«Евклид» геометриялық есептер олипиадасы жауабы
І кезең 2 геометриялық теореманы дәлелдеу (10 баллдан 20 балл)
№1 теорема
Косинустар теоремасын дәлелдеңіз.

№2 теорема
трапецияның орта сызығына қатысты теоремасын дәлелдеңіз.

ІІ кезең 3 геометриялық есеп (10 баллдан 30 балл)
№1 есеп
АВС үшбұрышының ішінде жатқан М нүктесінен оның АС және ВС қабырғаларына
дейінгі ара қашықтық сәйкесінше 2 және 4-ке тең. Егер AB=10, BC=17, AC=21
болса, онда М нүктесінен АВ қабырғасына дейінгі ара қашықтықты табыңдар.
Шешуі.

?=

10 + 17 + 21
= 24
2

???? = √24 ∙ 14 ∙ 7 ∙ 3=84
1

1

1

2

2

2

???? = ???? + ???? + ???? = ∙ 17 ∙ 4 + ∙ 21 ∙ 2 + ∙ 10 ∙ ℎ=84
5h=29
29

h=

5
29

Жауабы. NM=h=

5

№2 есеп
Егер a, b,c – үшбұрыштың қабырғалары болса, онда ?2 + ? 2 + ? 2 < 2(?? + ?? + ??)
теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіздер.
Шешуі.
Үшбұрышта a-b< ?, a-c< ?, ?-c< ? орынды. Екі жағын квадраттаймыз.
a − b < ?,
{a−c ?−c
?2 − 2?? + ? 2 < ? 2
→ { ?2 − 2?? + ? 2 < ? 2
? 2 − 2?? + ? 2 < ?2

→ ??2 + 2? 2 + 2? 2 − 2(?? + ?? + ??) < ?2 + ? 2 + ? 2
?2 + ? 2 + ? 2 < 2(?? + ?? + ??) дәлелденді.

№3 есеп
Шеңберге сырттай сызылған ABCD төртбұрышында AB:DC=1:2 және BD:AC=2:3
қатынастары орындалады. AD:BC қатынасын табыңыз.
Шешуі.

∠??? = ∠???
→ ∆??? = ∆??? ;
{
∠??? = ∠???
??
??

=

??
??

=

??
??

=

1
2

→ ?? = 2??, ?? = 2??

?? ?? + ?? ?? + 2?? 2
=
=
=
?? ?? + ?? ?? + 2?? 3
2AO+4BO=3BO+6AO
BO=4AO ,

??
??

=

1
4

?? ?? 1
∠??? = ∠???
→ ∆??? = ∆??? →
=
=
{
∠??? = ∠???
?? ?? 4
Жауабы.

??
??

=

1
4