Функционалдық теңдеулерді шешу.

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

Қарағанды облысы, Теміртау қаласы, Ақтау кенті

№29 жалпы білім беретін орта мектебі, коммуналдық мемлекеттік мекемесі

Математика және физика пәні мұғалімі:

Каленова Тамара Турдыбаевна

Тақырып: Функционалдық теңдеулерді шешу.

(математикалық олимпиадаға дайындық тапсырмалары)

Функциональные уравнения

I. Введение, разминка.

Определение. Функциональным называется уравнение, содержащее кроме переменных неизвестные функции.

Решить данное функциональное уравнение – это значит найти все функции, удовлетворяющие данному уравнению при заданных значениях переменой или доказать, что таких функций нет.

Простейшими примерами функциональных уравнений могут служить:

f(х) = f(-х) - уравнение четности, f(х+Т) = f(х) – уравнение периодичности и другие.

Рассмотрим следующие вопросы:

1. Существует ли линейное уравнение f(х), удовлетворяющее для всех х соотношению f(х+1) + f(2х) = (х+1)²?

Ответ: Нет, т. к. в левой части многочлен первой степени, а в правой части – второй.

2. Известно, что f(х+3) = 2 f(х) – 5 при х R. Выразите f(х+6) и f(х+9) через f(х).

Решение. Пусть х+3 = t+6, тогда х= t+3. Следовательно,

f(t+6) = 2f(t+3) – 5 = 2 (2f(t ) – 5) = 4f(t) – 10 – 5 = 4f(t) – 15.

Заменив t на x, получим

f(х+6) = 4f(х) – 15.

Пусть х+3 = t+9, тогда х= t+6. Следовательно,

f(t+9) = 2f(t+6) – 5.

Заменив t на x, получим

f(х+9) = 2f(х+6) – 5 = 2(4f(х) – 15) – 5 = 8f(х) – 30 – 5 = 8f(х) – 35.

Ответ: f(х+6) = 4f(х) – 15; f(х+9) = 8f(х) – 35.

3. Дана функция f(x) = . Найти f(), f () для x≠ - 2.

Решение. f() = = , x ≠ 0.

f() = , x ≠ -1.

Ответ: f() = , x ≠ 0; f() = , x ≠ -1.

Выполним несколько упражнений на применение метода неопределенных коэффициентов:

3. Даны многочлены Р(х) = Методом неопределенных коэффициентов найти .

Решение: Очевидно, что частное является многочленом второй степени. Пусть где = aх² + bх + c, тогда Р(х), т.е.

(aх² + bх + c)

Представим обе части равенства в виде многочленов и сравним коэффициенты при равных степенях переменных. Получим систему уравнений:

a = 2;

b - 5a = -27;

c - 5b =115;

-5c = -150.

Отсюда a = 2; b = -17; =30, = 2х² - 17х + 30.

Ответ: 2х² - 17х + 30.

3. Методом неопределенных коэф

4. фициентов показать, что выражение у= (х +1)(х +2)(х+3)(х+4) +1 есть квадрат трехчлена.

Решение: (х +1)(х +2)(х+3)(х+4) +1 = .

Представим обе части равенства в виде многочленов:

.

Сравним коэффициенты при равных степенях переменных. Получим систему уравнений:

Отсюда a = 1, b = 5, с = 5 или a = -1, b = -5, с = -5. Следовательно,

(х +1)(х +2)(х+3)(х+4) +1= .

Ответ: (х +1)(х +2)(х+3)(х+4) +1= .

II. Методы решения функциональных уравнений

Решение функциональных уравнений состоит из трех шагов:

1. Предполагая, что решение существует, методом подстановки или методом неопределенных коэффициентов решаем его.

2. Проверкой убеждаемся, что данная функция удовлетворяет данному функциональному уравнению.

3. Доказываем, что других решений нет.

Рассмотрим примеры решения функциональных уравнений:

3. Известно, что f() = х – 3. Найти f(х), x ≠ - 1.

Решение. Обозначим , тогда 2x = tx – t, x =, t ≠ 2.

Тогда f(t) =.

Заменив t на x, получим f(x) =, x ≠ 2.

Ответ: f(x) =, x ≠ 2.

Проверка:

f() =

3. f(х+5) = х². Найдите f(х).

Решение. Пусть х+5 = t, тогда х = t-5. Следовательно,

f(t) = = . Заменив t на x, получим f(x) = .

Ответ: f(x) =

3. Найдите все такие функции f(х), что f(2х+1) = 4х²+14х +7.

Решение.

I способ . Решим уравнение методом неопределенных коэффициентов. Очевидно, что f(х) – квадратичная функция, f(х) = aх²+bх +c. Тогда

f(2х+1) = a(2х+1)²+b(2х+1)+с = 4aх²+4aх+a+2bx+b+с = 4aх²+(4a+2b)x+(a+b+с).

Сравнивая коэффициенты, получим систему уравнений:

4a=4;

4a+2b=14;

a+b+c=7.

Следовательно, a=1; b=5; с=1.

Тогда f(х) = х²+5х +1.

II способ. Решим уравнение методом подстановки.

Пусть t = 2x+1, тогда x=

Подставим в исходное уравнение:

f(t) = +14 +7 = t² - 2t + 1+ 7t = t² + 5t + 1.

Заменив t на x, получим

f(x) = x² + 5x + 1.

Ответ: f(x) = x² + 5x + 1.

3. Решите уравнение f(x)+2f = 1 способом подстановки.

Решение. Пусть t = , x ≠ 0, тогда x = , t ≠ 0. Получим уравнение

f()+2f = 1.

Заменив t на x, получим f()+2f = 1. Решим систему уравнений:

f(x)+2f = 1;

f()+2f = 1.

Умножив второе уравнение на -2 и сложив с первым, получим

-3f(x) = -1

f(x) = .

Ответ: f(x) = , x ≠ 0.

3. Решите уравнение 2f(x) - 3f(x + 2) = x способом подстановки.

Решение. Очевидно, что в левой части уравнения линейная функция

f(x) = kx+b. Тогда f(x+2) = k(x+2)+b = kx+2k + b. Подставим в исходное уравнение:

2(kx+b) – 3(kx+2k + b) = x.

-kx + (- b - 6k) = x

Сравнивая коэффициенты в левой и в правой части уравнения, получим систему уравнений:

- k = 1;

- b - 6k = 0.

Отсюда k = - 1; b = 6, следовательно, f(x) = - x+ 6.

Ответ: f(x) = - x+ 6.

3. Решите уравнение: - f(x) +2f() = x+1, x ≠ -1

Решение. Применим способ подстановки. Пусть t = , тогда

tx + t = 1 – x,

x(t+1) = 1 – t

x = , t ≠ -1

Переименуем t на x: х и подставим в исходное уравнение. Получим систему уравнений:

- f(x) +2f() = x +1;

- f() +2f(x) = +1.

Умножая первое уравнение на 2 и складывая со вторым, получим

3f(x) = + x + 1

3f(x) = .

f(x) = .

Проверка:

f() = = = = .

Подставим в исходное уравнение:

- f(x) +2f() = ==x +1.

Докажем единственнос