Екі өрнектің квадраттары айырымының формулалары

Пирамида

Пирамида деп бір жағы кез келген көпбұрыш, ал қалған п жағы төбелері ортақ үшбұрыштардан тұратын көпжақты атайды.

S A-бүйір қыры, SO-биіктігі, SM-бүйір жағының биіктігі( апофемасы)

V- көлемі

S_т.б-толық бетінің ауданы

S_таб-табанының ауданы

S_б.б-бүйір бетінің ауданы

Кез келген пирамида үшін: V= S_таб H

S_т.б= S_б.б+ S_таб

Дұрыс пирамида үшін: S_б.б= PA

P-пирамида табанындағы көпбұрыштың периметрі

А-апофемасы

Қиық пирамида деп пирамиданың табаны мен табан жазықтығына параллель қима жазықтық арасындағы бөлігі аталады.

Р₁, Р₂-табандарының периметрі

S_1, S₂-табандарының аудандары

V= H(S₁+S₂+ )

S _б.б= (P₁+P₂) A

№1

Егер берілген нүктеден барлық қабырғаларына дейін 3 см, ал үшбұрыш қабырғасы 2 см тең болса, берілген нүктеден дұрыс үшбұрыш жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.

SH=3 см

AB= 2 см

SO=?

Шешуі: OH – дұрыс үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы.

r= ;

OH=

SO²=SH²-OH²

SO= =2

Жауабы:2 см

№2. Пирамиданың табанына параллель жазықтық пирамида биіктігін 3:2 қатынасқа бөледі. Жазықтық пирамиданың көлемін қандай бөлікке бөледі?

ИО=3x, ОН=2x

S_КМР=S₁; S_ABC= S₂

S₁=9y; S₂= 25y

V_ИКМР= ИО* S₁= *3x*9у=9 ху

V_{қиық пир}= ОИ (S₁+S₂+ )= *2x (9y+25y+ )= *98 xy

= =

№3 Төртбұрышты дұрыс пирамиданың биіктігі 2 см –ге тең, ал табанының қабырғасы 4 см. Бүйір қырының ұзындығын тап.

SH=2, AB= 4. SA= ?

АC=

A H=2

SA= =

Жауабы: см.

№4.

Төртбұрышты дұрыс пирамиданың биіктігі 9 см-ге тең, ал бүйір қыры 12 см болса, көлемі неге тең?

S H=9 см , SA= 12 см , V=?

НС= =3

AC=6

AB²+BC²=252

S=AB²= 126

V= S H

V= *126 *9=378см³Жауабы:378см³

№5

Дұрыс төртбұрышты пирамиданың биіктігі 80 см, табан қабырғасы 120 см. Табанының центірінен өтетін бүйір жағына параллель қимасының ауданын табыңыз.

SH=80 cм,

AB=120 cм

S_KFNM-?

AC=

AH=60

SA= =20

КМ=SA:2=20 :2=10

MN=BC=120

MO=(MN-KF):2=(120-60):2=30

KO= =50

S_KFNM= 4500cм²

№6. Төртбұрышты дұрыс пирамиданың табан қабырғасы 20 см, бүйір қырының екі жақты бұрышы 120⁰. Пирамиданың бүйір бетінің ауданын табыңыз.

<AFC=120⁰

AC²=AB²+BC²

1) ABC

AC= =20

2) AFC

FC=(20 . ): =20

3) FBC

BF= =

SC²=SF²+FC²

SC=x,

SF= x-

X²=( x- )²+(20 )²

X²=X²-2X +( )²+

X=

X=10

SC=10

SK²=SC²-KC²=(10 )²-10²=200

SK=10

S_б.б= P_ABCDSK= *80* 10 = 400

№7

Үшбұрыш пирамиданың бүйір қырлары өзара перпендикуляр және 4 см, 5см, 6 см тең. Көлемі неге тең?

SB-биіктік,

AB=4 cм , BC= 5 cм, SB=6 cм

S_ABC= AB*BC= *4*5=10

V= S_ABC.SB= *10*6=20 cм³

№ 8 Пирамиданың табаны – бүйір қабырғасы 10 см, табаны 12 см болатын тең бүйірлі үшбұрыш. Бүйір жақтары табан жазықтығымен 60⁰-қа тең екі жақты бұрыш жасайды. Пирамиданың биіктігін табыңыз.

ABC-тең бүйірлі,AC=CB=10 cм, AB=12 cм.

<SKO=60⁰, SO-?

S=r p

KO=r=S:p

p=(10+10+12):2=16

S= =48

=tg60⁰

r=КО=48:16=3

SO=3 cм

№9 Табанының қабырғасы 9 см және биіктігі 10 см болатын үшбұрышты дұрыс пирамидаға сырттай шар сызылған. Шардың радиусын табыңыз.

A H= r- ABC-ға сыртай сызылған шеңбердің радиусы

AO=R -пирамидаға сырттай сызылған шардың радиусы.

SH-пирамиданың биіктігі.

R=

AS= = =

AS=L

L²=2RH

R= =6,35

№10 Пирамиданың табаны –ромб, оның сүйір бұрышы 60⁰,қабырғасы 14 см. Пирамида табанындағы екі жақты бұрыштары 45⁰-тан. Пирамиданың көлемі неге тең?

ABCD-ромб, <A=60⁰ <SKO=45⁰, V-?

S _ромб=a²sin 60⁰=14² * =98

AHD

DH = sin60⁰

AD

DH=14 * =7

OK=DH:2=

SO=OK

SOK, <O=90⁰.

<K=<S=45⁰

V= S_ромб SO= *98 * =343 cм ²

№11 Бүйір қыры 3см-ге, ал табанының қабырғасы 4 см-ге тең төртбұрышты дұрыс пирамиданың көлемін табыңыз.

S A=3 cм, AB=4 cм, V-?

AC= =4

HC=AC:2=4 :2=2

SH= =1

V= AB² SH= *16*1=5 cм³

№12 Дұрыс төртбұрышты пирамиданың бүйір қыры 5 см, ал биіктігі 4 см. Пирамиданың көлемі неге тең?

SA=5 cм, SH=4 cм.

V -?

HC= =3

AC=2HC=6

AB²