Дипломдық жұмыс

Дифференциалдық теңдеулер мен жүйелерінің жаратылыстану ғылымдарында қолданылуы

Жоспар

Кіріспе				3
I бөлім.		Дифференциалдық теңдеулер және жүйелер теориясының негіздері		4
1.1.	Жалпы мәліметтер.			4
1.2.	Бірінші ретті қарапайым теңдеулер 1.2.1. Негізгі түсініктер 1.2.2. Белгісіздері бөлінетін дифференциалдық теңдеулер 1.2.3. Сызықтық теңдеулер 1.2.4. Бернулли теңдеуі 1.2.5. Толық дифференциалдық теңдеулер			5 5 6 7 8 8
1.3.	Жоғары ретті қарапайым теңдеулер 1.3.1. Негізгі түсініктер 1.3.2. Дифференциалдық теңдеудің ретін төмендету 1.3.3. п-ші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер 1.3.4. Коэффициенттері тұрақты біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулер 1.3.5. Коэффициенттері тұрақты біртектес емес сызықтық дифференциалдық теңдеулер			9 9 10 10 12 13
1.4.	Дербес туындылардағы дифференциалдық теңдеулер 1.4.1. Бірінші ретті сызықтық теңдеулер 1.4.2. Математикалық физиканың кейбір теңдеулері			14 14 15
1.5.	Дифференциалдық теңдеулер жүйелері 1.5.1. Қалыпты және симметриялы түрдегі жүйелер теориясының жалпы сұрақтары 1.5.2. Сызықтық дифференциалдық теңдеулердің біртекті жүйелері 1.5.3. Коэффициенттері тұрақты сызықтық жүйелер 1.5.4. Сызықтық біртекті емес жүйелер			16 16 18 19 21
II бөлім.			Жаратылыстану ғылымдарының есептерін шығаруда дифференциалдық теңдеулерді қолдану	24
2.1.	Математикалық модельдеу			24
2.2.	Физикалық есептерді шығару			25
2.3.	Геометриялық есептерді шығару			36
2.4.	Биологиялық есептерді шығару			41
2.5.	Химиялық есептерді шығару			50
Қорытынды				55
Пайдаланылған әдебиеттер				56

Кіріспе

Жаратылыстанудың, техника мен механиканың, биологияның, медицина мен ғылыми білімнің басқа да салаларының көптеген есептері үдерістердің математикалық моделін, яғни функционалдық тәуелділігін жасауға негізделеді. Мысалы, радиотехникадағы өтпелі үдерістер, химиялық реакциялардың кинетикасы, биологиялық популяциялар динамикасы, ғарыштық объектілердің қозғалысы, экономикалық дамудың модельдері дифференциалдық теңдеулер арқылы зерттеледі.

Осының барлығы жұмыстың тақырыбын таңдауда басты себеп болды.

Бұл жұмысқа арналған мәліметтер болып дифференциалдық теңдеулер мен жүйелерінің теориясы мен дифференциалдық теңдеулер мен жүйелері арқылы шығарылатын жаратылыстану ғылымдарының көптеген белгілі есептері таңдалды.

Бұл жұмыстың мақсаты – дифференциалдық теңдеулерді жаратылыстану ғылымдарындағы есептерді шешуде қолдану мүмкіндігін зерттеу.

Аталған мақсат бойынша алға қойылған міндеттер:

1. Дифференциалдық теңдеулердің теориялық негіздерін сипаттау.

2. Физиканың, геометрияның, биология мен химияның есептерін дифференциалдық теңдеулер арқылы шығарудың кейбір тәсілдерін зерттеу.

Жұмыстың концепциясы И.А.Зайцеваның, Н.Я.Виленкиннің, И.И.Бавриннің, А.М.Самойленконың, Қ.Қабдықайырдың және т.б. дифференциалдық теңдеулер теориясын зерттеулер негізінде құрылды.

Зерттеу әдістері математикалық құбылыстарды функционалдық, салыстырмалы және байланыстық зерделеу принциптеріне сүйенеді.

Жұмыс екі негізгі бөлімнен тұрады:

• дифференциалдық теңдеулер мен жүйелер теориясының негізгі түсініктерін қарастыратын теориялық бөлімі;

• практикалық бөлім – жаратылыстану ғылымдарының есептерін дифференциалдық теңдеулер мен жүйелер арқылы шығару.

I бөлім. Дифференциалдық теңдеулер және жүйелер теориясының негіздері

1. Жалпы мәліметтер

Егер теңдеудің құрамында тәуелсіз айнымалылар мен осы айнымалылардың белгісіз функцияларынан басқа белгісіз функциялардың туындылары (немесе олардың дифференциалдары) бар болса, онда мұндай теңдеу дифференциалдық теңдеу деп аталады.

Егер белгісіз функциялар бір ғана тәуелсіз айнымалыға тәуелді болса, онда мұндай дифференциалдық теңдеу қарапайым теңдеу деп аталады.

Егер теңдеудің құрамында бірнеше тәуелсіз айнымалылар, осы айнымалылардың функциялары және осы функциялардың дербес туындылары бар болса, онда мұндай теңдеу дербес туындылардағы дифференциалдық теңдеу деп аталады.

Дифференциалдық теңдеудің реті деп теңдеу құрамындағы белгісіз функция туындысының жоғарғы реті аталады.

Дифференциалдық теңдеудің шешімі деп теңдеуді қанағаттандыратын функциялар жүйесін айтады.

Қарапайым дифференциалдық теңдеулер жағдайында шешімдер жалпы, дербес және ерекше болуы мүмкін.

Дифференциалдық теңдеулердің жалпы шешімдері деп теңдеу реті қандай болса, сонша еркін тұрақтыларды қамтитын шешімдер аталады.

Дифференциалдық теңдеулердің дербес шешімдері деп еркін тұрақтылардың дербес мәндеріндегі жалпы шешімдерден алынған шешімдерді атайды.

Дифференциалдық теңдеулердің ерекше шешімдері деп жалпы шешімдердің қатарына мүлдем жатпайтын, яғни еркін тұрақтылардың дербес мәндерінен алынбайтын шешімдер аталады.

Дербес туындылардағы дифференциалдық теңдеулердің шешімдері ерікті функцияларды қамтиды.

Дербес шешімдер ерікті функцияларды дұрыс таңдаудан шығады.

2. Бірінші ретті қарапайым теңдеулер

1.2.1. Негізгі түсініктер

Бірінші ретті қарапайым теңдеу дегеніміз – түріндегі теңдеу, мұндағы F – үш айнымалылы белгілі функция, х – тәуелсіз айнымалы, у – белгісіз функция, – оның туындысы.

теңдеулердің айқындалмаған түрі.

Туындыға қатысты шешілген қарапайым дифференциалдық теңдеулер, яғни

немесе

түріндегі теңдеу қалыпты түрдегі теңдеу деп аталады.

кесіндісіндегі х-тің барлық мәндерінде функциясы теңдеуге қойылған жағдайда сол теңдеуді тепе-теңдікке айналдырса, онда бұл функция дифференциалдық функцияның шешімі деп аталады.

қатынасы жалпы интеграл деп аталады, егер белгісіз у функциясы дифференциалдық теңдеудің шешімі болса.

Дербес интеграл С-ның дербес мәніндегі жалпы интегралдан алынады.

Ерекше интеграл жалпы интегралдың құрамында болмайды.

Дифференциалдық теңдеу шешімінің графигін интегралдық қисық деп аталады.

функциясы берілген нүктесінде берілген мәнін қабылдайтын

кезіндегі

болатын жағдайларды шешімдердің бастапқы шарттары деп атайды.

Егер бірінші ретті дифференциалдық теңдеуінің шешімі болса, онда оның шексіз көп шешімдері болады және бұл шешімдер түрінде жазылады, мұндағы С – еркін константа.

өрнегі 1-ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі деп аталады, егер:

• С-ның барлық мүмкін болатын мәндеріндегі функциясы теңдеуінің шешімі болса;

• шешімнің кез келген бастапқы шарттарындағы константасының функциясы бастапқы шарттарын қанағаттандыратын жалғыз ғана мәні бар болса.

өрнегі 1-ретті дифференциалдық теңдеудіңдербес шешімі деп аталады. Ол константасының белгілі бір мәніндегі жалпы шешімінен алынады.

Дифференциалдық теңдеудің дербес шешімін табу есебі Коши есебі деп аталады.

жалпы шешімі геометриялық тұрғыдан қарағанда – Оху жазықтығындағы жалғыз ғана С еркін тұрақтысына тәуелді интегралдық қисықтардың жүйесі, ал дербес шешімі – бұл жүйенің берілген нүктесі арқылы өтетін бір ғана интегралдық қисығы.

1.2.2. Белгісіздері бөлінетін дифференциалдық теңдеулер

Белгісіздері бөлінетін теңдеу деп түріндегі теңдеу аталады, мұндағы және – үзіліссіз функциялар.

Мұндағы айнымалылар – х және у. Бұл – теңдеулердің қарапайым түрі. Оның шешімі интегралдау арқылы табылады:

мұндағы С – еркін тұрақты.

Мысал. теңдеуін шешу.

Шешуі. Берілген теңдеуде және .

Айнымалыларды бөліп,

Интегралдау арқылы

аламыз.

Потенциалдау арқылы аламыз, бұл теңдеуіне эквивалентті болады.

деп алып, нәтижесінде теңдеуін аламыз.

1.2.3. Сызықтық теңдеулер

түріндегі теңдеу бірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу деп аталады, мұндағы – үзіліссіз функциялар.

Егер болса, онда түріндегі теңдеу біртекті сызықтық теңдеу деп аталады.

Бұдан біртекті сызықтық теңдеудің белгісіздері бөлінетін теңдеу екені байқалады және оның жалпы шешімі төмендегі формуламен есептеледі:

мұндағы С – еркін тұрақты.

Егер болса, онда түріндегі теңдеу біртектес емес сызықтық теңдеу деп аталады.

Біртектес емес теңдеуді шешімі тұрақтыны түрлендіру әдісі бойынша табылады, бұл әдіс бойынша берілген теңдеу болып жазылады, мұндағы .

Жалпы шешімі мынадай түрде болады:

1.2.4. Бернулли теңдеуі

түріндегі теңдеу Бернулли теңдеуі деп аталады, мұндағы мұндағы – үзіліссіз функциялар.

Бернулли теңдеуі сызықтық теңдеу секілді қою арқылы немесе тұрақтыны түрлендіру арқылы шешіледі.

Сызықтық теңдеуге қою арқылы келтіріледі.

1.2.5. Толық дифференциалдық теңдеулер

түріндегі бірінші текті қарапайым дифференциалдық теңдеу толық дифференциалдық теңдеу деп аталады, егер оның сол жағы белгілі бір G облысындағы белгілі бір функциясының толық дифференциал болса.

Бұндай түрдегі теңдеудің шешімі мынадай түрде болады:

3. Жоғары ретті қарапайым теңдеулер

1.3.1. Негізгі түсініктер

п-ші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеу деп

түріндегі теңдеуді атаймыз, мұндағы F – айнымалылардың белгілі функциясы, х – тәуелсіз айнымалы, у – белгісіз функция, п – теңдеу реті.

Жоғары туындыға қатысты шығарылған қарапайым дифференциалдық теңдеулер – қалыпты түрде жазылған теңдеулер:

функциясы п-ші ретті дифференциалдық теңдеудің шешімі деп аталады, егер ол аралығында п рет дифференциалданатын болса және аралығындағы барлық х үшін орындалатын болса.

Теңдеудің жалпы шешімі деп п еркін тұрақтысы бар және теңдеуді теңдікке айналдыратын функциясы аталады.

Жалпы шешімді тәуелсіз айнымалының белгісіз функциясы ретінде анықтайтын қатынасы теңдеудің жалпы интегралы деп аталады.

Дифференциалдық теңдеу шешімінің графигі дифференциалдық теңдеудің интегралдық қисығы деп аталады.

п-ші ретті дифференциалдық теңдеудің, жалпы алғанда, шексіз көп шешімдері болады. Теңдеудің бір шешімін белгілеу үшін, яғни Коши есебін шешу үшін бастапқы шарттарды белгілеу жеткілікті:

.

Теңдеудің оң жағына белгілі бір шектеулер қойылған жағдайда бұл есеп бір ғана шешімге ие болады.

1.3.2. Дифференциалдық теңдеудің ретін төмендету

теңдеуін шешудің маңызды әдісі болып төменгі ретті теңдеулерге келтіретін жаңа айнымалыларды енгізу болып табылады.

№1 мысал. теңдеуі

Біртіндеп интегралдау арқылы жалпы шешімді аламыз:

немесе

.

№2 мысал. теңдеуі енгізу арқылы теңдеуіне келтіріледі.

Соңғы теңдеудің шешімін пайдалана отырып төмендегі теңдеуден у-ті табамыз:

.

№3 мысал. теңдеуі

енгізуден кейін ретті теңдеуге келтіріледі.

№4 мысал. теңдеуі

тепе-теңдігі орындалған жағдайда қатысты k ретті біртекті теңдеу деп аталады.

Теңдеудің реті енгізу арқылы 1-ге төмендетіледі.

1.3.3. п-ші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер

п-ші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу деп

түріндегі теңдеуді айтамыз, мұндағы – белгісіз функция,
– белгісіз үзіліссіз функциялар.

Теңдеудің сол жағындағы өрнек п-ші ретті сызықтық дифференциалдық оператор деп аталады:

.

және

, мұндағы теңдеулері сәйкесінше біртекті және біртектес емес п-ші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер деп аталады.

Көп жағдайда біртекті және біртектес емес сызықтық дифференциалдық теңдеулер сәйкесінше және түрінде жазылады.

Егер біртекті теңдеудегі біртектес емес теңдеудегідей болса, онда біртекті теңдеу берілген біртектес емес теңдеуге сәйкес келеді деп аталады.

Егер – біртекті сызықтық теңдеудің дербес шешімдері болса, онда олардың еркін тұрақтыларындағы сызықтық комбинациясы берілген теңдеудің шешімі де болады.

функциялар жүйесі сызықты тәуелсіз деп аталады, егер олардың сызықтық комбинациясы ешбір мәнінде, мәнінен басқа жағдайларда нөлге теңелмесе.

Егер функциялары – біртекті теңдеудің сызықты тәуелсіз дербес шешімдері болса, онда олар шешімдердің фундаментальды жүйесі деп аталады.

Біртекті теңдеудің жалпы шешімі түрінде болады, мұндағы – шешімдердің фундаментальды жүйесі, – еркін тұрақтылар. Соңғыларын дербес шешім болғанда бастапқы шарттарын қанағаттандыратындай етіп анықтауға болады.

Егер біртекті теңдеудің дербес интеграл белгілі болса, онда , сонан соң енгізіп, ретті сызықтық теңдеу аламыз.

Біртектес емес теңдеудің жалпы шешімі біртектес емес теңдеудің қандай да бір дербес шешімі мен сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімінің қосындысы болып табылады.

Егер сәйкес болатын біртекті теңдеудің жалпы шешімі белгілі болса, онда біртектес емес теңдеудің шешімін тұрақтыларды түрлендіру әдісі арқылы табуға болады.

Шешім түрінде болады, мұндағы белгісіз функциялары теңдеулер жүйесінен қатысты табылады:

Жүйені шешіп және нәтижесінде алып, табамыз, мұндағы – интегралдау тұрақтылары.

1.3.4. Коэффициенттері тұрақты біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулер

Коэффициенттері тұрақты біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеу деп

түріндегі теңдеуді атайды, мұндағы – ізделінді функция, – нақты сандар.

Мұндй теңдеудің шешімі функциясы болады, мұндағы k – характеристикалық теңдеудің түбірі.

Егер барлық түбірлер әр түрлі болса, онда – шешімдердің фундаментальды жүйесі мен – біртекті теңдеудің жалпы шешімі; – еркін тұрақты.

Егер k түбірлері компексті болса, онда олар ( нақты сандары жағдайында) жұптық түйіндес болады. Мысалы: , онда және пәрменді функциялармен және болып ауыстырылып, жаңа фундаментальды жүйе пайда болады.

Егер түбірі т еселі болса, онда шешімдердің фундаментальды жүйесіне басқа төмендегі функцияларды қосу керек:

.

Егер түбірі – т еселі түбір болса (егер нақты сан болса, онда - сондай еселі түбір болады), онда шешімдердің фундаментальды жүйесіне мынадай функциялар кіреді:

………. ……… ……… ……….

1.3.5. Коэффициенттері тұрақты біртектес емес теңдеулер

Коэффициенттері тұрақты біртектес емес теңдеу

ерікті тұрақтыларды түрлендіру әдісімен шешіледі.

Оның дербес шешімін төмендегі формула бойынша табуға болады:

Мұндағы Y – сәйкес біртекті теңдеудің төмендегі шарттарына байланысты шешімі:

Жалпы шешім төмендегідей түрде болады: , мұндағы z – сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімі.

болған жағдайда, теңдеудің дербес шешімі анықталмаған коэффициенттер әдісі арқылы табылады, мұндағы P және Q – х-ке қатысты көпмүшелер.

Егер сәйкес біртекті теңдеудің характеристикалық теңдеуінің түбірі болмаса, онда оның шешімі оң жағының түрі бойынша таңдалады: .

Егер – характеристикалық теңдеудің т еселі түбірі болса, онда шешім мына формула бойынша табылады:

.

Мұндағы және – х-ке қатысты P мен Q ең жоғары дәрежесіне сәйкес келетін дәреженің анықталмаған коэффициенттері бар көпмүше.

Егер болса, онда дербес шешім мына түрде болады: , мұндағы – сәйкесінше және теңдеулерінің сәйкес шешімдері.

1.4. Дербес туындылардағы дифференциалдық теңдеулер

1.4.1. Бірінші ретті сызықтық теңдеулер

Дербес туындылардағы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеудің шешімі

қалыпты теңдеулер жүйесінің шешіміне

тең келеді, мұндағы – тәуелсіз айнымалылар, – мәндеріне тәуелді және үзіліссіз туындылары бар, z – ізделінді функция.

Егер – бұл жүйенің ізделінді шешімі болса, онда – дербес туындылардағы теңдеудің жалпы шешімі, Ф – өзінің аргументтеріне қатысты еркін дифференциалданатын функция.

Біртектес емес теңдеу болған жағдайда

мұндағы – -ке тәуелді, жалпы интеграл z – теңдігінен анықталады, Ф – еркін дифференциалданатын функция, ал – теңдеулер жүйесінің интегралдар жүйесі.

1.4.2. Математикалық физиканың кейбір теңдеулері

Практикада көбіне математикалық физиканың теңдеулері деп аталатын екінші ретті сызықтық теңдеулер жиі кездеседі.

1. Толқындық теңдеу белгілі бір ортаның тербелістерін сипаттайды:

мұндағы .

2. Телеграфтық теңдеу:

3. Жылу таралуының теңдеуі:

4. Потенциал теориясының теңдеуі:

– Лаплас теңдеуі

– Пуассон теңдеуі.

Екінші ретті теңдеулерді шешу барысында әдетте бастапқы және шеткі шарттарды қанағаттандыратын дербес шешімді іздейді.

1.5. Дифференциалдық теңдеулер жүйелері

1.5.1. Қалыпты және симметриялы түрдегі жүйелер теориясының жалпы сұрақтары

Дифференциалдық теңдеулер жүйесі

(1)

қалыпты түрдегі жүйе немесе белгісіз функцияларының туындыларына қатысты шешілген жүйе деп аталады.

аралығындағы (1) теңдеулер жүйесінің шешімі деп

түріндегі функцияларының үзіліссіз дифференциалданатын жиыныны айтады.

(1) жүйенің анықталу облысында үзіліссіз дифференциалданатын функциясы осы жүйенің бірінші интегралы деп аталады, егер оның (1) жүйеге қатысты құрылған туындысы

нөлге тең болса.

Егер (1) жүйенің п тәуелсіз бірінші интегралдары белгілі болса, онда

(2)

теңдіктерінің жиыны осы жүйенің жалпы интегралы болады, мұндағы – ерікті тұрақтылар.

(1) жүйенің (2) жалпы интегралынан қатысты (2) теңдіктерді шешу арқылы осы жүйенің кез келген шешімін табуға болады.

Егер тұрақтыға тең емес бірінші интегралдың біреуі белгілі болса, онда айнымалыларының біріне қатысты, мысалы, -ге қатысты теңдеуін шешіп:

(3)

және (3) өрнекті (1) жүйенің алғашқы теңдеулеріне қойып, бастапқы теңдеулер жүйесінің құрамындағы белгісіз функциялар санына қарағанда белгісіз функциялар саны 1-ге кем болатын теңдеулер жүйесін аламыз.

Қалыпты түрдегі дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешудің екі әдісін көрсетейік. Біріншісі теңдеулер жүйесін п-ші ретті бір теңдеуге немесе реті п-нен кем болатын бірнеше теңдеуге келтіруге негізделеді.

Келтірудің жалпы тәсілі мынадай. Мысалы, (1) жүйенің теңдеулерінің біріншісін рет дифференциалдап және туындыларының орнына олардың мәндерін қоя отырып, осы жүйенің қалған теңдеулерден мынадай теңдеулер аламыз:

. . . . . . . . . . . . . . (4)

(4) жүйенің алғашқы теңдеуінен анықтап және бұл өрнектерді жүйенің соңғы теңдеулеріне қойсақ, п-ші ретті дифференциалдық теңдеу аламыз:

Бұл теңдеуді шешіп бастапқы теңдеулер жүйесінің шешімдерін табамыз.

(1) теңдеулер жүйесін интегралданатын комбинацияларды табу әдісімен шешуге болады. Бұл әдістің бойынша берілген жүйенің теңдеулерінен арифметикалық амалдар арқылы интегралданатын комбинациялар, яғни жаңадан алығна белгісіз функция қатысты оңай интегралданатын теңдеулер құрылады.

(1) теңдеулер жүйесін шешудің жоғарыда аталған әдістерін симметриялы түрдегі дифференциалдық теңдейлер жүйелерін, яғни

түріндегі теңдеулер жүйесін шешуге де қолдануға болады.

(5) теңдеулер жүйесін шешуде тең бөлшектер қасиетін қолданған жөн: егер тең бөлшектер

және ерікті сандары берілген болса, онда

1.5.2. Сызықтық дифференциалдық теңдеулердің біртекті жүйелері

Сызықтық дифференциалдық теңдеулердің біртекті жүйелері деп төмендегі түрдегі теңдеулер жүйесі аталады:

(1)

мұндағы – элементтері I функциясының интервалында үзіліссіз болатын өлшемді квадрат матрица. (1) теңдеулер жүйесінің кез келген шешімін I интервалында жалғастыруға болады. I интервалында анықталған (1) жүйенің барлық шешімдерінің жиыны сызықтық кеңістік болып табылады. Сызықтық біртекті жүйенің барлық шешімдерінің сызықтық кеңістігі осы жүйенің фазалық кеңістігіне изоморфты болады.

Сызықтық біртекті теңдеулер жүйесі шешімдерінің фундаментальды жүйесі деп шешімдерінің сызықтық кеңістігінің базисін, яғни осы жүйенің п сызықтық тәуелсіз шешімдерін атайды.

Бағандары фундаментальды жүйені құрайтын шешімдерінен тұратын матрицасы фундаментальды матрица деп аталады. Егер болса, мұндағы Е – бірлік матрица, онда матрицант деп аталады.

Кез келген (1) теңдеудің шешімдерінің фундаментальды жүйесі болады.

(1) жүйенің кез келген шешімі фундаментальды жүйе шешімдерінің сызықтық комбинациясы болады.

(1) жүйенің кез келген шешімі сызықтық тәуелді болады.

вектор-функциялар жүйесінің Вронский анықтауышы деп t нүктесіндегі мәні

болатын сандық функциясы аталады.

(1) теңдеудің шешімдер жүйесі фундаментальды болады сонда және тек қана сонда егер оның Вронский анықтауышы қандай да бір t нүктесінде нөлден өзге болса. Егер (1) теңдеудің шешімдер жүйесі бір нүктеде нөлге тең болса, онда ол барлық t нүктелерінде де нөлге тең болады. (1) теңдеудің шешімдер жүйесі Вронский анықтауышы үшін Лиувилл-Остроградский формуласы орындалады:

мұндағы .

1.5.3. Коэффициенттері тұрақты сызықтық жүйелер

Төмендегі түрдегі коэффициенттері тұрақты сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесін белгісіздерді жою әдісімен реті осы теңдеуден жоғары бір белгісізі бар функцияға келтіруге болады:

(1)

мұндағы – п-ретті вектор, А – өлшемді тұрақты квадраттық матрица. Бірақ аталған теңдеулер жүйесін шешудің басқа да әдістер бар.

Эйлер әдісіне тоқталып өтейік. (1) жүйенің шешімін мына түрде іздейміз:

(2)

(2) функция (1) жүйенің шешімі болады, егер λ – А матрицасының өзіндік мәні, ал а – осы матрицаның λ санына сәйкес келетін өзіндік векторы болса. Егер А матрицасының өзіндік мәндері қос-қостан әр түрлі болып және – осы матрицаның сәйкес өзіндік векторлары болса, онда (1) теңдеулер жүйесінің жалпы шешімі төмендегі формуламен анықталады:

мұндағы – кез келген сандар. Егер А матрицасының еселі өзіндік мәндері λ үшін сонша еселі сызықтық тәуелсіз өзіндік векторлар бар болса, онда берілген жүйенің k сызықтық тәуелсіз шешімдері болады: .

Егер k еселі λ өзіндік мәндері үшін тек қана сызықтық тәуелсіз өзіндік векторлар бар болса, онда λ-ға сәйкес шешімдерді дәрежелі векторлық көпмүшені өрнегіне көбейтіндісі түрінде, яғни

түрінде іздеуге болады. векторларын табу үшін (2) өрнекті (1) жүйеге қою керек. Жүйенің сол жағындағы және оң жағындағы ұқсас мүшелердің коэффициенттерін теңестіріп, векторларын табу

Егер А матрицасының өзіндік мәндері құрамында комплекс сандар бар болса, онда жоғарыда көрсетілген әдісін пайдаланып комплекс функциялар арқылы осындай өзіндік мәніне сәйкес болатын (1) жүйенің шешімі құрылады. Шешімді нақты функциялар арқылы өрнектеу үшін (А матрицасы нақты болған жағдайда) өзіндік мәніне сәйкес келетін комплекстік шешімнің бүтін және жорамал бөліктері сызықтық тәуелсіз шешімдері болып табылатынын пайдалану керек.

(1) теңдеулер жүйесін шешудің басқа әдісі осы жүйенің фундаментальды матрицасын табуға негізделеді.

А матрицасының экспонентасы деп төмендегі қатар қосындысы аталады:

мұндағы Е – бірлік матрица. Матрицалық экспонентасының қасиеттері:

а) егер болса, онда ;

ә) егер болса, онда ;

б) матрицасы матрицалық Коши есебінің шешімі болады: , яғни (1) жүйенің фундаментальды матрицасы болады.

Матрицалық экспонентасының б) қасиетінен (1) жүйенің шартын қанағаттандыратын шешімі өрнегімен анықталады. Осылайша, (1) теңдеулер жүйесінің шешімдерін табу есебі А матрицасы бойынша матрицасын табу есебіне эквивалентті болады.

матрицасын табу үшін А матрицасын түрінде көрсеткен ыңғайлы, мұндағы – А матрицасының Жордан түрі, себебі .

J – Жордан торы болғандықтан:

онда J санын түрінде көрсетсек, екенін табамыз, мұндағы

матрицасын (3) қатар арқылы табу оңай, себебі , r – J торының өлшемі, ал бұл қатардағы алғашқы r мүшелері ғана нөлден өзге болады деген мағына білдіреді.

1.5.4. Сызықтық біртекті емес жүйелер

Сызықтық біртекті емес жүйе деп

немесе векторлық жазба түріндегі

жүйені атайды, мұндағы х – компоненттері бар вектор; –компоненттері функциялары болатын матрица; – компоненттері бар вектор-функция.

Сызықтық біртекті емес теңдеулер жүйесін реті жоғары бір теңдеуге келтіруге негізделген интегралданатын комбинациялар әдісі немесе ерікті тұрақтыларды өзгерту әдісі арқылы шешуге болады. Аталған әдістердің соңғысы сәйкес болатын біртекті теңдеулер жүйесі шешілетін жағдайда қолданылады:

Егер

(3)

болса, мұндағы – (2) жүйенің фундаменталды матрицасы, с – кез келген тұрақты вектор, (3) – (2) біртекті жүйенің жалпы шешімі, онда (1) жүйенің жалпы шешімін түрінде іздейміз. векторының компоненттері төмендегі теңдеулер жүйесінен анықталады:

Сызықтық біртекті емес жүйенің жалпы шешімі оған сәйкес болатын біртекті жүйенің жалпы шешімі мен біртекті емес жүйенің қандай да бір шешімінің қосындысы болып табылады.

Коэффициенттері тұрақты сызықтық біртекті емес жүйенің, яғни матрица тұрақты болатын (1) жүйенің дербес шешімі кейбір жағдайларда анықталмаған коэффициенттер әдісіш арқылы табылуы мүмкін. Бұл әдісті қолдануға болады, егер функциялары функцияларының қосындысы мен туындыларынан құралатын болса.

, мұндағы – дәрежелі көпмүше болса, онда (1) жүйенің дербес шешімін мына түрде іздейміз:

(4)

мұндағы – дәрежелі коэффициенттері белгісіз көпмүшелер, , егер γ А матрицасының өзіндік мәні болмаса, онда , ал егер γ – А матрицасының өзіндік мәні болса, онда s осы санға еселі сан болады (немесе, нақтырақ айтсақ, s біртекті жүйенің жалпы шешіміндегі өрнегіне көбейтілетін көпмүшелер дәрежелерінің ең үлкенінен 1-ге артық болады).

көпмүшелерінің белгісіз коэффициенттері (4) өрнекті берілген жүйеге қою және ұқсас мүшелердің коэффициенттерін салыстыру арқылы табылады.

және саны А матрицасының өзіндік мәні болған жағдайдағы көпмүшелер дәрежесі жоғарыдағы әдіс бойынша анықталады.

II бөлім. Жаратылыстану ғылымдарының есептерін шығаруда дифференциалдық теңдеулерді қолдану

Дифференциалдық теңдеулер практикалық есептерді математикалық жолмен шешудің көп таралған және мықты тәсілдердің бірі. Әсіресе олар жаратылыстану ғылымдарының есептерін шығаруда кеңінен қолданылады: теориялық механика, физика, химия және биология. Геометриялық оптиканың, геодезияның, картографияның және жаратылыстанудың басқа да салаларының көптеген есептерінде жүргізілген жанамалардың берілген қасиеттері бойынша қисықтарды табудың қажеттілігі туады. Әдетте осындай (геометриялық) есептер дифференциалдық теңдеулер көмегімен де есептеледі.

2.1. Математикалық модельдеу.

Шынайы өмірдегі кез келген есептерді математикалық зерттеудің үш негізгі кезеңін ерекшелеуге болады:

• құбылыстың математикалық моделін құру;

• осы математикалық модельді зерделеу және сәйкес математикалық модельдің шешімін алу;

• алынған нәтижелерді осы математикалық модельдің құрылуына түрткі болған практикалық мәселеге салу және осы модельді қолдануға болатын басқа да мәселелерді табу.

Құбылыстың немесе үдерістің математикалық модельді құру барысында оны идеализациялау мен формализациялау қажет. Құбылысты идеализациялау кезінде оған айтарлықтай әсер ететін жағдайлар оған айтарлықтай әсер ететін жағдайлардан бөлінеді.

Идеализацияланған модельдің классикалық мысалы ретінде маятниктің қозғалысын зерттеу схемасы – математикалық маятникті алуға болады. Бұл жағдайда өлшемдер мен жүктің пішініне, ауаның кедергісіне, іліну нүктесіндегі үйкелісіне, жіптің иілгіштігіне және т.б. назар аудармау қажет.

Бұл идеализацияланған схеманы зерттеу дифференциалды теңдеуді құрғаннан кейін формализациялауға болады.

Кейіннен алынған жуық мәндер қандай шектерде мүмкін болатынын, ескерілмеген факторларды есепке алу кезінде жағдайдың қалай өзгеретінін және т.б. зерттеу қажет.

Осы формализацияланған математикалық модельдің көмегімен тағы да қандай құбылыстар сипатталуы мүмкін екенін анықтап алу қажет.

2.2. Физикалық есептерді дифференциалдық теңдеулер арқылы шығару.

2.1. пунктінде айтылған мәселелерге сәйкес шынайы өмірдегі физикалық есептерді шешу үдерісі үш кезеңде тізбектеліп жұргізілуі тиіс:

– дифференциалдық теңдеуді құру;

• бұл теңдеуді шешу;

• алынған нәтижені зерттеу.

Бұл жағдайда мынадай іс-әрекеттер тізбегі ұсынылады:

1. Берілген құбылыста өзгеретін шамаларды орнатып, оларды байланыстыратын физикалық заңдарды анықтау.

2. Тәуелсіз айнымалыны және осы ізделінді айнымалының функциясын таңдап алу.

3. Есептің шарттарына сәйкес бастапқы немесе шекті шарттарды орнату.

4. Есептің шартындағы барлық шамаларды тәуелсіз айнымалы, ізделінді функция мен бұл функцияның туындылары арқылы өрнектеу.

5. Берілген құбылыс бағынатын есептің шарттарына және физикалық заңға сәйкес дифференциалдық теңдеу құру.

6. Дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін немесе жалпы интегралын табу.

7. Бастапқы немесе шекті шарттарына сәйкес келетін дербес шешімін табу.

8. Алынған нәтижені зерттеу.

Көптеген жағдайларда дифференциалдық теңдеуді құру «кішіге сүйенген үдерістің сызықтығы», яғни шамалардың тәуелділігін өрнектейтін функциялардың дифференциалдануы деп аталатын үдеріске негізделеді. Әдетте кез келген үдеріске қатысатын шамалар уақыттың қысқа мерзімінде тұрақты жылдамдықпен өзгеріп тұрады деп есептеуге болады. Бұл бірқалыпты өтетін құбылыстарды сипаттайтын физикадан белгілі заңдарды мәндері, яғни үдеріске қатысатын шамалар және олардың өзгерістері арасындағы қатынасты құру үшін қолдануға мүмкіндік береді. Алынған теңдік жақындастырылған түрде ғана болады, себебі шамалар аз ғана уақыт ішінде өзгеруі мүмкін. Бірақ егер алынған теңдіктің екі жағын -ға бөліп және болатын жағдайда шекке ауыссақ, онда нақты теңдік алынады. Оның құрамында t уақыт, уақыттың өтуіне байланысты өзгеретін физикалық шамалар және олардың туындылары болады, яғни берілген құбылысты сипаттайтын дифференциалдық теңдеу болады. Дәл осындай дифференциалды түрдегі теңдеуді шамасын dt дифференциалына ауыстырған жағдайда алуға болады.

Осылайша, дифференциалды теңдеуді құрған кезде біз үдерістің қазіргі уақыт мезетіндегі «бір сәттік сурет» жасағандай боламыз, ал теңдеуді шешу кезінде осы суреттер арқылы үдерістің өту барысын қайта құрамыз. Физикалық есептерді дифференциалдық теңдеулер арқылы шешудің негізі болып табылатын аргументтің кіші аймағындағы функцияларды сызықтық функциялармен алмастыру тәсілі сызықтандыру деп аталады.

Сызықтандыру мүмкін болмайтын үдерістер (мысалы, броун қозғалысы) кездессе де, аталған әдіс көп жағдайда тиімді жүзеге асады.

Е

сеп №1. Биікті Н, табанының радиусы R болатын суға толы цилиндр тәріздес ыдыстың түбінде ауданы S болатын шағын тесік жасалған (1-сурет). Бұл тесіктен судың үштен бір бөлігі t₁ секундта ағатын болса, барлық су қанша уақытта ағып болады?

Шешуі. Егер су бірқалыпты ағып жатса, онда есептің шешімі айқын болар еді: барлық су 3t₁ c уақытында ағып болады. Бірақ шынайы жағдайда су алғаш уақытта тез ағады да, ыдыстағы су деңгейінің төмендеуі салдарынан оның ағу жылдамдығы азаяды. Осылайша, ағу жылдамдығы v мен тесік үстіндегі судың биіктігі h арасындағы тәуелділікті ескеру қажет.

Торричелли тәжірибелері көрсеткендей, жылдамдық формуласымен есептеледі, мұндағы q – еркін құлау үдеуі, k – ортаның сұйықтығы мен тесіктің пішініне тәуелді «шексіз» коэффициент (су мен дөңгелек тесік үшін ).

Сұйықтықтың уақыт аралығында ағу үдерісінің «бір сәттік суретін» жасайық. Осы аралықтың басында сұйықтықтың тесік үстіндегі биіктігі h болсын, ал оның соңында ол кеміп болды, мұндағы - биіктіктің «артуы» (теріс артуы). Онда ыдыстан аққан сұйықтықтың көлемі биіктігі және табанының ауданы болатын цилиндрдің көлеміне тең болады.

Бұл сұйықтық табанының ауданы S болатын цилиндр тәріздес ағын болып ақты. Оның биіктігі уақыт аралығында аққан сұйықтықтың өткен жолына тең болады.

Бұл уақыт аралығының басында ағу жылдамдығы Торричелли заңына сәйкес тең болады, ал соңында тең болады.

Е гер өте аз болса, онда оған сәйкес өте аз болады, осыған сәйкес жылдамдық үшін алынған өрнектер бірдей болады, ал уақыт аралығында өткен жол мына формуламен өрнектеледі: , мұндағы яғни – уақыт аралығында ыдыстан аққан сұйықтықтың көлемі.

уақыт аралығында ыдыстан аққан сұйықтықтың көлемі үшін алынған екі өрнекті теңестіріп, төмендегідей теңдеуді аламыз:

. (1)

1. т еңдеудің кемшілігі – α үшін өрнектің белгісіз болуы. Бұл кемшілікті жою үшін (1) теңдеудің екі жағын -ға бөліп, кезіндегі шекке көшеміз. екенін ескере отырып, төмендегідей дифференциалдық теңдеу аламыз:

. (2)

2. теңдеуді шешу үшін айнымалыларды бөліп, бөлшекті қысқаша түрде А арқылы белгілеп жазамыз:

Төмендегідей теңдеу аламыз:

Екі жағын интегралдап, төмендегідей теңдік аламыз:

(3)

Біз құрамында екі тұрақты А және С болатын h және t арасындағы тәуелділікті анықтадық. А тұрақтысы тесіктің өлшемі мен пішініне, сұйықтыққа және басқа да физикалық параметрлерге тәуелді, ал С тұрақтысы есепті шығару барысында табылды. Олардың мәні бізге белгісіз, бірақ оларды есептің әлі де пайдаланылмаған шарттарын ескере отырып анықтауға болады.

С-ны табу үшін бастапқы шарттарды қолданамыз: сұйықтық ағуының алдында ыдыс толық болды, яғни болғанда биіктік болды.

3. формулаға қойып, төмендегі теңдікті аламыз:

(3) теңдікті мына түрде жазуға болады:

А-ны табу үшін алғашқы t₁ минут ішінде барлық сұйықтықтың үштен бірі ағып кеткенін ескереміз. Бұған сұйықтық деңгейінің -ке төмендегені сәйкес болады. Басқаша айтқанда, кезінде болады. Бұдан

және сондықтан

(4)

Енді ыдыстың босау уақытын табу қиын емес, яғни болатындай t мәнін табу керек:

t-ның соңғы мәні сұйықтық бірқалыпты ағады деп алынған болжамда анықталған мәнінен шамамен 1,82 есе артық болса да, себебі біз капиллярлық құбылыстарды, сұйықтықтың оралуын және басқа да факторларды қарастырмағандығымыздан ол дәл мән емес екенін ескеруіміз қажет.

Алынған шешімді зерттейік.

(4) теңдікке

мәнін қойып, -ді табамыз және

теңдігін аламыз.

Алынған шешімге сәйкес R және H мәндері (ыдыстың өлшемдері) неғұрлым көп болса, сұйықтық ыдыстан соғұрлым көп уақыт ағады. Тесіктің ауданы S неғұрлым үлкен болса, сұйықтық ыдыстан соғұрлым тез ағады. Осындай қатынаста үдеудің артуы q және k коэффициенті де жүзеге асады (неғұрлым k көп болса, Бернулли теңдеуіне сәйкес соғұрлым сұйықтықтың ағу жылдамдығы да көп болады).

Осылайша, формула «шынайы көзқарас сынағынан» өтті, бұл өлшем сынағымен бірге есептің дұрыс шешілгендігін дәлелдейді.

Жауабы: Барлық су тесіктен

уақытта ағып болады.

Көптеген жағдайларда есептің шарты бойынша дифференциалдық теңдеу құру үдерісі физиканың сәйкес заңы белгілі бір шама мен оны өлшеу жылдамдығын немесе шамалардың мәндерін, өзгеру мен үдеу жылдамдығын өзара байланыстыратыны арқылы жеңіл болады.

Е сеп №2. Тұйықталған электрлік тізбекке уақыт өтуіне байланысты өзгеріп отыратын ток көзі мен белсенді кедергі R және L индуктивті катушка тізбектей қосылған (2-сурет). Егер бастапқы уақытта ток күші нөлге тең болса, онда уақыт өтуіне байланысты ток күші қалай өзгереді?

Шешуі. Физика курсынан болатыны белгілі, мұндағы – Ом заңы бойынша тізбектің белсенді бөлігіндегі кернеу, ал – ток күшінің өзгеру жылдамдығының L пропорционалдық коэффициентіне пропорционалды: .

Бұдан төмендегідей теңдік шығады:

(5)

(5) теңдеудің екі жағын L-ге бөлейік: .

Біз бастапқы шарты болатын ток күші үшін бірінші ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеу құрдық.

1.2.3. пунктіне сәйкес бұндай теңдеудің жалпы шешімі мына түрде болады:

,

(6)

Екі жағдайды қарастырайық:

1. ЭДС – тұрақты шама, . Бұл жағдайда (6) теңдеуден:

Бастапқы шартқа сәйкес , яғни , бұдан және сондықтан:

(7)

болғанда екеніне көз жеткіземіз, яғни тұрақты ЭДС қосқаннан кейін оның мәні нөлден Ом заңына сәйкес -ге дейін артады (3-сурет).

2. ЭДС периодты түрде синусоидтық заң бойынша өзгереді:

Бұл жағдайда (6) теңдеуден мынадай теңдіктер шығады:

бастапқы шартынан төмендегідей теңдіктер аламыз:

болғанда уақыт өтуіне байланысты екінші қосылғыш нөлге ұмтылады, яғни

Егер

деп жорысақ, онда бұл теңдікті мына түрде жазуға болады:

Жауабы: ток күшінің тербелісі – ЭДС синусоидтық тербелістердің шегі.

Т

абиғат пен техникада қандай да бір сипаттама өзінің белгілі бір мәнінен ауытқып отыратын үдерістер – тербеліс үдерістері өте көп таралған. Тербеліс үдерісін сипаттау – бұл үдерістің уақытқа тәуелді болатын сипаттамалық параметрін таңдау және тербелістердің бағынатын теңдеуін құру болып табылады. Әр түрлі тербеліс құбылыстарын зерттеу барысында екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер көп қолданылады.

Есеп №3. Тік серіппеге массасы т болатын жүк ілінген (4-сурет). Жүкті тыныштық күйінен қозғап, қайтадан жібереді. Серіппенің массасы мен ауаның кедергісін ескермей отырып жүк қозғалысының заңын табу.

Ш

4-сурет

ешуі. Ох осін жүктің іліну нүктесінен өтетін тік сызық бойынша төмен жүргізіп, оны координаттар басы ретінде алайық.

Ньютонның ІІ заңына сүйене отырып дифференциалдық теңдеу құрайық:

(8)

Мұндағы т – жүктің массасы, а – қозғалыс үдеуі, F – денеге әсер ететін барлық күштердің нәтижесі.

Тыныштық күйінде Oх осіне түсірілген проекциясы mq болатын ауырлық күші Гук заңына сәйкес серіппенің ұзаруына пропорционалды болатын серіппенің серпімділік күшімен теңеседі:

(9)

(мұндағы ω* – серіппенің қатаңдық коэффициенті).

Жүктің тыныштық күйінен ауытқуын деп белгілейік. t уақытында денеге екі күш әсер етеді: жүкті төмен тартатын ауырлық күші mq және жоғарыға бағытталған -ке тең болатын серіппенің серпімділік күші.

Нәтижелік күш мынаған тең болады:

немесе (9) теңдікке сәйкес:

(8) Ньютон заңының негізінде мына теңдік шығады:

(10)

Ох осі бойымен түзу сызықты қозғалыс жағдайында үдеу тең болады.

(10) теңдікті түрінде жазуға болады, бұдан

(11)

мұндағы

Дене қозғалысының дифференциалдық теңдеуі – коэффициенттері тұрақты болатын екінші ретті біртекті сызықтық теңдеу құрылды, оның шешімі 1.3.4. пунктінде қарастырылды.

Оның характеристикалық теңдеуінің түбірлері комплекс сандары болады, сондықтан (11) теңдеудің жалпы шешімі мына түрде болады:

Табылған шешімнің физикалық мәнін анықтау үшін оны түрлендіреміз:

Айталық,

Сонда теңдеудің жалпы шешімі мына түрде жазылады:

немесе

(12)

мұндағы А және α – жаңа алынған ерікті тұрақтылар.

А шамасы тербеліс амплитудасы деп аталады, аргументі – тербеліс фазасы, мезетіндегі α мәні – бастапқы фаза, ω – тербеліс жиілігі.

бастапқы уақыт мезетінде жүктің тыныштық күйінен ауытқуы -ге, ал қозғалыс жылдамдығы -ке тең болсын, яғни . Осы бастапқы шарттарға сәйкес амплитуда мен бастапқы фазаны анықтауға болады.

болғандағы шарттарға сәйкес теңдігін ескере отырып, шығады, бұдан

(12*)

А және α табылған мәндерін (12) теңдікке қойып, мынадай теңдік аламыз:

(12**)

(12**) формуласы жүктің қозғалыс заңын өрнектейді. Бұл формуладан жүктің тыныштық күйінің айналасында гармоникалық тербеліс жасайтыны көрініп тұр.

Тербеліс жиілігі мен периоды сәйкесінше мынаған тең:

Бұл формуладан тербеліс жиілігі мен периоды серіппенің қатаңдығы мен жүктің массасына, яғни жүйенің қасиеттерімен анықталатыны көрініп тұр.

Тербеліс амплитудасы және бастапқы фаза бастапқы шарттарына да тәуелді болады (12-суретті қара).

Жауабы. Тік серіппедегі жүктің қозғалысы – тыныштық күйінің айналасындағы гармоникалық тербелісі.

3. Геометриялық есептерді шығару.

Геометриялық есептерді дифференциалдық теңдеулер арқылы шығару барысында мынадай іс-әрекеттер тізбегі орындаған жөн:

• сызбасын салып, белгілеулер енгізу;

• ізделінді түзудің ерікті нүктесінде орындалатын шарттарды тек белгілі бір нүктеде ғана орындалатын шарттардан бөліп алу;

• есептегі аталған шамалардың барлығын ерікті нүктенің координатасы және туындының геометриялық мағынасын ескере отырып бұл нүктедегі туындының мәні арқылы өрнектеу;

• есептің шарты бойынша дифференциалдық теңдеу құру;

• бұл теңдеудің жалпы шешімін тауып, одан бастапқы шарттар көмегімен ізделінді түзудің теңдеуін алу.

Есеп №1. Айналу осіндегі О нүктесінде орналасқан жарық көзінің барлық сәулелері айна арқылы осы оське параллель шағылысатындай етіп прожектордың айнасын тазартуға қажетті бетті анықтау керек (5-сурет).

Шешуі. Айналу бетінің меридиандық қимасын алайық. О нүктесіндегі координаттар басын анықтап, абсциссалар осін айналу осі бойынша бағыттап, абсциссалар осінің оң бағыты мен ізделінді қисыққа нүктесінде жүргізілген жанама арасындағы бұрышты α деп белгілейік. Онда есептің шарты бойынша: . Бірақ (түсу бұрышы шағылысу бұрышына тең), сондықтан . Осылайша ОАМ үшбұрышы – теңбүйірлі және .

Сызбадан . болғандықтан, болады.

Басқаша алғанда,

Дифференциалдық теңдеу құрамыз:

Оны мына түрде жазайық:

Біртекті дифференциалдық теңдеу алдық. алмастырулардан кейін айнымалылары бөлінетін теңдеу аламыз:

Түрлендірулерден кейін:

Интегралдау арқылы мынадай теңдіктер аламыз:

Алынған теңдеуді мынадай түрде жазайық:

және u-ны -ке алмастырайық.

Бұдан аламыз немесе канондық түрге келтіріп:

Нәтижесінде асциссалар осіне симметриялы, С параметрлі және төбесі нүктесінде болатын параболалар жүйесін алдық және бұл параболалардың фокустары О нүктесінде болады.

Жауабы. Ізделінді бет ретінде айналу параболоиді болады және жарық көзі айналу параболасының фокусында орналасады.

Кейбір жағдайларда есептерді шығару барысында ізделінді функция интеграл астында тұратын теңдеулерді, яғни интегралды теңдеулерді шешуге әкеп соқтырады. Мұндай теңдеулер екі жағын дифференциалдағаннан кейін кейде дифференциалдық теңдеу болып шығады.

Е

6-сурет

сеп №2. Келесідей қасиетке ие болатын қисықты анықтау: кез келген нүктесі үшін координаталар остерімен, осы қисықтың доғасымен және М нүктесін оның асбциссалар осіндегі проекциясымен қосатын кесіндімен шектелген қисықсызықты трапецияның ауырлық центрі осы нүктенің асциссасының -іне тең.

Шешуі. Интегралдық есептеудің теориясынан берілген қисықсызықты трапецияның ауырлық центрінің абсциссасы мына формуламен өрнектелетіні белгілі:

мұндағы t – интегралдау айнымалысы, ал – ізделінді қисықтың теңдеуі.

Есептің шарты бойынша мына теңдеу құрастырылады:

Бұл теңдеу интегралды теңдеу болып табылады, себебі оның құрамындағы ізделнді функция интеграл астында орналасқан. Бұл теңдеуді мына түрде жазайық:

және теңдеудің екі жағын х-ке қатысты дифференциалдайық. Интегралдаудың жоғарғы шегіндегі интегралдың туындысы интеграл астындағы функцияның сәйкес мәніне тең болатыны белгілі, бұдан:

Бұл теңдеу де интегралды теңдеу болып табылады. Екінші рет дифференциалдасақ:

Айнымалылары бөлінетін дифференциалдық теңдеу шығады:

1.2.2 пунктіне сәйкес оның жалпы шешімі:

Бастапқы шарттары болатын түріндегі дифференциалдық теңдеу төмендегі интегралдық теңдеумен тең күшті болатынын ескере кетейік:

Жауабы. Кез келген нүктесі үшін координаталар остерімен, осы қисықтың доғасымен және нүктенің оның асбциссалар осіндегі проекциясымен қосатын кесіндімен шектелген қисықсызықты трапецияның ауырлық центрі осы нүктенің асциссасының -іне тең қисық түріндегі кез келген парабола болады.

3. Биологиялық есептерді шығару

Тірі ағза өте күрделі жүйе болғандықтан, оны барлық жағынан қарастыру мүмкін емес, сондықтан зерттеуші әрдайым белгілі бір есепті шешу үшін жеңілдетілген көзқарасты таңдау керек. Шынайы өмірдегі биожүйелерді жеңілдету үдерісі модельдеу әдісінің негізі болып табылады.

Әдетте, биологияда қолданылатын модельдер үш түрге бөлінеді:

1. Жалпы заңдылықтар, патологиялық үдерістер, әр түрлі препараттардың әсері және т.б. зерттелетін табиғи биологиялық модельдер. Модельдердің бұл түріне зертханалық жануарлар, бөлшектеліп алынған мүшелер, жасушалар және т.б. жатқызады.

2. Физикалық (балама) модельдер, яғни модельдеу объектісінің іс-әрекетін қайталайтын физикалық модельдер. Мысалы, сүйекте әр түрлі іс-әрекет барысында пайда болатын деформациялар алдын ала жасалған сүйектің макетінде ғана зерттелуі мүмкін. Үлкен тамырлардағы қанның қозғалысы тізбектей жалғанған резисторлар, конденсаторлар мениндуктивті катушкалар арқылы жасалған модель негізінде жасалады.

3. Математикалық модельдер зерттелетін объект, құбылыс, үдерістің қасиеттерін сипаттайтын формулалар, функциялар, теңдеулер, т.б. арқылы жасалатын математикалық өрнектер жүйесі болып табылады. Математикалық модельді жасау барысында модельдеу объектісін экспериментальды зерттеу кезінде анықталған физикалық заңдылықтарды пайдаланады. Мысалы, қан айналымының математикалық моделі гидродинамиканың заңдарына негізделіп жасалады.

Математикалық модельдеудің зерттеу әдісі ретінде бірнеше артықшылықтары бар.

Біріншіден, сандық заңдылықтарды математикалық тілде көрсету әдісінің өзі нақты әрі жинақы болады. Екіншіден, тәжірибе негізінде жасалған гипотезаларды тексеру үдерісі математикалық модельді зерттеу жолымен жүзеге асуы мүмкін. Сонымен қатар математикалық модель эксперимент жүзінде немесе клиникада өткізуге қиындық туғызған жағдайда зерттелетін жүйені тұтастай немесе белгілі бір бөлігін зерттеу туралы пайымдауға мүмкіндік береді.

Есеп №1. Бактериялар саны 3 сағатта 100-ден 200-ге дейін көбейсе, 9 сағатта неше есе артатынын есептеу.

Шешуі. Егер бактриялардың көбеюіне қажетті азықтың қоры жинақталып және басқа да қажетті сыртқы жағдайлар (мысалы бактерияларды басқа түрлерінің басып кетпеуі) жасалған болса, онда олардың көбею жылдамдығы олардың санына пропорционал болатыны тәжірибе жүзінде дәлелденді.

х – осы кездегі бактериялар саны болсын, онда олардың көбею жылдамдығы: .

Бактериялардың көбею жылдамдығы олардың санына пропорционал болғандықтан, төмендегі теңдік орындалатындай k саны табылады:

Дифференциалдық теңдеудегі айнымалыларды бөлеміз:

Интегралдау арқылы мына теңдікті аламыз:

Потенциалдаудан кейін мына теңдік шығады:

С мәнін табу үшін бастапқы шартты қолданамыз: болғанда . Бұдан , яғни .

коэффициентін мына шарттан аламыз: болғанда . Бұдан

Ізделінді функция:

болғанда .

Жауабы. Бактериялар саны 9 сағатта 8 есе артады.

Заттың көбею жылдамдығы сол заттың санына пропорционалды болатын заң «табиғи өсу» заңы болады.

Уақытқа байланысты колониядағы микроағзалар санының өзгеру үдерісінің бұл математикалық моделі өте үлкен болжамдар (азықтың шексіз болуы, өмір сүруге қажетті аймақтың болуы, түраралық күрестің болмауы) негізінде алынды. Табиғи жағдайда бізге белгілі колониялардың бірінде де мұндай көбею болу мүмкін емес.

«Табиғи өсу» заңы шынайы үдеріске қаншалықты сай болатыны туралы сұрақтың жауабын тәжірибелік тексеру береді. Бұл модельді болжам жасауда пайдалануға болады.

1845 жылы Ферхюлст-Перл микроағзалардың түр ішіндегі күресін ескеретін теңдеу құрды. Түр ішіндегі азық пен көбею ортасы үшін бәсекелестік күрес нәтижесінде, сондай-ақ аурулардың нәтижесінде көбею жылдамдығы кемиді. Жалпы жағдайда көбеюдің кемуі х пен Δх функцияларынан шыққан жаңа функция болып табылады, оны деп белгілейік. Түрлердің арасындағы кездесулер көп болған сайын олардың саны бәкелестік нәтижесінде кеми түседі, яғни немесе -қа пропорционал болады. Осылайша,

Сонда

Мұндағы ε – популяция өсуінің өзіндік (туа біткен) жылдамдығы, δ – түр ішіндегі күрес коэффициенті. Соңғы теңдеудің екі жағын Δt бөліп және шекке көшіп, мына теңдікті аламыз:

Бұл – Ферхюлст-Перл теңдеуі. Математикалық түрлендірулер мен және болғандағы белгілеуін енгізгеннен кейін бұл теңдеудің шешуі мына түрде болады:

Есеп №2. Ағаштың шеңбер тәріздес жапырағының ауданы таңғы сағат 6-да 1600 см² болып, ал сол күннің сағат 18-де 2500 см² болса, онда осы жапырақтың ауданы мен уақыттың арасындағы байланысты табу керек.

Шешуі. Жапырақтың ауданы шеңбер тәрізді, яғни жапырақ шеңберінің ұзындығына пропорционал болады. Сонымен қатар жапырақ ауданының арту жылдамдығы оған түсетін күн сәулелерінің санына да пропорционалды.

А л күн сәулелерінің саны, өз кезегінде, жапырақтың ауданы және сәулелер бағыты мен жапырақ бетінің арасындағы бұрыштың косинусына пропорционал болады.

Күн сәулесінің бағыты мен жапырақ бетінің арасындағы бұрыш таңғы сағат 6-да және сағат 18-де 90°, ал түсте 0° деп алайық.

t – түнгі сағат 12-ден бастап саналған уақыт делік. Егер S – жапырақ ауданының айнымалысы болса, онда жапырақтың өсу жылдамдығы:

мұндағы 2πr – жапырақ шеңберінің ұзындығы, Q – күн сәулелерінің саны, k₁ – пропорционалдық коэффициенті.

Жапырақ ауданы , бұдан

Онда:

(1)

Шарт бойынша

(2)

мұндағы α – жапырақ беті мен сәулелер бағытының арасындағы бұрыш, k₂ – пропорционалдық коэффициенті.

α бұрышы – t аргументінің сызықты өсу функциясы:

k₃ және b параметрлерін қосымша шарттардан анықтаймыз:

болғанда ,

болғанда ,

болғанда .

Соңғы екі шарттардан мынаны аламыз:

Бұл жүйені шешіп, мынадай мәндерді аламыз:

Яғни,

(2) теңдеуге α мәнін қойып, мынадай теңдік аламыз:

(1) теңдеуден:

белгілеуін енгізіп, айнымалыларды бөлгеннен соң мынадай теңдік аламыз:

Интегралдаудан кейін:

(3)

Бастапқы шарттардан ( болғанда , болғанда ) мынадай жүйе шығады:

Бұл жүйені шешіп, төмендегідей мәндерді аламыз:

Бұл мәндерді (3) теңдеуге қойып, мынадай теңдік аламыз:

бұдан

(4)

Жауабы. Ағаштың дөңгелек тәріздес жапырақтың ауданы мен уақыттың байланысы (4) формуламен өрнектеледі.

Есеп №3. Ағаштың биіктігі мен оның өсуінің уақыты арасындағы тәуелділікті анықтау керек.

Шешуі. Кез келген жағдайда барлық ағаштар алдымен тез өсіп, кейіннен олардың өсуі мүлдем тоқтағанға дейін баяулайтыны белгілі.

Ағаштың өсуіне байланысты, бір жағынан фотосинтез арқылы энергия көп көлемде алынады, ал екінші жағынан қиындықтар көбейеді, мысалы, құнарлы заттарды тасымалдау қиындығы туады және сәйкесінше осындай тәрізді қажеттіліктерге энергияның көп жұмсалуы. Ақыр соңында мұндай қажеттіліктерді өтеуге энергия жетпей қалады да, ағаш өсуін тоқтатады.

Осы орайда энергетикалық баланстың теңдеуін, яғни математикалық моделін құруға көмектесетін негізгі болжамдарды тұжырымдауға болады.

1. Кемел өсімдік өсу барысында өзінің геометриялық пішінін сақтайды, яғни кемел өсімдіктің өсуіне байланысты геометриялық өлшемдердің қатынастары өзгермейді, мысалы, биіктігінің диаметрге қатынасы және т.б.

2. Бос энергияны (немесе белсенді зат) ағаш тек қана фотосинтез жолымен алады.

3. Бос энергия фотосинтезге, тірі ағзаларды құруға (өсу) және қажетті заттарды топырақтан алуға жұмсалады.

4. Орташа есеппен уақыттың көп бөлігінде өсімдік бетінің әрбір бірлігіне тұрақты жарық санын алып отырады және қажетті заттарды шексіз қордан ала алады.

Энергетикалық баланстың теңдеуін құрайық.

х – өсімдіктің сызықтық өлшемі болсын, сонда өсімдік биіктігі – х, жапырақтар беттерінің ауданы – х², өсімдіктің көлемі – х³ болады және х уақытқа қарай өзгеріп отырады: . Сонымен қатар болсын. Энергетикалық баланс теңдеуінің құрамына енетін шамалардың барлығын х арқылы өрнектеп көрейік.

Алдымен келіп түсетін бос энергияны Е өрнектеп алайық. Бұл энергия өсімдіктің жасыл бөлігінде фотосинтез арқылы құрылады және неғұрлым жасыл бөлігі көп болса, соғұрлым энергия да көп болады. Осылайша, Е х²-қа пропорционалды деп есептеуге болады:

мұндағы α – жапырақтың пішіні мен өлшеміне және фотосинтездің жылдамдығына тәуелді болатын пропорционалдық коэффициенті. Біздің болжамдарымызға сәйкес энергияның басқа көздері жоқ.

Енді энергияның жұмсалуын бақылайық. Ең алдымен, энергия фотосинтез үдерісінің өзіне жұмсалады. Бұл шығын да х²-қа пропорционалды болады, оны біз түрінде жаза аламыз, мұндағы – пропорционалдықтың белгілі бір коэффициенті.

Кейіннен энергия құнарлы заттарды өсімдіктің барлық бөліктеріне тасымалдау үшін қолданылады. Тасымалдау жолдары, яғни өсімдіктің көлемі неғұрлым үлкен болса, соғұрлым бұл шығын көп болатыны белгілі. Сонымен қатар бұл шығын ауырлық күшіне қарсы тұруға байланысты болады, яғни құнарлы заттарды неғұрлым биікке көтеру керек болса, соғұрлым энергия шығыны көп болады. Осылайша, бұл шығын х³-қа да, х-ке де пропорционалды болады, яғни -ке тең болады.

Ең соңында энергия өсімдіктің массасын арттыруға жұмсалады. Бұл шығын өсу жылдамдығына, яғни массаның уақытқа тәуелді туындысына тең болады (ρ – өсімдіктің орташа тығыздығы, х³ – көлем).

Энергияның сақталу заңына сәйкес энергия шығыны оның келуіне тең болады:

немесе

Бұл ізделінді баланстық қатынас болады.

Теңдеудің екі жағын да -қа бөлеміз және мынадай белгілеулер енгіземіз:

Сонда мынадай теңдік аламыз:

Дифференциалдық теңдеуді мына түрде жазайық:

Сонда

Ағаштың өсуіне байланысты болатыны байқалады.

Сонда, және сәйкесінше , яғни тікелей интегралдау әдісін қолдануға болады ( үшін мына теңсіздік орындалады: ).

Сонда

, яғни бастапқы шартын ескере отырып мына теңдікті аламыз:

Бұл теңдеуді х-ке қатысты шешу арқылы есептің шешімін аламыз:

(5)

Алынған (5) формула ағаштың өсу қисығын береді. Егер a, b және t₀ мәндері белгілі болса (бұл шамалар ағаштың түріне байланысты болады), онда ағаштың бұл түріне сәйкес орташа өсу мәнін есептеуге болады.

Жауабы. Ағаштың уақытқа байланысты өсуі (5) формуламен өрнектеледі.

(5) түрдегі қисықты зерттеу қиын емес. Екінші туындыны табайық:

(5) қисық – дөңес өсетін қисық, ал болғандықтан, қисықтың графигін елестету қиын емес.

2.5. Химияның есептерін шығару

Химиялық технологияның көптеген үдерістері дифференциалдық теңдеулер арқылы жазылады – кинетикалық зерттеулерден бастап, химиялық технологиялық үдерістерге дейін.

Бұл келесідей жағдайға байланысты. Химиялық реакциялар берілген заттардағы байланыстарды үзіп, реакция нәтижелерінде жаңа байланыстардың түзілуіне негізделеді. Сондай-ақ реакцияға дейінгі және кейінгі уақытта әрбір элементтегі атомдардың жалпы саны тұрақты болады. t уақыты ішіндегі тұрақты көлемі негізінде реакцияланатын заттардың біреуінің с концентрациясының өзгеруі химиялық реакцияның жылдамдығы деп аталады:

Бұл жағдайда реакцияға қатысушы заттардың қайсысы туралы сөз қозғалғаны маңызды емес: олардың барлығы реакция теңдеуімен байланыстырылады және бір заттың концентрациясының өзгеруінен басқаларының өзгеруі туралы мәлімет алуға болады.

Екінші жағынан төмендегі формула бойынша А және В заттар арасындағы химиялық реакция жүзеге асу үшін олардың молекулалары (бөліктері) соқтығысуы қажет:

Бұл соқтығусылар неғұрлым көп болса, соғұрлым реакция тез өтеді. Ал соқтығысулар саны көп болады егер реакцияланатын заттардың концентрациясы көп болса. Бұдан жалпылама экспериментальды материал негізінде әрекет ететін заттар заңы құрылды: химиялық реакциялар жылдамдығы реакцияға түскен заттардың концентрациясының көбейтіндісіне пропорционал болады. Бұл заң мына формуламен өрнектеледі:

мұндағы – Ai заттарының концентрациясы ; k – реакция жылдамдығының констансасы деп аталатын пропорционалдық коэффициенті.

Реакция жылдамдығының концентрациясына және оның туындысына тіуелді екені анықталды. Осы жұмыстың 1.1. пунктіне сәйкес мұндай тәуелділіктер дифференциалдық теңдеулермен байланысады.

Химияда реакцияларды көп жағдайда химиялық теңдеудің сол жағының құрамындағы молекулаларының жалпы саны бойынша бөледі және ол химиялық реакцияның реті деп аталады.

Осылайша, – бірінші ретті, ал – екінші ретті реакция болады.

Есеп №1. А заты В затына айналады. Егер реакция басталуынан кейінгі 1 сағаттан соң А затының қалдық массасы 44,8 г, ал 3 сағаттан кейін 11,2 г болса, онда А затының бастапқы санын және осы заттың жартысы қалатын уақытын анықтау керек.

Шешуі. Бұл жағдайда бірінші ретті реакция болады, . А затының бастапқы санын а деп, реакция басталғаннан кейінгі t уақыты ішінде реакцияланған заттың санын – х деп белгілейік, сонда дифференциалдық теңдеудің түрі мынадай болады:

Теңдеудегі айнымалыларды бөліп және кейіннен оны интегралдап мынадай теңдік аламыз:

болғанда болатыны белгілі, сондықтан:

(1)

Қосымша шарттарды қолдана отырып ( болғанда , болғанда ), төмендегі теңдіктерді аламыз:

немесе

Осы заттың жартысының бөліну уақытын табайық:

Дәл осындай нәтижені (г) екені белгілі болғаннан кейін де алуға болар еді, егер реакция басталғаннан кейінгі 1 сағаттан соң заттың қалған массасы (г) екенін (шарт бойынша) байқасақ.

Жауабы. А затының бастапқы массасы 86,9 г тең, осы заттың жартысы қалатын уақыт – 1 сағат.

Алынған нәтиже радиоактивті бөліну теориясымен жақсы қатынасады, онда мысалы, көп жағдайда бөлінуді k тұрақтысымен емес, атомдардың жартысының бөліну уақыты – жартылай бөліну периодымен сипаттайды. (1) теңдеу 1905 жылы фон Швейдлер ашқан табиғи радиоактивті бөліну кезіндегі бөлінбеген атомдар саны уақыт өтуіне байланысты экспоненциалды кемитін радиоактивтік бөліну заңына қайшы келмейді.

Есеп №2. Сірке қышқылы бар этилді эфирді натрий гидроксидімен араластыру реакциясында аталған заттардың бастапқы концентрациялары және . 23 минуттан соң сірке қышқылы бар этилді эфирдің концетрациясы 10%-ға кеміді. Бұл заттың концентрациясы неше минуттан кейін 15%-ға кемиді?

Шешуі.

СН3СООС2Н5	+	NaOH	→	СН3СООNa	+	С2Н5OH
Сірке қышқылы бар этилді эфир		Натрий гидроксиді		Натрий ацетаты		Этил спирті

Бұл жағдайда екінші ретті теңдеу болады, . Сірке қышқылы бар этилді эфирдің бастапқы санын а деп, натрий гидроксидінің бастапқы санын b деп, реакция басталғаннан кейінгі t уақыттан соң реакцияға түскен екі заттың санын х деп ( ) белгілейік, сонда дифференциалды теңдеу мына түрде болады:

Теңдеудегі айнымалыларды бөліп және оны интегралдаудан кейін мынадай теңдеу аламыз:

болғанда болатыны белгілі, сондықтан:

Пропорционалдық коэффициенті k қосымша шарттардан анықтаймыз: минут болғанда болады. Бұдан:

Ізделінді уақытты табайық.

Жауабы. Сірке қышқылы бар этилді эфирдің концентрациясы 15%-ға 47,9 минуттан кейін кемиді.

Бұдан да жоғары ретті реакциялар осыған ұқсас шығарылады.

Қорытынды

Жаратылыстанудың, техника мен механиканың, биологияның, медицианның және ғылымның басқа да салаларының көптеген есептерін зерттеу жұмысы осы есептердің көбісін шешу үдерістердің формула түріндегі, яғни функционалдық тәуелділік түріндегі математикалық моделін құруға негізделетінін көрсетті.

Осылайша, мысалы, радиотехникадағы кейбір үдерістер, химиялық реакциялардың кинетикасы, биологиялық популяциялардың динамикасы, ғарыш объектілерінің қозғалысы, экономикалық дамудың модельдері құрамында тәуелсіз айнымалылар мен осы айнымалылардың белгісіз функцияларынан басқа белгісіз функциялардың туындылары (немесе дифференциалдары) болатын теңдеулер арқылы зерттеледі.

Бұндай теңдеулер дифференциал теңдеулер деп аталады.

Міне, осыдан жаратылыстану ғылымдарындағы есептерді шешу үшін дифференциалдық теңдеулер мен олардың жүйелерін қолдану аясы өте кең болады.

Ұсынылған жұмыста:

• дифференциалдық теңдеулер мен жүйелерінің теориялық негіздері көрсетілді;

• физика, геометрия, биология және химия ғылымдарының есептерін дифференциалдық теңдеулер мен жүйелері арқылы шешудің тәсілдері қарастырылды.

Жұмыс барысында шынайы өмірдегі объектілерді модельдеудің негіздерін толықтай зерттеу қажеттігі туды.

Математикалық модельдеу әдісінің практикалық құндылығы мынада:

• дұрыс құрылған және жан-жақты қолданылған математикалық модель шынайы өмірдегі объектіні зерттеу жұмысын оңтайландырады;

• математикалық модель шынайы өмірде өткізілетін эксперименттердің жүру барысы мен нәтижелерін болжауды жеңілдетеді.

Пайдаланылған әдебиеттер.

1. Баврин И. И. Высшая математика: Учебное пособие для студентов хим.-биол. фак. пед. ин-тов. - М.: Просвещение, 1980.

2. Виленкин Н. Я. и др. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие для студентов-заочников IV курса физ.-мат. фак. - М.: Просвещение, 1984.

3. Владимиров Ю. А. и др. Биофизика: Учебник. - М.: Медицина, 1983.

4. Глинка Н. Л. Общая химия: Учебное пособие для вузов. - М.: Химия, 1985.

5. Зайцев И. А. Высшая математика: учебник для неинж. спец. с.-х. вузов. - М.: высшая школа, 1991.

6. Лапчик М. П. Вычисления. Алгоритмизация. Программирование: Пособие для учителя. - М.: Просвещение, 1988.

7. Маковецкий П. В. Смотри в корень!: Сборник любопытных задач и вопросов. - М.: Наука, 1979.

8. Роджерс Эрик Физика для любознательных, том 3. - М. "Мир", 1973.

9. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 1989.

10. Справочник машиностроителя, том 1. - М.: МАШГИЗ, 1956.

11. Хомченко Г. П. Химия для поступающих в вузы: Учебное пособие. - М.: Высшая школа, 1993.

12. Шипачев В. С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 2001.

13. Штейнгауз Гуго Задачи и размышления. - М.: "Мир", 1972.