яғни келесі түрдегі дифференциялдау

D = ,…, ) + + ( ) + (1.5)

мұндағы және ,…, ] барлық 1 үшін Онда D R[X] сақинаның локальді-нильпотентті дифференциялдауы болады.

Дәлелдеуі: n бойынша индукция арқылы дәлелдейміз. n = 1 болған жағдайда белгілі. Сондықтан айталық n 2 және D = болсын. Онда R[ ,..., ] және ол (1.5)-тегідей түрде болады, сондықтан индукция болжамы бойынша R[ ,…, ]-да локальді-нильпотентті болады. Енді барлық үшін болатындығын және барлық үшін R[ ,…, ] болатындығын байқаймыз.

Демек,

( ) = (D( )) = (D( ))

мұндағы m үлкен болса, онда теңдік 0-ге тең, себебі R[ , … , ] –да локальді-нильпотентті болады және R[ ,..., ].

Егер D(s) =1 болса, онда элемент s A D диффернциялдауда слайс деп аталады. Егер слайс бар болса, онда ол анық -ның элементі болады. Локальді-нильпотентті дифференциялдауларда әрқашан слайс бар бола бермейді, мысалы C[ , ] –де -дің слайсы жоқ. Дегенмен слайсы бар локальді-нильпотентті дифференциялдаулардың кейбір ерекше қасиеттері бар. Оларды көрсету үшін, бірінші оған қажетті кейбір белгілеулерді енгізейік. А – коммутативті . Әрбір a A үшін

(g(Т)) = g(a) , барлық g(T) A[T] үшін

түрде анықталатын алмастыру гомоморфизмін : A[T] A арқылы белгілейміз.

Енді, егер біз D – ны D(T) = 0 арқылы A[T] – ға дейін кеңейтсек, онда келесі тұжырымды аламыз

Тұжырым 1.5 D – А-ның локальді-нилпотентті дифференциялдауы болады сонда тек қана сонда, егер expTD(A) ⊂ А[Т] болса.

Тұжырым 1.6 Айталық А сақина. Егер D А сақинаның локальді-нильпотентті дифференциялдауы болса, онда := expTD A[T] сақинаның автоморфизмі болады.

Салдар 1.2 Айталық А сақинаның кез келген дифференциялдауы және болсын. Онда – локальді-нильпотентті болады сонда тек қана сонда, егер – локальді-нильпотентті және болса.

Дәлелдеуі. i) Егер a болса, онда келесіні оңай тексеруге болады

Сондықтан, егер D – локальді-нильпотентті болса, онда aD да локальді-нильпотентті болады .

ii) Керісінше егер aD – A сақинаның локальді-нильпотентті дифференциялдауы болса, онда келесі теңдік бойынша

(aD)(a) = D(a)a

D(a) = 0 екендігі шығады, яғни . A облыс болғандықтан D локальді-нильпотентті дифференциялдау екендігі шығады.

5. Көпмүшеліктер сақинасының қолды автоморфизмдер

группасы

Айталық R коммутативті сақинаны, алайда нәтижелердің барлығында дерлік R тұтастық облыс (нолдің бөлгіштері жоқ сақина) және R[X]= R [ ,. . . , ] R-сақинада n айнымалылы көпмүшеліктер сақинасы.

F=( ,. . . , ):

арқылы сақинаның автоморфизмін белгілейік. R[X] – R[Х] сақинасындағы барлық автоморфизмдер группасы.

Барлық үшін болатындай F автоморфизмдер аффинді автоморфизмдер деп аталады. Осындай барлық аффинді автоморфизмдер жиынын Aff(R,n) деп белгілейміз және ол R[X]-тің ішкі тобы болады.

Келесі түрде болатын F автоморфизмдер:

F= ( ), ),…, )

мұндағы R*-да жатады және барлық үшін және Джонкерс автоморфизмдері деп аталады. Осындай барлық Джонкерс автоморфизмдер жиыны J(R,n) деп белгіленеді. J(R,n) - R[X]-тің ішкі тобы болады.

Келесі түрде болатын F автоморфизмдер:

мұндағы және элементар автоморфизмдер деп аталады. Е(R,n) – элементар автоморфизмдер арқылы туындалған (элементар автоморфизмдер көбейтіндісі) R[X]–тің ішкі тобы.

Қолды автоморфизмдер деп Aff(R,n) аффинді және Е(R,n) элементар автоморфизмдермен туындалатын автоморфизмдерді айтамыз. Осындай барлық қолды автоморфизмдер жиыны T(R,n) деп белгіленеді . T(R,n) - R[X]-тің ішкі тобы болады. Қолды емес автоморфизмдер жабайы автоморфизмдер деп аталады.

J(R,n)-нің әрбір элементі Aff(R,n)-нің элементі және элементар автоморфизмдердің ақырлы саны болатындығын тексеру қиын емес. Яғни J(R,n) Aff(R,n). Сонымен қоса, барлық қолды автоморфизмдер Aff(R,2) және J(R,2) автоморфизмдермен туындалатын R[X]–тің ішкі тобында жататындығына оңай көз жеткізуге болады. Сонымен біз

нәтижесін аламыз.

Енді n=2 жағдайын қарастырамыз және R тұтастық облыс болады деп ұйғарамыз. T(R,2) қолды автоморфизмдер жиыны - Aff(R,2) және J(R,2) автоморфизмдерімен туындалатындығын көрсетеміз. Сонымен қоса, R[X, Y]-та көпмүшелік эндоморфизмінің Қолды автоморфизмдерін танып білу алгоритмін көрсеттік. Осы алгоритмді қолданып, егер R өріс болмаса, онда T(R, 2)≠ R[X,Y] болатындығын көрсетеміз, яғни R өріс болмаған жағдайда T(R,2) - R[X,Y]-тің меншікті ішкі тобы болатындығы шығады. Бір жағынан, егер R өріс болса, R[X,Y]=T(R,2) болатындығы және солай болғандықтан R[X,Y] Aff(R,2) және J(R,2) автоморфизмдермен туындалатыны шығады. Бұл теорема – Юнг Вандер Калк (Jung-van der Kulk) теоремасы деп аталады немесе автоморфизмдер теоремасы деп те аталады.

Жоғарыда көрсетілген нәтижелерді дәлелдеу үшін келесі Лемма қажет болады.

Лемма 1.3 Айталық G - H және K ішкі топтарымен туындалатын топ. Онда G-дағы әрбір g элементті келесі түрде жазуға болады

кейбір e ≥ 1 үшін, мұндағы барлық үшін және барлық үшін және .

Дәлелдеуі: Егер g G болса, онда
кейбір үшін, және болады. Егер және –ге қосымша шарттар орындалмайтын болса, онда сол түрдегі g үшін, бірақ l-ді – ге келесі әдіспен ауыстырамыз: егер, мысалы, кейбір үшін, онда

және . Осындай қысқартулардың ақырлы санында g үшін ізделінді нәтижені аламыз.

Төмендегі лемманы тұжырымдау үшін бізге келесі белгілеулер қажет болады: Айталық F = ( , ) . Онда

Енді, айталық Онда Лемма 1.3-ті қолданып және үшін

деп жаза аламыз, Aff(R,2)\J(R,2) барлық үшін және J(R,2)\ Aff (R,2) барлық 1≤ i ≤ l үшін

□

Лемма 1.4 Барлық 1 ≤ i ≤ l үшін

bideg , мұндағы екінші мүше l-ге тең, егер i= l болса.

Дәлелдеуі: i бойынша (кемімелі) индукция қолданамыз. i = l жағдайы үшін белгілі. Тұжырым кейбір 2 ≤ i ≤ l үшін дұрыс деп ұйғарайық және bideg қарастырайық. Бірінші, болғанда, болатындығын байқаймыз. Жалғасынша

bideg

Сонымен, болғандықтан deg болады. Онда

bideg дәлелденді. □

Салдар 1.3 Айталық R[X,Y] – R тұтастық облысында тұрғызылған екі айнымалылы көпмүшеліктер сақинасы, онда R[X,Y] көпмүшеліктер сақинасының T(R,2) қолды автоморфизмдер группасы Aff(R,2) аффинді автоморфизмдер және J(R,2) Джонкерс автоморфизмдер группаларымен туындалады және егер Aff(R,2)-де жатпайды.

Дәлелдеуі: Жоғарыда айтылғандай, T(R,2) қолды автоморфизмдер Aff (R,2) және J(R,2) автоморфизмдерімен туындалады.

мұндағы J(R,2) \ Aff(R,2) және Aff(R, 2)\J(R, 2) кез келген i үшін деп ұйғарайық. Онда

Яғни bideg = (1,1). Басқа жағынан, Лемма 1.4-тен

bideg болатындығы шығады.

Яғни , deg ≥2 болғандықтан, бұл бидәреже (1, 1)-ге тең емес, қайшылық. □

Салдар 1.4 Айталық және bideg арқылы дәрежесі болатын -дің біртекті компоненттерін белгілейік. Кейін

a) немесе

b) Егер degF > 1, онда

i) егер болса, онда кейбір үшін

ii) егер болса, онда кейбір үшін

iii) егер болса, онда мұндағы болатындай табылады.

Дәлелдеуі: Лемма 1.4 бойынша F = және

bideg

болады, одан a) шығады. Сонымен қоса, b) i), ii) немесе iii) сәйкесінше жағдайларын тексере отырып шығады. □

Ескерту 1.1. Салдар 1.4 - тегідей белгілеу. Егер болса, онда болатындай табылмайды.

Ескерту 1.2. Егер R область болмаса, онда Салдар 1.4 а) жағдайында көрсетілген тұжырым жалған болады.

Егер F Салдар 1.4 i) (немесе сәйкесіншеi i) ) болса, онда , мұндағы (немесе сәйкесінше ) болады. Жалғасынша, біз келесіні аламыз:

Егер болса, онда F T(R,2) қолды автоморфизмдерді танып білу алгоритмі

1. 

2. Егер болса, 7-шi қадамға өтеміз.

3. Егер болса, 5-шi қадамға өтеміз.

4. Егер болатын табылса, онда F-ті?F-қаауыстырамыз да 1-шi қадамға қайта ораламыз, кері жағдайда F тоқтаймыз.

5. Егер болса, F-ті )-ге ауыстырамыз.

6. Егер және болатын табылса, F-ті (X,Y-c F-қа ауыстырамыз да 1-шi қадамға қайта ораламыз, кері жағдайда F тоқтаймыз.

7. Егер detJF болса, F болады, кері жағдайда F

автоморфизмі үшін Якобиан матрицасы келесі түрде анықталады:

Тұжырым 1.7 Егер R өріс болмаса, онда T(R,2) R[X,Y]. Дәлірек айтқанда,

мұндағы бірлік элемент емес және R[X, Y]\T(R,2), яғни жабайы автоморфизм болады.

Дәлелдеуі: F = expD, мұндағы D=(zX+ )(-2Y +z ) локальды нильпотентті дифференциалдау болатындығына оңай көз жеткізуге болады. Олай болса, R[X,Y]. Егер F T(R,2) болса, онда Салдар 1.4. ii)-бойынша -z = кейбір с R үшін екендігі шығады. Сондықтан -z = , оны –z – қа бөлгенде z R-да бірлік элемент екендігі шығады, қайшылық. □

Ескерту 1.3 Тұжырым 1.7-де көрсетілген F автоморфизм Нагата автоморфизмі деп аталады және Нагата арқылы танылған. Нагата өз автоморфизмін , мұндағы , K[X, Y] (K := R-да жеке өріс) композициясы болатындығын анықтауы қызықты болжам. , келесідей өрнектеледі

, .

Ендігі керемет жағдай, "R өріс болсын" қажетті шартымен қоса R[X, Y]= T(R, 2) теңдігінің болуы жеткілікті, яғни

Теорема 1.2 (Рентшлер) Айталық 0 D k[ ]-нің локальді-нильпотентті дифференциалдаыу. Онда болатындай h T(k,2) және k[ ] табылады .

Теорема 1.3 (Юнг ван дер Калк). Егер k өріс болса, онда k[X,Y] = T(k,2) болады. Дәлірек айтқанда, [Х,Y] - Aff(k,2) және J(k,2) группаларының қиылысында кез келген біріккен көбейтіндісі болады.

Дәлелдемесі Рентшлер теоремасына негізделген (Теорема 1.2). Сондықтан, Теорема 1.3-тің дәлелдемесі тек к = 0 жағдайы үшін орындалады. Жалпы жағдайда біз Юнг ван дер Калктің [185 бет], Макар-Лимановтың [198 бет] және Дикстің [87 бет] жұмыстарына жүгінеміз. Сонымен, бұдан былай к арқылы характеристикасы ноль өрісті белгілейміз

Дәлелдеуі: A:=k[ ] жазамыз. Салдар 1.3 бойынша бізге тек T(k,2)= екендігін ғана дәлелдеу керек. Сондықтан, айталық F=( ) . Онда локальді-нильпотентті дифференциалдау, яғни Теорема 1.2 бойынша болатындай h T(k,2) және f( ) k[ ] табылады. Айталық . Онда сонда тек қана сонда егер , яғни . Басқаша қарайтын болсақ, kerf( ) =k[ ] , онда k[ ]= , мұндағы кейбір

және үшін. Яғни .

Сонымен қатар, ( =1, яғни f( ) мұндағы

, онда кейбір және

үшін. Жалғасынша . Қорытынды

( )= .

h болғандықтан F шығады, демек дәлелденді. □

2 Екі айнымалылы көпмүшеліктер сақинасының қолды автоморфизмдері

Тұжырым 2.1 Айталық R[X,Y] - R тұтастық облысында тұрғызылған екі айнымалылы көпмүшеліктер сақинасы. R[X,Y] көпмүшеліктер сақинасының F эндоморфизмі қолды автоморфизм болады.

Дәлелдеуі. 1-әдіс. Алдымен R[X,Y] көпмүшеліктер сақинасында D=( ) бейнелеудің локальді-нильпотентті дифференциялдау болатындығын дәлелдейік. Салдар 1.2 бойынша, – локальді-нильпотентті болады сонда тек қана сонда, егер – локальді-нильпотентті және болса.

– локальді-нильпотентті дифференциялдау болатыны белгілі, , яғни , сондықтан – локальді-нильпотентті дифференциялдау. – локальді-нильпотентті дифференциялдау болатыны белгілі. Сондықтан – локальді-нильпотентті дифференциялдау. Әрі қарай,

,

яғни , сондықтан D=( ) - R[X,Y] көпмүшеліктер сақинасында локальді-нильпотентті дифференциялдау болады.

Енді, F=expD екендігін дәлелдейік. Берілгені бойынша

,

.

Бізге белгілі

барлық үшін.

Онда

expD(X)=X + D(X) + D(D(X)) + D(D(D(X)))+…,

D(X)= =

D(D(X))= =

D( ) =

, егер .

Сондықтан,

expD(X)= =F(X).

Дәл солай,

expD(Y)=Y + D(Y) + D(D(Y)) + D(D(D(Y)))+…,

D(Y)= = ,

D(D(Y))= =

, егер

Сондықтан,

expD(Y)=Y+

Яғни, expD=F , осыдан F - R[X,Y] көпмүшеліктер сақинасының автоморфизмі.

Енді F қолды автоморфизм болатындығын көрсету үшін келесі қолды автоморфизмдерді танып білу алгоритмін қолданамыз.

F=( )

1. .

2. Егер болса, 7-шi қадамға өтеміз.

3. Егер болса, 5-шi қадамға өтеміз.

4. Егер болатын табылса, онда F автоморфизмді ?F автоморфизмге ауыстырамыз да 1-шi қадамға қайта ораламыз, кері жағдайда F тоқтаймыз.

5. Егер болса, F-ті )-ге ауыстырамыз.

6. Егер және болатын табылса, F-ті

(X,Y-c F-қа ауыстырамыз да 1-шi қадамға қайта ораламыз, кері жағдайда F тоқтаймыз.

7. Егер detJF болса, F болады, кері жағдайда F .

F .

1. .

2. Орындамаймыз.

3. болғандықтан 5-шi қадамға өтеміз.

4. Орындамаймыз.

5. болғандықтан F-ті )-ге ауыстырамыз

Яғни F=(y+x+ , x-2y(x+ )-( ).

6. болғандықтан келесі теңдікті қанағаттандыратындай: . Біздің жағдайымызда , яғни с=-1, F-ті

(X,Y-c F-қа ауыстырамыз.

(X,Y-c ,

Енді деп -шi қадамға қайта ораламыз

1. 

2. болғандықтан 7-шi қадамға өтеміз

7. Егер detJF болса, F болады. Шынында да,

detJF=2y-1-2y=-1 , яғни F қолды автоморфизм болады.

2-әдіс. R[X,Y] көпмүшеліктер сақинасының және эндоморфизмдерін қарастырайық. эндоморфизмінің кері эндоморфизмі , ал эндоморфизмінің кері эндоморфизмі болады. Шынында да

,

,

= =

Яғни, .

Сондықтан , - R[X,Y] көпмүшеліктер сақинасының автрморфизмдері болады.

Бірінші бөлімде келтірілген анықтамалар бойынша - Джонкерс автоморфизмдері, - аффинді автоморфизм болады. эндоморфизм автоморфизмдердің композициясына тең. Шынында да

=( ),

( )

.

Демек, F эндоморфизм Джонкерс және аффинді автоморфизмдердің композициясына тең. Салдар 1.3 бойынша F қолды автоморфизм болады. □

Тұжырым 2.2 Айталық R[X,Y] - R тұтастық облысында тұрғызылған екі айнымалылы көпмүшеліктер сақинасы. R[X,Y] көпмүшеліктер сақинасының және эндоморфизмдерінің композициясы қолды автоморфизм болады.

Дәлелдеуі: Алдымен, , -нің R[X,Y] көпмүшеліктер сақинасында авторморфизмдер болатындығын дәлелдейік.

және эндоморфизмдерінің сәйкесінше және
кері эндоморфизмдері болады. Шынында да,

,

Яғни, ;

.

Яғни,

Сондықтан – R[X,Y] көпмүшеліктер сақинасының авторморфизмдері болады.

композициясын қарастырайық .

.

.

1. 

2. 3.

3. болғандықтан 5-ші қадамға өтеміз.

4. Орындамаймыз.

5. Орындамаймыз.

6. Егер келесі теңдікті қанағаттандыратындай: . Біздің жағдайымызда с=a және .

Яғни F-ті (X,Y-c F-қа ауыстырамыз.

(X,Y-c

Енді деп 1-ші қадамға қайта ораламыз.

1. 

2. 3.

3. 5-ші қадамға өтеміз.

4. Орындамаймыз.

5. болғандықтан F-ті )-ге ауыстырамыз. Яғни

6. болғандықтан келесі теңдікті қанағаттандыратындай: . Біздің жағдайымызда с=b және .

Яғни F-ті (X,Y-c F-қа ауыстырамыз да 1-ші қадамға қайта ораламыз.

(X,Y-c

Енді деп 1-ші қадамға қайта ораламыз.

1. .

2. болғандықтан 7-ші қадамға өтеміз.

7. Егер detJF болса, F болады.

, detJF=-1 , яғни F қолды автоморфизм болады. □

3 11-сынып оқушыларына арналған «Коэффиценттері нақты сан екі айнымалылы көпмүшеліктер жиынының автоморфизмдері» тақырыбындағы факультатив сабақ жоспары

Сабақтың мақсаты. Коэффиценттері нақты сан екі айнымалылы көпмүшеліктер жиынын, олардың автоморфизмдері, қолды және жабайы автоморфизмдері ұғымдарын енгізу. Көпмүшеліктер сақиналарының автоморфизмдерін зерттеген шет елдік және қазақстандық ғалымдардың ғылыми нәтижелері туралы айту. Кейбір ашық мәселелерді атап өту. Оқушылардың математика ғылымына деген қызығушылықтарын арттыру.

Көрнекілік: интерактивті тақта.

Сабақтың барысы.

1. Ұйымдастыру кезеңі (2 минут). Сәлемдесу, сабақтың тақырыбын жазу.

2. Өтілген материалды еске түсіру (3 минут).

• Оқушылар, сіздер бір айнымалылы көпмүшеліктер дегеніміз не екенін білесіздер ме? (оқушылар қол көтеріп, жауап берді).

Бір айнымалылы көпмүшелік деп келесі өрнекті айтамыз

мұндағы , - коэффиценттер, - айнымалы.

_{Мысалы,} , .

3. Жаңа тақырыпты түсіндіру (37 минут).

екі айнымалылы көпмүшеліктер ұғымын келесі мысалдарды келтіре отырып, енгіземіз.

Кесте 1

дәрежесі	түрі	мысалдар
0		5, 7, 18
1	,
2
3	,

Көпмүшеліктерді қосуға, азайтуға және көбейтуге,санға көбейтуге болады.

және көпмүшеліктерін қосу үшін олардың ұқсас мүшелерін қосып, жинақтаймыз.

Мысалы, , ,

онда

.

және көпмүшеліктерін көбейту үшін, алдымен, жақшаларды ашамыз, одан соң олардың ұқсас мүшелерін қосып, жинақтаймыз.

Мысалы,

.

_{Коэффиценттері нақты сан екі айнымалылы көпмүшеліктер жиынын R[X,Y] деп белгілейміз.}

R[X,Y] жиынының полиномиалды бейнелеуі деп айнымалыға көпмүшелігін, ал айнымалыға көпмүшелігін сәйкес қоятын заңды айтамыз және оны былай белгілейміз: .

Мысалы, F=(x+1, және .Онда

– көпмүшелігінің полиномиалды бейнелеуі деп аталынады.

және екі полиномиалды бейнелеу берілген. Олардың композициясы:

Мысалы, . Онда

полиномиалды бейнелеу автоморфизм деп аталынады, егер теңдігін қанағаттандыратын полиномиалды бейнелеу табылса.

Мысалы, F=( , болсын. Онда

Шынында да, яғни F автоморфизм болады.

Барлық үшін болатындай F автоморфизмдер аффинді автоморфизмдер деп аталады.

Келесі түрде болатын F автоморфизмдер:

мұндағы және элементар автоморфизмдер деп аталынады.

Қолды автоморфизмдер деп аффинді және элементар автоморфизмдермен туындалатын автоморфизмдерді айтамыз. Қолды емес автоморфизмдер жабайы автоморфизмдер деп аталынады.

Автоморфизмдер алгебралық объектілердің және олармен байланысты геометриялық объектілердің барлық симметрияларын суреттейді, яғни бұл объектілердің құрылымы туралы ақпарат береді. Сондықтан алгебралық жүйелердің және геометриялық көптүрліліктердің автоморфизмдерін зерттеуі қазіргі заманғы математиканың маңызды және перспективті мәселелерінің бірі болып табылады.

Екі айнымалылы k[x,y] көпмүшеліктердің автоморфизмдері қолды болатындығын 1942 жылы Х.В.Юнг (H.W.E. Jung), ал 1953 жылы осы теорема аналогын В.Ван Калк(W.van der Kulk) дәлелдеді. 1972 жылы Нагата көпмүшеліктер жиынынды автоморфизм құрастырды және бұл автоморфизм қолды автоморфизм болмайды, яғни жабайы автоморфизм болады деп жорамалдады. 2003 жылы И.П. Шестаков және Ө.У. Өмирбаев өз жұмыстарында k[x,y.z] ] үш айнымалылы көпмүшеліктер жиынында Нагата автоморфизмы жабайы болатындығын дәлелдеді.

Өмірбаев Уалбай Өтмахамбетұлы (1960) — қазақстандық математик-алгебраист, физика-математика ғылымдарының докторы. Қазіргі таңда Л.Н.Гумилёв атындағы Еуразия Ұлттық Университетінің алгебра және геометрия кафедрасының профессоры. Осы есепті шешіп, Америка математика қоғамының жоғары дәрежелі «Мур» сыйлығының және Қазақстан Республикасының Мемлекеттік сыйлығының иегері атанды.

Қазіргі таңда осы қолды және жабайы автоморфизмдер зерттеуді қажет ететін, өзекті мәселелердің бірі болып табылады. Үш айнымалылы және көп айнымалылы көпмүшеліктер жиынында жабайы автоморфизмдер табылмаған. Және осы тақырыптар аясында ғылыми жобамен де айналысуға болады.

4. Қоытынды (3 минут).

• Оқушылар! Біз бүгін коэффиценттері нақты сан екі айнымалылы көпмүшеліктер жиынының автоморфизмдерін өттік. Осы тақырыпқа қатысты сұрақтарыныңыз болса, сұрауға болады.

• Сабағымыз аяқталды. Сабаққа қатысып, тыңдағандарыңызға рахмет!

ҚОРЫТЫНДЫ

Дипломдық жұмыста екі айнымалылы көпмүшеліктер сақинасының автоморфизмдері тақырыбына қатысты мәліметтер талданды. Осы мәліметтерді қолдана отырып, R тұтастық облысында тұрғызылған R[X,Y] екі айнымалылы көпмүшеліктер сақинасының

F

эндоморфизмінің қолды автоморфизм болатыны дәлелденді және R тұтастық облысында тұрғызылған R[X,Y] екі айнымалылы көпмүшеліктер сақинасының және эндоморфизмдерінің композициясының қолды автоморфизм болатыны дәлелденді.

Сонымен қоса, 11-сынып оқушыларына арналған «Коэффиценттері нақты сан екі айнымалылы көпмүшеліктер жиынының автоморфизмдері» тақырыбында факультатив сабақ жоспары құрастырылып, осы жоспар бойынша Астана қаласының Ж.Жабаев атындағы №4 мектеп-гимназиясының 11“a”-сынып оқушыларына факультатив сабақ өткізілді.

Дипломдық жұмыстың материалдарын көпмүшеліктер сақинасының автоморфизмдер теориясының арнайы курстарын оқығанда, сонымен қатар, мектепте жоғары сынып оқушыларына арналған факультатив сабақтарды жүргізгенде және оқушылардың ғылыми жобаларын жазғанда қолдануға болады.

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

1. Jung H.W.E. Uber ganze birationale Transformationen der Ebene//J.reine angew. Math.-194.-vol.1184.-P.157-216

2. Czerniakiewicz A.J. Automorphisms of a free associative algebra of rank 2//I,II, Trans. Amer. Math. Soc. -1971.-Vol.160.-P.393-401; -1972.-Vol. 171.-P.309-315.

3. Макар-Лиманов Л.Г. Об автоморфизмах свободной алгебры с двумя образующими// Функц. Анализ и его прил. -1970. Vol.4, N3.-P. 107-108; English translation: in Functional Anal. Appl.-1970.-Vol.4.-P.262-263.

4. Smith M.K. Stably tame automorphisms // J.Pure and Appl. Algebra.-1989.-Vol.58.-P.209-212.

5. Cohn P.M. Subalgebras of free associative algebras//Proc. London Math. Soc.-1964.-Vol.56.-P.618-632.

6. Rentschler R. Operations du groupe additive sur le plane affine// C.R. Acad. Sci. Paris, 1968.-Vol.267.-P. 384-387.

7. Van den Essen A. Polynomial automorphisms and the Jacobian conjecture. Basel: Progress in Mathematics, 190, Birkhauser verlag, -2000.

8. J.Nielsen. Uber die Isomorphismen unendlicher Gruppen ohne Relation// Math., Ann. - 1918. - Vol. 79. - P. 269-272.

9. V.А.Roman’kov. Automorphism of groups// Acta Applicandae Math.- 1992. - N 29. - P. 41-80.

10. W.van der Kulk. On polynomial rings in two variables// Nieuw Archiefvoor Wiskunde. - 1953. - Vol. 3, N 1. - P. 33-41.

11. Nagata M. On the automorphism group of k[x, y] // Kinokuniya, Tokio, Kyoto Univ., 1972 (Lect. in Math.)

12. I.M. Gel’fand, I. Dofman. Homiltonian operators and algebraic structures related to them// Funct. Anal. Appl. 13(1980), 248-262.

13. A.A. Balinskii, S.P. Novikov. Posson brackets of hydrodynamic type, Frobenius algebras and Lie algebras//Sov. Math. Dokl. 32(1985), 228-231.

14. Burde D. Left-symmetric algebras, or pre-Lie algebras in geometry and physics // Central European J. Math.—2006.—Vol. 4, no. 3.—P. 323—357.

15. S. Bachmuth, H.Y. Mochizuki, The nonfinite generation of , free metabelian of rank 3, Trans. Amer. Math. Soc. 270(1987), 693-700.

16. В.А. Романьков, Свап-гиппотеза Теннанта-Тернера, Алгебра и логика 34 (1995), вып. 4, 448-463.

17. S. Bachmuth, H.Y. Mochizuki, is surjective for free group of rank 3, Trans. Amer. Math. Soc. 292(1985), 81 -101.

18. В.А. Романьков, Группы автоморфизмов свободных метабелевых групп, Взаимосвязанные проблемы абстрактной и прикладной алгебры, Новосибирск (1985), 53–80.

19. А.Л. Шмелькин, Сплетения алгебр Ли и их приложения в теории групп, Труды Моск. Мат. Общ. 29 (1973), 247-260.

20. V. Drensky, Wild automorphisms of nilpotent-by-abelian Lie algebras, Manuscripta Math. 70 (1991), 157-182.

21. R.M. Bryant, V. Drensky, Dense subgroups of the automorphism groups of free algebras. Canad. J. Math. 45 (1993), no. 6, 1135-1154.

22. (V.A. Roman'kov, On the automorphism group of a free metabelian Lie algebra. Internat. J. Algebra Comput. 18 (2008), no. 1, 209-226.

23. A. Belov-Kanel, M. Kontsevich, Automorphisms of the Weyl algebra. Lett. Math. Phys. 74 (2005), no. 2, 181-199.

24. L. Makar-Limanov, On automorphisms of Weyl algebra, Bull. Soc. Math. France, 112 (1984), no. 3, 359-363.

25. L. Makar-Limanov, A conjecture of Bavula on homomorphisms of the Weyl algebras, Linear and Multilinear Algebra, 60 (2012), 787–796.

26. Shestakov, I. P. Alternative and Jordan superalgebras, Siberian Adv. Math.9 (1999), no. 2, 83–99.