ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІ ШЫҒАРУДА ШЕК ТЕОРИЯСЫН ҚОЛДАНУ ӘДІСТЕРІ

Тургалиева Мадина Уалибековна

Семей қаласы КМҚК «Көлік колледжі»

Математика пәнінің оқытушысы

ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІ ШЫҒАРУДА ШЕК ТЕОРИЯСЫН ҚОЛДАНУ ӘДІСТЕРІ

Түйін. Бұл мақалада математикалық анализ аппараттарының бірі болып табылатын шек теориясын қолданып, дөңгелектің ауданын, үшбұрыштың ауданын, сынық сызықтардың ұзындықтарының қосындысын есептеу қарастырылады. Геометриялық есептерді шешуде шек туралы теоремалар мен тамаша шектерді қолданға мысалдар таңдалып алынған.

Кілт сөздер: Математикалық анализ, геометриялық фигуралардың аудандары, бірінші тамаша шек, геометриялық прогрессия, шеңберге жүргізілген жанама.

Шекті есептеу әдісі – жоғары математика саласында маңызы зор математикалық анализдің негізгі салаларының бірі болып табылады. Геометриялық есептерді зерттеуде шекке көшу әдісі мектеп курсында таныстырылады. Радиусы болатын шеңбердің ұзындығын, дөңгелектің ауданын шектің көмегімен есептеп табуға болатыны белгілі. Шеңбердің ауданын анықтау үшін осы шеңберге іштей қабырғалары шексіз өсетін дұрыс көпбұрыштар сызайық. Мұндағы центрі – О нүктесі, ал радиусы болатын шеңберге іштей сызылған дұрыс n көпбұрышының төбелері болсын. Дербес жағдайда 1-суретте - алты бұрыш көрсетілген.

1-сурет

үшбұрышын қарастырайық.

Ал, оның ауданы - ға тең. Шеңберге іштей сызылған дұрыс n-көпбұрышының ауданы мынаған тең:

.

Қабырғалары шексіз өсетін шеңберге іштей сызылған n көпбұрыштың ауданын қарастырайық. Бұл жағдайда шеңберге іштей сызылған кез келген көпбұрыштың ауданы шексіз өседі және жоғарыдан шенелген болады. Вейерштрасстың монотонды және шенелген тізбектің шегінің бар болуы туралы теоремасы бойынша қарастырылып отырған көпбұрыштың ауданының шегін табуға болады. Бұл шек:

және деп белгілесек, ұмтылғанда болатынын көреміз. Сонда математикалық анализ курсынан белгілі бірінші тамаша шек бойынша теңдігі шығады. Қорытындылай келе, дөңгелектің ауданы мына шектің мәніне тең болады:

Осылайша шек табуды қолданып шеңбердің ұзындығының, цилиндр мен конустың бүйір бетінің ауданының, сонымен қатар, осы фигуралардың көлемдерінің формулаларын есептеп табуға болады. Енді осыны бірнеше мысалдар арқылы көрсетейік.

_{Мысал-1. Тең бүйірлі тік бұрышты үшбұрыштың табаны 2n тең бөлікке бөлінген. Бөлік нүктелері арқылы үшбұрышқа іштей баспалдақты фигура салынған. n шексіз өскен сайын үшбұрыштың ауданы мен баспалдақты фигураның ауданының айырмасының шегі ақырсыз аз шама болатынын дәлелдеу керек [1,414б].}

2-сурет. Табаны 2n-ге тең бөлікке бөлінген тең бүйірлі тікбұрышты үшбұрыш

_{Шешуі.Берілген} тең бүйірлі тікбұрышты үшбұрыштың ауданын және сатылы фигураның ауданын есептейміз.

Есептің шарты бойынша , , ал ,

үшбұрышынан , . 6 – суретке сәйкес бұл үшбұрыш теңбүйірлі болғандықтан . Енді осы үшбұрыштың ауданын есептейік: .

үшбұрышының ауданы мен штрихталған баспалдақты фигураның ауданының айырмасы штрихталмаған үшбұрыштардың аудандарының қосындысына тең болады. Штрихталмаған үшбұрыштардың аудандарының қосындысын деп белгілесек, . Енді шексіз өскенде осы шаманың шегін табайық:

, сонымен шексіз өскен сайын берілген үшбұрыш пен оған іштей сызылған баспалдақты фигураның аудандарының айырмасы ақырсыз аз екенін дәлелдедік.

_{Мысал-6. Ұзындығы а болатын АВ кесіндісі n бөлікке бөлінген. Әр бір бөлік кесіндіге шеңбердің радианға тең доғасы салынған. -да осы қисықтың ұзындығының шегін табу керек[1,43б].}

3-сурет. Ұзындығы a болатын AB кесіндісі

_Шешуі. - әр доғаның ұзындығы,ал - барлық доғаның ұзындығы болсын. кесіндісі нүкте арқылы тең бөліктерге бөлінсе, онда бөліктің саны - ге тең болады. Бір доғаның ұзындығын тауып алайық. Доға ұзындығын табу үшін доғаны шеңберге толықтырамыз.

4-сурет. Доға ұзындығын табу үшін доғаны шеңберге толықтыру

Мектептің геометрия курсынан доғаның ұзындығы формуласымен есептелетіні белгілі. Центрлік бұрышқа тірелетін шеңбер доғасының ұзындығы осы бұрыштың шамасына тең.

Яғни - ге тең. Ал шеңбер радиусын деп белгілейміз. тік бұрышты ұшбұрыштың сүйір бұрыштары мынаған тең:

,

Есептің шарты бойынша , .

бұрышының косинусы арқылы шеңбердің радиусын табамыз:

, бұдан ,

яғни

.

Енді берілген доғаның ұзындығын табамыз:

, ал .

Сонда

.

Енді осы шаманың шегін табайық:

- да аргумент . Сондықтан шекті есептеу барысында бірінші тамаша шекті қолданамыз.

.

Сонымен геометриялық есептерді шешуде математикалық анализдің негізгі саласының бірі шек теориясы екенін байқадық. Бұл әдісті қолданып геометриялық есептерді шешу білім алушыларға математикалық анализ курсынан алған теориялық білімдерін практикалық тұрғыда қолдануға машықтануға мүмкіндік береді[2,39б].

Сонымен геометриялық есептерді шешуде математикалық анализдің негізгі аппараттарының бірі шек теориясының маңызы зор екенін байқаймыз. Бұл әдісті қолданып геометриялық есептерді шешу білім алушыларға математикалық анализ курсынан алған теориялық білімдерін практикалық тұрғыда қолдануға машықтануға мүмкіндік береді.

ӘДЕБИЕТТЕР :

1. Берман, Г.Н.. Сборник задач по курсу математиеского анализа. Москва – 1977 – 414 бет.

2. Берікханова, Г.Е., Тургалиева, М.У. Функцияның максимум және минимум теориясын қолданып, геометриялық және физикалық есептерді шығару. Ұлы Жеңістің 70жылдығына және Кеңес Одағының Батыры Қ.М.Сұрағановты еске алуға арналған «Математика:ғылым мен білімнің инновациялық әдістері» республикалық ғылыми-практикалық конференция материалдары. Алматы. 2015ж. 57-61бет.

3. Берікханова Г.Е. Математикалық анализдің есептік практикумы. Семей 2015ж.

4. Берікханова Г.Е., Қизатолла С. Дифференциалдық есептеулерді геометриялық есептер шығаруда қолдану. «Функциялар теориясы, функционалдық талдау және олардың қолданулары» атты Халықаралық ғылыми конференциясының баяндамалар жинағы. Алматы, 2014ж.