Элементар математиканың негізгі формулалары

Қазақстан Республикасы

ЭЛЕМЕНТАР
МАТЕМАТИКАНЫҢ
НЕГІЗГІ
ФОРМУЛАЛАРЫ

ENTGLOBUS
группа ENTGLOBUS.KZ

1

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ

MA3MҰHЫ
I. Арифметика.

Алгебра

Беті

Сандар туралы
мәліметтер….................................................................................................. 6
Сандардың бөлінгіштік қасиеттepi ............ ...............................................6
Соңғы санды табу........................................................... ...............................7
EYOЕ және ЕКОЕ.......................................................... ................................8
Бөлгіштер саны............................................................ ..................................8
Белшектер................................... ....................................................................8
Пропорциялар........................... .....................................................................9
Орта мән....................................... ................................................................10
Проценттер................................................................. ..................................10
Қыскаша көбейту формулалары................................. ...............................10
Дәреженің, модулдің, түбірдің қасиеттері............... .................................11
Арифметикалық прогрессия.................................... ...................................12
Геометриялық прогрессия................................... .......................................12
Keiйбip қосындылар.............................................. ......................................13
Логарифмдер....................................................... .........................................13
II. Теңдеулер және теңсіздіктер
Сызықты тендеулер.................................................... .................................14
Квадраттық теңдеулер........................................ .........................................14
Квадраттық теңсіздер............................................ ......................................15
Биквадрат тендеулер............................................... ....................................15
Модулмен берілген тендеулер............................... ....................................15
Модулмен берілген теңсіздіктер.................................................................16
Иррациональ тендеулер............................................. .................................16
Иррациональ теңсізздіктер......................................... ................................17
Керсеткіштік тендеулер мен теңсіздіктер............. ...................................17
Логарифмдік тендеулер мен теңсіздіктер............... ..................................17

группа ENTGLOBUS.KZ

2

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ

III. Функция. Туынды, Интеграл.
Квадраттық функция................. ..................................................................18
Көрсеткіштік функция.................................................................................18
Логарифмдік функция..................................................................................19
Кейбір функциялардың аныкталу облысы.................................................19
Kей6ip функциялардын мәндер облысы....................................................20
Жұптығы және тақтығы...............................................................................20
Периодтылығы..............................................................................................21
Kepi тригонометриялык функциялар..........................................................21
Туынды..........................................................................................................21
Жанама теңдеуі.............................................................................................21
Функциялардың ең үлкен және ең кiші мәндерін.....................................22
Интеграл........................................................................................................22
IV. Тригонометрия
Негізгі тригонометриялық функциялар......................................................24
Heгізri тригонометриялык теңдіктер..........................................................24
Тригонометриялық функциялардың бipiн eкіншici арқылы өрнектеу........
формулалары.................................................................................................24
Қосу формулалары.......................................................................................24
Қос бұрыштық формулалары......................................................................25
Жарты бұрыш формулалары.......................................................................25
Дәрежені төмендету формулалары.............................................................25
Көбейтіндіні қосындыға келтіру.................................................................26
Қосындыны көбейтіндіге келтіру...............................................................26
Келтіру формулалар.....................................................................................27
Kepi тригонометриялық функциялар.........................................................27
Тригонометриялық теңдеулер. Дербес жағдайы.......................................28
Тригонометриялык теңсіздіктер.................................................................29
V. Планиметрия
Бұрыштар....................................................................... ...............................30
Үшбұрыш. Биіктік, медиана, биссектриса................ ................................30
Іштей және сырттай сызылған шенбер.......................................................32
Үшбұрыштың ауданы..................................................................................32
Синустар, косинустар теоремасы................................................................33
Дербес жағдайлары.......................................................................................33
группа ENTGLOBUS.KZ

3

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ

Трапеция, параллелограмм, ромб...............................................................35
Іштей және сырттай сызылған шеңбер.......................................................36
Көпбұрыштар................................................................................................37
Дұрыс көпбұрыштар. Дербес жағдайы.......................................................37
Шеңбердегі бұрыштар..................................................................................38
Доға, сектор, сегмент, денгелек..................................................................39
Түзу. Шеңбер................................................................................................39
Векторлар......................................................................................................40
VI. Стереометрия
Көпжактар (призма, пирамида,дербес жағдайы).......................................41
Цилиндр.........................................................................................................44
Конус..............................................................................................................44
Қиык конус....................................................................................................45
Шар (сегмент, сектор)..................................................................................45
VII. Кестелер
Тригонометриялық функциялардың кейбір кестелік мәндері.................46
Алғашкы функциялар кестесі.....................................................................47
Элементар функциялардың туындылары..................................................47
Дұрыс көпжақтардың элементтері.............................................................48

группа ENTGLOBUS.KZ

4

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ

1. Арифметика.

Алгебра.

Сандар турлы мәліметтер
1) Натурал сандар: N  1,2,3,4,...,0  N ; 1 N
2) Бүтін сандар: Z  ...,100,...,3,2,1,0,1,2,3,...,100,...
3) Рационалсандар: Q   m : m  Z , n  N 
n



Санның бөлінгіштік қасиеттері












2 ге: 0,2,4,6,8 сандардың бірінде аяқталады.
3 ке: сандардың қосындысы 3 ке бөлінсе.
4 ке: соңғы екі сан 0 балса, немесе 4 ке бөлінсе.
5 ке: соңғы сан 0 немесе 5 болса.
6 ға: 2 мен 3 ке бөлінгіштік қасиеттері бір уақытта
ескеріледі.
8 ге: соңғы үш сан нөл болса, немесе 8 ге бөлінсе
9 ға: сандар қосындысы 9 ға бөлінсе.
10 ға: соңғы сан 0 болса.
11 ге: тақ орындардағы сандар қосындысы мен жұп
орындардағы сандар қосындысының айырмасы 0 болса,
немесе 11 ге бөлінсе.
Мысалы. 9873424 (9  7  4  4)  (8  3  2)  11
25 ке: соңғы екі сан 0 болса немесе 25 ке бөлінсе.
Ескерту: Қалған сандардың бөлінгіштік қасиеттері
олардың бөлінгіштік қасиеттері анықталған “өзара жай”
сандарға жіктеу арқылы табылады. Мысалы. 12  3  4  2  6.
Демек бір уақытта 3-ке және 4-ке бөлінгіштік қасиеттері
ескеріледі.

группа ENTGLOBUS.KZ

5

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ

Соңғы санды табу.
 2 нің :1- ші жәрежесі «2» мен 2-ші дәрежесі «4» пен, 3ші дәрежесі «8» бен, 4-ші дәрежесі «6» мен аяқталады.
2 нің кез келген 4 ке еселік дәрежесі «6» мен аяталады.
Мысалы. 22002  245002  24500  22  ...6  ...4  ...4.
 3 тің: 1-ші дәрежесі «3» пен, 2-ші дәрежесі «9» бен, 3-ші
дәрежесі «7» мен, 4-ші дәрежесі «1» мен аяқталады.
3 тің кез келген 4 ке еселі жәрежесі «1» мен аяқталады.
Мысалы: 31998 нің соңғы санын табу.
31998  344992  34499  32  ...1 ...9  ...9.

 4 тің: кез – келген жұп дәрежесі «6» мен, кез келген тақ
дәрежесі «4» мен аяқталады.
Мысалы. 4 2002 нің соңғы саны -6, 4 2003 нің соңғы саны -4.
 5 тің кез келген дәрежесі «5» пен аяқталады.
 6 ның кез келген дәрежесі «6» мен аяқталады.
 7 нің: 1-ші дәрежесі «7» мен, 2-ші дәрежесі «9» бен, 3- ші
дәрежесі «3» пен, 4-ші дәрежесі «1» мен аяқталады.
7 нің кез-келген 4 ке еселі дәрежесі «1» мен аяқталады.
Мысалы. 7 2003 нің соңғы санын табу.
72003  745003  74500  73  ...1  ...3  ...3.

 8 дің: 1-ші дәрежесі «1» мен, 2- ші дәрежесі «4» пен, 3-ші
дәрежесі «2» мен, 4- ші дәрежесі «6» мен аяқталады.
8 дің кез келген 4 ке еселі дәрежесі «6» мен аяқталаады.
Мысал 81998 нің соңғы санын табу. 81996  84499  ...6
 9 дың кез келген жұп дәрежесі «1» мен , кез келген тақ
дәрежесі 9 бен аяқталады.
Мысал. 9 2002 нің соңғы саны -1, 9 2003 нің соңғы саны -9.

группа ENTGLOBUS.KZ

6

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ

ЕҮОБ және ЕКОЕ
 Бірнеше сандардың ортақ бөлгіші деп, сол сандардың
әрқайсысы бөлінетін санға айтады.
Осындай сандардың ең үлкені ЕҮОБ деп аталады.
Мысалы. 270,300,315 сандарының ЕҮОБ – ін тап.
270  2  33  5 ,

300  22  3  52

ЕҮОБ 270,300, 315  3  5  15
 Егер бірнеше сандардың ЕҮОБ-і 1 – ге тең болса, онда олар
өзара жай сандар деп аталады.
 Бірнеше сандардың отақ еселігі деп, сол сандардың
әрқайсысына бөлінетін санды айтады.
Осындай сандардың ең кішісі ЕКОЕ деп аталады.
Мысал. 270,300, 315 сандарының ЕКОЕ – ін тап.
315  32  5  7,

270  2  33  5

300  22  3  52

315  32  5  7

ЕКОЕ 270,300,315  22  33  52  7  18900

Бөлгіш сандар
Бөлгіштер санын анықтау үшін
 Берілген а сан жай көбейткіштерге жіктеледі, яғни

a  a1n1  a2n2  a3n3  ....  aknk

 d  (n1  1)  n2  1  ...  (nk  1) өрнектің мәні табылады, мұнда
d- бөлгіштер санын білдіреді.
Мысал: 540-тың бөлгіштер санын анықтау.

540  22  33  51  d  (2  1)  (3  1)  (1  1)  3  4  2  24
 Қалдықты бөлу

Бөлшектер.

а    q  r, 0  r  p 

группа ENTGLOBUS.KZ

7

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ

Мұндағы а-бөлінгіш, р-бөлгіш, q-қалдық, r-бөлінді
 Бөлшектерді қосу және азайту.
Бөлімдері бірдей болғанда а  c  a  c
Бөлімдері әртүрлі болған

d b
b
а c ad  bc
 
b d
bd

Бөлшектерді көбейту және бөлу
а c ac
 
b d bd

a c a d ad
:   
b d b c bc

Оң бөлшектерді салыстыру
 Егер бөлшектерді алымы бір-біріне тең болса, бөлімі кіші
болған бөлшек үлкен болады.
 Егер бөлшектердің бөлімі бір-біріне тең болса, онда алымы
үлкен болған бөлшек болады.
a
және с . бөлшектерді салыстыру
b

d

Егер

ad  bc

болса, онда

Егер

ad  bc

болса, онда

a c

b d
a c

b d

.
.

Периодты бөлшектер, оларды жәй бөлшектерге
айналдыру
b1...bk c1...cn  b1...bk
99...900...0
Мысалдар: 0, (3) ; 1, (21) ; 15,12 (06),...
a, b1...bk c1...cn   a

Формуласы:
2, (124)  2

124
999

2,020(35)  2

02035  020
2015
2
99000
99000

Пропорция. Сандардың пропорционал бөлшектері
1)

a:b  c:d

немесе

a d

b c

Мұндағы: b, c  орта, a, d  шеткі мүшелері
Негізгі қасиеті: a  d  b  c
группа ENTGLOBUS.KZ

8

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ

2) a саны m : n ге тура пропорционал бөліктерге бөлу:
a
a
 m;
n
mn
mn

3) a саныны m : n ге тура пропорционал бөліктерге бөлу:
a

1
;
1 1 m

m n


a

1
1 1 n

m n


Орта мән
Егер

x1 , x 2 ,..., x n  белгілі

сандар болса, онда бұл сандардың;

1) Арифметикалық ортасы: A 

x1  x 2  ...  x n
n

;

2) Геометриялық (пропорционалды) ортасы:
G  n x1  x 2  ...  x n ;
Проценттер


a санының p процентін табу
a – 100%
x-p%

 x

a p
100

p проценті а ға тең х санды табу:
a  p%
a  100
x
x  100%
p

 a мен b сандарының процент қатынасын табу:
a
100%
b

Қысқаша көбейту формуласы
1. a  b

2

 a 2  2ab  b 2

группа ENTGLOBUS.KZ

9

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ

2. a  b  a  2ab  b
3. a  b  a  ba  b
4. a  b  a  3a b  3ab  b
5. a  b  a  3a b  3ab  b
6. a  b  a  ba  ab  b 
3
3
2
2
7. a  b   a  b  a  ab  b
2

2

2

2

2

3

3

3

2

2

3

3

3

2

2

2

3

2

2





8. a  b  a  ba  ba  b 
9. a  b  c  a  b  c  2ab  2ac  2bc
2
2
2
10.  a  c  b 2  a  b  c  2ab  2ac  2bc
4

4

2

2

2

2

2

2

Дәреженің қасиеттері
1. a n  a m  a nm
3. a  b  a n  b n
n

5. a



n m

a
7.  
b

n

 a n m

b
 
a

n

2. a n : a m  a nm
n

an
a
4.  b   b n
 
1
n
6. a  n
а

8. a 0  1 ; a 1  a
Модулдің қасиеттері

a, если a  0
a


1.
a, если а  0

2.

3. a  b  a  b

a a
4. b  b , b  0

5. a  b  a  b

a 0

a2  a  a2
2

6. a  b  a  b
Түбірдің қасиеттері

a  0; b  0; т  N : p  N
n

a  0. a  0
1. a   n n

 a a
n

 

группа ENTGLOBUS.KZ

2.

n

10

 a .n  2k .k  N
an  
a.n  2k  1
VK.COM/ENTGLOBUS_KZ

a na
n
4. b  n
b

n
n
n
3. ab  a b
nm m n
n
m
5. a b  a b

n

7. a

Np

np

 an a p

8.

p

11. 



14.

3

m n

a  mn a

10.  a  
n

m

p

n

a mp

2

a  b  a  2 ab  b, a, b  0

12. a  b 
13.



an  a

np
m n
6. a  a

mnp np p
n
9. a b c  a b c
m

m

n
m





a b





a  b , a, b  0

3

a  3 b  a  33 a 2  3 b  33 a  3 b2  b
a  b, ег ер a  b 
a 2  2ab  b 2  a  b  

b  a, ег ер a  b 

Арфметикалық прогрессия
 Айнымалы: d  ak  l  ak
 n  ші мүшесін табу: an  an 1  d  an  a1  n  1d
an  k  an  k
a

a

n
 Ортаңғы мүшесін табу: ОРТ
2
 an  am  ak  al , m  n  k  l
 Алғашқы n мүшелерінің қосындысы:
 Sn 

a1  an
2a  n  1d
n  1
 n  Sn  aорт  n
2
2
Геометиялық прогрессия

bn 1
n 1
q

b

b

q
n

 Бөлімі:
мүшесі: n
1
bn ;

 Ортаңғы мүшесі табу: bî ðò  bn  bn1  bn1
группа ENTGLOBUS.KZ

11

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ

 bn  bm  bk  bl , m  n  k  l
 Алғашқы n мүшелерінің қосындысы:







bn q  b b1 q n  1 b1 1  q n
Sn 


q 1
q 1
1 q



 Шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның
b

қосындысы: S  1 1 q . q  1.
Кейбір қосындылар
1. 1  2  3  ...  n 

nn  1
;
2

2. 1  2  5  ...  2n  1  n ;
2

3. 2  4  6  ...  2n  nn  1 ; 4. 1  3  2  3  ...  n  n  1  n  1 ;
1

1

1

1

1

1

n

n

5. 1  3  2  3  ...  2n  1  2n  1  2n  1 ;
11

1

1 

Ескерту: nn  k   k  n  n  k 


Логарифмдер
x  loga N .a

0.a  1.N

log a 1  0
log a a  1
N
log a 1  log a N1  log a N 2
N2

0

log a  N1  N2   log a N1  log a N2

log a 

log c b
log c a

a

logb c

c

logb a

a

n

log a x  n  log n x

группа ENTGLOBUS.KZ

log

12

log a x

m

a

n

x

x 

log a b  logb a  1

m
 log a x
n

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ

log10 x  lg x 

ондық

loge x  ln x  натурал

логарифм

логарифим

II.Теңдеулер және теңсіздіктер
 Жапы көрінісі:


Сызықтық теңдеулер
ax  b  0

b
a  0..b  R  x    бірінші
a

шешім;

 a  0.b  0  х   -шешім жоқ;
 a  0, b  0  x  R -шексіз көп шешім.

Квадраттық теңдеулер
2
 Жалпы көрінісі: ах  bx  c  0, a  0
 D  b 2  4ac  0 - екі түбірі бар.
 D  b 2  4ac  0 - бір ғана түбірі бар.

 D  b  4ac  0 - нақты түбірі жоқ.
2
 Көбейткіштерге жіктеу: ax  bx  c  a( x  x1 )( x  x2 ) .
 Толық квадратқа жіктеу:
2

b  b 2  4ac

ax  bx  c  a x   
2a 
4a

2

2

 Түбірлерді табуформуласы: x1, 2
b
x

x


,
 Виет формуласы: 1 2
c

 b  b 2  4ac

.
2a
c
x1  x2 
a

x 2  px  q  0

 Келтірілген квадрат теңдеу:

Виет формуласы: x1  x2   p; x1  x2  q
группа ENTGLOBUS.KZ

13

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ

 Түбірлер қасиеттері:

x12  x22  x1  x2 

2

1
1 x  x   2 x x
 2 x1 x2 ; 2  2  1 22 2 1 2 ;
x1 x2
x1  x2
2

Квадраттық теңсіздіктер
 ax 2  bx  c  0 (ax 2  bx  c  0) теңсіздік.
1) егер a  0, D  0, онда (; x1 ]  [ x2 ;) ( x [ x1 ; x2 ]);
2) егер a  0, D  0, онда x  (;) ( x1  x2 );
3) егер a.  0, D  0, онда x   ; x  бос жиын 
4) егер a  0, D  0, онда x [ x1 ; x2 ] (; x1 ]  [ x2  )
5) егер a  0, D  0, онда x  x1 ( x  (;))
6) егер a  0, D  0, онда x  бос жиын ( x  (;))
 ax 2  bx  c  0, (ax 2  bx  c  0)
1) егер a  0, D  0, онда  ; x1   x2 ; ( x  ( x1 ; x2 ))
2) егер a  0, D  0 онда x1  x2 ( x  бос жиын) :
3) егер a  0, D  0, онда x  (;) ( x  бос жиын) :
4) егер a  0, D  0, онда x  ( x1 ; x2 ) (; x1 )  ( x2 ;));
5) егер a  0, D  0, онда x  бос жиын ( x  x1 );
6) егер a  0, D  0, онда x  бос жиын ( x  (;)).
Биквадрат теңдеулер.
ax 4  bx 2  c  0 ( x 2  t  at 2  bt  c  0)

 Егер b  4ac  0 болса, түбірлер қосындысы 0-ге тең;
 Егер b 2  4ac  0 болса, ең үлкен түбірдің ең кіші түбірге
қатынасы 1-ге тең.
Модулмен берілген теңдеулер
2

группа ENTGLOBUS.KZ

14

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ



 f x   a
f ( x)  a  
 f  x   a

Ескерту: a  0 болғанда теңдеудің шешімі жоқ.


 f ( x )  g ( x )

f ( x)  g ( x)   f ( x)   g ( x)
 g ( x)  0


 f ( x)  g ( x )  f ( x )  g ( x) и f ( x )   g ( x)
 f  x   f  x   f  x   0 ; f ( x)   f  x   f  x   0
Модулмен берілген теңсіздіктер



 f ( x)  a
f ( x)  a  
; Ескерту : a  0  x  бос жиын
 f ( x)  a
 f ( x)  a
f ( x)  a  
; Ескерту : a  0  x   ;
f
(
x
)


a




 f ( x)  g ( x)

f ( x)  g ( x)   f ( x)   g ( x)
 g ( x)  0




 f ( x)  g ( x)
f ( x)  g ( x)  
 f ( x)   g ( x)



f ( x )  g ( x )  f 2 ( x)  g 2 ( x)
Иррационал теңдеулер.





f ( x)  a  f ( x)  a 2 ; Ескерту : a  0  x  бос жиын
 f ( x)  g 2 ( x)
f ( x)  g ( x)  
 g ( x)  0
 f ( x)  g ( x)
f ( x)  g ( x)  
 f ( x)  0

группа ENTGLOBUS.KZ

немесе

15

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ

 f ( x)  g ( x)
f ( x)  g ( x)  
 g ( x)  0



2n

 f ( x)  g 2 n ( x)
f ( x)  g ( x)  
 g ( x)  0

f ( x)  g ( x)  f ( x)  g 2n1 ( x)

2 n1

Иррациональ теңсіздіктер
 f ( x)  g 2 n ( x)

f ( x)  g ( x)   f ( x)  0
 g ( x)  0




2n



Ескерту: g ( x)  0  x  Ø



2n



2 n 1



2 n 1

 g ( x)  0
 g ( x)  0
f ( x)  g ( x)  


2n
 f ( x)  g ( x)  f  x   0

f x   g x   f x   g 2n1 x 

f x   g x   f x   g 2n1 x 
Көрсеткіштік теңдеулер мен теңсіздіктер

a f  x   1  f x   0

 f x 

g x

 f x   1
1 
 g x   R

0  a  1
a f x  a g x  
 f x   g x 

a f  x   a g  x   f x   g x 

 f x   0

немесе
 g x   0
a  1

немесе
 f x   g x 

Логарифимдік теңдеулер мен теңсіздіктер

группа ENTGLOBUS.KZ

16

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ

a  0, a  1, f x   0
log a f x   b  
b
 f x   a
a  0, a  1, f x   0
log a f x   log a g x   
 f x   g x 
a  0, f x   1
log f  x  a  b  
1/ b
 f x   a

a  1

 f x   0
 f x   g x 


0  a  1

log a f x   log a g x    g x   0
немесе
 f x   g x 

log   x 

0   x   1

f x   log   x  g x    g x   0
 f x   g x 


немесе

 x   1

 f x   0
 f x   g x 


III. Ф у н к ц и я л а р .
D( y)  f ( x) функцияның анықталу облысы; E ( y)  мәндер
обылысы
1. Квадраттық функция
2
2
 Жалпы көрінісі: y  ax  bx  c  a( x  x0 )  y0 ;
 D( y)  (;) ;
 a  0  E( y)  [ y0 ;), a  0  E( y)  (; y0 ];







Парабола үшы:

b
4ac  b 2
x0   , y 0 
;
2a
4a

b
x


.
Симметрия өсі:
2a
Көрсеткіштік функция
x
Жалпы көрінісі: y  a (a  0, a  0);
D( y)  (;); E( y)  (0;);
a  1 де өспелі, 0  a  1 де кемімелі;
Графигі (0;1) нүктеден өтеді.

группа ENTGLOBUS.KZ

17

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ

Логорифмдік функция
 Жалпы көрінісі log a x, (a  0, a  1, x  0)
E( y)  (;)
 D( y)  (;);
 a  1 де өспелі; 0  a  1 де кемімелі;


 x  1  log a x  0
a  1 
 0  a  1  log a x  0

0  x  1  log a x  0
0  a 1 
 x  1  log a x  0


 Функция графигі

Кейбір функциялардың анықталу обылысын табу.
 y  kx  b. Анықталу обылысы: x  R  (;).
2
 y  ax  bx  c. Анықталу обылысы: x  R  (;).
 y  2n f ( x) . Анықталу обылысы: f ( x)  0.
1
y

.
f ( x)  0.

f ( x) Анықталу обылысы:

 y

1
.
f ( x)

Анықталу обылысы: f ( x)  0

1
y

.

3 f ( x ) Анықталу обылысы:

группа ENTGLOBUS.KZ

18

f ( x)  0.

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ



y

1
.
f ( x)  g ( x)

Анықталу обылысы:

 f ( x)  0

 g ( x)  0
 f ( x)  g ( x)


 f ( x)  0

g ( x)  0.
 y  log g ( x ) f ( x). Анықталу обылысы: 
 g ( x)  1

 y  arcsin f ( x). жјне y  arccos f ( x).

Анықталу обылысы: f ( x)  1


 y  tgx. Анықталу обылысы: x  2  n, n  Z .
 y  ctgx , от Анықталу обылысы: x  n, n  Z .

Кейбір функциялардың мәндер обылысы
 y  kx  b E( y)  (;)


4ac  b 2
y  ax  bx  c . y0 

4a
2

парабола ұшы

1) a  0  E ( y)  [ y0 ;). Ескерту : y0  0  E ( y)  [0;)
2) a  0  E ( y)  [0; y0 ]. Ескерту : y0  0  E ( y)  бос жиын



y  a cos kx  b sin kx.



E ( y)   a 2  b 2 ; a 2  b 2



Жұптығы және тақтығы
f ( x)  жўп  f ( x)  f ( x);

f ( x)  таќ  f ( x)   f ( x)

Басқа жағдайда тақта, жұпта болмайды.
Ж  Ж  Ж; T  T  T ; Ж  Т тақта, жұпта емес;

Ж  Ж  Ж ; Ж : Ж  Ж ; Ж Т  Т; Ж : Т  T;

y  sin x, y  tgx, y  ctgx , y  arcsin x, y  arctgx  тақ;

y  cos x -жұп.
группа ENTGLOBUS.KZ

19

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ



y  arccos x, y  arcctgx  тақта, жұпта емес.



Жұп функциялардың графигі ОҮ өсіне
симметриялы;
Тақ функциялардың графигі координата басына
қарағанда симметриялы.



Периодтылығы
Функцияның ең кіші оң (Т) периоды:
y  cos x и y  sin x : T  2 ; y  tgx u y  ctgx : T   ;
y  sin(kx   ) u y  cos(kx   ) : T 
y  tg (kx   ) u y  ctg (kx   ) : T 


k

2
;
k
;

Кері тригонометриялық функциялар
Анық. об.:

2)
3)

y  arccos x :

Анық. об.: x [1;1]. Мән. об.: y  0; 
Анық. об.: x  R. Мән. об.: y     ;  

4)

y  arcctgx :

y  arctgx :

x [1;1].

Мән. об.:

  
y   ; 
 2 2

1) y  arcsin x :

 2 2

Анық. об.:

x  R.

Мән. об.:

y  0;  .

Туынды.
 Қосынды: ( f ( x)  g ( x))  f ( x)  g ( x)
 Көбейтінді: ( f ( x)  g ( x))  f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)
Бөлшек:

группа ENTGLOBUS.KZ


 f ( x) 
f ( x) g ( x)  f ( x) g ( x)

 
;
2
g
(
x
)
g
(
x
)



20

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ


 Күрделі функция:  f ( g ( x))  f ( g ( x))  g ( x).
 Дербес жағдайда:

(c  f ( x))  c  f ( x);


 1 
f ( x)

   2 ;
f ( x)
 f ( x) 

Жанама теңдеуі
 y  f (x) функция графгі нүктесіндегі жанама
теңдеуі
y  y0  k ( x  x0 ) k  tg  y0 .
 - жанама мен ОХ өсі арасындағы бұрыш.
Функциялардың ең үлкен және ең кіші мәндері
 y  ax 2  bx  c :
1) a  0  min y  y0 ;

2) a  0  max y  y0 .

b
b 2  4ac
2
Бұл жерде : x0   2a ; y0   4a  ax0  bx0  c ;
 y  Sin(kx   ); y  Cos(kx   ); max y  1, min y  1.

 y  a  Sin(kx)  b  Cos(kx)
max y  a 2  b 2 ,

 F ( x) 

min y   a 2  b 2 .

x z
a
 , a  x  y  z  t  b. min F  2 
y t
b


k
2 k  наим.зн.при x  0
F
(
x
)

x

,
k

0



x

 2 k  наиб.зн.при x  0

 y  x  a  x  b ; min y a  b
 y  f (x) функцияның a; b кесіндідегі ең үлкен және
ең кіші мәндерін табу үшін :
▫ y  0, x1 , x2 ,..... [a ; b];
▫ y( x1 ), y( x2 ),.....и y(a), y(b) ;
группа ENTGLOBUS.KZ

21

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ

▫ Бұл сандардың ең кіші немесе ең үлкені
алынады.
Интеграл
 Егер F ( x)  f ( x) болса, онда F (x) функция
y  f (x)

Функциясының алғашқы функциясы деп аталады.
 Ньютон-Лейбниц формуласы:
b

b
S   f ( x)  F ( x)  F (b)  F (a)
a
a

 Интеграл көмегімен ауданды табу:
b

S   f ( x)dx
a

b

S   ( f1 ( x)  f 2 ( x))dx
a

IV. Тригонаметия.
Негізгі тригонаметриялық функциялар. Таңбалары.
a
b
, cos  
c
c
a
b
tg  , ctg  
c
c
sin  

группа ENTGLOBUS.KZ

22

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ

 

180



 рад 

 рад - градустық өту


180

  -радиандық өту

сos 

Sin 

tg  ,ctg 

Негізгі тригонометриялық теңдіктер.
Sin 2 x  cos 2 x  1;

1  tg 2 x 

1
cos 2 x

tgx  ctgx  1
tgx 

sin x
cos x
1
, ctgx 
; 1  ctg 2 x 
cos x
sin x
sin 2 x

Тригонометриялық функциялардың бірін екіншісі арқылы
өрнектеу.
sin    1  cos 2  
cos    1  sin 2  

tg

 1  tg 2
1
 1  tg 2




1
 1  ctg 2
ctg 
 1  ctg 2

sin 

 1  cos 2 
1
tg 


cos 
ctg 
 1  sin 2 
 1  sin 2 
cos 
1
ctg  


sin 
 1  cos 2  tg

Бұл жерде түбірдің таңбасы аргументтің қай ширекте
орналасуына тәуелді болады.

группа ENTGLOBUS.KZ

23

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ

 


 3 
  , 
2 


Мысалы: Егер    0, 2  болса, онда 1-формула оң таңбамен
алынады, егер



(III-ширек) болса, онда 1-ші формула

теріс таңбамен алынады.
Қосу формулалары.
 sin(   )  sin  cos   sin  cos 
 cos(   )  cos  cos   sin  sin 
tg  tg

ctg   ctg   1

 tg (   )  1  tg  tg ; ctg (   )  ctg   ctg  ;
Қос бұрыштық формулалар.
sin 2  2 sin  cos  

2tg
; sin 3  3 sin   4 sin 3 
2
1  tg 

cos 2  cos 2   sin 2   2 cos 2   1;
1  tg 2
cos 2  1  2 sin  
; cos 3  4 cos 3   3 cos 
2
1  tg 
2

2tg
2
ctg 2  1
tg 2 

; ctg 2 
2ctg 
1  tg 2 ctg   tg

Дербес жағдайы:
sin   2 sin



2

cos


2

; cos   cos 2


2

 sin 2


2

Жарты бұрыш формулалары.

группа ENTGLOBUS.KZ

24

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ

sin
tg
cg


2


2


2



1  cos 
2

cos


2



1  cos 
2



1  cos 
sin 
1  cos 


sin 
1  cos 
1  cos 



1  cos 
sin 
1  cos 


sin 
1  cos 
1  cos 

Дәрежені төмендету формулалары.
sin 2  

1  cos 2
2

cos 2  

Sin 4 x 

sin 3  

1  cos 2
2

3 sin   sin 3
4

cos 3  

3 cos   cos 3
4

1
Cos 4 x  4Cos 2 x  3
8

1
Cos 4 x  4Cos 2 x  3 ; Sin 4 x  Cos 4 x  Cos 2 x
8
3 1
Sin 4 x  Cos 4 x  1  2Sin 2 xCos 2 x   Cos 4 x
4 4
5 3
Sin 6 x  Cos 6 x  1  3Sin 2 xCos 2 x   Cos 4 x
8 8

Cos 4 x 

Көбейтіндіні қосындыға келтіру.

группа ENTGLOBUS.KZ

25

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ

1
(cos( x  y )  cos( x  y ))
2
1
cos x cos y  (cos( x  y )  cos( x  y ))
2
1
sin x cos y  (sin( x  y )  sin( x  y ));
2
tgx  tgy
tgx  tgy
tgx  tgy 

;
ctgx  ctgy ctgx  ctgy
sin x sin y 

Қосындыны көбейтіндіге келтіру.
x y
x y
cos
;
2
2
x y
x y
cos x  cos y  2 cos
cos
;
2
2
x y
x y
cos x  cos y  2 sin
sin
;
2
2




cos x  sin x  2 sin  x   2 cos  x ;
4

4


sin x  sin y  2 sin





cos x  sin x  2 cos  x   2 sin   x ;
4

4

p cos x  q sin x  r sin( z  x);
p
q
бўл жерде : r  p 2  q 2 ; Sinz  , Cosz  ;
r
r
sin( x  y )
tgx  tgy 
;
cos x cos y
sin 2 n 1 x
cos x  cos 2 x  cos 4 x  ...  cos 2 x  n 1 
sin x
2
1 sin 8 x
Мысалы : cos x  cos 2 x  cos 4 x  
;
8 sin x
n

группа ENTGLOBUS.KZ

1

26

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ

Келтіру формулалары.


2

x

 x

3
x
2

2  x -х

sinx

cosx

 sin x

-cosx

 sin x

-sinx

cosx

 sinx

-cosx

 sinx

cosx

Cosx

tgx

 ctgx

 tgx

 ctgx

 tgx

-tgx

ctgx

 tgx

 ctg

 tgx

 ctgx

-ctgx

Кері тригонометриялық функциялар.

arcsin(  x)   arcsin x ; arccos(  x)    arccos x
arctg ( x)  arctgx ;

arcctg ( x)    acrctgx ;

  
arcsin(sin x)  x ; x   ; ;
 2 2
x
sin(arccos x)   1  x 2 ; sin( arctgx ) 
;
2
 1 x
arccos(cos x)  x; x  [0;  ]; cos(arccos x)  x; x  [1;1];
1
cos(arcsin x)   1  x 2 ; cos(arctgx ) 
;
2
 1 x
sin(arcsin x)  x ; x  [1;1];

tg (arctgx )  x; x  R; arctg (tgx )  x; x  (

 

; );
2 2

 1  x2
tg (arcsin x) 
; tg (arccos x) 
2
x
 1 x
x

группа ENTGLOBUS.KZ

27

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ

Тригонометриялық теңдеулер

sin x  a,

a  1, x  (1) n arcsin a  n ,   Z

cos x  a, a  1, x   arccos a  2n , n  Z
tgx  a, x  arctga  n , n  Z
ctgx  a, x  arcctga  n , n  Z
 Дербес жағдайы
1) sin x  0  x  n 
sin x  1  x  





2

sin x  1  x 


2

 2n

 2n

2) cos x  0  x  2  n cos x  1  x  2n

cos x  1, x    2n

3) tgx  0  x  n 4) ctgx  0  x 


2

 n

Тригонометриялық теңсіздіктер
Шешімі ( a  1, n  Z )

Теңсіздік
1) sin x  a,

x  [arcsin a  2n ;   arcsin a  2n ]

2) sin x  a

x  [  arcsin a  2n ; arcsin a  2n ]

3) cos x  a

x  [ arccos a  2n ; arccos a  2n ]

4) ñosx  a

x  [arccos a  2n ; 2  arccos a  2n ]

5) tgx  a

x  [arctga  n ;

группа ENTGLOBUS.KZ


2

 n ), a  R, n  Z
28

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ

6) tgx  a
7) ctgx  a

 

x     n ; arctga  n  , a  R, n  Z
 2

x  [arcctga  n ;   n ), a  R, n  Z

8) ctgx  a

x  (n ; arcctga  n ], a  R, n  Z

2

Мысалы: sin x  2 ; Шешімі: 1-формуладан пайдаланамыз.
a

2
2 



 arcsin
  x    2n ;    2n 
2
2
4
4
4


3


 x    2n ;
 2n .
4
4


V. Планиметрия
Бұрыштар
180 0

1). Өлшемі 1 рад  
2). Түрі: Сүйір:

Доғал:

группа ENTGLOBUS.KZ

 57 017'45' '

Тік :

Жазық :

29

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ

 ,   кґрші

1 , 2 жјне 1 ,  2  вертикал

 1   2 ; 1   2

    180 0
▫ сәйкестік: 1-5; 2-6; 3-7; 4-7
▫ ішкі айқастықта жататын. 3-5; 4-6
▫ іргелес бұрыштар: 3-6; 4-5

Үшбұрыш
a1, b1,  1  сырткы бурыш ,
a, b,   ішкі бурыш.
1) a  b    180 0
2) a1  b1   1  360 0

3) .a1=b+y.
a+c>b

b1=a+y.

y1=a+b;

a+b>c;

b+c>a;

Биіктік
Үшбұрыш төбесінен шыққан және қарсы жатқан қабырғаға
перпендикуляр болған кесінді
2S
 bSin y  cSinb
a
1 1
1
1
1) 
 
r ha hb hc
ha 

r - іштей сызылған шеңбер радиусы;

группа ENTGLOBUS.KZ

30

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ

a 3
h

h

h

h
2
3
2) 1
2

Медиана
Үшбұрыш төбесінен шығып, қарсы жатқан қабырғаға тең екіге
бөлетін кесінді.
a  BC ; b  AC ; c  AB

1) AA1  ma 

1
2(b 2  c 2 )  a 2
2

немесе
AA1  ma 

1 2 2
b  c  2bcCosa
2

3
2) ma2  mb2  mc2  (a 2  b 2  c 2 )
4
2
3) a 
2(mb2  mc2 )  ma2
3

4) Медианалар қиған нүктелер координатасы:
х

x1  x2  x3
y  y 2  y3
,y 1
3
3

Мұнда A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ), C ( x3 ; y3 )
Биссектриса
Үшбұрыш төбесінен шығып,
осы төбені тең екіге бөлетін кесінді.

a c1 S1 b
1) b  c ; S  a ;
2
2
2)  

 
2ab cos 
2
 
ab

1
ab(a  b  c)(a  b  c)
ab

Көрші бұрыштар биссектрисалары арасындағы бұрыш
900-қа тең.
x 2  ab  a1b1 ;
х – биссектриса
группа ENTGLOBUS.KZ

31

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ

Іштей және сырттай сызылған шеңбер.
1) Іштей сызылған шеңбер центрі биссектрисалар қиылысқан
нүктеде болады.
2) Сырттай сызылған шеңбер центрі орта перпендикулярлар
қиылысқан нүктеде болады.
3)

r

S

p

p( p  a)( p  b)( p  c)
abc
, p
p
2

r-іштей сызылған шеңбер радиусы.
4)

R

abc
abc

4S 4 p( p  a)( p  b)( p  c)

R – сырттай сызылған шеңбер радиусы.
Үшбұрыштың ауданы
a  ha b  hb c  hc


]
2
2
2
1
2) S  ab sin 
2
abc
3) S 
 pr
4R
4) S  p( p  a )( p  b)( p  c)  Герон формуласы

1) S 

4
m(m  ma )(m  mb )(m  mc )
3
m  mb  m c
m a
2
ma , mb , mc  медианалар

5) S 

6) S 
7) S 

1
abSin  ;
2



S1  S 2  S 3

группа ENTGLOBUS.KZ



2

32

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ

7) S 



S1  S 2  S 3



2

8) S  m  n
9) S1 

mp
S ABC
( p  q )(m  n)

Синустар, косинустар теоремасы
1. Синустар теоремасы:
a
b
c


 2R
Sina Sinb Sin
R  сырттай сызылг ан шенбердін радиусы.
2. Косинустар теоремасы :
a 2  b 2  c 2  2bcCosa

Дербес жағдайлары
1. Тең бүйірлі

4a 2  c 2
hc 
2
x 2a

, AO  биссектриса
y
c
c 2a  c 
a2
R
; r
;
2hc
4hc
c 4a 2  c 2
S
4

группа ENTGLOBUS.KZ

33

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ

2. Тік бұрышты:

a 2  ca ' ; b 2  cb '
ab
h  a ' b' ; h 
c;
c
abc
R ;
r
;
2
2
2

ab
R 5
;
  a :b :c  3: 4:5
2
r 2
ab ch
S

 r 2  2rR
2
2
S  xy

rR

d  b
 
c a
2

b
 y
  
a
x
l  биссектриса

3.Тең қабырғалы
3a
3a
; r
; R  2r
3
6
h  3r  1,5 R  r  R;
R

S

3 2
a
4

Трапеция

группа ENTGLOBUS.KZ

34

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ

ac
 орта сызыєы;
2
ab
1
S
h  mh  l  f  Sin
2
2

m

S 2  S 4  S1  S 3 ;
S





2

S1  S 3 ;

ca
;
2
y  диаг оналдар ортасын косатын
y

кесінді ;

h2  a  b

a  b 
a b 2
x
; c  h2 
2
4
1
ab
S  d 2 Sina 
h
2
2

2

Параллелограм
2a 2  2b 2  l 2  f 2 ;
S  a  b  sin 
1
l  f  sin   a  ha  b  hb
2
S1  S 2 ; MN // BC , PQ // DC
S

группа ENTGLOBUS.KZ

35

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ

Ромб
4a 2  l 2  f 2 ;   90 0 ;
S  p  r  2a  r  a  h 

1
l f
2

S  a 2 Sin
h  2r ; l  2a cos


2

; f  2aSin


2

Сырттай сызылған төртбұрыш

ac bd
S  pr  (a  c)r  (b  d )r
2p  a  b  c  d
S  a bcd
S  ( p  a)( p  b)( p  c)( p  d )

Іштей сызылған төртбұрыш
        180 0
ad  bc  l  f
S  ( p  a)( p  b)( p  c)( p  d )

Көпбұрыштар
1) Ішкі бұрыштар қосындысы: (n  2)
2) Сыртқы бұрыштар қосындысы: 2

группа ENTGLOBUS.KZ

36

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ

3) Диагональдар саны d 

n(n  3)
2

Дұрыс көпбұрыштар

(n  2)
n
2
2) Сыртқы бұрыш  n

1) Ішкі бұрыш 

3)

1
4R 2  a 2
2


a  2 R  Sin  2r  tg
n
n

r

4)

na
n  a 4R 2  a 2
R2n  a
360 0
S n  pr 
r

Sin
2
4
2
n

5)

Дербес жағдайы
1) Бесбұрыш
0
 Ішкі бұрыш - 108
0
 Ішкі бұрыштар қосындысы - 540
0
 Сыртқы бұрыш - 72
2) Алты бұрыш
0
 Ішкі бұрыш - 120
 Ішкі бұрыштар қосындысы - 720 0
 Сыртқы бұрыш - 60 0
 a  R  2r 3



3





r



d1  3a, d 2  2R  2a



S

R
4

5 1 

a
25  10 5
10

3 2
3
R 3 , S  a 2 3 ; S  2r 2 3
2
2

Шеңбердегі бұрыштар

группа ENTGLOBUS.KZ

37

VK.COM/ENTGLOBUS_KZ

 Доға, сектор, сегмент, дөңгелек.
1) Ауданы: S  R

2



D 2
2

R
l

2) Доға ұ