Геометрия және физика: Евклидтік емес кеңістіктер

Кіріспе
Адамзат баласы ежелден кеңістік пен қозғалыстың табиғатын түсінуге ұмтылды. Ежелгі Грекия математигі Евклидтің «Бастамалары» атты еңбегі екі мың жылдан астам уақыт бойы геометрияның негізі ретінде қабылданып келді. Евклидтік геометрия логикалық тұрғыдан тұтас, айқын жүйе болғанымен, XIX ғасырда ғалымдар оның белгілі бір шектеулері бар екенін байқады. Әсіресе Евклидтің атақты V постулаты – параллельдік аксиома үлкен даулар туғызды. Сол кезеңде Н. И. Лобачевский мен Я. Бойяи тәуелсіз түрде жаңа геометриялық жүйе жасап, «евклидтік емес геометрияның» негізін қалады. Кейінірек неміс математигі Б. Риман бұл идеяларды жалпылап, көпөлшемді кеңістік пен қисықтық ұғымдарын енгізді. XX ғасырда А. Эйнштейннің салыстырмалылық теориясы осы римандық геометрияға сүйеніп, физика ғылымының дамуында төңкеріс жасады.

1. Евклид геометриясының негіздері және шектеулері

Евклидтің геометриясы бес аксиомаға негізделген. Олардың ішінде ең күрделісі – V постулат, яғни «берілген түзуге сыртқы нүкте арқылы тек бір ғана параллель жүргізуге болады» деген қағида. Көп ғасыр бойы математиктер бұл постулаттың басқа аксиомалардан шығарылатынын дәлелдеуге тырысты, бірақ нәтиже шықпады. Ақырында бұл постулат дербес аксиома екені дәлелденіп, оны жоққа шығару арқылы жаңа геометрия құруға болатыны анықталды.

2. Лобачевский геометриясы – гиперболалық кеңістік

Орыс ғалымы Н. И. Лобачевский 1829 жылы жариялаған еңбегінде Евклидтің V постулатын жоққа шығарып, жаңа геометриялық жүйе құрды. Оның теориясында бір түзуден тыс берілген нүкте арқылы оған шексіз көп параллель жүргізуге болады. Мұндай кеңістік гиперболалық кеңістік деп аталады.

Негізгі қасиеттері:

• Үшбұрыш бұрыштарының қосындысы әрқашан 180°-тан кіші;

• Түзулердің арақашықтығы шексіз ұлғайған сайын тұрақты болмайды;

• Геометриялық фигуралардың өлшемдері евклидтік кеңістікке қарағанда өзгеше сипатталады.

Бұл теория басында «қиял» деп қабылданғанымен, кейін оның ішкі логикалық қайшылығы жоқ екені дәлелденді.

3. Риман геометриясы – эллиптикалық кеңістік

XIX ғасырдың ортасында Б. Риман көпөлшемді кеңістіктер теориясын дамытып, «кеңістіктің қисықтығы» ұғымын енгізді. Оның пікірінше, кеңістік міндетті түрде түзу және жазық болмауы мүмкін. Егер кеңістік оң қисықтыққа ие болса, онда Евклидтің V постулаты да орындалмайды.

Риман геометриясының ерекшеліктері:

• Берілген нүктеден түзуге параллель жүргізу мүмкін емес;

• Үшбұрыш бұрыштарының қосындысы әрқашан 180°-тан артық;

• Кеңістікті сипаттауда метрика, қисықтық тензоры сияқты ұғымдар қолданылады.

Бұл теория кейінірек көпөлшемді математика, топология және физика үшін іргелі құралға айналды.

4. Евклидтік емес геометрияның философиялық маңызы

Евклидтік емес геометрияның пайда болуы ғылым тарихындағы парадигмалық өзгеріс болды. Ғалымдар бұрын «геометрия тек бір ғана – Евклидтік жүйе болуы мүмкін» деп сенсе, енді бірнеше өзара қайшы, бірақ бірдей дұрыс геометриялардың бар екенін мойындады. Бұл ғылым философиясында «аксиомалық жүйелердің салыстырмалылығы» ұғымын енгізді.

5. Салыстырмалылық теориясы және Риман геометриясы

XX ғасырдың басында Альберт Эйнштейн жалпы салыстырмалылық теориясын жасады. Ол кеңістік пен уақытты біртұтас төртөлшемді кеңістік-уақыт деп қарастырды. Денелердің массасы бұл кеңістік-уақытты «иіп», қозғалыстың жаңа заңдарын тудырады. Мұны сипаттау үшін Риман геометриясы қолданылды.

Мысалдар:

• Жарық сәулесінің тартылыс өрісінде майысуы (1919 жылғы Эддингтон тәжірибесімен дәлелденген);

• Қара құрдымдардың пайда болуы;

• Ғаламның кеңеюін сипаттайтын космологиялық модельдер.

Осылайша, римандық геометрия тек математикалық абстракция ғана емес, нақты физикалық құбылыстарды түсіндірудің негізгі құралына айналды.

6. Қазіргі заманғы қолданыстар

Евклидтік емес геометрияның идеялары бүгінгі таңда ғылымның түрлі салаларында қолданылады:

• Космологияда – ғаламның құрылымын модельдеу үшін;

• Астрофизикада – гравитациялық толқындар мен қара құрдымдарды зерттеуде;

• Инженерияда – күрделі архитектуралық құрылымдарды жобалауда;

• Компьютерлік графикада – үшөлшемді модельдеу мен виртуалды шындық жасауда.

Қорытынды

Евклидтік емес геометрия – математика мен физикадағы ең үлкен төңкерістердің бірі. Лобачевский гиперболалық кеңістікті, Риман эллиптикалық кеңістікті енгізіп, жаңа математикалық әлемнің есігін ашты. Бұл идеялар Эйнштейннің салыстырмалылық теориясында өз шынайы көрінісін тапты. Бүгінгі күні ғаламның табиғатын түсіну үшін бізге дәл осы геометрия қажет. Демек, Лобачевский мен Риман еңбектері – тек математикалық жаңалық емес, бүкіл ғылыми өркениеттің дамуындағы шешуші қадам.