Элементар математиканың негізгі формулалары

группа ENTGLOBUS.KZ VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 1

Қазақстан Республикасы







Э Л Е М Е Н Т А Р
М А Т Е М А Т И К А Н Ы Ң
Н Е Г І З Г І
Ф О Р М У Л А Л А Р Ы




















ENTGLOBUS

группа ENTGLOBUS.KZ VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 2
M A 3 M Ұ H Ы


I. Арифметика. Алгебра Беті

Сандар туралы
мәліметтер….................................................................................................. 6
Сандардың бөлінгіштік қасиеттepi ............ ...............................................6
Соңғы санды табу........................................................... ...............................7
EYOЕ және ЕКОЕ.......................................................... ................................8
Бөлгіштер саны............................................................ ..................................8
Белшектер................................... ....................................................................8
Пропорциялар........................... .....................................................................9
Орта мән....................................... ................................................................10
Проценттер................................................................. ..................................10
Қыскаша көбейту формулалары................................. ...............................10
Дәреженің, модулдің, түбірдің қасиеттері............... .................................11
Арифметикалық прогрессия.................................... ...................................12
Геометриялық прогрессия................................... .......................................12
Keiйбip қосындылар.............................................. ......................................13
Логарифмдер....................................................... .........................................13

II. Теңдеулер және теңсіздіктер

Сызықты тендеулер.................................................... .................................14
Квадраттық теңдеулер........................................ .........................................14
Квадраттық теңсіздер............................................ ......................................15
Биквадрат тендеулер............................................... ....................................15
Модулмен берілген тендеулер............................... ....................................15
Модулмен берілген теңсіздіктер.................................................................16
Иррациональ тендеулер............................................. .................................16
Иррациональ теңсізздіктер......................................... ................................17
Керсеткіштік тендеулер мен теңсіздіктер............. ...................................17
Логарифмдік тендеулер мен теңсіздіктер............... ..................................17

группа ENTGLOBUS.KZ VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 3

III. Функция. Туынды, Интеграл.

Квадраттық функция................. ..................................................................18
Көрсеткіштік функция.................................................................................18
Логарифмдік функция..................................................................................19
Кейбір функциялардың аныкталу облысы.................................................19
Kей6ip функциялардын мәндер облысы....................................................20
Жұптығы және тақтығы...............................................................................20
Периодтылығы..............................................................................................21
Kepi тригонометриялык функциялар..........................................................21
Туынды..........................................................................................................21
Жанама теңдеуі.............................................................................................21
Функциялардың ең үлкен және ең кiші мәндерін.....................................22
Интеграл........................................................................................................22

IV. Тригонометрия

Негізгі тригонометриялық функциялар......................................................24
Heгізri тригонометриялык теңдіктер..........................................................24
Тригонометриялық функциялардың бipiн eкіншici арқылы өрнектеу........
формулалары.................................................................................................24
Қосу формулалары.......................................................................................24
Қос бұрыштық формулалары......................................................................25
Жарты бұрыш формулалары.......................................................................25
Дәрежені төмендету формулалары.............................................................25
Көбейтіндіні қосындыға келтіру.................................................................26
Қосындыны көбейтіндіге келтіру...............................................................26
Келтіру формулалар.....................................................................................27
Kepi тригонометриялық функциялар.........................................................27
Тригонометриялық теңдеулер. Дербес жағдайы.......................................28
Тригонометриялык теңсіздіктер.................................................................29

V. Планиметрия
Бұрыштар....................................................................... ...............................30
Үшбұрыш. Биіктік, медиана, биссектриса................ ................................30
Іштей және сырттай сызылған шенбер.......................................................32
Үшбұрыштың ауданы..................................................................................32
Синустар, косинустар теоремасы................................................................33
Дербес жағдайлары.......................................................................................33

группа ENTGLOBUS.KZ VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 4
Трапеция, параллелограмм, ромб...............................................................35
Іштей және сырттай сызылған шеңбер.......................................................36
Көпбұрыштар................................................................................................37
Дұрыс көпбұрыштар. Дербес жағдайы.......................................................37
Шеңбердегі бұрыштар..................................................................................38
Доға, сектор, сегмент, денгелек..................................................................39
Түзу. Шеңбер................................................................................................39
Векторлар......................................................................................................40

VI. Стереометрия
Көпжактар (призма, пирамида,дербес жағдайы).......................................41
Цилиндр.........................................................................................................44
Конус..............................................................................................................44
Қиык конус....................................................................................................45
Шар (сегмент, сектор)..................................................................................45

VII. Кестелер
Тригонометриялық функциялардың кейбір кестелік мәндері.................46
Алғашкы функциялар кестесі.....................................................................47
Элементар функциялардың туындылары..................................................47
Дұрыс көпжақтардың элементтері.............................................................48

группа ENTGLOBUS.KZ VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 5


1. Арифметика. Алгебра.

Сандар турлы мәліметтер

1) Натурал сандар:   NNN  1;0,,...4,3,2,1
2) Бүтін сандар:  ,...100,...,3,2,1,0,1,2,3,...,100..., Z
3) Рационалсандар: 





 NnZm
n
m
Q ,:

Санның бөлінгіштік қасиеттері

 2 ге: 0,2,4,6,8 сандардың бірінде аяқталады.
 3 ке: сандардың қосындысы 3 ке бөлінсе.
 4 ке: соңғы екі сан 0 балса, немесе 4 ке бөлінсе.
 5 ке: соңғы сан 0 немесе 5 болса.
 6 ға: 2 мен 3 ке бөлінгіштік қасиеттері бір уақытта
ескеріледі.
 8 ге: соңғы үш сан нөл болса, немесе 8 ге бөлінсе
 9 ға: сандар қосындысы 9 ға бөлінсе.
 10 ға: соңғы сан 0 болса.
 11 ге: тақ орындардағы сандар қосындысы мен жұп
орындардағы сандар қосындысының айырмасы 0 болса,
немесе 11 ге бөлінсе.
Мысалы. 11)238()4479(9873424 
 25 ке: соңғы екі сан 0 болса немесе 25 ке бөлінсе.
Ескерту: Қалған сандардың бөлінгіштік қасиеттері
олардың бөлінгіштік қасиеттері анықталған “өзара жай”
сандарға жіктеу арқылы табылады. Мысалы. .624312 
Демек бір уақытта 3-ке және 4-ке бөлінгіштік қасиеттері
ескеріледі.

группа ENTGLOBUS.KZ VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 6


Соңғы санды табу.

 2 нің :1- ші жәрежесі «2» мен 2-ші дәрежесі «4» пен, 3-
ші дәрежесі «8» бен, 4-ші дәрежесі «6» мен аяқталады.
2 нің кез келген 4 ке еселік дәрежесі «6» мен аяталады.
Мысалы..4...4...6...2222
25004250042002


 3 тің: 1-ші дәрежесі «3» пен, 2-ші дәрежесі «9» бен, 3-ші
дәрежесі «7» мен, 4-ші дәрежесі «1» мен аяқталады.
3 тің кез келген 4 ке еселі жәрежесі «1» мен аяқталады.
Мысалы: 1998
3 нің соңғы санын табу.
.9...9...1...3333
24994249941998


 4 тің: кез – келген жұп дәрежесі «6» мен, кез келген тақ
дәрежесі «4» мен аяқталады.
Мысалы.2002
4

нің соңғы саны -6,2003
4 нің соңғы саны -4.
 5 тің кез келген дәрежесі «5» пен аяқталады.
 6 ның кез келген дәрежесі «6» мен аяқталады.
 7 нің: 1-ші дәрежесі «7» мен, 2-ші дәрежесі «9» бен, 3- ші
дәрежесі «3» пен, 4-ші дәрежесі «1» мен аяқталады.
7 нің кез-келген 4 ке еселі дәрежесі «1» мен аяқталады.
Мысалы. 2003
7 нің соңғы санын табу.
.3...3...1...7777
35004350042003


 8 дің: 1-ші дәрежесі «1» мен, 2- ші дәрежесі «4» пен, 3-ші
дәрежесі «2» мен, 4- ші дәрежесі «6» мен аяқталады.
8 дің кез келген 4 ке еселі дәрежесі «6» мен аяқталаады.
Мысал 1998
8

нің соңғы санын табу. 6...88
49941996




 9 дың кез келген жұп дәрежесі «1» мен , кез келген тақ
дәрежесі 9 бен аяқталады.
Мысал.2002
9 нің соңғы саны -1, 2003
9 нің соңғы саны -9.

группа ENTGLOBUS.KZ VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 7



ЕҮОБ және ЕКОЕ

 Бірнеше сандардың ортақ бөлгіші деп, сол сандардың
әрқайсысы бөлінетін санға айтады.
Осындай сандардың ең үлкені ЕҮОБ деп аталады.
Мысалы. 270,300,315 сандарының ЕҮОБ – ін тап. 223
532300,532270 
,753315
2

ЕҮОБ   1553315,300,270 
 Егер бірнеше сандардың ЕҮОБ-і 1 – ге тең болса, онда олар
өзара жай сандар деп аталады.
 Бірнеше сандардың отақ еселігі деп, сол сандардың
әрқайсысына бөлінетін санды айтады.
Осындай сандардың ең кішісі ЕКОЕ деп аталады.
Мысал. 270,300, 315 сандарының ЕКОЕ – ін тап.
753315532300532270
2223

ЕКОЕ   189007532315,300,270
232




Бөлгіш сандар
Бөлгіштер санын анықтау үшін
 Берілген а сан жай көбейткіштерге жіктеледі, яғни
kn
k
nnn
aaaaa  ....
321
321
  )1(...1)1(
21

k
nnnd өрнектің мәні табылады, мұнда
d- бөлгіштер санын білдіреді.
Мысал: 540-тың бөлгіштер санын анықтау. 24243)11()13()12(532540
132
 d


Бөлшектер.
 Қалдықты бөлу
 prrqа  0,

группа ENTGLOBUS.KZ VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 8
Мұндағы а-бөлінгіш, р-бөлгіш, q-қалдық, r-бөлінді
 Бөлшектерді қосу және азайту.
Бөлімдері бірдей болғанда b
ca
b
c
d
а 

Бөлімдері әртүрлі болған bd
bcad
d
c
b
а 

Бөлшектерді көбейту және бөлу
db
ca
d
c
b
а


 cb
da
c
d
b
a
d
c
b
a


:

Оң бөлшектерді салыстыру

 Егер бөлшектерді алымы бір-біріне тең болса, бөлімі кіші
болған бөлшек үлкен болады.
 Егер бөлшектердің бөлімі бір-біріне тең болса, онда алымы
үлкен болған бөлшек болады.
b
a және d
с . бөлшектерді салыстыру
Егер cbda  болса, онда d
c
b
a
 .
Егер cbda  болса, онда d
c
b
a
 .

Периодты бөлшектер, оларды жәй бөлшектерге
айналдыру

Формуласы:  
0...900...99
.........
......,
111
11
knk
nk
bbccbb
accbba


Мысалдар: ),...06(12,15;)21(,1;)3(,0 99000
2015
2
99000
02002035
2)35(020,2
999
124
2)124(,2 




Пропорция. Сандардың пропорционал бөлшектері

1) dcba :: немесе c
d
b
a

Мұндағы: cb, орта, da, шеткі мүшелері
Негізгі қасиеті: cbda 

группа ENTGLOBUS.KZ VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 9
2) a саны nm: ге тура пропорционал бөліктерге бөлу:
n
nm
a
m
nm
a




;


3) a саныны nm: ге тура пропорционал бөліктерге бөлу:
;
1
11 m
nm
a

 n
nm
a1
11



Орта мән

Егер 
n
xxx,...,,
21 белгілі сандар болса, онда бұл сандардың;
1) Арифметикалық ортасы: n
xxx
A
n

...
21 ;
2) Геометриялық (пропорционалды) ортасы:
n
n
xxxG  ...
21 ;

Проценттер

 a санының p процентін табу

a – 100%
x - p %  100
pa
x


p проценті а ға тең х санды табу:

p
a
x
x
pa 100
%100
% 



 a мен b сандарының процент қатынасын табу: %100
b
a


Қысқаша көбейту формуласы

1. 
222
2bababa 

группа ENTGLOBUS.KZ VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 10
2. 
222
2bababa 
3. bababa 
22
4. 
32233
33 babbaaba 
5. 
22233
33 babbaaba 
6.  
2233
babababa 
7.  
3 3 2 2
a b a b a ab b    
8.  
2244
babababa 
9.   bcacabcbacba 222
2222

10.  
2 2 22
2 2 2a c b a b c ab ac bc       

Дәреженің қасиеттері

1. mnmn
aaa

 2.mnmn
aaa

:

3.
nnn
baba  4.n
n
n
b
a
b
a






5.
mn
m
n
aa

 6.n
n
а
a
1


7.nn
a
b
b
a












 8.1
0
a ; aa
1
Модулдің қасиеттері

1. 





0,
0,
аеслиa
aеслиa
a 2.0a 2
2
2
aaa 
3.baba  4.0,b
b
a
b
a
5.baba  6.baba 

Түбірдің қасиеттері
NpNтba  :;0;0
1.







aa
aa
a
n
n
n
n
0.0 2.





12.
.2.
kna
Nkkna
a
nn

группа ENTGLOBUS.KZ VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 11
3.nnn
baab 4.n
n
n
b
a
b
a
 m
n
mn
aa
5.nm nmmn
baba 6.mnnpnp
aa
7.npn pN
aaa
 8.mnmn
aa
9.mnp pnpmn
p
cbacba  10. 
nmp
p
nm
aa
11.   0,,2
2
 babababa
12.    0,,  babababa
13.   bbabaaba 
323332
3
33
33
14. 








baегерab
baегерba
bababa
,
,
2
22

Арфметикалық прогрессия

 Айнымалы:klk
aad 

 n ші мүшесін табу:dnaadaa
nnn
1
11


 Ортаңғы мүшесін табу: 2
knkn
nОРТ
aa
aa



 lkmn
aaaa  , lknm 
 Алғашқы n мүшелерінің қосындысы:
 
naSn
dna
n
aa
S
ортn
n
n





2
12
2
11

Геометиялық прогрессия

 Бөлімі:n
n
b
b
q
1
 ;n мүшесі:1
1


n
n
qbb
 Ортаңғы мүшесі табу: 11î ðò n n n
b b b b

  

группа ENTGLOBUS.KZ VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 12
 lkmn
bbbb  , lknm 
 Алғашқы n мүшелерінің қосындысы:

q
qb
q
qb
q
bqb
S
nn
n
n









1
1
1
1
1
11

 Шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның
қосындысы: .1.
1
1
q
q
b
S



Кейбір қосындылар

1.
2
1
...321


nn
n ; 2.  
2
12...521 nn ;
3.12...642  nnn ; 4. 11
1
...
32
1
31
1






 n
n
nn ;
5.   121212
1
...
32
1
31
1






 n
n
nn ;
Ескерту: 








 knnkknn
1111


Логарифмдер

log . 0. 1. 0
a
x N a a N

 
1 2 1 2
log log log
a a a
N N N N  

log 1 0
a
 log 1
a
a
1
12
2
log log log
a a a
N
NN
N
 log
log
log
c
a
c
b
a

log log
bb
ca
ac log
a
x
ax log log 1
ab
ba log log
n
an
x n x
log logn
m
a
a
m
xx
n


группа ENTGLOBUS.KZ VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 13 10
log lgxx
ондық
логарифм log ln
e
xx
натурал
логарифим




II.Теңдеулер және теңсіздіктер

Сызықтық теңдеулер
 Жапы көрінісі: 0bax
 
a
b
xRba..0 бірінші шешім;
  хba 0.0 -шешім жоқ;
 Rxba  0,0 -шексіз көп шешім.

Квадраттық теңдеулер

 Жалпы көрінісі: 0,0
2
 acbxах
 04
2
 acbD - екі түбірі бар.
 04
2
 acbD - бір ғана түбірі бар.
 04
2
 acbD - нақты түбірі жоқ.
 Көбейткіштерге жіктеу: ))((
21
2
xxxxacbxax  .
 Толық квадратқа жіктеу:
a
acb
a
b
xacbxax
4
4
2
2
2
2 







 Түбірлерді табуформуласы: a
acbb
x
2
4
2
2,1

 .
 Виет формуласы: a
c
xx
c
b
xx 
2121
,
 Келтірілген квадрат теңдеу: 0
2
 qpxx
Виет формуласы: qxxpxx 
2121 ;

группа ENTGLOBUS.KZ VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 14



 Түбірлер қасиеттері:
 
 
;
211
;2
2
2
2
1
21
2
21
2
2
2
1
21
2
21
2
2
2
1
xx
xxxx
xx
xxxxxx


 


Квадраттық теңсіздіктер

 )0(0
22
 cbxaxcbxax теңсіздік.
1) егер ,0,0Da онда ]);;[();[];(
2121 xxxxx 
2) егер ,0,0Da онда );();(
21xxx 
3) егер ,0,0. Da онда   жиынбосxx ;
4) егер ,0,0Da онда  )[];(];[
2121  xxxxx
5) егер ,0,0Da онда ));((
1 xxx
6) егер ,0,0Da онда ));((  xжиынбосx
 )0(,0
22
 cbxaxcbxax
1) егер ,0,0Da онда    ));((;;
2121 xxxxx 
2) егер 0,0Da онда :)(
21 жиынбосxxx 
3) егер ,0,0Da онда :)();( жиынбосxx 
4) егер ,0,0Da онда ));;();();(
2121  xxxxx
5) егер ,0,0Da онда );(
1xxжиынбосx 
6) егер ,0,0Da онда )).;((  xжиынбосx
Биквадрат теңдеулер. )0(0
2224
 cbtattxcbxax

 Егер 04
2
acb болса, түбірлер қосындысы 0-ге тең;
 Егер 04
2
acb болса, ең үлкен түбірдің ең кіші түбірге
қатынасы 1-ге тең.
Модулмен берілген теңдеулер

группа ENTGLOBUS.KZ VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 15
 






axf
axf
axf)(
Ескерту:0a болғанда теңдеудің шешімі жоқ.
 











0)(
)()(
)()(
)()(
xg
xgxf
xgxf
xgxf
 )()()()()()( xgxfиxgxfxgxf 
  0)(;0  xfxfxfxfxfxf

Модулмен берілген теңсіздіктер

 жиынбосxaЕскерту
axf
axf
axf 





 0:;
)(
)(
)(
  





 ;0:;
)(
)(
)( xaЕскерту
axf
axf
axf
 








0)(
)()(
)()(
)()(
xg
xgxf
xgxf
xgxf
 





)()(
)()(
)()(
xgxf
xgxf
xgxf
 )()()()(
22
xgxfxgxf 

Иррационал теңдеулер.

 ;)()(
2
axfaxf  Ескерту : жиынбосxa 0
 





0)(
)()(
)()(
2
xg
xgxf
xgxf
 





0)(
)()(
)()(
xf
xgxf
xgxf немесе

группа ENTGLOBUS.KZ VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 16






0)(
)()(
)()(
xg
xgxf
xgxf
 





0)(
)()(
)()(
2
2
xg
xgxf
xgxf
n
n
 )()()()(
12
12
xgxfxgxf
n
n





Иррациональ теңсіздіктер

 








0)(
0)(
)()(
)()(
2
2
xg
xf
xgxf
xgxf
n
n
 Ескерту:  xxg 0)( Ø
 











0
0)(
)()(
0)(
)()(
2
2
xf
xg
xgxf
xg
xgxf
n
n
  xgxfxgxf
n
n
12
12


 
  xgxfxgxf
n
n
12
12


 

Көрсеткіштік теңдеулер мен теңсіздіктер


 
xgxfaaxfa
xgxfxf
 01

 






Rxg
xf
xf
xg 1
1
немесе 





0
0
xg
xf  






xgxf
a
aa
xgxf
10
немесе 




xgxf
a1

Логарифимдік теңдеулер мен теңсіздіктер

группа ENTGLOBUS.KZ VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 17 







ba
axf
xfaa
bxf
0,1,0
log
 







xgxf
xfaa
xgxf
aa
0,1,0
loglog








bxf
axf
xfa
ba
/1
1,0
log
  










xgxf
xg
a
xgxf
aa
0
10
loglog
немесе 









xgxf
xf
a
0
1 













xgxf
xg
x
xgxf
xx
0
10
loglog


немесе 










xgxf
xf
x
0
1

III. Ф у н к ц и я л а р . )()( xfyD
функцияның анықталу облысы; )(yE мәндер
обылысы
1. Квадраттық функция
 Жалпы көрінісі: ;)(
0
2
0
2
yxxacbxaxy 
 ;);()( yD
 ];;()(0),;[)(0
00
yyEayyEa 
 Парабола үшы: ;
4
4
,
2
2
00
a
bac
y
a
b
x


 Симметрия өсі: .
2a
b
x
Көрсеткіштік функция
 Жалпы көрінісі: );0,0(  aaay
x
 );;0()();;()(  yEyD
 1a де өспелі, 10a де кемімелі;
 Графигі )1;0( нүктеден өтеді.

группа ENTGLOBUS.KZ VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 18






Логорифмдік функция

 Жалпы көрінісі )0,1,0(,log  xaax
a
 );()();;()(  yEyD
 1a де өспелі; 10a де кемімелі;
 






0log10
0log1
1
xa
xx
a
a
a
 





0log1
0log10
10
xx
xx
a
a
a
 Функция графигі



Кейбір функциялардың анықталу обылысын табу.

 .bkxy Анықталу обылысы: ).;(Rx
 .
2
cbxaxy  Анықталу обылысы: ).;(Rx
 n
xfy
2
)( . Анықталу обылысы: .0)(xf
 .
)(
1
xf
y Анықталу обылысы: .0)(xf
 .
)(
1
xf
y Анықталу обылысы: 0)(xf
 .
)(
1
3
xf
y Анықталу обылысы: .0)(xf

группа ENTGLOBUS.KZ VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 19
 .
)()(
1
xgxf
y

 Анықталу обылысы: 







)()(
0)(
0)(
xgxf
xg
xf

 ).(log
)(
xfy
xg
 Анықталу обылысы: .
1)(
0)(
0)(








xg
xg
xf
 ).(arccos).(arcsin xfyжјнеxfy 
Анықталу обылысы:1)(xf
 .tgxy Анықталу обылысы: .,
2
Znnx 

 ,ctgxy от Анықталу обылысы: .,Znnx 

Кейбір функциялардың мәндер обылысы

 );()(  yEbkxy
 


a
bac
ycbxaxy
4
4
.
2
0
2 парабола ұшы
жиынбосyEyЕскертуyyEa
yEyЕскертуyyEa


)(0:].;0[)(0)2
);0[)(0:).;[)(0)1
00
00

  
2222
;)(.sincos babayEkxbkxay 

Жұптығы және тақтығы
)()()();()()( xfxfтаќxfxfxfжўпxf 

Басқа жағдайда тақта, жұпта болмайды.
 ТЖTTTЖЖЖ  ;; тақта, жұпта емес;
 ;:;;:; TТЖТТЖЖЖЖЖЖЖ 
  arctgxyxyctgxytgxyxy ,arcsin,,,sin тақ; xycos
-жұп.

группа ENTGLOBUS.KZ VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 20
  arcctgxyxy ,arccos тақта, жұпта емес.


 Жұп функциялардың графигі ОҮ өсіне
симметриялы;
 Тақ функциялардың графигі координата басына
қарағанда симметриялы.


Периодтылығы

Функцияның ең кіші оң (Т) периоды:
;:)()(
;
2
:)cos()sin(
;:;2:sincos
k
Tkxctgyukxtgy
k
Tkxyukxy
TctgxyutgxyTxyиxy










Кері тригонометриялық функциялар
:arcsin)1 xy
Анық. об.: ].1;1[x Мән. об.: 






2
;
2

y
2) :arccosxy Анық. об.: ].1;1[x Мән. об.: ;0y
3) :arctgxy Анық. об.: .Rx Мән. об.: 






2
;
2

y
4) :arcctgxy Анық. об.: .Rx Мән. об.: ;0y .

Туынды.

 Қосынды: )()())()(( xgxfxgxf 
 Көбейтінді: )()()()())()(( xgxfxgxfxgxf 
Бөлшек: ;
)(
)()()()(
)(
)(
2
xg
xgxfxgxf
xg
xf 











группа ENTGLOBUS.KZ VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 21
 Күрделі функция:   ).())(())(( xgxgfxgf 

 Дербес жағдайда:
);())(( xfcxfc  ;
)(
)(
)(
1
2
xf
xf
xf












Жанама теңдеуі

 )(xfy функция графгі нүктесіндегі жанама
теңдеуі
.)(
000
ytgkxxkyy   
- жанама мен ОХ өсі арасындағы бұрыш.


Функциялардың ең үлкен және ең кіші мәндері

 :
2
cbxaxy 
.max0)2;min0)1
00
yyayya 
Бұл жерде : ;
4
4
;
2
0
2
0
2
00
cbxax
a
acb
y
a
b
x 


 .1min,1max);();(  yykxCosykxSiny 
 )()( kxCosbkxSinay 
.min,max
2222
baybay 
 b
a
Fbtzyxa
t
z
y
x
xF  2min.,)(
 







0..2
0..2
0,)(
xпризннаибk
xпризннаимk
k
x
k
xxF
 baybxaxy  min;
 )(xfy функцияның ba; кесіндідегі ең үлкен және
ең кіші мәндерін табу үшін :
▫ ];;[,.....,,0
21 baxxy 
▫ ;)(),(),.....(),(
21 byayиxyxy

группа ENTGLOBUS.KZ VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 22
▫ Бұл сандардың ең кіші немесе ең үлкені
алынады.
Интеграл

 Егер )()( xfxF болса, онда )(xF функция )(xfy

Функциясының алғашқы функциясы деп аталады.
 Ньютон-Лейбниц формуласы:
)()()()( aFbF
a
b
xFxfS
b
a

 Интеграл көмегімен ауданды табу:


b
a
b
a
dxxfxfSdxxfS ))()(()(
21












IV. Тригонаметия.

Негізгі тригонаметриялық функциялар. Таңбалары.


c
b
ctg
c
a
tg
c
b
c
a




,
cos,sin

группа ENTGLOBUS.KZ VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 23
рад





180
- градустық өту 




180
рад
-радиандық өту


сos Sin tg ,ctg

Негізгі тригонометриялық теңдіктер.
x
xctg
x
x
ctgx
x
x
tgx
ctgxtgx
x
xtgxxSin
2
2
2
222
sin
1
1;
sin
cos
,
cos
sin
1
cos
1
1;1cos





Тригонометриялық функциялардың бірін екіншісі арқылы
өрнектеу. 
















tg
ctg
ctg
tg
ctg
ctg
tg
ctgtg
tg
1
cos1
cos
sin
sin1
1
cos
cos1
sin1
sin
11
1
sin1cos
1
1
1
cos1sin
2
2
2
2
22
2
22
2




















Бұл жерде түбірдің таңбасы аргументтің қай ширекте
орналасуына тәуелді болады.

группа ENTGLOBUS.KZ VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 24
Мысалы: Егер  






2
,0
 болса, онда 1-формула оң таңбамен
алынады, егер  






2
3
,

 (III-ширек) болса, онда 1-ші формула
теріс таңбамен алынады.
Қосу формулалары.
  cossincossin)sin( 
  sinsincoscos)cos( 
 ;
1
)(;
1
)(






ctgctg
ctgctg
ctg
tgtg
tgtg
tg










Қос бұрыштық формулалар. 



3
2
sin4sin33sin;
1
2
cossin22sin 


tg
tg












ctg
ctg
ctg
tgctgtg
tg
tg
tg
tg
2
1
2;
2
1
2
2
cos3cos43cos;
1
1
sin212cos
;1cos2sincos2cos
2
2
3
2
2
2
222














Дербес жағдайы: 2
sin
2
coscos;
2
cos
2
sin2sin
22 


 


Жарты бұрыш формулалары.

группа ENTGLOBUS.KZ VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 25 












cos1
cos1
cos1
sin
sin
cos1
2
cos1
cos1
cos1
sin
sin
cos1
2
2
cos1
2
cos
2
cos1
2
sin


















cg
tg

Дәрежені төмендету формулалары.
4
3sinsin3
sin
2
2cos1
sin
32 







4
3coscos3
cos
2
2cos1
cos
32 








 3244
8
1
4
 xCosxCosxSin
 
xCosxxCosSinxCosxSin
xCosxxCosSinxCosxSin
xCosxCosxSinxCosxCosxCos
4
8
3
8
5
31
4
4
1
4
3
21
2;3244
8
1
2266
2244
444





Көбейтіндіні қосындыға келтіру.

группа ENTGLOBUS.KZ VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 26 ;
));sin()(sin(
2
1
cossin
))cos()(cos(
2
1
coscos
))cos()(cos(
2
1
sinsin
ctgyctgx
tgytgx
ctgyctgx
tgytgx
tgytgx
yxyxyx
yxyxyx
yxyxyx











Қосындыны көбейтіндіге келтіру.
;
2
cos
2
cos2coscos
;
2
cos
2
sin2sinsin
yxyx
yx
yxyx
yx





;
4
cos2
4
sin2sincos
;
2
sin
2
sin2coscos















xxxx
yxyx
yx

;
sin
8sin
8
1
4cos2coscos:
sin
2sin
2
1
2cos...4cos2coscos
;
coscos
)sin(
;,;:
);sin(sincos
;
4
sin2
4
cos2sincos
1
1
22
x
x
xxxМысалы
x
x
xxxx
yx
yx
tgytgx
r
q
Cosz
r
p
Sinzqprжердебўл
xzrxqxp
xxxx
n
n
n























группа ENTGLOBUS.KZ VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 27
Келтіру формулалары.

x
2

x
x
2
3
x2
-х
sinx cosx xsin -cosx xsin -sinx
cosx  sinx -cosx  sinx cosx Cosx
tgx  ctgx tgx ctgx tgx -tgx
ctgx  tgx ctg tgx ctgx -ctgx



Кері тригонометриялық функциялар.
xxxx arccos)arccos(;arcsin)arcsin(  

;)(;)( acrctgxxarcctgarctgxxarctg  

x
x
xtg
x
x
xtg
xxtgxarctgRxxarctgxtg
x
arctgxxx
xxxxxx
x
x
arctgxxx
xxxxxx
2
2
2
2
2
2
1
)(arccos;
1
)(arcsin
);
2
;
2
(;)(;;)(
;
1
1
)cos(;1)cos(arcsin
];1;1[;)cos(arccos];;0[;)arccos(cos
;
1
)sin(;1)sin(arccos
;
2
;
2
;)arcsin(sin];1;1[;)sin(arcsin





















группа ENTGLOBUS.KZ VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 28


Тригонометриялық теңдеулер
Znnarcctgaxactgx
Znnarctgaxatgx
Znnaxaax
Znaxaax
n




,,
,,
,2arccos,1,cos
,arcsin)1(,1,sin






 Дербес жағдайы
1) 

 nxxnxx 2
2
1sin0sin  

nxx 2
2
1sin 

2) 

nxxnxx 21cos
2
0cos  nxx 2,1cos 


3)

 nxctgxnxtgx 
2
0)40


Тригонометриялық теңсіздіктер

Теңсіздік Шешімі ),1( Zna 
1) ]2arcsin;2[arcsin,sin  nanaxax 
2) sin [ arcsin 2 ; arcsin 2 ]
3) cos [ arccos 2 ; arccos 2 ]
4) [arccos 2 ; 2 arccos 2 ]
5) [ ; ), ,
2
x a x a n a n
x a x a n a n
ñosx a x a n a n
tgx a x arctga n n a R n Z
  

  


     
    
    
     

группа ENTGLOBUS.KZ VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 29 6) ; , ,
2
7) [ ; ), ,
tgx a x n arctga n a R n Z
ctgx a x arcctga n n a R n Z


  

      
 

     

8) ( ; ], ,ctgx a x n arcctga n a R n Z    



Мысалы: ;
2
2
sinx Шешімі: 1-формуладан пайдаланамыз.
.2
4
3
;2
4
2
4
;2
442
2
arcsin
2
2






















nnx
nnxa







V. Планиметрия

Бұрыштар
1). Өлшемі ''45'1757
180
1
0
0


рад
2). Түрі: Сүйір: Тік :





Доғал: Жазық :

группа ENTGLOBUS.KZ VK.COM/ENTGLOBUS_KZ 30
вертикалжјне 
2121 ,, 
кґрші,



0
180 2121 ; 

▫ сәйкестік: 1-5; 2-6; 3-7; 4-7
▫ ішкі айқастықта жататын. 3-5; 4-6
▫ іргелес бұрыштар: 3-6; 4-5



Үшбұрыш
0
111
0
1,1,1
360)2
180)1
.,,
,








ba
ba
бурышішкіba
бурышсырткыba


3) .a1=b+y. b1=a+y. y1=a+b; a+b>c; b+c>a;
a+c>b
Биіктік
Үшбұрыш төбесінен шыққан және қарсы жатқан қабырғаға
перпендикуляр болған кесінді cba
a
hhhr
cSinbybSin
a
S
h
1111
)1
2



r - іштей сызылған шеңбер радиусы;