Доклад на тему: «Число π в современной математике»

Г. Шымкент Енбекшинский район

Общеобразовательная средняя школа №104 им Е.Юсупова

Доклад на научно-практическую конференцию «Число π»

для учащихся 8 – 10-х классов

Конкурсная работа

«Число π в современной математике»

Авторы: Сулайманкулов Шерзод, 10 класс

Пернибекова Дина, 10 класс

Наставник: Эргашова О.В.

учитель математики осш №104 им Е.Юсупова

2021 г.

Аннотация

Понятие числа служит исходным для многих основных математических теорий. Число позволяет выразить результаты счета или измерения. Учащиеся постепенно знакомятся со всеми числами, в том числе с натуральными, дробными, десятичными, отрицательными, рациональными и иррациональными. Среди этого большого количества есть особое число, точными вычислениями которого занимаются ученые уже много веков. Это число π.

Цель данной работы: выяснить, какие существуют современные методы вычисления числа π, в каких науках применяется это число и как используется в современной математике.

Учащимися было изучено много литературы. Они узнали, как появилось число π, проследили историю развития знаний о нём. В процессе изучения ребята встретились с интересными фактами, связанными с числом π, и особое внимание обратили на применении этого числа в современной математике.

Оглавление:

Введение

Основная часть:

Число π в эпоху цифровой техники

Применение числа π

Споры математиков

Заключение

Список литературы и источников информации

Введение

Обычно наши знания о числе π заканчиваются на этом: 3,14159. Не все даже помнят, что это число показывает отношение длины окружности к её диаметру.π — иррациональное число, то есть его можно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, что делает его одним из самых загадочных чисел, известных человеку.

В современной математике число π – это не только отношение длины окружности к диаметру, оно входит в большое число различных формул, в том числе и в формулы неевклидовой геометрии. Входит оно и в формулу Л.Эйлера, которая устанавливает связь числа “π” и числа “е”. Эта и другие взаимосвязи позволили математикам ещё глубже выяснить природу числа π.

Число π в эпоху цифровой техники

Эпоха цифровой техники в XX веке привела к увеличению скорости появления вычислительных рекордов. Джон фон Нейман и другие использовали в 1949 году ЭНИАК для вычисления 2037 цифр  , которое заняло 70 часов. Ещё одна тысяча цифр была получена в последующие десятилетия, а отметка в миллион была пройдена в 1973 году. (Десяти знаков числа     вполне достаточно для всех практических целей).

В начале XX века индийский математик Сриниваса Рамануджан обнаружил множество новых формул для  , некоторые из которых стали знаменитыми из-за своей элегантности и математической глубины. Одна из этих формул — это ряд:

.

Братьями Чудновскими в 1987 году найдена похожая на неё:

,

Чудновские использовали эту формулу для того, чтобы установить несколько рекордов в вычислении   в конце 1980-х, включая то, в результате которого в 1989 году было получено 1 011 196 691 цифр десятичного разложения. Эта формула используется в программах, вычисляющих   на персональных компьютерах, в отличие от суперкомпьютеров, которые устанавливают современные рекорды.

В 1975 году Ричард Брент и Юджин Саламин независимо друг от друга открыли алгоритм Брента — Саламина, который, используя лишь арифметику, на каждом шагу удваивает количество известных знаков. Алгоритм состоит из установки начальных значений

и итераций:

,

пока a_n и b_n не станут достаточно близки. Тогда оценка   даётся формулой

Похожий алгоритм, увеличивающий на каждом шаге точность в четыре раза, был найден Джонатаном Боруэйном и Питером Боруэйном. При помощи этих методов Ясумаса Канада и его группа, начиная с 1980 года, установили большинство рекордов вычисления   вплоть до 206 158 430 000 знаков в 1999 году. В 2002 году Канада и его группа установили новый рекорд — 1 241 100 000 000 десятичных знаков. Хотя большинство предыдущих рекордов Канады были установлены при помощи алгоритма Брента — Саламина, вычисление 2002 года использовало две формулы типа мэчиновских, которые работали медленнее, но радикально снижали использование памяти. Вычисление было выполнено на суперкомпьютере Hitachi из 64 узлов с 1 терабайтом оперативной памяти, способном выполнять 2 триллиона операций в секунду.

Важным развитием недавнего времени стала формула Бэйли — Боруэйна — Плаффа, открытая в 1997 году Саймоном Плаффом  и названная по авторам статьи, в которой она впервые была опубликована. Эта формула,

примечательна тем, что она позволяет извлечь любую конкретную шестнадцатеричную или двоичную цифру числа   без вычисления предыдущих. С 1998 до 2000 года распределённый проект PiHex использовал видоизменённую формулу ББП Фабриса Беллара для вычисления квадриллионного бита числа  , который оказался нулём.

В 2006 году Саймон Плафф, используя PSLQ, нашёл ряд красивых формул. Пусть q = e^π, тогда

и другие вида

,

где q = e^π, k — нечётное число, и a, b, c — рациональные числа. Если k — вида 4m + 3, то эта формула имеет особенно простой вид:

для рационального p, у которого знаменатель — число, хорошо разложимое на множители, хотя строгое доказательство ещё не предоставлено.

В августе 2009 года учёные из японского университета Цукубы рассчитали последовательность из 2 576 980 377 524 десятичных разрядов.

31 декабря 2009 года французский программист Фабрис Беллар на персональном компьютере рассчитал последовательность из 2 699 999 990 000 десятичных разрядов.

2 августа 2010 года американский студент Александр Йи и японский исследователь Сигэру Кондо рассчитали последовательность с точностью в 5 триллионов цифр после запятой.

19 октября 2011 года Александр Йи и Сигэру Кондо рассчитали последовательность с точностью в 10 триллионов цифр после запятой.

Голландский математик Брауэр в первой половине XX века привёл в качестве примера бессмысленной задачи поиск в десятичном разложении   последовательности   — по его мнению, нужная для этого точность никогда не будет достигнута. В конце XX века эта последовательность была обнаружена, она начинается с 17 387 594 880-го знака после запятой.

Применение числа π

  Величина π сейчас используется в самых различных областях современной науки. Это не только отношение длины окружности к ее диаметру, неевклидова геометрия не обходится без π. Эйлер вывел формулу, описывающую связь между π и e: 

e^i*π + 1 = 0. 

      С применением числа π можно вычислить любую другую константу, например, постоянную тонкой структуры, постоянную золотой пропорции.

Число π применяется в различных науках:

• Алгебра: π - иррациональное и трансцендентное число.

• Тригонометрия: радианная мера измерения углов.

• Планиметрия: длина окружности и её дуги; площадь круга и его частей.

• Стереометрия: объем шара и частей; объем цилиндра, конуса и усеченного конуса; площадь поверхности цилиндра, конуса и сферы.

• Физика: теория относительности; квантовая механика; ядерная физика.

• Теория вероятностей: формула Стирлинга для вычисления факториала.

Кроме этого, число π можно встретить в астрономии, космонавтике, архитектуре, навигации, электронике.

Число Пи одна из фундаментальных математических констант. Оно встречается во многих уравнениях различных направлений науки: 

• в уравнении гравитационного поля Эйнштейна 

• в уравнении нормального распределения Гаусса

• в уравнениях, связанных с образованием радуги; 

• в уравнениях описывающих распространение зыби при падении дождевой капли в воду; 

• в уравнении движения маятника;

• во многих геометрических задачах;

• в задачах связанных с волнами; 

• в задачах навигации и т.д.

В силу своей универсальности Пи используется в вычислениях для микро и макрокосмоса и входит, как и в формулы, описывающие движение комет, астероидов, космических кораблей и других небесных тел в астрономии, так и в формулы для вычислений электронных орбит в квантовой физике и квантовой химии.

Ученые выяснили, что в расшифрованном ДНК человека число π определяет структуру макромолекулы. Это произвело фурор. Руководитель исследования, доктор Чарльз Кантор, отметил: «Это феноменально, число π встречается повсюду, и при этом является неизменной величиной». 

Споры математиков

Люди, далекие от математики, скорее всего не знают, но так сложилось, что число Пи имеет брата, который больше его в два раза. Это число Тау(τ) , и, если Пи — это отношение длины окружности к диаметру, то Тау — это отношение этой длины к радиусу. "Тау", по мысли математиков-новаторов, должна прийти на смену "пи" и быть ровно вдвое больше привычной нам постоянной - 6,28.

И на сегодняшний день есть предложения некоторых математиков отказаться от числа Пи и заменить его на Тау, так как это во многом более удобно. По словам сторонников введения новой постоянной, при решении большинства математических задач "тау" имеет больше смысла, чем "пи", и может несколько упростить расчеты.

Однако с ними согласны далеко не все любители математики, а давняя традиция использования буквы "пи" дает основания полагать, что сбросить ее с математического пьедестала будет непросто.

И, как говорил Лев Давидович Ландау: «Новая теория начинает господствовать тогда, когда вымрут сторонники старой».

Заключение

С давних времен загадка этого числа не давала покоя многим ученым, особенно математикам - именно в этой области многие разделы науки не могут обойтись без законов этого таинственного числа.

Точное значение числа π в современном мире представляет собой не только собственную научную ценность, но и используется для очень точных вычислений (например, орбиты спутника, строительства гигантских мостов), а также оценки быстродействия и мощности современных компьютеров.

В настоящее время с числом π связано труднообозримое множество формул, математических и физических фактов. Их количество продолжает стремительно расти. Всё это говорит о возрастающем интересе к важнейшей математической константе, изучение которой насчитывает уже более двадцати двух веков.

Возможности, которые дает математикам число π, безграничны. В перспективе это бесконечное число может содержать всю информацию, находящуюся во Вселенной. Изучение числа π продолжается учеными до сих пор. 

Список литературы:

1. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. Перевод с немецкого и дополнения И.Б. Погребысского - М.: «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 2012г.

2. Глейзер. Г.И. История математики в средней школе / Г.И. Глейзер. – М.: Просвещение, 2011г.

3. Математика в школе, журнал, 2010 г.

4. Мантуров О.В. Толковый словарь математических терминов: Пособие для учителей / О.В. Мантуров, Ю.К. Солнцев, Ю.И. Соркин, Н.Г. Федин. – М.: Просвещение, 2013г.

Интернет ресурсы:

http:// crow.academy.ru/ materials_/pi/history.htm

http://hab/kp.ru// daily/24123/344634/

http://ru.wikipedia.org/

http://shkolazhizni.ru/archive/0/n-14621/

http://dic.academic.ru

http://www.bestreferat.ru/referat

http://statistic.su/blog/pi/2010-09-24-49