Р. К. Гордин

ГЕОМЕТРИЯ
Планиметрия
7–9 классы
Учебное пособие

3-е издание, исправленное

Москва
Издательство МЦНМО

2006

УДК 373.167.1:514
ББК 22.151я721
Г68

Г68

Гордин Р. К.
Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. —
М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.
ISBN 5-94057-157-3
Книга содержит задачи различной сложности по основным темам
школьного курса планиметрии (7–9 классы).
По каждой теме приводятся основные теоретические факты, ключевые задачи, подробные решения наиболее важных задач, задачи на
отработку учебных навыков, для углубленного изучения геометрии и
олимпиадные задачи. К большинству задач даются ответы, решения или
указания.
Книга является дополнительным пособием к действующим учебникам по геометрии и может использоваться как в общеобразовательных,
так и в физико-математических школах, а также для подготовки к вступительным экзаменам в вузы.
Предыдущее издание книги вышло в 2004 году.

ББК 22.151я721

Учебное издание
Гордин Рафаил Калманович
ГЕОМЕТРИЯ. ПЛАНИМЕТРИЯ. 7–9 КЛАССЫ
Подписано в печать 09.10.2006 г. Формат 60 × 90 1/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Печ. л. 26. Тираж 3000 экз. Заказ №
Издательство Московского центра непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. 241-74-83.
Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных диапозитивов
в ОАО «Дом печати — ВЯТКА», 610033, г. Киров, ул. Московская, 122.

ISBN 5-94057-157-3

c МЦНМО, 2006

c Гордин Р. К., 2006


Предисловие
Настоящий сборник задач по геометрии является дополнительным материалом к действующим школьным учебникам.
Всего в сборнике более 1250 задач, которые распределены по
трем уровням сложности. Задачи каждого уровня не требуют
знаний, выходящих за рамки школьной программы. В то же
время, если для решения задач первого уровня достаточно добротного знания материала учебника, то задачи второго и тем
более третьего уровня подразумевают повышенный интерес к
геометрии и более глубокое владение умениями и навыками,
полученными на уроках. Задачи второго уровня рассчитаны
на наиболее сильных учеников обычного класса и на учеников
классов с углубленным изучением математики. Задачи третьего
уровня довольно трудны. Большинство из них в разное время предлагалось на различных математических олимпиадах.
Есть среди них и известные, ставшие классическими, задачи
элементарной геометрии, а также наиболее красивые задачи
вступительных экзаменов в вузы.
В начале каждого параграфа приведены основные факты,
необходимые для решения содержащихся в нем задач. Приводятся также примеры типичных задач с решениями.
Ко всем задачам на вычисление даются ответы. К наиболее
важным с точки зрения составителя задачам (не обязательно
наиболее трудным) приводятся решения или указания.
Ключевые задачи отмечены «ноликом» (например, 1.130 ).
Как правило, утверждения, содержащиеся в таких задачах, являются основой для решения целых циклов содержательных
задач школьной геометрии.
При подборе задач использована компьютерная информационно-поисковая система «Задачи» (http://zadachi.mccme.ru),

4

Предисловие

созданная под руководством И. Ф. Шарыгина в Московском центре непрерывного математического образования.
Книга адресована школьникам, желающим самостоятельно
научиться решать задачи по геометрии. Кроме того, она может
быть эффективно использована учителем для работы на уроках
и на занятиях математического кружка, а также для подготовки
к вступительным экзаменам в вузы.
Задачи сборника в течение многих лет использовались на
уроках геометрии в московской школе № 57.
Выражаю искреннюю благодарность Л. Д. Альтшулеру,
А. Буфетову, Б. П. Гейдману, А. А. Суханову, И. Ф. Шарыгину, А. Шеню, оказавшим мне большую помощь советами и
замечаниями при подготовке сборника к публикации.
Р. К. Гордин

Раздел первый

7 класс
§ 1.1. Измерение отрезков и углов
Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между
двумя другими.
Каждый отрезок имеет определенную длину, б´ольшую нуля.
Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
На любом луче от его начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, притом только один.
Каждый угол имеет определенную градусную меру, б´ольшую нуля. Развернутый угол равен 180◦ . Градусная мера угла
равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается
любым лучом, проходящим между его сторонами.
От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить
угол с заданной градусной мерой, меньшей 180◦ , притом только один.
Пример 1. Точки M , A и B расположены на одной прямой,
причем отрезок AM вдвое больше отрезка BM . Найдите AM ,
если AB = 6.
Решение. Из трех точек на прямой одна и только одна
лежит между двумя другими. Если точка M лежит между точками A и B (рис. 1, а), то AM = 2 AB = 4. Если точка B лежит
3

а)

A

б)

A

M

B
B

Рис. 1

M

6

7 класс

между точками A и M (рис. 1, б ), то B — середина AM , поэтому AM = 2AB = 12. Точка A не может лежать между точками
B и M , так как в этом случае отрезок AM меньше отрезка BM .
Пример 2. Точка C — середина отрезка AB. На отрезках AC
и BC взяты соответственно точки M и N , причем AM : M C =
= CN : N B. Докажите, что отрезок M N равен половине отрезка AB.
Решение. Из равенства AM : M C = CN : N B следует
равенство AM : AC = CN : CB. Обозначим AM : AC =
= CN : CB = k, AC = CB = a (рис. 2). Тогда AM = kAC = ka,
M C = AC − AM = a − ka, CN = kCB = ka. Следовательно,
M N = M C + CN = a − ka + ka = a = 1 AB.
2

A

M

C

N

B

Рис. 2

Пример 3. Один из углов, образованных пересекающимися
прямыми a и b, равен 15◦ . Прямая a1 симметрична прямой a
относительно прямой b, а прямая b1 симметрична прямой b относительно a. Найдите углы, образованные прямыми a1 и b1 .
Решение. Возьмем на прямых a и b, пересекающихся в
точке O, соответственно точки A и B, отличные от O (рис. 3).
Пусть ∠AOB = 15◦ . Точка A1 , симметричная точке A относительно прямой b, лежит на
B1
прямой a1 , причем ∠A1 OB =
b1
a
= ∠AOB = 15◦ . Точка B1 , симA
метричная точке B относительно
b
O
прямой a, лежит на прямой b1 ,
B
a1
причем ∠B1 OA = ∠BOA = 15◦ .
A1
Так как луч OB лежит между
Рис. 3
лучами OA1 и OA, а луч OA —
между OB и OB1 , то ∠A1 OB1 = ∠A1 OB + ∠AOB + ∠AOB1 =
= 15◦ + 15◦ + 15◦ = 45◦ . Следовательно, при пересечении
прямых a1 и b1 образуются углы, равные 45◦ , 45◦ , 135◦ , 135◦ .

§ 1.1. Измерение отрезков и углов

7

Задачи первого уровня
1.1. На прямой последовательно откладываются точки A, B,
C и D, причем AB = BC = CD = 6. Найдите расстояние между
серединами отрезков AB и CD.
1.2. На прямой последовательно откладываются точки A, B,
C, D, E и F , причем AB = BC = CD = DE = EF . Найдите
отношения AD : DF , AC : AF , BD : CF .
1.3. Точка M — середина отрезка AB, а точка N — середина отрезка M B. Найдите отношения AM : M N , BN : AM
и M N : AB.
1.4. Точка K отрезка AB, равного 12, расположена на 5 ближе к A, чем к B. Найдите AK и BK.
1.5. Точка M расположена на отрезке AN , а точка N — на
отрезке BM . Известно, что AB = 18 и AM : M N : N B =
= 1 : 2 : 3. Найдите M N .
1.6. На прямой выбраны три точки A, B и C, причем AB =
= 1, BC = 3. Чему может быть равно AC? Укажите все возможные варианты.
1.7. На прямой выбраны четыре точки A, B, C и D, причем AB = 1, BC = 2, CD = 4. Чему может быть равно AD?
Укажите все возможные варианты.
1.8. На линейке отмечены три деления: 0, 2 и 5. Как отложить с ее помощью отрезок длиной 6?
1.9. На линейке отмечены три деления: 0, 7 и 11. Как отложить с ее помощью отрезок длиной: а) 8; б) 5?
1.10. На прямой взяты точки A, O и B. Точки A1 и B1 симметричны соответственно точкам A и B относительно точки O.
Найдите A1 B, если AB1 = 2.
1.11. Точка B лежит на отрезке AC длиной 5. Найдите расстояние между серединами отрезков AB и BC.
1.12. Точки A, B, C последовательно расположены на одной прямой и AB : BC = 3 : 4. Найдите отношения AB : AC
и BC : AB.
1.130 . Точки A, B, C расположены на одной прямой и
AC : BC = 2 : 5. Найдите отношения AC : AB и BC : AB.
1.140 . Точки A, B, C расположены на одной прямой и

8

7 класс

AC : BC = m : n (m и n — натуральные числа). Найдите
отношения AC : AB и BC : AB.
1.150 . Точка B делит отрезок AC в отношении AB : BC =
= 2 : 1. Точка D делит отрезок AB в отношении AD : DB =
= 3 : 2. В каком отношении точка D делит отрезок AC?
1.16. Даны точки A и B. Где на прямой AB расположены
точки, расстояние от которых до точки A больше, чем до точки B?
1.17. Один из двух смежных углов на 30◦ больше другого.
Найдите эти углы.
1.18. Один из двух смежных углов в 3 раза меньше другого.
Найдите эти углы.
1.190 . Докажите, что биссектрисы двух смежных углов перпендикулярны.
1.20. Докажите, что биссектрисы двух вертикальных углов
лежат на одной прямой.
1.21. Луч света, исходящий из точки M , зеркально отразившись от прямой AB в точке C, попал в точку N . Докажите,
что биссектриса угла M CN перпендикулярна прямой AB. (Угол
падения равен углу отражения.)
1.22. Точка M лежит внутри угла AOB, OC — биссектриса этого угла. Докажите, что угол M OC равен полуразности
углов AOM и BOM .
1.23. Точка M лежит вне угла AOB, OC — биссектриса этого угла. Докажите, что угол M OC равен полусумме углов AOM
и BOM .
1.24. Из точки на листе бумаги провели четыре луча, делящих плоскость на четыре угла. Затем лист разрезали по биссектрисам этих углов на четыре части (которые также являются
углами). Докажите, что два из этих углов образуют в сумме 180◦ , и два других — тоже.

Задачи второго уровня
1.25. Даны точки A и B. Где на прямой AB расположены
точки, расстояние от которых до точки A: а) вдвое больше, чем
до точки B; б) втрое меньше, чем до точки B?

§ 1.2. Признаки равенства треугольников

9

1.26. Даны точки A и B. Для каждой точки M , не совпадающей с точкой B и лежащей на прямой AB, рассмотрим
отношение AM : BM . Где расположены точки, для которых это
отношение: а) больше 2; б) меньше 2?
1.27. Имеется угольник с углом в 70◦ . Как построить с его
помощью угол в 40◦ ?
1.28. Имеется угольник с углом в 19◦ . Как построить с его
помощью угол в 1◦ ?
1.29. Через точку на плоскости провели 10 прямых, после
чего плоскость разрезали по этим прямым на углы. Докажите,
что хотя бы один из этих углов меньше 20◦ .
1.30. а) На сколько градусов поворачивается за минуту минутная стрелка? Часовая стрелка?
б) Какой угол образуют минутная и часовая стрелка в 3 часа
5 минут?
в) В полдень минутная и часовая стрелка совпали. Когда
они совпадут в следующий раз?
г) Сколько раз в течение суток часовая и минутная стрелки совпадают? Образуют развернутый угол? Образуют прямой
угол?

Задачи третьего уровня
1.31. В деревне у прямой дороги стоят четыре избы A, B, C
и D на расстоянии 50 метров друг от друга. В какой точке дороги надо построить колодец, чтобы сумма расстояний от колодца
до всех четырех изб была бы наименьшей?
1.32. В деревне A живет 50 школьников, в деревне B живет 100 школьников. Расстояние между деревнями 3 километра.
В какой точке дороги из A в B надо построить школу, чтобы
суммарное расстояние, проходимое всеми школьниками, было
как можно меньше?

§ 1.2. Признаки равенства треугольников
Первый признак равенства треугольников. Если две
стороны и угол между ними одного треугольника соответ-

10

7 класс

ственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны.
Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам
второго треугольника, то треугольники равны.
Третий признак равенства треугольников. Если три
стороны одного треугольника соответственно равны трем
сторонам другого, то треугольники равны.
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий
вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону.
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.
Треугольник называется равнобедренным, если у него две
стороны равны. Эти стороны называются боковыми сторонами.
Третья сторона называется основанием.
Треугольник называется равносторонним (правильным), если все его стороны равны.
Свойства равнобедренного треугольника.
10 . Углы при основании равнобедренного треугольника
равны.
20 . Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является его биссектрисой и высотой.
Признак равнобедренного треугольника. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Пример 1. На сторонах BC и B1 C1 равных треугольников ABC и A1 B1 C1 взяты соответственно точки M и M1 , причем BM : M C = B1 M1 : M1 C1 . Докажите, что AM = A1 M1 .
Решение. Из равенства треугольников ABC и A1 B1 C1 следует, что ∠B = ∠B1 и AB = A1 B1 (рис. 4). Отрезки BM и

§ 1.2. Признаки равенства треугольников
A1

A

B

11

M

B1

C

M1

C1

Рис. 4

B1 M1 составляют одну и ту же часть соответственно от отрезков BC и B1 C1 , поэтому они равны. Тогда треугольники ABM
и A1 B1 M1 равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AM = A1 M1 .
Пример 2. Постройте1 равнобедренный треугольник, если
даны прямая, на которой лежит медиана, проведенная из вершины, две точки на боковых сторонах и точка на основании.
Решение. Предположим, что искомый равнобедренный
треугольник ABC построен (рис. 5). Данные точки M и N
лежат на его боковых сторонах AB и AC
A
соответственно, данная точка K — на основании BC, медиана AL — на данной
прямой l. Поскольку медиана AL равноM1
M
бедренного треугольника ABC является
N
также его биссектрисой, а биссектриса есть
L
ось симметрии угла, то точка M1 , симметK C
ричная точке M относительно прямой l, B
l
лежит на боковой стороне AC. В то же
Рис. 5
время, медиана AL является также высотой равнобедренного треугольника ABC. Поэтому точка K
лежит на прямой, перпендикулярной данной прямой l.
Отсюда вытекает следующее построение. Строим точку M1 ,
симметричную данной точке M относительно данной прямой l.
Если точка M1 отлична от данной точки N и прямая M1 N пересекает данную прямую l, задача имеет единственное решение.
1

Если специально не оговаривается набор инструментов, то задача на
построение подразумевает использование циркуля и линейки.

12

7 класс

В этом случае прямая M1 N содержит одну из боковых сторон
искомого треугольника, а прямая, симметричная ей относительно данной прямой l, — вторую. Основание искомого треугольника получим, проведя через данную точку K прямую, перпендикулярную прямой l. Если прямая M1 N параллельна l, то задача
не имеет решений. Если же точка M1 совпадет с N , задача имеет
бесконечно много решений.
Пример 3. Постройте треугольник ABC, если известны сторона AC, острый угол при вершине A и разность сторон AB
и BC (AB > BC).
Решение. Предположим, что искомый треугольник ABC
построен (рис. 6). Пусть ∠A = a — данный угол, AC = a —
данная сторона, AB − BC = b — данная разность двух других
сторон. На стороне AB отложим
B
отрезок BC1 , равный BC. Тогда
AC1 = AB − BC1 = AB − BC = b,

C1

а точка B лежит на серединном
перпендикуляре к отрезку CC1 .
Рис. 6
Отсюда вытекает следующее построение. Строим треугольник ACC1 по двум сторонам AC = a,
AC1 = b и углу между ними: ∠CAC = a. Проводим серединный перпендикуляр к отрезку AC1 . Он пересекает луч AC1 в
искомой вершине B. Задача имеет единственное решение.

A

C

Задачи первого уровня
1.33. Медиана треугольника делит его на два треугольника,
периметры которых равны. Докажите, что треугольник равнобедренный.
1.34. Докажите, что в равных треугольниках соответствующие медианы равны.
1.35. Докажите, что в равных треугольниках соответствующие биссектрисы равны.
1.36. На сторонах вертикальных углов отложены от его вершины равные отрезки OA, OB, OC и OD. Укажите пары равных треугольников с вершинами в точках O, A, B, C и D.

§ 1.2. Признаки равенства треугольников

13

1.370 . Докажите, что биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины, является также медианой
и высотой.
1.380 . Медиана треугольника является также его высотой.
Докажите, что такой треугольник равнобедренный.
1.39. Биссектриса треугольника является его высотой. Докажите, что треугольник равнобедренный.
1.40. Медиана AM треугольника ABC перпендикулярна его
биссектрисе BK. Найдите AB, если BC = 12.
1.41. Прямая, проведенная через вершину A треугольника ABC перпендикулярно его медиане BD, делит эту медиану
пополам. Найдите отношение сторон AB и AC.
1.42. Стороны равностороннего треугольника делятся точками K, L, M в одном и том же отношении (считая по часовой
стрелке). Докажите, что треугольник KLM также равносторонний.
1.430 . Постройте треугольник по трем сторонам. Всегда ли
это можно сделать?
1.440 . Постройте угол, равный данному.
1.450 . Постройте треугольник:
а) по двум сторонам и углу между ними;
б) по стороне и двум прилежащим к ней углам.
1.460 . В треугольнике ABC медиана AM продолжена за
точку M на расстояние, равное AM . Найдите расстояние от
полученной точки до вершин B и C, если AB = c, AC = b.
1.470 . Биссектриса треугольника является его медианой.
Докажите, что треугольник равнобедренный.
1.48. Равны ли треугольники:
а) по двум сторонам и углу;
б) по стороне и двум углам?
1.490 . Докажите признаки равенства прямоугольных треугольников:
а) по двум катетам;
б) по катету и гипотенузе;
в) по катету и прилежащему острому углу;
г) по гипотенузе и острому углу.
1.50. Постройте треугольник:

14

7 класс

а) по двум сторонам и высоте, проведенным из одной вершины;
б) по стороне и высотам, проведенным к двум другим сторонам;
в) по углу, высоте и биссектрисе, проведенным из вершины
этого угла;
г) по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и высоте, опущенной на другую сторону.
1.510 . Докажите, что серединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек, равноудаленных от концов
этого отрезка.
1.52. Две различные окружности пересекаются в точках A
и B. Докажите, что прямая, проходящая через центры окружностей, делит отрезок AB пополам и перпендикулярна ему.
1.53. Разделите отрезок пополам с помощью циркуля и линейки.

Задачи второго уровня
1.54. Докажите признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.
1.55. Диагонали AC и BD четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Периметр треугольника ABC равен периметру треугольника ABD, а периметр треугольника ACD —
периметру треугольника BCD. Докажите, что AO = BO.
1.56. Докажите равенство треугольников:
а) по двум сторонам и медиане, выходящим из одной вершины;
б) по медиане и двум углам, на которые разбивает эта медиана угол треугольника.
1.57. Докажите, что в равных треугольниках соответствующие высоты равны между собой.
1.58. Докажите, что серединный перпендикуляр к отрезку
является его осью симметрии.
1.59. Докажите, что диагонали четырехугольника с равными сторонами взаимно перпендикулярны.
1.60. Точки M и N — середины равных сторон AD и BC
четырехугольника ABCD. Серединные перпендикуляры к сто-

§ 1.2. Признаки равенства треугольников

15

ронам AB и CD пересекаются в точке P . Докажите, что серединный перпендикуляр к отрезку M N проходит через точку P .
1.61. Две высоты треугольника равны между собой. Докажите, что треугольник равнобедренный.
1.62. Высоты треугольника ABC, проведенные из вершин B
и C, пересекаются в точке M . Известно, что BM = CM . Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
1.630 . Найдите геометрическое место внутренних точек угла, равноудаленных от его сторон.
1.64. Докажите, что биссектриса угла является его осью
симметрии.
1.65. Через вершины A и C треугольника ABC проведены
прямые, перпендикулярные биссектрисе угла ABC, пересекающие прямые CB и BA в точках K и M соответственно. Найдите AB, если BM = 8, KC = 1.
1.66. Через данную точку проведите прямую, пересекающую две данные прямые под равными углами.
1.67. Дана прямая l и точки A и B по разные стороны от нее.
Постройте на прямой l такую точку C, чтобы прямая l делила
угол ACB пополам.
1.68. Дана прямая l и точки A и B по одну сторону от нее.
Луч света, выпущенный из точки A, отразившись от этой прямой в точке C, попадает в точку B. Постройте точку C. (Угол
падения равен углу отражения.)
1.69. Внутри острого угла даны точки M и N . Как из точки M направить луч света, чтобы он, отразившись последовательно от сторон угла, попал в точку N ?
1.70. Постройте равнобедренный треугольник, если даны
две прямые, на которых лежат биссектрисы его углов при
вершине и при основании, и по точке на каждой из боковых
сторон.
1.710 . Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
1.72. Биссектрисы BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M , биссектрисы B1 B2 и C1 C2 треугольника AB1 C1
пересекаются в точке N . Докажите, что точки A, M и N лежат
на одной прямой.

16

7 класс

1.73. Постройте биссектрису угла, вершина которого недоступна.
1.740 . Докажите, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
1.75. Докажите, что около любого треугольника можно описать окружность, притом единственную.
1.76. Докажите, что две различные окружности не могут
иметь более двух общих точек.
1.77. Постройте треугольник, если известны сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон.
1.78. Постройте треугольник по двум сторонам и разности
противолежащих им углов.
1.79. Постройте треугольник, если дана одна его вершина
и две прямые, на которых лежат биссектрисы, проведенные из
двух других вершин.

Задачи третьего уровня
1.80. Из точки вне прямой опустите перпендикуляр на эту
прямую с помощью циркуля и линейки, проведя не более трех
линий.
1.810 . Постройте треугольник по двум сторонам и медиане,
проведенной к третьей.
1.82. На сторонах AB, BC и CA остроугольного треугольника ABC взяты точки C1 , A1 и B1 соответственно. Докажите,
что если ∠B1 A1 C = ∠BA1 C1 , ∠A1 B1 C = ∠AB1 C1 , ∠A1 C1 B =
= ∠AC1 B1 , то точки A1 , B1 и C1 являются основаниями высот
треугольника ABC.
1.83. Докажите, что, если в треугольнике один угол равен 120◦ , то треугольник, образованный основаниями его биссектрис, прямоугольный.

§ 1.3. Параллельность. Сумма углов
треугольника
Две прямые называются параллельными, если они не имеют
ни одной общей точки.

§ 1.3. Параллельность. Сумма углов треугольника

17

Аксиома параллельных. Через точку, не лежащую на
прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной
данной.
Признак параллельности прямых. Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы
равны, то прямые параллельны.
Свойство параллельных прямых. Если две параллельные прямые пересечь третьей, то при этом образуются равные внутренние накрест лежащие углы.
Теорема об углах треугольника. Сумма внутренних
углов треугольника равна 180◦ .
Теорема о внешнем угле треугольника. Внешний угол
треугольника равен сумме двух не смежных с ним внутренних
углов.
Пример 1. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O
и делятся этой точкой пополам. Докажите, что AC k BD и
AD k BC.
Решение. Треугольники AOC и BOD (рис. 7) равны по
двум сторонам и углу между ними (AO = BO и CO = DO
по условию, а углы AOC и BOD
A
C
равны как вертикальные), поэтому ∠OAC = ∠OBD. Прямая AB
пересекает прямые AC и BD, причем
O
накрест лежащие углы OAC и OBD
равны, следовательно, прямые AC
D
B
и BD параллельны. Аналогично,
Рис. 7
AD k BC.
Пример 2. Две параллельные прямые пересечены третьей.
Найдите угол между биссектрисами внутренних односторонних
углов.
Решение. Пусть прямые l и m параллельны, а третья прямая пересекает их соответственно в точках A и B (рис. 8). Возьмем на прямой l точку C, а на прямой m — точку D так, чтобы эти точки лежали по одну сторону от прямой AB. Тогда
углы BAC и ABD — внутренние односторонние. По свойству

18

7 класс
C

A

l

O
D

B

m

Рис. 8

параллельных прямых ∠BAC + ∠ABD = 180◦ . Пусть биссектрисы этих углов пересекаются в точке O. Тогда
∠OAB + ∠OBA = 1 ∠BAC + 1 ∠ABD =
2

2
◦
= 1 (∠BAC + ∠ABD) = 180 = 90◦ .
2
2

Следовательно, по теореме о сумме углов треугольника
∠AOB = 180◦ − (∠OAB + ∠OBA) = 180◦ − 90◦ = 90◦ .
Пример 3. Докажите, что угол между высотой и биссектрисой, проведенными из одной вершины треугольника, равен
полуразности двух других его углов.
A
Решение. Пусть AH и AP — соответственно высота и биссектриса треугольника ABC (рис. 9). Обозначим
∠B = b, ∠C = g. Если b = g, то
B H P
C
утверждение очевидно. Предположим,
Рис. 9
что b > g. Тогда AP C — внешний угол
треугольников AHP и ABP , поэтому
∠HAP = ∠AP C − ∠AHC = ∠ABP + ∠BAP − ∠AHC =
b−g
180◦ − b − g
=b+
− 90◦ =
.
2

Если b < g, то аналогично докажем, что ∠HAP =

2

g− b
2

.

Пример 4. Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и сумме катетов.

§ 1.3. Параллельность. Сумма углов треугольника

Решение. Предположим, что
искомый прямоугольный треугольник ABC построен (рис. 10). Пусть
∠C = 90◦ , ∠A = a — данный угол,
AC + CB = a — данная сумма катетов. На продолжении катета AC
за точку C отложим отрезок CB1 ,
равный BC. Тогда

19

B

a
A

AB1 = AC + CB1 = AC + BC = a,

C

B1

Рис. 10

∠AB1 B = 45◦ ,

а точка C лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BB1 .
Отсюда вытекает следующее построение. Треугольник ABB1
строим по стороне AB1 = a и двум прилежащим к ней углам:
∠A = a, ∠B1 = 45◦ . Проводим серединный перпендикуляр к
стороне BB1 . Он пересекает отрезок AB1 в искомой вершине C.

Задачи первого уровня
1.840 . Через точку, не лежащую на данной прямой, проведите прямую, параллельную данной.
1.850 . Докажите, что две прямые, параллельные третьей,
параллельны между собой.
1.86. Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, пересекает и другую.
1.87. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O и делятся
этой точкой пополам. Докажите, что AC k BD и AD k BC.
1.88. Точки A и D лежат на одной из двух параллельных
прямых, точки B и C — на другой, причем прямые AB и CD
также параллельны. Докажите, что противоположные углы четырехугольника ABCD равны между собой.
1.89. Через вершину B треугольника ABC проведена прямая, параллельная прямой AC. Образовавшиеся при этом три
угла с вершиной B относятся как 3 : 10 : 5. Найдите углы треугольника ABC.
1.90. Через середину M отрезка с концами на двух параллельных прямых проведена прямая, пересекающая эти прямые
в точках A и B. Докажите, что M также середина AB.
1.91. Внешние углы треугольника ABC при вершинах A и C

20

7 класс

равны 115◦ и 140◦ . Прямая, параллельная прямой AC, пересекает стороны AB и AC в точках M и N . Найдите углы треугольника BM N .
1.92. Через точку M , лежащую внутри угла с вершиной A,
проведены прямые, параллельные сторонам угла и пересекающие эти стороны в точках B и C. Известно, что ∠ACB = 50◦ ,
а угол, смежный с углом ACM , равен 40◦ . Найдите углы треугольников BCM и ABC.
1.93. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Докажите, что
расстояние от каждой точки одной из двух параллельных прямых до второй прямой постоянно.
1.940 . Найдите геометрическое место точек, удаленных от
данной прямой на данное расстояние.
1.95. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте,
опущенной на одну из них.
1.96. AD — биссектриса треугольника ABC. Точка M
лежит на стороне AB, причем AM = M D. Докажите, что
M D k AC.
1.97. Точки A и D лежат на одной из двух параллельных
прямых, точки B и C — на другой, причем прямые AB и CD
также параллельны. Докажите, что AB = CD и AD = BC.
1.98. Углы треугольника относятся как 2 : 3 : 4. Найдите
отношение внешних углов треугольника.
1.99. Докажите, что прямая, проходящая через середины
боковых сторон равнобедренного треугольника, параллельна основанию.
1.100. Две параллельные прямые пересечены третьей. Найдите угол между биссектрисами внутренних односторонних
углов.
1.101. Прямая пересекает параллельные прямые a и b в точках A и B соответственно. Биссектриса одного из образовавшихся углов с вершиной B пересекает прямую a в точке C.
Найдите AC, если AB = 1.
1.102. Докажите, что высота равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла,
вдвое меньше гипотенузы.

§ 1.3. Параллельность. Сумма углов треугольника

21

1.103. Угол треугольника равен сумме двух других его углов. Докажите, что треугольник прямоугольный.
1.104. Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC, причем ∠ABM = ∠ACB и ∠CBN = ∠BAC. Докажите, что треугольник BM N равнобедренный.
1.105. Угол при основании BC равнобедренного треугольника ABC вдвое больше угла при вершине A, BD — биссектриса
треугольника. Докажите, что AD = BC.
1.106. Прямая, проходящая через вершину A треугольника ABC, пересекает сторону BC в точке M . При этом BM =
= AB, ∠BAM = 35◦ , ∠CAM = 15◦ . Найдите углы треугольника ABC.
1.107. На сторонах AC и BC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N , причем M N k AB и M N = AM .
Найдите угол BAN , если ∠B = 45◦ и ∠C = 60◦ .
1.108. Прямая, проходящая через вершину A треугольника ABC, пересекает сторону BC в точке M , причем BM = AB.
Найдите разность углов BAM и CAM , если ∠ACB = 25◦ .
1.109. Треугольник ABC — равнобедренный (AB = BC).
Отрезок AM делит его на два равнобедренных треугольника с
основаниями AB и M C. Найдите угол B.

Задачи второго уровня
1.110. Прямая пересекает боковую сторону AC, основание BC и продолжение боковой стороны AB равнобедренного
треугольника ABC за точку B в точках K, L и M соответственно. При этом треугольники CKL и BM L получаются
также равнобедренными. Найдите их углы.
1.111. Равные отрезки AB и CD пересекаются в точке O
и делятся ею в отношении AO : OB = CO : OD = 1 : 2.
Прямые AD и BC пересекаются в точке M . Докажите, что треугольник DM B равнобедренный.
1.112. BK — биссектриса треугольника ABC. Известно,
что ∠AKB : ∠CKB = 4 : 5. Найдите разность углов A и C
треугольника ABC.

22

7 класс

1.113. Два угла треугольника равны 10◦ и 70◦ . Найдите угол
между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины третьего угла треугольника.
1.114. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.
Верно ли обратное?
1.115. Биссектрисы двух углов треугольника пересекаются
под углом 110◦ . Найдите третий угол треугольника.
1.1160 . Один из углов треугольника равен a. Найдите угол
между биссектрисами двух других углов.
1.1170 . Один из углов треугольника равен a. Найдите угол
между высотами, проведенными из вершин двух других углов.
1.118. Высоты остроугольного треугольника ABC, проведенные из вершин A и B, пересекаются в точке H, причем ∠AHB = 120◦ , а биссектрисы, проведенные из вершин B
и C, — в точке K, причем ∠BKC = 130◦ . Найдите угол ABC.
1.119. Существует ли треугольник, две биссектрисы которого перпендикулярны?
1.1200 . Докажите, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30◦ , равен половине гипотенузы.
1.1210 . Катет прямоугольного треугольника равен половине
гипотенузы. Докажите, что угол, противолежащий этому катету, равен 30◦ .
1.122. Острый угол прямоугольного треугольника равен 30◦,
а гипотенуза равна 8. Найдите отрезки, на которые делит гипотенузу высота, проведенная из вершины прямого угла.
1.123. Угол при вершине B равнобедренного треугольника ABC равен 108◦ . Перпендикуляр к биссектрисе AD этого треугольника, проходящий через точку D, пересекает сторону AC
в точке E. Докажите, что DE = BD.
1.124. Докажите, что биссектрисы равностороннего треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1, считая
от вершины треугольника.
1.125. В треугольнике ABC угол A равен 60◦ , а биссектриса
угла A, медиана, проведенная из вершины B, и высота, проведенная из вершины C, пересекаются в одной точке. Найдите
остальные углы треугольника.

§ 1.3. Параллельность. Сумма углов треугольника

23

1.126. Дана незамкнутая ломаная ABCD, причем AB =
= CD и ∠ABC = ∠BCD. Докажите, что AD k BC.
1.127. Равные отрезки AB и CD пересекаются в точке K.
Известно, что AC k BD. Докажите, что треугольники AKC
и BKD равнобедренные.
1.1280 . Медиана треугольника равна половине стороны,
к которой она проведена. Докажите, что треугольник прямоугольный.
1.129. Постройте прямоугольный треугольник по катету и
медиане, проведенной из вершины прямого угла.
1.130. На стороне AB квадрата ABCD построен равносторонний треугольник ABM . Найдите угол DM C.
1.131. На сторонах AC и BC равностороннего треугольника ABC построены внешним образом равнобедренные прямоугольные треугольники ACN и BCM с прямыми углами при
вершинах A и C соответственно. Докажите, что BM ⊥ BN .
1.132. Биссектриса внутреннего угла при вершине A и биссектриса внешнего угла при вершине C треугольника ABC пересекаются в точке M . Найдите ∠BM C, если ∠BAC = 40◦ .
1.1330 . Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине
гипотенузы.
1.134. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и высоте, проведенной к гипотенузе.
1.135. Кошка сидит на середине лестницы, прислоненной к
стене. Концы лестницы начинают скользить по стене и полу.
Какова траектория движения кошки?
1.136. Острый угол прямоугольного треугольника равен 30◦.
Докажите, что высота и медиана, проведенные из вершины прямого угла, делят его на три равные части.
1.137. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30◦ . Докажите, что в этом треугольнике отрезок перпендикуляра, проведенного к гипотенузе через ее середину до
пересечения с катетом, втрое меньше большего катета.
1.138. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на
гипотенузу, равна 1, один из острых углов равен 15◦ . Найдите
гипотенузу.

24

7 класс

1.139. В треугольнике ABC проведены медианы AA1 , BB1 ,
CC1 и высоты AA2 , BB2 , CC2 . Докажите, что длина ломаной A1 B2 C1 A2 B1 C2 A1 равна периметру треугольника ABC.
1.140. На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC вне его построены квадраты ACDE и CBF K (вершины
обоих квадратов перечислены против часовой стрелки). Из точек E и F на прямую AB опущены перпендикуляры EM и F N .
Докажите, что EM + F N = AB.
1.141. На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC вне его построены квадраты ACDE и CBF K (вершины
обоих квадратов перечислены против часовой стрелки), P — середина KD. Докажите, что CP ⊥ AB.
1.142. Даны точки A и B. Пользуясь только циркулем,
удвойте отрезок AB, т. е. постройте такую точку C, чтобы
точки A, B и C лежали на одной прямой и AC = 2BC.
1.143. Какие значения может принимать: а) наибольший
угол треугольника; б) наименьший угол треугольника; в) средний по величине угол треугольника?
1.1440 . Найдите сумму внутренних углов: а) четырехугольника; б) выпуклого пятиугольника; в) выпуклого n-угольника.
1.145. Найдите сумму пяти углов при вершинах пятиконечной звезды (рис. 11).
1.146. Докажите, что в каждом девятиугольнике есть пара диагоналей, угол между
Рис. 11
которыми меньше 7◦ .
1.147. Найдите сумму внешних углов при вершинах выпуклого n-угольника, взятых по одному при каждой вершине.
1.148. На продолжениях гипотенузы AB прямоугольного
треугольника ABC за точки A и B соответственно взяты точки K и M , причем AK = AC и BM = BC. Найдите угол M CK.
1.149. В прямоугольном треугольнике ABC на гипотенузе AB взяты точки K и M , причем AK = AC и BM = BC.
Найдите угол M CK.
1.150. На одной из сторон данного острого угла лежит точка A. Постройте на этой же стороне угла точку, равноудаленную
от второй стороны угла и от точки A.

§ 1.3. Параллельность. Сумма углов треугольника

25

1.1510 . Постройте треугольник, если заданы сторона, противолежащий ей угол и сумма двух других сторон.
1.152. Постройте треугольник по периметру и двум углам.
1.153. На сторонах BC и CD квадрата ABCD построены
внешним образом правильные треугольники BCK и DCL. Докажите, что треугольник AKL правильный.
1.154. На каждой стороне правильного треугольника взято
по точке. Стороны треугольника с вершинами