Эссе

Эссе тақырыбы: “Функцияның берілу тәсілдері”

Мақсаты: Бұл тапсырма 1‑курс студенттеріне функция ұғымының түрлі жолдармен берілуін түсіндіру, әрбір тәсілдің артықшылықтары мен кемшіліктерін салыстырып көрсету, сондай‑ақ практикалық мысалдар арқылы талапкерлерге функцияларды бір түрден екіншісіне түрлендіруді үйрету. Эссе толық, түпнұсқалық және кемінде 500 сөзден тұрады.

Эссе

Кіріспе. Функция — математиканың ең негізге тиесілі ұғымдарының бірі: ол әрбір кіріс элементке бір ғана шығыс элементін сәйкестендіретін ереже. Функцияны сипаттау — математикалық модель құрудың негізгі кезеңі, себебі нақты жүйелерді (физика, экономика, информатика) зерттеуде бірдей мағлұматты әртүрлі тәсілдермен көрсетуге болады. Функцияның берілу тәсілдері — формула, кесте (немесе жұптар жиыны), график, карта түріндегі (mapping diagram) және вербалды сипаттама. Осы эсседе әрбір тәсілдің теориялық негізі, практикалық қолданылуы және бір тәсілден басқаға қалай өту керектігі талданады.

Негізгі бөлім.

1. Теориялық түсінік және негізгі тәсілдер. Функцияны формальды түрде былай жазамыз:

• мұнда

• — анықталу облысы (domain),

• — мәндер жиыны (codomain). Формулалық түрде функция көбінесе аналитикалық ереже ретінде беріледі, мысалы

• . Кесте немесе жұптар жиыны функцияны дискретті жағдайда көрсетуге ыңғайлы:

• . График — функцияны көрнекілеу құралы: координаталық жазықтықтағы нүктелердің жиыны арқылы сызықтық немесе қисық формада беріледі. Mapping diagram (суреттегі карта) — әсіресе оқытуда пайдалы: анықталу облысының әр элементінен шығыс элементке бағытталған жебелер арқылы сәйкестендіру көрсетіледі. Вербалды сипаттама — функцияның мағынасы сөзбен беріледі (мысалы, «студенттердің сынақтан алған ұпайлары бойынша рейтинг орнату»).

2. Артықшылықтары мен кемшіліктері. Формула аналитикалық зерттеулерге, туынды және интеграл есептеулеріне ыңғайлы; тез есептеледі, бірақ кейде нақты деректерге үйлеспейді немесе дискретті бақылауларды сипаттай алмайды. Кесте нақты алынған мәліметтерді дәл көрсетеді, бірақ жалпы ережені табу қиын болуы мүмкін және үздіксіздік, дифференциалдау сияқты қасиеттер көрінбейді. График ұғымды интуитивті беріп, көрнекілік қосады, бірақ үлкен мәліметтер жиынын көрсету ауыр болуы мүмкін. Mapping diagram студентке концепцияны түсінуге көмектеседі, алайда күрделі немесе үлкен жиындар үшін тиімсіз. Вербалды сипаттама жүйенің мағынасын түсіндіреді, алайда формалды дәлдік аз болады.

3. Қолданбалы мысал және түрлендіру. Мысал ретінде дискретті бақылау нәтижелерінен формула табу процедурасын қарастырайық. Берілген кесте:

• Бұл нүктелердің айырмашылығы тұрақты: әрбір x‑тің ұлғаюы бойынша y‑дің ұлғаюы 2-ге тең, сол себепті сызықтық функция түрінде жазамыз:

• Бұл — кестеден формулага өту мысалы. Кері бағытта, егер

• болса, дискретті x мәндері үшін кесте, жұптар және график оңай құрылады:

• Бұл түрлендірулер студентке функцияның үздіксіз немесе дискретті сипатын бағалауға мүмкіндік береді.

4. Балама көзқарастар және сыни талдау. Қандай берілу тәсілін таңдау зерттеу мақсаттары мен контекстке байланысты. Мысалы, физикада үздіксіз функциялар мен олардың туындылары маңызды болғандықтан формулалық немесе графикалық көрсету басым. Экономикада нақты бақылаулар көп болған жағдайда кестелік және статистикалық модельдер қажет. Бағдарламалау мен деректер ғылымында функциялар көбінесе код түрінде жүзеге асады (программалық функция), бұл практикалық жақындықты береді. Оқу процесінде әр тәсілді үйлестіріп қолдану — ең тиімді әдіс: формула аналитика және болжау үшін, кесте нақты деректер мен тексеру үшін, график интуиция үшін.

5. Жеке ой және қорытындыға даярлық. Функцияның берілу тәсілдері біреуін ғана таңдап қоюға болмайтын, бірін-бірі толықтыратын құралдар. Менің ойымша, функциялардың бірнеше тәсілмен берілуін біріккен түрде үйрету студенттердің теория мен практиканы байланыстырып, терең түсінік қалыптастырады. Мысалы, бастапқы теориялық сабақтарда формулалық және графикалық тәсілдер қолданыла отырып, кейінгі сабақтарда нақты эксперименттік деректерді кестеге түсіріп, формула табу немесе модельді түзету дағдылары оқытылуы керек.

Қорытынды. Функцияларды беру тәсілдерін үйрену математикалық ойлауды дамытуға, нақты мәліметтерді модельдеуге және зерттеу жүргізуге негіз болады. Әр тәсілдің өзінің артықшылықтары бар, сондықтан академиялық және практикалық тапсырмаларда олардың үйлесімін қолдану тиімді. Студенттерге ұсынылатын міндет — әр жаңа есепті сол тапсырмаға ең қолайлы тәсіл арқылы көрсетуге үйрену және қажетті жағдайда бір тәсілден екіншісіне сенімді түрде көше білу.

Тапсырмалар (жаттығулар) және шешімдері

Тапсырма 1. Қандай берілу тәсілдері бар екенін қысқаша атаңыз және әрқайсысының бір сөйлемдік артықшылығы мен кемшілігін жазыңыз. Шешім (ұсыныс): жауап ретінде формула, кесте (жұптар), график, mapping diagram, вербалды сипаттама. Әрқайсысының артықшылығы мен кемшілігін қысқа жазу міндеті.

Тапсырма 2. Келесі жұптар жиыны функция ма? Неліктен?

Шешім: Жоқ, өйткені бір кіріс (1) екі түрлі шығысқа (2 және 4) сәйкес келеді — бұл функция шартын бұзады.

Тапсырма 3. Кестеден формула табыңыз:

Шешім: x‑тен y‑ге дейін айырмашылық бірдей (үшке тең), сондықтан сызықтық функция бар:

Тапсырма 4. Формуладан кесте құрыңыз:

үшін

мәндеріне сәйкес. Шешім:

Тапсырма 5. Вербалды сипаттамадан формула жазып көріңіз: «Берілген санды екі есе көбейтіп, одан үш азайтқан нәтиже». Шешім: Формула:

Тапсырма 6. Графиктен функцияның анықталу облысын және жиілік сипатын қалай бағалауға болатынын түсіндіріңіз (қысқаша). Шешім (ұсыныс): Графиктің сол жақтағы ең шалғай және оң жақтағы ең шалғай нүктелері арқылы анықталу облысын табуға болады; үздіксіздік, үзілістер, максимум/минимумдар график арқылы көрінеді.

Қосымша бағалау тапсырмасы (шығармашылық). Берілген нақты эксперименттік кестеден (оқу мәліметтері) сызықтық модельді табыңыз, және оның болжау дәлдігін бір сөйлеммен бағалаңыз. (Пайдалану үшін: бейнелеу, регрессия қарапайым әдістерін қолданыңыз.)

Нұсқаулық пен бағалау критерийі: - Эссе құрылымы: кіріспе, негізгі бөлім, қорытынды (міндетті). - Ұзындығы: кемінде 500 сөз. - Бірегейлік: мәтін түпнұсқа болуы тиіс. - Логика мен дәлелдеме: негізгі ойлар логикалық түрде негізделген болуы керек. - Формула және мысалдар: кемінде бір формула және бір нақты мысал болу керек (жоғарыдағы тапсырмалар бұл талапты қанағаттандырады).

Егер қажет болса, мен осы тапсырмаларға қосымша жауаптарды бағалап, жеке түзетулер мен ұсыныстар беремін.